D3_2洛必达法则和泰勒公式

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洛必达法则泰勒公式

洛必达法则泰勒公式一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解.而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此.在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和.由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难.今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理.定理1设（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点的某去心邻域内，及都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大.这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达（L' Hospita 1）法则.下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理.再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理.证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定.于是由条件（1）和（2）知，及在点的某一邻域内是连续的.设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式（在与之间）成立.对上式两端求时的极限，注意到时，贝叽又因为极限存在（或为无穷大），所以.故定理1成立.注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即.且这种情况可以继续依此类推.例1求.分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则.解、注最后一个求极限的函数在处是连续的.例2求.解、注例2中我们连续应用了两次洛必达法则.例3求.解、例4求、解、注（1）在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导数，从而使运算复杂化.因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化.课后请同学们自己学习教材136页上的例10・（2）例4中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果.以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则.对于时的未定式有以下定理.定理2设（1）当时，函数及都趋于零；（2）当时，与都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.同样地, 对于（或）时的未定式，也有相应的洛必达法则.定理3设（1）当（或）时，函数及都趋于无穷大；（2）在点的某去心邻域内（或当时），及都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.例5求、解、例6求、解、事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零.注由例5和例6可见，当时，函数都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的，最快，其次是，最慢的是.除了和型未定式外，还有型的未定式.这些未定式可转化为或型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明.例7求.分析因为，，所以是型未定式.又因为，.而是型未定式，是型未定式，所以型未定式可以转化为或型未定式去计算.解、例8 求.分析因为，，所以是型未定式.又因为.而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为型未定式来计算•解.注讨论型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论.例9求、分析这是一个幕指函数求极限的问题，由于，所以是一个型未定式.又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算.解、例10求.分析由于，，所以是一个型未定式.又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算.解、由于，所以.例11求、分析由于，，所以是一个型未定式.又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算.解.由于，所以、型未定式向或型未定式的转化可形式地表示为：或；（或）；（或）；（或）・最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法.当定理的条件满足时，所求的极限当然存在（或为），但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在.也就是说，当不存在时(无穷大的情况除外)，仍可能存在，见下面的例题.例12 求、解这是一个型未定式，我们有.由于上式右端极限不存在，所以未定式的极限不能用洛必达法则去求，但不能据此断定极限不存在.这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限・・由此可见极限是存在的.二、泰勒公式把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达.说到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单.那么是否任意一个函数都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过.设函数在点的某个邻域内可导，且，则在该邻域内.用上述的一次多项式去近似表达函数存在两点不足：(1)精确度不高，它所产生的误差仅是比高阶的无穷小；(2)用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小.因此，在一些精度要求较高且要求估计误差的问题中，上述近似表达是满足不了要求的.这时我们就想，是否可以找到一个关于的更高次多项式去近似地表达函数，从而使误差变得更小呢？这就是下面我们要解决的问题.设函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，并设用于近似表达函数的多项式为、(1)既然我们要用去近似地表达，自然要求在处的函数值及它的直到阶的导数在处的值依次与，相等，即，，…，・这样我们就得到了如下个等式，，，・・・，，即，，，…，.将所求得的多项式的系数，，…，代入(1)式，得、(2)下面的泰勒(Taylor)中值定理告诉我们，多项式(2)就是我们要找的多项式，并且用它去近似表达函数f(x),其误差的确变小了.泰勒中值定理若函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任意x, 有f(x)二、(3)其中，(4)这里是在与之间的某个值.由(2)式和(3) 式知，，现在只要证明(介于与之间)即可•证由假设知，在内具有直到阶的导数，且、函数与在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、同样，函数与在以及为端点的区间上也满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、继续对函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，如此做下去，经过次应用柯西中值定理后，得(介于与之间，因而也在与之间)、定理证毕.泰勒中值定理告诉我们，以多项式近似表达函数时，其误差为.如果对某个固定的，当时，，则有误差估计式，及.由此可见，当时，误差是比高阶的无穷小，即(5)上述结果表明，多项式的次数越大，越小，用去近似表达的误差就越小，是比高阶的无穷小，并且误差是可估计的.泰勒公式不仅在近似计算中有着广泛的应用，而且它在级数理论和数值计算中也起着重要的作用，同学们一定要深刻地理解它.到此我们所提出的问题就解决了.多项式(2)称为函数按的專展开的次泰勒多项式，公式(3)称为按的幕展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式，而的表达式(4)称为拉格朗日型余项.当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式(介于与之间).因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成、(6 )的表达式(5)称为佩亚诺(Peano)型余项，公式(6)称为按的幕展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.在泰勒公式(3)中，如果取，则在0与之间.因此可令，从而泰勒公式变成简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Mac 1 aurin)公式、(7)在泰勒公式(6)中，若取，则带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式为、(8)由(7)和(8)可得近似公式、(9)误差估计式相应地变成、(10)例1写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.解因为，所以.把这些值代入公式(7),并注意到，便得、由这个公式可知，若把用它的次泰勒多项式近似地表达为，则所产生的误差为、如果取，则无理数的近似式为，其误差.当时，可算出，其误差不超过.例2求的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.解因为，，，・・・，，所以，，，，・・・，它们顺序循环地取四个数，，，，于是令，按公式(7)得，其中.如果取，则得近似公式，这时误差为、如果分别取和，则可得的次和次近似和，其误差的绝对值依次不超过和.以上三个近似多项式及正弦函数的图形见图4.由图4可见，当时，近似多项式的次数越高，其向函数逼近的速度就越快，这就是泰勒公式的精髓.类似地，我们还可以求出函数和的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式：其中；，其中；，其中.由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，可很容易的得到相应地带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，请同学们课后自己写出来.以上这些常见函数的麦克劳林公式要求同学们一定要熟记，以便在今后使用时方便.例3利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限.分析利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限，就是把极限中所涉及到的不是关于的多项式的函数，都用麦克劳林公式来表示，然后求其极限.在利用麦克劳林公式计算极限时，自变量的变化过程一定得是趋于零，否则保证不了麦克劳林公式对原始函数的良好近似.在本问题中，由于分式的分母，因此我们只需要将分子中的和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示即可，其中，.为什么和要展成三阶麦克劳林公式，而不展成其它阶的麦克劳林公式呢？这是因为用麦克劳林公式将分子展成关于的多项式后，分子分母中的最高次幕一定要相等，以便运算.这一点同学们今后一定要注意.解其中仍是比高阶的无穷小，因为.总结由于两个多项式之比的极限比较容易计算，所以人们经常利用泰勒公式把两个复杂函数之比的极限问题转化为多项式之比的极限问题.。

洛必达法则

洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。

这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。

洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。

通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。

洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。

洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。

洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。

若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。

示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。

假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。

首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。

总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。

洛必达法则公式表

洛必达法则公式表德国物理学家恩斯特·洛必达（Ernst Mach）在19世纪末提出了洛必达法则，它被认为是科学中关于物体运动的最基本的定律之一、洛必达法则描述了物体受力时的运动状况，是牛顿第二定律的一种特殊形式。

下面是洛必达法则的公式表及其详细解释。

F=m*a解释：F：物体所受合力的大小，单位为牛顿（N）m：物体的质量，单位为千克（kg）a：物体的加速度，单位为米每秒的平方（m/s²）根据洛必达法则，物体所受合力的大小与加速度之间存在直接的关系。

当物体受到的合力增大时，加速度也会相应增大；反之，当物体受到的合力减小时，加速度也会相应减小。

同时，物体的质量也会影响其加速度，质量越大，物体相同力量作用下加速度越小。

a=F/m这个公式表明，物体受到的合力除以其质量，等于物体的加速度。

这意味着我们可以通过测量物体的质量和给定物体所受的合力来计算其加速度。

另外，根据洛必达法则公式的变形，可以得到以下公式：F=m*Δv/Δt这个公式表明，物体所受合力等于质量乘以速度变化的比率（加速度）。

速度变化可以通过将物体的初始速度与最终速度相减得到，时间变化可以通过将物体的初始时间与最终时间相减得到。

总结：洛必达法则的公式表为F=m*a，其中F为物体所受合力的大小，m为物体的质量，a为物体的加速度。

根据洛必达法则，合力与加速度之间存在直接的关系，质量也会影响加速度。

公式也可以重写为a=F/m或F=m*Δv/Δt，这些公式可以帮助我们计算物体在受力作用下的运动情况。

洛必达法则公式表在物理学中是非常基础和重要的一个概念。

洛必达法则极限公式

洛必达法则极限公式洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中的一条重要极限定理，用于求解一类特殊的极限。

它是由法国数学家洛必达（Guillaume de l'Hôpital）在18世纪初首次提出的。

洛必达法则的极限公式可以描述为：当函数f(x)和g(x)在某一点a 处满足一定条件时，如果f(a)=0、g(a)=0且f'(a)和g'(a)存在，那么当x趋近于a时，若f(x)和g(x)的极限存在或为无穷大，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(a)/g'(a)。

洛必达法则的应用可以简化一些复杂的极限问题的求解过程。

通过将原极限转化为函数导数之商的极限，可以更加直观地计算极限值，避免了繁琐的计算步骤。

下面通过一个实例来说明洛必达法则的应用。

假设我们要求解极限lim(x->0)(sinx/x)，直接代入x=0后得到0/0的形式，无法直接求解。

这时我们可以将该极限转化为极限lim(x->0)(cosx/1)，再次代入x=0后得到1/1=1的结果。

这个过程中我们使用了洛必达法则，将原极限转化为了cosx/1的极限，使得求解过程更加简单明了。

需要注意的是，洛必达法则只能用于一些特殊的情况，即当函数分子和分母在某一点处同时为0或同时为无穷大时。

如果函数的分子和分母在该点处的极限存在，但不满足上述条件，那么洛必达法则是不适用的。

洛必达法则还可以推广到求解无穷极限的情况。

对于函数f(x)和g(x)，如果当x趋近于正无穷或负无穷时，f(x)/g(x)的极限存在或为无穷大，且f'(x)/g'(x)的极限存在，那么极限lim(x->无穷)(f(x)/g(x))等于lim(x->无穷)(f'(x)/g'(x))。

总结来说，洛必达法则是一种简化复杂极限求解的方法，通过将原极限转化为函数导数之商的极限，使得求解过程更加方便快捷。

D3.2洛必达法则

用夹逼准则
说明:
1) 例5 , 例6 表明 x 时,
ln x ,
e x ( 0)
后者比前者趋于更快 . 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 . 例如,
用洛必达法则
例3. lim 而例4. lim
ln x x n x
n
x
0
0
(n 0) .
极限不存在
sin x lim (1 ) 1 x x
3.2.3 其它类型未定式 (0 ，，， 0， 0 ) 1 0
1 1 1. 0 型 , 或 0 0 . 0
1 1 00 . 2. 型 00 0 0
00 ,1 1 g f 11 g f
0 型 0 型
取对数
0 型
f g f
1 g
洛必达
洛必达(1661----1704) 法国数学家, 生于巴黎,卒于同地.他聪颖早慧,15岁就解出数学家帕斯卡提出的摆线难题.1691 年前后向约翰· 伯努利学习过,解决了约翰· 伯努利提出的“最速降线”等问题,并导致微积分学说的创立与发展.他的主要著作《用于理解曲线的无穷小分析》 (1696)是世界上第一本系统的微分学教科书. 需要说明的是,在该书中记载的现今称作的“洛必达法则”,实际上是约翰· 伯努利两年前写信告诉他的一个著名定理, 后人误认为是洛必达的发明,一直沿用至今.
注：(1)对于洛必达法则２，前面关于法则１的５点注同样使用． (2)洛必达法则１与法则２可交替使用．
例5. 求
型
x
解: 原式 lim
x 1
1 x
1 lim 0 x x

洛必达法则的公式

洛必达法则的公式泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，由英国物理学家泰勒-洛必达在19年首先提出。

该定律用来解释一个简单机械系统中液体和空气之间的力学运动。

该定律表述为：动能守恒定律，指运动系统中的动能保持不变。

这就意味着，动能受到外部力的作用下不变，同时，系统中物体之间可能存在非位能作用，比如离心力和空气阻力。

泰勒-洛必达法则将物体之定义为在任何时间t中可能改变的变量的函数的总和。

这个变量就是泰勒-洛必达公式的乘数，用符号P表示。

而等号右边就是物体的动能，也就是所谓的“动能定律”。

通过定义上述的变量和动能的定义，我们可以得到泰勒-洛必达公式的表达形式：P =K+V+U其中，K是物体的动能，V是物体的动量，U是物体的位能。

K受到外部力的作用，永远是恒定的。

V和U受物体本身减速和空气阻力的影响，随时间改变而改变。

因此，总而言之，注意动能定律总是保持不变，即：K+V+U = constant泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，既能够解释物体的运动，又能够说明物体的动能是一个恒定的值，受到外部力的作用才会改变。

在机械系统的研究中，它也被广泛使用，以揭示物体在不同力学系统中的运动表现。

因此，泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，不仅仅被用于物理研究，也可以用于其他领域，比如力学分析，系统分析和计算机科学中。

总而言之，泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，用于诠释力学系统中的动能定律，其公式表达形式为：P=K+V+U，这就意味着动能守恒定律，其位能和动能定义的变量就成为泰勒-洛必达公式的乘数。

它的重要性和杰出性在于可以有效地推导出物体在力学运动中的行为，从而解释物体之间的相互关系和规律，为人们提供了一种有效的分析和理解物理现象的方法。

洛必达法则公式及条件

洛必达法则公式及条件
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

大意为两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。

洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

扩展资料
洛必达法则公式及条件：
设函数f(x）和F(x）满足下列条件：
⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;
⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大
则x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
基本理解：
⑴本定理所有条件中，对x→∞的`情况，结论依然成立。

⑵本定理第一条件中，lim f(x)和lim F(x)的极限皆为∞时，结论依然成立。

⑶上述lim f(x)和lim F(x)的构型，可精练归纳为0/0、∞/∞；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方。

（上述构型中0表示无穷小，∞表示无穷大。

）。

洛必达法则和泰勒公式

!
R2m1
(
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0)
f
(0)x
f (0) x2
f
(n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1,2,)
3 106
1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e 11 1 1 2.718282 2! 9!
目录上页下页返回结束
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e 11 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 7 0.5106, 总误差限为 7 0.5106 106 5106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
目录上页下页返回结束
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
x 的一次多项式
p1(x)
特点:
f (x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
目录上页下页返回结束

高等数学课件-D32洛必达法则

例题二：判断函数性质问题
题目
判断函数 f(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) 的奇偶性。
解题思路
本题考察的是利用洛必达法则判断函数的性质。首先，我们需要判断函数在x=0处的值，然后利用洛必达法则求解函数在x→0时的极限值，最后根据奇偶性的定义进行判断。
例题二：判断函数性质问题
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总结回顾本次课程内容
洛必达法则的基本概念
洛必达法则是用于求解不定式极限的一种有效方法，通过分子分母分别求导的方式，简化极限的求解过程。
洛必达法则的适用条件
在使用洛必达法则时，需要满足一定的条件，如分子分母在某点的去心邻域内可导，且分母导数不为零等。
洛必达法则的求解步骤
首先验证是否满足适用条件，然后分别对分子分母求导，得到新的分子分母，再次判断是否满足适用条件，如此循环直至求出极限或判断极限不存在。
泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，而洛必达法则可以解决多项式函数的极限问题。因此，可以将泰勒公式与洛必达法则结合使用，解决复杂函数的极限问题。
要点二
复杂函数极限的求解
对于复杂函数，可以先使用泰勒公式将其展开为多项式形式，然后应用洛必达法则进行求解。这种方法可以简化复杂函数的极限求解过程。
在复变函数中应用
证明过程
由于$varphi(x)$在点$a$附近单调且有界，因此存在极限 $lim_{x to a} varphi(x) = l$。又因为$frac{F'(x)}{G'(x)} to l$，所以$frac{F(x)}{G(x)} to l$。
03 洛必达法则在高等数学中应用

洛必达法则公式数学

洛必达法则公式数学洛必达法则公式可是数学里一个相当神奇的工具呢！在咱们探索微积分的奇妙世界时，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。

先来说说啥是洛必达法则公式。

简单来讲，就是在一定条件下，对于形如“分子分母都趋于零或者无穷大”的极限问题，可以通过对分子分母分别求导来计算极限。

这就好比你在爬山，找不到直接上去的路，但是通过巧妙地换个方向、换个方式，就有可能轻松登顶。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，说：“老师，这也太抽象了，感觉没啥用啊。

”我笑了笑，给他出了一道题：求当 x 趋近于 0 时，(sin x)/x 的极限。

他一开始想用常规方法，抓耳挠腮半天也没做出来。

然后我就引导他用洛必达法则，对分子分母分别求导，一下子就得出了答案是 1。

他那惊讶的表情，我到现在都还记得，眼睛瞪得大大的，嘴里直说：“哇，这也太厉害了！”洛必达法则公式的应用场景那可多了去了。

比如说在求解函数的渐近线问题上，它就能大显身手。

还有在一些复杂的物理问题中，涉及到速度、加速度等的计算，也常常能用到它。

咱们来具体看看它的公式形式：如果当 x 趋近于某个值 a 时，函数f(x)和 g(x)都趋近于 0 或者无穷大，那么极限lim(x→a) f(x)/g(x) 就等于lim(x→a) f'(x)/g'(x) ，只要这个右边的极限存在或者为无穷大。

这里的f'(x) 和 g'(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的导数。

可别小看这个公式，虽然看起来简单，但用的时候得小心。

得先判断是不是满足使用条件，要是不满足就乱用，那可就得出错误答案啦。

再比如说，有一次考试出了一道这样的题：求当x 趋近于无穷大时，(x^2 + 2x + 1)/(2x^2 - 3x + 1) 的极限。

有些同学没判断条件就直接用洛必达法则，结果算错了。

其实这道题先把分子分母同时除以 x^2 ，然后再求极限会更简单。

3-2洛必达法则高数7页word文档

§3. 2 洛必达法则主要内容：洛必达法则；重点分析：利用洛必达法则求未定式的极限；洛必达法则的适用条件；难点分析：洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限。

一、00型及∞∞型未定式解法：洛必达法则定义1 如果当()x a x →→∞时，两个函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限()()()limx ax f x g x →→∞叫做未定式，并简记为00∞∞或。

如重要极限sin lim x x x →就是00型未定式的一个例子。

此时“商的极限等于极限之商”法则失效。

那其极限如何求？ 1：型未定式定理1(洛必达法则)：设01)lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==2）在点0x 的某个去心邻域0(,)x δ内，()f x '及()g x '都存在且()0g x '≠； 3)0()lim()x x f x g x →''存在（或为无穷大），那么00()()limlim ()()x x x x f x f x g x g x →→'='。

定义2在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法称为洛必达法则。

证明：利用柯西中值定理推导。

注意:1. .若0()lim()x x f x g x →''仍属0型，且(),()f x g x ''满足定理1条件，则 000()()()limlim lim ()()()x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''。

且可以类推下去，直到求出极限。

2.定理1中0x x →换为0,x x +→0x x -→之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立。

定理2 设：设1)lim ()lim ()0x x f x g x →∞→∞==2) X ∃当x X >时，()f x '及()g x '都存在且()0g x '≠； 3)()lim()x f x g x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()limlim ()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='。

洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔

洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。