2017-2018年北京八十中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

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2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高二年级期中考试数学(理科)试题-解析版

绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可．详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z 1=（m 2﹣2m+3）+（m 2﹣m+2）i （m ∈R ），z 2=6+8i ，则m=3是z 1=z 2的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除3．定积分（x 2+sinx ）dx 的值为（）A ．+ B ．﹣ C ．﹣ D ．+4．若复数z=（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则复数z 的共轭复数是（）A ． iB ．﹣ iC ．3iD ．﹣3i5．求曲线y 2=4x 与直线y=x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积（）A ．B ．π C ．π D ．24π6．若复数z 满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A ．3+B ．+C ．+D ．37．已知=（）A ． f′（x 0）B ．f′（x 0）C ．2f′（x 0）D ．﹣f′（x 0）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．例如，用十六进制表示E+D=1B ，则A ×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），），∴=2f′（x故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i 17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i ）﹣=+3+i ﹣i 10=i+3+i+1 =4+2i ；故答案为：4+2i ．14．在Rt △ABC 中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S ﹣ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC上的高为h ，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA 、PB 、PC 两两互相垂直，∴PA ⊥平面PBC ．设PD 在平面PBC 内部，且PD ⊥BC ，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为 4x+y ﹣4=0 ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a ﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x ）=x 2﹣（3a+2）x+6a ，由函数f （x ）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a ，b ．（2）由f′（x ）=x 2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f （x ）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f （x ）=﹣x 2+6ax+b ，其中a ，b ∈R ，∴f′（x ）=x 2﹣（3a+2）x+6a ，∵函数f （x ）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f （x ）=﹣+2x ﹣1，∴f′（x ）=x 2﹣3x+2，由f′（x ）=x 2﹣3x+2＞0，得x ＞2或x ＜1，∴函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且关于x 的方程x 2﹣a n x ﹣a n =0有一根为S n ﹣1．（1）求出S 1，S 2，S 3；（2）猜想{S n }的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG ：数学归纳法；8E ：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S 1=，S 2=．S 3=．（2）由此猜想S n =，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x 2﹣a 1x ﹣a 1=0有一根为S 1﹣1=a 1﹣1，于是（a 1﹣1）2﹣a 1（a 1﹣1）﹣a 1=0，解得a 1=．当n=2时，x 2﹣a 2x ﹣a 2=0有一根为S 2﹣1=a 2﹣，于是（a 2﹣）2﹣a 2（a 2﹣）﹣a 2=0，解得a 2=由题设（S n ﹣1）2﹣a n （S n ﹣1）﹣a n =0， S n 2﹣2S n +1﹣a n S n =0．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，代入上式得S n ﹣1S n ﹣2S n +1=0．①得S 1=a 1=，S 2=a 1+a 2=+=．由①可得S 3=．（2）由（1）猜想S n =，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i ）n=1时已知结论成立．（ii ）假设n=k 时结论成立，即S k =，当n=k+1时，由①得S k+1=，可得S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i ）、（ii ）可知S n =对所有正整数n 都成立．20．设铁路AB 长为100，BC ⊥AB ，且BC=30，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y 表示为x 的函数；（2）如何选点M 才使总运费最小．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC ⊥AB ，BC=30，BM=x ，则AM=100﹣x ．MC=，可得总运费y 表示为x 的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC ⊥AB ，BC=30，BM=x ，则AM=100﹣x ．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x ﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。

2017-2018年北京四中高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF

18．（5 分）对于函数 f（x）＝（2x﹣x2）ex （1）（2）是 f（x）的单调递减区间；是 f（x）的极小值，是 f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是．
三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 19．（15 分）已知函数 f（x）＝ax3+x2（a∈R）在（1）确定 a 的值；（2）若 g（x）＝f（x）ex，讨论 g（x）的单调性． 20．（15 分）设 f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f（x）在点（1， f（1））处的切线与 y 轴相交于点（0，6）．（1）确定 a 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值． 21．（15 分）已知函数 f（x）＝ex+ ．处取得极值．
11．（5 分）设函数 f′（x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当 x＞0 时， xf′ （x） ﹣f （x）＜0，则使得 f （x）＞0 成立的 x 的取值范围是（ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞））
14．（5 分）如图，函数 y＝f（x）的图象在点 P 处的切线方程是 y＝﹣x+8，则 f （2018）+f'（2018）＝．
15．（5 分）已知函数 f（x）＝ex﹣2x+a 有零点，则 a 的取值范围是 16．（5 分）已知函数（ f x）＝x3+ax2+bx+a2 在 x＝l 处有极值 10，则（a， b）＝

2017-2018年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF

【解答】解：（1﹣i）（1+i）=1+1=2， ﹣i（1+i）=1﹣i， i（1+i）=﹣1+i，（1+i）（1+i）=2i，故与 z=1+i 的乘积为实数的是（1﹣i），故选：A． 2．（4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx ）
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16．（10 分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a 且（Ⅰ）当 a3=2 时，求 a1 的值；（Ⅱ）求证：当 n≥2 时，an+1≤an．解：（Ⅰ）
ห้องสมุดไป่ตู้
．
（Ⅱ）某同学用分析法证明此问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．证明：要证 n≥2 时，an+1≤an 只需证只需证只需证只需证只需证 an≥ 根据均值定理，所以原命题成立． 17．（10 分）已知曲线 f（x）=x3 在点（1，f（1））处的切线为 l，其中 x0≠0．（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）求证：直线 l 和曲线 f（x）一定有两个不同的公共点． 18．（12 分）已知函数 f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数 a≠0．（Ⅰ）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值；
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4 分）下列复数中，与 z=1+i 的乘积为实数的是（ A．1﹣i B．﹣i C．i ） D．1+i ）
2．（4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx

北京市海淀区2017-2018学年第二学期期中高二数学(理)试题图片版含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =，所以232222a a a =+=，所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二：因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数，而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞）所以函数()f x 只有一个零点…………………8分当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==，当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<，所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分当0a >，其中10x =<（舍）所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时，则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

北京市高二下学期期中数学试卷(理科)

北京市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·邯郸期末) 设复数z满足 =2﹣i，则| |=（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·南城期中) 若P（A+B）=1，则事件A与B的关系是（）A . A，B是互斥事件B . A，B是对立事件C . A，B不是互斥事件D . 以上都不对3. （2分） (2019高二上·长沙期中) 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（）A . 甲所得分数的极差为22B . 乙所得分数的中位数为18C . 两人所得分数的众数相等D . 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数4. （2分）甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最差的同学是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁5. （2分）已知命题：若数列{an}（an＞0）为等比数列，且am=a，an=b（m≠n，m，n∈N*），则am+n= ；现已知等差数列{bn}，且bm=a，bn=b，（m≠n，m，n∈N*）．若类比上述结论，则可得到bm+n=（）A .B .C .D .6. （2分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立，则（）A . -1<a<1B . 0<a<2C . - <a<D . - <a<7. （2分）(2013·福建理) 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A . 588B . 480C . 450D . 1208. （2分） (2018高二下·绵阳期中) 若函数 f(x)=−x2+2x+blnx 上(0,+∞) 是减函数，则 b 的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高三上·河北期末) 甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了（）A . 9局B . 11局C . 13局D . 18局10. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为，下面列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，以此类推，下列结论错误的是（）A .B .C .D .11. （2分）已知t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t和s的大小关系中正确的是（）A . t＞sB . t≥sC . t＜sD . t≤s12. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中；⑴BM与ED平行；（2）CN与BE是异面直线；（3）CN与BM所成角为60°；（4）CN与AF垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是（）A . ⑴⑵⑶B . ⑵⑷C . ⑶⑷D . ⑶二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）已知复数满足（为虚数单位），则复数z的实部为________.14. （1分）已知m=3 sinxdx，则二项式（a+2b﹣3c）m的展开式中ab2cm﹣3的系数为________．15. （1分）分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为________16. （1分）袋中装有个黑球，个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是________．三、解答题： (共5题；共53分)17. （13分）(2017·黑龙江模拟) 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：（1）如下表：非体育迷体育迷合计男________________________女________1055合计________________________将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．附：P（K2≥k）0.050.01k 3.841 6.635根据已知条件完成上面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？________（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X分布列，期望E（X）和方差D（X）．18. （15分）(2019·吉林模拟) 某省确定从2021年开始，高考采用“ ”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查.附：，其中 .0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调杳（假定每名学生在这两个科目中必须洗择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；性别选择物理选择历史总计男生50女生30总计（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.19. （5分） (2017高二下·宜春期中) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（Ⅰ）求出f（5）；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．20. （10分） (2016高二下·南安期中) 甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图的茎叶图所示．（注：样本数据x1 ， x2 ，…，xn的方差s2= [ + +…+ ]，其中表示样本均值）（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．21. （10分）大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：（1）设表示在这块地种植此水果一季的利润，求的分布列及期望；（2）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共5题；共53分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。

2017-2018年北京师大二附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年北京师大二附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题1．若复数2﹣bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，则b的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣22．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．3．已知＝2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．按数列的排列规律猜想数列，﹣，，﹣，…的第10项是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣5．由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m＞0）围成的图形面积为，则m ＝（）A．2B．3C．1D．86．我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+2z+3＝0的距离为（）A．3B．5C．D．7．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f （x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．08．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题9．若函数f（x）＝e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是．10．如图所示，在正△ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，BG与IH 所成的角的余弦值为．11．设函数f1（x）＝x4+ae x（其中a是非零常数，e是自然对数的底数），记f n（x）＝f n﹣1′（x）（n≥2，n∈N*），则满足对任意的实数x，都有f n（x）＝f n﹣1（x）的最小整数n的值（n≥2，n∈N*）为．12．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为cm．13．每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将65个家庭分成A，B两组，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时．假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为，此时活动持续的时间为h．14．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过点M的直线l′与抛物线C的交点为P，Q，延长PF交抛物线C于点A，延长QF交抛物线C于点B，若+＝22，则直线l′的方程为．三、解答题15．已知函数f（x）＝x3﹣12x．（1）求这个函数在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求这个函数的极值．16．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．17．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC，AC、BD交于点O．（I）求证：FC∥平面EAD；（II）求证：AC⊥平面BDEF．（III）求二面角F﹣AB﹣C（锐角）的余弦值．18．已知函数f（x）＝﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF＝2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）﹣．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．2017-2018学年北京师大二附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数2﹣bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，则b的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：由复数2﹣bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，得2﹣b＝0，即b＝2．故选：A．2．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B．3．已知＝2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝2﹣i，∴＝（1﹣i）（2﹣i）＝1﹣3i∴z＝1+3i∴复数z对应点（1，3）在第一象限．故选：A．4．按数列的排列规律猜想数列，﹣，，﹣，…的第10项是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由数列，﹣，，﹣，…．可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数2n+1或分母比分子大1．故可得通项公式．∴＝﹣．故选：C．5．由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m＞0）围成的图形面积为，则m ＝（）A．2B．3C．1D．8【解答】解：由题意，由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m＞0）围成的图形面积为，即，整理得m3＝8，解得m＝2；故选：A．6．我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+2z+3＝0的距离为（）A．3B．5C．D．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离d＝，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到直线Ax+By+Cz+D＝0的距离d＝点（2，4，1）到平面x+2y+2z+3＝0的距离d＝＝5．故选：B．7．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f （x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．0【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）＝x3﹣3x﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max＝f（2）＝f（﹣1）＝1，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣19∴f（x）max﹣f（x）min＝20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A．二、填空题9．若函数f（x）＝e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：∵y＝e x﹣ax，∴y'＝e x﹣a．由题意知e x﹣a＝0有大于0的实根，由e x＝a，得a＝e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＞1．故答案为：（1，+∞）．10．如图所示，在正△ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，BG与IH所成的角的余弦值为．【解答】解：如图，△ABC折成三棱锥后，A，B，C重合与B，∵BE∥IH，∴∠GBE为BG与IH所成角，为，其余弦值为．故答案为：．11．设函数f1（x）＝x4+ae x（其中a是非零常数，e是自然对数的底数），记f n（x）＝f n﹣1′（x）（n≥2，n∈N*），则满足对任意的实数x，都有f n（x）＝f n﹣1（x）的最小整数n的值（n≥2，n∈N*）为7．【解答】解：f1（x）＝x4+ae x（其中a是非零常数，e是自然对数的底数），记f n（x）＝f n′（x）（n≥2，n∈N*），﹣1则f2（x）＝+ae x，f3（x）＝x2+ae x，f4（x）＝2x+ae x，f5（x）＝2+ae x，f6（x）＝ae x，∴n≥6时，f n（x）＝ae x，∴满足对任意的实数x，都有f n（x）＝f n（x）的最小整数n的值为7．﹣1故答案为：7．12．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为8cm．【解答】解：设小正方形边长为x，铁盒体积为y．y＝（48﹣2x）2•x＝4x3﹣192x2+2304x．y′＝12x2﹣384x+2304＝12（x﹣8）（x﹣24）．∵48﹣2x＞0，∴0＜x＜24．∴x＝8时，y max＝8192．故答案为：8．13．每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将65个家庭分成A，B两组，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时．假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为25，此时活动持续的时间为h．【解答】解：若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例，150棵银杏树，一个家庭种植完需要的时间为150×＝60h，160棵紫薇树苗，一个家庭种植完需要的时间为160×＝96h，对应的时间比为60：96＝5：8，则65个家庭分成这个比例进行分配，则A组的家庭数为＝25，活动持续的时间为＝h，故答案为：25，14．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过点M的直线l′与抛物线C的交点为P，Q，延长PF交抛物线C于点A，延长QF交抛物线C于点B，若+＝22，则直线l′的方程为y＝±（x+2）．【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），设直线l′的方程x＝my﹣2，则，整理得：y2﹣8my+16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＝64m2﹣64＞0，即m2＞1，∴y1+y2＝8m，y1y2＝16，由抛物线的对称性可知：+＝+＝4m2﹣2＝22，解得：m2＝6，故m＝±，∴直线l′的方程为y＝±（x+2），故答案为：y＝±（x+2）．三、解答题15．已知函数f（x）＝x3﹣12x．（1）求这个函数在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求这个函数的极值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣12x，∴f（1）＝﹣11，f′（x）＝3x2﹣12，f′（1）＝﹣9，故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：y+11＝﹣9（x﹣1），即9x+y+2＝0；（2）∵f（x）＝x3﹣12x，∴f′（x）＝3x2﹣12，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，∴f（x）极大值＝f（﹣2）＝16，f（x）极小值＝f（2）＝﹣16．16．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：因为是奇函数．所以f（﹣x）＝﹣f（x），其中x∈R且x≠0．…（2分）即，其中x∈R且x≠0．所以a＝0．…（6分）（Ⅱ）解：．…（8分）因为f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，所以在[2，+∞）上恒成立，…（9分）即在[2，+∞）上恒成立，因为在[2，+∞）上的最小值y min＝4，所以a≤4，验证知当a≤4时，f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．…（13分）17．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC，AC、BD交于点O．（I）求证：FC∥平面EAD；（II）求证：AC⊥平面BDEF．（III）求二面角F﹣AB﹣C（锐角）的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF．因为AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，所以平面FBC∥平面EAD又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD（Ⅱ）证明：连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又O为AC中点，且F A＝FC，所以AC⊥FO，因为FO∩BD＝O，所以AC⊥平面BDEF．（Ⅲ）连接FO、FD，则因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，所以△DBF为等边三角形，因为O为BD中点．所以FO⊥BD，又因为O为AC中点，且F A＝FC，所以AC ⊥FO又AC∩BD＝O，所以FO⊥平面ABCD．过O作OH垂直AB于H，连结FH，则∠FHO就是二面角F﹣AB﹣C（锐角）的平面角．设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，FO ＝，OH＝，tan∠FHO＝，∴，二面角F﹣AB﹣C（锐角）的余弦值为．18．已知函数f（x）＝﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝﹣ax+b，x∈（0，1）∪（1，+∞），求导，f′（x）＝﹣a，则函数f（x）在点（e，f（e））处切线方程y﹣（e﹣ex+b）＝﹣a（x﹣e），即y＝﹣ax+e+b，由函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e，比较可得b＝e，实数b的值e；（Ⅱ）由f（x）≤+e，即﹣ax+e≤+e，则a≥﹣在[e，e2]，上有解，设h（x）＝﹣，x∈[e，e2]，求导h′（x）＝﹣＝＝，令p（x）＝lnx﹣2，∴x在[e，e2]时，p′（x）＝﹣＝＜0，则函数p（x）在[e，e2]上单调递减，∴p（x）＜p（e）＝lne﹣2＜0，则h′（x）＜0，及h（x）在区间[e，e2]单调递减，h（x）≥h（e2）＝﹣＝﹣，∴实数a的取值范围[﹣，+∞）．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF＝2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，所以F的坐标为（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，代入椭圆方程+＝1，得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，则y1＝，y2＝．若QF＝2FP，即＝2，则+2•＝0，解得m＝，故直线l的方程为x﹣2y﹣＝0．（2）由（1）知，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以my1y2＝﹣＝（y1+y2），由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1＝my1+1，x2＝my2+1，所以＝•＝＝＝，故存在常数λ＝，使得k1＝k2．20．已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）﹣．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，x∈（0，+∞），∴f′（x）＝﹣＝，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）＝0得x＝±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1＝，x2＝﹣，且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，∴f（x1）+f（x2）＝ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣＝ln（2a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1＝x，由0＜a＜1且a≠得，当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．令g（x）＝lnx2+﹣2．（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）＝2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）＝﹣＝＜0，故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）＝﹣4＜0，∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）＝2lnx+﹣2，g′（x）＝﹣＝＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）＝0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。

2017-2018年北京市首师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）若（m2﹣m）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为（）A．0B．1或2C．1D．0或12．（4分）下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（）A．B．C．D．3．（4分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．4．（4分）函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．5．（4分）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，则a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．C．D．[e2，+∞）7．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）8．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），则下面结论正确的是（）①若f′（x）＞g′（x），则函数f（x）的图象在函数g（x）的图象上方；②若函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，则函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称；③函数f（x）=f（a﹣x），则f′（x）=﹣f′（a﹣x）；④若f′（x）是增函数，则f（）≤．A．①②B．①②③C．③④D．②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）=．10．（4分）=．11．（4分）|sinx|dx等于．12．（4分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为，（θ为参数）．设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l 的距离是最小值为．13．（4分）若P（x，y）在椭圆上，则2x+y的最大值等于．14．（4分）定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f （b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x2﹣x+1；③f（x）=ln（x+1）；④f（x）=（x﹣）3，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题（本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．16．（14分）已知函数f（x）=x2e ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．17．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）若（m2﹣m）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为（）A．0B．1或2C．1D．0或1【解答】解：∵（m2﹣m）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，∴，解得：m=0．故选：A．2．（4分）下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，t＞0，在xy=1时，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故A 错误；在B中，t≠0，在xy=1时，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故B正确；在C中，t的终边不能在y轴上，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故C错误；在D中，t的终边不能在y轴上，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故D错误．故选：B．3．（4分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：将原极坐标方程，化为：ρ=sinθ+cosθρ2=ρsinθ+ρcosθ化成直角坐标方程为：x2+y2﹣y﹣x=0，它表示圆心在第一象限，半径为1的圆．故选：C．4．（4分）函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．5．（4分）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；∴f（x）的大致图象应是B．故选：B．6．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，则a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．C．D．[e2，+∞）【解答】解：若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣bx2≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈（e，e2]都成立，即对x∈（e，e2]都成立，即a大于等于在区间（e，e2]上的最大值，令，则，当x∈（e，e2]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以，x∈（e，e2]的最大值为，即，所以a的取值范围为．故选：B．7．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．8．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），则下面结论正确的是（）①若f′（x）＞g′（x），则函数f（x）的图象在函数g（x）的图象上方；②若函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，则函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称；③函数f（x）=f（a﹣x），则f′（x）=﹣f′（a﹣x）；④若f′（x）是增函数，则f（）≤．A．①②B．①②③C．③④D．②③④【解答】解：①由f′（x）＞g′（x），说明函数f（x）比g（x）增加的快，而函数f（x）的图象不一定在函数g（x）的图象上方，因此不正确；②由函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，可得f′（x）=﹣g′（2a﹣x）．假设函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）不对称，则g（2a﹣x）≠f（x），∴g′（2a﹣x）≠﹣f′（x），这与f′（x）=g′（2a﹣x）相矛盾，因此假设不成立．∴函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称，正确．③函数f（x）=f（a﹣x），由复合函数的导数运算法则可得：f′（x）=﹣f′（a﹣x），故正确；④由f′（x）是增函数，可得f（）≤正确．综上可知：②③④正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）=i．【解答】解：∵，∴=i2017=（i4）504•i=i．故答案为：i．10．（4分）=2π．【解答】解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π故答案为：2π．11．（4分）|sinx|dx等于4．【解答】解：∫02π|sinx|dx=2∫0πsinxdx=2（﹣cosx）|0π=2（1+1）=4．故答案为：412．（4分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为，（θ为参数）．设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l的距离是最小值为+．【解答】解：由直线l的参数方程为（t为参数），得y=x+1，由曲线C的参数方程为，（θ为参数），则（x﹣2）2+y2=1．所以曲线C为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，则圆心C到直线l的距离为d==+，所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为：+．故答案为：+．13．（4分）若P（x，y）在椭圆上，则2x+y的最大值等于．【解答】解：化椭圆为参数方程，∴2x+y=4cosθ+sinθ=sin（θ+φ），其中tanφ=4，∴2x+y的最大值等于．故答案为：．14．（4分）定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f （b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x2﹣x+1；③f（x）=ln（x+1）；④f（x）=（x﹣）3，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为①④．（写出所有满足条件的函数的序号）【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．【解答】解：（1）由f（x）=ax3+bx2﹣3x，得f′（x）=3ax2+2bx﹣3，∴，解得．∴f（x）=x3﹣3x．则f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．∴当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调减区间为（﹣1，1）．∴f（﹣1）为函数的极大值，f（1）为函数的极小值；（2）由（1）得，f′（x）=3x2﹣3，则f′（﹣2）=9，∴函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程为y﹣（﹣2）=9（x+2），即9x﹣y+16=0．16．（14分）已知函数f（x）=x2e ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=x（ax+2）e ax．（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．（ii）当a＜0时，令．若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；若上单调递增；若，上单调递减．（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．（ii）当﹣2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=e a．（iii）当a≤﹣2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是．17．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．【解答】解：（Ⅰ），当a＜0时，对∀x∈（0，+∞），f′（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a，因为x∈（0，a）时，f′（x）＞0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）．（Ⅱ）用f（x）max，f（x）min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（1）=1；因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈[1，e]，f（x1）+f（x2）≤2f（1）=2＜4，所以对任意的x1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，∀x2∈[1，e]，f（1）+f（x2）≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna ﹣1）+3＜3，所以对x1=1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈[1，e]），由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，所以f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（e）=a﹣e+2，g（x）max=g（1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e）；因为对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，即f （x1）=g（x2），所以即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述，实数a的值为e+1．。

2020北京八十中高二(下)期中数学含答案

2020北京八十中高二（下）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（）种不同的取法．A．120 B．16 C．64 D．392．（5分）曲线y＝xe x+2x﹣1在点（0，﹣1）处的切线方程为（）A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝3x+1 D．y＝﹣2x﹣13．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（）A．种B．种C．种D．种5．（5分）袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）某物体做自由落体运动的位移s（t）＝gt2，g＝9.8m/s2，若＝9.8m/s，则9.8m/s是该物体（）A．从0 s到1 s这段时间的平均速度B．从1 s到（1+△t）s这段时间的平均速度C．在t＝1 s这一时刻的瞬时速度D．在t＝△t s这一时刻的瞬时速度7．（5分）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X（单位：分）的均值为（）A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.18．（5分）函数的导数是（）A．B．C．D．9．（5分）故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有（）A．6种B．8种C．10种D．12种10．（5分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中橫线上）11．（5分）已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为．12．（5分）在的展开式中常数项是；中间项是．13．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，1），且在点（2，﹣1）处与直线y＝x﹣3相切，则a＝，b ＝，c＝．14．（5分）一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为，．15．（5分）已知展开式的二项式系数之和为128，则其展开式中含x3项的系数是．16．（5分）5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有种．17．（5分）函数的导函数是f'（x），则f'（x）＝．18．（5分）口袋中有n（n∈N*）个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若P（X＝2）＝，则n的值为．19．（5分）某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有种．三、解答题：本大题有4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20．（14分）3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．（1）选其中5人排成一排（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体站成一排，男、女各站在一起；（3）全体站成一排，男生不能站在一起；（4）全体站成一排，男不站排头也不站排尾．21．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：t＜2020≤t＜50t≥50学习时间t（分钟/天）等级一般爱好痴迷（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差S2甲与S2乙的大小．（只需写出结论）22．（15分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．23．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．2020北京八十中高二（下）期中数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．【分析】利用分类加法原理，即可得出结论．【解答】解：由于书架上有3+5+8＝16本书，则从中任取一本书，共有16种不同的取法．故选：B．【点评】本题先确定拿哪种类型的书，考查分类计数原理的应用，考查两种原理的区别．2．【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x＝0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；【解答】解：y′＝e x+x•e x+2，y′|x＝0＝3，∴切线方程为y+1＝3（x﹣0），∴y＝3x﹣1．故选：A．【点评】本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．3．【分析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出，再利用P （A）＝1﹣P（）即可得出．【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则＝＝．因此P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝．故选：D．【点评】熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．4．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，先6名同学中任选2人，去日月湖景区旅游，②，分析剩下的4个同学，由分步计数原理可得4人的方案数目．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先6名同学中任选2人，去日月湖景区旅游，有C62种方案，②，对于剩下的4个同学，每人都有5种选择，则4人有5×5×5×5＝54种方案，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有C62×54种，故选：D．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，5．【分析】先算出先后两次摸秋，第一次红球的取法数，然后再算出两次先后都摸出红球的取法数．代入条件概率公式计算即可．【解答】解：设A＝“依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球”，B＝“依次摸出两个小球，则在两次都摸得红球”，由已知得＝21，．故所求概率为P＝．故选：B．【点评】本题考查条件概率的计算公式，要注意将两个事件的个数算对．属于基础题．6．【分析】根据题意，由导数的定义可得s′（1）＝9.8m/s，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，＝9.8m/s，则有s′（1）＝9.8m/s，即物体在t＝1s这一时刻的瞬时速度为9.8m/s，故选：C．【点评】本题考查变化率的计算，涉及函数的导数的定义，属于基础题．7．【分析】由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出得分之和X（单位：分）的均值E（X）．【解答】解：由题意X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝（1﹣0.4）×（1﹣0.5）＝0.3，P（X＝1）＝0.4×（1﹣0.5）+（1﹣0.4）×0.5＝0.5，P（X＝2）＝0.4×0.5＝0.2．∴E（X）＝0×0.3+1×0.5+2×0.2＝0.9．故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．【分析】根据基本初等函数和商的导数的求导公式进行求导即可．【解答】解：∵，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．9．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，该同学只参观一个画展，②，该同学参观两个画展，求出每种情况的参加方案的数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，该同学只参观一个画展，在“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”中任选1个，有C21＝2种选法，可以在“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”中任选1个，有C21＝2种选法，将选出2的2个展览安排在五一的上、下午，有A22种情况，则只参观一共画展的方案有2×2×2＝8种，②，该同学参观两个画展，将“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”全排列，安排在五一的上、下午，有A22种情况，即参观两个画展有2种方案，则不同的参观方案共有8+2＝10个；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．10．【分析】根据题意可知，平均融化速度为＝，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案【解答】解：平均融化速度为＝，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速速一致，故选：C．【点评】本题考查了图象的识别，关键理解平均速度表示的几何意义（即斜率），属于基础题二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中橫线上）11．【分析】求出函数的导数，通过切线的斜率，转化求解切点的横坐标即可．【解答】解：曲线的导数为f′（x）＝x+1，曲线的一条切线的斜率是3，切点的横坐标为n，则n+1＝3，解得n＝2，故答案为：2．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，正确理解函数导数的几何意义以及转化求解是解题的关键．12．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，得展开式的常数项；令r＝3得展开式的中间项．【解答】解：的展开式的通项＝（﹣1）r26﹣r C6r x12﹣3r令12﹣3r＝0得r＝4∴展开式的常数项为T5＝4C64＝60令r＝3得展开式的中间项为T4＝﹣8C63x3＝﹣160x3故答案为60，﹣160x3【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13．【分析】求出原函数的导函数，结合已知条件可得关于a，b，c的方程组，求解得答案．【解答】解：由y＝ax2+bx+c，得y′＝2ax+b，由已知可得，解得a＝3，b＝﹣11，c＝9．故答案为：3，﹣11，9．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查方程组的解法，是基础题．14．【分析】记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则η～B（3，），ξ＝10η，根据E（ξ）＝10E（η）和D（ξ）＝100D（η）求出结果．【解答】解：记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则η～B（3，），ξ＝10η，∴E（ξ）＝10E（η）＝10×3×＝20．D（ξ）＝100D（η）＝100×3××＝．故答案为：20；．【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．15．【分析】由题意利用二项式系数的性质求得n＝7，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中含x3项的系数．【解答】解：已知展开式的二项式系数之和为2n＝128，∴n＝7．∴＝展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•27﹣r•，令7﹣＝3，求得r＝3，可得展开式中含x3项的系数是﹣•24＝﹣560，故答案为：﹣560．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先把5位大学毕业生分成3组，②、将分好的3组全排列，对应3家单位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将5人分成3组，若分为1、1、3的三组，有C53＝10种分组方法；若分为1、2、2的三组，有＝15种分组方法；则一共有10+15＝25种分组方法；②将分好的3组全排列，对应3家单位，有A33＝6种情况，则一共有25×6＝150种不同的分配方法；故答案为：150．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．17．【分析】根据基本初等函数、商的导数和复合函数的求导公式进行求导即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，商的导数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．18．【分析】x＝2 说明第一次取出的是红球，第二次取出的是白球，取球方法数为A31•A n1，所有的取球方法数A n+32，利用P（X＝2）＝，建立方程求出n的值．【解答】解：P（X＝2）＝＝＝，即7n2﹣55n+42＝0，即（7n﹣6）（n﹣7）＝0．因为n∈N*，所以n＝7．故答案为：7．【点评】本题考查排列数公式的应用，确定随机变量的取值及取每个值时的概率．19．【分析】根据题意，由间接法分析：不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16日或乙值14日的排法数，再加上甲值16日且乙值14日的排法数目，据此计算可得答案．【解答】解：根据题意，将6人安排到三天值班，每天安排2人，每人值班1天，有C62C42C22种安排方法；其中甲值16号班的安排方法有C51C42种，同理乙值14号班的安排方法也有C51C42种，甲值16日且乙值14日的安排方法C41C31种，则不同的安排方法有C62C42﹣2×C51C42+C41C31＝42种，故答案为：42【点评】本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．三、解答题：本大题有4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20．【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，即可求解．【解答】解：（1）选其中5人排成一排，不同的排队方案的方法有＝2520种（2）排成前后两排，前排3人，后排4人，不同的排队方案的方法种；（3）全体站成一排，男、女各站在一起，有＝288种方法；（3）全体站成一排，男生不能站在一起，有＝1440种方法；（4）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，有＝1440种方法．【点评】本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于基本知识的考查．21．【分析】（Ⅰ）甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为0.65，由此能出从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率．（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有2，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有6人，随机变量ξ的取值为ξ＝0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ），S2甲＞S2乙．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为（0.030+0.020+0.015）×10＝0.65，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．…（3分）（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×0.005×10＝2人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×0.015×10＝6人，所以，随机变量ξ的取值为ξ＝0，1，2．所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝．所以ξ的分布列为：ξ012P∴ξ的数学期望为E（ξ＝0）＝＝．…（10分）（Ⅲ），S2甲＞S2乙．…（13分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查学生分析数据的能力、平均数的求法，考查学生利用频率分布直方图估计样本平均值的能力以及用样本估计总体的思想，是中档题．22．【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X＝﹣200）＝，P（X＝10）＝＝P（X＝20）＝＝，P（X＝100）＝＝，故分布列为：X﹣200 10 20100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p＝+＝，则至少有一盘出现音乐的概率p＝1﹣．由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）＝（﹣200）×+10×+20××100＝﹣＝．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．23．【分析】（1）据切点处的导数值为曲线切线斜率，由二次函数的最值求法，求导函数的范围也就是切线斜率范围；（2）互相垂直的切线斜率互为负倒数，由（1）求斜率范围，据切点处的导数值为曲线切线斜率，解不等式，求切点横坐标范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3﹣2x2+3x的导数为f′（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[﹣1，+∞）；（2）设其中一条切线的斜率为k，另一条为﹣，由（1）可知，，解得﹣1≤k＜0或k≥1，由﹣1≤x2﹣4x+3＜0或x2﹣4x+3≥1，即有1＜x＜3或x≥2+或x≤2﹣，得：x∈（﹣∞，2﹣]∪（1，3）∪[2+，+∞）．【点评】本题考查切点处的导数值为曲线切线斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及化简整理的运算能力，属于中档题．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

2017-2018学年(下)高二年段期中考理科数学试题含答案

（下）高二年段期中考试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分.考试时间120分钟.选择题的答案一律写在答题卷上，凡写在试卷上的无效；解答题请写出完整步骤。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．《新课程标准》规定,那些希望在理学、工科等方面发展的学生,除了修完数学必修内容和选修系列二的全部内容外,基本要求是还要在系列四的4个专题中选修2个专题,则每位同学的不同选课方案有( )种A.4B.6C.8D.12 2.函数2sin y x x =的导数为（）A ．22sin cos y x x x x '=+B ．22sin cos y x x x x '=-C ．2sin 2cos y x x x x '=+D ．2sin 2cos y x x x x '=- 3．下列积分值为2的是( )A.12xdx ⎰ B . 1xe dx ⎰ C . 11edx x⎰D .sin xdx π⎰4，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5. 设函数()x f x xe =,则（）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为3181233y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 7. 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为（）(A) 1019 (B) 519 (C) 12 (D) 19208.若n xx )2(-展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（）A ．20B ．－160C ．160D ．—2709．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向左或向右，并且向左、向右移动的概率都是12，质点P 移动6次后回到原点的概率是（）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．63612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．33612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6336612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（）A ．56B ．84C ．112D ．16811. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。

2016-2017年北京八中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年北京八中高二（下）期中数学试卷（理科）A卷（满分40分）一、选择题（每题5分）1．（5分）已知函数，则f'（2）等于（）A．4B．C．﹣4D．2．（5分）曲线y＝x2在点P（1，1）处的切线方程为（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x 3．（5分）已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数5．（5分）已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在x＝1处取得极小值B．f（x）在x＝1处取得极大值C．f（x）是R上的增函数D．f（x）是（﹣∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数6．（5分）cos xdx等于（）A．1B．C．D．﹣7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）8．（5分）设f（x）＝x2（2﹣x），则f（x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．D．二、填空题（每题5分）.9．（5分）设函数f（x）＝ln（1+2x），则f'（x）＝．10．（5分）设a，b∈R，复数，则a2+b2＝．11．（5分）设a1，a2，…，aπ均为正数，已知两个数的均值定理为：．三个数的均值定理为：．据此写出n个数均值定理：．12．（5分）若曲线y＝a x与y＝log a x（a＞1）有一个公共点A，且这两条曲线在点A处的切线的斜率都是1，则a的值为．三、解答题（第13、14题每题13分，第15题14分）13．（13分）已知函数y＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3．（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值．14．（13分）数列{a n}的通项公式为，前n项和记为S n．（1）求S1，S2，S3．（2）用数学归纳法证明：．15．（14分）已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；（2）当a2＝4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1]上的最大值．B卷．一、填空题（每题5分）16．（5分）以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为：（t是参数，k∈R），圆C的极坐标方程为：p＝4cosθ，则直线l与圆C的位置关系为．17．（5分）如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为．18．（5分）以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆（θ为参数）的极坐标方程是．19．（5分）已知直线y＝kx+1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆＝1恒有公共点，求t的取值范围．20．（5分）函数f（x）＝﹣的最大值是．二、解答题（第6题12分，第7题13分）21．（12分）已知函数f（x）＝（2x2﹣4ax）lnx+x2．（1）设a＞0，求函数f（x）的单调区间．（2）不等式（2x﹣4a）lnx＞﹣x对∀x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围．22．（13分）设椭圆（a＞2）的离心率为．斜率为k的直线l过点E （0，1），且与椭圆相交于C，D两点．（1）求椭圆方程．（2）若直线l与x轴相交于点G，且，求k的值．（3）求△COD的面积的最大值．2016-2017学年北京八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析A卷（满分40分）一、选择题（每题5分）1．（5分）已知函数，则f'（2）等于（）A．4B．C．﹣4D．【解答】解：∵，则f'（x）＝﹣，则f'（2）＝﹣，故选：D．2．（5分）曲线y＝x2在点P（1，1）处的切线方程为（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x【解答】解：∵y＝x2，∴y′＝2x．当x＝1时，y′＝2得切线的斜率为2，∴曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1＝2×（x﹣1），即y＝2x﹣1．故选：B．3．（5分）已知a，b∈R，则“b≠0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a，b∈R，复数a+bi是纯虚数⇔，∴“b≠0”是“复数a+bii是纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5．（5分）已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在x＝1处取得极小值B．f（x）在x＝1处取得极大值C．f（x）是R上的增函数D．f（x）是（﹣∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数【解答】解：由图象易知f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上是增函数．故选：C．6．（5分）cos xdx等于（）A．1B．C．D．﹣【解答】解：cos xdx＝sin x|＝1；故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数，∴f′（x）＝mx+﹣2≥0，化为m≥﹣．令g（x）＝﹣，g′（x）＝﹣，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1．因此当x＝1时，g（x）取得最大值，g（1）＝1．∴m≥1．故选：D．8．（5分）设f（x）＝x2（2﹣x），则f（x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．D．【解答】解：f（x）＝x2（2﹣x）＝2x2﹣x3．导函数为：f′（x）＝4x﹣3x2，由4x﹣3x2＞0，解得x∈（0，）．所以函数的单调增区间为：（0，）．故选：C．二、填空题（每题5分）.9．（5分）设函数f（x）＝ln（1+2x），则f'（x）＝．【解答】解：函数的导数f′（x）＝＝，故答案为：．10．（5分）设a，b∈R，复数，则a2+b2＝1．【解答】解：∵＝＝i，∴a＝0，b＝1，则a2+b2＝1，故答案为：1．11．（5分）设a1，a2，…，aπ均为正数，已知两个数的均值定理为：．三个数的均值定理为：．据此写出n个数均值定理：≥．【解答】解：根据两个正数的均值定理为：；三个正数的均值定理为：≥；得出n个正数的均值定理为：≥．故答案为：≥．12．（5分）若曲线y＝a x与y＝log a x（a＞1）有一个公共点A，且这两条曲线在点A处的切线的斜率都是1，则a的值为．【解答】解：∵y＝a x与y＝log a x两个函数互为反函数，它们的图象关于y＝x对称，∴两个函数图象只有一个公共点时，直线y＝x是两个函数的共同的切线．设两个函数相切时的切点坐标为M（x0，x0），∴＝x0，•lna＝1，联立可得，∴，两边取自然对数，得ln（）＝1，即e＝，则lna＝，∴a＝，故答案为：．三、解答题（第13、14题每题13分，第15题14分）13．（13分）已知函数y＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3．（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值．【解答】解：（1）y′＝3ax2+2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a+2b＝0，y|x＝1＝a+b＝3，即（2）y＝﹣6x3+9x2，y′＝﹣18x2+18x，令y′＝0，得x＝0，或x＝1当x＞1或x＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增．∴y极小值＝y|x＝0＝0．14．（13分）数列{a n}的通项公式为，前n项和记为S n．（1）求S1，S2，S3．（2）用数学归纳法证明：．【解答】解：（1）数列{a n}的通项公式为，前n项和记为S n．n＝1时，S1＝a1＝1，n＝2时，a2＝4，S1＝a1+a2＝5；n＝2时，a3＝9，S1＝a1+a2+a3＝14；（2）证明：①当n＝1时，S1＝＝1，成立；②假设n＝k时，等式成立，即：成立，则n＝k+1时，S k+1＝S k+a k+1＝＝＝＝，这就是说n＝k+1时等式也成立，由①②可知：恒成立．15．（14分）已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；（2）当a2＝4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1]上的最大值．【解答】解：（1）由（1，c）公共切点可得：f（x）＝ax2+1（a＞0），则f'（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g'（x）＝3x2+b，k2＝3+b，∴2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式可得：．（2）∵a2＝4b，∴设则，令h'（x）＝0，解得：，；∵a＞0，∴，∴原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增①若，即a≤2时，最大值为；②若，即2＜a＜6时，最大值为③若时，即a≥6时，最大值为．综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；当a∈（2，+∞）时，最大值为．B卷．一、填空题（每题5分）16．（5分）以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为：（t是参数，k∈R），圆C的极坐标方程为：p＝4cosθ，则直线l与圆C的位置关系为相交．【解答】解：由直线l的参数方程为：，得直线l的普通方程是：y＝k（x﹣4），由圆C的极坐标方程为：p＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，故C的普通方程是：（x﹣2）2+y2＝4，由，得：（1+k2）x2﹣（8k2+4）x+16k2＝0，故△＝[﹣（8k2+4）]2﹣4（1+k2）•16k2＝16＞0，故直线和圆相交，故答案为：相交．17．（5分）如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为．【解答】解：连接AE，则AE⊥DE．设|AD|＝2c，则|DE|＝c，|AE|＝c．椭圆定义，得2a＝|AE|+|ED|＝c+c，所以e＝＝＝﹣1，故答案为：．18．（5分）以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆（θ为参数）的极坐标方程是ρ＝2cosθ．【解答】解：由得cosθ＝x﹣1，sinθ＝y．∵cos2θ+sin2θ＝1，∴（x﹣1）2+y2＝1．即x2+y2＝2x．∵x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，即ρ＝2cosθ．故答案为：ρ＝2cosθ．19．（5分）已知直线y＝kx+1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆＝1恒有公共点，求t的取值范围．【解答】解：直线恒过点（0，1），所以此点必定在椭圆中即可，所以≤1，t≥1因为椭圆焦点在x轴上，5＞t＞0综合可知5＞t≥120．（5分）函数f（x）＝﹣的最大值是．【解答】解：f（x）＝﹣＝表示点P（x，x2）与A（3，2）的距离及B（0，1）的距离的差∵点P（x，x2）的轨迹是抛物线y＝x2，B在抛物线内，A在抛物线外∴当P、B、A三点共线且B在AP之间时|P A|﹣|PB|最大，为|AB|（P、A、B不共线时三点可构成三角形，两边之差小于第三边）∵|AB|＝∴函数f（x ）＝﹣的最大值是故答案为．二、解答题（第6题12分，第7题13分）21．（12分）已知函数f（x）＝（2x2﹣4ax）lnx+x2．（1）设a＞0，求函数f（x）的单调区间．（2）不等式（2x﹣4a）lnx＞﹣x对∀x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数函数f（x）＝（2x2﹣4ax）lnx+x2的定义域为（0，+∞）．f′（x）＝（4x﹣4a）（lnx+1），（a＞0），令f′（x）＝0，得x＝a，或x＝．①当a ＝时，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，此时函数的增区间为（0，+∞），无减区间；②当0时，x∈（0，a），（）时，f′（x）＞0，x时，f′（x）＜0，此时函数的增区间为（0，a），（），减区间为：（a ，）；③当a时，x时，f′（x）＞0，x时，f′（x）＜0，此时函数的增区间为，（0，），（a，+∞），减区间为：（）．（2）不等式（2x﹣4a）lnx＞﹣x对∀x∈[1，+∞）恒成立⇔不等式x（2x﹣4a）lnx＞﹣x2对∀x∈[1，+∞）恒成立，⇔f（x）＞0对∀x∈[1，+∞）恒成立，而f（1）＝1＞0，由（1）得：当0＜a≤1时，函数在[1，+∞）递增，f（x）≥f（1）＞0，符合题意．当a＞1时，函数在（1，a）递减，在（a，+∞）递增，故只需f（a）＝a2（1﹣2lna）＞0，即2lna＜1，解得a．故1符合题意第11页（共13页）a小于或等于0时，（2x﹣4a）lnx＞0＞﹣x也符合题意，综上：a 的取值范围为（﹣∞，）．22．（13分）设椭圆（a＞2）的离心率为．斜率为k的直线l过点E（0，1），且与椭圆相交于C，D两点．（1）求椭圆方程．（2）若直线l与x轴相交于点G ，且，求k的值．（3）求△COD的面积的最大值．【解答】（1）解：由e ＝，得a2＝3c2，又b2＝4，a2＝b2+c2，∴c2＝2，a2＝6．则椭圆的方程为．（2）解：如图，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx+1，由，得（2+3k2）x2+6kx﹣9＝0．再设C（x1，y1），D（x2，y2），．∵直线l与x轴相交于点G ，且，则x1＝x G﹣x2，即x1+x2＝x G，由y＝kx+1，取y＝0可得，，解得k ＝；（3）由（2）得|x1﹣x2|＝，△COD的面积s ＝|x1﹣x2|＝＝，令，（t≥1），则s ＝，当k＝±1时，取等号，故△COD 的面积的最大值为．第12页（共13页）第13页（共13页）。

2017-2018年北京市101中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年北京市101中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列导数公式正确的是（）A．（x n）'=nx n B．（）'=C．（sinx）'=﹣cosx D．（e x）'=e x2．（5分）如表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（）A．B．C．D．3．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=（）A．B．C．D．4．（5分）若dx=1﹣ln3，且a＞1，则a的值为（）A．﹣3B．1n3C．D．35．（5分）用数学归纳法证明“，n∈N•”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式的两边加上（）A．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3B．k3+1C．（k+1）3D．6．（5分）函数y=e x（x2﹣3）的大致图象是（）A．B．C．D．7．（5分）①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于．用反证法证明时可假设|f（1）|＞或|f（2）|＞．以下说法正确的是（）A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确8．（5分）若函数y=f（x）对任意x∈（﹣，）满足f'（x）cosx﹣f（x）sinx ＞0，则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（﹣）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（﹣）D．f（﹣）＜f（﹣）二、填空题共6小题．9．（5分）已知函数f（x）=sinx，则=．10．（5分）某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为．11．（5分）某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知P（80＜ξ＜120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取份．12．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为．13．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）=n2+n，四边形数N（n，4）=n2，五边形数N（n，5）=n2﹣n，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，20）=．14．（5分）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f（x）=（1﹣2x）（x2﹣2）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若直线y=4x+b是函数y=f（x）图象的一条切线，求b的值．16．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．17．（12分）已知点P n（a n，b n）满足a n+1=a n•b n+1，b n+1=（n∈N*）且点P1的坐标为（1，﹣1）．（1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在（1）中的直线l上．18．（14分）已知函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．2017-2018学年北京市101中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列导数公式正确的是（）A．（x n）'=nx n B．（）'=C．（sinx）'=﹣cosx D．（e x）'=e x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（x n）'=nx n﹣1，A错误；对于B，（）′=﹣，B错误；对于C，（sinx）′=cosx，C错误；对于D，（e x）'=e x，D正确；故选：D．2．（5分）如表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，得：a+=1，解得a=．故选：A．3．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意事件记A={两次的点数均为偶数}，包含的基本事件数是（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9个基本事件，在A发生的条件下，B={两次的点数之和为8}，包含的基本事件数是{2，6}，{4，4}，{6，2}共3个基本事件，∴P（B|A）==．故选：C．4．（5分）若dx=1﹣ln3，且a＞1，则a的值为（）A．﹣3B．1n3C．D．3【解答】解：dx=（x2﹣lnx）|=（a2﹣lna）﹣（﹣0）=a2﹣﹣lna=1﹣ln3，∴a2﹣=1且lna=ln3，解得a=，故选：C．5．（5分）用数学归纳法证明“，n∈N•”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式的两边加上（）A．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3B．k3+1C．（k+1）3D．【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k3，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k3+（k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+…+（k+1）3，增加了2k+1项．故选：A．6．（5分）函数y=e x（x2﹣3）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=（x2+2x﹣3）e x．令f′（x）＞0，即x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1；令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜1．所以，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1），排除A、B、D选项，故选：C．7．（5分）①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于．用反证法证明时可假设|f（1）|＞或|f（2）|＞．以下说法正确的是（）A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确【解答】解：①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定．所以p+q≤2的假命题应为p+q＞2．故①的假设不正确；②|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于的否定为②|f（1）|与|f（2）|中都大于，故②的假设错误；故选：A．8．（5分）若函数y=f（x）对任意x∈（﹣，）满足f'（x）cosx﹣f（x）sinx ＞0，则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（﹣）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（﹣）D．f（﹣）＜f（﹣）【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）cosx，则其导数g′（x）=f′（x）cosx+f（x）（cosx）′=f'（x）cosx﹣f（x）sinx，又由f'（x）cosx﹣f（x）sinx＞0在（﹣，）上恒成立，则g′（x）＞0，函数g（x）在（﹣，）上为增函数；g（﹣）＞g（﹣），则cos（﹣）f（﹣）＞cos（﹣）f（﹣），即f（﹣）＞f（﹣），则有f（﹣）＞f（﹣），分析选项：B正确；故选：B．二、填空题共6小题．9．（5分）已知函数f（x）=sinx，则=0．【解答】解：=，∵函数f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx，∴==cos=0．故答案为：0．10．（5分）某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为．【解答】解：某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为：p==．故答案为：．11．（5分）某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知P（80＜ξ＜120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取15份．【解答】解：由题意，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（80＜ξ＜120）=0.70，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5﹣=0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×100=15．故答案为：15．12．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为e2﹣2．【解答】解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴其空白部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，又边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，则阴影部分的面积为e2﹣2．故答案为：e2﹣2．13．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）=n2+n，四边形数N（n，4）=n2，五边形数N（n，5）=n2﹣n，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，20）=820．【解答】解：第n个k边形数为N（n，k）的等式右边系数分别为，，，，则N（n，k）的二次项系数为，后面是以n为首项，公差d=﹣n的一个等差数列构成，则由归纳推理得到N（n，k）的表达式为N（n，k）=+（2n﹣），当n=10，k=20时，N（10，20）==900+20﹣100=820，故答案为：82014．（5分）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是（，）．【解答】解：由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．可令g（x）=e x﹣alnx在（2，3），由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：a=在（2，3）有唯一解，由h （x ）=的导数 h′（x ）=，而lnx ﹣在（2，3）递增，且ln2﹣＞0，ln3﹣＞0，则h （x ）在（2，3）递增，则＜a ＜，故答案为：（，）．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f （x ）=（1﹣2x ）（x 2﹣2）．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）若直线y=4x +b 是函数y=f （x ）图象的一条切线，求b 的值．【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）=（1﹣2x ）（x 2﹣2）．则f'（x ）=﹣2（x 2﹣2）+（1﹣2x ）•2x=﹣6x 2+2x +4．令f'（x ）=0，得3x 2﹣x ﹣2=0，解得x=﹣或x=1．）﹣所以f （x ）的单调递增区间为（﹣，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞），极小值为f （﹣）=﹣，极大值为f （1）=1．（2）因为f'（x ）=﹣6x 2+2x +4，直线y=4x +b 是f （x ）的切线，设切点为（x 0，f （x 0）），则f'（x 0）=﹣6x 0+2x 0+4=4，解得x0=0或x0=．当x0=0时，f（x0）=﹣2，代入直线方程得b=﹣2，当x0=时，f（x0）=﹣，代入直线方程得b=﹣．所以b=﹣2或﹣．16．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=k）=，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．所以X的分布列为所以E（X）=0×+l×+2×+3×=．17．（12分）已知点P n（a n，b n）满足a n+1=a n•b n+1，b n+1=（n∈N*）且点P1的坐标为（1，﹣1）．（1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在（1）中的直线l上．【解答】解：（1）由P1的坐标为（1，﹣1）知a1=1，b1=﹣1．∴b2==．a2=a1•b2=．∴点P2的坐标为（，）∴直线l的方程为2x+y=1．（2）①当n=1时，2a1+b1=2×1+（﹣1）=1成立．②假设n=k（k∈N*，k≥1）时，2a k+b k=1成立，则2a k+1+b k+1=2a k•b k+1+b k+1=（2a k+1）===1，∴当n=k+1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2a n+b n=1，即点P n在直线l上．18．（14分）已知函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）可知f'（x）=，若a＞0，则当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）单调递增；若a=0，则当f′（x）=2x＞0在（0，+∞）内恒成立，函数f（x）单调递增；若a＜0，则当x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）单调递增．（2）若a＞0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增．若a＜0，f（x）在（0，﹣）单调递减，在（﹣，+∞）单调递增．由题意，若f（x）在区间（1，e）中有两个零点，则有或，即或，得a无解或a∈（﹣e，﹣2）．综上，a∈（﹣e，﹣2）．。

北京师范大学附属实验中学2017—2018学年度第二学期期中测试高二数学理科试卷(含解析)

已知函数 f ( x)
sin x ex
x.
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值 .
（Ⅱ 卷）
四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸横
线上）
1 18. 若对任意 x ( ,
D.
y
O
x
6．函数 f ( x) 的图象如图所示，下列结果正确的是
A. 0
f ( x1)
f (x2)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
B. 0 f ( x2 )
f ( x2) f ( x1) x2 x1
f ( x1)
C. 0 f ( x2 )
f (x1)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
函数 f ( x) 具有性质 P.
（1）下列函数中具有性质 P 的有 .
① f ( x) 2x 2 2 ② f ( x) sin x ( x [0,2 ])
③ f ( x) x （2）若函数 f ( x)
1 ， ( x (0, )) ④ f ( x) ln( x 1)
x
a ln x 具有性质 P，则实数 a 的取值范围是 .
数 a 的值为
A. 1
B. 1 2
C. 1 2
D. 1 或 1 22
111
4．若 a,b, c 均为正实数，则三个数 a
,b b
,c c
a 中不小于 2 的数
A.可以不存在
B.至少有 1 个
C.至少有 2 个
D. 至多有 2 个
1
5．函数 y 2x ex 的大致图象是

北京高二下学期期中数学试卷(理科)

北京高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）有下列四种说法：①命题“,使得”的否定是“都有” ；②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③“若则a<b”的逆命题为真；④若实数,则满足:的概率为.其中错误的个数是A .B . 1C . 2D . 32. （2分）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A . ①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B . ①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C . ①用系统抽样法；②用分层抽样法D . ①用分层抽样法；②用系统抽样法3. （2分） (2017高二上·伊春月考) 某公司在销售某种环保材料过程中，记录了每日的销售量（吨）与利润（万元）的对应数据，下表是其中的几组对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程，若每日销售量达到10吨，则每日利润大约是（）34562.534 4.5A . 7.2万元B . 7.35万元C . 7.45万元D . 7.5万元4. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P （﹣2≤ξ≤1）=（）A . 0.21B . 0.58C . 0.42D . 0.295. （2分）已知．若在区域A中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域B中的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）已知X和Y是两个分类变量，由公式K2=算出K2的观测值k约为7.822根据下面的临界值表可推断（）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828A . 推断“分类变量X和Y没有关系”犯错误的概率上界为0.010B . 推断“分类变量X和Y有关系”犯错误的概率上界为0.010C . 有至少99%的把握认为分类变量X和Y没有关系D . 有至多99%的把握认为分类变量X和Y有关系7. （2分）执行图中的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）A . 4B . 5C . 6D . 78. （2分）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（）A .B .C .D .9. （2分）如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2 ，且a2＞a3 ，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275等），那么所有凸数的个数为（）A . 204B . 240C . 729D . 92010. （2分）已知函数在R上可导，且，则与的大小关系是（）A . f (-1 ) =f(1 )B . f (-1 ) <f (1 )C . f (-1) >f (1 )D . 不能确定11. （2分）若，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A . ﹣1B . 31C . ﹣33D . ﹣3112. （2分） (2017高三上·威海期末) 已知双曲线与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·湖北期末) 先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）=________．14. （1分） (2018高二下·湖南期末) 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.15. （1分）若随机变量ξ的分布列如下表：ξ01xP p且E（ξ）＝1.1，则D（ξ）＝________．16. （1分）(2018·黄山模拟) 给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为________．①函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是；②“ ”是“ 成等比数列”的必要不充分条件；③ ，；④若，则 .三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2016高二下·红河开学考) 已知P={x|a﹣4＜x＜a+4}，Q={x|x2﹣4x+3＜0}，且x∈P是x∈Q 的必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分）(2020·邵阳模拟) 某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于 ,则销售5000件;若气温位于 ,则销售3500件;若气温低于 ,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:气温范围(单位: )天数414362115以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.（1）求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;（2）设8月份一天销售这种食品的利润为 (单位:元),当8月份这种食品一天生产量 (单位:件)为多少时,的数学期望值最大,最大值为多少19. （10分） (2018高二下·济宁期中) 已知函数 .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求的取值范围.20. （10分）(2017·菏泽模拟) 如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．（1）求证：BF∥平面ADP；（2）求二面角B﹣DF﹣P的余弦值．21. （10分）(2017·南通模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点的坐标为，求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且，求直线AB的斜率．22. （10分） (2017高二下·平顶山期末) 已知函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5、答案：略6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16、答案：略三、解答题 (共6题；共55分)17、答案：略18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

【精品】2017-2018学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)

顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，
则小明不同的完成方法种数为（
）
A．55
B． 90
C．425
D． 512
【分析】根据题意，分析可得小明最少需要 1 天完成，最多需要 10 天完成，据
此分 10 种情况讨论：分别求出每一种情况的完成方法数目，由加法原理计算可
得答案．
D．? a∈ R，使得函数 f（x）的极值点也是 g（x）的极值点
【分析】对于 A：根据函数零点存在定理即可判断，
对于 B，根据极值，方程的根，函数零点的关系即可判断，
对于 C：当 a=0 时， g（ 0） =f（0）=0，
对于 D：根据极值点和方程根的关系即可判断．【解答】解：函数 f （x） =x3+ax2﹣ax，g（x）=f ′（x） =3x2+2ax﹣a，若当函数 g（ x）只有一个零点，则△ =4a2+12a=0，解得 a=0 或 a=﹣ 3，
⑩ ，小明 10 天完成，即 1 天完成 1 道题目，有 1 种完成方法，
则
一
共
有
1+C92+C93+C94+C95+C9 6+C97+C98+1=C91+C92+C93+C94+C95+C96+C97+C98+C99=29=512
故选： D．
【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意正确的分类讨论，属于中档题．
第 3 页（共 19 页）
（Ⅰ）若函数 f （x）为单调函数，求实数 a 的最大值；（Ⅱ）如果函数 f（ x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围．

北京市XX中学2017—2018学年初二下期中考试数学试卷(有答案)AlHqKl

2017-2018第二学期期中阶段测试初二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）第Ⅲ卷附加题三部分，其中第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷共100分，第Ⅲ卷20分，考试时间100分钟。

第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的).1．下列各式中，运算正确的是（）．A ．3=B =．=D 2=-2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）．A ．3．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）．A ．1．3，4，5C ．5，12，13D ．2，2，31．4．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点．若∠AOB ＝60°，AC ＝8，则AB 的长为（）.A ．4B ．．3D ．55．如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C ，分别以A 、C 为圆心，BC 、AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，分别连接AB 、AD 、CD ，则四边形ABCD 一定是（）． A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 6．用配方法解方程2230x x --=，原方程应变形为（）．A ．2(1)2x -=B ．2(1)4x +=C ．2(1)4x -= D ．2(1)2x +=7．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ，若BF ＝12，AB ＝10，则AE 的长为（）．A ．13B ．14C ．15D ．168．下列命题中，正确的是（）．A ．有一组邻边相等的四边形是菱形B ．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C ．两组邻角相等的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形9．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 沿地面向右滑行. 在此滑动过程中，点P 到点O 的距离（）． A ．不变B ．变小 C ．变大 D ．无法判断PFE DCB10．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，E 是DC 边上一个动点，F 是AB 边上一点，∠AEF ＝30°．设DE ＝x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是图中的（）．A ．线段ECB ．线段AEC ．线段EFD ．线段BF第9题图第10题图第Ⅱ卷(共70分)二、填空：（每小题2分，共10个小题，共20分）11．写出一个以0，1为根的一元二次方程．12．如果在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是________． 13．一元二次方程2x ＋kx －3=0的一个根是x=1，则k 的值是．14．如图，为了检查平行四边形书架ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC ，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理．15．某城2016年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，预计到2018年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程是． 16．如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝8，则EF 的长为．17．如果关于x 的一元二次方程210ax x +-=有实数根，则ａ的取值范围是________．18．如图，矩形ABCD 中，AB=3,BC=5.过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E, 则AE 的长是． 19．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线折叠，点C 落在同一平面内，落点记为C’，BC’与AD 交于点E ，若 AB=3，BC ＝4，则DE 的长为．20．如图，正方形ABCD 的面积是2，E ，F ，P 分别是AB ，BC ，AC 上的动点， PE ＋PF 的最小值等于．A第18题图第19题图第20题图三、解答题：（21，22题每小题4分，23，24，25每题5分， 26，27每题6分，28题7分；共计50分） 21．计算（1）1)；（2）22．解方程：（1）2650x x -+=；（2） 22310x x --=．23．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90º，AB=BC=2，AD ＝1，CD ＝3．求∠DAB 的度数．24．列方程或方程组解应用题如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园 ABCD ，为了节约材料，花园的一边AD 靠着原有的一面墙，墙长为8米（AD ＜8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB 的长．25．如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 平分∠BAD ，CE//AD 交AB 于E.求证：四边形AECD 是菱形.26．已知关于x 的一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m 的值．27．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在CD 边上，点F 在DC 延长线上，AE ＝BF ．（1）求证：四边形ABFE 是平行四边形（2）若∠BEF ＝∠DAE ，AE ＝3，BE ＝4，求EF 的长．D C B28．如图，在正方形ABCD 中，点M 在CD 边上，点N 在正方形ABCD 外部，且满足∠CMN ＝90°，CM ＝MN ．连接AN ，CN ，取AN 的中点E ，连接BE ，AC ，交于F 点．（1） ①依题意补全图形；②求证：BE ⊥AC ．（2）请探究线段BE ，AD ，CN 所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB ＝1，若点M 沿着线段CD 从点C 运动到点D ，则在该运动过程中，线段EN 所扫过的面积为______________（直接写出答案）．第Ⅲ卷附加题（共20分）附加题（1题6分，2题7分，3题7分，共20分）1. 如图1，将边长为1的正方形ABCD 压扁为边长为1的菱形ABCD ．在菱形ABCD 中，∠A 的大小为α，面积记为S ．30° 45°60° 90° 120°135°150° S12122由（1）可以发现正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A 大小的变化而变化，不妨把菱形的面积S 记为S (α)．例如：当α＝30°时，1(30)2S S =︒=；当α＝135°时，2(135)S S ο= (60)S S ︒=( ______°)；(150)S S ︒=( ______°)，…，由此可以归纳出(180)()S S α︒-=．（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD 2AOB ＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．DACM图2图2 2．已知：关于x 的一元二次方程23(1)230(3)mx m x m m --+>-=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且12x x <． ①求方程的两个实数根1x ，2x （用含m 的代数式表示）； ②若1284mx x <-，直接写出m 的取值范围．3. 阅读下列材料：问题：如图1，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，AE=AB ，∠EAB=60°，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB=∠EAB ，连接AG. 求证：EG =AG+BG.小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB 交GE 于点H ，构造全等三角形，经过推理解决问题. 参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）完成上面问题中的证明；（2）如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论. （1）证明：（2）解：线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系为____________________________. 证明：图1图22017-2018第二学期期中阶段测试初二数学答案及评分标准＝(31)-…………………………………………………3分＝2……………………………………………………………4分（2）原式＝22⨯, ----2分＝＝3⨯3分＝＝ …………………………………………………………………4分 22．（1）解：2650x x -+=移项，得265x x -=-．配方，得26959x x -+=-+，…………………………………………………1分所以，2(3)4x -=．………………………………………………………………2分由此可得32x -=±，所以，15x =，21x =．…………………………………………………………4分（2）解：2a =，3b =-，1c =-．………………………………… 1分224(3)42(1)170b ac ∆=-=--⨯⨯-=>．………………………2分方程有两个不相等的实数根x==，1x2x ．……………………………………4分23．解：连接AC在Rt △ABC 中，∠B ＝90º，AB ＝BC ＝2，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，………………………………………………1分 ∴222AC AB BC =+．∴AC=2分∵AD ＝1，CD ＝3，∴222AC AD CD +=．…………………………3分在△ACD 中，222AC AD CD +=，∴△ACD 是直角三角形，即∠DAC ＝90º．……………………………………4分 ∵∠BAD ＝∠BAC +∠DAC ，∴∠BAD ＝135º．………………………………………………………………5分 24．解：设AB 的长为x 米，则AD=BC=(242x -)米.(242)240x x -⋅=………………………………2分212200x x -+= (10)(2)0x x --=1210,2x x ==………………………………4分当110,4x AD == 当22,20x AD ==8,4AD AD <∴=10x ∴=………………………………5分答：AB 的长为10米．25．证明：∵AB ∥CD ，CE ∥AD∴四边形ADCE 是平行四边形…………………1分 ∵AC 平分∠BAD∴∠DAC=∠EAC ………………2分 ∵AB ∥CD∴∠DCA=∠EAC ………………3分 ∴∠DAC=∠DCA∴AD=DC …………………………4分 ∴四边形ADCE 是菱形…………5分26. 解：（1）∵一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根， ∴2224(22)41(4)b ac m m ∆=-=+-⨯⨯-………………………………1分8200m =+>……………………………………………………………2分∴52m >-．……………………………………………………………………3分（2）∵m 为负整数，∴1m =-或2-．……………………………………………………………4分C当1m =-时，方程230x -=的根为1x =2x =舍去．…………………………………………………………………………5分当2m =-时，方程220x x -=的根为10x =，22x =都是整数，符合题意．综上所述2m =-．…………………………………………………………6分27.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ＝BC , ∠D ＝∠BCD ＝90°. ∴∠BCF ＝180°－∠BCD ＝180°－90°＝90°.∴∠D ＝∠BCF .------------------------------------------------------------------1分在Rt △ADE 和Rt △BCF 中,,.AE BF AD BC =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ADE ≌Rt △BCF . ---------------------------------------------------------2分 ∴∠1＝∠F . ∴AE ∥BF . ∵AE ＝BF ,∴四边形ABFE 是平行四边形. ---------------------------------------------------3分（2）解：∵∠D ＝90°, ∴∠DAE ＋∠1＝90°.∵∠BEF ＝∠DAE , ∴∠BEF ＋∠1＝90°.∵∠BEF ＋∠1＋∠AEB ＝180°, ∴∠AEB ＝90°. --------------------------------------------------------------------------4分在Rt △ABE 中, AE =3，BE =4，AB 5. ∵四边形ABFE 是平行四边形,∴EF ＝AB ＝5. --------------------------------------------------------------------------6分28.（1）①依题意补全图形.---------------------------------------------------------1分②解法1：证明：连接CE .∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠BCD ＝90°, AB ＝BC . ∴∠ACB ＝∠ACD ＝12∠BCD ＝45°.∵∠CMN ＝90°, CM ＝MN , ∴∠MCN ＝45°.∴∠ACN ＝∠ACD ＋∠MCN ＝90°. ∵在Rt △ACN 中,点E 是AN 中点, ∴AE ＝CE ＝12AN . ----------------------------------------------------------------------------2分 ∵AE ＝CE ,AB ＝CB ,∴点B ，E 在AC 的垂直平分线上. ∴BE 垂直平分AC .∴BE ⊥AC . --------------------------------------------------------------------------------------3分解法2：证明：连接CE .∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠BCD ＝90°, AB ＝BC . ∴∠ACB ＝∠ACD ＝12∠BCD ＝45°. ∵∠CMN ＝90°，CM ＝MN , ∴△CMN 是等腰直角三角形. ∴∠MCN ＝45°.∴∠ACN ＝∠ACD ＋∠MCN ＝90°. ∵在Rt △ACN 中,点E 是AN 中点, ∴AE ＝CE ＝12AN . 在△ABE 和△CBE 中,,,.AE CE AB CB BE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBE （SSS ）. -----------------------------------------------------------------2分 ∴∠ABE ＝∠CBE . ∵AB ＝BC ,∴BE ⊥AC . --------------------------------------------------------------------------------------3分（2）BEAD ＋12CN （或2BE＋CN ）. -------------------------------------4分证明：∵AB ＝BC , ∠ABE ＝∠CBE ,∴AF ＝FC . ∵点E 是AN 中点,∴AE ＝EN .∴FE 是△ACN 的中位线.∴FE ＝12CN . ∵BE ⊥AC ,∴∠BFC ＝90°.∴∠FBC ＋∠FCB ＝90°.∵∠FCB ＝45°,∴∠FBC ＝45°.∴∠FCB ＝∠FBC .∴BF ＝CF .在Rt △BCF 中,222BF CF BF +=,∴BF BC . -----------------------------------------------------------------------------5分 ∵四边形ABCD 是正方形,∴BC ＝AD .∴BF AD . ∵BE ＝BF ＋FE ,∴BE AD ＋12CN . -------------------------------------------------------------------6分（3）34.---------------------------------------------------------------------------------------7分附加题：1.（1；12.（说明：每对两个给1分）----------------------------------2分（2）120；30；α. -----------------------------------------------------------------------------------4分（说明：前两个都答对给1分，最后一个α答对给1分）（3）答：两个带阴影的三角形面积相等.证明：将△ABO 沿AB 翻折得到菱形AEBO , 将△CDO 沿CD 翻折得到菱形OCFD .∴S △AOB ＝12S 菱形AEBO ＝12S (α)---------------------------------------------------5分 S △CDO ＝12S 菱形OCFD ＝12S (180α︒-)-----------------------------------------6分由（2）中结论S (α)＝S (180α︒-)∴S △AOB ＝S △CDO .2.（1）证明：∵23(1)230(0)mx m x m m --+≠-=是关于x 的一元二次方程，∴2[3(1)]4(23)m m m ∆=---- ··························································· 1分 269m m =-+2(3)m =-． ······························································································· 2分 ∵3m >，∴2(3)0m ->，即0∆>．∴方程总有两个不相等的实数根． ·························································· 3分（2）①解：由求根公式，得3(1)(3)2m m x m-±-=． ∴1x =或23m x m-=． ∵3m >， ∴23321m m m-=->． ∵12x x <，∴11x =，22332m x m m-==-． ···························································· 5分②3m << ··································································································· 7分 3．（1）证明：如图1，作∠GAH=∠EAB 交GE 于点H ，则∠GAB=∠HAE ．……………………1分∵∠EAB=∠EGB ，∠AOE=∠BOF ，∴∠ABG=∠AEH ．在△ABG 和△AEH 中 GAB HAE AB AEABG AEH ⎧∠∠⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABG ≌△AEH ．……………………2分∴BG=EH ，AG=AH ．∵∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH 是等边三角形．∴AG=HG ．∴EG=AG+BG ；……………………3分（2）线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系是EG+BG =AG ．………4分证明：如图2，作∠GAH=∠EAB 交GE 的延长线于点H ，则∠GAB=∠HAE ． ∵∠EGB=∠EAB=90°，∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．∴∠ABG=∠AEH ．……………………5分在△ABG 和△AEH 中，∴△ABG ≌△AEH ．……………………6分∴BG=EH ，AG=AH ．∵∠GAH=∠EAB=90°，∴△AGH 是等腰直角三角形． ∴AG=HG ，∴EG+BG =AG ． (7)O。