5年级数学-数阵
五年级下册数学奥数有趣的数阵图人教版
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
假设重叠数是a、b、c 5+6+7+8+9+10+a+b+c=24×3
45+a+b+c=72 a+b+c=27
8+9+10=27
8 76 9 5 10
2 9 561 3 8 45～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
中间的三个数只加一次， 三个角上的数都加了两次， 有三个数要设字母吗？
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
1
3
2
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
5
36+a+b=42 a+b=6
4
8
7
1+5=6或2+4=6
将1、3、5、7、9、11、13、15这八个数，分别填入图中的 八个○内，使得每个大圆上五个○内数的和都是39。
1+3+5+……+15=64
3
5
1
39×2-64=14
7
9
中间的两个圆圈数重叠一次， 15 13 11
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
数阵图练习题五年级
数阵图练习题五年级数阵图练习题（五年级）在数学学习中，数阵图是一种常见的图形模型，用于表示数字之间的关系。
通过解决数阵图练习题，学生可以提高数学问题的分析和解决能力。
本文将为五年级的学生介绍一些数阵图练习题，帮助他们巩固和拓展数学知识。
练习一：数字排列请观察下面的数阵图，并回答问题。
```7 8 94 5 61 2 3```1. 数阵图中，每一行的和是多少？2. 数阵图中，每一列的和是多少？3. 数阵图中，从左上角到右下角的对角线上的和是多少？4. 数阵图中，从右上角到左下角的对角线上的和是多少？练习二：数阵图填空请根据给出的数字，将空格内的数字填入数阵图中。
```2 + 4 = 6+ 3 = 98 + 11 = ?```练习三：找规律请观察下面的数阵图，并找出其中的规律。
```1 1 1 1 12 4 8 16 323 9 27 81 2434 16 64 256 10245 25 125 625 3125```1. 数阵图中，第一行的数字有什么规律？2. 数阵图中，第二行的数字有什么规律？3. 数阵图中，第三行的数字有什么规律？4. 数阵图中，第四行的数字有什么规律？5. 数阵图中，第五行的数字有什么规律？练习四：数阵图计算请根据下面的数阵图，计算出每个圆圈中的数字。
```× 2 = 8× 5 = 35÷ 4 = 6÷ 7 = 2```结语数阵图练习题能够提高学生的数学分析和解决问题的能力。
通过观察、思考和计算，学生可以发现数字之间的规律，并运用所学的数学知识进行推理和计算。
希望以上的练习题能够帮助五年级的学生提升数学能力，取得更好的学习成果。
五年级下册数学试题-奥数专题训练：第十二讲 数阵图(无答案)全国通用
第十二讲数阵图【知识要点】对某些几何图形，把一些数填入图形中，满足一定的条件，这类问题称为“数阵图”，幻方就是一种特殊的数阵图。
【经典例题】【例1】把1～7七个数字分别填入图中的七个圆圈内,使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等。
【例2】将1～6这六个自然数填入下图中的六个圆圈内，使每条边上三个数的和都相等，并指出这个和所取的值。
【例3】把1～8这八个数分别填入右图的八个○内，使每个圆上五个数的和都等于21。
【例4】把2～8这七个自然数分别填在图中的○内，使得四个三角形的三个顶点处的数之和都等于14。
图中a处应填几？a【例5】把1～9这九个数填入如图所示的九个小三角形中，使得每条边上的五个小三角形内的数的和都相等。
问：这个和的最小值是多少？【例6】将1,2,3,5,6,7这六个数填入下表中使每行中的三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。
【大展身手】1．把1～7这七个数填入图中的〇中，使每条直线上三个数的和都等于14．2．将1～9这九个数填入图中的〇，使每条边上四个数的和都等于17．3．将1～8填在图中的〇中，使每条边上的三个数的和都相等，并求出这个和的取值范围．4．将1～8填在图中的〇中，使大圆上、小圆上、横线上、竖线上四个数的和都相等，而且在大圆上的四个数中最大的数尽可能小．5．在图中的小圆圈内，分别填人1～8这八个数字，使得图中用线段连接的两个圆圈内所填的数字之差(大数减小数)恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字．6．在图中的六个圆圈内，分别填入六个数(可以相同)，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等，问这六个数的乘积是几？7．把1到8这八个数填入图中的正方体的八个顶点的圆圈里，使每个面上的四个圆圈里的四个数之和都等于18．8．如图所示，一个边长为3的正三角形，分成边长为1的九个小三角形，把数字1～9分别填入这几个小三角形中，使得图中：(1)边长为2的正三角形的四个数字之和相等，并求出这个和的最大值和最小值．(2)大三角形每条边上的五个数字的和相等，且这个和最大．9．将1～8这八个数填入图中的几个方格内，使上面4格、下面4格、左边4格、右边4格、中间4格、四角4格、对角线4格内四个数相加的和都是18．10．把1～10这十个自然数填人图中的10个方格中，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等，那么，这个和的最小值是几?11．将1～8填人图中，使每条线段两端的两个数的差不为1．12．在右图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少?。
小学五年级奥数第10讲 数阵(含答案分析)
第10讲数阵一、知识要点填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。
这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。
把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
二、精讲精练【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
练习1：1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
2.把1—9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。
3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
练习2：1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。
2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
第1题第二题第三题【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
练习3：1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。
3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。
第1题第二题第三题【例题4】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
练习4：1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
希望杯小学五年级数学竞赛《数阵问题》专题辅导培训资料导学讲义
数阵问题（一）把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在规定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图。
传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。
有一天，从河里浮出其不意一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”，书上有一幅奇特的图案（见下左图）。
这幅图用现在的数字表示，即为1到9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。
多么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”可“九宫图”，国外称它为“魔方”或“幻方”。
我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。
数阵问题的题型主要有三种：（1）辐射型；（2）封闭型；（3）综合型。
这一讲我们学习三阶幻方和辐射型数阵图。
例题与方法例1．将1～9九个数字填在右图正方形的九个方格中，使得每个横行、竖列和对角线上三个数的和都相等。
例2．用7、9、11、13、15、17、19、21、23构制一个三阶幻方。
例3．下面是一个九宫图，第一行第三列上的数是6，第二行第一列上的数是7，请你在其他位置上填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和为30。
例4．把3、4、5、6、7这五个数分别填入下图中的五个方格里，使横行、竖列三个数的和都是14。
例5．将1～7分别填入右图中的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
例6．把1～9九个数填入“七一”内，使每一横行、竖行的数字和是13。
练习与思考1．按四个填数步骤把4～12这9个数填在右图3×3的格内，制成三阶幻方。
2．用“杨辉法”，将9～17这9个数制成三阶幻方。
3．用11，13，15…，25，27这9个数制一个三阶幻方。
4.用 4,6,8,14,16,18,24,26,28制一个三阶幻方。
5．在图中空格内填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的数的和都为27。
第5题 第6题6．将图中的数重新排列，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。
7．将5，6，7，8，9五个数分别填入图中，使横行、竖行三个数的和都是21。
数阵
数阵数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
一、辐射型数阵例1将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。
20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。
只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。
确定了中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10，便可以了。
通过尝试，可以填为：例2 将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，则a被重复使用了2次。
即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。
由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。
五年级上册数学培优奥数讲义-第23讲 数阵图
第23讲数阵图知识与方法数阵图问题千变万化，需要综合运用各种数学知识来解决问题，而往往同学们喜欢毫无顺序的“瞎试”，本讲要介绍一些通用的方法。
所以，一般是先用公式法分析出重复数，再用尝试法进行试填。
方法一：尝试法：所给的是一个等差数列，并且每条线上的数是奇数个时，中间数只能填最大数、最小数或中间数，因此可以依据这个规律进行尝试。
方法二：公式法：线和×线数＝数字和＋重复数×重复次数初级挑战1将1～7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
思维点拨：观察发现，每条线上的三个数之和相等，而这三条线相交刚好重复了一个数，我们叫做重复数。
除去重复数，三条线上其他两数之和应相等。
1～7中，找出三组和相等的六个数即可，剩下的一个数填中间。
答案：（答案不唯一）能力探索1把1～11分别填入下图的○内，使每条线段上3个○内数的和相等。
答案：中间重复数为1或6或11。
给出一种填法：（答案不唯一）初级挑战2将数字1～8填入图中，使横行方框中的数之和与竖列方框中的数之和相等且为19。
思维点拨：本题的关键在于先确定中间重复数。
横行和竖列的和为19×2＝38，而实际上所有方框中的数之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，38－36＝2，多出来的2正好是中间重复的数。
答案：（答案不唯一）能力探索2将2～8填入下图的方框中，使横行、竖列的和相等且为20。
答案：中间重复数：20×2－（2＋3＋4＋…＋8）＝5。
（答案不唯一）中级挑战1将1～10这十个自然数填入下图的○中，使每个圆上六个数的和为29。
思维点拨：两个大圆圈的和为29×2＝58，而圆圈上所有的数之和为：1＋2＋3＋…＋10＝55，因此中间两个圆圈数（重复数）的和为58－55＝3，而3＝1＋2，由此可先填出中间的两个圆圈数分别为1和2，再两两配对填出其它数即可。
答案：（答案不唯一）把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。
小学数学5年级培优奥数讲义 第09讲-数阵(含解析)
第09讲数阵学会掌握数阵图形的基本分析方法；会运用数阵图的几类解法。
一、数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。
数阵是一种由幻方演变而来的数字图。
二、数阵图的分类封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
三、数阵图的解法(1)辐射型数阵图方法一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数；方法二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1(2)封闭型数阵图公式：线和×线数=数字和+重叠数之和(3)复合型数阵图综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。
考点一：辐射型数阵图例1、把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
典例分析知识梳理学习目标例2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
考点二：封闭型数阵图例1、将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.例2、将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上。
应如何填？例3、把1~9 这9 个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4 个圆内数之和都是23。
考点三：复合型数阵例1：将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
例2：将1～10这十个数填入图中的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23，应怎样填？实战演练➢课堂狙击1、将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)2、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
3、在右图的六个○内各填入一个质数(可取相同的质数)，使它们的和等于20，而且每个三角形(共5个)顶点上的数字之和都相等。
数阵图练习题
数阵图练习题数阵图（Number Grid）是一种用数字组成的图形，在数学教学中常用来培养学生的逻辑思维和解题能力。
下面是一些数阵图练习题，帮助你巩固自己的数学知识和解题技巧。
1. 数阵图中的数列在数阵图中，每个数字都和相邻的数字有一定的关系。
观察下面的数阵图，并找出横向和纵向的数列规律。
```1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 25```横向数列：1, 2, 3, 4, 5纵向数列：1, 6, 11, 16, 21根据观察，我们可以得出结论：横向数列的公差为1，纵向数列的公差为5。
2. 数阵图中的数学运算在数阵图中，数字之间的运算规律也是一种常见的题型。
观察下面的数阵图，并计算出横向和纵向数学运算的结果。
```1 4 9 16 252 6 12 20 303 8 15 24 354 10 18 28 405 12 21 32 45```横向数学运算：1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2 （平方）纵向数学运算：1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2 （平方）根据观察，我们可以得出结论：横向数学运算是计算每个数字的平方，纵向数学运算也是计算每个数字的平方。
3. 数阵图中的缺失数字在数阵图中，有时候会有一些数字缺失。
观察下面的数阵图，并找出其中的缺失数字。
```3 6 9 12 1518 ? 24 27 3033 36 39 42 4548 51 ? 57 6063 66 69 ? 75```根据观察，我们可以得出结论：缺失数字分别为21、54、72。
4. 数阵图中的数学规律在数阵图中，数字之间可能会存在一些数学规律。
观察下面的数阵图，并找出其中的数学规律。
```1 123 58 13 21 34 5589 144 233 377 610987 1597? 4181 6765 10946```根据观察，我们可以得出结论：这是一个斐波那契数列的数阵图。
奥赛起跑线五年级分册-数阵问题
数学奥赛起跑线五年级分册例题及答案第20讲[数阵问题思考与练习(一)](二四为肩,六八为足;上九下一,左七右三.)1.按三个填数步骤把4~12这9个数填在下图(一)3×3的方格内,制成三阶幻方.7 12 5 12 17 10 17 27 13 14 28 66 8 10 11 13 15 15 19 23 8 16 2411 4 9 16 9 14 25 11 21 26 4 18图(一) 图(二) 图(三) 图(四)2.用”杨辉法”,将9~17这9个数制成三阶幻方.(见上图二)3.用11,13,15,……,25,27这9个数制成一个三阶幻方.(见上图三)4.用4,6,8,14,16,18,24,26,28制成一个三阶幻方.(见上图三)5.在下图(五)空格内填上适当的数,使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为27.8 14 614 24 1914 24 196 912 14 24 19 24 19 1413 4 1014 24 1919 14 24图(五) 图(六)6.将上图(六)中的数重新排列,使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等.7.在下图(七)的空格内填入不相等的数,使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.问:图中左上角的数是多少?解:如右图(七),设图中左上角的数是m,相应的方格中数为. x1，x2，x3，x4m x1x2n2n9n4由已知得:m+x1+x2=x1+x3+13(1),m+x3+x4=x2+x4+19(2), x319n7n5n3 (1)+(2)得:2m+x1+x2+x3+x4=13+19+x1+x2+x3+x4．2m=13+19,即m=16. 13x4 n6n1n8图(七) 图(八)8.将九个不同的非零自然数填入九宫图中,使得每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等.(见图八) 解:n2×n9×n4=n(2+9+4) =n15, n7×n5×n3=n(7+5+3) =n15……9.将3,4,5,6,……,18这16个数编制成四阶幻方.(见图九)10.将3,5,7,9,……,33这16个数编制成四阶幻方.(见图十)3 17 16 6 3 31 29 914 8 9 11 25 13 15 1910 12 13 7 17 21 23 1115 5 4 18 27 7 5 33图(九) 图(十)第21讲[数阵问题思考与练习(二)]1.将1~9这九个数填入”七一”的每个小方格内,使每一横行、竖列的数字和都是13.2.将1~7这七个数分别填入右图的O里,使每条线段上3个数的和等于10.3.将1~13这13个数分别填入右图的O内,使每条线段上四个O内的数之和相等.4.将10~20填入右图的O内(其中15已填好),使得每条线段上的三个数之和都相等.5.将1~6这六个数分别填入右力的O内,使每条线段上三个O内所填数的和相等.6.将1~10这十个自然数填入右图的O中,使五边形每条边上的三个数之和相等,并使和尽可能小.7.将1~9这九个自然数分别填入右图九个小三角形中,使每四个小三角形组成的大三角形内的四个数的和等于20.8.将1~9这九个自然数分别填入右图九个小三角形中,要求靠近大三角形每条边的五个数的和相等,并尽可能地大.这五个数之和最大是多少?9.将1~8这八个数填入右图的方格内,使上面四格、下面四格、左面四格、右面四格、中间四格、对角线四格和四角四格内四个数相加的和都是18.10.将1~9这九个自然数填入右图的O内,使对角线上五个O内数的和相等,每个正方形四个顶点上数的和也相等.23 1 9 5 846 7图(一)。
五年级奥数-数阵图与数字谜(含解析)
数阵图与数字谜教学目标1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。
精讲讲练数阵图数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。
【例1】 （2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。
【分析】 由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的三个数的和都加起来，总和应为12336⨯=，在其中，A 、B 、C 各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29-÷=。
【例2】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将112:这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。
【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S ，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S ；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。
所以，6(12312)2S =++++⨯L ，得到26S =，即所求的相等的和为26。
【例3】 （2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 表示110:这10个各不相同的数字。
表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“14G C +=”。
请将表中其它的数全部填好。
C BA【分析】 由于5A F +=，14B F +=，所以1459B A -=-=，所以A 和B 只能是0和9。
因此可以推出：0A =，9B =，6C =，3D =，2E =，5F =，8G =，1H =，4I =，7J =。
可得右下图。
【例4】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入33⨯的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
五年级上册数学奥数试题 数阵图---难度5星 人教版 含答案
--------数阵图(★★★★★)1.学习简单的数阵图；2.学习解决简单的数学问题。
知识结构我们在以前已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。
本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。
我们先从一道典型的例题开始。
(★★★★★)把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。
20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13，于是得到下图的填法。
(★★★★★)在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。
(★★★★★)将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。
分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。
2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。
其余数的填法见右上图。
(★★★★★)在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。
分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。
10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。
(★★★★★)在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。
五年级数学寒假竞赛班第2讲 数阵图
数阵图月日姓名【知识要点】数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形。
分三种形式：1．辐射型数阵数：是指从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和等于一个定数。
2．封闭型数阵图：是批在正n（n≥3）边形的每条边上安放同样多个数，使其和等于一个定数。
3．复合型数阵图：既属于辐射型特征，又属于封闭型特征。
【典型例题】例1 把1～5这5个数分别填在右图中的方格中，使得横行3数之和与竖列3数之和都等于8。
例2 把1～11这11个数分别填入工下图中的各个○内，使每条线段上3个○内数的和都等于22。
例3 把1、2、3、4、5、6填在图1的○中，使每条边上的3个数之和都等于9。
例4 将1～13这13个自然数分别填入图1的各个○内，使每条线段上5个○内数的和相等，并且两个六边形6个顶点上○内数的和也相等。
随堂小测姓名成绩1．将1～4四个数分别填入图中□内，使竖行和横行□内数的和相等。
2．将10～20这11个数填入下列○中，使得每条线段上3个○内数的和都等于45。
3．将2～9这8个数分别填入图1的○里，使每条边上的3个数之和都等于18。
4.将1～9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中,使靠近大三角形每条边上五个数的个相等,并且尽可能大,这五个数之和最大是多少?5．将数字1、2、3、4、5、6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16。
★6．将1～10这十个数填入图中各○内，使得三个正方形的四个顶点上的数之和都等于21。
课后作业姓 名 家长签字 成 绩1．将1～8这8个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的5个数之和都等于21。
2．把1～7这7个数分别填入图中，使每条线段上的33．把数字1、2、3、4填入图中的小圆圈内，使每条线段上3个数的和与每个圆圈上3个数的和都等于12。
4．在图中各圆空余部分填上1、2、4、6，使每个圆中的4个数的和都是15。
★5．把1～8分别填入下图的空格中，使图中四边正好组成加、减、乘、除四种运算算式。
五年级下册数学讲义-竞赛专题：第5讲-数阵图、数字谜(含答案解析)人教版
知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析。
2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜。
②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）。
数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法。
名师点题将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22。
【解析】首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6。
在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等。
那么b处应该填入的数是（）。
【解析】这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b，进而得到2b=2.8，b=1.4。
在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。
小学数学数阵图
解题过程
边和X3 = a+b+c+d+e+f+g+2c 14X3 = 1+2+3+4+5+6+7+2c 42 = 28+2c 14 = 2c c= 7
2020/12/9
例1 （★★）
将1~7这七 个数字， 分别填入 2 图中各个 ○内，使 每条线段 上的三个 ○内数的 和都等于 14。
1
6
7
5
4
3
先填入边和，直线上微调，满足圆圈。
【超常大挑战】(★★★★★)
a ,b ,c ,d ,e, f, g ,h ,I ,处分别填入1至9， 如果每个圆环所填的数的和都相等， 那么这个相等的和最大是多少？最少是多少？
a+e+i+c+g+2(b+d+f+h)=和×5 45+b+d+f+h=和×5 b+d+f+h最大时为6,7,8,9 此时和为15 b+d+f+h最小时为1,2,3,4 和为11 当和为15时无解，和为14有解 最大为14，最小为11
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圈和X2=数字和+a+b 圈和X2=36+a+b 圈和等于21 a+b=6 则a 和b有两种可能1,5和2,4
五年级下册数学讲义-竞赛专题：第5讲-数阵图、数字谜(含答案解析)人教版
知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析。
2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜。
②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）。
数阵图、数字谜数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法。
名师点题将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22。
【解析】 首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6。
在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等。
那么b 处应该填入的数是（ ）。
【解析】 这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b ，进而得到2b=2.8， b=1.4。
在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。
五年级下册数学讲义-第九讲 数阵图综合(解析版PDF)全国通用
二、复杂数阵图
【例 2】填数字 1~9，使线和为 14
B
C A
D
E
3×14 = 1+2 + 3 +…+ 9 - A
45 = 42 - A
A=3
B + D = 14 - 3 = 11
(2，9),(3，8),(4，7)
因为 C,E 最大为 9，所以 B,D 最小为 5
【例 3】填入数字 1~11，使得线和相等，其中 3，5 已填
B
5
D
17 6
C
2 84
A
3
只加上下两条直线，A+B=8
只加左右两条直线，C+D=8
同【铺 4】，试填
第1讲
40
2.综合
【铺 6】填数字：1~7，使各线段以及圆上的数字和相等
6
2
4
7
3
1
5
填数字：1~7，使各线段上的数字和相等
4
723 16 5
填数字：1~7，使各线段上的数字和相等
1 54 6
以上三图公式如下所示：
第1讲
38
5 2
7
1
3
6
4
A=7 K=14
【铺 2】填数字：1~6，使各线段上的数字和相等
A
1
65
B
C2 4 3
1+2+…+6+A+B+C=3K 21+A+B+C=3K A+B+C=6，9，12，15 K=9，10，11，12 试填 A+B+C=6，K=9 【铺 3】填数字：0~9，使各线段上的数字和为 18，求 A+B
数阵问题(课件)-数学五年级上册(共20张PPT)人教版
4 5
解析: 求和：1+2+3+4+5+6+7=28
10×3=30 作差：30-28=2 中间圆圈里的数字被重复用了 两次，所以中间的数字是： 2÷2=1 配对：一大配一小。
8
练习2
1、用1、2、3、4、5、6、7填入下面圆内，使每条直 线上三数之和等于12（或=14）。
9
9
练习2
16
例4 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下图
中的○内，使每一个圆周上的五个数之和都等于21。
解析： 求和： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36。
21×2=42。 作差：42－36=6。 拆数：6=2+4， 所以中间两个数为4,2。
17
练习4
1.将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填 入下图中的○内，使每一个圆圈上的五个数的 和都等于22。
数阵问题
引入
数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有 时简称数阵
大王，求求你放了 我们吧！
例1 用1、2、3、4、5填入下面方框，使每三个数之和等于8 。
5 314
2
解析: 求和：1+2+3+4+5=15。
8+8=16。 作差：16-15=1 （中间方格里的数字被重复使用一次，这个 重复使用的数字是16－15=1,所以中间的方格 应填数字1）。 配对（2和5、3和4）
4
练习1
1、用1、2、3、4、5填入下面方块，使每三个数之和等 于9（或=10）.
5
练习1
2、用1、3、5、7、9填入下面方块，使每三个数之和等 于17。
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数阵一、例题【例1】在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。
【分析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□＝0），且有“□+□＋1＝10+□”，从而□=9，☆=8。
再由个位加法，推知○+△=8．从而口+○+△+☆=9+8+8=25。
【拓展】（2008年迎春杯初赛）在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=______。
s t v av t s tt t v t t+【分析】首先可以判断1t=，所以11s v+=，13v t t=++=，可解得1138s=-=，又因为a t t+=所以0a=，1038tavs=。
【例2】电子数字0~9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：。
【分析】⑴显然乘积的百位只能是2，⑵被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0首先排除⑶如果被乘数十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数。
（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。
（二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。
（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性。
（四）注意结合进位及退位来考虑。
（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法。
所以被乘数十位是2，相应得乘数是8。
⑷被乘数大于25，通过尝试得到符合条件的答案：288224⨯=。
【例3】 在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式。
⨯数字谜数字谜谜谜谜谜谜235235117570547055225⨯【分析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“谜”所在的位置较多，紧紧抓住“谜”所在的位置特点，逐一突破。
可以判断“谜”1≠，由“⨯=数字谜谜谜”可知，，因此“谜”=5或6。
⑴若“谜”5=，“⨯=数字谜数”的乘数的百位数字必须大于3且小于等于5，所以“数”2=，由于“⨯=数字谜字谜”，可知“255⨯=字字 ”，字是单数且小于5，故“字”1=或3，当“字”=1时，21521546225⨯=，不符合条件，当“字”=3时，23523555225⨯=，符合题意。
⑵若“谜”6=，同理，“⨯=数字谜数”的乘积的百位数字必须大于4且小于等于6，所以“数”=2，由266⨯=字字 ，可知“字”=1，但21621646656⨯=，不符合条件。
所以满足条件的算式是：【拓展】在算式：2⨯=的六个方框中，分别填入2，3，4，5，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个乘积是_____。
【分析】先从个位数考虑，有224⨯=，236⨯=，2612⨯=，2714⨯=，再考虑乘数的百位只能是2或3，因此只有三种可能的填法：2273546⨯=，2327654⨯=，2267534⨯=，其中只有546能被13整除，所以这个积是546。
【例4】 在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数DEFGF 是多少？【分析】显然的1D =，由AB A IF ⨯=可知，A 不会超过3，否则得到的乘积应该是3位数，如果3A =，那么B 也不能超过3，所以B 只能是2，这样的32396AB B ⨯=⨯=与AAH 矛盾，所以3A ≠，所以2A =，根据AB B AAH ⨯=，可以尝试出8B =时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：5I =，6F =，0E =，9G =，所以被除数DEFGF 是10696。
【例5】 （2008年迎春杯初赛）在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立。
则被除数应是___________。
【分析】如下图，我们将空格标上字母，以便分析。
由88B -=,得6B =。
因为88XY AE ⨯=,所以，我们可以得知1Y =或者6，我们现来看看1可以不可以。
假设1Y =，则8Y ⨯没有进位，8X ⨯所得个位E 必是偶数，B 必是6,因为8816B =+=,所以，必进位。
所以，F 必是奇数。
因为8W X F ⨯=， 所以，W 可能是2,3,4,6,7,9。
通过试值，逐个排除。
这里应用到倒除法，例：128X F ⨯说明：9X =,再结合算式中其它部分，例如继续计算：918728⨯=, 在算式中，F 出现矛盾。
所以，2W =不成立。
假设6Y =，分别将1至9代入X 进行计算，我们会发现，A ） 若1X =、2、3、6、7、8，会发现第一次除法后的余数都大于除数XY ，所以可以排除；B ）若4X =，得6E =，3A =，进而得到1F =，4W =，4H =，因为46V ⨯的结果是一个两位数，所以1V =或者2，当2V =的时候，92GD =，而4C -没有借位，所以结果最大为5，产生矛盾，故1V =，进而推出4G =，8C =，6D =，符合题目要求，被除数为38686； C ） 若5X =，由第一次除法可以推出3F =，6W =或者7，但是无论6W =还是7W =，都无法满足88F C F H -的结果为1位数，所以排除；D ）若9X =，则7A =，1F =，因为9618W C ⨯=，W 找不到满足这个等式的整数，所以9X =可以排除；综上所述，4X =，6Y =的时候满足题目中的式子，被除数为38686。
【例6】 （2008年迎春杯决赛）将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是 。
12008+【分析】三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845++=。
要使加数中的四位数最小，尝试百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125。
【例7】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数.848926731【分析】1的两边只能是3与7，2的两边只能是6与9.因为在剩下的4，5，8三个数中，4与5，8都不能相邻，所以有下面四种可能：926731926731926731926731因为△处是4，所以只有第2图可得符合题意的一种填法。
【例8】 如图大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形四个顶点上：⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等? ⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．248668862244【分析】⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S 。
考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次。
即()42468360S =+++⨯=。
∴60415S =÷=,但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上数字之和不可能相等．⑵能，右图是一种填法。
8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22。
【拓展】将3，5，7，11，13，17，19，23，29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条边上的○中的数之和都相等。
请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和。
【分析】设三个顶点○内所填的数为a ,b ,c ，每条边上的和为K ，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得()()3571113171923291273a b c a b c K +++++++++++=+++=；由于所得的和必须能被3整除，而1273421÷= ，所以()a b c ++的和应被3除余2，a b c ++的最小值是571123++=，最大值是29231971++=，所以K 的最小值是()12723350+÷=，最大值是()12771366+÷=。
【例9】 一列自然数 0，1，2，3， ，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第______行和第______列。
【分析】第n 行的第1个数是()21n -。
224419362005202545=<<=。
第45行的第1个数是1936，第45列的第1个数是 202512024-=。
20242005120-+=。
2005在第20行第45列。
【附加】如图的数阵是由于77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40这六个由一个平等四边形围住，它们的和是180。
把这个平行四边形沿上下,左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660。
那么它们当中位于平行四边形左上角的那个数是______。
【分析】六个和一共增加：660180480-=。
每个增加480680÷=,第一个数就变为2080100+=。
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 …………………142 144 146 148 150 152 154【例10】在右边表格的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行出现【分析】每一空格填一个数，共有5个空格，各个数出现的次数综合应该为5，即第二行所填的五数之和为5，即第二行所填无数之和是5，将5拆分有以下几种方法：=++++；541000532000=++++=++++531100=++++；522100=++++；521110=++++；511111将这几种拆分方法，按各个数字出现频数填入表格，可以发现，只有522100=++++不会出现矛盾，填法如下：【例11】将最小的10个合数填到图中所示表格的10个空格中，要求满足以下条件：1)填入的数能被它所在列的第一个数整除；2)最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大；那么，最后一行中5【分析】最小的10个合数分别是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。
这10个合数当中10和15一定是在5的下面，4、8、14、16一定是在2和4下面，剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，对2和4所在的列和3和6所在的列分别讨论。