微分几何课程教学大纲
高等数学A课程教学大纲
《微分几何》课程教学大纲
一、课程基本信息
课程代码：06122001
课程名称：微分几何
英文名称：Differential Geometry
课程性质：限选
适用专业：数学与应用数学
开课学期：春期
总学时：34
总学分：2
课程简介：微分几何是数学与应用数学专业的基础课, 内容包括曲面论、曲线论、活动标架法、整体微分几何初步。本课程的教学目的是使学生掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础，同时培养学生直观分析能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，培养其理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
本课程主要教学内容是曲线的切向量与弧长、曲率与扰率、Frenet标架与Frenet公式、曲线的局部结构、曲线论基本定理、曲面的表示、切向量、法向量、旋转曲面、直纹面与可展曲面、曲面的第一基本形式与内蕴量、曲面的第二基本形式、曲面上的活动标架与基本公式、Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线、法曲率、主方向、主曲率与曲率线、Gauss曲率和平均曲率、曲面的局部结构、Gauss映照与第三基本形式、全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面、曲面论基本定理、测地曲率与测地线、向量的平移、曲面上的Gauss-Bonnet公式、向量场与孤立奇点的指标、球面的刚性、极小曲面中的Bernstein定理、完备曲面与Hopf-Rinow定理等等。
课程英文描述：Differential geometry is a basic course of applied mathematics subject. The content includes surface theory, curve theory, method of moving frames, and introduction to global geometry. The purpose of this course is to introduce the students to some basic geometrical concepts, and to some common methods in the study of curves and surfaces, so as to lay the foundation for the further study of modern geometry. Meanwhile it is contented to cultivate their intuitive analysis capabilities, the ability to solve geometric problems by analysis, algebra and other tools, and to develop the ability to conform theory with practice, so as to develop the skill to analyze and solve problems.
最新复旦大学微分几何教学大纲
复旦大学微分几何教
学大纲
微分几何教学大纲(Differential Geometry)
*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。
**考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。
微分几何
深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲（2006年10月重印版）
课程编号
课程名称微分几何
课程类别综合选修
教材名称微分几何
制订人陈冬梅
审核人杨和平
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
二、教学内容
三、课时分配及其它
《微分几何》课程教学大纲
《微分几何》课程教学大纲
一、课程信息
课程名称：微分几何
Differentia1Geometry
课程代码：06S1022B
课程类别：专业选修课
适用专业：数学与应用数学专业（师范类）
课程学时：45学时（理论35,实践10）
课程学分：2.5学分
修读学期：第6学期
先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程
二、课程目标
微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。
（一）具体目标
通过本课程的学习，使学生达到以下目标：
1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7]
陈维桓微分几何教学大纲
微分几何》课程教学大纲、课程基本信息
二、课程内容及基本要求
第一章为预备知识。要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。了解曲线的参数化，正则曲线，弧长的概念。会熟练地计算曲线的曲率、挠率。掌握运用Frenet 标架和Frenet 公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的基本方法。了解曲线论基本定理的内容和证明方法。
第三章介绍曲面的第一基本形式。掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。能熟练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角（共形）对应的概念。掌握可展曲面的定义和分类定理。
第四章介绍曲面的第二基本形式。能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。掌握法曲率、高斯映射和Weingarten 变换的概念。了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。能计算曲面的主曲率，确定对应的主方向。了解Dupin 标形和曲面的局部近似形状。了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。
第五章介绍曲面论基本定理。了解曲面的Gauss-Codazzi 方程。会计算Christoffel 符号和Riemann 曲率。了解曲面论基本定理的内容。掌握Gauss 定理的内容及其应用。
第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville 公式。了解测地线的局部短程性、测地平行坐标系和测地极坐标系，运用测地坐标系证明具有相同常曲率的曲面相互等距。了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。掌握Gauss-Bonnet 公式的内容。
微分几何教学大纲
微分几何教学大纲一、引言
背景介绍
目标概述
二、课程介绍
2.1 课程目标
2.2 课程重点
2.3 课程难点
2.4 课程适用对象
三、教学内容
3.1 基础知识讲解
3.1.1 点、线、面的定义与性质
3.1.2 向量代数
3.1.3 空间坐标系
3.2 曲线与曲面
3.2.1 参数方程与向量值函数
3.2.2 曲线的切线与法线
3.2.3 曲面的切平面与法线
3.3 微分几何的基本概念
3.3.1 曲线的弧长与切向量
3.3.2 曲面的面积与法向量
3.3.3 曲率与曲率圆
3.4 光滑曲线与曲面
3.4.1 光滑曲线的性质
3.4.2 光滑曲面的性质
四、教学方法
4.1 理论讲解
4.1.1 以概念为核心，讲解基本知识
4.1.2 结合示例，深入理解概念与定理 4.1.3 引导学生进行逻辑推理与证明
4.2 实践操作
4.2.1 利用数学软件进行图像绘制与计算 4.2.2 解决实际问题，提高应用能力
4.3 互动讨论
4.3.1 引导学生提出问题，进行讨论 4.3.2 促进学生之间的合作与交流
4.4 实例分析
4.4.1 分析典型问题，培养解题思维
4.4.2 提供真实案例，激发学习兴趣
五、教学评价
5.1 课堂小测验
5.1.1 阶段性测试，检验基础掌握情况 5.1.2 题型包括选择题、填空题等
5.2 实验报告
5.2.1 学生完成相关实验，撰写报告 5.2.2 采用标准评分体系进行评价
5.3 课程论文
5.3.1 学生独立完成课题研究
5.3.2 评价论文的创新性和逻辑性
六、参考教材
6.1 《微分几何导论》
6.2 《微分几何与曲面建模》
6.3 《微分几何引论》
201411281-微分几何A-教学大纲
微分几何A课程教学大纲
一、课程基本信息
课程编号：201411281
课程中文名称：微分几何A
课程英文名称：Differential Geometry A
课程性质：专业选修课
开课专业：数学与应用数学
开课学期：7
总学时：36（其中理论36学时）
总学分：2
二、课程目标
讲授微分几何中最基础的部分——三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论，通过这部分的基础学习，使学生能够基本了解微分几何这门课程的实质：用向量函数来描述曲线与曲面，通过微分的思想来研究向量函数，从而从另一个角度来研究曲线与曲面的形态。并且可以通过课堂的学习，能够培养出运用课堂上所教授的新方法进一步自学微分几何的后面的近代内容的自学能力。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）
(1)要求学生对三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论基础知识应该掌握得扎实一些；
(2)要求学生具备由向量分析过渡到张量分析，通过课堂的学习，可以运用课堂上所教授的新方法可以进一步自学微分几何的近代内容的能力；
(3)要求学生了解这门学科对自然科学中其他学科的影响，能够初步达到用理论知识解决实际问题的素质。
四、教学内容与学时分配
教学内容：
讲授微分几何中最基础的部分——三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论，通过这部分的基础学习，使学生能够基本了解微分几何这门课程的实质：用向量函数来描述曲线与曲
面，通过微分的思想来研究向量函数，从而从另一个角度来研究曲线与曲面的形态。学时分配：
1 曲线论（14学时）
1.1 向量函数（3学时）
1.2 曲线的概念（3学时）
1.3 空间曲线（6学时）
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲
课程名称：《微分几何》
课程编码：074112303
适用专业及层次：数学与应用数学（本科）
课程总学时：72学时
课程总学分：4
一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质
微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：
通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：
本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求
第一章曲线论
教学要点：
本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题
《微分几何》教学大纲09
《微分几何》课程教学大纲
一、教学大纲说明
（一）课程的地位、作用和任务
《微分几何》是本科数学与应用数学（教师教育）专业的专业选修课程之一。通过本课程的学习，要求掌握三维空间的曲线和曲面的局部理论以及向量分析研究曲线与曲面的基本方法,培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打下基础。
本课程要求掌握微分几何的基本内容和研究方法。
（二）课程教学的目的和要求：
《微分几何》是本科数学与应用数学专业的专业必修课程之一。学习及考试重点是空间曲线的基本三菱形、曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他们所表示的曲面的内蕴性质、外蕴性质以及可展曲面和测地线。本课程的主要目的是培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打好基础，使之具备一定的科学研究能力，并独立攥写小论文。
要求学生
掌握：曲线的概念，空间曲线，一般螺线，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，直纹曲面和可展曲面，曲面论的基本定理。
理解：贝特朗曲线，曲面上的测地线
了解：常高斯曲率的曲面。
（三）课程教学方法与手段
采用理论与习题相结合的教学方法。
（四）课程与其它课程的联系
本课程是后续专业课，它需要具备解析几何、数学分析、微分方程等课程的基本知识、基本理论，和与本课程平行开设拓扑学有一定联系。本课程是学生将来进行专业学习时学习整体微分几何、微分流形等课程的基础；又是现代实、复分析的重要基础。
（五）教材与教学参考书
教材：梅向明、黄敬之，《微分几何 (第三版)》，高等教育出版社，2003年12月
参考书： 1、梅向明、黄敬之，《微分几何》，人民教育出版社
微分几何课程教学大纲
“微分几何”课程教学大纲
英文名称：
课程编号：
学时：学分：
适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）
先修课程：数学分析、高等代数与几何
使用教材及参考书：
维恒著，《微分几何初步》，北大
梅向明著，《微分几何》
虞言林著，《微分几何》
一、课程性质、目的和任务
本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。
二、教学基本要求
本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。
三、教学容及要求
第一章预备知识
标架
向量值函数
第二章曲线论
参数曲线
曲线的弧长
曲线的曲率和标架
挠率和公式
曲线论基本定理
曲线在一点的标准展开
平面曲线
重点掌握：曲线的标架及公式
第三章曲面的第一基本形式
曲面的定义
切不面及切向量
曲面的第一基本形式
曲面上正交参数曲面网的存在性
保长对应和保角对应
可展曲面
重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。
第四章曲面的第二基本形式
第二基本形式
法曲率
映射和映射
主方向和主曲率的计算
标形和曲面在一点的近似展开
某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。第五章曲面论基本定理
自然标架的运动公式
曲面一唯一性定理
曲面论基本议程
曲面的存在定理
定理。
重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的在计算（定理）。第六章测地曲率和测地线
测地曲率和测地挠率
测地线
测地坐标系
常曲率曲面
向量场的平行移动
公式
重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。
微分几何教学大纲
《微分几何》课程教学大纲
一课程说明
1.课程基本情况
课程名称：微分几何
英文名称：Differential Geometry
课程编号：2411233
开课专业：数学与应用数学
开课学期：第5学期
学分/周学时：3/3
课程类型：专业方向选修课
2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）
微分几何是以数学分析为主要工具研究空间形式的一门学科，是几何学的一个分支，是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，也是应用性很强的一门数学课。
3．本课程的教学目的和任务
微分几何是用微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面的形状，找出决
定曲线和曲面形状的不变量系统。本课程主要介绍微分几何中的最基础部分--—
欧氏空间中曲线和曲面的局部理论，处理上采用Frenet标架与双参数活动标架
法这种有力的工具，讨论欧氏空间中曲线和曲面的局部性质。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。通过这门课程的学习，使学生掌握这门课程的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生应用微积分和线性代数处理几何问题的能力，培养几何直观和图形想象能力，从具体到抽象的能力，为进一步学习现代微分几何打下扎实的基础。
5．教学时数及课时分配
二教材及主要参考书
1.梅向明，黄敬之编，《微分几何》[第三版]，北京：高等教育出版社，2003.12。主要参考书：
2.吴大任，《微分几何讲义》，高等教育出版社。
3.陈维桓等，《微分几何讲义》，北京大学出版社。
4.陈维桓，《微分几何初步》，北京大学出版社。
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“微分几何”课程教学大纲
英文名称：
课程编号：
学时：学分：
适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）
先修课程：数学分析、高等代数与几何
使用教材及参考书：
陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社
梅向明著，《微分几何》
虞言林著，《微分几何》
一、课程性质、目的和任务
本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。
二、教学基本要求
本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。
三、教学内容及要求
第一章预备知识
标架
向量值函数
第二章曲线论
参数曲线
曲线的弧长
曲线的曲率和标架
挠率和公式
曲线论基本定理
曲线在一点的标准展开
平面曲线
重点掌握：曲线的标架及公式
第三章曲面的第一基本形式
曲面的定义
切不面及切向量
曲面的第一基本形式
曲面上正交参数曲面网的存在性
保长对应和保角对应
可展曲面
重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。
第四章曲面的第二基本形式
第二基本形式
法曲率
映射和映射
主方向和主曲率的计算
标形和曲面在一点的近似展开
某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。第五章曲面论基本定理
自然标架的运动公式
曲面一唯一性定理
曲面论基本议程
曲面的存在定理
定理。
重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的内在计算（定理）。第六章测地曲率和测地线
测地曲率和测地挠率
测地线
测地坐标系
常曲率曲面
向量场的平行移动
公式
重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。
大纲制定者：李洪军执笔
大纲审定者：陈红斌
大纲批准者：张胜利
大纲校对者：李洪军
“数学分析”课程教学大纲
英文名称：
课程编号：
课程类型：必修课
学时：学分：
适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生
先修课程：高中数学
使用教材及参考书：
．陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社。
．张筑生主编，《数学分析新讲》，北京大学出版社，年
．
一、课程性质、目的和任务
本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。
二、教学基本要求
要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到清晰、推严密、运算准确，并且了解分析学的基本要领及物理、几何意义，学会应用这些基本理论及方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。
三、教学内容及要求
第一章集合、映射与函数
重点掌握：集合、映射与函数的概念，函数的表示，函数的复合运算。
第二章序列极限
重点掌握：序列极限的定义与性质，敛散性判定的单调有界原理。
了解：区间套定理及柯西收敛准则。
第三章函数极限与连续
重点掌握：函数极限的定义与性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上连续函数的性质，无穷小量与无穷大量的定义与性质。
了解：一致连续函数概念，无穷大（小）量阶的概念。
第四章微分、导数
重点掌握：微分与导数的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。
第五章利用导数研究函数
重点掌握：微分中值定理，洛比达法则，泰勒公式，利用导数作函数图象、分析并作图。了解：平面曲线的曲率，弧长的微分及计算。
第六章不定积分
重点掌握：不定积分的定义及性质，不定积分的计算。
第七章定积分的定义，存在的条件，可积函数，定积分的性质，定积分的计算，定积分的应用。
了解：微分方法概念。
第八章欧氏空间与多元函数
重点掌握：维欧氏空间定义，中点集的拓朴及基本性质，多元函数的概念，多元函数的极限与连续性概念与性质。
了解：连续与紧性，连续与连通性等概念。
第九章多元函数的微分学
重点掌握：偏导与全微分的概念，复合函数偏导数的链式法则，一阶微分形式的不变性，微分运算法则。
了解：高阶偏导数和高阶全微分，泰勒公式。
第十章多元函数微分学的应用
重点掌握：方向导数、梯度的定义与计算，曲线的切线与曲面的切平面议程，极值与条件极值概念与计算。
了解：陷函数的重积分
第十一章多元函数的重积分
重点掌握：重积分的概念与积分的性质，二重积分及三重积分的计算，柱面坐标与球面坐标。了解：重积分在物理上的应用。
第十二章曲线积分与曲面积分
重点掌握：第一类曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二类曲线积分与曲面积分的定义及计算。
了解：它们的几何或物理意义及应用。
第十三章：各种积分间的联系
重点掌握：格林公式，曲线积分和路径的无关性，高斯公式，斯托克司公式。
第十四章广义积分
重点掌握：无穷区间上广义积分的概念及收敛性的判别法，无界函数的广义积分的概念及收敛性的判别法。
第十五章数项级数
重点掌握：无穷级数及其收敛性的概念，收敛级数的基本性质，正项级数、任意项级数及其收敛性判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数的性质。
了解：广义积分与级数的关系，上极限与下极限概念。
第十六章函数项级数、幂级数
重点掌握：函数项级数的概念，一致收敛的定义，一致收敛级数的性质，幂级数概念，收敛半径，幂级数的性质，函数的幂级数展开。
了解：逼近定理。
第十七章傅里叶级数
重点掌握：傅里叶级数的要领及其收敛性判别法，任意周期的傅里叶展开及其复数形式，基本三角函数系，狄利克雷积分，黎曼引理，傅里叶变换。
第十八章实数理论
重点掌握：上、下确界的概念，实数的基本定理及其证明（包括区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有界覆盖定理等），闭区间上连续函数的性质，一致连续性定理及其证明。
第十九章含参变量的积分
重点掌握：含参变量的积分的概念及计算。
第二十章含参量的广义积分
重点掌握：含参变量的广义积分的概念，一致收敛的定义，一致收敛积分的性质及判别法，欧拉积分。
了解：阿贝尔判别法、狄立克莱判别法，Γ函数、β函数，含参变量积分与函数逼近问题。
第二十一章场论初步
重点掌握：场的概念，场的表示法，向量场的通量、散度和高斯公式，向量场的环量和旋度。了解：保守场与势函数。
第二十二章节外微分形式与斯托克司公式
重点掌握：反对称的κ重线性函数，κ次微分形式，外微分，微分形式的变量替换，高斯定理，斯托克司公式。掌握外微分形式与斯托克司公式。
了解：流形与流形上的积分。
四、学时分配