§3收敛定理的证明

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柯西收敛原理证明

柯西收敛原理是数学分析中非常重要的一个定理，它是用来判断一个数列是否收敛的方法之一。在实际的数学问题中，柯西收敛原理有着广泛的应用，特别是在实数系和函数空间中的收敛性判断上。那么，什么是柯西收敛原理呢？它是如何证明的呢？本文将对柯西收敛原理进行详细的介绍和证明。

首先，我们来看一下柯西收敛原理的表述，对于一个实数列{an}，它收敛的充分必要条件是，对于任意给定的ε>0，存在自然数N，使得当n，m>N时，|an am|<ε成立。这个表述的意思是，如果一个数列收敛，那么它的后项和前项的差值会越来越小，最终趋于0。这就是柯西收敛原理的核心思想。

接下来，我们来证明柯西收敛原理。首先，我们假设数列{an}收敛，即存在实数A，使得当n趋于无穷大时，an趋于A。那么对于任意给定的ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，|an A|<ε/2成立。同样地，对于同一个ε>0，存在自然数M，使得当m>M时，|am A|<ε/2成立。现在我们取K=max{N, M}，那么当n，m>K时，|an am|<=|an A| + |A am|<ε/2 + ε/2=ε，这就证明了柯西收敛原理的充分性。

然后，我们来证明柯西收敛原理的必要性。假设数列{an}满足柯西收敛原理的条件，即对于任意给定的ε>0，存在自然数N，使得当n，m>N时，|an am|<ε成立。我们需要证明{an}收敛。由于{an}满足柯西收敛原理的条件，对于任意给定的ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，|an am|<ε/2成立。这说明{an}是柯西数列，而柯西数列必定收敛，所以{an}收敛。

收敛定理的证明.

预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数在区间上可积, 则有 Bessel 不等式
其中
为函数的 Fourier 系数. 推论 1 ( Riemann— Lebesgue 定理 ) 和
上可积, 则有
若函数在区间
推论 2 若函数在区间
上可积, 则有
预备定理 2 若
且在区间
是以
为周期的周期函数,
若三角级数 Fourier 级数, 则数项级数
比如正弦级数法), 由级数
为
收敛.
是收敛的三角级数(利用 Dirichlet 判别发散, 正弦级数不是 Fourier 级数.
Parseval等式
设可积函数上一致收敛于的 Fourie 级数在区间 , 则成立 Parseval 等式
.
证明
注意到此时函数
在区间
可积 , 由 Bessel 不等式, 有
.
源自文库
现证对
,
有
.
事实上,
令
由
一致收敛于
,
对
有
对
, 因此 ,
,
即当
时有
.
令
由
,
的任意性, 有
.
.
综上即得所证 .
Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier级数. 一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数的Fourier级数 ) 的必要条件为:

收敛定理的证明

§3 收敛定理的证明

(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．

(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；收敛定理的证明．

(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议：

(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题．

——————————————————————————

Dini 定理设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点

∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即

nx b nx a a x f x f n n n sin cos 2

)

0()0(1

0++=

-++∑∞

= ,

其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.

证明思路: 设)(x f ～

∑∞

=++

0 . sin cos 2

n n n

nx b nx a

a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们

要证明

)(→x S n 2

)

0()0(-++x f x f . 即证明

0 2

)0()0(lim =⎪⎭

⎫

⎝

⎛--++∞

→n n S x f x f .

方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.

1 写出)(x S n =

∑=++

k k k

kx b kx a

a 1

0 sin cos 2

的简缩形式.

⎰-

++=

数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明

第十五章傅里叶级数 3收敛定理的证明

预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积，则

2a 20+∑∞=1n 2

n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π1dx ，其中a n , b n 为f 的傅里叶系数.

证：令S m (x)=2a 0+∑=+m

n n n sinnx )b cosnx (a ，则

⎰

π-2m (x )]S -[f(x )dx=⎰ππ

-2(x )f dx-2⎰ππ

-m (x )f(x )S dx+⎰π

-2m (x

)S dx. 其中 ⎰π

-m (x )f(x )S dx=⎰π

π-0

f(x)2

a dx+dx cosnx f(x )a m

n π

π-n ∑⎰= ⎝⎛+⎪⎭⎫⎰sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m

n 2n 2n )b +(a . 由三角函数的正交性，有 ⎰π

π-2

m (x )S dx=⎰∑⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=π

π-2

m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛π

π-2

02a dx+⎰∑⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ππ-m 1n ππ-22n ππ-22n nx dx sin b nx dx cos a dx=20a 2π+π∑=m 1n 2n 2n )b +(a . ∴⎰π

π-2

m (x )]S -[f(x )dx=⎰π

π-2

(x )f dx-2

πa -2π∑∞

=1n 2n

2n )b +(a +20a 2π+π∑=m

1n 2

n 2n )

b +(a

=⎰π

π-2

(x )f dx-⎢⎣⎡20a 2π+π⎥⎦⎤∑=m

各种收敛性的运算法则及证明,2014.9

数列： ,n n x x y y →→，则

1． n n x y x y ±→±.

2．如0y ≠，则n n x x y y

→. 3．如f 连续，则()()n f x f x →.

4. 如,n n x x x y →→，则x y =.

对随机变量数列，这些性质是否保持？

一．对几乎处处收敛, 如 a.s. a.s.,n n X X Y Y −−→−−→，则

1． a.s.n n X Y X Y ±−−

→±, 2. 如0X ≠ a.s.，则 a.s. a.s.11,n n n Y Y X X X X

−−→−−→. 3．f 连续，则 a.s.()()n f X f X −−→.

证已知,,A B ∃ ()()0P A P B ==. 使得

,lim ()();,lim ()()c c n n n n A X X B Y Y ωωωωωω→∞→∞

∀∈=∀∈=. 1．所以 N A B ∃，有()()()0P N P A P B ≤+=,

c c c N A B ωω∀∈⇒∈, 故lim ()(),lim ()()n n n n X X Y Y ωωωω→∞→∞==同时成立.

所以 lim(()())()()n n n X Y X Y ωωωω→∞

±=±，故1成立. 2. D ∃，()0P D =, 使c D ω∀∈, ()0X ω≠，故N A D ∃=，有()0P N =.

c c c N A D ω∀∈=，有111lim ()lim ()()n n n n X X X ωωω→∞→∞

==，故2成立. 3. c A ω∀∈，因f 连续, 有lim (())(lim ())(())n n n n f X f X f X ωωω→∞→∞==.

11-3瑕积分的性质与收敛判别

上可积，则有： 1
（ⅰ）当
f

x

x

ap
b
且0＜p＜1时，a
f xdx 收敛
（ⅱ）当
f
x

x
1 a

p
且p≥1时，ab
f
xdx 发散.
推论3 设f 定义于 a, b 且在任何 u,b a,b上都可积.
如果a为其瑕点，lim x ap f x
b
收敛时，a
f x dx 必定收敛;
b
a
f

x

dx
b
发散时，a
g

x
dx
亦必发散.
上述比较法极限形式如下：
推论1
若
g x 0且
lim xa
f x g x
c
则有：
（（ⅰⅱ））当当0c=＜0时c＜，+由∞时b ，g xab a
f
dx
x dx 与
b
g
a
收敛可推知
x
b
a
dx f x
同敛态;
dx 也收敛;
（ⅲ）当c=+∞时，由ab
g

x
dx
发散可推知
b
a
f
xdx也发散.
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收敛性定理证明详解

收敛性定理

引理1：迭代1(*)()(1())()()[]()t t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+。假设

*1()(1())()()[]()t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+ 产生的{()}t Q x 序列以概率1收敛到*Q 。其中t P 为映射:Q Q t P →。如果下面

的条件满足：0

t t t P Q P Q Q Q γλ-≤-+P P P P 对Q Q ∀∈成立，且()t a x 满足01t a ≤<(x)，0()t

i a x ∞==∞∑，20()t i a x ∞=<∞∑，则迭代(*)产生的序列{()}t Q x 当t →∞时，以概率1收敛

到*()Q x 。

定理1：贝尔曼方程虽然直接，但状态的数量通常会很巨大（随问题维度指数增加），所以迭代全空间来精确求解Bellman 方程是不可行的。

所以一般会采用近似的方法，采用Q Learning -算法去求解。

经典的Q Learning -方程： '1(,)(1)(,)[(,)max (,)]t t t t t a Q s a Q s a r s a Q s a ααγ+=-++

产生的序列{(,)}t Q s a 收敛到*

(,)Q s a 对s S ∀∈，a A ∀∈成立。其中 '*''(,)(,)(|,)()

s Q s a r s a p s s a V s γ=+∑

证明：定义'(,)(,)max (,)]t t a

PQ s a r s a Q s a γ=+。有**max (,)(,)t s S

高数证明数列收敛总结

数列收敛是高等数学中的一个重要概念，它在分析学等许多领域中都有广泛的应用。本文将对数列收敛进行总结，并介绍一些相关的

证明方法。

一、数列的收敛性

数列的收敛性是指数列中的元素逐渐接近某个常数。具体来说，对于一个数列{an}，如果存在一个常数a，对于任意给定的ε>0，都

存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立，则称数列{an}收敛于a。反之，如果不存在这样的常数a，则称数列{an}发散。

数列收敛的概念可以用来描述各种各样的情况，比如描述物体的运动轨迹、分析算法的收敛性等。在应用中，我们常常需要证明数列

的收敛性。

二、数列收敛的证明方法

1. 极限定义法

极限定义法是数学中最基本的证明方法之一。根据数列收敛的定义，我们可以通过构造出满足定义的N来证明数列的收敛性。具体来说，我们可以通过逐步逼近极限值a，使得数列中的每个元素都逐渐接近这个极限值。这种方法常用于证明数列的单调性和有界性。

例如，考虑数列{an} = 1/n，我们可以通过选择一个足够大的正整数N，使得当n>N时，1/n < ε成立。这样，我们就证明了数列{an}收敛于0。

2. 数列单调有界准则

数列单调有界准则是判断数列收敛性的重要准则之一。它表明，

如果一个数列既单调递增又有上界（或既单调递减又有下界），则该

数列收敛。

以数列{an} = (-1)^n/n为例，我们可以证明该数列是单调递减的，并且有下界为0。根据数列单调有界准则，我们可以得出结论：数列{an}收敛。

3. Cauchy收敛准则

柯西收敛准则的3种不同证法

柯西收敛准则的不同证法方法一:用定理2证明柯西收敛准则

证明：必要性:易知，当{ a

n }有极限时(设极限为a)，{ a

}一定是一个柯

西数列。因为对任意的ε>0，总存在N(N为正整数)。使得当n ，m>N时，有| a

-a|< ε， | a

-a|<ε

∴| a

n - a

|≤| a n -a|+| a m -a|<ε，即{ a n }是一个柯西数列。

充分性:先证明柯西数列{ a

n }是有界的。不妨取ε=1，因{ a

}是柯西数

列，所以存在某个正整数N

0，当n > N

时有| a

–a

No+1

|<1，亦即当n ，N> N

时| a

|≤| a No+1 |+1即{ a n }有界。不妨设{ a n }⊂[a ，b]，即a≤a n≤b，我们

可用如下方法取得{ a

n }的一个单调子列{ a

}：

(1)取{ a

}⊂{ a n }使[a，a nk ]或[a nk，b]中含有无穷多的{ a n }的项；

(2)在[a，a

nk ]或[a

，b]中取得a

nk+1∈

{ a

}且满足条件(1)并使nk+1>nk；

(3)取项时方向一致，即要么由a→b要么由b→a。

由数列{ a

n }的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列{ a

}⊂{ a n}

且{ a

nk }是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{ a

}收敛于a。

因为lim

n→∞a

=a,则对ε>0，正整数K，当k >K时| a

-a|<

。另一方面由于

{ a

《数学分析》课件 12-4收敛定理的证明

f
(x)
a0 2
n1
an
cos nx
(0 x )
(6) 周期为2l 的周期函数的傅氏展开式
设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为
f
(
x)
a0 2
n1
(an
cos
nx l
bn
sin
nx ), l
an
1 l
l l
f ( x)cos nxdx, l
) sin
nx
0
( x )sin nxdx] 02 2
2 n2
( x )d cos nx 02 2
2 n2
2
1 n2
.
x2 4
x 2
2 6
n1
cos nx． n2
(0 x )
故
cos nx n1 n2
x2 4
x 2
2 ． 6
例4.将 f (x) x2在(0,1)内展成正弦级数，并指出在x 0, x 1,
(n 0,1,2,)
bn
1 l
l l
f ( x)sin nxdx, l
(n 1,2,)
例1 将 cos x 在 0 x 内展开成以 2 为周期
的正弦级数并在 2 x 2 写出该级数的和函数，同时画出它的图形．
解要将 f ( x) cos x 在 (0, )内展开成以2 为

三大收敛定理

三大收敛定理是数学分析中的重要概念，包括单调有界定理、柯西收

敛定理和阿贝尔定理。这些定理在实际应用中具有广泛的应用，尤其

是在数值计算和微积分学中。

单调有界定理是指一个单调递增或递减的数列如果有界，则必然收敛。这个定理可以用来证明某些函数的极限存在，并且可以帮助我们判断

序列是否收敛。例如，对于序列an = 1/n，我们可以发现它是单调递

减的，并且有下界0，因此根据单调有界定理，该序列必然收敛于0。

柯西收敛定理则是指一个数列收敛的充要条件是它满足柯西条件。柯

西条件是指对于任意正实数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，|an - am|<ε。换句话说，当序列中的元素越来越接近时，则该序列必然收敛。这个定理在证明极限存在性时非常有用。

最后一个重要的定理是阿贝尔定理，它主要应用于级数求和问题中。

阿贝尔定理指出，在一些特殊情况下，级数的收敛性可以通过对其部

分和序列进行研究来确定。具体来说，如果级数∑an和∑bn都是收敛的，且bn单调有界，则级数∑anbn也必然收敛。这个定理为我们解

决一些复杂的级数求和问题提供了便利。

总之，三大收敛定理是数学分析中非常重要的概念，在实际应用中有广泛的应用。它们可以帮助我们判断序列和级数是否收敛，并且可以用来证明函数极限存在性等问题。掌握这些定理对于学习数学分析以及相关领域的研究都是非常重要的。

证明cauchy收敛原理

证明Cauchy收敛原理是数学分析中一个基本的定理，它给出了

判断一个数列是否收敛的必要条件。具体来说，如果一个数列满足Cauchy收敛原理，那么它就是收敛的。该定理的证明可以按照如下

步骤进行：

1. 假设数列{an}是一个Cauchy数列，即对于任意的ε>0，存在一个正整数N，使得当m>n>N时，有|am-an|<ε。

2. 由于数列{an}是Cauchy数列，因此它是有界的。具体来说，对于任意的n∈N，有|an|≤M，其中M是一个正实数。

3. 由Weierstrass定理可知，由{an}中任意选取的子序列都包

含一个收敛的子序列。因此，我们可以选取一个收敛的子序列{an(k)}，满足limk→∞an(k)=L。

4. 现在我们需要证明，数列{an}也收敛于L。由于{an(k)}收敛于L，因此对于任意的ε>0，存在一个正整数K，使得当k>K时，有

|an(k)-L|<ε/2。

5. 另一方面，由于{an}是Cauchy数列，因此对于上述的ε/2，存在一个正整数N，使得当m>n>N时，有|am-an|<ε/2。

6. 综合上述两个不等式，对于任意的m>n>max{N,K}，我们有： |am-L|≤|am-an(k)|+|an(k)-L|<ε/2+ε/2=ε。

因此，我们证明了对于任意的ε>0，都存在一个正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε，即数列{an}收敛于L。

综上所述，我们证明了Cauchy收敛原理的必要性，即如果一个

柯西收敛准则证明级数收敛

柯西收敛定理是级数收敛的一个重要准则，在实际应用中经常被使用。下面这篇文章将详细说明柯西收敛定理的证明过程。

一、柯西收敛定理的表述

柯西收敛定理是指，如果一个级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$满足柯西准则，那么该级数收敛。柯西准则是指，对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正整数$N$，当$n>m>N$时，有$$

|a_{m}+a_{m+1}+...+a_{n}|<\epsilon

证明柯西收敛定理的过程分为两个部分，第一个部分是证明任意一个Cauchy序列都确实是有界的，第二个部分是利用这个结论证明柯西收敛定理。接下来我们将详细说明这两个部分的证明过程。

1.任意一个Cauchy序列都是有界的

我们可以直接从定义出发，令$\epsilon=1$，则存在一个正整数$N$，对于所有的$m,n>N$，都有$|a_{m}-a_{n}|<1$。在这个序列中，我们可以找到一个最小的下标$N$，使得对于所有的$m,n>N$都有$|a_{m}-a_{n}|<1$。因为$N$是最小的，所以对于任意的

$k\geq 1$，总存在$m,n>N$，使得$|a_{m}-a_{n}|<1/k$。因此，我们可以找到一组下标$m_{k},n_{k}>N$，满足$|a_{m_{k}}-a_{n_{k}}|<1/k$。

现在我们引入一个不失一般性的假设，即$a_{N}$是绝对值最大的项，即

$|a_{N}|\geq |a_{n}|$，对于所有的$n$。这个假设是不失一般性的，因为如果$a_{n}$中存在一个项的绝对值比$a_{N}$大，那么我们可以将$a_{n}$和$a_{N}$交换，然后继续进行后续推导。

证明数列收敛的三种方法

篇1

1.引言：简要介绍数列收敛的概念及其重要性。

2.三种证明数列收敛的方法：

2.1 单调有界定理

2.2 夹逼定理

2.3 柯西收敛准则

3.详细解释及示例：针对每一种方法，给出详细的解释及示例。

4.结论：总结三种方法的特点及适用场景，强调其在证明数列收敛中的重要性。

正文

数列收敛是数学分析中的一个重要概念，表示一个数列随着项数的增加，其值逐渐接近一个确定的极限值。在实际问题中，证明数列的收敛性有着广泛的应用。本文将介绍三种证明数列收敛的方法：单调有界定理、夹逼定理和柯西收敛准则。

2.1 单调有界定理

单调有界定理表明，一个单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列必定收敛。这种方法主要适用于可以判断出数列单调性和有界性的情况。例如，数列a_n = 1 - 1/n 是单调递增且有上界的，因此收敛。

2.2 夹逼定理

夹逼定理是指，若有两个收敛于同一极限的数列从两侧夹住另一个数列，则这

个数列也收敛于同一极限。这种方法适用于可以找到两个易于判断收敛性的数列来夹住原数列的情况。例如，数列a_n = sin(n) 被两个数列b_n = 1 和c_n = -1 夹住，而b_n 和c_n 都收敛于0，因此a_n 也收敛于0。

2.3 柯西收敛准则

柯西收敛准则是判断数列收敛性的一个充要条件，它表明数列收敛当且仅当对任意正数ε，存在正整数N，使得当m, n u003e N 时，有|a_m - a_n|

u003c ε。这种方法适用于难以直接判断数列单调性或界性的情况。例如，数列a_n = (-1)^n 不满足单调有界定理，但可以通过柯西收敛准则证明其不收敛。

收敛性的证明例子

为了阐明收敛性的证明，我将为您提供一个例子。我将介绍一个经典的数学例子，即等比级数的收敛性证明。

等比级数是由等比数列的项和构成。等比数列是指一个数列的每一个项都是前一项与一个常数的乘积。这个常数被称为等比数列的公比。等比数列可以用如下的公式来表示：an = a1 * r^(n-1)，其中an是数列的第n项，a1是第一项，r是公比。

我们来考虑一个等比级数，其项和是S。我们的目标是证明当公比r 的绝对值小于1时，级数收敛，即项和收敛于一个有限数。

证明：

首先，我们假设r的绝对值小于1，即，r， < 1、我们来计算等比级数的部分和Sn= a1 + a2 + ... + an。

我们可以通过乘以公比r来计算部分和Sn和公比r的部分和rSn之间的关系。因此：

rSn = r(a1 + a2 + ... + an) = (ra1 + ra2 + ... + ran)

将Sn从两个等式中减去，我们得到：

Sn - rSn = a1 + a2 + ... + an - (ra1 + ra2 + ... + ran)

可以简化得到：

Sn(1 - r) = a1(1 - r) + a2(1 - r) + ... + an(1 - r)

此处我们使用了等比数列公式an = a1 * r^(n-1)。

现在我们观察等式的右侧。我们可以将公比r提取出来，得到：

Sn(1 - r) = (a1 - a1r) + (a2 - a2r) + ... + (an - anr)

我们还可以将每个括号中的相同项合并，得到：

高等数学第15章第3节收敛定理的证明

§3 收敛定理的证明

为了证明傅里叶级数的收敛定理，先证明下面两个预备定理．

预备定理1（贝塞耳（Bessel ）不等式）若函数f 在],[ππ-上可积，则

()⎰∑-∞=≤++ππ

πdx x f b a a n n n )(12212

220 (1)

其中n a ，n b 为f 的傅里叶系数.(1)式称为贝塞耳不等式．

证令

()∑=++=m

n n n m nx b nx a a x S 1

sin cos 2)( .

考察积分

⎰⎰⎰⎰----

+-=-π

ππ

dx x S dx x S x f dx x f dx x S x f m m m )()()(2)()]()([2

． (2)

由于

)sin )(cos )(()(2)()(10⎰∑⎰⎰⎰-=---++=πππππππ

πnxdx x f b nxdx x f a dx x f a dx x S x f n m n n m ．根据傅里叶系数公式(§1(10))可得

∑⎰

=-++=m

n n n m b a a dx x S x f 1

220)

)()(πππ

(3)

对于)(2

x S m 的积分,应用三角函数的正交性,有

⎰-π

dx x S m

)(2

=()dx nx b nx a a m n n n 2

10sin cos 2⎰∑-=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++π

=⎰∑⎰⎰-=--⎥⎦⎤⎢⎣

⎡++⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛π

πππππm

n n n nxdx b nxdx a dx a 122222

sin cos 2

∑=++m

n n n b a a 1