微分几何课程教学大纲

“微分几何”课程教学大纲英文名称：课程编号：学时：学分：适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社梅向明著，《微分几何》虞言林著，《微分几何》一、课程性质、目的和任务本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。

二、教学基本要求本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。

三、教学内容及要求第一章预备知识标架向量值函数第二章曲线论参数曲线曲线的弧长曲线的曲率和标架挠率和公式曲线论基本定理曲线在一点的标准展开平面曲线重点掌握：曲线的标架及公式第三章曲面的第一基本形式曲面的定义切不面及切向量曲面的第一基本形式曲面上正交参数曲面网的存在性保长对应和保角对应可展曲面重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。

第四章曲面的第二基本形式第二基本形式法曲率映射和映射主方向和主曲率的计算标形和曲面在一点的近似展开某些特殊曲面。

重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。

第五章曲面论基本定理自然标架的运动公式曲面一唯一性定理曲面论基本议程曲面的存在定理定理。

重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的内在计算（定理）。

第六章测地曲率和测地线测地曲率和测地挠率测地线测地坐标系常曲率曲面向量场的平行移动公式重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。

大纲制定者：李洪军执笔大纲审定者：陈红斌大纲批准者：张胜利大纲校对者：李洪军“数学分析”课程教学大纲英文名称：课程编号：课程类型：必修课学时：学分：适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生先修课程：高中数学使用教材及参考书：．陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社。

．张筑生主编，《数学分析新讲》，北京大学出版社，年．一、课程性质、目的和任务本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。

二、教学基本要求要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。

通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到清晰、推严密、运算准确，并且了解分析学的基本要领及物理、几何意义，学会应用这些基本理论及方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。

三、教学内容及要求第一章集合、映射与函数重点掌握：集合、映射与函数的概念，函数的表示，函数的复合运算。

第二章序列极限重点掌握：序列极限的定义与性质，敛散性判定的单调有界原理。

了解：区间套定理及柯西收敛准则。

第三章函数极限与连续重点掌握：函数极限的定义与性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上连续函数的性质，无穷小量与无穷大量的定义与性质。

了解：一致连续函数概念，无穷大（小）量阶的概念。

第四章微分、导数重点掌握：微分与导数的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。

第五章利用导数研究函数重点掌握：微分中值定理，洛比达法则，泰勒公式，利用导数作函数图象、分析并作图。

了解：平面曲线的曲率，弧长的微分及计算。

第六章不定积分重点掌握：不定积分的定义及性质，不定积分的计算。

第七章定积分的定义，存在的条件，可积函数，定积分的性质，定积分的计算，定积分的应用。

了解：微分方法概念。

第八章欧氏空间与多元函数重点掌握：维欧氏空间定义，中点集的拓朴及基本性质，多元函数的概念，多元函数的极限与连续性概念与性质。

了解：连续与紧性，连续与连通性等概念。

第九章多元函数的微分学重点掌握：偏导与全微分的概念，复合函数偏导数的链式法则，一阶微分形式的不变性，微分运算法则。

了解：高阶偏导数和高阶全微分，泰勒公式。

第十章多元函数微分学的应用重点掌握：方向导数、梯度的定义与计算，曲线的切线与曲面的切平面议程，极值与条件极值概念与计算。

了解：陷函数的重积分第十一章多元函数的重积分重点掌握：重积分的概念与积分的性质，二重积分及三重积分的计算，柱面坐标与球面坐标。

了解：重积分在物理上的应用。

第十二章曲线积分与曲面积分重点掌握：第一类曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二类曲线积分与曲面积分的定义及计算。

了解：它们的几何或物理意义及应用。

第十三章：各种积分间的联系重点掌握：格林公式，曲线积分和路径的无关性，高斯公式，斯托克司公式。

第十四章广义积分重点掌握：无穷区间上广义积分的概念及收敛性的判别法，无界函数的广义积分的概念及收敛性的判别法。

第十五章数项级数重点掌握：无穷级数及其收敛性的概念，收敛级数的基本性质，正项级数、任意项级数及其收敛性判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数的性质。

了解：广义积分与级数的关系，上极限与下极限概念。

第十六章函数项级数、幂级数重点掌握：函数项级数的概念，一致收敛的定义，一致收敛级数的性质，幂级数概念，收敛半径，幂级数的性质，函数的幂级数展开。

了解：逼近定理。

第十七章傅里叶级数重点掌握：傅里叶级数的要领及其收敛性判别法，任意周期的傅里叶展开及其复数形式，基本三角函数系，狄利克雷积分，黎曼引理，傅里叶变换。

第十八章实数理论重点掌握：上、下确界的概念，实数的基本定理及其证明（包括区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有界覆盖定理等），闭区间上连续函数的性质，一致连续性定理及其证明。

第十九章含参变量的积分重点掌握：含参变量的积分的概念及计算。

第二十章含参量的广义积分重点掌握：含参变量的广义积分的概念，一致收敛的定义，一致收敛积分的性质及判别法，欧拉积分。

了解：阿贝尔判别法、狄立克莱判别法，Γ函数、β函数，含参变量积分与函数逼近问题。

第二十一章场论初步重点掌握：场的概念，场的表示法，向量场的通量、散度和高斯公式，向量场的环量和旋度。

了解：保守场与势函数。

第二十二章节外微分形式与斯托克司公式重点掌握：反对称的κ重线性函数，κ次微分形式，外微分，微分形式的变量替换，高斯定理，斯托克司公式。

掌握外微分形式与斯托克司公式。

了解：流形与流形上的积分。

四、学时分配大纲制定者：陈红斌执笔大纲审定者：赫孝良大纲批准者：张胜利大纲校对者：陈红斌“复变函数”课程教学大纲英文名称： { }课程编号：课程类型：必修课（双语）学时：学分：适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：钟玉泉：《复变函数论》，高教出版社。

余家荣：《复变函数论》，高教出版社。

：《》。

<< 〉〉一、课程性质、目的和任务本课程是理科数学专业的基础课之一，通过本课程的学习使学生掌握复变函数论的基本理论和内容与方法，为工程应用打下基础，也为进一步学习与研究多复变函数、复动力系统、复几何等提供必要的预备知识。

二、教学基本要求要求学生熟悉掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算、学会应用本课程的基本理论及方法支解决工程实际提出的问题，并通过对英文版教材的教学与阅读，提高学生的专业外语水平。

三、教学内容及要求第一章平面点集与初等函数重点掌握：复平面上的点集、复变函数概念；复变函数的极限与连续性概念及有关理论；解析函数的概念与柯西一黎曼条件、复变函数的导数与微分、初等解析函数。

了解：复球面与无穷远点，初等多值函数等内容。

第二章全纯函数与柯西积分重点掌握：全纯函数概念，复变函数积分的定义及基本性质、柯西积分定理、柯西积分公式。

了解：柯西型积分，解析函数与调合函数的关系，平面向量场一解析函数的应用。

第三章解析函数的幂级数表示法重点掌握：复级数的基本性质，幂级数及其敛散性，解析函数的泰勒展式及罗朗展式。

了解：解析函数零点孤立性及唯一性定理。

第四章奇点与留数重点掌握：解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质，留数及留数定理与计算实积分。

了解：整函数与亚纯函数概念，平面向量场——解析函数的应用；辐解原理。

第五章共形映射重点掌握：解析变换的特性，线性变换，某些初等函数所构成的共形映射。

第六章解析延拓重点掌握：解析延拓与幂级数延拓概念，透弧解析延拓，对称原理。

了解：完全解析函数及黎曼面概念，多角形式域的共形映射。

第七章黎曼定理与正规族了解：黎曼定理与正规族的概念。

大纲制定者：陈红斌执笔大纲审定者：赫孝良大纲批准者：张胜利大纲校对者：陈红斌“常微定性稳定性方法”课程教学大纲英文名称：课程编号：课程类型：必修学时：学分：适用对象：理学院数学类四年级本科生先修课程：数学分析、高等代数、常微分方程使用教材及参考书：教材：马知恩、周义仓，微分方程定性稳定性方方法，科学出版社，北京，。

参考书：张芷芬等，微分方程定性理论，科学出版社，北京，。

廖晓晰，稳定性的理论方法和应用，华中理工大学出版社，。

, ,. , .一、课程性质、目的和任务本课程的目的是让学生学会常微分方程定性稳定性的基本理论和方法，尝试用这些理论和方法解决一些实际问题。

二、教学基本要求要求学生掌握的存在唯一性、解对初值和参数的连续依赖性、稳定性概念、方法、奇点分析、极限环、全局结构方面的研究方法及理论。

三、教学内容及要求．基本理论：解的存在唯一性定理（用压缩映像原理证明），解的延拓定理，保证解可以延拓到无穷的条件；解对初值和参数的连续依赖性（仅叙述定理）；自治系统的基本性质（平移、轨线不相交、解对时间的可加性）；等价自治系统的无限延拓；动力系统的基本知识简介：定义、极限集合及性质、不变集合、轨线分类、平面动力系统的主要特征、极限环的分类。

．稳定性概念与二次型：基本概念、扰动系统和未扰动系统、各种稳定性和不稳定性定义；函数概念、定号函数和常号函数及其几何意义、无限小上界概念；类函数概念，用类函数给出定号函数与无穷小上界的等价定义；二次型正定函数、判据、次其次函数的定号问题、加高次项的情形；变系数二次型的定号条件。

．第二方法：稳定性的基本定理（第二方法、稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定、指数稳定）及其几何解释；不稳定定理及其推广，从定理到定理，不变性原理及其应用；非自治系统的比较原理及其在稳定性判定中的应用。

．一次近似理论与全局稳定性：指数矩阵；线性系统解的表达式、判定线性系统稳定性的特征根法；判定非线性方程稳定性的一次近似理论；全局稳定性和区域稳定性的有关概念；全局稳定性的基本理论。

．奇点分析：初等奇点及其分类；定理（仅就焦点和正常结点的情形给出证明）、焦点情形的证明；特殊方向与正常区域、正常结点情形的证明；关于拓扑结构不变的定理（仅叙述而不证明）；细焦点概念，中心与细焦点的判别法；高阶奇点、定号的情形、奇异情形、第一、二类判定（仅叙述而不证明）；平面奇点的指数。