沪科版九上数学第2课时 二次函数的图象和性质
沪科版九年级上册21.2.1二次函数的图象和性质课件
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大 而增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象． 解：列表
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
?
-3
-6
-9
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
3．观察y＝
1 2
x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称
轴和顶点坐标．
1
4．根据函数y＝ 2 x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的
沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax2的图象与性质说课稿
本节课的教学内容为沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax^2的图象与性质。该章节位于初中数学课程中函数学习的重要部分，是在学习了二次函数的概念及其表达式的基础上，进一步研究二次函数的图象与性质。主要知识点包括：
（3）了解二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系，能够根据系数a判断图象的开口方向、对称轴等。
2.过程与方法：
（1）通过观察和分析二次函数y=ax^2的图象，培养学生观察、归纳、总结的能力。
（2）运用数学方法，如数形结合、函数变换等，引导学生探究二次函数的性质。
（3）通过实例分析，使学生能够灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
1.数形结合法：通过将二次函数的代数表达式与图象相结合，帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律。这种方法符合学生的认知特点，有助于抽象概念的形象化，提高学习效果。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、猜想、验证、总结的过程来发现二次函数的性质。这种教学方法能够激发学生的好奇心和探究欲，培养他们的创新精神和实践能力。
（2）二次函数y=ax^2的性质，如单调性、最值等。
（3）二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系。
2.教学难点：
（1）如何引导学生理解二次函数y=ax^2的图象特征与系数a的关系。
（2）如何让学生掌握二次函数y=ax^2的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
（3）如何培养学生运用数形结合、函数变换等数学方法探究二次函数的性质。
3.展示一个有趣的数学问题，如“如何确定一个抛物线拱门的最高点？”通过问题引导学生思考，自然过渡到二次函数的性质。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采取以下步骤引导学生深入理解二次函数的图象与性质：
2014年秋沪科版九年级数学上21.2二次函数的图象和性质(第2课时)课件
的图象。
向下，对称 抛物线y=- 1 (x+1)2的开口方向是_____ 2 x=-1 ，顶点坐标是 轴是_____ _______ （ -1,0） 抛物线y=- 1 (x-1)2的开口方向是____ 向下，对称轴
x=1 ，顶点坐标是________ （1,0） 。 是_______ Nhomakorabea2
在同一坐标系中，画出函数：
21.2 二次函数图象和性质 第2课时
生活中的抛物线
生活中的抛物线
画出函数: y= x2 y=x2+1
y=x2-1的图象
y=x2+1开口向上，对称轴 为y轴，顶点是（0、1）。 y=x2-1开口向上，对称轴 为y轴，顶点是（0、-1）。
1 2 1 1 2 画出函数y=- 2 x y=- 2 (x+1) 与y=- 2 (x-1)2
y=- 1 x2
2
y=- 1 x2-1
2
y=- 1 (x+1)2-1的图象。
2
函数y=a(x-h)2+k的特点：
1、a>0时，开口向上；a<0时，开口向下； 2、对称轴是直线x=h;
3、顶点坐标是（h，k）.
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
沪科版数学九年级上册《二次函数y=a2 b c的图象和性质》教学设计
沪科版数学九年级上册《二次函数y=a2 b c的图象和性质》教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册中，《二次函数y=a2 b c的图象和性质》这一节的内容，是在学生已经掌握了函数的概念，以及一次函数、反比例函数的基础上进行讲解的。
本节课主要让学生了解二次函数的一般形式，以及二次函数的图象和性质。
教材通过具体的例子，引导学生探究二次函数的图象和性质，从而让学生能够熟练地运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数的概念和一次函数、反比例函数的性质已经有了一定的了解。
但是，二次函数相对于一次函数和反比例函数来说，其图象和性质更为复杂，需要学生进行深入的理解和掌握。
此外，学生可能对于函数的图象和性质的探究方法还不够熟悉，需要教师在课堂上进行引导和培养。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数的一般形式，能够写出二次函数的表达式。
2.引导学生通过探究，了解二次函数的图象和性质，并能运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式。
2.二次函数的图象和性质。
五. 教学方法采用探究式教学法、案例教学法和小组合作学习法。
通过具体的例子，引导学生探究二次函数的图象和性质，让学生在实际问题中感受二次函数的应用。
同时，学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备PPT，展示二次函数的图象和性质。
3.准备黑板，用于板书重要的知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现二次函数的一般形式，引导学生观察和分析二次函数的表达式。
3.操练（10分钟）让学生通过计算，探究二次函数的图象和性质。
教师在这个过程中进行指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固二次函数的一般形式和图象性质。
沪科版九上数学二次函数的图象和性质
y 9
6
3
-4 -2O 2 4 x 双击演示
操作
当取更多个点时，函
y
数 y = x2 的图象如下： 9
对称轴与抛物线的交
6
点叫做抛物线的顶点
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
3
对称轴.
-3 o 3
x
二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过
顶点是 (0，0) .
典例精析
例1 已知 y = (m + 1)xm2 + m 是二次函数，且其图象开口 向上，求 m 的值和函数解析式.
m + 1＞0， ① 解：依题意有
m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2.
1. y＝x2 是一条抛物线；
y y = x2
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点.
o
x
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下；
y o
x
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
a＞0 y
Ox
a＜0 y
Ox
开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 在对称轴左侧递减
沪科版数学九年级上册21.2二次函数图象和性质(2)
灿若寒星
4、一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
y 1 x2 5
3.5
运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的
距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米？
2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ，
则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则
(B )
A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4
C.y3>y2>y4>y1
y2 y1
y3 y4
D.y4>y2>y3>y1
x2 x4
x3 x1
灿若寒星
3、已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ D）
y 10
9
8
7
6 5
上加下减
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
o1
2345
灿若寒星
x
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 最值 对称轴 增 减 性
a>0 向上
a<0 向下
(0 ,k) x=0时,y最小=k y轴(直线x=0)
(0 ,k) x=0时,y最大=k
y轴(直线x=0)
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
灿若寒星
沪科版九年级上册数学教案 21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十一章二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象.2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画、观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的.【情感态度与价值观】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识.通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质.多媒体课件.（课件展示问题）由前面的知识，我们知道，函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用.这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价.一、思考探究，获取新知你能确定y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质? 学生讨论得到：把二次函数y=ax 2+bx+c 转化成y=a(x-h)2+k 的形式再通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y=-2x 2+4x+6 =-2(x 2-2x)+6 =-2(x 2-2x+1-1)+6 =-2［(x-1)2-1］+6 =-2(x-1)2+8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）. 你能从上图中总结出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质吗？ 【归纳结论】二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴是x=-ab2，顶点坐标是(-ab 2，a b ac 442 )【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论. 二、典例精析，掌握新知问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2的图象吗?教学要点1．让学生完成下表填空。
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
那么 m 的取值范围是什么？
解：由题意得
m2
2m
1
2，
m 1 0.
m的取值范围是 m 3.
【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧 扣概念的特征进行解题.
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15， 即矩形的面积为 15 cm2.
课堂小结
二次 函数
定义 一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的最高指数是 2； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数)
y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c. (a ≠ 0，a，b，c 是常数)
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( C ) A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0 C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y = 2x＋1 C．y = 3x2＋1 4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
例3 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元.每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为 正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利 润增加了 2(x－1) 元. 则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]. 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册第21.4节《二次函数的应用》（第2课时）的内容，主要围绕二次函数在实际问题中的应用进行展开。
本节课的内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行的，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生学会如何将实际问题转化为二次函数模型，并利用二次函数的性质解决问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念、图像和性质有了初步的了解。
但是，学生在应用二次函数解决实际问题时，往往会因为对实际问题理解不深、对二次函数模型掌握不牢固而遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生深入理解实际问题，将实际问题转化为二次函数模型，并巩固学生对二次函数性质的掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.巩固学生对二次函数图像和性质的理解，提高学生对二次函数模型的掌握程度。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为二次函数模型。
2.难点：对实际问题进行合理建模，灵活运用二次函数的性质解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生主动探究二次函数的应用。
2.案例分析法：分析典型例题，让学生学会如何将实际问题转化为二次函数模型。
3.小组讨论法：引导学生进行团队协作，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实际问题、例题和练习题的PPT，方便学生直观地理解和学习。
2.教学素材：准备一些与生活相关的实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些针对本节课内容的练习题，帮助学生巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第2课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2.2节的内容，本节课主要让学生掌握二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
通过本节课的学习，使学生能运用二次函数的性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但二次函数的图象和性质较为抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。
此外，学生对于实际问题的解决方法还不够熟练，需要老师在教学中给予引导和培养。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
2.培养学生运用二次函数的性质解决实际问题的能力。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标的确定。
2.二次函数的增减性、最值问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体课件，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.运用实例分析，让学生学会将二次函数的性质应用于实际问题。
4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.相关实例分析材料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示二次函数的图象，引导学生观察开口方向、对称轴、顶点坐标等特征，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。
通过实例分析，让学生了解二次函数的增减性和最值问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用二次函数的性质解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成，检验学生对二次函数图象和性质的掌握程度。
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计7
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计7一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上，进一步研究二次函数的性质。
教材通过实例和探究活动，使学生理解二次函数的图象与系数之间的关系，掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次函数的一般形式和图象，具备了一定的函数知识基础。
但是，对于二次函数的性质，尤其是顶点坐标、开口方向、对称轴等概念，可能还存在一定的模糊认识。
因此，在教学过程中，需要通过实例和探究活动，帮助学生理解和掌握这些概念。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和探究活动，培养学生观察、分析、归纳的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
2.难点：二次函数的性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法。
通过提出问题、分析问题、解决问题的过程，引导学生主动探究二次函数的性质；通过实例讲解，使学生理解二次函数的性质；通过小组合作，培养学生的团队合作意识和创新精神。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：教材、练习册、笔记本。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生回顾二次函数的一般形式和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过多媒体课件，呈现二次函数的性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴等。
同时，教师通过实例讲解，使学生理解这些性质。
3.操练（15分钟）教师提出练习题，学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行讲评，指出作业中的共性问题，并进行解答。
沪科版数学九上21.2《二次函数的图象和性质》ppt课件1
o
x
例2.已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数且其图象开口 向上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ① 解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
(2) 描点
y=
1 2
x2
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
(3) 连线
y 10
函数y=21 x2,y=2x2的
9 8
图像与函数y=x2(图中虚线
左侧 右侧 y=ax2 顶点 对称轴 开口 图象
xyxy
(0,0)
a＞0 最低点 y轴 向上
增 减增增 大 小大大
a＜0
(0,0) 最高点
y轴
向下
增 增增减 大 大大小
二次函数y=ax2的图象和性质
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对
于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应, 那么就说x是自变量,y是x的函数.
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图 像是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样 画一个函数的图像?
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第2课时）教学设计一. 教材分析本节课的内容是二次函数y=a^2+b+c的图象和性质（第2课时），教材采用沪科教版。
这部分内容是初中数学的重要知识，主要研究二次函数的图象和性质，对于学生理解函数的概念，把握函数的性质，培养学生的数学思维能力具有重要意义。
教材通过引入二次函数的一般形式，引导学生探究函数的图象和性质，从而使学生掌握二次函数的基本知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，了解了函数的图象和性质。
同时，学生已经学习了二次函数的顶点式，对于二次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的一般形式y=a^2+b+c，学生可能还存在一定的困惑，需要通过本节课的学习，进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解二次函数的一般形式，能够分析二次函数的图象和性质。
2.过程与方法目标：通过探究二次函数的一般形式，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象和性质。
2.难点：二次函数一般形式的运用，二次函数图象和性质的深入理解。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生提出问题，思考问题，解决问题，从而达到学习目标。
同时，运用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论、交流，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟读教材，了解教材的结构和内容，准备好相关的教学材料。
2.学生准备：预习教材，了解二次函数的一般形式，思考二次函数的图象和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习二次函数的顶点式，引导学生提出问题：二次函数的一般形式是什么？二次函数的图象和性质有哪些？从而引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示二次函数的一般形式y=a^2+b+c，引导学生观察和分析二次函数的图象和性质。
沪科版九年级数学上册《二次函数y=a(x+h)2的图象和性质》课件
1．(4 分)抛物线 y＝21(x＋2)2 的开口向_上___， 对称轴是___x_＝__－__2___，顶点坐标是_(4 分)将抛物线 y＝2(x－1)2 向左平移 1 个单位后得到的新抛物线 的关系式为_y__＝__2_x_2 __．
3．(4 分)把抛物线 y＝x2 向右平移 1 个单位，所得抛物线的函数表
8．(4 分)在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－32(x－ 1)2 的图象大致是( D )
9．(8 分)已知抛物线 y＝a(x－h)2 的对称轴为 x＝－2，且过点(1，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)画出函数的图象； (3)从图象上观察，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时， 函数有最大值(或最小值)? 解：(1)y＝－13(x＋2)2 (2)略 (3)当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x＝－2 时函数有最大值 0
x___＜__－__h___ 时，y随x的增大而减小，当x＝_－__h_时，y最___小__值___＝__0__；当a＜0时，抛物
线的开口向__下__，当x___＜__－__h__时，y随x的增大而增大，当x__＞__－__h__时，y 随x的增大而减小，当x＝_－__h_时，y最_大__值___＝__0__．
21.2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时 二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质
1．抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴是__x_＝__－__h__，顶点坐标是__(－__h_，__0_)_，当a ＞0时，抛物线的开口向上____，当x___＞__－__h___时，y随x的增大而增大；当
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沪科版九年级数学上册2二次函数y=a(x-h)2k图象和性质课件
例3.画出函数 y 1 (x 1)2 1 的图像.指出它的开口方向、 2
顶点与对称轴、
解: 列表 描点 连线
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 2
…
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
直线x= o 1 2 3 4 5 x
因此可设这段抛物线对应的函数是
3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) A
2
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
解得: a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
O
y= －43 (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
B(1，3) C(3,0)
123 x
5
x
平移方法2:
-6
y
1 2
x
2向1个左单平位移y
1 2
(
x
1)2
向下平移 1个单位
y
1 2
(x
1)2
1
-7 -8 -9
-1x0=－1
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相
同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,
可以得到抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
画出函数
y
1 2
x
2；y
1 2
2018-2019学年沪科版数学九年级上册 21.2 二次函数的图象和性质
21．2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y＝ax2的图象，理解并掌握抛物线的有关概念及其性质．【过程与方法】使学生经历探索二次函数y＝ax2的图象及性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验，培养学生分析、解决问题的能力．【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y＝ax2的图象和性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质．重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质，会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象．【难点】用描点法画出二次函数y＝ax2的图象以及探索二次函数的性质．教学过程一、问题引入1．一次函数的图象是什么？反比例函数的图象是什么？(一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线．)2．画函数图象的一般步骤是什么？一般步骤：(1)列表(取几组x，y的对应值)；(2)描点(根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y))；(3)连线(用平滑曲线)．3．二次函数的图象是什么形状？二次函数有哪些性质？(运用描点法作二次函数的图象，然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质．)二、新课教授【例1】画出二次函数y＝x2的图象．解：(1)列表中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值．(2)描点：根据上表中x，y的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)．(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2的图象，如图所示．观察二次函数y ＝x 2的图象，思考下列问题： (1)二次函数y ＝x 2的图象是什么形状？(2)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (3)图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？ 师生活动：教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y ＝x 2的图象，通过数形结合解决上面的3个问题．学生动手画图，观察、讨论并归纳，积极展示探究结果，教师评价．函数y ＝x 2的图象是一条关于y 轴(x ＝0)对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．实际上二次函数的图象都是抛物线．二次函数y ＝x 2的图象可以简称为抛物线y ＝x 2.由图象可以看出，抛物线y ＝x 2开口向上；y 轴是抛物线y ＝x 2的对称轴：抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点，它是抛物线y ＝x 2的最低点．实际上每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点．【例2】 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝12x 2及y ＝2x 2的图象．解：分别填表，再画出它们的图象．思考：函数y ＝12x 2、y ＝2x 2的图象与函数y ＝x 2的图象有什么共同点和不同点？师生活动：教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y ＝12x 2、y ＝2x 2的图象．学生动手画图，观察、讨论并归纳，回答探究的思路和结果，教师评价．抛物线y ＝12x 2、y ＝2x 2与抛物线y ＝x 2的开口均向上，顶点坐标都是(0，0)，函数y ＝2x 2的图象的开口较窄，y ＝12x 2的图象的开口较大．探究1：画出函数y ＝－x 2、y ＝－12x 2、y ＝－2x 2的图象，并考虑这些图象有什么共同点和不同点．师生活动：学生在平面直角坐标系中画出函数y ＝－x 2、y ＝－12x 2、y ＝－2x 2的图象，观察、讨论并归纳．教师巡视学生的探究情况，若发现问题，及时点拨． 学生汇报探究的思路和结果，教师评价，给出图形．抛物线y ＝－x 2、y ＝－12x 2、y ＝－2x 2开口均向下，顶点坐标都是(0，0)，函数y ＝－2x 2的图象开口最窄，y ＝－12x 2的图象开口最大．探究2：对比抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2，它们关于x 轴对称吗？抛物线y ＝ax 2和y ＝－ax 2呢？师生活动：学生在平面直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝－x 2的图象，观察、讨论并归纳． 教师巡视学生的探究情况，发现问题，及时点拨． 学生汇报探究思路和结果，教师评价，给出图形．抛物线y ＝x 2、y ＝－x 2的图象关于x 轴对称．一般地，抛物线y ＝ax 2和y ＝－ax 2的图象也关于x 轴对称．教师引导学生小结(知识点、规律和方法)．一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a >0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，当a 越大时，抛物线的开口越小；当a <0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，当a 越大时，抛物线的开口越大．从二次函数y ＝ax 2的图象可以看出：如果a >0，当x <0时，y 随x 的增大而减小，当x >0时，y 随x 的增大而增大；如果a <0，当x <0时，y 随x 的增大而增大，当x >0时，y 随x 的增大而减小．三、课堂小结1．二次函数y ＝ax 2的图象过原点且关于y 轴对称，自变量x 的取值范围是一切实数． 2．二次函数y ＝ax 2的性质：抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a >0时，抛物线y ＝x 2开口向上，顶点是抛物线的最低点，当a 越大时，抛物线的开口越小；当a <0时，抛物线y ＝ax 2开口向下，顶点是抛物线的最高点，当a 越大时，抛物线的开口越大．3．二次函数y ＝ax 2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来．第2课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生能利用描点法作出函数y＝ax2＋k的图象．【过程与方法】让学生经历二次函数y＝ax2＋k的性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系，培养学生观察、分析、猜测并归纳、解决问题的能力．【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神．重点难点【重点】会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系．【难点】正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系．教学过程一、问题引入1．二次函数y＝2x2的图象是________，它的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，y随x 的增大而________．函数y＝ax2在x＝________时，取最________值，其最________值是________．2．抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？3．抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？二、新课教授问题1：对于前面提出的第2、3个问题，你将采取什么方法加以研究？(画出函数y＝x2＋1、y＝x2－1和函数y＝x2的图象，并加以比较．)问题2：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝x2＋1与y＝x2的图象吗？师生活动：学生回顾画二次函数图象的三个步骤，按照画图的步骤画出函数y＝x2＋1、y＝x2的图象，观察、讨论并归纳．教师写出解题过程，与学生所画的图象进行比较，帮助学生纠正错误．解：(1)列表：(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2和y＝x2＋1的图象．问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？师生活动：教师引导学生观察上表并思考，当x依次取－3、－2、－1、0、1、2、3时，两个函数的函数值之间有什么关系？学生观察、讨论、归纳得：当自变量x取同一数值时，函数y＝x2＋1的函数值比函数y ＝x2的函数值大1.教师引导学生观察函数y＝x2和函数y＝x2＋1的图象，先研究点(－1，1)和点(－1，2)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，1)和点(1，2)的位置关系．学生观察、讨论、归纳得：反映在图象上，函数y＝x2＋1的图象上的点都是由函数y ＝x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．问题4：函数y＝x2＋1和y＝x2的图象有什么联系？学生由问题3的探索可以得到结论：函数y＝x2＋1的图象可以看成是将函数y＝x2的图象向上平移一个单位得到的．问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？生：函数y＝x2＋1与函数y＝x2的图象开口方向相同、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)．问题6：你能由函数y＝x2＋1的图象得到函数y＝x2＋1的一些性质吗？生：当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数取得最小值，最小值是y＝1.问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2＋1与函数y＝2x2－1的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别．师生活动：教师在学生画函数图象的同时，巡视指导．学生动手画图，观察、讨论、归纳．解：先列表：然后描点画图，得y＝2x＋1，y＝2x－1的图象．教师让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2＋1与函数y＝2x2－1的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y＝2x2－1的图象可以看成是将函数y＝2x2＋1的图象向下平移两个单位得到的．问题8：你能说出函数y＝x2－1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及这个函数的性质吗？师生活动：教师让学生观察y＝x2－1的图象．学生动手画图，观察、讨论、归纳．学生分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言．最后归纳总结：函数y＝x2－1的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－1)；当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数取得最小值，最小值为y＝－1.三、课堂小结1．函数y＝ax2(a≠0)和函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，把y＝ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到函数y＝ax2＋k的图象．2．抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的性质．(1)抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)．(2)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限伸展；当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限伸展．(3)当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．这时，当x＝0时，y有最小值k.当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．这时，当x＝0时，y有最大值k.第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象．【过程与方法】让学生经历探究二次函数y＝a(x－h)2性质的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系，培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力．【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神． 重点难点 【重点】会用描点法画出二次函数y ＝a (x －h )2的图象，理解二次函数y ＝a (x －h )2的性质，理解二次函数y ＝a (x －h )2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系．【难点】理解二次函数y ＝a (x －h )2的性质，理解二次函数y ＝a (x －h )2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的相互关系．教学过程 一、问题引入1．抛物线y ＝2x 2＋1、y ＝2x 2－1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？2．二次函数y ＝－12(x ＋1)2的图象与二次函数y ＝－12x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？二、新课教授问题1：你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题？(画出二次函数y ＝－12(x ＋1)2和二次函数y ＝－12x 2的图象，并加以观察．)问题2：你能在同一直角坐标系中画出二次函数y ＝－12x 2与y ＝－12(x ＋1)2的图象吗？师生活动：教师引导学生作图，巡视、指导． 学生在直角坐标系中画出图形．教师对学生的作图情况作出评价，指正错误，出示正确的图形． 解：(1)列表：(2)描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点； (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y ＝－12x 2和y ＝－12(x ＋1)2的图象．问题3：当函数值y 取同一数值时，这两个函数的自变量之间有什么关系？反映在图象上，相应的两点之间的位置又有什么关系？师生活动：教师引导学生观察上表，当y 依次取0、－12、－2、－92时，两个函数的自变量之间有什么关系？学生归纳得到，当函数值取同一数值时，函数y ＝－12(x ＋1)2的自变量比函数y ＝－12x 2的自变量小1.教师引导学生观察函数y ＝－12(x ＋1)2和函数y ＝－12x 2的图象，先研究点(－1，－12)和点(0，－12)、点(－1，0)和点(0，0)、点(1，－2)和点(2，－2)的位置关系．学生归纳得到：反映在图象上，函数y ＝－12(x ＋1)2的图象上的点都是由函数y ＝－12x 2的图象上的相应点向左移动了一个单位．问题4：函数y ＝－12(x ＋1)2和y ＝－12x 2的图象有什么联系？学生由问题3的探索，可以得到结论：函数y ＝－12(x ＋1)2的图象可以看成是将函数y＝－12x 2的图象向左平移一个单位得到的．问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？学生观察两个函数的图象得：函数y ＝－12(x ＋1)2的图象开口方向向下，对称轴是直线x ＝－1，顶点坐标是(－1，0)；函数y ＝－12x 2的图象开口方向向下，对称轴是直线x ＝0，顶点坐标是(0，0)．问题6：你能由函数y ＝－12(x ＋1)2的图象得到函数y ＝－12(x ＋1)2的一些性质吗？生：当x >－1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x <－1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＝－1时，函数取得最大值，最大值y ＝0.问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y ＝－12(x －1)2与函数y ＝－12x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别．师生活动：教师在学生画函数图象的同时，巡视指导． 学生画图并仔细观察，细心研究．教师让学生发表意见，归纳为：函数y ＝－12(x －1)2与函数y ＝－12x 2的图象的开口方向相同，对称轴、顶点坐标不同．函数y ＝－12(x －1)2的图象可以看成是将函数y ＝－12x 2的图象向右平移一个单位得到的．问题8：你能说出函数y ＝－12(x －1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及这个函数的性质吗？师生活动：教师引导学生观察y ＝－12(x －1)2的图象，并引导学生思考其性质．学生分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：函数y ＝－12(x －1)2的图象的开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)．当x <1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x >1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝0.三、课堂小结 结论如下：1．函数y ＝ax 2(a ≠0)和函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象形状相同，只是位置不同，把y ＝ax 2的图象沿x 轴向左(当h <0时)或向右(当h >0时)平移|h |个单位就得到y ＝a (x －h )2的图象． 2．抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质．(1)抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是(h ，0)． (2)当a >0时，抛物线开口向上，并向上无限伸展； 当a <0时，抛物线开口向下，并向下无限伸展．(3)当a >0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当x ＝h 时，y 有最小值．当a <0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小；当x ＝h 时，y 有最大值．第4课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生理解并掌握函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象之间的关系；会确定函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【过程与方法】让学生经历函数y ＝a (x －h )2＋k 性质的探索过程，理解并掌握函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质，培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力．【情感、态度与价值观】渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 重点难点 【重点】确定函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象之间的关系，理解函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质．【难点】正确理解函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与函数y ＝ax 2的图象之间的关系以及函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质．教学过程 一、问题引入1．函数y ＝x 2＋1的图象与函数y ＝x 2的图象有什么关系？(函数y ＝x 2＋1的图象可以看成是将函数y ＝x 2的图象向上平移一个单位得到的．) 2．函数y ＝－12(x ＋1)2的图象与函数y ＝－12x 2的图象有什么关系？(函数y ＝－12(x ＋1)2的图象可以看成是将函数y ＝－12x 2的图象向左平移一个单位得到的．)3．函数y ＝－12(x ＋1)2－1的图象与函数y ＝－12x 2的图象有什么关系？函数y ＝－12(x ＋1)2－1有哪些性质？(函数y ＝－12(x ＋1)2－1的图象可以看作是将函数y ＝－12x 2的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，开口向下，对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．)二、新课教授问题1：你能画出函数y ＝－12x 2，y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x ＋1)2－1的图象吗？师生活动：教师引导学生作图，巡视，指导． 学生在直角坐标系中画出图形．教师对学生的作图情况作出评价，指正其错误，出示正确图形． 解：(1)列表：(2)描点：用表格中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点； (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y ＝－12x 2，y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x ＋1)2－1的图象．问题2：观察图象，回答下列问题．问题3：从上表中，你能分别找到函数y ＝－12(x ＋1)2－1，y ＝－12(x ＋1)2与函数y＝－12x 2的图象之间的关系吗？师生活动：教师引导学生认真观察上述图象．学生分组讨论，让各组代表发言，达成共识． 教师对学生回答错误的地方进行纠正，补充．函数y ＝－12(x ＋1)2－1的图象可以看成是将函数y ＝－12(x ＋1)2的图象向下平移1个单位得到的．函数y ＝－12(x ＋1)2的图象可以看成是将函数y ＝－12x 2的图象向左平移1个单位得到的．故抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1是由抛物线y ＝－12x 2沿x 轴向左平移1个单位长度得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2，再将抛物线y ＝－12(x ＋1)2向下平移1个单位得到的．除了上述平移方法外，你还有其他的平移方法吗？ 师生活动：教师引导学生积极思考，并适当提示．学生分组讨论，让各组代表发言，达成共识． 教师对学生回答错误的地方进行纠正，补充．抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1是由抛物线y ＝－12x 2向下平移1个单位长度得到抛物线y ＝－12x 2－1，再将抛物线y ＝－12x 2－1向左平移1个单位得到的． 问题4：你能发现函数y ＝－12(x ＋1)2－1有哪些性质吗？师生活动：教师组织学生讨论，互相交流．学生分组讨论，让各组代表发言，达成共识． 教师对学生回答错误的地方进行纠正，补充．当x <－1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x >－1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝－1时，函数取得最大值，最大值y ＝－1.三、典型例题【例】 如图(1)，要修建一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m ，水柱落地处离池中心 3 m ，水管应多长？师生活动：教师组织学生讨论、交流，如何将文字语言转化为数学语言． 学生积极思考、解答．指名板演，教师讲评．解：如图(2)建立的直角坐标系中，点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y ＝a (x －1)2＋3(0≤x ≤3)．由这段抛物线经过点(3，0)可得0＝a (3－1)2＋3，解得a ＝－34，因此y ＝－34(x －1)2＋3(0≤x ≤3)，当x ＝0时，y ＝2.25，也就是说，水管的长应为2.25 m.四、课堂小结 本节知识点如下：一般地，抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的形状相同，位置不同，把抛物线y ＝ax 2向上(或下)向左(或右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k .平移的方向和距离要根据h 、k 的值来确定．抛物线y ＝a (x －h )2＋k 有如下特点：(1)当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下； (2)对称轴是x ＝h ； (3)顶点坐标是(h ，k )．第5课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的方法． 【过程与方法】使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法；让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解并掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．【情感、态度与价值观】鼓励学生思维多样性，发展学生的创新意识． 重点难点 【重点】用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标．【难点】理解并掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标． 教学过程 一、问题引入1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？(函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象的开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标是(2，1)．) 2．函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系？(函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的．)3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质？(当x <2时，函数值y 随x 的增大而增大；当x >2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1.)二、新课教授问题1：我们知道，像y ＝a (x －h )2＋k 这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h ，k )，二次函数y ＝12x 2－6x ＋21也能化成这样的形式吗？师生活动：教师引导学生回忆二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的相关性质及配方知识． 学生积极回忆二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的相关性质及配方知识． 学生积极展示探究结果，教师评价． 配方可得： y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x －6)2＋3由此可知，抛物线y ＝12x 2－6x ＋21的顶点坐标是(6，3)，对称轴是x ＝6.问题2：你能画出二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象吗？分析：由以上问题的解决，我们已经知道函数y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x －6)2＋3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．根据这些特点，可以采用描点作图的方法作出函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象，通过观察图象进而得到这个函数的性质．师生活动：教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象．学生回忆画图的步骤，动手画图，相互比较．教师对学生的作品进行评价，对于画得好的学生要加以鼓励，激发学生的学习热情． 解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值：(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点； (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象．与同学分享作图过程．说明：(1)列表时，应根据对称轴是x ＝6，以6为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值．相应的函数值是相等的；(2)直角坐标系中，x 轴、y 轴的长度单位可以任意定，且允许x 轴、y 轴选取的长度单位不同．要根据具体问题选取适当的长度单位，使画出的图象美观．问题3：观察函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象，它具有哪些性质？师生活动：教师引导学生观察二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象．学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识． 对函数y ＝12x 2－6x ＋21来说：当x <6时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >6时，函数值y 随x 的增大而增大； 当x ＝6时，函数取得最小值，最小值y ＝3.问题4.以上介绍的都是给出一个具体的二次函数来研究它的图象与性质．那么，对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bz ＋c (a ≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标呢？你能把结果写出来吗？师生活动：教师留给学生足够的思考、探究时间．学生联系上述处理问题的办法，试着对y ＝ax 2＋bx ＋c 进行配方． 师生共同完成配方过程，分享成功． y ＝ax 2＋bx ＋c＝a (x 2＋bax )＋c＝a [x 2＋b a x ＋(b 2a )2－(b2a )2]＋c＝a [x 2＋b a x ＋(b 2a )2]＋c －b 24a＝a (x ＋b2a )2＋4ac －b 24a当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下． 对称轴是x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b24a )．三、课堂小结因此，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b 2a ，顶点的坐标是(－b 2a ，4ac －b24a)．第6课时 二次函数表达式的确定教学目标【知识与技能】使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法；使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法．【过程与方法】体会数学在生活中的作用，培养学生的动手操作能力． 【情感、态度与价值观】让学生体验二次函数的关系式的应用，提高学生对数学重要性的意识． 重点难点 【重点】已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的关系式．【难点】已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式．根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式．教学过程一、问题引入1．一次函数的表达式是什么？如何求出它的表达式？(一次函数的表达式y ＝kx ＋b ，只需知道一次函数图象上两个点的坐标，利用待定系数法求出系数k 、b .)2．已知二次函数图象上的几个点的坐标，可以求出这个二次函数的表达式？ 本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式．(板书)二、新课教授问题1：如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的表达式吗？如果能，求出这个二次函数的表达式．解：设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由已知函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝10，a ＋b ＋c ＝4，4a ＋2b ＋c ＝7，解这个方程组，得：a ＝2，b ＝－3，c ＝5. 所求二次函数的表达式是y ＝2x 2－3x ＋5.归纳1：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式，关键是求出a 、b 、c 的值．由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出三个待定系数a 、b 、c 就可以写出二次函数的表达式．问题2：已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式．分析：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 通过配方可得y ＝a (x －h )2＋k 的形式称为顶点式，(h ，k )为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y ＝a (x －8)2＋9，由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值．归纳2：如果知道抛物线的顶点坐标(h ，k )，可设函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，只需要再找一个条件求出a 的值即可．三、典型例题【例1】 有一个二次函数，当x ＝0时，y ＝－1；当x ＝－2时，y ＝0；当x ＝12时，y＝0.求这个二次函数的表达式．解：设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，4a －2b ＋c ＝0，14a ＋12b ＋c ＝0.解方程组，得a ＝1，b ＝32，c ＝－1.。
沪科九年级数学上册《二次函数的图象和性质》(第2课时)课件
y=x2-1的图象
❖ y=x2+1开口向上，对称 轴为y轴，顶点是（0、1）。
❖ y=x2-1开口向上，对称 轴为y轴，顶点是（0、-1）。
画 的图出象函数。y=-12 x2 y=- 12(x+1)2与y=- 12(x-1)2
抛物线y=- 1(x+1)2的开口方向是__向__下_，对称 轴是_x__=_-_1，2顶点坐标是_（__-_1_,_0_） 抛物线y=- 1(x-1)2的开口方向是_向___下，对称轴 是___x_=__1_，2顶点坐标是__（__1_,_0_）_。
在同一坐标系中，画出函数：
y=- 1x2 y=- x12-1 y=- (x1+1)2-1的图象。
2
2
2
函数y=a(x-h)2+k的特点：
1、a>0时，开口向上；a<0时，开口向 下；
2、对称轴是直线x=h;
3、顶点坐标是（h，k）.
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
沪科版九年级数学上册《二次函数图象与性质》(第二课时)课件
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
归纳： 如果 a＞0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； 如果 a＜0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
3．巩固练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
问题4 类比 a＞0 时的研究过程，画图研究当 a＜0 时，二 次函数 y = ax2 的图象特征．
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题5 你能说出二次函数 y = ax2 的图象特征和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
归纳： 一般地， 抛物线 y = ax2 的对称轴是 y 轴， 顶点是 原点． 当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最 低点； 当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最 高点． 对于抛物线 y = ax2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越 小．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题3 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x 2，y 2x2
2
的图象，这两个函数的图象与函数 y = x2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象有什么特点？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
（1） y 3x2； 开口向上、y 轴、原点．
（2） y3x2； 开口向下、y 轴、原点． （3） y 1 x 2 ； 开口向上、y 轴、原点．
3 （4） y 1 x2．开口向下、y 轴、原点．
3
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y
O -4 -2
-2
y - 12（x+1）2
-4 -6
-8
2 4x
y - 12（x-1）2
状元成才路
状元成才路
知识点2 二次函数y = a(x+h)2 的图象和性质
开口方向
y - 12（x+1）2 下 y - 12（x-1）2 下
对称轴
x=-1 x=1
顶点坐标
（-1,0） （1,0）
相同点：开口方向相同、形状相同。
C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位
状元成才路
状元成才路
4.对于任意实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2( A )
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点相同
D.都有最高点
5.抛物线y= 2 x2向左平移3个单位所得抛物线是( A )
3
A.y= 2 (x+3)2
3
2
B.y= 3 (x-3)2
状元成才路
随堂演练
基础巩固
1.抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向 右 平移 2 个 单位得到．
2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是 向下 ，顶点坐标 是（1，0），对称轴是 x=1 .
3.要得到抛物线y= 1 (x－4)2，可将抛物线y= 1 x2(
3
3
C
)
A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位
状元成才路
第2课时 二次函数y=a(x+h)2的 图象和性质
沪科版九年级数学上册
状元成才路
状元成才路
新课导入
问题:说说二次函数y=ax2+k的图象的特征.
状元成才路
二次函数y = ax2 +k的图象和性质: ?y = a(x+h)2 状元成才路
a的符号
a>0
a<
k>0 图象
k<0
开口方向 对称轴 顶点坐标
2
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)说明该函数图象与二次函数y＝ 1 x2的图象的关系；
2
(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x 的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?
状元成才路
状元成才路
解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶
y
1 2
x2
y
点坐标为（3，0）.
记作x=-1
x=1
y
O y - 12（x-1）2
-4 -2
2 4x
-2
-4
不同点：对称轴、顶点坐标发生了改变。
-6
y - 12（x+1）2
-8
状元成才路
状元成才路
抛物线y
-
12（x+1）2，y
-
12（x-1）2与抛物线y
-
1 2
x
2有什么关系？
观察图象可发现： 到移抛1把物个抛线单物位y 线就-12（得y x到+-121）抛x22 ;物把向线抛左物y平线-移12（y 1x--个121）x2单2.向位右就得平 -4
C.y= 2 (x+3)2
D.y= 2 (x-3)2
3
3
状元成才路
状元成才路
6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=- 1 (x+2)2； （2）y=3(x-1)2.
4
解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为（-2，0）. （2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为（1，0）.
函数的增减性
状元成才路
最值
向上
y轴（直线x=0） （0,k）
当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大.
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0） （0,k）
当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
状元成才路
推进新课
知识点1 二次函数y = a(x+h)2 的图象的画法
状元成才路
综合应用 状元成才路
7.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，
分别指出两个图象之间的相互关系．
y
y = 2(x-2)2
y = 2x2
解：图象如图. 函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象 向右平移2个单位得到.
O2
x
状元成才路
状元成才路
拓展延伸 8.在直角坐标系中画出函数y＝ 1 (x-3)2的图象．
y
O y - 12（x-1）2
-2
2 4x
-2
-4
所以，y -12（x-1）2的图象还可以由抛物线
-6 -8
y -12（x+1）2 向右 平移 2 个单位得到.
y - 12（x+1）2
y
-
1 2
x2
状元成才路
状元成才路
抛物线y = a(x+h)2 与抛物线y=ax2 有什么关系？
y = a(x+h)2 (h＞0) y y = ax2
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
状元成才路
最值
向上
向下
直线 x=-h （-h,0）
直线 x=-h （-h,0）
当x<-h时，y随x增大而减小； 当x<-h时，y随x增大而增大； 当x>-h时，y随x增大而增大. 当x>-h时，y随x增大而减小.
x= -h时，y最小值= 0
x= -h时，y最大值= 0
结论：
抛 物 线 y=a(x+h)2 的 图 象 相 当 于 把 抛 物 线 y=ax2的图象 向左 （h＞0）或 向右 （h＜0）
平移 |h| 个单位.
-h O -h x
y = a(x+h)2 (h＜0)
状元成才路
二次函数y 状元成才路 = a(x+h)2的图象和性质:
a的符号
a>0
a<0
图象
h＜0 h＞0
（2）该函数图象由二次函数y= 1x2的
图象向右平移3个单位得到.
2
4
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，
2
当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3 时，y有最小值，为0.
-4 -2 O -2
y 12（x-3）2
2 4x
状元成才路
状元成才路
课堂小结
复习y=ax2+k
探索y=a(x+h)2 的图象及性质
然后描点画图：
-1 0 -2 -0.5
12
0 -0.5
y
O -4 -2
-2
y - 12（x+1）2
-4 -6
-8
1 2… -2 -4.5 … 3 4… -2 -4.5 …
2 4x
y - 12（x-1）2
状元成才路
状元成才路
抛物线 y - 12（x+1）2，y - 12（x-1）2的开口方向、 对称轴和顶点各是什么？
图象的画法
描点法 平移法
y=ax2
图象的特征
平移关系
h＞0，向 左 平移 | h | 个单位 h＜0，向 右 平移 | h | 个单位
状元成才路
开口方向 a>0,开口向上
a<0,开口向下 对称轴
顶点坐标 （-h,0）
直线x=-h
状元成才路
课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
探究 在同一直角坐标系中，画出二次函数y - 1（x 1）2，
2 y - 1（x - 1）2的图象。
2 解：先分别列表：
状元成才路
x
… -4 -3 -2 -1 0
状元成才路
y - 12（x+1）2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5
x
… -2
y - 12（x-1）2 … -4.5
状元成才路