线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
线性代数第五章答案
0 0 1
解
| AE|
0 0
1 1
0 0
( 1)2( 1)2
1 0 0
故 A 的特征值为121 341 对于特征值121 由
A E 1100
0 1 1 0
0 1 1 0
1100 ~ 1000
0 1 0 0
0 1 0 0
1000
得方程(AE)x0 的基础解系 p1(1 0 0 1)T p2(0 1 1 0)T 向量 p1 和 p2 是对应于特征值 121 的线性无关特征值向量
第五章 相似矩阵及二次型
1 试用施密特法把下列向量组正交化
(1) (a1, a2, a3) 111
1 2 3
194
解 根据施密特正交化方法
b1 a1 111
b2
a2
[b1,a2] [b1,b1]
b1
011
b3
a3
[b1,a3] [b1,b1]
b1
[b2,a3] [b2,b2]
b2
1 3
211
(2) (a1,
k1a1k2a2 knranrl1b1l2b2 lnrbnr0
记
k1a1k2a2 knranr(l1b1l2b2 lnrbnr)
则 k1 k2 knr 不全为 0 否则 l1 l2 lnt 不全为 0 而
l1b1l2b2 lnrbnr0 与 b1 b2 bnt 线性无关相矛盾
工程数学线性代数课后答案解析同济第五版
1 试用施密特法把下列向量组正交化
(1) (a1, a2, a3) 111
1 2 3
194
解 根据施密特正交化方法
1 b1 a1 11
2 0 0
103
得方程(AE)x0 的基础解系 p2(1 1 0)T 向量 p2 就是对应于特征值21 的特
征值向量
对于特征值39 由
A
9E
8 2 3
2 8
3
333
~
1 0 0
1 1 0
1201
得方程(A9E)x0 的基础解系 p3(1/2 1/2 1)T 向量 p3 就是对应于特征值39 的 特征值向量
单位化得
p2
(
2 3
,
13,
2 )T 3
对于34, 解方程(A4E)x0 即
022
2 3 2
042
x1 x2 x3
0
得特征向量(2 2 1)T
单位化得
p3
(
A
E
1 5 1
1 2 b
321~r 100
0 1 0
101
知 R(AE)2 所以齐次线性方程组(AE)x0 的基础解系只有一个解向量 因此 A
天津理工大学线代课后答案第五章
姓名
学号
一。填 空题
第五章 特 征值与特征向量
1.矩 阵
特征值为^卩 。′^扌。F对 应的特征向量为
: ∶ )的
k廴[|l
2.已 知 3阶 矩 阵 Ⅱ 的 特 征 值 分 别 为 1,△ ,2,则 |Ⅱ|=二 三
9
3.已 知 刀阶矩阵/有 一个特征值 兄,则 ^~必
4.已 知 3阶 矩 阵 /的 特 征 值 分 别 为 1,2,3,则
∧ 砥 "和
司汹△;f1巾
= ( l ' o ' . l\J= 9.若 三 阶 方 阵 彳 有 一 个 特 征 值 为 -2,属 于 它 的 特 征 向 量 有 尼
-
e<= (g'-('-17
v(,-t(''
'2=G,⒉
「 Φ ,则
/rO厂
6厂 9r〓
t·
(0′
v· F丿
A4 = >A(,-ia ('^
是 /丬 的一个特征值。
|/3-5/2+7刈
A’-少 冯·{l^冫 扌 ,
=止
。 亿 亻u13'⒉
、3
5.已 知 3阶 矩 卩牢 /的 特 征 值 分 别 为 1, :,0,
B = 3 A 7- 2 A +4 E , f rl f' )l= | o o ..
线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
前言
解肖斌
因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学 线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。
第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）2
22111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y
y
x y x +++. 解 （1）=---3
811411
02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
=416824-++-=4-
（2）=b
a c a c
b c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=
（3）=2
221
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=
（4）y
x y x x y x y y
x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
工程数学线性代数课后答案__同济第五版
l1b1l2b2lnrbnr0
与b1b2bnt线性无关相矛盾
因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量
8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2
证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则
（A23A2E）x2x3x2x(232）x0
解因为｜A｜12（3）60所以A可逆故
A＊｜A｜A16A1
A＊3A2E6A13A2E
令()61322则（1)1(2)5（3)5是（A）的特征值故
|A＊3A2E｜｜6A13A2E｜｜(A)｜
(1）(2)(3）15（5）25
13设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相
似
证明取PA则
P1ABPA1ABABA
(AB)xx
于是B(AB）xB（x)
或BA(Bx)（Bx）
从而是BA的特征值且Bx是BA的对应于的特征向量
11已知3阶矩阵A的特征值为123求|A35A27A|
解令(）3527则（1）3（2）2（3）3是（A）的特征值故
｜A35A27A||（A)|(1)(2)（3)32318
12已知3阶矩阵A的特征值为123求|A*3A2E｜
(1）求关系式 中的矩阵A
解由题意知
xn1xnqynpxn（1p）xnqyn
线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题
1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵：
(1)⎩⎨⎧==01
1y x x ； (2)
⎩⎨
⎧+=-=ϕϕϕ
ϕcos sin sin cos 1
1y x y y x x
2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.
3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=150421321
B ，求3AB -2A 和A T B .
4. 计算
(1) 2
210013112⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
(2) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1)1,,(2
1
22212
11211y x c b b b a a b a a y x
5. 已知两个线性变换3213
32123
11542322y
y y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪
⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,
并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E .
当f (x )=x 2
-5x +3，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).
7. 举出反例说明下列命题是错误的.
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答
1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：
(1) ;1332⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-- 解：,0731
3
3
2
2=--=--=
-λλλλλA I
2
37
3,237321-=+=
λλ ,00
13
36
37
123712
137
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T
-
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T
,00
13
36
37
12371237
12⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T
+
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T
(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
解：2)2)(1(2
11
121
13--==------=-λλλλ
λλ A I
所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ
所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
线性代数(王定江)第5章答案
R 2 的一个子空间.
2. 证明: 等价的两个向量组生成同一个向量空间. 证明: 设向量组 A : α1 , α 2 , L, α m 和向量组 B : β1 , β 2 , L, β n 等价, 则存在系数矩阵 C1 和 C2 使得
(α1 , α 2 , L, α m ) = ( β1 , β 2 , L, β n ) C1 , ( β1 , β 2 , L, β n ) = (α1 , α 2 , L, α m ) C2 .
1 2 1 5 1 2 1 5 r3 + r1 →0 1 1 2 (α1 , α 2 , α 3 , β ) = 0 1 1 2 −1 0 0 −2 0 2 1 3 1 0 −1 1 1 0 0 2 1 0 0 2 r1 − r3 − r3 → 0 1 1 2 → 0 1 0 1 →0 1 0 1 , r2 + r3 0 0 −1 −1 0 0 1 1 0 0 −1 −1
r1 + 2 r2 r3 + r2
1 0 0 −27 −71 −41 →0 1 0 9 20 9 , 0 0 1 4 12 8
− r2 − r3
−27 −71 −41 所以由基 α1 , α 2 , α 3 到基 β1 , β 2 , β3 的过渡矩阵为 20 9 9 4 12 8 1 −139 −27 −71 −41 1 （2） γ = ( β1 , β 2 , β3 ) 1 = (α1 , α 2 , α 3 ) 9 20 9 1 = (α1 , α 2 , α 3 ) 38 , 1 4 12 8 1 24
《线性代数》(第二版)智能教学系统 习题解答 第五章A组题
第五章
二 次 型
习 题 五
〔A 〕
1、写出以下二次型的矩阵
〔1〕),,(321x x x f =32312
221242x x x x x x -+-；
〔2〕),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。
解：〔1〕因为
),,(321x x x f =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01211020
2⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,
所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---01211020
2。
〔2〕因为
),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛01
0110010001
1110
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛4321x x x x ，
所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛01
0110010001
111
0。
2、写出以下对称矩阵所对应的二次型：
〔1〕⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛
---
-
22
2
12021
212
11； 〔2〕⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---121210
2102112121
12101210。
解：〔1〕设T 321),,(x x x X =，那么
),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
---
-
22
2
12021
212
11⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛321x x x =3231212
32142x x x x x x x x -+-+。
〔2〕设T 4321),,,(x x x x X =，那么
线性代数第五章习题答案
综合 (5.1) 式和 (5.2) 式得
λ2 p = 3λp − 2p, 即 (λ2 − 3λ + 2)p = 0.
而特征向量 p = 0, 所以
λ2 − 3λ + 2 = 0.
解得
λ = 1 或 2.
得证 A 的特征值只能取 1 或 2. 另证. 设 λ 是 A 的特征值, 则 λ2 − 3λ + 2 是 A2 − 3A + 2E 的特征值1 . 则存在非零向量 p 使
1 3 −2 3 1 3
故正交化后得:
.
(b1 , b2 , b3 ) = 1 1 (2) 由施密特正交化方法得 0 b1 = a1 = −1 , 1 1
−3 [b1 , a2 ] 1 , b2 = a2 − b1 = [b1 , b1 ] 3 2 1
9 . 设 A 为正交阵, 且 |A| = −1, 证明 λ = −1 是 A 的特征值.
证明: 即需证明 λ = −1 满足特征方程 |A − λE | = 0, 即 |A + E | = 0. 因为
|A + E | = A + AT A = E + AT |A| = − AT + E = − (A + E )T = − |A + E | , (|A| = −1) (A 为正交阵)
线性代数第五章答案
线性代数第五章答案
第五章相似矩阵及二次型
1. 试用施密特法把下列向量组正交化:
(1)
=931421111) , ,(321a a a ;
解根据施密特正交化方法,
==11111a b ,
-=-=101]
,[],[1112122b b b a b a b ,
-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
(2)
---=011101110111) , ,(321a a a .
解根据施密特正交化方法,
-==110111a b ,
-=-
=123131],[],[1112122b b b a b a b , ?
-=--
=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵:
(1)
---1
21312112131211;
解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.
(2)
------979494949198949891.
解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.
3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为
H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为
H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.
(完整版)线性代数习题集带答案
第一部分 专项同步练习
第一章 行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351
2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)
k n -2
! (D)k n n --2)1(
3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.
(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n
4．
=0
00100100
1001
000( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
5.
=0
00110000
0100
100( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
6．在函数1
3232
111
12)(x x x
x
x f ----=
中3x 项的系数是( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2
1
33
32
31
232221
131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32
3133
31
2221232112
111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若
a a a a a =22
2112
11，则
=21
11
2212ka a ka a ( ).
(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-
9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为
自考线性代数第五章特征值与特征向量习题
第五章 特征值与特征向量
一、单项选择题 1．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛30
0013001120
1111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 2．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A ．31
α B ．5
1α C ．
9
1α D ．
25
1α 3．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是
（ ）
A ．⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛4101
B ．⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--4101
C ．⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--4201
D ．⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---4201
4.下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A.⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10001000
1
B.21⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡110011101
C.⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--θθθθ
cos sin sin cos
D.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-
-336
102233660336122
5．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ）
A ．A
B ．A E -
C ．A E --
D ．A
E -2 6.设矩阵A =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ）
A.（1，1，1）T
B.（1，1，3）T
C.（1，1，0）T
D.（1，0，-3）T
7.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ
3 =
（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
8.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1
线性代数第五章(答案)
第五章 相似矩阵及二次型
一、 是非题（正确打√，错误打×）
1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何
),1(r k k ≤≤向量组k
αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. (√)
2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. (√)
3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. (√)
4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. (√)
5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. (√)
6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. (×) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. (×) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . (√) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式).
(√)
11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. (×) 12. T A 与A 的特征值相同. (√)
13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. (×) 14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B
有相同的特征值. (√)
15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. (√)
东北大学线性代数第五章课后习题详解 特征值与特征向量
基本教学要求：
1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量.
2.了解相似矩阵的概念和性质.
3.了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法.
4.会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.
第五章矩阵的特征值与特征向量
一、矩阵的特征值与特征向量(P107)
1. 定义
定义5.1 设A为n阶矩阵，如果存在数λ0和非零向量ξ，使得
Aξ=λ0ξ， (5.1) 则称λ0是A的特征值，ξ是A的属于特征值λ0的一个特征向量.
特征值与特征向量的含义：
非零向量ξ使Aξ=λ0ξ
⇔(λ0E-A)x=ο有非零解ξ
⇔det(λ0E-A)=0
⇔λ0是方程det(λE-A)=0的根
定义5.2设A为n阶矩阵，称行列式det(λE-A)为矩阵A的特征多项式，det(λE-A)=0为矩阵A的特征方程.
易见，若A=diag(λ1,λ2,…,λn)，则λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值.
2. 求特征值与特征向量的步骤
步骤1：计算A的特征多项式det(λE-A)；
步骤2：因式分解det(λE-A)，求出全部特征值λ1,λ2,…,λn；
步骤3：解齐次线性方程组(λi E-A)x=ο(i=1,2,…,n)，求属于λi的特征向量.
例5.1(例5.1 P 108) 例5.2(例5.2 P 109)
两例说明，不同的矩阵可以有完全相同的特征值.
例5.3(例5.3 P 110) 这是一种类型题
3. 特征值与特征向量的性质(P 110)
性质5.1 设λ1,λ2,…,λn 是n 阶矩阵A 的全部特征值，则
n
n
ii
i i 1
i 1
a
线性代数同步练习册—苏州大学
20000
0
7
8
0
0
5.
求矩阵A =
0
5
6
0
0
的逆矩阵.
0 0 0 1 2
00035
3 1 −1
6.
求矩阵A
=
1
1
1 的逆矩阵.
12 2
27
010
1 −1
7.
已知矩阵方程X
=
AX +B ,其中A
=
−1
1
1
,
B
=
2
0
,求X.
−1 0 −1
5 −3
28
第四章 矩阵的进一步讨论（3）
29
第五章 向量组与解空间（2）
33
习题课（2）
37
第五章 向量组与解空间（3）
41
第三章 行列式（1）
45
第三章 行列式（2）
49
复习课（1）
53
复习课（2）
57
1本文档利用科学工作平台Scientific WorkPlace V5.5配置的PDFLATEX进行排版， 并且利
用MuPAD V3.1进行有关的运算。
.
2. 设矩阵A = 1 1 ,则rank(A) =
.
2 −1
020
3.
已知3阶矩阵A的秩为2,
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第五章 相似矩阵与二次型
§5-1 方阵的特征值与特征向量
一、填空题
1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝
2(1)(2)λλλ--
2.设0是矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=a 01020101A 的特征值，则=a 1
3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2
32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。
5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ⋅⋅⋅（共n 个） 二、选择题
1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例
2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1
A -有一个特征值等于
（ C ）
A 、2；
B 、-2;
C 、
12; D 、-1
2
; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ）
A 、充分条件；
B 、充要条件;
C 、必要条件;
D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
解：A 的特征多项式为12(3)(1)2
1A E λλλλλ
--==-+-
故A 的特征值为123,1λλ==-.
当13λ=时，解方程()30A E x -=.
由221132200r
A E --⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
:
得基础解系111p ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量.
当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
:
得基础解系211p -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量.
2.100020012B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
解：B 的特征多项式为
2100020(1)(2)0
1
2B E λ
λλλλλ
--=
-=---
故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=.
由000010010001011000r B E ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
:
得基础解系1100p ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，故1(0)kp k ≠是11λ=的全部特征向量.
当232λλ==时，解方程()20B E x -=.
由1001002000010010000r
B E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系2001p ⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
，
故2(0)kp k ≠是232λλ==的全部特征向量.
四、设α为n 维非零列向量，证明：α是矩阵T
αα的特征向量， 并求α对应的特征值.
证明：因为()(),
0T
T
T
αααααααααα==≠；
所以，α是矩阵T
αα的特征向量，α对应的特征值为T αα。
五、设A 为n 阶方阵，
1.当2A E =时，求A 的特征值；
2.当m
A O =时，求A 的特征值，其中m 为正整数. 证明：1. 设A 的特征值为λ，则,0Ax x x λ=≠， 所以，2
2
()()(),0A x A Ax A x Ax x x λλλ====≠
又因为2
A E =，所以，2
2
,011x x x λλλ=≠⇒=⇒=±
即当2
A E =时，A 的特征值为1或-1。 2. 设A 的特征值为λ，则,0Ax x x λ=≠， 所以，1
11()(),0m
m m m m A x A
Ax A x A x x x λλλ---=====≠L
又因为m
A O =，所以，0,000m
m
x x λλλ=≠⇒=⇒=
即当m A O =时，A 的特征值为0。
§5-2相似矩阵
§5-3对称矩阵的相似矩阵
一、填空题
1.若ξ是矩阵A 的特征向量，则 1
P ξ- 是1P AP -的特征向量. 2.若A,B 相似，则||||A B -= 0
3.已知20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
相似，则x = 0 ，
y = 1
4.若λ是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于λ的线性无关的特征向量 不对 （对，不对）；如果A 是实对称矩阵，则结论 对（对，
不对）.
二、选择题
1.n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ） （A ）互不相同的特征值； （B ）互不相同的特征向量； （C ）线性无关的特征向量； （D ）两两正交的特征向量.
2.方阵A 与B 相似，则必有（ B D ）
（A ）E A E B λλ-=- （B ）A 与B 有相同的特征值 （C ）A 与B 有相同的特征向量 （D ）A 与B 有相同的秩 3. A 为n 阶实对称矩阵，则（ ACD ）
（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B ） ||0A >
（C ）A 必有n 个两两正交的特征向量； （D ）A 的特征值均为实数.
三、设100021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，试求一个可逆矩阵P 使得1
P AP -为对角阵，
并求m
A .
解：先求A 的特征值和特征向量.
21000
21(1)(3)0
1
2E A λλλλλλ
--=-=---
故A 的所有特征值为1233,1λλλ===. 当13λ=时，解方程()30A E x -=.