最新-2017新课标高考数学导数分类汇编(文)
专题04 导数的应用专题-2017年高考数学文考纲解读与热
【2017年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；(5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.【重点、难点剖析】1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的四则运算①u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝u ′ x v x －u x v ′ x [v x ]2(v (x )≠0)．3．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x .4．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．5．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．6．函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )＞0的必要不充分条件. 【题型示例】题型1、导数的几何意义【例1】【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =．【答案】1ln 2- 【解析】【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值． 【举一反三】(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P处的切线垂直，则P 的坐标为________．【答案】 (1，1)【解析】 ∵(e x)′|x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′x ＝x 0＝－1x 20＝－1， 又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1)． 【变式探究】 (1)曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1(2)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【命题意图】 (1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义． (2)本题主要考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力． 【答案】(1)C (2)－3【感悟提升】1．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．题型2、利用导数研究函数的单调性【例2】【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；223322(2)(1)()a ax x f 'x a x x x x--=--+=. 当0≤a ，)1,0(∈x 时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；(1,),()0x f 'x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，3(1)()(a x f 'x x x x -=+.（1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，()0f 'x >，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a ，在x ∈),0(+∞内，()0f 'x ≥，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a ，当)2,0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，()0f 'x >，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减. 综上所述，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，22321122()()ln (1)x f x f 'x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则()()()()f x f 'x g x h x -=+，由1()0x g 'x x-=≥可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号.又24326()x x h'x x --+=，【感悟提升】确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同．【举一反三】(2015·福建，10)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1【答案】 C【解析】 ∵导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，∴f ′(x )－k ＞0，k －1＞0，1k －1＞0，可构造函数g (x )＝f (x )－kx ，可得g ′(x )＞0，故g (x )在R 上为增函数，∵f (0)＝－1，∴g (0)＝－1，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＞－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1，∴选项C 错误，故选C.【变式探究】(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－e －x－2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值；(3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．【命题意图】本题主要考查导数的综合应用，涉及利用导数求函数的单调区间、求函数的最值、估计无理数的近似值等，考查基本不等式的应用与分类讨论思想的应用，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力与对知识的综合应用能力．【感悟提升】1．利用导数研究函数单调性的步骤第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f′(x);第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．2．根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f′(x)．(2)将单调性转化为导数f ′(x )在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．【举一反三】 (2015·新课标全国Ⅱ，21)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|0≤e－1，求m 的取值范围．(2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在－1，0]上单调递减，在0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e－1，f （－1）－f （0）≤e－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m ＋m ≤e－1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈－1，1]时，g (t )≤0.当m ∈－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0， 即e m－m ＞e －1；当m ＜－1时，g (－m )＞0， 即e －m＋m ＞e －1.综上，m 的取值范围是－1，1]．【规律方法】讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．题型3、利用导数研究函数的极值与最值 【例3】【2016高考江苏卷】（本小题满分16分） 已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
2017年高考通关讲练导数(数学(文))：三、函数的单调性与导数 含解析
三、函数的单调性与导数考纲要求1．了解函数的单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．命题规律利用导数研究函数的单调性是高考考查的重点，具体形式为: (1）利用导数求函数（函数中常含有参数）的单调区间，或由函数的单调性求参数的取值范围。
一般以解答题的形式出现，有时也出现在选择题或填空题中.（2)利用函数的单调性比较大小、证明不等式、判断函数零点个数等，题目综合性强，有一定的难度，一般以解答题的形式出现.1．函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a，b）内：①如果()0f x'>，函数f （x）在这个区间内单调递增;②如果()0f x'<，函数f (x)在这个区间内单调递减；③如果()=0f x',函数f （x)在这个区间内是常数函数．2．单调性的应用（1）在某个区间内，()0f x'<）是函数f (x）在此区间内单调f x'>(()0递增（减）的充分条件，而不是必要条件。
例如,函数3=在定f x x()义域(,)-∞+∞上是增函数，但2'=≥。
()30f x x(2)函数f （x）在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()0f x'≤）f x'≥(()0在（a,b)内恒成立，且()f x'在（a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x'=,不影响函数f （x)在区间内的单调性。
如图所示是函数f (x)的导函数f ′（x)的图象,则下列判断中正确的是A．函数f (x）在区间（−3，0)上是减函数B．函数f (x)在区间(−3，2)上是减函数C．函数f (x）在区间（0,2）上是减函数D．函数f （x)在区间(−3，2)上是单调函数【答案】A【解析】由导函数的图象易判断在区间（−3,0）上f ′(x)〈0，所以f （x)在(−3，0)上单调递减，故选A。
2017年高考数学真题导数专题
2017 年高考真题导数专题一．解答题（共 12 小题）1．已知函数 f （x ）=ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）若 f （x ）有两个零点，求 a 的取值范围．2．已知函数 f （x ）=ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且 f （x ）≥0．（1）求 a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点 x 0，且 e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．3．已知函数 f （x ）=x ﹣1﹣alnx ．（1）若 f （x ）≥0，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m ，求m 的最小值．4．已知函数 f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数 f′（x ）的极值点是 f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b 2＞3a ；（3）若 f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求 a 的取值范围．5．设函数 f （x ）=（1﹣x 2）e x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）当 x ≥0 时，f （x ）≤ax +1，求 a 的取值范围．6．已知函数 f （x ）=（x ﹣ ）e ﹣x （x ≥ ）．（1）求 f （x ）的导函数；（2）求 f （x ）在区间[ ，+∞）上的取值范围．7．已知函数 f （x ）=x 2+2cosx ，g （x ）=e x （cosx ﹣sinx +2x ﹣2），其中 e ≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线 y=f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；（Ⅱ）令 h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）（a ∈R ），讨论 h （x ）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．8．已知函数 f （x ）=e x cosx ﹣x ．（1）求曲线 y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数 f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．9．设 a ∈Z ，已知定义在 R 上的函数 f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x +a 在区间（1，2）内有一个零点 x 0，g （x ）为 f （x ）的导函数．（Ⅰ）求 g （x ）的单调区间；（Ⅱ）设 m ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，函数 h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），求证： h （m ）h （x 0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数 A ，使得对于任意的正整数 p ，q ，且 ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，满足| ﹣x 0|≥．10．已知函数 f （x ）= x 3﹣ ax 2，a ∈R ，（1）当 a=2 时，求曲线 y=f （x ）在点（3，f （3））处的切线方程；（2）设函数 g （x ）=f （x ）+（x ﹣a ）cosx ﹣sinx ，讨论 g （x ）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．11．设 a ，b ∈R ，|a |≤1．已知函数 f （x ）=x 3﹣6x 2﹣3a （a ﹣4）x +b ，g （x ）=e x f（x ）．（Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；（Ⅱ）已知函数 y=g （x ）和 y=e x 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：f （x ）在 x=x 0 处的导数等于 0；（ii ）若关于 x 的不等式 g （x ）≤e x 在区间[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立，求 b 的取值范围．12．已知函数 f （x ）=e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）若 f （x ）≥0，求 a 的取值范围．2017年高考真题导数专题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，min∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）=f（﹣min lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当 a ∈（0，1）时，1﹣ ﹣ln ＜0，f （﹣lna ）＜0，由 f （﹣2）=ae ﹣4+（a ﹣2）e ﹣2+2＞﹣2e ﹣2+2＞0，故 f （x ）在（﹣∞，﹣lna ）有一个零点，假设存在正整数 n 0，满足 n 0＞ln （ ﹣1），则 f （n 0）=（a +a ﹣2）﹣n 0＞﹣n 0＞ ﹣n 0＞0，由 ln （ ﹣1）＞﹣lna ，因此在（﹣lna ，+∞）有一个零点．∴a 的取值范围（0，1）．2．（2017•新课标Ⅱ）已知函数 f （x ）=ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且 f （x ）≥0．（1）求 a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点 x 0，且 e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为 f （x ）=ax 2﹣ax ﹣xlnx=x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0）， 则 f （x ）≥0 等价于 h （x ）=ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知 h′（x ）=a ﹣ ． 则当 a ≤0 时 h′（x ）＜0，即 y=h （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以当 x 0＞1 时，h （x 0）＜h （1）=0，矛盾，故 a ＞0．因为当 0＜x ＜ 时 h′（x ）＜0、当 x ＞ 时 h′（x ）＞0，所以 h （x ）min =h （ ），又因为 h （1）=a ﹣a ﹣ln1=0，所以 =1，解得 a=1；（2）证明：由（1）可知 f （x ）=x 2﹣x ﹣xlnx ，f′（x ）=2x ﹣2﹣lnx ，令 f′（x ）=0，可得 2x ﹣2﹣lnx=0，记 t （x ）=2x ﹣2﹣lnx ，则 t′（x ）=2﹣ ，令 t′（x ）=0，解得：x= ，所以 t （x ）在区间（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，所以 t （x ）min =t （ ）=ln2﹣1＜0，从而 t （x ）=0 有解，即 f′（x ）=0 存在两根x 0，x 2，且不妨设 f′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正，所以 f （x ）必存在唯一极大值点 x 0，且 2x 0﹣2﹣lnx 0=0，所以 f （x 0）=﹣x 0﹣x 0lnx 0= ﹣x 0+2x 0﹣2 =x 0﹣ ，由 x 0＜ 可知 f （x 0）＜（x 0﹣ ）max =﹣+ = ；由 f′（ ）＜0 可知 x 0＜ ＜ ，所以 f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0， ）上单调递减，所以 f （x 0）＞f （ ）=；综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点 x 0，且 e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．3．（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f （x ）=x ﹣1﹣alnx ．（1）若 f （x ）≥0，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m ，求m 的最小值．【解答】解：（1）因为函数 f （x ）=x ﹣1﹣alnx ，x ＞0，所以 f′（x ）=1﹣ =，且 f （1）=0．所以当 a ≤0 时 f′（x ）＞0 恒成立，此时 y=f （x ）在（0，+∞）上单调递增，这与 f （x ）≥0 矛盾；当 a ＞0 时令 f′（x ）=0，解得 x=a ，所以 y=f （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增，即 f （x ）min =f（a ），又因为 f （x ）min =f （a ）≥0，所以 a=1；（2）由（1）可知当 a=1 时 f （x ）=x ﹣1﹣lnx ≥0，即 lnx ≤x ﹣1，所以 ln （x +1）≤x 当且仅当 x=0 时取等号，所以 ln （1+）＜，k ∈N *．（一方面，ln （1+ ）+ln （1+即（1+ ）（1+） (1)）+…+ln （1+）＜e ；）＜ + +…+ =1﹣ ＜1，另一方面，（1+ ）（1+） (1)）＞（1+ ）（1+）（1+）=＞2；从而当 n ≥3 时，（1+ ）（1+）…（1+ ）∈（2，e ），因为 m 为整数，且对于任意正整数 n ，（1+ ）（1+）…（1+ ）＜m 成立，所以 m 的最小值为 3．4．（2017•江苏）已知函数 f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数f′（x ）的极值点是 f （x ）的零点． 极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b 2＞3a ；（3）若 f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求 a 的取值范围．【解答】（1）解：因为 f （x ）=x 3+ax 2+bx +1，所以 g （x ）=f′（x ）=3x 2+2ax +b ，g′（x ）=6x +2a ，令 g′（x ）=0，解得 x=﹣ ．由于当 x ＞﹣ 时 g′（x ）＞0，g （x ）=f′（x ）单调递增；当 x ＜﹣ 时 g′（x ）＜0，g （x ）=f′（x ）单调递减；所以 f′（x ）的极小值点为 x=﹣ ，由于导函数 f′（x ）的极值点是原函数 f （x ）的零点，所以 f （﹣ ）=0，即﹣+ ﹣ +1=0，所以 b=+ （a ＞0）．因为 f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，所以 f′（x ）=3x 2+2ax +b=0 的实根，所以 4a 2﹣12b ≥0，即 a 2﹣所以 b= + （a ≥3）．+ ≥0，解得 a ≥3，（2）证明：由（ 1）可知 h （a ）=b 2﹣3a=﹣27），由于 a ＞3，所以 h （a ）＞0，即 b 2＞3a ；﹣ + = （4a 3﹣27）（a 3（3）解：由（1）可知 f′（x ）的极小值为 f′（﹣ ）=b ﹣，设 x 1，x 2 是 y=f （x ）的两个极值点，则 x 1+x 2= ，x 1x 2= ，所以 f （x 1）+f （x 2）=++a （+）+b （x 1+x 2）+2=（x 1+x 2）[（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2]+a [（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]+b （x 1+x 2）+2=﹣+2，又因为 f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，所以 b ﹣+ ﹣+2= ﹣ ≥﹣ ，因为 a ＞3，所以 2a 3﹣63a ﹣54≤0，所以 2a （a 2﹣36）+9（a ﹣6）≤0，所以（a ﹣6）（2a 2+12a +9）≤0，由于 a ＞3 时 2a 2+12a +9＞0，所以 a ﹣6≤0，解得 a ≤6，所以 a 的取值范围是（3，6]．5．（2017•新课标Ⅱ）设函数 f （x ）=（1﹣x 2）e x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）当 x ≥0 时，f （x ）≤ax +1，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）因为 f （x ）=（1﹣x 2）e x ，x ∈R ，所以 f′（x ）=（1﹣2x ﹣x 2）e x ，令 f′（x ）=0 可知 x=﹣1± ，当 x ＜﹣1﹣ 或 x ＞﹣1+时 f′（x ）＜0，当﹣1﹣ ＜x ＜﹣1+ 时 f′（x ）＞0，所以 f （x ）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+ ，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递增；（2）由题可知 f （x ）=（1﹣x ）（1+x ）e x ．下面对 a 的范围进行讨论：①当 a ≥1 时，设函数 h （x ）=（1﹣x ）e x ，则 h′（x ）=﹣xe x ＜0（x ＞0），因此 h （x ）在[0，+∞）上单调递减，又因为 h （0）=1，所以 h （x ）≤1，所以 f （x ）=（1﹣x ）h （x ）≤x +1≤ax +1；②当 0＜a ＜1 时，设函数 g （x ）=e x ﹣x ﹣1，则 g′（x ）=e x ﹣1＞0（x ＞0），所以 g （x ）在[0，+∞）上单调递增，又 g （0）=1﹣0﹣1=0，所以 e x ≥x +1．因为当 0＜x ＜1 时 f （x ）＞（1﹣x ）（1+x ）2，所以（1﹣x ）（1+x ）2﹣ax ﹣1=x （1﹣a ﹣x ﹣x 2），取 x 0=∈（0，1），则（1﹣x 0）（1+x 0）2﹣ax 0﹣1=0，所以 f （x 0）＞ax 0+1，矛盾；③当 a ≤0 时，取 x 0=∈（0，1），则 f （x 0）＞（1﹣x 0）（1+x 0）2=1≥ax 0+1，矛盾；综上所述，a 的取值范围是[1，+∞）．6．（2017•浙江）已知函数 f （x ）=（x ﹣）e ﹣x （x ≥ ）．（1）求 f （x ）的导函数；（2）求 f （x ）在区间[ ，+∞）上的取值范围．【解答】解：（1）函数 f （x ）=（x ﹣ ）e ﹣x （x ≥ ），导数 f′（x ）=（1﹣ • •2）e ﹣x ﹣（x ﹣）e ﹣x=（1﹣x +）e ﹣x =（1﹣x ）（1﹣ ）e ﹣x ；（2）由 f （x ）的导数 f′（x ）=（1﹣x ）（1﹣可得 f′（x ）=0 时，x=1 或 ，）e ﹣x ，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．7．（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g（x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．0 （∴x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ．（2）a ＞0 时，令 h′（x ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）=0．解得 x 1=lna ，x 2=0．①0＜a ＜1 时，x ∈（﹣∞，lna ）时，e x ﹣e lna ＜0，h′（x ）＞0，函数 h （x ）单调 递增；x ∈（lna ，0）时，e x ﹣e lna ＞0，h′（x ）＜0，函数 h （x ）单调递减；x ∈（0，+∞）时，e x ﹣e lna ＞0，h′（x ）＞0，函数 h （x ）单调递增．∴当 x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a [ln 2a ﹣2lna +sin （lna ）+cos（lna ）+2]．②当 a=1 时，lna=0，x ∈R 时，h′（x ）≥0，∴函数 h （x ）在 R 上单调递增．③1＜a 时，lna ＞0，x ∈（﹣∞，0）时，e x ﹣e lna ＜0，h′（x ）＞0，函数 h （x ）单调递增；x ∈（0，lna ）时，e x ﹣e lna ＜0，h′（x ）＜0，函数 h （x ）单调递减；x ∈（lna ，+∞）时，e x ﹣e lna ＞0，h′（x ）＞0，函数 h （x ）单调递增．∴当 x=0 时，函数 h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a [ln 2a ﹣2lna +sin （lna ）+cos（lna ）+2]．综上所述：a ≤0 时，函数 h （x ）在（0，+∞）单调递增；x ＜0 时，函数 h （x ）在（﹣∞，0）单调递减．x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ．0＜a ＜1 时，函数 h （x ）在 x ∈（﹣∞，lna ）是单调递增；函数 h （x ）在 x ∈（lna ，0）上单调递减．当 x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna时，函数 h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a [ln 2a ﹣2lna +sin （lna ）+cos （lna ）+2]．当 a=1 时，lna=0，函数 h （x ）在 R 上单调递增．a ＞1 时，函数 h （x ）在（﹣∞， ）， lna ，+∞）上单调递增；函数h （x ）在（0，lna ）上单调递减．当 x=0 时，函数 h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna时，函数 h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a [ln 2a ﹣2lna +sin （lna ）+cos （lna ）+2]．（8．（2017•北京）已知函数 f （x ）=e x cosx ﹣x ．（1）求曲线 y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数 f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数 f （x ）=e x cosx ﹣x 的导数为 f′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）﹣1，可得曲线 y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为 k=e 0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e 0cos0﹣0），即为（0，1），曲线 y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为 y=1；（2）函数 f （x ）=e x cosx ﹣x 的导数为 f′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）﹣1，令 g （x ）=e x （cosx ﹣sinx ）﹣1，则 g （x ）的导数为 g′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x •sinx ，当 x ∈[0，]，可得 g′（x ）=﹣2e x •sinx ≤0，即有 g （x ）在[0，则 f （x ）在[0，]递减，可得 g （x ）≤g （0）=0，]递减，即有函数 f （x ）在区间[0，最小值为 f （）=ecos]上的最大值为 f （0）=e 0cos0﹣0=1；﹣ =﹣ ．9．（2017•天津）设 a ∈Z ，已知定义在 R 上的函数 f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x +a 在区间（1，2）内有一个零点 x 0，g （x ）为 f （x ）的导函数．（Ⅰ）求 g （x ）的单调区间；（Ⅱ）设 m ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，函数 h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），求证： h （m ）h （x 0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数 A ，使得对于任意的正整数 p ，q ，且 ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，满足| ﹣x 0|≥．【解答】 Ⅰ）解：由 f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x +a ，可得 g （x ）=f′（x ）=8x 3+9x 2﹣6x ﹣6，进而可得 g′（x ）=24x 2+18x ﹣6．令 g′（x ）=0，解得 x=﹣1，或 x= ．当 x 变化时，g′（x ），g （x ）的变化情况如下表：xg′（x ）g （x ）（﹣∞，﹣1）+↗ （﹣1， ）﹣↘ （ ，+∞）+↗所以，g （x ）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（ ，+∞），单调递减区间是（﹣1， ）． （Ⅱ）证明：由 h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），得 h （m ）=g （m ）（m ﹣x 0） ﹣f （m ），h （x 0）=g （x 0）（m ﹣x 0）﹣f （m ）． 令函数 H 1（x ）=g （x ）（x ﹣x 0）﹣f （x ），则 H′1（x ）=g′（x ）（x ﹣x 0）．由（Ⅰ）知，当 x ∈[1，2]时，g′（x ）＞0，故当 x ∈[1，x 0）时，H′1（x ）＜0，H 1（x ）单调递减； 当 x ∈（x 0，2]时，H′1（x ）＞0，H 1（x ）单调递增．因此，当 x ∈[1，x 0）∪（x 0，2]时，H 1（x ）＞H 1（x 0）=﹣f （x 0）=0，可得 H 1（m ）＞0 即 h （m ）＞0，令函数 H 2（x ）=g （x 0）（x ﹣x 0）﹣f （x ），则 H′2（x ）=g′（x 0）﹣g （x ）．由（Ⅰ） 知，g （x ）在[1，2]上单调递增，故当 x ∈[1，x 0）时，H′2（x ）＞0，H 2（x ）单 调递增；当 x ∈（x 0，2]时，H′2（x ）＜0，H 2（x ）单调递减．因此，当 x ∈[1， x 0）∪（x 0，2]时，H 2（x ）＞H 2（x 0）=0，可得得 H 2（m ）＜0 即 h （x 0）＜0，． 所以，h （m ）h （x 0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数 p ，q ，且，令 m= ，函数 h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ）．由（Ⅱ）知，当 m ∈[1，x 0）时，h （x ）在区间（m ，x 0）内有零点； 当 m ∈（x 0，2]时，h （x ）在区间（x 0，m ）内有零点．所以 h （x ）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为 x 1，则 h （x 1）=g （x 1）（﹣x 0）﹣f （ ）=0．由（Ⅰ）知 g （x ）在[1，2]上单调递增，故 0＜g （1）＜g （x 1）＜g （2），于是| ﹣x 0|=≥=．因为当 x ∈[1，2]时，g （x ）＞0，故 f （x ）在[1，2]上单调递增，所以 f （x ）在区间[1，2]上除 x 0 外没有其他的零点，而 ≠x 0，故 f （ ）≠0．又因为 p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|是正整数，从而|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|≥1．所以| ﹣x 0|≥ ．所以，只要取 A=g （2），就有| ﹣x 0|≥ ．10．（2017•山东）已知函数 f （x ）= x 3﹣ ax 2，a ∈R ，（1）当 a=2 时，求曲线 y=f （x ）在点（3，f （3））处的切线方程；（2）设函数 g （x ）=f （x ）+（x ﹣a ）cosx ﹣sinx ，讨论 g （x ）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（1）当 a=2 时，f （x ）= x 3﹣x 2，∴f′（x ）=x 2﹣2x ，∴k=f′（3）=9﹣6=3，f （3）= ×27﹣9=0，∴曲线 y=f （x ）在点（3，f （3））处的切线方程 y=3（x ﹣3），即 3x ﹣y ﹣9=0（2）函数 g （x ）=f （x ）+（x ﹣a ）cosx ﹣sinx= x 3﹣ ax 2+（x ﹣a ）cosx ﹣sinx ，∴g′（x ）=（x ﹣a ）（x ﹣sinx ），令 g′（x ）=0，解得 x=a ，或 x=0，①若 a ＞0 时，当 x ＜0 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，当 x ＞a 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（a ，+∞）上单调递增，当 0＜x ＜a 时，g′（x ）＜0 恒成立，故 g （x ）在（0，a ）上单调递减，∴当 x=a 时，函数有极小值，极小值为 g （a ）=﹣ a 3﹣sina当 x=0 时，有极大值，极大值为 g （0）=﹣a ，②若 a ＜0 时，当 x ＞0 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，当 x ＜a 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（﹣∞，a ）上单调递增，当 a ＜x ＜0 时，g′（x ）＜0 恒成立，故 g （x ）在（a ，0）上单调递减，∴当 x=a 时，函数有极大值，极大值为 g （a ）=﹣ a 3﹣sina当 x=0 时，有极小值，极小值为 g （0）=﹣a③当 a=0 时，g′（x ）=x （x +sinx ），当 x ＞0 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（0，+∞）上单调递增，当 x ＜0 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，∴g （x ）在 R 上单调递增，无极值．11．（2017•天津）设 a ，b ∈R ，|a |≤1．已知函数 f （x ）=x 3﹣6x 2﹣3a （a ﹣4）x +b ，g （x ）=e x f （x ）． （Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；（Ⅱ）已知函数 y=g （x ）和 y=e x 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：f （x ）在 x=x 0 处的导数等于 0；（ii ）若关于 x 的不等式 g （x ）≤e x 在区间[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立，求 b 的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由 f （x ）=x 3﹣6x 2﹣3a （a ﹣4）x +b ，可得 f'（x ）=3x 2﹣12x﹣3a （a ﹣4）=3（x ﹣a ）（x ﹣（4﹣a ）），令 f'（x ）=0，解得 x=a ，或 x=4﹣a ．由|a |≤1，得 a ＜4﹣a ．当 x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：xf'（x ）f （x ）（﹣∞，a ）+↗ （a ，4﹣a ）﹣↘ （4﹣a ，+∞）+↗∴f （x ）的单调递增区间为（﹣∞， a ），（4﹣a ，+∞），单调递减区间为（ a ，4﹣a ）；（Ⅱ）（i ）证明：∵g'（x ）=e x （f （x ）+f'（x ）），由题意知，∴，解得 ．∴f （x ）在 x=x 0 处的导数等于 0；（ii ）解：∵g （x ）≤e x ，x ∈[x 0﹣1，x 0+1]，由 e x ＞0，可得 f （x ）≤1． 又∵f （x 0）=1，f'（x 0）=0，故 x 0 为 f （x ）的极大值点，由（I ）知 x 0=a ．另一方面，由于|a |≤1，故 a +1＜4﹣a ，由（Ⅰ）知 f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当 x 0=a 时，f （x ）≤f （a ）=1 在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而 g （x ）≤e x 在[x 0 ﹣1，x 0+1]上恒成立．由 f （a ）=a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b=1，得 b=2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1． 令 t （x ）=2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，∴t'（x ）=6x 2﹣12x ，令 t'（x ）=0，解得 x=2（舍去），或 x=0．∵t （﹣1）=﹣7，t （1）=﹣3，t （0）=1，故 t （x ）的值域为[﹣7，1]．∴b 的取值范围是[﹣7，1]．12．（2017•新课标Ⅰ）已知函数 f （x ）=e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）若 f （x ）≥0，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）f （x ）=e x （e x ﹣a ）﹣a 2x=e 2x ﹣e x a ﹣a 2x ，∴f′（x ）=2e 2x ﹣ae x ﹣a 2=（2e x +a ）（e x ﹣a ），①当 a=0 时，f′（x ）＞0 恒成立，∴f （x ）在 R 上单调递增，②当 a ＞0 时，2e x +a ＞0，令 f′（x ）=0，解得 x=lna ，当 x ＜lna 时，f′（x ）＜0，函数 f （x ）单调递减，当 x ＞lna 时，f′（x ）＞0，函数 f （x ）单调递增，③当 a ＜0 时，e x ﹣a ＞0，令 f′（x ）=0，解得 x=ln （﹣ ），当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）=f（lna）=﹣a2lna≥0，min∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得f（x）﹣a2ln（﹣）≥0，=f（ln（﹣））=min∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]P。
10.函数、导数及应用(定积分)——2011—2017年新课标全国卷理科数学分类真题解析(含答案)
3y-5z=3log3k-5log5k= -
<0,∴3y<5z;
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2017 课标Ⅱ卷(全国甲卷)
◎ 第 2页 共 30页
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
【答案】A
由 f '(x0)=0 得 ln x0=2(x0-1),故 f(x0)=x0(1-x0). 由 x0∈(0, )得 f(x0)< . 因为 x=x0 是 f(x)在(0,1)的最大值点,由 e-1∈(0,1),f '(e-1)≠0 得 f(x0)>f(e-1)=e-2.
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………
10-2
新课标卷理科数学近八年高考分类考点真题分析 函数、导数及应用(定积分)
11．若 x=-2 是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1 的极值点,则 f(x)的极小值为
因为 f '(x)=h(x),所以 x=x0 是 f(x)的唯一极大值点.
【解析】本题主要考查导数的运算以及利用导数判断函数的单调性、求函数的极值, 所以 e-2<f(x0)<2-2.
意在考查考生的运算求解能力及方程思想.
【解析】本题主要考查导数的运算,利用导数判断函数的单调性,求极值点、最值点,
因为 f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以 f '(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为 零点存在性定理,意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力、函数与方程思想
【K12高考数学】2017年高考真题分类汇编(理数)：专题2导数(解析版)
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题2导数一、单选题（共3题；共6分）1、（2017•浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A、B、C、D、2、（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A、﹣1B、﹣2e﹣3C、5e﹣3D、13、（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A、﹣B、C、D、1二、解答题（共8题；共50分）4、（2017•浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（Ⅰ）求f（x）的导函数；（Ⅱ）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．5、（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g（x）﹣af（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．6、（2017•北京卷）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（13分）(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．8、（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．9、（2017•新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（12分）(1)讨论f（x）的单调性；(2)若f（x）有两个零点，求a的取值范围．10、（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．11、（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值；（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】函数的图象，函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能2、【答案】A【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．3、【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的零点【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+）=0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（e x﹣1+）有唯一解，等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+）的图象只有一个交点．①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；综上所述，a=，故选：C．【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．二、解答题4、【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（Ⅱ）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．【考点】简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范围．5、【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h（x）=g（x）﹣af（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（i）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（ii）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【考点】导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ）h（x）=g（x）﹣af（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．6、【答案】（1）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos﹣=﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．7、【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，不等式的证明，函数的零点【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|﹣x0|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．8、【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a ＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．9、【答案】（1）解：由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x=0，有两个零点，由（1）可知：当a＞0时，f（x）=0，有两个零点，则f（x）min=a+（a﹣2）﹣ln，=a（）+（a﹣2）×﹣ln，=1﹣﹣ln，由f（x）min＜0，则1﹣﹣ln＜0，整理得：a﹣1+alna＜0，设g（a）=alna+a﹣1，a＞0，g′（a）=lna+1+1=lna+2，令g′（a）=0，解得：a=e﹣2，当a∈（0，e﹣2），g′（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（e﹣2，+∞），g′（a）＞0，g（a）单调递增，g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，由g（1）=1﹣1﹣ln1=0，∴0＜a＜1，a的取值范围（0，1）．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1.）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f （x）单调性；（2.）由（1）可知：当a＞0时才有个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．10、【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（Ⅱ）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=﹣+=＞；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，导数在最大值、最小值问题中的应用，不等式的综合【解析】【分析】（Ⅰ）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣可得h（x）min=h（），从而可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）=﹣+=＞．11、【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），又因为f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+）＜，k∈N*,所以，k∈N*．一方面，因为++…+=1﹣＜1，所以，（1+）（1+）…（1+）＜e；另一方面，（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）=＞2，同时当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e）．因为m为整数，且对于任意正整数n（1+）（1+）…（1+）＜m，所以m的最小值为3．【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，等比数列的前n项和，反证法与放缩法【解析】【分析】（Ⅰ）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+）＜，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（1+）…（1+）＜e；另一方面可知（1+）（1+）…（1+）＞2，且当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e）．。
2011-2017新课标高考数学导数分类汇编(文)
2011-2017新课标高考数学导数分类汇编(文)2011-2017新课标(文科)导数压轴题分类汇编【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（1）求a 、b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，f (x )>ln xx -1【解析】（1）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。
（2）由（1）知f (x )=x x x 11ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2(2ln x -x 2-1x )， 考虑函数，则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得，从而当，且时，.【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间（2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值 【解析】（1）f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增.若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.（2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)(1)x x k x x e +<+>-①.令1()(1)x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)xx x x x xe e e x g x e e ----'=+=--. 由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，ln ()1x f x x >-ln ()1xf x x >-0x >1x ≠ln ()1xf x x >-【2014新课标1】21．设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;（2）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围。
2017年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用
2017年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用sin2 x(2017年新课标I 文)&函数y的部分图像大致为1 cosx【答案】A令f (x)0,解得x 2或x 1，所以f(x)在(，2),(1,)单调递增，在(2,1)单调递减所以f (x)极小值 f(1) (1 11)e 1 11，故选A 。
3.(2017年新课标I 文)9 •已知函数f (x) lnx ln(2 x)，贝y (C)A • f(x)在(0,2)单调递增B • f (x)在(0,2)单调递减C • y= f(x)的图像关于直线x=1对称D • y= f (x)的图像关于点(1,0)对称4.(2017年浙江卷)函数y=f(x )的导函数y f (x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选 D.2x 1x 15.(2017年新课标川卷理)11 •已知函数f(x) x 2x a(e e )有唯一零点，则 a=(C )1.2. (2017年新课标n 卷理A.)11.若x 2是函数f (x)(x 2ax x 1'1)e 的极值点，则f (x)的极小值为()B. 2e 3C. 5e 3D.1【解析】由题可得 f (x) (2x a)e x 1 (x 2x 12ax 1)e[x(a 2)x a 1]e x 1因为f ( 2)0，所以af(x) (x 2x 1)e x 1，故 f (x) (x 2x 1x 2)e111A.-B. -C . —D . 12 3 2【答案】C【解析】£ -2 “ -a ｛訂十严J ,谡g M =訐+童创，『(© =尸-产 J 戶-二r 二 j当現0 = 0咋r=l,函数里调递矶当11巧 /(x)>0, MM 调递增.当*1时，團数职得最小值胃⑴二2,设/i(x) = x 2-2x f 当*1时、函数取得最小1S-1J 若-GA O,函数矗(£ ,和口冒(兀)浚有交点，当一口 vO 时，一口雷(1)二方⑴日寸「止匕时函数工|和昭(尤)有一个交点,即 p K 2 二 一1 二 a =—、故选 C 1设g x = ax - a - l nx ，贝y f x = xg x , f x 0 等价于 g x 0 因为 g 1 =0, g x 1 0,故g' 1 =0,而g' x a, g' 1 =a 1,得a 1x若 a=1，则 g' x =11 •当0 v x v 1时，g' x <0, g x 单调递减；当 x > 1时，g' x > 0, g x 单调递增•所以x=1x是g x 的极小值点，故 g x g 1 =0 综上，a=1(2)由 11)知 f ( JT ： = x 2 - jr * jr In jr T f ' (r) = 2x - 2 - In A当兀三卫;时.^T (x) <0 i 当才=二十力时，/rUD , 调递增1 1 1又he 2 >0,h $ v 0,h 1 0,所以h x 在0,2有唯一零点x 。
高考数学分类汇编函数(包含导数)
高考数学分类汇编函数(包含导数)一、选择题1.（市回民中学2008-2009学年度上学期高三第二次阶段测试文科） 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 （ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（1，e ）答案：B.2（市回民中学2008-2009学年度上学期高三第二次阶段测试文科）具有性质：1()()f f x x =-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①1y x x=-；②1y x x =+；③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有① 答案：B.3.（二中2009届高三期末数学试题） 已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数x b a x a x x f ⋅++=23||2131)(在R 上有极值，则与的夹角围为（ ） A ．)6,0[π B ．],6(ππC ．],3(ππD ．2[,]33ππ答案：C.4.（二中2009届高三期末数学试题）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，都有(1)(3)f x f x -=+。
当[4,6]x ∈时，()21x f x =+，设函数()f x 在区间[2,0]-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -的值为 A ．2log 3- B ．22log 3- C ．212log 3-D ．232log 3-答案：D.5.（省二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知),(,)1(log )1()3()(+∞-∞⎩⎨⎧≥<--=是x x x ax a x f a 上是增函数，那么实数a 的取值围是（）A ．（1，+∞）B ．（3,∞-）C ．)3,23[D ．（1，3）答案：C.6.（省二中2008—2009学年上学期高三期中考试） 若关于x 的方程,01)11(2=+++xx a ma （a>0，且1≠a ）有解，则m 的取值围是（） A ．)0,31[- B ．]1,0()0,31[ - C ．]31,(--∞D ．),1(+∞答案：A.7.（省二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，都有)3()1(+=-x f x f 。
高考文科数学导数真题汇编(带答案)
高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。
9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。
11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。
解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。
2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。
解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。
专题03 导数计算(解析版)-高考数学计算题型精练(新高考通用版)
导数计算1．求下列函数的导数：(1)cos sin cos xy x x -=；(2)221e x y x +=.【答案】(1)()21sin cos x x --；(2)()222141exx ++【详解】（1）()()()()22sin sin cos cos sin cos 1sin cos sin cos x x x x x xy x x x x ---+'==---；（2）()()22221221221e 21e 41e xx x y x x x +++''=++=+.2．求下列函数的导数．(1)()()221f x x =-+；(2)()()ln 41f x x =-；(3)()322x f x +=；(4)()f x =；【答案】(1)84x -(2)441x -(3)3232ln2x +⨯【详解】（1）因为()()2221441f x x x x =-+=-+，所以()84f x x '=-.（2）因为()()ln 41f x x =-，所以()441f x x '=-.（3）因为()322x f x +=，所以()3232ln2x f x +'=⨯（4）因为()f x =，所以()f x '==3．求下列函数的导数：(1)32235y x x =-+；(2)241y x x =++；(3)2log y x =；(4)e n xy x =；(5)31sin x y x-=；(6)sin sin cos xy x x=+．【答案】(1)266x x -(2)()22241x x ----+(3)1ln 2x (4)()1e n xx n x -+(5)()2323sin 1cos sin x x x x x--(6)11sin 2x+【详解】（1）()()32223566y x x x x ''''=-+=-.（2）()()()22242411y x x x x ''--'=+=+++()22241x x --=--+.（3）()21log ln 2y x x ''==.（4）()()()11e e e e e n x n x n x n x n x y x x nx x x n x --'''=+=+=+.（5）()()()()33321sin 1sin 1sin sin x x x x x y x x '''---⎛⎫-'== ⎪⎝⎭()2323sin 1cos sin x x x x x --=.（6）()sin sin cos x y x x ''=+()()()()2sin sin cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x ''+-+=+()()()2cos sin cos sin cos sin sin cos x x x x x x x x +--=+()2111sin 2sin cos x x x ==++．4．求下列函数的导数：（1）1)1y ⎫=+-⎪⎭；（2）3ln (0,1)x y x a a a =+>≠；（3）sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）2ln(23)1x y x +=+.【答案】（1）11y x ⎫'=+⎪⎭；（2）3ln (0xy a a a x '=+>且1)a ≠；（3）1sin 42cos 42y x x x --'=；（4）y '()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++【详解】（1）1)11y ⎫==-=⎪⎭，11y x '⎛⎫'∴===+⎪⎭⎝.（2）()'33ln ln (0,1)xxy x aa a a a x=+=+>≠'.（3）11sin 2cos 2sin(4)sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，111sin 44cos 4sin 42cos 4222x x x x x x y '∴=--⋅=--.（4）()()()2222[ln(23)]1ln(23)11x x x x y x ''++-++'=+()()222(23)12ln(23)231x x x x x x '+⋅+-++=+()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++.5．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；（3）sin cos 22x y xx =-；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln +='+x y x x ；（3）11cos 2y x '=-.【详解】（1）因为23cos =+y x x ，所以6sin =-'y x x ；（2）因为()1ln =+y x x ，所以1ln +='+x y x x；（3）因为1sin cos sin 222y x x x x x =-=-，所以11cos 2y x '=-；6．求下列函数的导数．（1）22y x x -=+；（2）2ln 1xy x =+【答案】（1）322y x x -=-'；（2）()()22112ln 1x x xy x-+'=+【详解】（1）322y x x -=-'；（2）()()()()()22222212ln ln 1ln 111x x xx x x x x y xx ⎛⎫+-'' ⎪+-+⎝⎭'==++()()()2222112ln 12ln 11x x x x x x x x x -+-+==++.7．求下列函数的导数：（1）2()(1sin )(1)f x x x =+-；（2）()31x xf x x =-+.【答案】（1）()2cos 12(1sin )x x x x --+；（2）213ln 3(1)x x -+.【详解】（1）22()(1sin )(1)(1sin )(1)f x x x x x '''=+-++-2cos (1)(1sin )(2)x x x x =-++-()2cos 12(1sin )x x x x =--+（2）()((3)1x xf x x '''=-+2()(1)(1)3ln 3(1)x x x x x x ''+-+=-+213ln 3(1)x x =-+.8．求下列函数的导数：（1）22log (3);y x x =（2）cos(21).x y x+=【答案】（1）22log (3).ln 2x y x x '=+（2）()22sin 21cos(21).x x x y x -+-+'=【详解】(1)[]2222()log (3)log (3)y x x x x '''=+2232log (3)3ln 2x x xx =+22log (3)ln 2xx x =+.(2)[]2cos(21)cos(21)x x x x y x''+-+'=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.9．求下列函数的导数：(1)111x y x x+=+-；(2)ln(21)y x x =+．【答案】(1)22221(1)x x y x x +-'=-(2)2ln(21)21xy x x '=+++．【详解】(1)2222(1)(1)(1)121(1)(1)x x y x x x x --+⨯-'=-=---22221(1)x x x x +-=-；(2)12ln(21)2ln(21)2121xy x x x x x '=++⋅⋅=++++．10．求下列函数的导数：(1)()ln 21x y x+=；(2)()ln 25y x =-；(3)sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)()()()2221ln 2121x x x y x x-++'=+(2)225y x '=-(3)1sin 42cos 42y x x x --'=【详解】（1）()()()()()2221ln21ln 21ln 21ln 2121x x x x x x x x x y x x x '+'⋅-+''+-+⎡⎤+⎡⎤⎣⎦+'===⎢⎥⎣⎦()()()()222ln 21221ln 212121xx x x x x x x x -+-+++==+．（2）令25u x =-，ln y u =，则()112ln 222525y u u u x x '''=⋅=⋅=⋅=--．（3）因为()11sin 2cos 2sin 4sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11111sin 4sin 4sin 44cos 4sin 42cos 422222y x x x x x x x x x x''⎛⎫⎛⎫=-+-=--⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'．11．求下列函数的导函数．(1)324ln 1y x x x =+-+；(2)24cos 2xy x -=+；(3)21e sin +=x y x ．【答案】(1)21122x x x +-(2)()()2222sin 2cos 82x x x x x x ++-+(3)()212sin cos e x x x ++【详解】（1）'21122y x x x=+-；（2）()()()()()22'2222sin 224cos 2sin 2cos 822x x x x xx x x xy xx+--++-==++；（3）()'2121212e sin e cos 2sin cos e x x x y x x x x +++=+=+.12．求下列函数的导数.（1）(11y⎛=+ ⎝；（2）ln xy x=.【答案】（1）'y =，（2）'21ln x y x -=【详解】解：（1）因为(11221111y x x-⎛=+==- ⎝，所以31'22211111)22222x y x x x --+=--=-=-，（2）由ln x y x =，得'21ln x y x -=13．求下列函数的导数：(1)5log 2y x =；(2)8x y =；(3)cos 2y x =；(4)()432y x =．【答案】(1)1ln 5y x '=(2)8ln8x y '=(3)2sin 2y x '=-(4)1013323y x =【详解】（1）555log 2log 2log x x =+ 1ln 5y x '∴=（2）8ln8x y '=（3）令2,t x =则cos y t =()()()cos 2cos 2sin 22sin 2x t x y y t x t x t x''''''∴=⋅⇒=⋅=-⨯=-，故2sin 2y x '=-（4）()10444414313333334222233y x x y xx -'==⋅∴=⨯= 14．求下列函数的导数：（1）8y x =；（2）4x y =；（3）3log y x =；（4）sin(2y x π=+；（5）2e y =.【答案】（1）'78y x =；（2）'4ln 4x y =⋅；（3）'1ln 3y x =⋅；（4）'sin y x =-；（5）'0y =.【详解】（1）8y x =,'78y x =；（2）4x y =，'4ln 4x y =⋅；（3）3log y x =,'1ln 3y x =⋅；（4）sin()cos 2y x x π=+=，'sin y x =-；（5）2e y =，'0y =.15．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)ln y x =；(5)cos y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x'=-(3)3ln 3xy '=(4)1y x '=(5)sin y x '=-【详解】（1）()121112y x x ''==（2）()4545144y x x x x --'⎛⎫''===-=- ⎪⎝⎭（3）()ln 333x x y ''==（4）()1ln y x x''==（5）()cos sin y x x''==-16．求下列函数的导函数(1)4235+6y x x x =--；(2)21y x x=+；(3)2cos y x x =；(4)tan y x =【答案】(1)3465y x x =--'；(2)321y x '=-；(3)22cos sin y x x x x -'=；(4)21cos y x'=【详解】（1）由4235+6y x x x =--，则3465y x x =--'；（2）由21y x x =+，则321y x '=-；（3）由2cos y x x =，则22cos sin y x x x x -'=；（4）由sin tan cos x y x x ==，则2222cos sin 1cos cos x x y x x+'==.17．求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+；（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈；（4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x =；（6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+(2)2()2f x x x a'=-+(3)()sin 1f x x '=-+(4)1()23f x x x'=--+(5)cos y x '=(6)22(1)y x '=--【详解】解：（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.18．求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）cos x y e x =；【答案】（1）y ′＝18x 2＋4x －3；（2）y ′＝ex (cos x －sin x ).【详解】（1）2222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)1843y x x x x x x x x x '''=-++-+=++-=+-，（2）()cos (cos )cos sin (cos sin )x x x x x y e x e x e x e x e x x '''=+=-=-.19．求下列函数在指定点处的导数．(1)()πf x x =，1x =；(2)()sin f x x =，π2x =．【答案】(1)π(2)0【详解】(1)解：因为()πf x x =，所以()1f x x ππ-'=，所以()1f π'=.(2)解：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭.20．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)5log y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x '=-(3)3ln3xy '=(4)1=ln5y x '【详解】（1）12y x =，则1112y x '=（2）441y x x -==，则41544y x x --'-==-（3）3x y =，则3ln3x y '=（4）5log y x =，则1=ln 5y x '21．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln 1y x x'=++【详解】解：（1）因为23cos =+y x x所以()()23cos 6sin y x x x x '''=+=-，即6sin =-'y x x（2）因为()1ln =+y x x所以()()()()111ln 1ln ln 1ln 1y x x x x x x x x x '''=+++=++⋅=++，即1ln 1y x x'=++22．求下列函数的导数.(1)()()22331y x x =+-；(2)1sin 1cos xy x-=+.【答案】(1)21849y x x '=-+(2)21cos sin (1cos )'--+=+x x y x 【详解】（1）解：因为326293y x x x =-+-，所以21849y x x '=-+（2）()()2cos (1cos )1sin sin (1cos )x x x x y x -+---=+'，21cos sin (1cos )x xx --+=+.23．求下列函数的导数.(1)()()ln sin f x x x x =+；(2)()()521exx f x +=.【答案】(1)()ln sin cos 1f x x x x x '=+++(2)()()()42192e xx x f x +-'=【详解】（1）()()()1ln sin ln sin ln sin cos f x x x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+++=+++ ⎪⎝⎭ln sin cos 1x x x x =+++.（2）()()()()()()454525e 212121e 102121e e x x x xx x x x x f x '++-++-+'==()()()()442110212192e ex xx x x x +--+-==.24．求下列函数的导数：(1)()2sin 2x f x x x=+(2)()()3e ln 24xf x x =+【答案】(1)()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x x x +-+'=+(2)()()33e 3e ln 224xxf x x x =+++'【详解】（1）()2sin 2xf x x x=+，()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x xx +-+'=+（2）()()3e ln 24xf x x =+，()()()3333e 3e ln 242242e 3e ln 24x xxxx f x x x x '=++++=++.25．求下列函数的导数：(1)()f x =(2)()cos 21x y x+=.【答案】(1)21x x +(2)()()22sin 21cos 21x x x x -+-+（2）求商的导数，[]2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，由复合函数的的导数得[]cos(21)sin(21)(21)2sin(21)x x x x ''+=-++=-+ .【详解】（1）因为()f x =所以()()122'211221x x x f x x -+⋅===+'.（2）()()()'2cos 21cos 21x x x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦''=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.26．求下列函数的导函数.(1)()()22331y x x =+-；(2)233x y x +=+.【答案】(1)21849x x -+(2)()222633x x x--++【详解】（1）()()22331y x x =+- ，()()()()()()2222233123314313231849y x x x x x x x x x '''∴=+-++-=-++=-+；（2）233x x y +=+ ，()()()()()()()()()2222222222333332363333x x x x x x x x x xxxy ''∴++-+++-+--+=='=+++.27．求下列函数的导数:(1)32234y x x =--；(2)ln xy x=.【答案】(1)266x x -(2)21ln x x -【详解】（1）322(2)(3)(4)66y x x x x ''''=--=-（2）()2221ln ln ln ()1ln x xx x x x x x y x x x ⋅-''⋅-⋅-'===28．求下列函数的导数：(1)31x x y e-=(2)ln(52)y x =+(3)cos(21)x y x +=【答案】(1)3231e x x x y -+'+=(2)552y x '=+(3)22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-【详解】（1）∵31xx y e-=，则()()()()()()''333232221e 1e 31e 31e e e x xxxx xx x xx x x y ----++-++==='，故3231e xx x y -+'+=.（2）设52u x =+，则ln ,52u y u u x ==+，则()()()()''''15ln 52552u y y u u x u x '==+=⨯=+，故552y x '=+.（3）∵cos(21)x y x+=，则[]()2222sin(21)cos(21)2sin(21)cos(cos(21)cos 2121)x x x x x x y x x x x x x x ''+⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'==-+-++++=-，故22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-.29．求下列函数的导数.(1)n 1l y x x =+;(2)sin cos 22x y x x =-；(3)cos ex xy =【答案】(1)211y x x '=-.(2)11cos 2y x '=-(3)sin cos e x x x y +'=-.【详解】（1）22111(ln )(y x x x x''=+=-；（2）由已知1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-；（3）22(cos )e cos (e )sin e cos e sin cos (e )e e x x x x x x xx x x x x xy ''--⋅-⋅+'===-．30．求下列函数的导数：(1)21y x x=+；(2)e sin x y x =；(3)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()e sin cos x y x x '=+(3)y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x（2）解：()()()e sin e sin e sin e cos e sin cos x x x x x y x x x x x x '''=+=+=+（3）解：()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .31．()2ln 3=+y x x x ．【答案】y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】()()22ln 3ln 3y x x x x x x '⎡⎤''=+++⎣⎦()()221ln 3233x x x x x x =++⋅⋅++()223ln 33x x x x +=+++.32．21y x x =+；【答案】312y x -=-'【详解】221y x x x x-=+=+，()2312y x x x --'''=+=-.33．求下列函数的导数(1)2(2)(31)y x x =-+；(2)2cos 2x y x=【答案】(1)2272411y x x '=--(2)y '222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=【详解】（1）因为2232(2)(31)(2)(961)912112y x x x x x x x x =-+=-++=---，所以()()()32291211272411y x x x x x ''''=--=--（2）222222()cos 2(cos 2)2cos 2(2sin 2)cos 2(cos 2)(cos 2)x x x x x x x x x y x x x '''⎛⎫---'=== ⎪⎝⎭222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=34．求下列函数的导数(1)()2112f x x x x=--；(2)()e ln sin x f x x x =++【答案】(1)()3221x x f x x -+'=；(2)()1e cos xf x x x '=++【详解】（1）解：因为()2112f x x x x =--，则()3222111x x f x x x x -+=-+='.（2）解：因为()e ln sin x f x x x =++，则()1e cos xf x x x'=++.35．求下列函数的导数.(1)ln(21)y x =+；(2)sin cos x y x=；(3)()2ln 1y x x =+；(4)1()23()()y x x x =+++.【答案】(1)221y x '=+；(2)21cos y x ='；(3)()2222ln 11x x xy +++'=；(4)231211y x x =++'.【详解】（1）函数ln(21)y x =+，所以()12212121y x x x '=⋅+=++'.（2）函数sin cos x y x =，所以()()''22222sin cos sin cos cos sin 1cos cos cos x x x x x x y x x x -+=='=.（3）函数2)ln(1y x x =+，所以22222212ln(1(1)())ln 111x x x x x x y x '++⋅⋅+=++++'=.（4）依题意，32123()()()6116y x x x x x x ==++++++，所以231211y x x =++'.36．求下列函数的导函数．(1)()4ln =+f x x x ；(2)()sin cos =-x f x x x；(3)()21e xf x -=．【答案】(1)31()4f x x x '=+；(2)()2cos sin sin x x xf x x x'-=+；(3)21()2e x f x '-=.【详解】（1）31()4f x x x '=+；（2）()2cos sin sin x x xf x x x'-=+.（3）2121(21()e )e 2x x x x f --'==⋅-'.37．求下列函数的导数.(1)y =(2)()()()123y x x x =+++；(3)y =【答案】(1)52322332sin cos 2x x x x x x y ---=-+-+'；(2)231211y x x =++'；(3)()221y x '=-【详解】（1） 13523222sin sin x x x x y x x x x -++==++∴()()3322sin y x x x x --'⎛⎫'''=++ ⎪⎝⎭52322332sin cos 2x x x x x x ---=-+-+.（2） ()()2323236116y x x x xx x =+++=+++，∴231211y x x =++'.（3）21y x===-∴()()()222122111y x x x '-'⨯-⎛⎫=== ⎪-⎝⎭--.38．求下列函数的导数：(1)()()311y x x =--；(2)sin 3y x =；(3)21ex x y +=．【答案】(1)32431y x x =--'；(2)3cos 3y x ='；(3)221e xx x y -+'=-【详解】（1）()()()()()()''3332321111131431y x x x x x x x x x =--+--=-+--'=-；（2）令3u x =，则sin y u =，所以()()''3sin 3cos 3cos3y x u u x =⋅=='；（3）()()()()()()''2222221e 1e 2e 1e 21e e e x xx xxx xxx x x x x y +-+-+-+=='=-．39．求下列函数的导数：(1)πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()2ln 35y x =+．【答案】(1)21πcos 0,cos 2y x x x ⎛⎫'=+∈ ⎪⎝⎭；(2)()2223563535x x y x x '+'==++【详解】（1）πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22cos cos sin sin sin 1πsin cos cos ,0,cos cos 2cos x x x x x y x x x x x x x '⋅-⋅-⎛⎫⎛⎫''=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2ln 35y x =+()2223563535x xy x x '+'==++40．求下列函数的导数：(1)21y x x =+；(2)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x ；（2）()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .41．求下列函数的导数．(1)()2ln 2xx f x x +=；(2)()()3ln 45f x x =+．【答案】(1)()312ln ln 222xx x x -+-；(2)1245x +【详解】（1）函数()2ln 2xx f x x +=的定义域为()0+∞，.所以()()()()()()22232ln 2ln 212ln ln 222xxxx x x x x x f x x x ''+-+-+-'==（2）函数()()()3ln 453ln 45f x x x =+=+的定义域为54⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.所以()()'345124545x f x x x +==++'42．求下列函数的导数：(1)()2321cos y x x x =++；(2)2y =(3)18sin ln y x x x =+-；(4)32cos 3log xy x x x =-；(5)33sin 3log xy x x =-；(6)e cos tan x y x x =+．【答案】(1)()2(62)cos 321sin x x x x x +-++；(2)132291122x x --+；(3)17118cos x x x+-；(4)()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x ---；(5)()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x +-⋅；(6)21e cos e sin cos x xx x x-+.【详解】（1）()()()22321cos 321cos y x x x x x x '''=+++++⋅()2(62)cos 321sin x x x x x =+-++.（2）3122235y x x x -==+-+，所以1222213331311222912y x x x x --'=⨯⋅+-⋅=-+.（3）17118cos y x x x'=+-.（4）()()()()332cos 2cos 3log log x x y x x x x x x'⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x =---.（5）()()13sin 3sin 3ln 3x xy x x x '''=+-⋅()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x=+-⋅.（6）sin e cos tan e cos cos x xxy x x x x=+=+，故()()()()2sin cos cos sin e cos e cos cos x x x x x xy x x x''-'''=+⋅+21=e cos e sin cos x x x x x-+.43．求下列函数的导数：(1)2e axbxy -+=；(2)2sin(13)y x =-；(3)y(4)y =(5)2lg sin 2x y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(6)221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【答案】(1)2(2)eax bxax b -+-+(2)6cos(13)x --(3)()()()231cos 2sin 22ln 213x x x x x --+⋅+⋅+(4)cos 2(1sin )x x +(5)22cos 122lg e 2sin 2x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭(6)22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为函数2e axbxy -+=可以看做函数e u y =和2u ax bx =-+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2e u ax bx ''=⋅-+()e 2u ax b =⨯-+2(2)e axbxax b -+=-+；（2）因为函数2sin(13)y x =-可以看做函数2sin y μ=和13u x =-的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2sin 13x μ''=⋅-()2cos 3μ=⨯-6cos(13)x =--；（3）因为函数y =y =()cos 2xu x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅，又因为函数()cos 2xu x =+可以看做函数cos t μ=和2x t x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xt x t μμ'''=⋅所以x u t xy y u t ''''=⋅⋅()()cos2xt x'''=⋅⋅+()()231sin2ln213xtμ-⎛⎫=⨯-⨯+⎪⎝⎭()()()231cos2sin22ln213x x xx x-⎡⎤=+-+⨯+⎣⎦()()()231cos2sin22ln213x x xx x-=-+⋅+⋅+；（4）函数y=()1ln1sin2y x=+因为函数()1ln1sin2y x=+可以看做函数1ln2yμ=和1sinu x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，所以x u xy y u'''=⋅()1ln1sin2xμ'⎛⎫'=⋅+⎪⎝⎭1cos2xμ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭cos2(1sin)xx=+；（5）因为函数2lg sin2xy x⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可以看做函数lgy u=和2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，又因为函数2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭可以看做函数sin tμ=和22xt x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x t xtμμ'''=⋅所以x u t xy y u t''''=⋅⋅()()2lg sin2xt xμ'⎛⎫''=⋅⋅+⎪⎝⎭()11cos2ln102t xμ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⎪⎪⎝⎭⎝⎭22cos122lg e2sin2x xxx x⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅⋅⎪⎛⎫⎝⎭+⎪⎝⎭；（6）函数221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可化为211cos 2e 2x x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，因为函数2221cos e 2xx y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=可以看做函数1cos 2y μ+=和222e xx u +=的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u x y y u '''=⋅，所以xu x y y u '''=⋅21cos 222e xx μ''⎛⎫++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()224e e 221sin 2e x x x x x μ⎡⎤-+⎢⎥=-⋅⎢⎥⎣⎦21242sin 2e x x x μ⎛⎫-+-=-⋅ ⎪⎝⎭22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.44．求下列函数的导数.(1)()()1ln 2y x x =+；(2)21e x y x+=.【答案】(1)y '()1ln 21x x =++(2)212122e ex x x y x ++-='【详解】（1）()()()()()()()111ln 21ln 2ln 21ln 21y x x x x x x x x x'=+++=++⋅=++⎡⎤⎣'⎦'（2）()2121212122e e 2e e x x x x x x x y x x ++++'⋅-⋅-==''45．求下列函数的导数．(1)y =(2)()621e 1x y x -+=-【答案】(1)()241y x -'=-；(2)()()521e 182x y x x -+'=--【详解】（1）2211221x y x ++===-()()()()()22212212211x x x x x y x x '''+--+-+⎛⎫'== ⎪-⎝⎭-()()()()222122411x x x x --+-==--（2）()()()()666212121e 1e 1e 1x x x y x x x -+-+-+'''⎡⎤⎡⎤'=-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()()6552121212e 1e 61e 182x x x x x x x -+-+-+=--+⋅-=--46．求下列函数的导数.(1)52234y x x =--；(2)e sin xy x=.【答案】(1)4106y x x '=-；(2)2e sin e cos sin x x x xy x-'=【详解】（1）()()()5252423423106y x x x x x x ''''-==--=-（2）()()2e sin sin e e sin sin x x xx x y x x '''-⎛⎫'== ⎪⎝⎭2e sin e cos sin x x x x x -47．求下列函数的导数：(1)2sin y x x =；(2)n 1l y x x=+；(3)tan y x x =⋅；(4)()()()123y x x x =+++；(5)()()22332y x x =+-；(6)cos e xxy =．【答案】(1)22sin cos y x x x x '=+(2)211y x x'=-(3)2tan cos x y x x '=+(4)231211y x x =++'(5)21889y x x '=-+(6)sin cos e xx xy +'=-【详解】（1）()()()2222sin sin sin 2sin cos y x x x x x x x x x x ''''==+=+；（2）()21111ln ln y x x x x x x''⎛⎫⎛⎫''=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()222sin cos sin tan tan tan tan tan cos cos x x x y x x x x x x x x x x x x '+⎛⎫'''=⋅=+=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭2tan cos x x x =+；（4）()()()()()()123123y x x x x x x '''=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()123123123x x x x x x x x x '''=+++++++++++()()()()()()231312x x x x x x =++++++++231211x x =++.（5）()()()()()()2222233223324323231889y x x x x x x x x x '''=+-+++=-++=-+；（6）()2cos 1111sin cos cos cos sin cos e e e e e e e x x x x x x xx x x y x x x x ''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫''==+=-⋅+⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编 导数及其应用
3．导数及其应用（含解析）一、选择题【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．1ln2-B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+【2011，9】由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 三、解答题【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值错误！未找到引用源。
2011-2017新课标高考数学导数分类汇编(文)
2011-2017新课标（文科)导数压轴题分类汇编【2011新课标】21。
已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（1）求a 、b 的值;（2）证明：当0x >,且1x ≠时，f (x )>ln x x -1【解析】（1）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =,1b =。
（2）由（1）知f （x ）=x x x 11ln ++,所以f (x )-ln x x -1=11-x 2(2ln x -x 2-1x )， 考虑函数，则22222)1()1(22)(xx x x x x x h --=---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1）=0故)1,0(∈x 时，h （x ）〉0可得，),1(+∞∈x 时,h (x ）〈0可得， 从而当，且时，。
【2012新课标】21. 设函数f （x ) = e x —ax —2 (1）求f (x ）的单调区间（2)若a =1，k 为整数,且当x >0时，（x -k ) f ´(x ）+x +1〉0，求k 的最大值 【解析】（1）f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-,若0a ≤，则()0f x '>,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增。
若0a >,则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减,在(ln ,)a +∞单调递增。
最新-2017新课标高考数学导数分类汇编(文)
2021-2021新课标(文科)导数压轴题分类汇编【2021新课标】21.函数f(x)=a J n-^+-,曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x 1 xx+2y —3=0. (1)求a 、b 的值;In x(2)证实：当x>0,且x#1时,f (x) >—— x- 1【解析】z x 1：(——-Inx) b(1) f'(x)=-x —2-—与(x 1)2x 2【2021新课标】21.设函数f(x) = e x -ax-2 (1)求f (x)的单调区间(2)假设a=1, k 为整数,且当x>0时,(x-k) f (x)+x+1>0,求k 的最大值 【解析】(1) f(x)的定义域为(-00,8),f (x) =e x -a ,假设a M0 ,那么f (x) >0 ,所以f (x)在(-℃>,")单调递增.假设 a >0 ,那么当 x W (g ,ln a)时,f '(x) <0 ;当 x w (In a +中时,f (x) >0 ,所以 f (x)在(-°o,ln a)单 调递减,在(Ina, F 单调递增.(2)由于 a =1 ,所以(x —k)f '(x) +x+1 =(x -k)(e x —1)+ x+1.故当 x>0 时,(x-k) f (x)+x+1 —0 等价于 k < x *1 +x (x > 0) ①. (e x -1)由(1)知,函数 h(x) =e x —x —2在(0,代)单调递增,而 h(1)<0, h(2) a 0 ,精品文档 精品文档所以h(x),在(0,〜)存在唯一的零,故g'(x)在(0,〜)存在唯一的零点.精品文档由于直线x+2y —3=0的斜率为且过点(1,1),f(1)=1,故1(2)由(1)知b =1, 即a --b 2 In x 11 2,f(x)= ------ + —,所以x 1 x 考虑函数,那么 h(x) =- 2x 2 -(x 2 一1)f(x)-JnA=」^(2Inx-立1), x- 1 1- x x_ (x-1)2 ― 2~ ,x所以 xw 1时 h' x) v 0,而 h(1)=0In x故 xW(0,1)时,h(x)>0 可得 f (x) A ——x -1从而当x >0 ,且x #1时,f(x)x -1In xxW(1,+=c)时,h(x)<0 可得 f (x) > ---------- ,x -1令 g (x 户口+x ' M g (x)-xe x -1 e x (e x -x -2) 二/ x 八 2 1 二J~—(e -1) (e -1)设此零点为a ,那么a w (1,2).当xw(0,a)时,g'(x)<0；当x w(a,+=c)时,g\x) >0.所以g(x)在(0, -He)的最小值为g(a).又由g '(a) = 0 ,可得e a =a + 2 ,所以g(a) =a +1 w (2,3).由于①式等价于k<g(a),故整数k的最大值为2【2021新课标1】20.函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y= 4x + 4.(1)求a, b的值；(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.【解析】(1)f' x) = e x(ax+a + b)-2x-4.由得f(0) = 4, f' (0)4.故b=4, a+b = 8.从而a=4, b= 4.(2)由(1)知,f(x) = 4e x(x+ 1)-x2-4x,.一x r x 1)f x)=4e x(x + 2) —2x—4=4(x+2) I e --.令f'x) = 0 得,x=—In 2 或x=—2.从而当x6 (—8, - 2)U(-ln 2, + 8对,y x)>0;当xC ( —2, — ln 2)时,f'x)v0.故f(x)在(—°°, — 2), (— ln 2, + 00止单调递增,在(—2, — ln 2)上单调递减.当x=—2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2) = 4(1-e 2).【2021新课标2】21.函数f(x) =x2e x.⑴求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y = f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(—8, +8), f' (x)- e x x(x-2).①当xC(—oo, 0)或xC(2, +8时,f' (x)0；当xC(0,2)时,f' (x)0.所以f(x)在(―8, 0), (2, +8弹调递减,在(0,2)单调递增.故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x = 2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)= 4e 2.(2)设切点为(t, f(t)),那么l 的方程为y=f' (t)(xt)+f(t).所以l在x轴上的截距为m(t) = t —上g=t+—L =t—2+二一+3.f '(t) t -2 t -2由和①得tc (—8, 0)U(2, +8).2令h(x)=x+—(xw0)那么当xC (0, +8对,h(x)的取值范围为12灰,+8)；当xC(一oo, —2)时,h(x)的取值范围是( — 8, -3).所以当tC( —oo, 0)U(2, +8时,m(t)的取值范围是(—8, 0)U[2j2+3, + 问综上,l在x轴上的截距的取值范围是(―m0)U[2应+3, +8].精品文档精品文档1 - a o ,.【2021新课标 1】21.设函数 f (x )= aln x + —x — bx(a #1),曲线 y = f ( X)在点(1, f (1))处的切线斜率为0 (1)求 b;a(2)右存在x 0 >1,使得f (x 0 )< ——-,求a 的取值也围.【解析】(1) f'(x) =a+(1—a)x —b ,由题设知 f'(1) = 0,解得 b 1 x1 - a o(2) f (x)的定义域为(0, 8),由(1)知,f(x)= aln x + 三一x 2—x , . a 1 - a ( a *f (x) =— + (1 -a)x -1 = ---------- . x -- ----- ((x -1)x x < 1-a J1a(i)假设 aw 」,那么一a —E1,故当 xC(1, 8)时,f '(x)0 , f(x)在(1,2 1-a所以,存在x 0>1,使得f (x 0) W-a-的充要条件为f(1)E-a-,即 上刍―1<_a_1 -a 1 -a 21 -a所以 ,21 a 11;af(x)A0, f(x)在(1, ——)上单调递减, 1 -a所以,存在x 0>1,,使得f(x 0) w/一的充要条件为f(N_)wN_ 1-a1 - a 1 - a2而f(3)=alnN —+=一十2 a 旦,所以不符合题意. 1 -a 1 -a 2 1 -a 1 -a 1 -a1-a 1 - a a(in)假设a>1,那么 f(1)=——一1= ---------- <——.2 2 a -1综上,a 的取值范围为：(一无一1, J 2—1)=(1,〜)【2021新课标2121.函数f (x) =x 3 -3x 2+ax+2 ,曲线y = f (x)在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.(1)求 a ；(2)证实：当时,曲线 y = f(x)与直线y = kx-2只有一个交点.【解析】(1) f'(x) =3x 2-6x+a , f'(0) = a2曲线y = f (x)在点(0, 2)处的切线万程为y =ax+2 ,由题设得——=—2 ,所以a = 1a精品文档 精品文档8)上单调递增..1 a (ii)右一<a<1,那么 ------- >1 ,故当 xC(1,21 -aa 一,a 一----- )时,f '(x) < 0 , xC ( ,收)时, 1-a----- 1 - af (x)在一a —,〜单调递增.1 -a(2)由(1)知,f (x) =x3 -3x2 x 2 3 2设g(x) = f (x) -kx 2 = x -3x (1 - k)x 4由题设知1 —k .0当x W0 时,g (x) =3x2 -6x+1 -k >0 , g(x)单调递增,g(—1) = k —1 < 0,g(0) =4 , 所以g(x) =0在(3,0］有唯一实根.当x 10 时,令h(x) =x3 -3x2 +4 ,那么g(x) = h(x) +(1 — k)x > h(x)h'(x)=3x2_6x=3x(x—2),h(x)在(0, 2)单调递减,在(2,〜)单调递增,所以g(x) h(x) ,h(2) =0所以g(x) =0在(0,+oc)没有实根综上g(x) =0在R由唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y = kx — 2只有一个交点.【2021新课标1】21.设函数x.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数；2(2)证实：当a＞0时,f(x) 22a+aln —.a【解析】(21)解:(1 ) /⑸的定义域为当dwo时,/(工)没有零点；当.＞o时,由于小单调递增,-2单调递增,所以(白)在电皿〉单调递增•乂X,当各满足0＜5＜四且3＜,时,/(d)＜0.故当0＞.时・rco存在唯一零点.4 4...... 6分(II)由(1 ),可设/'住)在(0,2)的唯一零点为当时,八幻?0：当工仪与,2｝时,/'住),0-故在©&)单调递减,在［,单调递增,所以当工工厢时,人功取得最小值,最小值为由i- -= 0 .所以/(金)=-^- + 力% + ^2a +(Jln -./ 2J^ a a故当白时.FCOeX-oInN. ……12分【2021 新课标2】21.f (x)=lnx + a(1 —x ).(1)讨论f (x)的单调性；(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a的取值范围精品文档精品文档【解析】f x = lnx a 1 -x .1r(1) f'(x) = —— ax当aMCW,函数f(x)在(0,+笛)上是增函数；当a>0时,函数f(x)在(0,1)上是增函数,在(L+oc)上是减函数.a a1 1(2)由(1)知,当a>0时,函数f(x)在x=」时取得最大值f(-) = a-1-lna. a a由a -1 -ln a > 2a 一2,整理得In a + a -1 <0.1设g(x) = In x + x -1,那么g'(x) =1 + —" a >0x > 0,二g'(x) > 0, g(x)在(0, 十8)是增x函数.又g(1) =0,上述不等式即g(a) <g(1),二0 < a <1,即a w (0,1).【2021新课标1】21.函数^(I)讨论的单调性；(II)假设有两个零点,求a的取值范围.【解析】(I)f' x)=：i x-1 e x 2a x -1 )；=「：x -1 e x 2a .(i)设a 之0 ,那么当xw (-°0,1)时,f '(x)<0 ;当x1(1,+°°)时,f '{x}> 0.所以在(口,1 )单调递减,在(1,依)单调递增.(ii)设a<0,由f'(x) = 0得x=1 或x=ln(-2a). _ .. e①右a = —"2,那么f'(x) = (x—1X e —e),所以f (x)在(-°°,收)单调递增.e②假设a a—2,那么ln(-2a)<1,故当x13,ln (―2a))U(1,")时,f'(x)>0;当x w (ln (—2a ),1)时,f'(x)<0,所以f (x )在(-°°,ln (—2a )),(1,—)单调递增,在(ln(-2a ),1)单调递减.e③假设a<—2,那么ln(—2a)>1,故当x^ (㈤,1 )U(ln(—2a ),也)时,f'(x)>0,当x w (1,ln (-2a ))时,f '(x )<0.所以f (x)在(*,1 )(ln(-2a )单调递增,在(1,ln(-2a)伴调递减.(II)(i)设a >0,那么由(I)知,f(x)在(Q,1即调递减,在(1,收洋调递增.b . a又f (1 ) = -e, f (2 )= a ,取b 满足b<0 且3 < ln —,精品文档精品文档那么f (b )>a(b -2 )+a(b -1 2 = a b3—gb )>0 ,所以f (x)有两个零点.(ii)设a=0,那么f{x)=(x—2)e x所以f(x)有一个零点.e , , .................(iii)设a<0,假设a之—万,那么由(I)知,f (x )在(1,依)单调递增.e .又当xwl时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点；假设a <—万,那么由(I)知,f (x)在(1,ln(—2a))单调递减,在(ln(-2a ),收)单调递增.又当xwl时f (x)<0,故f (x )不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,收)【2021新课标2】20.函数f (x) = (x + 1)lnx- a(x- 1).(1)当a=4时,求曲线y = f (x)在(1,f (1))处的切线方程；(2)假设当x w(1,z)时,f(x) >0,求a的取值范围.【解析】(1)当a = 4 时,f (x) =(x+1)lnx—4(x—1) , f(1)=0 ,切点坐标(1,0),对f(x)求导,得x 1f (x)=一十1n x-4 ,从而切线斜率f (1) = -2 ,所以切线方程为y - 0 = -2(x -1) x即2x+y- 2 = 01 1 1 x-1(2)对f(x)求导,得 f (x) =1+-+lnx-a 再求导,得 f (x) =-=+—=——. x x x x当x W(1,M)时,f "(x) >0 ,函数f'(x)在区间内(1,收)单调递增,所以f'(x)> f'(1) = 2 —a .(i)假设a W2 ,那么当x WQf)时,f (x)>f(1)>0 ,函数f(x)在区间内(1,f 单调递增, 所以f(x)Af(1)=0 . (ii )假设a >2 ,那么结合函数f'(x)在区间内(1,收)单调递增,可知方程f'(x)=0存在唯一零点,1设为X.,那么a =1 +7 +1n X..X Q当xW(1,x.)时,f卜)<巾.)=.,函数f(x)在区间内(1,x.)单调递减,所以f(x)<f(1)=.,f (x) 0不成立.综上,a的取值范围是(-¥2].【2021新课标3】21.设函数f(x) = lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性；精品文档一 一一.,x -1(2)证实当 x w (1,~)时,1<±」<x;ln x(3)设 c>1,证实当 xw(0,1)时,1+(c-1)x>c x .【解析】1 " ,一(1)由题设,f(x)的定义域为(0,依),f (x) = ——1 ,令f (x)=0,解得x=1. x 当0<x<1时,f '(x)>0, f(x)单调递增；当x>1时,f '(x)<0, f(x)单调递减. (2)由(1)知,f (x)在x =1处取得最大值,最大值为 f(1) = 0. 所以当x#1时,lnx<x-1.................. 1 1 x -1故当 x w (1,~)时,lnx<x —1, in —<——1,即 1 c ------------------ < x .x x in x(3)由题设 c >1 ,设 g (x) =1 +(c -1)x - c x ,那么 g (x) = c-1 -c x in c,c 1 in — in c.in c.................................................. .... 、 ,» 'g(x)单调递增；当XAX .时,g(x)<0, g(x)单调递减.故 0 <x 0 <1,又 g(0) = g(1) = 0,故当 0<x<1 时,g(x) >0.所以当 xw(0,1)时,1+(c —1)x>c x .【2021新课标1】21.函数f (x)=e x (e x - a) - a 2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)假设f(x)至0,求a 的取值范围.【解析】(1)函数 f(x)的定义域为 —,f'(x) = 2e 2x —ae x —a 2 = (2e x +a)(e x —a),①假设a=0,那么f (x)=e 2x ,在(-«,+^)单调递增. ②假设a>0,那么由 f'(x) =0得x = ina .当 x w (-0o,in a)时,f '(x) < 0 ；当 x w (in a,收)时,f '(x) a 0 ,所以 f (x)在(-°o,in a)单调 递减,在(in a,〜)单调递增.a③右a <0,那么由 f (x) =0得 x = in(——).2a aa当 xw(-«,in(—a))时,f (x) <0 ;当 x w H -)a 十 时,f(x)〉0,故 f(x)在(Q,in(—马))单调递减,在(in( --),依)单调递增.2(2)①假设a=0,那么 f(x) = e 2x ,所以 f(x)之0.②假设a >0,那么由(1)得,当x=ina 时,f (x)取得最小值,最小值为 f (in a) =-a 2 in a 从而当且仅当一a 2ina 之0,即a<1时,f(x)>0.令 g '(x) = 0,解得 x0 =当 x 时,g (x) >0 ,由(2)知,1 :二铝：二 c, inc精品文档a③右a<0,那么由(1)得,当x = ln(——)时,f(x)取得取小值,取小值为2a o 3 a 3 a 3 .f(ln( ——)) =a2[——ln( ——)].从而当且仅当a2[- -ln(--)] >0 ,即a 2 —2e4时f (x)主0.2 4 2 4 23综上,a的取值范围为[-2e4,1].【2021新课标2】21.设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x之0时,f(x) <ax+1 ,求a的取值范围.【解析】(1) f(x) = (1 — x2) e x, xCR, ：f'(x) = (1 — 2x — x2) ex,令f,(x) =0可知x= - 1到2当xv - 1 - 或x> - 1+.2时,f' (x) v 0,当-1 - V2V xv - 1+、,2时f' (x) >0, ：f(x)在(- oo, - 1 -V2), (- 1+'/2, +8)上单调递减,在(-1 -施,-1+再)上单调递增；(2)由题可知f (x) = (1 - x) (1+x) ex.下面对a的范围进行讨论：①当a>l时,设函数h (x) = (1-x) e x,那么h' (x) = - xe x< 0 (x>0),因此h (x)在[0, +°°)上单调递减,又由于h (0) =1,所以h (x) <1,所以 f (x) = (1 -x) h (x) <x+1<ax+1②当0vav1 时,设函数g (x) =e x—x — 1 ,那么g' (x) =e x— 1 >0 (x>0),所以g (x)在[0 , +8)上单调递增,又g ( 0) =1 - 0 - 1=0 ,所以ex> x+1由于当0Vxv1 时 f (x) > (1—x) (1+x) 2,所以(1 - x) (1+x) 2 - ax- 1=x (1 - a - x - x2),取x0=、芯—；胃1C (0, 1),贝(J ( 1 — x0) (1+x0) 2 - ax0 - 1=0,所以 f (x0) >ax0+1,矛盾；公-r, —一,一、…一 C 〜〜③当a<0时,取x0=―-——G (0, 1 ),那么f(x0) > (1 — x0)(1+x 0)2=1 > a0+1 ,矛盾；综上所述,a的取值范围是[1 , +8].【2021 新课标3】21.设函数f (x) = ln x +ax2 +(2a +1)x.3(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时,证实f(x) <---2.4a【解析】2 ' 1 (1)由 f (x) = In x +ax +(2a +1)x,( x >0)有 f (x) =— +2ax+ 2a +1 = x 2ax 2 (2a 1)x1①当 a=0时,f (x) =1 A0, f (x)单增 ②当 a,0时,令 f '(x) =0 ,即 2ax 2+(2a+1)x + 1=0 , 1 2 ③解得 x 1 =-1(舍),x 2 = -一 ,设 g(x)=2ax +(2a+1)x + 1 2a 1 一,、,一i .当 a>0 时,g(x)开口向上,—— <0,g(x)〉0,即 f (x) A0, f (x)单增 2a1 口.当 a<0 时,g(x)开口向上,——>0 , 2a 1 . 一, 、一此时,在(0,——)上,g(x) <0 ,即 f (x) <0 , f (x)单减 2a , 1 在(一一,依)上,g(x)A0,即 f(x)〉0, f(x)单增 2a 1 ⑵由(1)可得：“幻"〈〞它一2a______ 3 - 1 1 故要证f (x) <-———2,即证ln(-——)---1 < 4a 2a 4a )-^-14a -A.2 4a 1 1 . _ …一即证ln(-——)十——十1 <0 ,即证ln t -t +1 <0(t >0) 2a 2a 1 令 g(t) =lnt —t +1 ,那么 g ⑴=——1 ,令 g (t)之0,得 t<1,g(t)max = g(1)= 0 二g(t) <0 ,故原命题得证. 精品文档。
2017年高考真题分类汇编(理数)导数
2017年高考真题分类汇编(理数）：专题2 导数一、单选题（共3题;共6分)1、(2017•浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是( ）A、B、C、D、2、（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x)的极小值为（）A、﹣1B、﹣2e﹣3C、5e﹣3D、13、（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A、﹣B、C、D、1二、解答题（共8题；共50分）4、(2017•浙江)已知函数f(x）=（x﹣)e﹣x（x≥ ）．（Ⅰ）求f（x）的导函数;（Ⅱ)求f(x）在区间[ ,+∞）上的取值范围．5、（2017•山东）已知函数f（x)=x2+2cosx，g（x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2）,其中e≈2.17828…是自然对数的底数．(13分）(Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π)）处的切线方程；（Ⅱ）令h（x)=g （x）﹣a f（x）（a∈R）,讨论h（x）的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值．6、（2017•北京卷）已知函数f(x)=e x cosx﹣x．（13分）（1）求曲线y=f(x）在点(0，f(0)）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0, ]上的最大值和最小值．7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．(Ⅰ）求g（x）的单调区间;（Ⅱ）设m∈[1，x0)∪（x0，2]，函数h（x)=g（x)（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证:存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q，且∈[1，x0）∪（x0，2],满足｜﹣x0｜≥ ．8、（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R)有极值，且导函数f′(x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（Ⅰ）求b关于a的函数关系式,并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a;（Ⅲ）若f(x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．9、(2017•新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（12分)(1)讨论f（x）的单调性；（2）若f(x）有两个零点,求a的取值范围．10、（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx,且f（x）≥0．（Ⅰ）求a;（Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0, 且e﹣2＜f(x0）＜2﹣2．11、（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x)=x﹣1﹣alnx．（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值；（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】函数的图象，函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】解：由当f′(x）＜0时，函数f（x)单调递减,当f′(x）＞0时，函数f（x)单调递增，则由导函数y=f′（x)的图象可知:f（x）先单调递减，再单调递增,然后单调递减,最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧，排除B,故选D【分析】根据导数与函数单调性的关系,当f′(x)＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x)＞0时，函数f（x)单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置,即可求得函数y=f（x）的图象可能2、【答案】A【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′(x）=(2x+a）e x﹣1+(x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x)=（x2+ax﹣1)e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x)=（2x﹣1)e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2)e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时,f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数,x=1时，函数取得极小值:f（1）=(12﹣1﹣1)e1﹣1=﹣1．故选：A．【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a,然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．3、【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的零点【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+ ）=0,所以函数f(x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1)2=a（e x﹣1+ ）有唯一解,等价于函数y=1﹣（x﹣1)2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象只有一个交点．①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点,矛盾；②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1,+∞)上递减，且y=a（e x﹣1+ ）在(﹣∞，1）上递增、在(1，+∞)上递减,所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1,此时函数y=1﹣（x﹣1)2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾;③当a＞0时，由于y=1﹣(x﹣1）2在（﹣∞，1)上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+ )在（﹣∞，1)上递减、在（1,+∞）上递增，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1,1）,y=a（e x﹣1+ ）的图象的最低点为B（1,2a），由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1，即a= ,符合条件；综上所述，a= ，故选：C．【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．二、解答题4、【答案】解：（Ⅰ）函数f（x)=（x﹣)e﹣x（x≥ ），导数f′(x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+ )e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（Ⅱ）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x)（1﹣）e﹣x，可得f′(x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′(x)＜0，f（x)递减;当1＜x＜时，f′(x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥ ⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）= e ，f(1)=0，f( ）= e ,即有f(x)的最大值为 e ,最小值为f（1）=0．则f（x)在区间［，+∞)上的取值范围是［0， e ]．【考点】简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）求出f（x)的导数，注意运用复合函数的求导法则,即可得到所求；（Ⅱ)求出f（x)的导数,求得极值点,讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f(x）≥0,计算f（），f（1），f（),即可得到所求取值范围．5、【答案】解：(Ⅰ）f(π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx,∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点(π，f(π）)处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h(x）=g （x)﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx)h′(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2)+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2(x﹣sinx）(e x﹣a)=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u(x）＞0；x＜0时,u（x）＜0．（i)a≤0时，e x﹣a＞0,∴x＞0时，h′（x)＞0，函数h（x)在(0,+∞)单调递增;x＜0时，h′（x)＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x)取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（ii）a＞0时，令h′（x）=2(x﹣sinx）（e x﹣e lna)=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈(lna,0）时，e x﹣e lna＞0,h′（x）＜0，函数h(x）单调递减；x∈（0，+∞）时,e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h(x）单调递增．∴当x=0时，函数h(x）取得极小值,h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2］．②当a=1时，lna=0，x∈R时,h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈(﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′(x）＞0，函数h（x）单调递增;x∈（0,lna）时，e x﹣e lna＜0,h′(x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈(lna，+∞)时，e x﹣e lna＞0，h′（x)＞0,函数h(x)单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值,h(0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a［ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2］．综上所述：a≤0时，函数h(x）在(0,+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x)在（﹣∞,0）单调递减．x=0时，函数h（x)取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x)在x∈(﹣∞,lna）是单调递增;函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时,函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin （lna)+cos(lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞,0），（lna，+∞)上单调递增；函数h（x）在(0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna)=﹣a［ln2a ﹣2lna+sin(lna）+cos（lna）+2]．【考点】导数的加法与减法法则,导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′(x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率,利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx)（e x ﹣a）=2（x﹣sinx)(e x﹣e lna）．令u（x)=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时,u(x）＞0；x＜0时，u(x)＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时,利用导数研究函数的单调性极值即可得出．6、【答案】(1）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′(x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0,f(0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0,切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x)在点（0，f(0））处的切线方程为y=1;（2）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x)=e x（cosx﹣sinx)﹣1,令g（x)=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′(x）=e x(cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，］,可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x)在［0, ］递减，可得g（x)≤g(0）=0,则f（x）在[0, ]递减，即有函数f（x）在区间[0, ］上的最大值为f（0)=e0cos0﹣0=1；最小值为f（)=e cos ﹣=﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1.）求出f（x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2。
4.1 导数题型特点与命题规律-2017年高考数学(文)热点+题型全突破含解析
导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景。
②理解导数的几何意义。
（2）导数的运算①能根据导数定义，求函数xy x y x y c y 12====，，，的导数。
②能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
·常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：（C ）′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n —1，n ∈N +x x cos )(sin ='';x x sin )(cos -=' ；x x e e =')(;1)0(ln )(≠>='a a a a a x x 且；x x 1)(ln ='；1)0(log 1)(log ≠>='a a e xx a a 且 ·常用的导数运算法则： ·法则1 [])()()()(x v x u x v x u '±'='± ·法则2 [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='·法则3)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x v x v x v x u x v x u x v x u （3）导数在研究函数中的应用①了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。
（4）生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题。
【热点分析】热点1：导数切线的几何意义主要考查在函数在某点处的切线方程,并与函数性质、解析式等一起考查． 热点2:函数的单调性以指数型、对数型函数与一次函数、二次函数复合而成，讨论函数的单调性,一般情况下，分成两类，一类是()f x 不含参数，这类直接求导，确究单调性,是较容易的；二类是()f x含有参数，要对参数进行分类讨论,是难题，学生主要在对参数如何讨论易混淆，复习时应加强训练．热点3:导数与极值、最值等求解函数单调区间的步骤：第一，求函数的定义域；第二，求导数;第三，解不等式，并与定义域取交集；第四，下结论，将单调区间写成区间的形式,同时注意区间不能写成交集．热点4：导数与不等式问题、含参问题不等式的明确与变形，变形中的重要方向是“相同的字母要集中",“分离参数”，最后是“不等式能成立的转化”，常用方法是分“分离参数”．以上热点均涉及函数与方程、分类讨论、数形结合、化归与转化等基本数学思想；意在考查考生的运算求解能力，推理论证能力、逻辑推理能力与对知识的综合应用能力．2012—2016年全国高考导数试题分布表（文）2012年Ⅰ卷第13题导数的几何意义5容易解答题第21题利用导数研究函数的单调性与最值12困难2012年Ⅱ卷填空题第13题导数的几何意义5容易解答题第21题利用导数研究函数的单调性与最值12困难1、题型趋势分析：题目一般为1个解答题和1个小题，但也有3个题目出现的情况,出现3个题目主要是与其它知识的交汇出现，其中小题主要在选择题最后第11、12题，填空题第16题出现，但也出现过在中等难度试题的位置.2、考点趋势分析：从教材导数安排内容分析，导数的主要涉及到的考点有：（1）导数的定义；（2）求函数的导数；（3)导数的几何意义;（4)利用导函数研究函数的图像；（5）利用导数研究函数的单调性;（6) 函数的极值与最值；(7）方程解(函数零点)的个数问题;（8）利用导数证明不等式;（9）不等式恒成立与存在性问题；（10）导数在实际问题中的应用;通过全国卷2012-2016高考文科试题统计分析来看: 主要涉及到的考点为： 考点2—考点9考点10没有涉及，其中考点1在导数运用中有所考查．而考点2在导数中均会涉及，所以，主要考查了考点2-考点9． 【典例1】【2016高考新课标1文数】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）（A)[]1,1-(B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：三角变换及导数的应用 【试题分析与点评】:1、考查目标分析:考查学生运用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题的转化,复合三角函数等知识,并渗透了转化与分类讨论思想，在解题过程中还要注意参数分离与换元法的运用．2、试题特点剖析:三角函数与导数（复合函数）求导的交汇处命题，以及对参数处理问题．3、试题考点与解法分析：先对1()sin 2sin 3f x x -x a x =+求导，根据()f x 在(),-∞+∞单调递增，则'()0f x ≥在(),-∞+∞上恒成立，再结合cos x 的范围,分离参数，求a 的范围．也可利用换元法,令[]cos 1,1t x =∈-，转化为二次函数问题求a 的范围．已知函数()f x 在D 上单调递增(减）求参数的取值范围，常转化为'()0f x ≥，'()0f x ≤在D 上恒成立，再通过构造函数转化为求最值或转化为图象都不在x 轴上(下）方的问题． 【典例2】【2016高考新课标1文数】 已知函数()()()22e1xf x x a x =-+-．（I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围。
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2011-2017新课标(文科)导数压轴题分类汇编【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（1）求a 、b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，f (x )>ln xx -1【解析】（1）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。
（2）由（1）知f (x )=x x x 11ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2(2ln x -x 2-1x )， 考虑函数，则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得， 从而当，且时，.【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间（2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值 【解析】（1）f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(l n ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.（2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)(1)x x k x x e +<+>-①.令1()(1)x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x xx x xe e e x g x e e ----'=+=--. 由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，ln ()1x f x x >-ln ()1xf x x >-0x >1x ≠ln ()1xf x x >-所以()h x ，在(0,)+∞存在唯一的零，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为a ，则(1,2)a ∈.当(0,)x a ∈时，()0g x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=，可得2a e a =+，所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2【2013新课标1】20. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 【解析】(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x⎛⎫-⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．【2013新课标2】21．已知函数f(x)＝x 2e －x . (1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝－e －x x(x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x ∈(0,2)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为y ＝f′(t)(x －t)＋f(t)． 所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝()223'()22f t t t t t f t t t -=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝2x x+(x≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[∞)； 当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[3+，＋∞]．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞]．【2014新课标1】21．设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;（2）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围。
【解析】（1）()(1)af x a x b x'=+--，由题设知 (1)0f '=,解得b 1 （2） f (x )的定义域为(0,∞),由(1)知, 21()ln 2a f x a x x x -=+-，()1()(1)111a a a f x a x x x x x a -⎛⎫'=+--=-- ⎪-⎝⎭(i)若12a ≤，则11a a≤-，故当x ∈(1,∞)时, f '(x ) 0 , f (x )在(1,∞)上单调递增. 所以,存在0x ≥1, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为(1)1a f a ≤-，即1121a aa--<-所以 1 a 1;(ii)若112a <<，则11a a >-，故当x ∈(1, 1a a -)时, f '(x ) <0 , x ∈(,1aa+∞-)时,()0f x '>，f (x )在(1, 1a a -)上单调递减，f (x )在,1aa+∞-单调递增.所以,存在0x ≥1,, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为()11a af a a≤--， 而()2()ln 112111a a a a af a a a a a a=++>-----，所以不符合题意. (ⅲ) 若1a >，则11(1)1221a a af a ---=-=<-。
综上，a 的取值范围为：()()11,⋃+∞【2014新课标2】21. 已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0,2）处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.（1）求a ；（2）证明：当时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点。
【解析】（1）2()36f x x x a '=-+，(0)f a '=曲线()y f x =在点（0，2）处的切线方程为2y ax =+，由题设得22a-=-，所以1a =（2）由（1）知，32()32f x x x x =-++ 设32()()23(1)4g x f x kx x x k x =-+=-+-+ 由题设知10k ->当0x ≤时，2()3610g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，(1)10,(0)4g k g -=-<=， 所以()0g x =在(,0]-∞有唯一实根。
当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1)()g x h x k x h x =+->2()363(2),()h x x x x x h x '=-=-在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以()()(2)0g x h x h >≥=所以()0g x =在(0,)+∞没有实根综上()0g x =在R 由唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点。
【2015新课标1】21. 设函数x 。
（1）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （2）证明：当0a >时，2()2ln f x a a a≥+。
【解析】【2015新课标2】21. 已知()()ln 1f x x a x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【解析】已知()()ln 1f x x a x =+-..),1()1,0)(00)(0.1)(')1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；，在（时，函数当+∞>∞+≤-=aa x f a x f a a xx f （2）由（1）知，当.ln 1)1(1)(0a a af a x x f a --==>时取得最大值在时，函数.01ln ,22ln 1<-+->--a a a a a 整理得由 .1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(',00,11',1ln )(）即上述不等式即函数。
又）是增，在（）（则设∈<<∴<=∞+>∴>∴>+=-+=a a g a g g x g x g x a xx g x x x g【2016新课标1】21. 已知函数 . (I)讨论 的单调性；(II)若 有两个零点，求的取值范围. 【解析】(I)(i)设，则当时，；当时，. 所以在单调递减，在单调递增. (ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).①若，则，所以在单调递增. ②若，则ln(-2a)<1,故当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.③若，则，故当时，，当时，。