三角形专题辅助线

初中辅助线做法平面几何中添加辅助线的方法是灵活多变的，这就要求我们熟练掌握数学中的基本概念和基本定理，在实践探索中经常进行归类总结，仔细分析题目给我们的条件，找到隐含的和一些有规律的信息。

直接证明两个三角形全等，条件不具备，就得通过做辅助线，构造全等三角形。

一、证题思路：平面几何里，证题思路主要有：（1）分析法，即从结论入手，逐步逆推，直至达到已知为止。

（2）综合法，即从已知条件入手，运用已学的定理公式推出结论。

（3）两头凑，即综合法和分析法有机结合。

一方面从已知推可知，达到须知；另一方面由未知看须知，靠拢已知，一旦已知与须知沟通，证题思路就有了。

（也叫分析—综合法）。

二、怎样才能正确地添加辅助线呢？我帮助学生总结了以下规律口诀：（一）人说几何学习难，难点在作辅助线。

辅助线要如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

图中有角平分线，可向两边作垂线；还可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

斜三角形问题难，作高构成勾股弦；等腰三角形露面，高线顶角平分线；线段等于加或减，截长补短是利剑；三角形中有中线，延长中线等中线；平行四边形出现，对称中心等分点；要证线段倍与半，延长缩短可试验；三角形中两中点，连结则成中位线；三角形边一中点，尝试构造中位线；短线等于长线半，短线当作中位线；直角三角形相间，作出斜边上中线；三十度角在里边，直角三角形构建；四边形作对角线，延长对边形相伴，如果遇到特殊角，垂线分割不怠慢。

梯形里面作高线，平移一腰可试探；平行移动对角线，成三角形最常见；假若腰上有中点，另腰中点与它连，一旦延长交底线，全等相等面面观；两腰中点都出现，赶紧构造中位线，假若腰上一中点，也可尝试中位线；梯形两底有中点，平移两腰是经典。

证相似，比线段，等积式子比例换；寻找线段是关键，AX两型要兼顾；添线平行成习惯，若不符合平等比，三点定形添线段；直接证明有困难，等量代换少麻烦；斜边上面作高线，比例中项一大片。

要证角的倍与半，线段证法产经验，首先作角平分线，构造等腰三角形，底角等顶外角半。

半径与弦长计算，作弦心距中间站；圆上若有一切线，切点圆心半径连；切线长度要计算，圆幂定理巧过关，连结圆心线上点，勾股定理最方便；两圆公切长计算，必定作出连心线，圆心向径作垂线，数形关系全出现；要想证明是切线，半径垂线仔细辩；是直径，成半圆，想成直角径连弦；弧有中点连圆心，垂径定理要记全；圆周角边两条弦，直径和弦端点连，弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，两边作出中垂线。

设想作个内切圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线；若是添上连心线，切点肯定在上面。

要证等角添个圆，证明题目少困难。

内心顶点一相连，相等两角居两边。

内心向外作垂线，多少都是等线段。

旁心情况也如此，切记延长形的边。

外心连接各顶点，半径相等在眼前。

外心向边引垂线，垂直平分这条边。

正多边形要转换，半径边心距半边。

图形残缺不自然，特殊图形须补全。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假若图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要训练。

最值轴对称攻关，平镜成像反射诠。

第四比项平行线，比例中项作半圆。

解题还要多心眼，经常总结方法现。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

（二）人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证时有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证实是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证实题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注重勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时把握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。

三、注重强调添加辅助线的原则：1、聚拢集中原则通过添置适当的辅助线，将图形中分散，远离的元素，通过变换和转化，是他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论2、化繁为简原则对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简，化难为易的目的 总之，关于辅助线的添加单凭本人的一些观点是不够的，主要还是应靠学生自己在学习中不断摸索，积累，以致形成经验。

另外，还应注重添加辅助线时，往往不是一下子可以作出来的，应根据分析逐步完成，举一反三。

四：专题讨论，谈如何添加辅助线及其一般方法探讨学生在学习几何的过程中，对怎样连接辅助线往往是一筹莫展。

分析其原因有以下几点： 第一，基础知识掌握不够牢固，也可能是牢固。

但是识记的过程中知识只是进入了脑子，灵活性往往很弱。

第二， 不同图形作辅助线的方法没有掌握，以三角形为例： 专题1、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

例1，已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.A B C D E N M 11 图证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ，在△AMN 中，AM+AN > MD+DE+NE;（1） 在△BDM 中，MB+MD>BD ； （2） 在△CEN 中，CN+NE>CE ； （3）由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）延长BD 交 AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：AB+AF> BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边） (1)GF+FC>GE+CE （同上） (2)DG+GE>DE （同上） (3)由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+AC>BD+DE+EC 。

专题2、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例2：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。

分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC>∠DEC ，同理∠DEC>∠BAC ，∴∠BDC>∠BAC证法二：连接AD ，并廷长交BC 于F ，这时∠BDF 是△ABD 的外角，∴∠BDF>∠BAD ，同理，∠CDF>∠CAD ，∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD ，即：∠BDC>∠BAC 。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三 角 形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

专题3：利用角平分线构造三角形全等主要是指：利用角平分线的性质构造全等（与专题1区别开）由于角平分线上一点到角两边距离相等，所以当题目中出现角平分线时，过角平分线上一点作角两边的垂线是常作的辅助线，作了辅助线，就有线段相等，角相等，从而利用三角形全等的条件来证明。

遇到角平分线时，常作垂线段，以便利用角平分线性质解题。

例3、已知，如图3-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造全等三角形，可通过“角平分先性质”来实现.AB C D E F G 21 图证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图3-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，即∠BAD +∠BCD =180°例4、已知，如图4-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例3相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图4-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BPBP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD又∵∠BAP +∠PAE =180°.∴∠BAP +∠BCP =180°例5：如图5-1，AB//CD ，E 是AD 上一点，且BE ，CF分别是ABC ∠，BCD ∠，求证：AE=ED分析：由于角平分线上一点到角两边距离相等，而点E 是两角平分线的交点，因此想到过E 作AB ，BC ，CD 的垂线段（证明略）总结：遇到角平分线及线段相等的问题，就要想到过角平分线上一点向角两边作垂线段，然后证全等。