2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)

问题2：若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋
B2y＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应
满足什么关系？
提示：A1x0＋B1y0＋C1＝0且A2x0＋B2y0＋C2
＝0.
两直线的位置关系与方程组的解
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0.
所以直线必过定点(1，－1)．
6．一条直线l被两条直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0 截 解：法一：因为所求直线l过坐标原点，且的方程． 得的线段中点恰好是坐标原点，求直线l x＝0与 两直线交点的线段的中点不是坐标原点， 所以可设为y＝kx.
x＝ －6 ， 4x＋y＋6＝0， k＋4 由 得 y＝kx， －6k y＝k＋4.
D．(3,4) 答案：C
2．已知直线l1：y＝2x＋m＋2，l2：y＝－2x＋4的交点
在 第二象限，则m的取值范围是________． 2－m x＝ 4 ， y＝2x＋m＋2， 解：由 得 y＝－2x＋4， y＝m＋6. 2 因为两直线的交点在第二象限
2－m 4 <0， x<0， ∴ 即 y>0， m＋6>0， 2
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－4，－3) 3x＋2y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 y＝3. B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为(－4,3)．
4x＋y－4＝0， mx＋y＝0，
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
36 解得x0＝－23. 36 6 ∴P点坐标为(－23，23)． 6 23 ∴直线l的方程为y＝ 36x，即x＋6y＝0. －23
利用交点解决问题，一般有两种思路：一是解出交 点坐标，应用交点坐标；一是利用直线系，过两直线l1： A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系 方程可表示为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈ R)．(但它不表示直线l2)；反之动直线A1x＋B1y＋C1＋ λ(A2x＋B2y＋C2)＝0经过的定点就是l1与l2的交点，即方程
点坐标，然后代入ax＋2y＋8＝0，求出a的值．
[精解详析]
x＝－2， 得 y＝2.
x＋3y－4＝0， 解方程组 5x＋2y＋6＝0.
∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为 (－2,2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0， 得－2a＋4＋8＝0， ∴a＝6.
∴m>2.
答案：(2，＋∞)
[例2]
求经过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，
且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程． [思路点拨] 联立方程，求出两直线的交点和所求
直线的斜率，利用点斜式写出直线方程．
[精解详析] 点P(－5,2)．
法一：解方程组
2x＋y＋8＝0， x＋y＋3＝0，
A1x＋B1y＋C1＝0， 组 A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
x＋y＝0， 解程组 x－1＝0，
得两直线的交点为(1，－1)，
将(1，－1)代入已知直线方程(k＋1)x－(k－1)y－ 2k＝0恒成立，这表明不论k取何值，直线均过定 点(1，－1)． 法二：原直线方程可变形为 (x＋y)＋k(x－y－2)＝0，
x＋y＝0， 欲使上式对任意k都成立，必有 x－y－2＝0. x＝1， 解得 y＝－1，
得交点P(－5,2)． 2 ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－3， 2 ∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋5)． 即2x＋3y＋4＝0.
法二：设所求直线方程为2x＋3y＋m＝0，
2x＋y＋8＝0， 解方程组 x＋y＋3＝0，
得交点P(－5,2)．
把点P(－5,2)的坐标代入2x＋3y＋m＝0，求得m＝4， 故所求直线方程为2x＋3y＋4＝0.
得交
2 ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－3， 3 ∴所求直线的斜率是2. 因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
法二：设所求直线方程为3x－2y＋m＝0，
2x＋y＋8＝0， 解方程组 x＋y＋3＝0，
得交点P(－5,2)．
把点P(－5,2)的坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19. 故所求直线方程为3x－2y＋19＝0.
6 x＝3－5k， 3x－5y－6＝0， 由 得 y＝kx， y＝ 6k . 3－5k 又∵两直线截线段中点恰好是坐标原点， －6 6 ∴ ＋ ＝0， k＋4 3－5k 1 解得k＝－6. 1 故直线l的方程是y＝－6x，即x＋6y＝0.
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
[一点通]
解决此类问题有两种方法．一种是常
规法，即由题目已知条件求出交点和直线斜率，利用点
斜式写出直线方程；二是利用待定系数法写出方程，再
求出交点，代入求出待定系数．
3．本例改成“与直线2x＋3y－10＝0平行”，求直线方程．
2x＋y＋8＝0， 解：法一：解方程组 x＋y＋3＝0，
答案：A
[例3]
已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：
mx＋y＝0及l3：2x－3my－4＝0，求m的值，使l1，l2，
l3三条直线能围成三角形．
[思路点拨] 要使三条直线能围成三角形，必须
每两条都相交，且三条不交于一点．
[精解详析]
(1)若l1，l2，l3三条直线交于一点．
显然m≠4，若m＝4，则l1∥l2. 由
[一点通] 1．将几何条件转化为代数问题是解决本题的关 键； 2．在分类讨论时，不能遗漏；
3．此题是从结论的反面即求出不能围成三角形
的条件入手解决的．
5．求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－
2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．
证明：法一：对于方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0， 令k＝0，得x＋y＝0， 令k＝1，得x－1＝0，
引入平面直角坐标系后，可以用方程表示直线，
并且可以通过直线的方程来判断两直线平行或垂直，那
么怎样求直线相交时的交点坐标呢？
问题1：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，怎
样判断它们的位置关系？
提示：(1)k1＝k2且b1≠b2时，l1与l2平行；(2)k1 ＝k2且b1＝b2时重合．特殊情况，当k1k2＝－1时，两直 线垂直；(3)k1≠k2时，l1与l2相交．
4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且在y轴
上截距为8的直线的方程是
( )
A．2x＋y－8＝0
－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 ＋8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
B．2x－y
D．2x－y
2x－y＋4＝0， 解：法一：由 x－y＋5＝0，
x＝1， 得 y＝6，
又直线在y轴上截距为8，即直线过点 (0,8)，直线的斜率为k＝－2， 故所求的直线方程为 y－6＝－2(x－1)． 即2x＋y－8＝0.
两条直线相交，交点一定在两条直线上，交
点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，
如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解， 那么以这个解为坐标的点，必是直线l1和l2的交点.
[例1]
直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x
＋2y＋6＝0相交于一点，求a的值． [思路点拨] 解答本题可先解出两已知直线的交
(1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两 唯一公共解 个方程的 ；如果这两个二元一次方程
两直线的交点 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定
是 ．
A1x＋B1y＋C1＝0， (2)方程组 A2x＋B2y＋C2＝0.
①有唯一解⇔l1与l2 相交 ； ②有无穷多组解⇔l1与l2 重合 ； ③没有解⇔l1与l2平行 ．