§3收敛定理的证明

§3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明．(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题． ——————————————————————————Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(1++=-++∑∞= , 其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++1. sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们 要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.1 写出)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1sin cos 2的简缩形式. ⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分,2 利用该表示式, 式2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -=2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t t n t x f 2sin2212sin)(1 =2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f +2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin)(1ππdt t t n t x f , 于是把问题归结为证明[∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f ]0=,[∞→n lim 2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin)(1ππdt t t n t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 1为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n 建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分,即把 2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分2)0(+x f =⎰++ππ02sin2212sin)0(1dt t t n x f . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f ]=∞→=n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 2 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式, 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→πϕπ0021sin )(1limtdt n t n .为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1) ( 2n n n dx x f b a a πππ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理 ) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n , ⎰-∞→=ππ0sin )(limnxdx x f n .推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰=+∞→π0)21sin()(limxdx n x f n ,⎰-∞→=+00)21sin()(limπxdx n x f n .预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 且在区间] , [ππ-上可积, 则函数)(x f 的Fourier 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim0+=+→n t tn t 来确定.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t t n . 证 由三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n⇒⎰=+ππ2sin 212sin 1dt t t n ⎰-=+πππdt t tn 2sin2212sin 1 (ϕϕϕπππn cos 2cos cos 211++++=⎰- )dt 1=.三维空间中 k a j a i a r 321++=则∑=≤iir r r a22),( (1)将此结论推广到 n 维空间, 即为若 ),1,,0(,2211=+++=i n n e e a e a e a r ,则22),(r r r aii=≤∑对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f 自然应有 ⎰∑-=≤++πππdx x f f f b a a nn n )(1),()(222220这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval 等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数)(x f 的Fourie 级 数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 证法一 注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n nb a a . 现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 事实上, 令)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1, )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f , 对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 122222)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k k b a a 12220)(2. 令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有 )(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 综上即得所证 .证法二 由)(x S n 一致收敛于)(x f , ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k nb a a dx x f dx x S x f 1222022)(2)(1)()(1.因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k kb a a 12220)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup 1x S x f n ()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n .由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f=><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π=⎰-∞→∞→==><=ππππdx x Sx S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式的意义：设在幺正系} , sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰-==ππππdx x f x f A )(21)21, )((02 )(122022a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-；⎰-===πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1)cos, )((22 n n a A π=；同理有 22 n n b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是 ,Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ11222022202) (2)(n n n n nnB A A b a a dx x f.注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=12222)(n n n B A A x f ,这是勾股定理的推广, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理.Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为:若三角级数 nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n n nx是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n n n 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n n nx不是Fourier 级数.例 证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n n nx α在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数 . 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(1 1212.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由∑∞=⇒≤<121, 120n nαα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.一个三角级数是否为Fourier 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Perron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier 级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用 维尔斯特拉斯逼近定理 定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续, 则对任意给定的0>ε,存在多项式)(x P n 对一切 ],[b a x ∈, 成立ε<-|)()(|x P x f n傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。