第五章 异方差性

于OLS估计得到的残差 ei 的分析
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异方差性的检验
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
Var(ui ) E(uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2) ei2
图示检验法
图示检验法
（一）相关图形分析 方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散程度。因为被解释
变量Y与随机误差项u有相同的方差，所以分析Y与X的相关图，可以初 略地看到Y的离散程度与X之间是否有相关关系。
ui 的某些分布特征，可通过残差 ei 的图形对异方差进行观察。
对于一元回归模型，绘制出ei2 对Xi的散点图,对于多元回归模型，绘制出ei2 对Yi的散点图或ei2 与认为和异方差有关的X的散点图。
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图示检验法
（二）残差图形分析
e~i 2
e~i 2
X 同方差
e~i 2
X 递增异方差
e~i 2
X 递减异方差
每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机
误差项的异方差性
产生异方差性的原因
产生异方差性的原因
（一）模型设定误差
假设正确的模型是：
Yi 1 2 X2i 3 X3i ui
假如略去了重要的解释变量X3 ，而采用 Yi 1 2 X2i vi
排序，再按戈德菲尔德匡特检验方法回归，否则即使存在异方差，也有可能用戈德菲
尔德匡特方法检验不出来。
用 EViews 给截面数据排序的方法：在 Workfile 窗口点击 Procs 键并选 Sort current page
功能，在打开的 Sort Workfile Series 对话窗填写以哪一个序列为标准（基准序列）排
(9-5)
即用 uˆt 2 对原回归式（9-4）中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉乘积项进行 OLS 回归。注意，上式中要保留常数项。
9.4.3 怀特（White）检验 估计辅助回归式，
uˆt 2 = 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt
9.4.3 怀特（White）检验 怀特检验由 H. White 1980 年提出。怀特检验的优点是不需要对观测值排序，也不依赖 于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 2 统计量进行异方差检 验。以二元回归模型，
yt = 0 +1 xt1 +2 xt2 + ut 为例介绍怀特检验的具体步骤如下。
图示检验法 Goldfeld-Quandt 检验 White 检验 ARCH 检验 Glejser 检验
异方差性的检验
异方差的检验是计量经济学中的一个重要课题 随机误差 ui 具有不同的方差，那么检验异方差性，也就是检
验随机误差的方差与解释变量 Xi 观测值之间的关系 随机误差 ui 不能直接观测，大多数检验异方差的方法都是基
时，将不能再保证最小二乘估计的方差最小。
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对参数估计式统计特性的影响
模型：
Var( )
E
E
E
T
E
T
E ( X ' X )1 X 'u ( X ' X )1 X 'u '
E ( X ' X )1 X 'uu' X ( X ' X )1
( X ' X )1 X 'E uu' X ( X ' X )1
检验的前提条件： 要求检验使用的为大样本容量，一般样本容量不低于参数个数的 两倍, 除了同方差假定不成立外，其它假定均满足
9.4.2 戈德菲尔德匡特（Goldfeld-Quandt）检验 戈德菲尔德匡特检验的原假设和备择假设是
H0: 随机误差项 ut 具有同方差， H1: 随机误差项 ut 具有递增型异方差。 首先分 3 步构造 F 统计量。①把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的 观测值按解释变量的大小顺序排列，剔除 m 个处于中心位置的观测值（通常 T 30 时， 取 m T / 4），余下的 T- m 个观测值自然分成容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。子 样本容量分别用 n1 和 n2 表示，如下所示。散点图见图 9-10（圆圈表示被剔除的点）。
{x1, x2, …, xi-1, xi, xi+1, …, x T-1, xT }
n1 = (T-m) / 2
m=T/4
n2 = (T-m) / 2
② 用两个子样本分别按相同的回归模型估计回归直线（如图），并计算残差平方和 RSS。
相对于第 1 和第 2 个子样本容量 n1 和 n2 分别用 RSS1 和 RSS2 表示相应回归估计式的 残差平方和。
若用样本计算的 F F (n2-k, n1-k), 则接受 H0，（ut 具有同方差） 若用样本计算的 F > F(n2-k, n1-k), 拒绝 H0，（ut 具有递增型异方差） 注意：
（1）当模型中含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。
（2）此法只适用于递增型异方差。
（3）对于截面样本，计算 F 统计量之前，必须先把样本数据按解释变量的值从小到大
(9-4)
首先设定原假设和备择假设
H0: 式(9-4)中的 ut 具有同方差， H1: 式(9-4)中的 ut 存在异方差。 对式（9-4）进行 OLS 回归，求残差 uˆt 。建立如下辅助回归式，
uˆt 2 = 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt
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第二节 异方差性的后果
对参数估计式统计特性的影响 对模型检验的影响 对预测的影响
对参数估计式统计特性的影响
对参数估计式统计特性的影响
（一）参数估计的无偏性仍然成立 参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零均值假定（即 E(ui ) 0 ）。 所以异方差的存在对无偏性的成立没有影响。 （二）参数估计的方差不再是最小的 同方差假定是OLS估计方差最小的前提条件，所以随机误差项是异方差
( X ' X )1 X ' 2WX ( X ' X )1
2 ( X ' X )1 X 'WX ( X ' X )1
E
E
X ' X 1 X 'Y E
X ' X 1 X ' ( X u)
E X ' X 1 X 'u
对模型假设检验的影响
对模型假设检验的影响
并求可决系数 R2 的值。构造统计量 TR2。可以证明（略）在原假设成立条件下， 统计量
TR2 2(5) 其中 T 表示式(9-4)对应的样本容量，R2 是辅助回归式(9-5)的 OLS 估计式的可决 系数。自由度 5 表示辅助回归式(9-5)中解释变量项数（注意，不包括常数项）。 TR 2 属于 LM 统计量（见第 13 章）。 判别规则是
这时会导致X3 对Y的影响反映在vi中，而这些影响具有差异性，从而
产生异方差性。
产生异方差性的原因
（二）测量误差的变化 样本数据的观测误差有可能随研究范围的扩大而增加，或随时间的推
移逐步积累，也可能随着观测技术的提高而逐步减小。
如储蓄函数，假如用的是1980年至2010年的数据，前些年工资较透明， 现在灰色收入较多，测量误差有变化
异方差一般可归结为三种类型： (1) 单调递增型： i2随X的增大而增大 (2) 单调递减型： i2随X的增大而减小 (3) 复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
异方差性的实质
概
率
密
Y
度
X
图形表示
异方差性的实质
实际经济问题中的异方差性
实际经济问题中的异方差性
例 截面资料下研究居民家庭的储蓄行为:
9.4.2 戈德菲尔德匡特（Goldfeld-Quandt）检验
③构造 F 统计量， F = RSS2 /(n2 k) RSS2 RSS1 /(n1 k) RSS1
(9-3)
其中 k 表示回归模型中被估参数个数。可以证明（略）在 H0 成立条件下，F F(n2-k, n1-k)。 制定判别规则如下，
如果随着X的增加，Y的离散程度为逐渐增大（或减小）的变化趋势，
则认为存在递增型（或递减型）的异方差。
图示检验法
用1998年四川省各地市州农村居民家庭消费支出与家庭纯收入的数据，绘制 出消费支出对纯收入的散点图,其中用Y1表示农村家庭消费支出，X1表示家庭 纯收入。
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图示检验法
（二）残差图形分析 虽然随机误差项 ui 无法观测，但样本回归的残差 ei 一定程度反映了随机误差
若用样本计算的 T R 2 2(5), 接受 H0（ut 具有同方差） 若用样本计算的 T R 2 > 2(5), 拒绝 H0（ut 具有异方差） 怀特(White)检验的 EViwes 操作：在回归式估计结果窗口中点击 View 键选 Residual Tests/ Heteroskedasticity Tests 功能。在 Heteroskedasticity Tests 对话窗 选择 White，点击 OK 键。
3000 Y
2500
3000
Y 2500
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
X 0 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000 36000 40000
500 X
0 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000 36000 40000
X 复杂型异方差