2018年春北师版数学九年级下册3.8 圆内接正多边形

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北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案

北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版数学九年级下册第3.8节的内容。

本节主要让学生了解圆内接正多边形的性质，并会运用这些性质解决一些简单问题。

教材通过引入正多边形和圆的关系，引导学生探究圆内接正多边形的性质，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了正多边形的性质，对正多边形的对称性、边角关系等有了一定的了解。

但学生对圆内接正多边形的性质可能较为陌生，需要通过实例和操作来逐步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的性质。

2.学会运用圆内接正多边形的性质解决一些简单问题。

3.培养学生的观察、思考和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质。

2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和合作学习法。

通过提出问题，引导学生观察、思考和讨论，从而得出结论。

同时，通过案例分析和合作学习，让学生在实践中掌握圆内接正多边形的性质。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的圆内接正多边形图片，如足球、奖杯等，引导学生关注这些现象，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们与圆有什么关系？”2.呈现（10分钟）呈现圆内接正多边形的定义，并通过动画展示圆内接正多边形的形成过程。

同时，引导学生观察和总结圆内接正多边形的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个圆内接正多边形，观察并记录其性质。

然后，各组汇报讨论结果，师生共同总结圆内接正多边形的性质。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用圆内接正多边形的性质解决问题。

教师及时给予解答和指导，确保学生掌握所学知识。

5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，如设计一个圆内接正多边形的图案，让学生思考如何应用圆内接正多边形的性质解决问题。

北师大版九年级数学下册第三章3.8_圆内接正多边形(共28张PPT)

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒ 证明:(1〕∵AB=BC=CD=DE=EA，
A
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵B⌒CE=⌒CDA⌒=3AB，
1
B2
5E
∴∠1=∠2，同理∠2=∠3=∠4=∠5，
3
4
C
D
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
〔2〕连接OA，OB，OC，那么 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
P B Q
C
A
T
E O
S
D R
又∵A⌒B=⌒BC， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
A
求证：正五边形的对角线相等
B
E
C
D
怎样找圆的内接正三角形？ A
D
怎样找圆的外切正三角形？
H
B
C
A
D
怎样找圆的内接正方形？
E
0
G 怎样找圆的外切正方形？
B
C
怎样找圆的内接正n边形？
F
怎样找圆的外切正n边形？
【例题】
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距OD=1 R.
A
2
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,

3.8 圆内接正多边形(教案)-北师大版数学九下

第8节圆内接正多边形1.了解圆内接正多边形的概念及相关概念.2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.3.会用尺规作圆的内接正多边形.学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.1.通过合作交流、探索、实践培养学生的主体意识.2.通过学习,体验数学与生活的紧密联系,感受圆的对称美,正多边形与圆的和谐美,从而更加热爱生活,珍爱生命.【重点】掌握圆内接正多边形的性质并能加以熟练运用.【难点】用尺规作圆内接正多边形.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习勾股定理和垂径定理等相关知识.2.圆规、直尺.导入一:如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,图中的多边形是什么图形?它与圆的内接三角形有什么相同之处吗?学生分析:图中的多边形是正六边形,它与圆的内接三角形一样顶点都在圆上.【问题】它有哪些性质?它又是如何画出来的呢?[设计意图]利用类比的方法,使学生初步感知圆内接多边形的模型,利用学生急于知道答案的心理设计问题,增加了它的神秘感,更加激发了学生的求知欲望.导入二:如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?【师生活动】学生利用直尺和圆规动手操作,进行画图,教师巡视,对于发现的问题及时予以纠正,学生完成后与同伴交流,然后教师出示课件,供学生参考.让学生说出自己发现的结论,师生共同订正.【问题】六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?[设计意图]在教学中创设问题情境,激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣.通过学生的作图活动,使学生明确这节课的学习任务,利于学生集中精力学习重点内容.[过渡语]前面我们探究了圆内接三角形的概念及性质,和圆有关的其他多边形又有什么样的特征呢?课件出示:如图所示:【问题】1.你能从这四幅图中找出多边形吗它们都是几边形?2.它们都是什么样的多边形?3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?【学生活动】学生观察,与同伴交流,思考后得出结论.【教师点评】每个多边形的边长都相等,所以它们都是正多边形,并且这些正多边形的顶点都在圆上.1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边形?正六边形?2.如何作圆内接正n边形?【活动方式】分组活动,全班分成四个组分别作四种图形.【师生活动】学生思考后讨论,教师巡视,并参与到学生的讨论中去.然后学生作出圆的内接正多边形.请代表发言,说出他们的作法.【教师点评】利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法:课件出示:如图所示,五边形ABCDE是☉O的内接五边形.【活动方式】让学生通过图形,结合课本,自己了解圆内接正五边形的相关概念.【教师点评】圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径,∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.[设计意图]学生经历观察、猜想、操作的过程,逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法,并利用类比推理的方法得到其性质,提高了学生解决问题的综合能力.[知识拓展]正n边形的性质:1.正n边形的每个中心角都相等,都等于;2.正n边形的每个外角都相等,都等于;3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.课件出示:如图所示,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.〔解析〕在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中,利用勾股定理进行解决是解题的关键,而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.解:连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠COD==60°.∴△COD为等边三角形,∴CD=OC=4.在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2,∴OG===2.∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2.[设计意图]此例是教材上的例题,紧扣这堂课的知识点,重点是对基础知识的巩固,并在巩固重点之余又培养了灵活应用能力.[知识拓展]特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:正多边形图形边长、半径、边心距之比正三角形2∶2∶1正四边形2∶∶1正六边形2∶2∶[过渡语]前面我们已经掌握了利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法,你能用尺规作圆内接正多边形吗?课件出示:【做一做】你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?教师引导学生思考下面的问题:1.通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆的半径有什么关系.2.你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半径的关系利用尺规进行作图了吗?【学生活动】学生首先独立作图,然后小组交流,代表展示.【教师点评】利用尺规作圆内接正多边形的思路还是等分圆.以作圆内接正六边形为例.作法:(1)作☉O的任意一条直径FC.(2)分别以F,C为圆心,以☉O的半径R为半径作弧,与☉O相交于点E,A和D,B.(3)顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,便得到正六边形ABCDEF.[设计意图]操作性强又富有挑战性的数学活动,有利于激发学生的学习兴趣,掌握尺规作图的【想一想】你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?你是怎么做的?与同伴进行交流.【学生活动】学生自己独立完成.代表说出作法:作一个☉O,取☉O直径为AB,作AB的垂直平分线交☉O于C,D,顺次连接A,C,B,D,四边形ACBD即为☉O的内接正四边形.[设计意图]通过动手操作不但提高了学生的作图能力,还进一步巩固了本节课所学的知识,一举两得.1.圆内接正多边形的概念及相关概念.2.圆内接正多边形的性质.3.圆内接正多边形的尺规作法.1.如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等于()A.30°B.45°C.55°D.60°解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.故选B.2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4mm解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,AM=MC,∵AB=6mm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3,∴AC=2AM=6(mm).故选C.3.(2014·南京中考)如图所示,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠BAD=.解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD,OB,则∠DOB=×360°=144°,∴∠BAD=∠DOB=72°.故填72°.4.(2014·江西中考)如图所示,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2,则∠BAC的度数为.解析:连接OB,OC,作OD⊥BC于D,如图所示,∵OD⊥BC,∴BD=BC=×2=,在Rt△OBD中,OB=OA=2,BD=,∴cos∠OBD==,∴∠OBD=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC=∠BOC=60°.故填60°.5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.解:∵正六边形的外接圆的半径等于边长,∴正六边形的边长=2cm;正六边形的周长l=6×2=12(cm);正六边形的面积S=6××2×=6(cm2).8圆内接正多边形1.圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.2.正n边形的性质:(1)正n边形的每个中心角都相等,都等于;(2)正n边形的每个外角都相等,都等于;(3)正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.一、教材作业【必做题】1.教材第98页随堂练习.2.教材第99页习题3.10第1,2,3题.【选做题】教材第99页习题3.10第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A.6,3B.3,3C.6,3D.6,32.(2014·天津中考)正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是()A. B.2 C.3 D.23.(2014·德阳中考)半径为1的圆内接正三角形的边心距为.4.如图所示,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(-1,0),则点C的坐标为.【能力提升】5.(2014·玉林中考)蜂巢的构造非常美丽、科学,如图所示的是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC 是直角三角形的个数有()A.4个B.6个C.8个D.10个6.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为.7.如图所示,已知正方形ABCD的边心距OE=cm,求这个正方形外接圆☉O的面积.8.作已知圆的内接正八边形.9.如图①所示,有一个宝塔,它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②所示),点O为中心.(下列各题结果精确到0.1m)(1)求地基的中心到边缘的距离;(2)已知塔的墙体宽为1m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6m的观光通道,那么塑像底座的半径最大是多少?【拓展探究】10.小敏在作☉O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:(1)作☉O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图(1)所示;(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连接BD,如图(2).若☉O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是()A.BD2=ODB.BD2=ODC.BD2=ODD.BD2=OD【答案与解析】1.B(解析:如图所示,∵正方形的边长为6,∴AB=3,又∵∠AOB=45°,∴OB=3.∴AO==3.故选B.)2.B(解析:如图所示,∵正六边形的边心距为,∴OB=,又AB=OA,OA2=AB2+OB2,∴OA2=+()2,解得OA=2.)3.(解析:如图所示,△ABC是☉O的内接等边三角形,OB=1,OD⊥BC.∵等边三角形的内心和外心重合,∴OB平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴∠BDO=90°,又∵OB=1,∴OD=.)4.(解析:连接OE,由正六边形是轴对称图形知:在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=1.∴GE=,OG=,∴E,∴C.)5.C(解析:如图所示,AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形,AB是斜边时,点C共有2个位置,即有2个直角三角形.综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个.故选C.)6.(解析:如图所示,连接OB,OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O的面积为2π,∴☉O的半径为.∵△ABC为正三角形,∴∠BOC==120°,∠BOD=∠BOC=60°,OB=,∴BD=OB·sin∠BOD=·sin60°=,∴BC=2BD=,又OD=OB·cos∠BOD=·cos60°=,∴△BOC的面积=·BC·OD=××=,∴△ABC的面积=3S=3×=.)△BOC7.解:如图所示,连接OC,OD,∵圆O是正方形ABCD的外接圆,∴O是对角线AC,BD的交点,∴∠ODE=∠ADC=45°,∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=45°,∴OE=DE=,由勾股定理得OD==2,∴这个正方形外接圆☉O的面积是π·22=4π.答:这个正方形外接圆☉O的面积是4π.8.作法:(1)画任意一条直径;(2)把直径看做一个平角作其角平分线,把平角分成两个直角,再作每个直角的角平分线;(3)将角平分线反向延长在圆上得到八等分点;(4)顺次连接即得正八边形.9.解:(1)作OM⊥AB于点M,连接OA,OB,则OM为边心距,∠AOB是中心角.由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°.又AB=×26=5.2,∴AM=2.6,∠AOM=36°,在Rt△AMO中,边心距OM==≈3.6(m).答:地基的中心到边缘的距离约为3.6m.(2)3.6-1-1.6=1(m).答:塑像底座的半径最大约为1m.10.C(解析:如图所示,连接BM,根据题意得OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,∵OA的垂直平分线交OA于点M,∴OM=AM=OA=,∴BM==,∴DM=,∴OD=DM-OM=-=,∴BD2=OD2+OB2===OD.)利用现实生活中的素材,使学生产生一种亲切感,有效激发学生的求知和探索的欲望,取得了极佳的效果.本节课由于知识比较简单,所以前三个探究活动都完全要给学生去处理,老师要相信学生,他们完全有能力完成这些探究任务,事实证明学生完成得非常出色;对于第四个利用尺规作圆内接正多边形的探究,对部分学生来说有一定难度,教师重点在于引导学生弄清楚尺规作图的依据和方法,千万不能越俎代庖,直接告诉学生利用尺规作圆内接正多边形的方法,这样只能解决现实问题,不利于学生后面探究过程的顺利进行.本节课设计的探究活动比较多,并且还拓展了一部分知识,所以时间略显紧张.对于拓展的内容,再讲时可以酌情减少一些内容或放到课下留给学生探究.随堂练习(教材第98页)解:如图所示,△ABC是☉O的内接正三角形,OB=6cm,OD⊥B C.∵正三角形的内心和外心重合,∴BO平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴BD=DC,又∵OB=6cm,∴OD=3cm,BD=3cm,则BC=6cm.习题3.10(教材第99页)1.解:∵剪去三个三角形,得到正六边形,∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形,且被剪的正三角形的边长为6,∴得到正六边形的边长为=2.如图所示,正六边形的边长HK =2,∠HOK ==60°,∵OH =OK ,∴△HOK 是等边三角形,∴OH =HK =2.∵OM ⊥HK ,∴∠HOM =30°,OM =OH ·cos 30°=2×=,S △HOK =HK ·OM =×2×=,∴S 正六边形=6S △HOK =6.∴这个正六边形的面积为6.2.解:边长为6cm ,边心距为3cm ,面积为72cm 2.3.解:各边相等的圆内接四边形是正方形.各角相等的圆内接四边形不一定是正方形,也可能是矩形.4.解:(1)如图(1)所示,连接OB ,过O 作OD ⊥BC 于D ,则∠OBC =30°,BD =OB ·cos 30°=r ,故a =BC =2BD =r.如图(2)所示,连接OB ,OC ,过O 作OE ⊥BC 于E ,则△OBE 是等腰直角三角形,2BE 2=OB 2,即BE =r ,故b =BC =r.如图(3)所示,连接OA ,OB ,过O 作OG ⊥AB ,则△OAB 是等边三角形,AG =OA ·sin 30°=r ,故c =AB =2AG =r.(2)以a ,b ,c 为边可以构成直角三角形.因为(r )2+r 2=3r 2,(r )2=3r 2,所以(r )2+r 2=(r )2.5.可以得到一个“五角星”的图案,图略.1.由于本节课的知识比较简单,所以可以让学生通过自主探究掌握大部分内容,运用观察、猜想的方法可以得出圆内接正多边形的概念.2.利用类比圆内接正五边形的方法可以总结出圆内接正多边形的中心角、边心距等相关概念.3.利用转化的思想把正多边形的问题转化为直角三角形的问题是进行圆内接正多边形的计算的重中之重,是求中心角、边心距、半径的关键所在.4.动手操作、掌握方法则是探究尺规作圆内接正多边形的根本,要重点掌握.有一个亭子,它的地基是半径为8m 的正六边形,求地基的周长和面积.〔解析〕连接OB ,OC 求出∠BOC 的度数,再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长;过O 作△OBC 的高OG ,利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG 的长,利用三角形的面积公式即可解答.解:连接OB ,OC.∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠BOC ==60°,∴△OBC 是等边三角形,∴BC =OB =8m ,∴正六边形ABCDEF 的周长=6×8=48(m ).过O 作OG ⊥BC 于G ,∵△OBC 是等边三角形,OB =8m ,∴∠OBC =60°,∴OG =OB ·sin∠OBC =8×=4(m ),∴S △OBC =BC ·OG =×8×4=16(m 2),∴S 六边形ABCDEF =6S △OBC =6×16=96(m 2).。

北师大版九年级数学下册第三章8圆内接正多边形

⑤正n边形的中心角αn= 360? ,且与每一个外角相等.
n
其中正确的命题有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 A ①正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个圆是同心圆, 圆心是正多边形的中心,故①正确;②各边相等的圆外切多边形的各内角不一定相等,故不一定是正多边形,如菱形,故②错误;③圆内接矩形的各内角相等,但不是正多边形,故③错误;④边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形,而边数是奇数的正多边形只是轴对称图形,不是中心
2.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20 cm2,则正八边
形的面积为
cm2.
答案 40 解析如图,连接AD、HE,分别交BG、CF于点O、P、M、N, 则△ABO,△CDP,△EFN,△HGM均为全等的等腰直角三角形,四边形 BCPO、四边形GFNM为全等的矩形. 设正八边形的边长为a cm,
初中数学（北师大版）
九年级下册
第三章圆
知识点一圆内接正多边形顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正
多边形的外接圆. 把一个圆n(n≥3)等分,依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正n边形. (1)相关定义:
名称中心
半径中心角边心距
概念
图形
ห้องสมุดไป่ตู้
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
1.正六边形的边心距与边长之比为 ( ) A. 3 ∶3 B. 3 ∶2 C.1∶2 D. 2 ∶2
答案 B 如图,设正六边形ABCDEF的边长为2a,O为正六边形的中心,连接OA、OB,作OM⊥AB于M, ∴△OAB是等边三角形, ∴OA=OB=AB=2a,AM=BM=a. 在Rt△OAM中,由勾股定理可得OM= 3 a, 则正六边形的边心距与边长之比为OM∶AB= 3 a∶2a= 3 ∶2,故选B.

北师大版数学九年级下册第三章 3.8 圆内接正多边形

M O A E B C D3.8圆内接正多边形班级姓名一、学习目标（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.二、学习重点和难点重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题三、学习过程（一）学习新知：1.正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n ≥3)条边，就叫正n 边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．2.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形. 这个圆叫做该正多边形的外接圆.3.把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.4.如图，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心；OA 是这个正五边形的半径；AOB ∠是这个正五边形的中心角；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义.（二）学以致用：例1：如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.练习：半径为6的圆内接正三角形的边长为，边心距为 .（三）操作：1.用尺规作一个已知圆的内接正六边形.（学习课本P98做一做）2.用尺规作一个已知圆的内接正四边形.（四）知识巩固：1.判断⑴各边相等的多边形是正多边形（）⑵各角相等的多边形是正多边形（）⑶正十边形绕其中心旋转36°和本身重合（）2.填空⑴正多边形都是对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是对称图形，又是对称图形。

九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形教案 (新版)北师大版

圆内接正多边形一、教学目标（1）掌握正多边形和圆的关系；（2）理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；（3）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；（4）会运用多边形知和圆的有关知识画多边形. 二、教学重点和难点重点：掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.难点：正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题三、教学过程（一）情境引入：多媒体出示正多边形和圆组合的美丽图案（二）学习新知：1.正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n ≥3)条边，就叫正n 边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．2.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形. 这个圆叫做该正多边形的外接圆.3.把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.4.如图，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心；OA 是这个正五边形的半径；AOB ∠是这个正五边形的中心角；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义.（三）学以致用：例1：如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.小结：例2：1、用尺规作一个已知圆的内接正六边形.2、用尺规作一个已知圆的内接正四边形.3、思考：作正多边形有哪些方法？（四）巩固提升：1.判断⑴各边相等的多边形是正多边形（）⑵各角相等的多边形是正多边形（）⑶正十边形绕其中心旋转36°和本身重合（）2.填空⑴正多边形都是对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是对称图形，又是对称图形。

⑵正十二边形的每一个外角为°每一个内角是°该图形绕其中心至少旋转°和本身重合⑶用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为__ cm⑷正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．⑸正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．⑹若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．⑺正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．3.解答题如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．（1）求证：OP∥CB；（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．。

北师大版九下数学3.8圆内接正多边形知识点精讲

知识点总结知识点1 圆内接正多边形及相关定义顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.把一个圆n等分()，依次连接各分点，我们就可以作出一一个圆内接正多边形.如图，五边形ABCDE是0的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心; OA是这个正五边形的半径;∠AOB是这个正五边形的中心角; OM BC,垂足为M，OM是这个正五边形圆心距。

1.圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆.2.与正多边形有关的概念:(1)正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，(2)正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，(3)正多边形每-边所对的圆心角叫做这个正多边形的中心角.(4)正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距.要点精析:边心距与弦心距的关系:边心距是圆心到正多边形一边的距离，此时的边心距也可以看作正多边形的外接圆中，圆心到多边形的边(即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距;但弦心距不一定是边心距).知识点< 2 > 圆内接正多边形的画法利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.由于正六边形的中心角为60° ,因此它的边长就是其外接圆的半径R.所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形，为了减少累积误差，通常像如图那样，作00的任意一一条直径FC,分别以F，C为圆心，以00的半径R为半径作弧，与0相交于点E, A和D, B则A,B,C, D, E, F 是O0的六等分点，顺次连接AB, BC, CD，DE, EF, FA,便得到正六边形ABCDEF.1.用量角器等分圆:由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可360°以等分圆周，从而得到正多边形，采用“先用量角器画一个的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”，这种方法简便，误差小，且可以画任意正多边形.2.用尺规等分圆:用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，从理论上讲这是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差，3,易错警示:作图时由于忽视累积误差的影响，导致作图不准，应减少累积误差。

北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教学设计

北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教学设计一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版九年级数学下册第3.8节的内容，本节主要让学生了解圆内接正多边形的概念及其性质，学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。

教材通过引导学生在探究圆内接正多边形的过程中，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了多边形的性质，对圆的相关知识也有所了解。

但学生对圆内接正多边形的概念和性质认识尚浅，需要通过实例和证明来加深理解。

此外，学生可能对证明圆内接正多边形性质的方法感到困惑，需要教师引导和启发。

三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的概念及其性质。

2.学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

4.能够运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的概念及其性质。

2.如何证明圆内接正多边形的性质。

3.圆内接正多边形性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、启发引导学生思考和探究圆内接正多边形的性质。

2.示例法：教师通过展示实例，让学生理解圆内接正多边形的性质。

3.证明法：教师引导学生运用已学知识证明圆内接正多边形的性质。

4.练习法：学生通过做练习题，巩固对圆内接正多边形性质的理解。

六. 教学准备1.教学PPT：包含圆内接正多边形的概念、性质、证明方法及实际应用。

2.练习题：针对圆内接正多边形性质的习题，包括选择题、填空题和解答题。

3.教学黑板：用于板书关键点和证明过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。

例如：“我们已经学习了多边形的哪些性质？这些性质如何应用到实际问题中？”2.呈现（10分钟）教师利用PPT呈现圆内接正多边形的概念和性质，让学生初步了解。

同时，通过示例法，展示圆内接正多边形的性质在实际问题中的应用。

2018届北师大版九年级数学下册教案：3.8圆内接正多边形

2018届北师大版九年级数学下册教案：3.8圆内接正多边形
一、教学内容
2018届北师大版九年级数学下册教案：3.8圆内接正多边形。本节课将围绕以下内容展开：
1.圆内接正多边形的定义与性质；
2.探索圆内接正三角形的性质；
3.圆内接正四边形的性质；
4.圆内接正多边形的边长与半径的关系；
5.圆内接正多边形的应用：求解圆的弦长、圆周角等；
5.在小组合作探究中，发展团队合作与交流表达能力，培养数学探究精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握圆内接正多边形的定义及性质，特别是圆内接正三角形和正四边形的性质；
-学会运用圆内接正多边形的性质解决相关问题，如求弦长、圆能应用于实际问题；
-通过实例分析，培养学生空间想象能力和几何图形的识别能力。
举例解释：以圆内接正三角形为例，讲解其三边相等、三角度相等的特点，并引导学生通过画图、计算等方式深入理解这些性质。
2.教学难点
-理解圆内接正多边形边长与半径的关系，以及如何运用这一关系解决具体问题；
-掌握圆内接正多边形中，各角度与圆心角的关系，以及如何通过这一关系求解圆周角；
-在解决实际问题时，能够准确识别图形，并运用所学性质进行推理和论证；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆内接正多边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-对于一些综合性的题目，学生可能难以将问题分解，找到解决问题的关键点。

3.8 圆内接正多边形(课件)九年级数学下册(北师大版)

方法归纳
利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法：把一个圆n等分(n≥3)，
依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．
这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.
拓展：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的
多边形是这个圆的外切正多边形．
二、自主合作，探究新知
以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念．
；

°
2.正n边形的每个外角都相等，都等于
；

°
3.正n边形的每个内角都相等，都等于180°−
．

二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则
∠ADE的度数是
A．60°
C． 36°
A
（C ）
B．45°
B
E
O
D． 30°
C
·
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC；
E
D
(2)分别以F，C为圆心，以R为半径作弧，与
⊙O交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，
.O
F
C
F是⊙O的六等分点；
A
(3)顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得
到正六边形ABCDEF.
B
三、即学即练，应用知识
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则
D
解：如图，作OM⊥AB于点M，连接OA，
OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，
∴ ∠AOM＝36°．

∵ AB＝ ×26＝5.2(m)，∴ AM＝2.6(m)．

九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形教案 (新版)北师大版

九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形课时教案 (新版)北师大版

3.8圆内接正多边形一、教学目标1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．二、课时安排1课时三、教学重点理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系四、教学难点会应用多边形和圆的有关知识画多边形．五、教学过程（一）导入新课你还能举出更多正多边形的例子吗？（二）讲授新课活动内容1：探究1：正多边形正多边形：___________，_____________的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.【想一想】菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？求证：正五边形的对角线相等怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？【定理】把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？【类比联想】正三角形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？正方形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？那么，正n边形呢？探究2：正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.若n为偶数，则其为中心对称图形.活动2：探究归纳【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:外接圆的半径正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。

（三）重难点精讲【例1】把圆分成5等份，求证：⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.证明:(1）∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，∴AB=BC=CD=DE=EA，∵BCE=CDA=3AB，∴∠1=∠2，同理∠2=∠3=∠4=∠5，又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.（2）连接OA，OB，OC，则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.又∵AB=BC，∴AB=BC，∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.∴∠P=∠Q,PQ=2PA.同理∠Q=∠R=∠S=∠T，QR=RS=ST=TP=2PA，∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).【解析】如图，正六边形ABCDEF 的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长在Rt △OPC 中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距m .r =）亭子地基的面积2112441.6(m ).22S lr ==⨯⨯≈（四）归纳小结通过本课时的学习，需要我们掌握：1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边形的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系．（五）随堂检测1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八边形；④正2n （n 为自然数）边形；⑤任意的平行四边形.是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的有_________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的有_________.2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，中心角度数比是______.3.正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做正方形ABCD 的______．4.正方形ABCD 的内切圆⊙O 的半径OE 叫做正方形ABCD 的________．5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是____度，半径是___，边心距是，它的每一个内角是____．6.正n 边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转度,才能与原来的图形位置重合.【答案】1. ①②③④；③④⑤；③④2. 3:4；9:16；3:4；1:13. 中心4. 边心距16. 中心7. 72六．板书设计3.8圆内接正多边形1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边形的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系．例题1：例题2：七作业布置课本P93练习1、2练习册相关练习八、教学反思。

北师大版九年级数学下册第三章《3.8圆内接正多边形》公开课课件(14张)

北师大版九年级下册第三章《圆》
3.8圆内接正多边形
三条边相等，三个角也四条边都相等，四个
相等（60度）。
角也相等（90度）。
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n(n≥3)条
边，那么这个正多边形叫做正n边形。
1、菱形是正多边形吗？矩形呢？正方形呢? 为什么？
E
.. O
D
rR
PC
1、正n边形的一个内角的度数是_（ __n___2） _•_1_8; 0
n
360
中心角是_____n______; ２、正多边形的中心角与外角的大小关系是
____相__等__.
A
D
3、正方形ABCD的外接圆圆心
O叫做正方形ABCD的_中___心___.
.OO
4、正方形ABCD的内切圆的
２、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 4:40:09 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14

北师大版九年级数学下册第三章《3.8圆内接正多边形》公开课课件(14张)

O叫做正方形ABCD的_中___心___.
.OO
4、正方形ABCD的内切圆的
半径OE叫做正方形
ABCD的_边__心__距____.
B EC
５、图中正六边形ABCDEF的中心角是∠AOB 它的度数是 60度
E
D
F
.O
C
A
B
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/42022/5/4May 4, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
根据勾股定理，心可距r得边4222 2 3
亭子的面 S积1Lr1242 22
341.6(m2)
E
.. O
D
rR
PC
1、正n边形的一个内角的度数是_（ __n___2） _•_1_8;0
n
360
中心角是_____n______; ２、正多边形的中心角与外角的大小关系是
____相__等__.
A
D
3、正方形ABCD的外接圆圆心
. F
中心角
O.
半径R
边心距r
ห้องสมุดไป่ตู้
C
正多边形的边心距：
A
B
中心到正多边形的一边的距离.
中心角360 中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOGBOG180 n
..O
R
C
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AGB