19.1.1变量与函数第二课时 (2)

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变量与函数第二课时 (2)

19.1.2 变量与函数（2）

卢氏县实验中学马萍

教学目标

（一）、知识目标

１．掌握函数概念，初步理解对应思想．

２．能列出简单的函数解析式．

（二）能力与过程

经历从实际问题中得到函数关系式的过程，发展学生的数学应用能力.

（三）情感态度与价值观

体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的紧密联系，激

发学生学数学，用数学的兴趣.

教学重点

理解函数的概念，会列出函数解析式.

教学难点

认识函数、领会函数的意义．

教学过程

知识回顾

问题一

汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填写下表，再试着用含t的式子表示s。

问题二

每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出

票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示 y?

问题三

圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为r ，面积为S ；

问题四

用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为x，它的邻边长为y．

探究一

共同特征：

1、都有两个变量。

2、其中的一个变量取定一个值，另一个变量的值也唯一确定。

探究二、思考

1）对于X的每一个确定的值，Y都有唯一确定的值与其对应吗？

年份x人口数y/亿

1984 10.34

1989 11.06

1994 11.76

1999 12.52

2010 13.71

综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？

函数的概念：

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当

人教版八年级数学下册公开课课件：19.1.1变量与函数(2) (共15页)

炬，传递路程为S米，传递时间为t秒，填写下表：
t(秒)
12 3
4
s(米)
怎样用含t的式子表示 s？ S=3t
传_递__路__程__S_ 随着传递时间t 的变化而变化，当传递时间t 确定一个值时，传递路程S 就随之确定一个值。
问题2
弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表。
•
12．外面的钟声越来越响，声声敲响在涅维拉济莫夫的心坎上，勾起了他对儿时的回忆，对美好生活的向往。
课本P74练习第1、2题。
今日作业
2.
•
1、使学生感悟到美好的环境是靠我们勤劳的双手创造出来的，培养学生爱护环境的意识。
•
2.默读课文，理解课文内容，感受桑娜和渔夫的勤劳、淳朴和善良，学习他们宁可自己受苦也要帮助他人的美德。
•
3.学习作者通过环境描写和人物对话、心理的描写，表现人物品质的写法。
悬挂重物的质量(Kg)
弹簧长度(cm)
1
10.5
2345
11 11.5 12 12.5
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)?
L=10+0.5m
问题3：
用10 m 长的绳子围成长方形，若改变长方形的长度，长方形的面积会怎样变化。

19.1.1变量与函数(2)

解：（1）当0＜x≤3时，y=8；当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6. 当x=2时，y=8； x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4.
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函
数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
通过这节课的学习，你有什么收获？
请同学们根据题意填写下表
半径 r
圆周长c
2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
观察思考
分析变化
s=(n-2) ×1800 3、n边形的内角和S与边数n的关系式______________; 请同学们根据题意填写下表边数n
3
1800
4
3600
5
5400
6
7200
﹍
内角和s
4、等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的度数用含x的式子表 180 x y 示为 ______________. 2 请同学们根据题意填写下表 300 400 500 600 顶角x ﹍底角y 750 700 650 600
19.1.1 变量与函数
达连河镇第一中学：汪多敏
1.什么叫变量？
复习回顾
在一个变化过程中,数值发生变化的量,叫做变量. 2.什么叫常量？数值始终保持不变的量，为常量.
思考：

(人教版)八年级数学下册 19.1.1 变量与函数(2)教材分析(1)

4 教材分析

本节课内容是义务教育教科书人教版八年级下册第19章《一次函数》中的第一节《19.1.1变量与函数》的第二课时，本节课是在上一节学习“变量与常量”的基础上，进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，重点抽象出函数的概念，并进一步讨论函数的自变量的取值范围，用解析式法表示函数关系。初步体会用函数来描述和分析运动变化的规律。

本节课的重点是学习函数的概念，是上一节学习常量与变量的继续，同时也是在学生学习了字母表示数，平面直角坐标系、方程与不等式等内容的继续。学好函数的概念可以为以后学习基本初等函数（一次函数以及二次函数、反比例函数及高中函数知识等）打下坚实的基础。所以本节课起到承上启下的重要作用。

在人教版八年级下册的教科书中，19.1.1变量与函数这一节总共为2个课时，第一课时主要学习掌握变量与常量的概念为本节学习函数概念做好铺垫；本节课是第二课时，并且均为新授课。

函数概念的学习是本章一个教学的难点。为此，我设计了如下的教学目标：知识与技能部分：

1.通过回顾思考认识变量中的自变量与函数。理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数，会用变化的量描述事物。

2.进一步理解掌握确定函数关系式.

3.会确定自变量的取值范围.

过程与方法部分：

1.经历回顾思考过程，提高归纳、总结、概括的能力.

2. 经历从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高读图与识图能力，体会函数的不同表达方式.

3.探索函数概念的过程，感受函数的数学模型思想。

情感、态度与价值观部分：

19.1.1 变量与函数(第2课时)

一课一案创新导学
1.在判断一个关系是不是函数关系时,第一要看是不是一
个变化过程;第二要看在这个变化过程中是不是有两个变
量;第三要看某一变量每取一个确定的值时,另一个变量是
否有唯一确定的值与之相对应.
2.确定函数自变量的取值范围就是求使函数解析式有意
义的自变量的取值范围,同时对于实际问题还要考虑其实
一课一案创新导学
第十九章
19.1 19.1.1
一次函数
函数变量与函数
第 2 课时
一课一案创新导学
学习目标
1.掌握自变量与函数的概念. 2.能结合具体实例写出函数关系式,并指出其中的自变量与函数. 3.已知自变量的值会求函数值,会确定自变量的取值范围.
学习重点
函数的概念以及自变量的取值范围.
一课一案创新导学
我们的日常生活中充满着许许多多变化的量,例如输液时间与相应时间内所输液体的量,汽车行驶的路程与行驶的时间等等,如果我们了解这些变量之间存在的关系,就可以帮助我们更好地认识世界,而函数就是刻画变量之间关系的常用模型.那么什么是函数?用函数可以解决现实生活中的哪些问题?你一定很想知道吧,那就一起来看一看吧!
一课一案创新导学
1.玛丽的存钱罐里现在有20元,她计划以后每月存入5元,则她存钱罐里的钱数Q(元)与所存月数x(月)之间的关系为 Q=20+5x.下列说法中正确的是(

19.1.1 变量与函数(第2课时)课件

3.油箱中有油30L,油从管道中匀速流出，1h流完，则
油箱中剩余油量Q（L）与流出时间t（min）之间的
函数关系式是
Q
30
1 2
t
，自变量t的取值范围
是 0 t 60 .
4.某市乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3千米，收费8元；超过3千米时，超过3千米的部分，每千米加收1.8元.设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）. （1）请分别写出当0＜x ≤3和x＞3时，表示y与x 的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
思考1：
下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
y
o
x
思考2：
下面的我国人口数统计表中，年份与人口数
可以分别记作两个变量x与y，对于表中每一个确
定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
从上面可知，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示.
知识拓展
函数一语，起用于公元 1692 年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作. 他是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。

19.1.1变量与函数(2)教案

变量与函数（2）

知识技能目标

1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．

教学过程

一、创设情境

问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．

解如图能发现涂黑的格子成一条直线．

函数关系式：y＝10－x．

问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．

解y与x的函数关系式：y＝180－2x．

问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的函数关系式．

解 y 与x 的函数关系式：22

1x y

．

二、探究归纳

思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．

(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

分析问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．

问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°．问题3，开始时A 点与M 点重合，MA 长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合时，MA 长度达到10cm ．

自变量--函数与变量2

常量与变量
回答问题：请指出前面问题中的常量、变量。 1、“卖辣条收入问题”中 y=2x, 常量是，变量是。是自变量，是的函数． 2、“行程问题”中 s=60t, 常量是，变量是。是自变量，是的函数． 3、“票房收入问题”中 y=10x, 常量是，变量是。是自变量，是的函数． 4、“圆形水波面积问题”中 s=πr2, 常量是，变量是。是自变量，是的函数．
瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.
x
y
1Fra Baidu bibliotek
1
2
1+2
3
1+2+3
…
x
1+2+3+ …+x
…
瓶子总数y 与层数x之间的关系式：
1 y x ( x 1) 2
（4）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
解：自变量是，是的函数．解析式是。
1
2
3
4
回顾总结
反思提升
谈谈你对函数有什么认识？
课后作业
1、一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值． 2、课本p74/第1题，第（1）（4）小题。

19-1-1第二课时变量与函数-八年级数学下册同步精品课件(人教版)

L) 随行驶路程 x (单位：km)的增加而减少，耗油量为0.1 L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系式；
y=50-0.1x
确定自变量的取值范围
时，不仅要考虑使函数
关系式有意义，而且还
要注意问题的实际意义。
(2)指出自变量x的取值范围； 0.1≤50，自变量取值范围：0≤x≤500
(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
第19章
一次函数
19.1.1变量与函数（2）
教学目标 / Te a c h i n g a i m s
理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自
1
2
变量和函数。
确定函数中自变量的取值范围，注意问题
的实际意义。
情景导入
请欣赏以下视频，注意心电图时间与生物电流
之间的变化图像
新知探究
思考（1）：下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标
间t(单位：h)的变化而变化.
自变量 t，V 是 t 的函数，V＝10-0.05t
课堂练习
7.梯形的上底长2cm，高3cm，下底长xcm大于上底长但不超过
5cm.写出梯形面积S关于x的函数解析式及自变量的取值范围.
解：S
即
3(2+)
=
2
3
S＝＋3，2<
2
≤ 5.

变量与函数第二课时

说一说
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
做一做
例1 一辆汽车油箱中现有汽油50 L，它在高速公路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不变．行驶了100 km 时，油箱中剩下汽油40 L．假设油箱中剩下的油量为 y（单位：L），已行驶的里程为 x（单位：km）．（1）在这个变化过程中，y 是x 的函数吗？（2）能写出表示 y 与 x 的函数关系的式子吗？（3）这个变化过程中，自变量 x 的取值范围是什么？（4）汽车行驶了200 km 时，油箱中还剩下多少汽油？行驶了320 km 呢？
八年级
下册
19.1.1 变量与函数（2）
• 学习目标： 1．了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简单实际问题中的函数关系； 2．能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围； 3．会初步分析简单实际问题中函数关系，讨论变量的变化情况． • 学习重点：用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自变量取值范围．
想一想
问题1 什么叫函数？请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；（2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．函数的定义是，某一变化过程中有两个变量x，y，对于变量x 每取一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应．问题1（1）中，t 取-2 有实际意义吗？问题1（2）中，n 取2 有意义吗？

19.1.1变量与函数(第2课时)

生物电流y
数形结合思想
o （ x， 0 ）在这个变化过程中，通过观察图形可以发现：（1）生物电流y 随时间x 的变化而变化； .
时间x
（2）每当时间x取定一个值时，心脏的生物电流y就有唯一确定的对应值
自主学习在上面的每个问题中：
1.每个变化的过程中都存在着（两个
）变量；
2.两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就(
（1） y＝3x （3） y=
8 x3
（2） y＝x2＋9 （4） y＝ 2 x 8
解：（1）x为任意实数（或全体实数）；（2） x为任意实数；
巧记自变量的取值范围：
分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行.
（3）由x-3≠0 得x≠3；
（4）由2x-8≥0得x≥4.
所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值.
例1 下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数? 试写出用自变量表示函数的式子. （1）改变正方形的边长x，正方形的面积 S 随之改变. x 是自变量，_____ _______ S 是______ x 的函数，
2 (x>0) S=x 关系式是
（2）每当学生数x取定一个值时，国家补助金额y就
有唯一确定的对应值 .
首页
2.因营养午餐产生了大量垃圾，学校要新建一个垃圾池.

八年级数学人教版下册第19章一次函数19.1.1变量与函数(第2课时图文详解)

x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
八年级数学下册第19章一次函数
活动七：课堂小结与作业布置
问课堂小结
题
问题1：在一个变化过程中，对于变量x和y而言，满足什么对应关系时，y才是x的函数？两个变量满
探
足“一对多”的关系是函数吗？
究问题2：自变量的取值范围如何确定？受哪些因素的
限制？
八年级数学下册第19章一次函数
问题探究
活动四：辨析概念
S=x²，S是x的函数，x是自变量； y=0.1x，y是x的函数，x是自变量；
y = —1n0—6 ，y是n的函数，n是自变量；
v=10－0.05t，v是t的函数，t是自变量.
八年级数学下册第19章一次函数
活动四：辨析概念
问
问题2：下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若 y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？
探问题（1）~（4）中都存在两个变量，表示两个变量之间的关
系式分别为：
究（1）s=60t；（2）y=10x；（3）S=πr²；（4）y=5－x.
问题2：在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？当一个变量取定一个值时，另一个变量的值是唯一确定的吗？
问题3：在上面的4个问题中，两个变量之间的对应关系有什么共同特征？请你再举出一些对应关系具有这种共同特征的例子.

19.1.1变量与函数(第二课时)

1.下列关系中，y不是x函数的是（
D）
x A. y 2
B. y x
2
C. y x D. y x
A
y=2x+15
X≥1且为整数
x ≠ －1
3、等腰三角形ABC的周长为10, 底边BC长
为 y , 腰AB长为
x, 求:
Βιβλιοθήκη Baidu
(1)y关于 x 的函数解析式; (2)腰长AB=3时,底边的长. (3)自变量的取值范围;
1、判断下列问题中的变量y是不是x的函数？
（1）在 y = 2x 中的y与x；是（2）在 y = x 中的y与x；是
2
（3）在 y = x 中的y与x；不是
2
2．请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数： (1) y =3000-300x (2) y=-3x (3) S= πr2
1 ； x2
（2） y＝2x2＋7；
（4 ） y ＝ x 2 ．
（1）（2）中x取任意实数，原式都有意义解：（3）中，x≠－2时，原式有意义．
（4）中x≥2时，原式有意义．
求出下列函数中自变量的取值范围
（1）y=2x
解: 自变量 x 的取值范围:x为任何实数
（2） m （ 3） y
解：(1)常量是3000，300；变量是x，y；自变量是x； y是x的函数。 (2)常量是3；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。 (3)常量是π；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。

变量与函数(第二课时)

19．1．1变量与函数（2）教学设计

年级：八年级学科：数学课型：新授课编制人：李秀芝

学习笔记

学习目标

1．进一步体会运动变化过程中的数量变化；

2．从典型实例中抽象概括出函数的概念，初步认识函数的概念．

3.在函数概念的形成过程中体会运动变化与对应的思想。

学习导航

活动一：研读教材

1、两变量之间的关系

认真阅读课本第72至73页的内容，完成下面问题并体验知识点的形

成过程。

思考1下列式子S=60t，y=10x,S=πr2，C=5-x中存在几个变量？在

同一个式子中的变量之间有什么联系？能用具体数值加以说明吗？

归纳：

思考2

（1）在心电图中，对于横坐标表示时间x的每一个确定的值，纵坐标

表示心脏部位的生物电流y都有唯一确定的值与其对应吗？

（2）在我国人口数统计表中，对于每一个确定的年份x，都对应着一

个确定的人口数y吗？

归纳：年份人口数／亿1984 10．34 1989 11．06 1994 11．76 1999 12．52

2、自变量和函数的概念:

活动二、新知运用

1、下列式子的y 是x 的函数吗？为什么？

(1)y=3x －l ( (3)y=

1x ＋2 (4)y=x －2

2、下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图。

请问：蚂蚁离地高度 h 是离起点的水平距离 t 的函数吗？为什么？

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

6 离地高度 h/cm

水平距离 t/cm 蚂蚁离起点的水平距离 t 是离地高度 h 的函数吗？为什么？

达标测评

1、判断下列哪些变化过程中的变量关系是函数关系。如果是，指出其中的自变量和函数．

（1）．改变正方形的边长x ，正方形的面积Ｓ随之改变．

人教版八年级下册 19.1.1《变量与函数(2)》课件(共24张PPT)

例2 求下列函数关系式中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x
（3） y=
8 x3
（2） y＝x2＋9 （4） y＝ 2x 8
解：（1）x为任意实数（或全体实数）；
（2） x为任意实数；巧记自变量的取值范围：
（3）由x-3≠0 得x≠3；（4）由2x-8≥0得x≥4.
分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，
课堂小结
一、知识函数的定义及有关概念，如自变量、函数值等.函数是
描述变化中的数量关系的数学工具. 二、能力
1.能正确辨别两个变量是否具有函数关系，分清函数关系中的自变量与函数；
2.能列出实际问题中的函数解析式，知道函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）;
3.能确定函数自变量的取值范围. 三、思想方法
1.函数思想；2.数形结合思想；3.观察思考、比较归纳. 首页
2：如何理解“对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其对应”这句话？请举例说明.
3：函数值由谁来确定？怎样求函数值？
合作与探索
例1、汽车邮箱中有汽油50L．如果不再加油，那么邮箱中的油量y随行驶路程x的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．⑴写出表示y与 x的函数关系的式子；⑵之处自变量x的取值范围；⑶汽车行驶200km时，邮箱中还有多少汽油？
2．在以上这个过程中，变化的量是 __________．不变化的量是__________．