2014届南京高三期初学情调研卷数学答案

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江苏南京2014高三9月学情调研试题-数学(解析版)汇总

2014届江苏省南京市高三9月学情调研数学试卷（带解析）一、填空题 1．则A B = .2．命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 .3．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位）4．下图是某算法的流程图，其输出值a 是 .5．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 .6．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 7．已知点(),P x y 在不等式0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是 .8．曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是 .9．在等差数列{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = .10．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF = ，若AD xAF yAE =+ ，,x y R ∈，则x y +的值为 .11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 .12．已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 . 13的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA=，则椭圆的离心率为 .14．已知函若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c ==()f d =，其中0d c b a >>>>，则a b c d 的取值范围是 .二、解答题15．在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若7a =，8b =，求ABC ∆的面积．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．（1）求证：//AP 平面MBD ；（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .17．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，若直线()0y t t =>与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线.19．已知无穷数列{}n a 中，1a 、2a 、、m a 构成首项为2，公差为－2的等差数列，1m a +、2m a +、、2m a ，构成首项为的等比数列，其中3m ≥，m N *∈.（1）当12n m ≤≤，m N *∈，时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n N *∈，都有2n mn a a +=成立．时，求m 的值；②记数列{}n a 的前n 项和为n S ．判断是否存在m ，使得432m S +≥成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 20．已知函数()2ln f x ax x=-（a 为常数）．（1时，求()f x 的单调递减区间；（2）若0a <，且对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x>-恒成立，求实数a 的取值范围.21．如图，OA 、OB 是圆O 的半径，且OA OB ⊥，C 是半径OA 上一点：延长BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交OA 的延长线于点E .求证：45OBC ADE ∠+∠= .22．在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵23a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:m x 20y --=，求实数a 、b 的值． 23．在极坐标系中，求圆4sin ρθ=上的点到直线2425．在底面边长为2，高为1的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为BC 、11C D的中点．（1）求异面直线1A E 、CF 所成的角；（2）求平面1A EF 与平面11ADD A 所成锐二面角的余弦值．26．将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和．（1）求2ξ=时的概率；（2）求ξ的概率分布及数学期望．2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷参考答案1或()1,2【解析】，，试题分析：考点：集合的交集运算2．2∃∈-+>x R x x,220【解析】试题分析：由全称命题的否定知，命题“2∀∈-+>”的否定是,220x R x x“2∃∈-+>”.x R x x,220考点：命题的否定3【解析】试题分析：，1=+iz i考点：复数的除法运算、复数的模4．31【解析】试题分析：第一次循环，2113a=>不成立，执行第二次循环；a=⨯+=，330a=>不成立，执行第三次循环；第三次循环，27115a=⨯+=，a=⨯+=，7302317a=⨯+=，3130a=>成立，a=>不成立，执行第四次循环；第四次循环，2151311530跳出循环体，输出的a值为31.考点：算法与程序框图5【解析】试题分析：利用x 、y 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号，用(),x y 表示其中一个基本事件，则事件总体所包含的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个；事件“取出的两个球的编号大于5”所包含的基本事件有：()2,4，()3,4，共2个，所以事件“取出的两个球的编号大于5”发生的概率考点：古典概型 6【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，考点：圆柱的体积 7．4【解析】试题分析：如下图所示，不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，在直线方程24x y +=，令0y =，解得4x =，得点A 的坐标为()4,0，作直线:l z x y =+，其中z 可视为直线l 在x 轴上的截距，当直线l 经过区域中的点()4,0A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max404z=+=.考点：线性规划 8．2y x =或20x y -= 【解析】试题分析：sin y x x =+ ,1cos y x '∴=+，当0x =时，1cos 02y '=+=，故曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是()020y x -=-，即2y x =或20x y -=.考点：利用导数求函数图象的切线方程 9．2n 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的首项1a 与公差d 的方程组，则有418137715a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故考点：等差数列的前n 项和 10【解析】试题分析：D 为BC 的中点，，AD AB BD∴=+，1y =，考点：平面向量的基底表示11．1± 【解析】试题分析：当0a ≥时，()213a f a =+=，解得1a =；当0a <时，0a ->，由于函数()f x 是偶函数，()()213a f a f a -∴=-=+=，解得1a =-，综上所述，1a =±.考点：函数的奇偶性 12．()1,2【解析】试题分析：法一：如下图所示，设BE x =，则03x <<，由勾股定理易得，3CE x =-，，，AEF ∠为钝角，则cos 0AEF ∠<，则有222AE EF AF +-0<，即()()2224610102640xx x x x ++-+-=-+<，即2320x x -+<，解得12x <<；法二：如下图所示，设BC x =，则03x <<，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xBy ，则()0,2A ，(),0E x ，()3,1F ，()()()0,2,0,2EA x x =-=- ，EF =()()()3,1,03,1x x -=-，AEF ∴∠是钝角，则0EA EF ⋅< ，即()()3210x x -⋅-+⨯<，整理得2320x x -+<，解得12x <<，且A 、E 、F 三点不共线，故有()()321x x -⨯≠-⨯，解得6x ≠.考点：余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积 13【解析】试题分析：由于AOP ∆为等腰三角形，且90AOP ∠= ，故有AO OP a ==，则点P 的坐标为()0,a ，设点Q 的坐标为(),x y ，()()(),0,,PQ x y a x y a =-=-，()()(),0,,QA a x y a x y =--=--- ，PQ =2QA ，则有()22x a x y a y ⎧=⋅--⎨-=-⎩，即点Q 的坐标为，将点Q 的，解得225a b =，即()2225a a c =-，考点：共线向量、椭圆的离心率 14．()21,24【解析】试题分析：如下图所示，由图形易知01a <<，13b <<，则()()f a f b = ，33log log a b ∴-=，1ab ∴=，令，即210240x x -+=，解得4x =或6x =，而二次函数直线5x =，由图象知，35c <<，5d >，点()(),c f c和点()(),d f d 均在二次函数的图象上，故有，10dc ∴=-，由于当13x <<时，，30log 1x ∴<<，13b << ，()01f b ∴<<，()()f b f c = ，()01f c ∴<<，由于函数()f x 在()3,5上单调递减，且()31f =，()40f =，34c ∴<<，()211010abcd cd cd c c c c∴=⨯==-=-+()2525c =--+，34c << ，()22152524c ∴<--+<，即2124abcd <<.考点：函数的图象、对数函数、二次函数的单调性15．（1）60A = ；（2【解析】试题分析：（1弦化切的思想求出tan A 的值，最终在求出角A 的值；（2）解法一：在角A 的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出sin B 和cos B ，并利用()sin sin C A B =+结合和角公式求出sin C 的值，出ABC ∆的面积；解法二：利用余弦定理求出c 的值，并对c 的值进行检验，然后面积公式求出ABC ∆的面积. 试题解析：（1）因为m n ⊥ ，所以0m n ⋅=，则4分因为090A << ，所以cos 0A ≠，则，所以60A = 7分（2，又7a =，8b =，60A = ，，因为ABC ∆为锐角三角形，所以 9分12分分解法二：因为7a =，8b =，60A = ，，即28150c c -+=，解得3c =或5c =，当3c =时，222949640c a b +-=+-<，所以cos 0B <，不合乎题意；当5c =时，2222549640c a b +-=+->，所以cos 0B >，合乎题意；分考点：正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式 16．（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接AC ，找到AC 与BD 的交点O 为AC 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明//AP OM ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//⊥，AP平面MBD；（2）先证明AD⊥平面PBD，得到AD BD 再由已知条件证明BD PD⊥，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAD.试题解析：（1）连接AC交BD于点O，连接OM，因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点，又M为PC的中点，所以//OM PA， 4分因为OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，所以//AP平面MBD 6分（2）因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD⊥， 8分因为AD PB⊥，PD PB P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AD⊥平面=PBD，因为BD⊂平面PBD，所以AD BD⊥， 10分因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD BD⊥， 12分又因为BD AD⊥，AD PD D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，=所以BD⊥平面PAD 14分考点：直线与平面平行、直线与平面垂直17．当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.【解析】试题分析：先将休闲广场的长度设为x米，并将宽度也用x进行表示，并将绿化区域的面积S表示成x的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为x米，则宽为米，绿化区域的总面积为S平方米，分，()6,600x∈ 8分因为()6,600x∈，所以，即60x=时取等号 12分此时S取得最大值，最大值为1944.答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.14分考点：矩形的面积、基本不等式18．（1（2【解析】试题分析：（1）先根据题中的条件确定a、c 的值，然后利用求出b的值，从而确定椭圆C的方程；（2）先确定点M的坐标，求出圆M的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1，故椭圆C 的标准方程为分（2）由题意可知，点M为线段AB的中点，且位于y轴正半轴，又圆M与x轴相切，故点M的坐标为()0,t，不妨设点B 位于第一象限，因为MA MB t ==，所以(),B t t ， 7分，因为0t >，解得 10分所以圆M 的圆心为分因为圆心M 到直线分故圆M 被直线分考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理 19．（1）数列{}n a 的通项公式为（2）①m 的值为7或21；②详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据数列的定义求出当12n m ≤≤时数列{}n a 的通项公式，注意根据n 的取值利用分段数列的形式表示数列{}n a 的通项；（2）数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出m 的值；②在（1）的基础上，先将数列{}n a 的前2m 项和求出，然后利用周期性即可求出43m S +，构造利用定义法求出()f m 的最大值，从而确定2m S 和43m S +的最大值，进而可以确定是否存在m N *∈，使得432m S+≥. 试题解析：（1）当1n m ≤≤时，由题意得24n a n =-+， 2分当12m n m +≤≤时，由题意得4分故数列{}n a 的通项公式为分（2必在等比数列内，且等比数列部分至少有6项，则数列的一个周期至少有12项， 7分所以第27项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内，若1272m ≤≤时，则，得21m =，若21274m m +≤≤，则，得7m =，故m 的值为7或21 9分，12330a a a S ++==，12分因为3m ≥，所以()()10f m f m +-<，即()()1f m f m +<， 14分故3m =时，2mS取最大，最大值为从而43m S+的最大值为，不可能有432m S +≥成立，故不存在满足条件的实数m 16分考点：等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和、数列的周期性、数列的单调性 20．（1）函数()f x 的单调递减区间为()0,1；（2）实数a 的取值范围是【解析】试题分析：（1便可求出函数的单调递减区间；（2）构造新函数()()()2F x f x a x=--，将问题转化为“对任意[]1,x e∈时，()0F x≥恒成立”，进而转化为()min0F x≥，围绕()min0F x≥这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数a的取值范围.试题解析：（1）()f x的定义域为()0,+∞，2分由()0f x'<及0x>，解得01x<<，所以函数()f x的单调递减区间为()0,1 4分（2）设()()()()22ln2F x f x a x ax x a x=--=---，因为对任意的[]1,x e∈，()()2f x a x≥-恒成立，所以()0F x≥恒成立，因为0a<，令()0F x'=，得 7分，即1a≤-时，因为()1,x e∈时，()0F x'<，所以()F x在()1,e上单调递减，因为对任意的[]1,x e∈，()0F x≥恒成立，所以[]1,x e∈时，()()minF x F e=≥，即()2120ae a e---≥，。

南京市2014届高三数学12月阶段调研卷2013.12

南京市2014届高三年级12月阶段调研卷2013.12时间：120分钟，试卷满分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请将答案填写在答题卡指定位置．．．．．．．处。

1、已知复数12+=i iz （其中i 为虚数单位），则z 2+ 2、小明手上有五条细绳，其长度分别为1、2、4、5、7，现任取两条，则这两条细绳的长度之和为偶数的概率是． 3、执行右边的程序框图，若15p =，则输出的n = ． 4、观察下列不等式：1111111111,11,122232372315>++>++++>+++> ，11151,,23312++++> 由此猜想第n 个不等式为．5、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取名学生.6、已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ．上述命题中为假命题的是（填序号）．7、设x ，y 满足约束条件2,23,0,x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≤3≥≥则2z x y =-的取值范围是．8、己知集合2220,2(52)50x x M x x Z x k x k ⎧⎫⎧-->⎪⎪=∈⎨⎨⎬+++<⎪⎪⎩⎩⎭且={－2}，则k 的取值范围为．9、若函数()()ln 3x f x ae x =--的定义域为R ，则实数a 的取值范围是．10、在平面直角坐标系xOy 中,已知圆4)1()1(22=-+-y x ，C 为圆心，点P 为圆上任意一点，则CP OP ⋅的最大值为．11、已知对于任意R k ∈，直线01=--kx y 与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则实数m 的取值（第3题）范围是． 12、已知0,0x y >>，且1212x x y+=+，则x y +取最小值时对应的x 值为． 13、设等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为n n T S ,，且3457++=n n T S n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的所有可能取值的集合为．14、若关于x 的不等式022＜a x ax -+的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答，解答时应写出必要的．．．文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．. 15、（本小题满分14分）已知函数1cos sin 32sin cos )(22++-=x x x x x f （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间；（2）若1323)(=αf ，且,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求sin 2α的值．16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ‖CD ,2CD AB =.AB ⊥平面PAD ,E 为PC 的中点.（1）求证：BE ‖平面PAD ；（2）若AD PD ⊥，求证：PA ⊥平面ABCD ．PB EAC17、（本小题满分14分）某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃厚度为8mm ;图2是双层中空玻璃,厚度均为4mm ,中间留有厚度为x 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为d 的均匀介质,两侧的温度差为T ∆,单位时间内,在单位面积上通过的热量T Q k d ∆=⋅,其中k为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅ ,空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅ .)(1)设室内,室外温度均分别为1T ,2T ,内层玻璃外侧温度为1T ',外层玻璃内侧温度为2T ',且1122T T T T ''>>>.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用1T ,2T 及x 表示);(2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计x 的大小?图1图2（第17题）18、（本小题满分16分）设数列{}n a 满足:11a =,*11(14)16n n a a n N +=+∈. （1）求2a ,3a ；（2）令n b {}n b 的通项公式；（3）已知1()63n n f n a a +=-，求证：1(1)(2)()2f f f n ⋅> ．19、（本小题满分16分）已知椭圆E：22221(0) x ya ba b+=>>上任意一点到两焦点距离之和为3，左、右焦点分别为12,F F，点P是右准线上任意一点，过2F作直线2PF的垂线2F Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点NM,，在线段MN上取点H，满足MP MHPN HN=，试证明点H恒在一定直线上．（第19题）20、（本小题满分16分）设函数()x a x f ln =，()212g x x =． (1)记()()()h x f x g x =-，若4a =，求()x h 的单调递增区间；(2)记()g x '为()x g 的导函数，若不等式()()()()23f x g x a x g x '+≤+-在[]e x ,1∈上有解，求实数a 的取值范围；(3)若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()00001()f x f x g x g x ''->+'成立，求a 的取值范围.南京市2014届高三年级12月阶段调研卷数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上。

江苏省南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题及答案2014.5

江苏省南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题及答案2014.5南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学2014.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，x∈R}，B ＝{x|x＜1，x∈R}，则(∁U A)∩B＝▲．2．已知(1＋2i)2＝a＋b i(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝▲．3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为▲．4．现有红心1，2，3和黑桃4，5张牌中随机取2张牌，则所取2概率为▲．56．已知抛物线y2＝2px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为▲．7．已知tanα＝－2，，且π2＜α＜π，则cosα＋sinα＝▲．8．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m∥α，m β，则α∥β．其中所有真命题的序号是▲．（第5题图）9．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ▲ ． 10．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N*)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ▲ ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲ ．12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为．14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x－mx（m∈R）．（1）若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y ＝f(x)在点P处的切线方程；（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．20．(本小题满分16分)已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，a m和正数b1，b2，…，b m，使a，a1，a2，…，a m，b是等差数列，a，b1，b2，…，b m，b是等比数列．（1）若m＝5，a3b3＝54，求ba的值；（2）若b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在n (n∈N*，6≤n≤m)使得a n－5＝b n，求λ的最小值及此时m的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N*，n ≤m )．南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2014.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC ．· O B AC D E （第21题A 图）B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 (k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点 (3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A (2，0)，B (0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD ．（1）若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度．C · · P M A BD N (第22题图)23．（本小题满分10分）已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1，S2，S3，……，集合S k中所有元素的平均值记为b k．将所有b k组成数组T：b1，b2，b3，……，数组T中所有数的平均值记为m(T)．（1）若S={1，2}，求m(T)；（2）若S＝{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥2），求m(T)．南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学参考答案2014.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(－2，1) 2．－7 3．30 4．3105．11 6．527．558．②9．－2210．1 11．(－∞，－3)∪(1，3) 12．[32，2]13．(x－1)2＋y2＝1 14．22－2 二、解答题：15．(本小题满分14分)解：(1)由tan Btan A＋1＝2ca及正弦定理，得sin B cos Acos B sin A＋1＝2sin Csin A，………………………………………2分所以sin B cos A＋cos B sin Acos B sin A＝2sin Csin A，即sin(A＋B)cos B sin A＝2sin Csin A，则sin Ccos B sin A＝2sin Csin A．因为在△ABC中，sin A≠0，sin C≠0，所以cos B＝12．………………………………………5分因为B∈(0，π)，所以B＝π3．………………………………………7分（2）因为0＜C＜2π3，所以π6＜C＋π6＜5π6．因为cos(C＋π6)＝13，所以sin(C＋π6)＝223．………………………………………10分所以sin A＝sin(B＋C)＝sin(C＋π3)＝sin[(C＋π6)＋π6] ………………………………………12分＝sin(C＋π6)cosπ6＋cos(C＋π6)sinπ6＝26＋16．………………………………………14分16．(本小题满分14分)证（1）因为OE∥平面PBC，OE 平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，所以AO∶OC＝AE∶EP．………………………………………3分因为DC//AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2.所以AEPE＝12．………………………………………6分（2）法一：取PC的中点F，连结FB，FD．因为△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC．因为F为PC的中点，所以DF⊥PC. ………………………………………8分因为AB 平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．因为DC//AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA．设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF ＝2a．在Rt△PAB中，PB＝5a．在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝5a．因为BC＝PB＝5a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB．在Rt△PFB中，FB＝3a．在△FDB中，由DF＝2a，FB＝3a，BD＝5a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF．………………………………………12分由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC、FB⊂平面PBC，所以DF⊥平面PBC．又DF⊂平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC． (14)分法二：取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，所以MF∥DC，MF＝12DC．因为DC//AB，AB＝12DC，所以MF∥AB，MF ＝AB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF ． ………………………………………8分在正三角形PAD 中，M 为PD 中点，所以AM ⊥PD ．因为AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥AM ．又因为DC //AB ，所以DC ⊥AM ．因为BF //AM ，所以BF ⊥PD ，BF ⊥CD ．又因为PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BF ⊥平面PCD ．……………………………12分因为BF ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDC . ………………………………………14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A ．所以⎩⎪⎨⎪⎧9A a ＋b＝A ，9A a ＋14b ＝3A ，解得a ＝1，b ＝8． ………………………………………4分所以f (n )＝9A 1＋8×tn ，其中t ＝2-23．令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×tn ＝8A ，解得t n＝164，即2-2n3＝164，所以n ＝9．所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍． ………………………………………6分（2）由（1）知f (n )＝9A 1＋8×tn ．第n 年的增长高度为△＝f (n )－f (n －1)＝9A 1＋8×t n －9A 1＋8×t n －1． ……………………………9分所以△＝72At n －1(1－t )(1＋8t n )(1＋8t n －1)＝72At n －1(1－t )1＋8t n －1(t ＋1)＋64t2n －1 ＝72A (1－t )1tn －1 ＋64t n＋8(t ＋1)………………………………………12分≤72A (1－t )264t n×1tn －1＋8(t ＋1)＝72A (1－t )8(1＋t )2＝9A (1－t )1＋t．当且仅当64t n＝1tn －1，即2-2(2n -1)3＝164时取等号，此时n ＝5．所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． ………………………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4．所以椭圆方程为：x 24＋3y 24＝1． ………………………………………3分（2）设l 1方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0．因为P 为（－1，1），解得M （－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2）．………………………………………5分当k ≠0时，用－1k 代替k ，得N （k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3）． ………………………………………7分将k ＝－1代入，得M （－2，0），N （1，1）．因为P （－1，－1），所以PM ＝2，PN ＝22，所以△PMN 的面积为12×2×22＝2． ………………………………………9分（3）解法一：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 12＋3y 12＝4，x 22＋3y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0，从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0．…………………12分若x 1＋x 2＝0，则N (－x １，－y １)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 12＋y 12＝2．又因为x 12＋3y 12＝4，所以解得x 1＝±1，所以M (－1，1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1， 1)．所以直线MN 的方程为y ＝－x ． ………………………………………14分若x 1－x 2＝0，则N （x 1，－y 1），因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 12＝(x 1＋1)2＋1．又因为x 12＋3y 12＝4，所以解得x 1＝－12或－1，经检验：x ＝－12满足条件，x ＝－1不满足条件．综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12． (16)分解法二：由（2）知，当k≠0时，因为线段MN的中点在x轴上，所以3k2＋2k－11＋3k2＝－－k2－2k＋3k2＋3，化简得4k(k2－4k－1)＝0，解得k＝2±5．………………………………………12分若k＝2＋5，则M（－12，52），N（－12，－52），此时直线MN的方程为x＝－1 2．若k＝2－5，则M（－12，－52），N（－12，52），此时直线MN的方程为x＝－1 2．…………14分当k＝0时，M（1，－1），N（－1，1），满足题意，此时直线MN的方程为x＋y＝0．综上，直线MN的方程为x＝－12或x＋y＝0．………………………………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为点P(1，－1)在曲线y＝f(x)上，所以－m＝－1，解得m＝1．因为f′(x)＝1x－1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y＝－1．…………………………………3分（2）因为f′(x)＝1x－m＝1－mxx．①当m≤0时，x∈(1，e)，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，则f(x) max＝f(e)＝1－me．②当1m≥e，即0＜m≤1e时，x∈(1，e)，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，则f(x)max ＝f(e)＝1－me．………………………………………5分③当1＜1m＜e，即1e＜m＜1时，函数f (x)在(1，1m)上单调递增，在(1m，e)上单调递减，则f(x)max＝f(1m)＝－ln m－1．………………………………………7分④当1m≤1，即m≥1时，x∈(1，e)，f′(x)＜0，函数f (x)在(1，e)上单调递减，则f (x) max＝f (1)＝－m．……………………………………9分综上，①当m≤1e时，f (x)max＝1－me；②当1e＜m＜1时，f (x)max＝－ln m－1；③当m≥1时，f(x)max＝－m．………………………………………10分（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f(x1)＝f(x2)＝0，所以ln x 1－mx 1＝0，ln x 2－mx 2＝0，可得ln x 1＋ln x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝m (x 1－x 2)．要证明x 1x 2＞e 2，即证明ln x 1＋ln x 2＞2，也就是m (x 1＋x 2)＞2．因为m ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以即证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)x 1＋x 2．……………………………………12分令x 1x 2＝t ，则t ＞1，于是ln t ＞2(t －1)t ＋1．令ϕ(t )＝ln t －2(t －1)t ＋1（t ＞1），则ϕ ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0．故函数ϕ(t )在（1，＋∞）上是增函数，所以ϕ(t )＞ϕ(1)＝0，即ln t ＞2(t －1)t ＋1成立．所以原不等式成立． ………………………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝b －a6，q ＝6ba． a 3＝a ＋3d ＝a ＋b 2，b 3＝aq 3＝ab ． ………………………………………2分因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或14． ………………………………………4分（2）因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1m ＋1a ×n ．因为λa ＝a ×qm ＋1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λn m ＋1．因为a n －5＝b n ，所以a ＋(λ－1)(n －5)m ＋1×a ＝a ×λnm ＋1．因为a ＞0，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1＝λn m ＋1（*）． ………………………………………6分因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1为有理数．要使（*）成立，则λn m ＋1必须为有理数．因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1．若λ＝2，则λn m ＋1为无理数，不满足条件．同理，λ＝3不满足条件． ………………………………………8分当λ＝4时，4n m ＋1＝22n m ＋1．要使22n m ＋1为有理数，则2nm ＋1必须为整数．又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件．所以1＋3(n －5)m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29．综上，λ最小值为4，此时m 为29． ………………………………………10分(3)证法一：设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和．先证：若{c n }为递增数列，则{S nn }为递增数列．证明：当n ∈N*时，S n n ＜nb n ＋1n ＝b n ＋1．因为S n ＋1＝S n ＋b n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列{S nn}为递增数列．同理可证，若{c n }为递减数列，则{S nn}为递减数列． ………………………………………12分①当b ＞a 时，q ＞1．当n ∈N*，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S n n．即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＞aq (q n －1)q －1n ，即aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －an．因为b ＝aqm ＋1，b n ＝aq n，d ＝b －am ＋1，所以d ＞b n －an ，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n ．②当b ＜a 时，0＜q ＜1，当n ∈N*，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S nn．即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＜aq (q n －1)q －1n ．因为0＜q ＜1，所以aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －an ．以下同①．综上，a n ＞b n (n ∈N*，n ≤m )． ………………………………………16分证法二：设等差数列a ，a 1，a 2，…，a m ，b 的公差为d ，等比数列a ，b 1，b 2，…，b m ，b 的公比为q ，b ＝λa (λ＞0，λ≠1)．由题意，得d ＝λ－1m ＋1a ，q ＝aλ1m ＋1，所以a n ＝a ＋nd ＝a ＋λ－1m ＋1an ，b n ＝a λn m ＋1．要证a n ＞b n (n ∈N*，n ≤m )，只要证1＋λ－1m ＋1n －λn m ＋1＞0(λ＞0，λ≠1，n ∈N*，n ≤m )．………………………………………12分构造函数f (x )＝1＋λ－1m ＋1x －λx m ＋1(λ＞0，λ≠1，0＜x ＜m ＋1)，则f′(x )＝λ－1m ＋1－1m ＋1λx m ＋1ln λ．令f′(x )＝0，解得x 0＝(m ＋1)log λλ－1ln λ．以下证明0＜log λλ－1ln λ＜1．不妨设λ＞1，即证明1＜λ－1ln λ＜λ，即证明ln λ－λ＋1＜0，λln λ－λ＋1＞0．设g (λ)＝ln λ－λ＋1，h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)，则g′(λ)＝1λ－1＜0，h′(λ)＝ln λ＞0，所以函数g (λ)＝ln λ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h(λ)＝λlnλ－λ＋1(λ＞1)为增函数．所以g(λ)＜g(1)＝0，h(λ)＞h(1)＝0．所以1＜λ－1lnλ＜λ，从而0＜logλλ－1lnλ＜1，所以0＜x0＜m＋1． (14)分因为在(0，x0)上f′(x)＞0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；因为在(x0，m＋1)上f′(x)＜0，函数f(x)在(x0，m ＋1)上是减函数．所以f(x)＞min{f(0)，f(m＋1)}＝0．所以a n＞b n(n∈N*，n≤m)．同理，当0＜λ＜1时，a n＞b n(n∈N*，n≤m)．………………………………………16分南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2014.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证：因为AE为圆O的切线，所以∠ABD＝∠CAE ． ………………………………………2分因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC ＝∠ACD ，所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD ∽△EAC ． ………………………………………6分所以AD BD＝EC CA，即AD ·CA＝BD ·EC ． ………………………………………8分因为△ACD 为等边三角形，所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD ·EC . ………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1对应的特征值为λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，即⎩⎨⎧ak －k ＝λk ， λ＝1.因为k ≠0，所以a ＝2． ………………………………………5分因为A－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，所以A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a＝2，k＝1． ………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：设M (2cos θ，23sin θ)，θ∈(0，π2)．由题知OA＝2，OB＝23， ………………………………………2分所以四边形OAMB 的面积S ＝12×OA ×23sin θ＋12×OB ×2cos θ ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin(θ＋π4)． ………………………………………8分所以当θ＝π4时，四边形OAMB的面积的最大值为26．………………………………………10分D．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[a2＋(2b)2＋(3c)2][12＋(1 2 )2＋(13)2]≥(a＋b＋c)2． (8)分因为a2＋2b2＋3c2＝6，所以(a＋b＋c)2≤11，所以－11≤a＋b＋c≤11．所以a＋b＋c的最大值为11，当且仅当a＝2b＝3c＝61111．………………………………10分22．（本小题满分10分）证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．因为PA＝AB＝2，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．（1）由BN →＝13BD →，得N (0，13，0)，由PM →＝13PA →，得M (13，0，23)，所以MN →＝(－13，13，－23)，AD →＝(－1，－1，0)．因为MN →·AD →＝0．所以MN ⊥AD ． ………………………………………4分（2）因为M 在PA 上，可设PM →＝λPA →，得M (λ，0，1－λ)．所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →＝(0，－2，0)．设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎨⎧－2y ＝0，λx －y ＋(1－λ)z ＝0，其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n ＝(λ－1，0，λ)．………………………………8分因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0，0，1)，所以cos π4＝|n ·OP →|n ||OP →||，即22＝λ(λ－1)2＋λ2，解得λ＝12，从而M (12，0，12)，N (0，13，0)，所以MN ＝(12－0)2＋(0－13)2＋(12－0)2＝226． ………………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）S ＝{1,2}的所有非空子集为：{1}，{2}，{1,2}，所以数组T 为：1，2，32．因此m (T )＝1＋2＋323＝32． ………………………………………3分（2）因为S ＝{a 1,a 2,…, a n }，n ∈N *，n ≥2，所以m (T )＝∑i ＝1na i ＋(12C 1n －1)∑i ＝1n a i ＋(13C 2n －1)∑i ＝1n a i ＋…＋(1n C n －1n －1)∑i ＝1n a i C 1n＋C 2n＋C 3n＋…＋Cn n＝1＋12C 1n －1＋13C 2n －1＋…＋1n Cn －1n －1C 1n＋C 2n＋C 3n＋…＋Cn n∑i ＝1na i ． (6)分又因为1k C k －1n －1＝1k ·(n －1)!(k －1) ! (n －k ) !＝(n －1)!k ! (n －k ) !＝1n ·n !(n －k ) ! k !＝1nC k n，……………………………8分所以m (T )＝1n C 1n＋1n C 2n＋1n C 3n＋…＋1n C n nC 1n＋C 2n＋C 3n＋…＋C n n∑i ＝1n a i ＝1n ∑i ＝1na i ．………………………………………10分。

2014年江苏省南京市高考数学三模试卷

2014年江苏省南京市高考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|x≤-2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（∁U A）∩B= ______ ．【答案】{x|-2＜x＜1}【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x≤-2}，∴∁U A={x|x＞-2}，∵B={x|x＜1}，∴（∁U A）∩B={x|-2＜x＜1}．故答案为：{x|-2＜x＜1}根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b= ______ ．【答案】-7【解析】解：∵，且（1+）2=a+bi，∴．则a+b=-7．故答案为：-7．利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后利用复数相等的条件求得a，b的值，则a+b可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3.某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为______ ．【答案】30【解析】解：因为甲校有学生800人，乙校有学生500人，所以设乙校应抽取学生人数为x，则x：48=500：800，解得x=30，故在乙校应抽取学生人数为30，故答案为：30根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．4.现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为______ ．【答案】【解析】解：这五张牌中随机取2张牌，共有=10种不同情况，而且这些情况是等可能发生的，其中所取2张牌均为红心，共有=3种不同情况，故所取2张牌均为红心的概率P=，故答案为：先计算从五张牌中随机取2张牌的基本事件总数，再计算所取2张牌均为红心的基本事件个数，代入古典概型公式，可得答案．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．5.执行如图所示的伪代码，输出的结果是______ ．【答案】11【解析】解：本题程序为当型循环结构的算法，算法的功能是求满足S=1×3×5×…×I＞0的I+2的值，∵S=1×3×5×7=105＜200，S=1×3×5×7×9=945＞200，∴输出的I=9+2=11．故答案为：11．根据当型循环结构的算法的流程，判断算法的功能是求满足S=1×3×5×…×I＞200的I+2的值，由此可得输出的I值．本题考查了当型循环结构的算法语句，根据程序的流程判断算法的功能是关键．6.抛物线y2=2px过点M（2，2），则点M到抛物线焦点的距离为______ ．【答案】【解析】解：∵抛物线y2=2px过点M（2，2），∴4=4p，∴p=1，∴抛物线的标准方程为：y2=2x，其准线方程为x=-，∴点M到抛物线焦点的距离为2+=．故答案为：．先求出抛物线的方程，再利用抛物线的定义，将点M到抛物线焦点的距离转化为点M 到准线的距离．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线定义的运用，正确运用抛物线的定义是关键．7.已知tanα=-2，且＜α＜π，则cosα+sinα= ______ ．【答案】【解析】解：∵tanα=-2，且＜α＜π，∴cosα=-=-，sinα==，∴cosα+sinα=-+=．故答案为：由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．8.已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m∥α，m⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是______ ．【答案】②【解析】解：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故①错；②若m⊥α，m⊥β，由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；③若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故③错；④若m∥α，m⊂β，则α∥β或α，β相交，故④错．故答案为：②．由面面垂直和线面垂直的性质即可判断①；由垂直于同一直线的两平面平行，可判断②；由线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断③；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断④．本题考查空间直线与平面的位置关系，主要考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，平面与平面平行、垂直的判定和性质的运用，熟记这些知识是解题的关键．9.将函数f（x）=sin（3x+）的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在[，]上的最小值为______ ．【答案】-【解析】解：∵f（x）=sin（3x+），∴g（x）=f（x-）=sin[3（x-）+）]=sin（3x-），∵x∈[，]，∴3x-∈[，]，∴sin（3x-）∈[-，1]，当x=时，y=g（x）取到最小值-．故答案为：-．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=f（x-）=sin（3x-），利用正弦函数的单调性即可求得x∈[，]时函数的最小值．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．10.已知数列{a n}满足a n=a n-1-a n-2（n≥3，n∈N*），它的前n项和为S n．若S9=6，S10=5，则a1的值为______ ．【答案】1【解析】解：∵a n=a n-1-a n-2（n≥3，n∈N*），∴a n+1=a n-a n-1（n≥3，n∈N*），即a n+1=a n-a n-1=a n-1-a n-2-a n-1=-a n-2，∴a n+3=-a n，即a n+6=a n，即数列{a n}是周期为6的周期数列，∵S9=6，S10=5，∴a10=S10-S9=5-6=-1，则a10=a4=-a1=-1，∴a1=1，故答案为：1．根据数列的递推公式求出数列{a n}是周期为6的周期数列，即可得到结论．本题主要考查数列项的计算，根据条件求出{a n}是周期为6的周期数列是解决本题的关键，考查学生的计算能力．11.已知函数f（x）=，，＜，则关于x的不等式f（x2）＞f（3-2x）的解集是______ ．【答案】（-∞，-3）∪（1，3）【解析】解：∵f（x）=，，＜，由x2≥0，得f（x2）=x2，从而原不等式f（x2）＞f（3-2x）化为x2＞f（3-2x）．①当3-2x≥0即x≤时，原不等式进一步化为x2＞3-2x，得x＞1，或x＜-3，∴1＜x≤，或x＜-3．②当3-2x＜0即x＞时，原不等式进一步化为x2＞（3-2x）2，得1＜x＜3，∴＜＜．综合①、②得原不等式的解集为（-∞，-3）∪（1，3）．故填（-∞，-3）∪（1，3）．先利用f（x）=，，＜，将f（x2）化为x2，再分“3-2x≥0”及“3-2x＜0”进行讨论，可将原不等式进一步化为一元二次不等式，即得x的范围．1．本题考查了分段函数不等式的解法，关键是对函数进行分段处理，体现了分类讨论的思想．2．利用分类讨论法解不等式时，一般在同类中取交集，类与类之间取并集．12.在R t△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=，则•的取值范围为______ ．【答案】[，2]【解析】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（2，0），B（0，2），∴AB所在直线的方程为：，则y=2-x，设M（a，2-a），N（b，2-b），且0≤a≤2，0≤b≤2不妨设a＞b，∵MN=，∴（a-b）2+（b-a）2=2，∴a-b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤1∴•=（a，2-a）•（b，2-b）=2ab-2（a+b）+4=2（b2-b+1），0≤b≤1∴当b=0或b=1时有最大值2；当b=时有最小值∴•的取值范围为[，2]故答案为[，2]通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将•=2（b-1）2，0≤b≤1，求出范围．熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．13.在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为（x-1）2+y2=4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为______ ．【答案】（x-1）2+y2=1【解析】解：∵在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为（x-1）2+y2=4，P为圆C上一点．存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，∴存在一个定圆M，圆心与圆C的方程为（x-1）2+y2=4，的圆心重合，如图：|PC|=2，当R M=1时，∠APM=30°，∠MPB=30°；此时∠APB=60°，圆M的方程为（x-1）2+y2=1．故答案为：（x-1）2+y2=1．先设点P的坐标为（x，y），则可得|PO|，根据∠APB=60°可得∠AP0=30°，判断出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理后即可得到答案．本题考查轨迹方程的求法，圆的标准方程的求法，考查计算能力．14.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为______ ．【答案】2-2【解析】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b-2a）x+（c-b）≥0恒成立，故△=（b-2a）2-4a（c-b）=b2+4a2-4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac-4a2，∴4ac-4a2≥0，∴c≥a＞0，∴，故≤===≤=2-2，故答案为：2-2由已知可得ax2+（b-2a）x+（c-b）≥0恒成立，即△=（b-2a）2-4a （c-b）=b2+4a2-4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．二、解答题(本大题共12小题，共154.0分)15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且+1=．（1）求B；（2）若cos（C+）=，求sin A的值．【答案】解：（1）∵+1=，=，∴+1=，∴=，即=，∴=．∵在△ABC中，sin A≠0，sin C≠0，∴cos B=．∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵0＜C＜，∴＜C+＜．∵cos（C+）=，∴sin（C+）=．∴sin A=sin（B+C）=sin（C+）=sin[（C+）+]=sin（C+）cos+cos（C+）sin=．【解析】（1）利用正弦定理把已知等式中的a和c，化成sin A和sin B，化简整理求得cos B的值，进而求得B．（2）利用同角三角函数关系，求得sin（C+）的值，进而利用两角和公式求得答案．本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用．解题的过程中一定要特别注意角的范围．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA=DC=2AB．（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．【答案】证（1）因为OE∥平面PBC，OE⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC=PC，所以OE∥PC，所以AO：OC=AE：EP．…（3分）因为DC∥AB，DC=2AB，所以AO：OC=AB：DC=1：2．所以=．…（6分）（2）法一：取PC的中点F，连结FB，FD．因为△PAD是正三角形，DA=DC，所以DP=DC．因为F为PC的中点，所以DF⊥PC．…（8分）因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．因为DC∥AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA．设AB=a，在等腰直角三角形PCD中，DF=PF=a．在R t△PAB中，PB=a．在直角梯形ABCD中，BD=BC=a．因为BC=PB=a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB．在R t△PFB中，FB=a．在△FDB中，由DF=a，FB=a，BD=a，可知DF2+FB2=BD2，所以FB⊥DF．…（12分）由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB=F，PC、FB⊂平面PBC，所以DF⊥平面PBC．又DF⊂平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC．…（14分）法二：取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，所以MF∥DC，MF=DC．因为DC∥AB，AB=DC，所以MF∥AB，MF=AB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF．…（8分）在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD．因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM．又因为DC∥AB，所以DC⊥AM．因为BF∥AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD．又因为PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BF⊥平面PCD．…（12分）因为BF⊂平面PBC，所以平面PBC平面PDC．…（14分）【解析】（1）利用线线平行，平行线分线段成比例即可；（2）利用线面垂直，证明面面垂直．本题考查空间直线位置关系，即面面垂直，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．17.某种树苗栽种时高度为A（A为常数）米，栽种n年后的高度记为f（n）．经研究发现f（n）近似地满足f（n）=，其中t=，a，b为常数，n∈N，f（0）=A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．【答案】解：（1）由题意知f（0）=A，f（3）=3A．所以，解得a=1，b=8．…（4分）所以f（n）=，其中t=．令f（n）=8A，得=8A，解得t n=，即=，所以n=9．所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．…（6分）（2）由（1）知f（n）=．第n年的增长高度为△=f（n）-f（n-1）=-．…（9分）所以△==…（12分）≤=当且仅当64t n=时取等号，此时n=5．所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．…（14分）【解析】（1）利用f（0）=A，f（3）=3A，确定函数解析式，令f（n）=8A，可得结论；（2）计算第n年的增长高度，利用基本不等式，可求该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查基本不等式，确定函数解析式是关键．18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（-1，-1），c为椭圆的半焦距，且c=b．过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为-1，求△PMN的面积；（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．【答案】（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（-1，-1），c为椭圆的半焦距，且c=b，所以，且c2=2b2，所以a2=3b2，解得b2=，a2=4．所以椭圆方程为：+=1．…（3分）（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k-1）x+3（k-1）2-4=0．因为P为（-1，-1），解得M（，）．…（5分）当k≠0时，用-代替k，得N（，）．…（7分）将k=-1代入，得M（-2，0），N（1，1）．因为P（-1，-1），所以PM=，PN=2，所以△PMN的面积为××2=2．…（9分）（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+3（y1+y2）（y1-y2）=0，因为线段MN的中点在x轴上，所以y1+y2=0，从而可得（x1+x2）（x1-x2）=0．…（12分）若x1+x2=0，则N（-x1，-y1）．因为PM⊥PN，所以•=0，得x12+y12=2．又因为x12+3y12=4，所以解得x1=±1，所以M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）．所以直线MN的方程为y=-x．…（14分）若x1-x2=0，则N（x1，-y1），因为PM⊥PN，所以•=0，得y12=（x1+1）2+1．又因为x12+3y12=4，所以解得x1=-或-1，经检验：x=-满足条件，x=-1不满足条件．综上，直线MN的方程为x+y=0或x=-．…（16分）【解析】（1）由已知条件推导出，且c2=2b2，由此能求出椭圆方程．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，得（1+3k2）x2+6k（k-1）x+3（k-1）2-4=0．由此能求出△PMN的面积．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用点差法能求出直线MN的方程为x+y=0或x=-．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．19.已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．【答案】解：（1）因为点P（1，-1）在曲线y=f（x）上，所以-m=-1，解得m=1．因为f′（x）=-1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=-1．（2）因为f′（x）=-m=．①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1-me．②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1-me．③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f（x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，则f（x）max=f（）=-lnm-1．④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max=f（1）=-m．综上，①当m≤时，f（x）max=1-me；②当＜m＜1时，f（x）max=-lnm-1；③当m≥1时，f（x）max=-m．（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f（x1）=f（x2）=0，所以lnx1-mx1=0，lnx2-mx2=0，可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1-lnx2=m（x1-x2）．要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．因为m=，所以即证明＞，即ln＞．令=t，则t＞1，于是lnt＞．令ϕ（t）=lnt-（t＞1），则ϕ′（t）=-=＞0．故函数ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，所以ϕ（t）＞ϕ（1）=0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．【解析】（1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．本题是关于导数的综合应用，利用导数求斜率，求函数的单调区间以及区间上的最值是最主要的题型之一．20.已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，a m和正数b1，b2，…，b m，使a，a1，a2，…，a m，b是等差数列，a，b1，b2，…，b m，b是等比数列．（1）若m=5，=，求的值；（2）若b=λa（λ∈N*，λ≥2），如果存在n（n∈N*，6≤n≤m）使得a n-5=b n，求λ的最小值及此时m的值；（3）求证：a n＞b n（n∈N*，n≤m）．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d=，q=．所以a3=a+3d=，b3=aq3=．…（2分）因为=，所以2a-5+2b=0，解得=4或．…（4分）（2）解：因为λa=a+（m+1）d，所以d=a，从而得a n=a+a×n．因为λa=aq m+1，所以q=，从而得．因为a n-5=b n，所以a+×a=a×因为a＞0，所以1+=（*）．…（6分）因为λ，m，n∈N*，所以1+为有理数．要使（*）成立，则必须为有理数．因为n≤m，所以n＜m+1．若λ=2，则为无理数，不满足条件．同理，λ=3不满足条件．…（8分）当λ=4时，．要使为有理数，则必须为整数．又因为n≤m，所以仅有2n=m+1满足条件．所以1+=2，从而解得n=15，m=29．综上，λ最小值为4，此时m为29．…（10分）（3）证明：设c n＞0，S n为数列{c n}的前n项的和．先证：若{c n}为递增数列，则{}为递增数列．证明：当n∈N*时，＜c n+1．因为S n+1=S n+c n+1＞S n+=S n，所以＜，即数列{}为递增数列．同理可证，若{c n}为递减数列，则{}为递减数列．…（12分）①当b＞a时，q＞1．当n∈N*，n≤m时，＞．即＞．因为b=aq m+1，b n=aq n，d=，所以d＞，即a+nd＞b n，即a n＞b n．②当b＜a时，0＜q＜1，当n∈N*，n≤m时，＜．即＜．因为0＜q＜1，所以＞．以下同①．综上，a n＞b n（n∈N*，n≤m）．…（16分）【解析】（1）用a，b表示出d，q，利用=，即可求的值；（2）确定，利用a n-5=b n，可得1+为有理数，分类讨论，即可求λ的最小值及此时m的值；列．若{c n}为递减数列，则{}为递减数列，再分类讨论，即可证明结论．本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数论知识，考查分类讨论，考查学生分析解决问题的能力，难度大．21.已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线，求证：CD2=BD•EC．【答案】证明：因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．…（2分）因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．…（6分）所以=，即AD•CA=BD•EC．…（8分）因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，所以CD2=BD•EC．…（10分）【解析】先证明△ABD∽△EAC，可得AD•CA=BD•EC，再结合△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，即可得出结论．本题考查三角形相似的判断，考查圆的切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．【答案】解：设特征向量为α=，对应的特征值为λ，则=λ，即因为k≠0，所以a=2．…（5分）因为A-1=，所以A=，即=，所以2+k=3，解得k=1．综上，a=2，k=1．…（10分）利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．23.在平面直角坐标系x O y中，已知M是椭圆+=1上在第一象限的点，A（2，0），B（0，2）是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．【答案】解：∵M是椭圆+=1上在第一象限的点，∴设M（2cosθ，2sinθ），，，由题意知，OA=2，OB=2，四边形OAMB的面积S===，，∴时，四边形OAMB的面积的最大值为．【解析】设M（2cosθ，2sinθ），，，四边形OAMB的面积S=利用三角函数的有界限求出四边形OAMB的面积的最大值．本题考查椭圆上的点的设法及三角函数的有界限求函数的最值，属于一道中档题．24.已知a，b，c∈R，a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最大值．【答案】解：因为已知a、b、c是实数，且a2+2b2+3c2=6，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（a2+2b2+3c2）（1++）≥（a+b+c）2故（a+b+c）2≤11，即a+b+c的最大值为，当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．考虑到柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2的应用，构造出柯西不等式求出（a+b+c）2的最大值开方即可得到答案．此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，对于此类题目很多同学一开始就想到应用参数方程求解，这个方法可行但是计算量较高，而应用柯西不等式求解较简单，同学们需要很好的理解掌握．25.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=，点M，N分别在线段PA和BD上，BN=BD．（1）若PM=PA，求证：MN⊥AD；（2）若二面角M-BD-A的大小为，求线段MN的长度．【答案】（本小题满分10分）（1）证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AB=，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）．，得N（0，，0），由，得M（，0，），，，，，，，∵，∴MN⊥AD．（2）∵M在PA上，设，得M（λ，0，1-λ），∴，，，，，，设平面MBD的法向量，，，由，得，取z=λ，得，，，∵平面ABD的法向量为，，，二面角M-BD-A的大小为，∴cos=||，即，解得，∴M（，，），N（0，，0），∴|MN|==．（1）连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能证明MN⊥AD．（2）设，得M（λ，0，1-λ），，，，，，，分别求出平面MBD的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法解得，由此能求出线段MN的长度．本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．26.已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1，S2，S3，…，集合S k中所有元素的平均值记为b k．将所有b k组成数组T：b1，b2，b3，…，数组T中所有数的平均值记为m（T）．（1）若S={1，2}，求m（T）；（2）若S={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥2），求m（T）．【答案】解：（1）S={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，∴数组T为：1，2，∴m（T）=（2）∵S={a1，a2，…，a n}∴m（T）=又∵==∴m（T）==【解析】（1）先求出S={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，利用m（T）的定义求出其值（2）利用组合数及m（T）的定义求出m（T）=，利用组合数的性质，化简求值．本题考查集合的子集及组合的应用，关键是弄清楚题中对新概念的理解，属于一道难题．。

2024届南京高三上学期9月学情调研数学试题及答案

南京市2024届高三年级学情调研数学 2023.09（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝A ．{x |3≤x ＜4}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |2＜x ≤3}D ．{x |1≤x ＜4}2．若z ＝3－i1＋i，则z 的虚部为 A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i3．(x －2x)4的展开式中常数项为A ．－24B ．－4C ．4D ．244．在△ABC 中，点D 为边AB 的中点．记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝A ．2m ＋nB ．m 2C ．2m －nD ．－m ＋2n 5．设O 为坐标原点，A 为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0上一个动点，则∠AOC 的最大值为A ．π12B ．π6C ． π4D ．π36．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点B 的平面α与直线A 1C 垂直，则α截该正方体所得截面的形状为 A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形7．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为v 0，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m ．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v (v ＞1)，室内空气中颗粒物的浓度与时刻t 的函数关系为ρ(t )＝(1－λ)m v 0＋λm v 0e －vt ，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为45，且t ＝1时室内空气中颗粒物的浓度是t ＝2时的32倍，则v 的值约为(参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986) A ．1.3862B ．1.7917C ．2.1972D ．3.58348．若函数f (x )＝sin(ωcos x )－1(ω＞0)在区间(0，2π)恰有2个零点，则ω的取值范围是A ．(0，π2)B ．(π2，3π2)C ．(π2，5π2)D ．(π2，＋∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若a ＜0＜b ，且a ＋b ＞0，则A ．ab＞－1B ．|a |＜|b |C ．1a ＋1bD ．(a －1)(b －1)＜110．有一组样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，已知∑5i ＝1x i ＝10，∑5i ＝1x i 2＝30，则该组数据的A ．平均数为2B ．中位数为2C ．方差为2D ．标准差为211．在△ABC 中，∠ACB ＝90º，AC ＝BC ＝22，D 是AB 的中点．将△ACD 沿CD 翻折，得到三棱锥A'－BCD ，则 A ．CD ⊥A'BB ．当A'D ⊥BD 时，三棱锥A'－BCD 的体积为83C ．当A'B ＝23时，二面角A'－CD －B 的大小为2π3D ．当∠A'DB ＝2π3时，三棱锥A'－BCD 的外接球的表面积为20π12．函数f (x )及其导函数f '(x )的定义域均为R ，且f (x )－f (－x )＝2x ，f '(1＋x )＋f '(1－x )＝0，则A ．y ＝f (x )＋x 为偶函数B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f '(0)＝1D ．f '(x ＋2)＝f '(x )＋2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P (3，4)，则sin(π＋α)＝▲________． 14．某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为▲________．15．记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＝ 2n (n ＋2)，n 为奇数，a n －1， n 为偶数，则S 8＝▲________． 16．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 右支上一点，线段PF 1与C 的左支交于点M ．若∠F 1PF 2＝π3，且|PM |＝|PF 2|，则C 的离心率为▲________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知公比大于1的等比数列{a n }满足：a 1＋a 4＝18，a 2a 3＝32． (1)求{a n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2b n －a n ，n ∈N *，证明：b n a n 是等差数列．(2)若a ＝3，sin B sin C ＝14，求△ABC 的面积．19．(12分)某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A ，B 两门学科成绩作为样本．将他们的A 学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B 学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A 学科良好与B 学科良好有关；（23人中A ，B 学科均良好的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．附：K2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．P (K 2≥k 0)0.150.100.050.025 0.010 0.0050.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828O0.005 (第19题图)点G 是线段BF 的中点． (1)证明：EG ∥平面DAF ；(2)求直线EF 与平面DAF 所成角的正弦值．21．(12分)已知O 为坐标原点，F (1，0)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，过F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．当A 为短轴顶点时，△OAF 的周长为3＋3． (1)求C 的方程；(2)若线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于点P ，Q ，M 为线段AB 的中点，求|PM |·|PQ |的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝a e x －x －a ，其中a ＞0． (1)若a ＝1，证明：f (x )≥0；(2)设函数g (x )＝xf (x )，若x ＝0为g (x)的极大值点，求a 的取值范围．EO FG (第20题图)数学参考答案2023.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．B 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．ABD 10．AC 11．ACD 12．BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．－4514．0.56 15．169 16．7四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：（1）方法1：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 3＝a 1a 4＝32，又a 1＋a 4＝18，所以 a 1＝2，a 4＝16或 a 1＝16，a 4＝2． ···················································· 2分又q ＞1，所以a 1＝2，a 4＝16，所以q 3＝8，q ＝2． ················································ 4分因此a n ＝a 1q n －1＝2n ．分方法2：由基本量得出 a 1＝2，q ＝2或a 1＝16，q ＝12． ························································ 2分又q ＞1，所以a 1＝2，q ＝2．··········································································· 4分因此a n ＝a 1q n －1＝2n ． ··············································································· 5分（2）由（1）得S n ＝2b n －2n ，所以S n ＋1＝2b n ＋1－2n ＋1，两式作差可得b n ＋1－2b n ＝2n ，n ∈N *． ·························································· 7分所以b n ＋12n ＋1－b n 2n ＝12，即b n ＋1a n ＋1－b n a n ＝12(n ∈N *)． ··················································· 9分所以数列 b n a n 是公差为12的等差数列． ························································· 10分因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3．···································································· 6分(2)解法1：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以b sin B ＝c sin C ＝332＝23，因此b ＝23sin B ，c ＝23sin C ． ································································· 9分所以bc ＝(23)2×sin B sin C ＝3．································································ 10分所以，△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×23＝334． ································· 12分解法2：因为sin B sin C ＝14，B ＝π－A －C ＝π3－C ，所以sin(π3－C )sin C ＝14．化简得cos(2C －π3)＝1，因为C ∈(0，π3)，所以2C －π3∈(－π3，π3)，故C ＝π6． ········ 9分因此B ＝π3－C ＝π6，进而可解得b ＝c ＝3． ················································· 10分所以△ABC 的面积为S ＝12×3×3×sin 2π3＝334． ····································· 12分19．（12分）解：（1）由直方图可得A 学科良好的人数为100×(0.040＋0.025＋0.005)×10＝70，所以2×2列联表如下：B 学科良好 B 学科不够良好合计A 学科良好 40 30 70 A 学科不够良好10 20 30 合计5050100············································································································ 2分假设H 0：A 学科良好与B 学科良好无关， ····················································· 3分 K2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(30×10－40×20)270×30×50×50＝10021≈4.8＞3.841， ········ 5分所以有95%把握认为A B 学科良好有关． ······································ 6分（2）AB 学科均良好的概率P ＝40100＝25，X 的可能取值为0，1，2，3，且X ~B (3，25)．所以P (X ＝0)＝C 03·(25)0·(35)3＝27125，P (X ＝1)＝C 13·(25)1·(35)2＝54125， P (X ＝2)＝C 23·(25)2·(35)1＝36125，P (X ＝3)＝C 33·(25)3·(35)0＝8125． ······························· 10分所以X 的分布列为因为X ~B (3，25)，所以E (X )＝3×25＝65． ······················································· 12分20．（12分）（1）证法一：连接OE ，OG ．在圆柱OE 中，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，所以OE ∥DA ．又OE ⊄平面DAF ，DA ⊂平面DAF ，所以OE ∥平面DAF ． ············· 2分在△ABF 中，点O ，G 分别是AB 和BF 的中点，所以OG ∥AF ．又OG ⊄平面DAF ，AF ⊂平面DAF ，所以OG ∥平面DAF ．又OE ∩OG ＝O ，OE ，OG ⊂平面OEG ，所以平面OEG ∥平面DAF ． 4分又EG ⊂平面OEG ，所以EG ∥平面DAF ．··································· 6分证法二：取AF 的中点M ，连接MD ，MG ．因为点M ，G 分别是F A 和FB 的中点，所以MG _∥AO ． ················ 2分在圆柱OE 的轴截面四边形ABCD 中，AO _∥DE ．所以MG _∥DE ，因此四边形DEGM 是平行四边形． ······················ 4分因此EG ∥DM ．又EG ⊄平面DAF ，DM ⊂平面DAF ，所以EG ∥平面DAF ． ············ 6分证法三：以O 为坐标原点，AB 的中垂线为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，3，0)，E (0，0，3)．因为AB 为底面圆O 的直径，点F 在圆O 上，所以BF ⊥AF ．又OA ＝OB ＝BF ＝3，所以∠BOF ＝60º，因此F (32，32，0)．因为点G 是线段BF 的中点，所以G (34，3340)，因此GE →＝(－34，－334，3)． ·················································· 2分因为AD ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以BF ⊥AD ．又BF ⊥AF ，AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面DAF ，所以BF ⊥平面DAF ，因此→FB ＝(－32，32，0)是平面DAF 的一个法向量． ···················· 4分因为BF →·EG →＝－32×34＋32×0×3＝0，又EG ⊄平面DAF ，所以EG ∥平面DAF ． ··································· 6分（2）解：法一：以O 为坐标原点，AB 的中垂线为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，3，0)，E (0，0，3)． ···· 7分因为AB 为底面圆O 的直径，点F 在圆O 上，所以BF ⊥AF ．又OA ＝OB ＝BF ＝3，所以∠BOF ＝60º，因此F (32，32，0)．因此F (32，32，0)，→EF ＝(32，32，－3)． ··································· 8分因为AD ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以BF ⊥AD ．又BF ⊥AF ，AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面DAF ，所以BF ⊥平面DAF ．因此→FB ＝(－32，32，0)是平面DAF 的一个法向量． ··················· 10分设EF 与平面DAF 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜→EF ，→FB ＞|＝|→EF ·→FB ||→EF |·|→FB |＝3223×3＝14，DEOFGMDECBOF GyxDECBOFGyx所以EF 与平面DAF 所成角的正弦值为14． ································ 12分法二：由(1)得EG ∥平面DAF ，所以点E 到平面DAF 的距离等于点G 到平面DAF 的距离．因为AD ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以BF ⊥AD ．因为AB 为底面圆O 的直径，点F 在圆O 上，所以BF ⊥AF ．又AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面DAF ，所以BF ⊥平面DAF ．所以点E 到平面DAF 的距离d ＝GF ＝12BF ＝32． ························· 9分连结OE ，OF ，易得OF ＝3，所以EF ＝OF 2＋OE 2＝23． ······· 10分设EF 与平面DAF 所成角为θ，则sin θ＝dEF ＝3223＝14，所以EF 与平面DAF 所成角的正弦值为14． ······························· 12分法三：过F 作AD 的平行线交上底面于点H ，连结DH ，平面ADF 即为平面AFH D ．过E 作EK ⊥DH ，K 为垂足，又因为AD ⊥EK ，AD ∩DH ＝D ，则EK ⊥平面AFHD ，则∠EFK 为EF 与平面ADF 所成的角． 8分得EK ＝32，EF ＝OF 2＋OE 2＝23． ····································· 10分设EF 与平面DAF 所成角为θ，则sin θ＝EKEF ＝3223＝14，所以EF 与平面DAF 所成角的正弦值为14． ······························· 12分21．（12分）解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由题得c ＝1．当A 为短轴顶点时，△OAF 的周长a ＋b ＋1＝3＋3． ·················· 1分又a 2＝b 2＋1，所以a 2＝(2＋3－a )2＋1，解得a ＝2，b ＝3． ········ 3分所以，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． ······································ 4分（2）法一：易得F (1，0)，设直线AB ：y ＝k (x －1)．联立 y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k 4k 2＋3，则M (4k 24k 2＋3，－3k 4k 2＋3)． ············································································· 6分于是线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－1k(x －4k 24k 2＋3)－3k 4k 2＋3．BM yP xO AFQ ADECB OFGADE CB OFGKH令y ＝0，得x P ＝k 24k 2＋3． ··········································································· 8分处理法1：因为k ≠0，所以x P ＝k 24k 2＋3＝14－34(4k 2＋3)∈(0，14)． ······························ 9分因为∠POQ ＝∠PMF ＝90º，所以Q ，O ，M ，F 四点共圆，由相交弦定理可得|PM |·|PQ |＝|PO |·|PF |＝x P (1－x P )＝x P －x P 2． ···················· 11分因为x P ∈(0，14)，且函数y ＝x P －x P 2在(0，14)上递增，所以|PM |·|PQ |＝x P －x P 2∈(0，316)． ·························································· 12分处理法2：易得△OPQ ∽△MPF ，所以PO PM ＝PQPF ，所以PM ·PQ ＝PO ·PF ．处理法3：|PM |·|PQ |＝1＋1k2|x M －x P |·1＋1k2|x P | ＝(1＋1k 2)|4k 24k 2＋3－k 24k 2＋3|·|k 24k 2＋3|＝3k 2(k 2＋1)(4k 2＋3)2． ················· 10分令t ＝4k2＋3＞3，则|PM |·|PQ |＝3k 2(k 2＋1)(4k 2＋3)2＝3(t 2－2t －3)16t2＝316[－3(1t )2－21t ＋1]，因为t ＞3，所以1t ∈(0，13)，因此－3(1t )2－21t ＋1∈(0，1)，因此|PM |·|PQ |＝316[－3(1t )2－21t ＋1]∈(0，316)． ·········································· 12分法二：易得F (1，0)，设直线AB ：x ＝my ＋1．联立 x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y ＋y 2＝－6m 3m 2＋4，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝83m 2＋4，则M (43m 2＋4，－3m 3m 2＋4)． ··········································································· 6分于是线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－m (x －43m 2＋4)－3m3m 2＋4．令y ＝0，得x P ＝13m 2＋4． ·········································································· 8分处理法1：因为m ≠0，所以x P ＝13m 2＋4∈(0，14)． ··············································· 9分因为∠POQ ＝∠PMF ＝90º，所以Q ，O ，M ，F 四点共圆，由相交弦定理可得|PM |·|PQ |＝|PO |·|PF |＝x P (1－x P )＝x P －x P 2． ···················· 11分因为x P ∈(0，14)，且函数y ＝x P －x P 2在(0，14)上递增，所以|PM |·|PQ |＝x P －x P 2∈(0，316)． ·························································· 12分处理法2：易得△OPQ ∽△MPF ，所以PO PM ＝PQPF ，所以PM ·PQ ＝PO ·PF ．处理法3：|PM |·|PQ |＝1＋m 2|x M －x P |·1＋m 2|x P |＝(1＋m 2)|43m 2＋4－13m 2＋4|·|13m 2＋4|＝3(m 2＋1)(3m 2＋4)2． ·············· 10分令t ＝3m 2＋4＞4，则|PM |·|PQ |＝3(m 2＋1)(3m 2＋4)2＝t －1t2＝－1t 2＋1t ∈(0，316)． ············ 12分处理法4：|PM |·|PQ |＝3(m 2＋1)(3m 2＋4)2．令t ＝3(m 2＋1)＞3，则|PM |·|PQ |＝3(m 2＋1)(3m 2＋4)2＝t (t ＋1)2＝1t ＋1t＋2∈(0，316)． ······· 12分 22．（12分）(1)证明：若a ＝1，则f (x )＝e x －x －1，f '(x )＝e x －1， ············································· 1分令f '(x )＝0，得x ＝0．在(－∞，0)上，f '(x )＜0，f (x )单调递减；在(0，＋∞)上，f '(x )＞0，f (x )单调递增； ······················································ 3分故f (x )≥f (0)＝0． ····················································································· 4分 (2)解：g (x )＝ax e x －x 2－ax ，g'(x )＝a (x ＋1)e x －2x －a ＝a [(x ＋1)e x －1]－2x ．当x ＞0时，易得(x ＋1)e x －1＞0，所以由(1)可得，若a ≥1，则g'(x )＝a [(x ＋1)e x －1]－2x ≥(x ＋1)e x －2x －1＞(x ＋1)2－2x －1＝x 2＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，这与x ＝0为函数g (x )的极大值点相矛盾． ····················································· 7分若0＜a ＜1，g''(x )＝a (x ＋2)e x －2，因为g'''(x )＝a (x ＋3)e x ＞0对x ＞－3恒成立，所以g''(x )在(－3，＋∞)上单调递增． ·························································· 8分又g''(0)＝2a －2＜0，g''(2a －2)＞a (2a －2＋2)－2＝0，因为0＜a ＜1，所以2a －2＞0，因此存在唯一x 0∈(0，2a －2)g''(x 0)＝0．··············································· 9分所以，在(－3，x 0)上，g''(x )＜0，g'(x )单调递减． ··········································· 10分又g'(0)＝0，所以在(－3，0)上，g'(x )＞0，故g (x )单调递增；在(0，x 0)上，g'(x )＜0，故g (x )单调递减． ···················································· 11分所以x ＝0为函数f (x )的极大值点，满足题意．综上，a 的取值范围为(0，1)． ·································································· 12分。

2014南京高三三模数学试题

南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学 2014.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2．已知(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝ ▲ ．3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ▲ ．4．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ▲ ．5．执行右边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ ． 7．已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ▲ ．8．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题： ①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m β，则α∥β．其中所有真命题的序号是 ▲ ．（第5题图）9．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ▲ ． 10．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ▲ ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲ ．12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为． 14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c2的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2ca ．（1）求B ；（2）若cos(C ＋π6)＝13，求sin A 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面P AD ，△P AD 是正三角形， DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱P A 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AEPE 的值；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.PAB CDOE （第16题图）17．(本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A a ＋b t n ，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ）．（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程；（2）求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．20．(本小题满分16分)已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…， b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．（1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求ba的值；（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．。

2014届高三年级数学学情调研卷(4)

21． B．选修 4—2：矩阵与变换设 a＞0，b＞0，若矩阵 A＝（1）求 a，b 的值；
2 2 a 0 把圆 C：x2＋y2＝1 变换为椭圆 E：x ＋y ＝1． 4 3 0 b
－
（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A 1．
C．选修 4—4：坐标系与参数方程 π 在极坐标系中，已知圆 C：ρ＝4cosθ 被直线 l：ρsin(θ－ )＝a 截得的弦长为 2 3，求实数 a 的值． 6
16．如图，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点．（1）若平面 ABC⊥平面 BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B//平面 ADC1．
A1 B1
C1
A B (第 16 题)
C D
17．经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为 E＝kv3t，其中 v 为鲑鱼在静水中的速度， t 为行进的时间(单位：h)，k 为大于零的常数．如果水流的速度为 3 km/h，鲑鱼在河中逆流行进 100 km．（1）将鲑鱼消耗的能量 E 表示为 v 的函数；（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?
【必做题】
22．如图，PA⊥平面 ABCD，AD//BC，∠ABC＝90° ，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E 是 PB 的中点．（1）求证：AE⊥平面 PBC；（2）求二面角 B－PC－D 的余弦值．
E A C (第 22 题) D P
B
23．在一个盒子中有大小一样的 7 个球，球上分别标有数字 1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出 3 个球，设随机变量 X 为摸出的 3 个球上的数字和．（1）求概率 P(X≥7)；（2）求 X 的概率分布列，并求其数学期望 E(X)．

2014届高三年级数学学情调研卷(5)

2014届高三年级数学学情调研卷(5)一、填空题:（每小题5分，共70分）1、函数x x y 2cos 32sin +=的小正周期是．2、直线l 经过点)1,2(-，且与直线0532=+-y x 垂直，则l 的方程是．3、复数z 满足i i i z 73)2(+=-，则复数z 的模等于．4、某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的数据如下表：由此可以估计该校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间为小时． 5、已知函数b a x f x+=)(()10≠>a a 且r 图象如若图所示，则b a +的值是．6、如图，将一个棱长为3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成棱长为1的小正方体，从中任取一块至少有两面涂有蓝色的概率是．7、已知全集R U =，集合}{lg(2)1A x |x =-<，}{220B x |x x =--<，则B C A U = ．8、抛物线x y 42=上一点A 到焦点的距离为5，则点A 到x 轴的距离是．9、在直角ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ，1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则 ⋅= ．10、在ABC ∆中角C B A ,,所对的边分别为a,b,c ，cos 5a B =，sin 12b A =，则=a ．11、已知数列{}n a 满足()*115132,37n n n a a a n N a +-==∈-,则数列{}n a 的前100项的和为．12、执行如图所示的程序框图，则输出的=s ． 13、下列四个命题：①”“b a >是”22“ba>成立的充要条件；②”“b a =是lg lg a b =“”成立的充分不必要条件；③函数)()(2R x bx ax x f ∈+=为奇函数的充要条件是”0“=a ④定义在R 上的函数)(x f y =是偶函数的必要条件是”1)(“=-x f ．B1C1A1BCAED其中真命题的序号是．（把真命题的序号都填上）14、已知函数)3||(log )(31+-=x x f 定义域是],[b a ),(z b a ∈，值域是]0,1[-，则满足条件的整数对),(b a 有对．二、解答题15、已知α为锐角，54sin =α，31)tan(=-βα，求α2cos 和βtan 的值．16、如图，在棱长都相等的正三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别为1AA ，C B 1的中点．（1）求证：ABC DE 平面||；（2）求证：BDE C B 平面⊥1．17、已知点M 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F ．（1）若圆M 与y 轴相切，求椭圆的离心率；（2）若圆M 与y 轴相交于B A ,两点，且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．18、某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s ．一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s ），匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/S ，根据安全和车流的需要，当100≤<x 时，相邻两车之间保持20m 的距离；当0210≤<x 时，相邻两车之间保持)31612x x +（m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为(s)y ．（1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．19、设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，数列{}n b 为等比数列，且211==b a ，225b S =，3425b S =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式n a 及n b ；（2）设数列{}n c 满足n n n b S c ⨯=，问当n 为何值时，n c 取得最大值？20、已知函数x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈ （1）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为b x y +=，求b a ,的值；（2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围；（3）讨论方程0)(=x f 解的个数，并说明理由．2014届高三年级数学学情调研卷(5)数学附加题21．[选做题] B ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量． C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值．[必做题]22．设,m n N ∈,()(12)(1)m nf x x x =+++．（1）当m n ==2011时,记220110122011()f x a a x a x a x=+++⋅⋅⋅+，求0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-；（2）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值．23．有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第(1,2,3)n n =关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于2n 时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立．（1）求仅闯过第一关的概率；（2）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．A1BCAD 2014届高三年级数学学情调研卷(5)参考答案一、填空1、π；2、0423=++yx；3、25；4、9.0；5、2-；6、2720；7、{}124|<≤xx；8、49、1-；10、13；11、200；12、87；13、①③；14、5二、解答题15、解：54sin=α257)54(21sin212cos22-=⨯-=-=∴ααα为锐角53s i n1c o s2=-=∴αα34cossintan==ααα139)tan(tan1)tan(tan)](tan[tan=-+--=--=βααβααβααβ16、（1）取BC中点G，连结EGAG,，EG,分别为1,CBCB的中点，1||BBEG∴，且121AAEG=又正三棱柱111CBAABC-，ADEGADEG=∴,||∴四边形ADEG为平行四边形．DEAG||∴A B CDEABCAG平面平面⊄⊂,所以A B CDE平面||（1）由可得，取BC中点G正三棱柱111CBAABC-，ABCBB平面⊥∴1．⊂AG平面ABC，1BBAG⊥∴，G为BC的中点，ACAB=，BCAG⊥∴CCBBAG11平面⊥∴，CCBBCB111平面⊂，CBAG1⊥∴DEAG||CBDE1⊥∴B D E DE BDE BE 平面平面⊂⊂, E DE BE =⋂BDE C B 平面⊥∴117、解：（1）设),(00y x M ，圆M 的半径为r ．因为椭圆的右焦点的坐标为)0,(c ，圆M 与x 轴相切于点F ，所以轴x MF ⊥，所以 ||,00y r c x == ①因为点M 在椭圆上，所以 1220220=+bya x将上式代入上式得 12222=+b r a c ，22222221a c a a c b r -=-= 因为 222b c a =- 所以 2222ab b r = 即：a b r 2= ②又因为圆M 与y 轴相切，所以M 到y 轴的距离等于半径r ，即：||0x r = ③由①，②，③得 c ab =2即：ac b =2 从而得 022=-+a ac c两边同除以2a ，得：（012=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，a c e =，012=-+e e解得：251±-=e 因为 )1,0(∈e 215-=e ．（2）如图，因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2=r ，M 到圆y 轴的距离3=d 又由（1）知：ab r 2=，c d =所以，3=c ，22=ab 又因为 222c b a =- 从而有 0322=--a a 解得：3=a 或 1-=a （舍去）622==a b所求椭圆方程是：16922=+y x 18、（1）解：当100≤<x 时，y 3780)155(2055102150=-⨯+⨯+=当2010≤<x 时，xx x y )155()3161(551021502-⨯++⨯+= 1892700++=x x所以，⎪⎩⎪⎨⎧≤<++≤<=)2010(1892700)100(3780x x xx x y（2）当]10,0(∈x 时，在10=x 时，)(378103780m in s y ==当]20,10(∈x 时，318018270092181892700+=⋅⨯+≥++=xx x x y )(4.329s ≈ 当且仅当xx 27009=，即：)/(3.17s m x ≈时取等号．因为 ]20,10(3.17∈，所以当)/(3.17s m x =时，)(4.329m in s y = 因为 4.329378>所以，当车队的速度为)/(3.17s m 时，车队通过隧道时间y 有最小值)(4.329s ． 19、（1）解：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ．则 d d a S d a S 682344,21412+=⨯+=+=，q b 22=,232q b = 从而由 225b S =，3425b S =得：⎩⎨⎧=+=+25068104qq qd 消去d 得，0830252=+-q q ，解得：54=q 或52=q ．代入得 4=d 或0=d ，因为0≠d ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==520q d 舍去．所以⎪⎩⎪⎨⎧==544q d 所以 244)1(2-=-+=n n a n ，11)54(22--==n n n q b（2）2122)1(n d n n na S n =-+= 12)54(4-=⋅=∴n n n n n b S C假设n c 最大，因为 564,421==c c 所以 21c c < 2≥n 所以由n c 最大，得⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n c c c c 即：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≥---21212)54)(1(4)54(4)54)(1(4)54(4n n n n n n n n化简得，⎩⎨⎧≤+-≥--051004822n n n n 解得：205204+≤≤+n5204<< 108<<∴n*∈N n 9=n即：当9=n 时，n c 最大． 20、解：（1）因为：xax x f -=')( )0(>x ，又)(x f 在2=x 处的切线方程为 b x y +=所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-12222ln 2a b a 解得：,2=a 2ln 2-=b （2）若函数)(x f 在),1(+∞上恒成立．则0)(≥-='xax x f 在),1(+∞上恒成立，即：2x a ≤在),1(+∞上恒成立．所以有 1≤a（3）当0=a 时，)(x f 在定义域),0(+∞上恒大于0，此时方程无解；当0<a 时，0)(>-='xax x f 在),0(+∞上恒成立，所以)(x f 在定义域),0(+∞上为增函数． 021)1(>=f ，0121)(221<-=a e e f ，所以方程有惟一解．当0>a 时，xa x a x x a x x a x x f ))(()(2-+=-=-='因为当),0(a x ∈时，0)(>'x f ，)(x f 在),0(a 内为减函数；当),(+∞∈a x 时，)(x f 在),(+∞a 内为增函数．所以当事人a x =时，有极小值即为最小值)ln 1(21ln 21)(a a a a a a f -=-=．当),0(e a ∈时，0)ln 1(21)(>-=a a a f ，此方程无解；当e a =时，.0)ln 1(21)(=-=a a a f 此方程有惟一解a x =．当),(+∞∈e a 时，0)ln 1(21)(<-=a a a f 因为021)21(>=f 且a <1，所以方程0)(=x f 在区间),0(a 上有惟一解，因为当1>x 时，0)ln (>'-x x ，所以 1ln >-x x所以 ax x x a x x f x x ->-=>2221ln 21)(,ln 因为 12>>a a ，所以 02)2(21)(22=->a a x f 所以方程0)(=x f 在区间),(+∞a 上有惟一解．所以方程0)(=x f 在区间),(+∞e 上有惟两解．综上所述：当),0[e a ∈时，方程无解；当e a a =<或0时，方程有惟一解；当e a >时方程有两解．2014届高三年级数学学情调研卷(5)数学附加题参考答案21．B. 解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y 0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量 ……………………………………8分同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………………………………………10分C. 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--………………………………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =，则MC =分所以1MN MC r +=≤……………………………………………………………………………10分 22.解：（Ⅰ）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-………………………4分（Ⅱ）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-,则2x 的系数为2222m n C C + 2(1)(1)1422(202)(192)222m m n n m m m m --=⨯+=-+--=2441190m m -+ ……………7分所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85…………………………10分23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则339()41664P A =⋅= ……………………4分（Ⅱ）由题意得, ξ的取值有0,1,2,3,且1(0)4p ξ==, 9(1)64p ξ==, (2)p ξ==3135641664⋅⋅273512=, (3)p ξ==313841664⋅⋅39512=, 即随机变量ξ的概率分布列为:分所以,19273397350123464512512512E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (10)。

2014南京高三三模数学试题

江苏省南京市2014届高三数学综合题(终稿)Word版含答案

南京市2014届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23或k ＝1．【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等．2．如图：梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－12，则AD →·BC →＝．【答案】0．【提示】以AB →，AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →，则AC →·BD →＝AD →2－23AB →·AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60o ，则AD →·BC →＝AD →·(AC →－AB →)＝AD →·(AD →－23AB →)＝AD →2－23AB →·AD →＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α 、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l 与两平面α 、β均平行； ②必存在直线l 与两平面α 、β均垂直； ③必存在平面γ与两平面α 、β均平行； ④必存在平面γ与两平面α 、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2πr l ＝3π，且12·2πr ·l ＝23π，解得l ＝2，r ＝3，所以圆锥高h ＝1，则体积V ＝13πr 2h ＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小值时，切线l 的方程为____________．【答案】x ＋y －2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y 2=4x 的焦点，则双曲线的方程为．【答案】x 24－y 212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1、C 2、C 3依次为y ＝2log 2x 、y ＝log 2x 、y ＝k log 2x (k 为常数， 0＜k ＜1)．曲线C 1上的点A 在第一象限，过A 分别作x 轴、y 轴的平行线交曲线C 2分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线C 3于点C ．若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是___________．【答案】12．【提示】设A (t ，2 log 2t )(t ＞1)，则B (t 2，2 log 2t )，D (t ，log 2t )，C (t 2，2k log 2t )，则有log 2t ＝2k log 2t ，由于log 2t ＞0，故2k ＝1，即k ＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据． *8．已知实数a 、b 、c 满足条件0≤a ＋c －2b ≤1，且2a ＋2b ≤21＋c，则2a －2b2c 的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a ＋2b ≤21＋c 得2a －c ＋2b －c ≤2，由0≤a ＋c －2b ≤1得0≤(a －c )－2(b －c )≤1，于是有1≤2(a －c )－2(b －c )≤2，即1≤2a －c 22(b －c )≤2．设x ＝2b －c ，y ＝2a －c ，则有x ＋y ≤2，x 2≤y ≤2x 2，x ＞0，y ＞0，2a －2b2c ＝y －x ．在平面直角坐标系xOy 中作出点(x ，y )所表示的平面区域，并设y －x ＝t ．如图，当直线y －x ＝t 与曲线y ＝x 2相切时，t 最小．此时令y′＝2x ＝1，解得x ＝12，于是y ＝14，所以t min ＝14－12＝－14．当直线过点A 时，t 最大．由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＋y ＝2，解得A (－1＋174，9－174)，所以t max ＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a －2b 2c 的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q 的取值集合是．【答案】{－1＋52，1＋52}．【提示】因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则①若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2q 2＝1＋q 3，整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得 q 2＝q ＋1，又q ＞0解得q ＝1＋52；②若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q ≠1，则可得q (q ＋1)＝1，又q ＞0解得 q ＝－1＋52．综上所述，q ＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值等于___________．【答案】16．【提示】设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0得 a 1＝－765d ，d ＞0，所以a n ＝(n －815)d ，从而可知1≤n ≤16时，a n ＞0， n ≥17时，a n ＜0．从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞……＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16．因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝45d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故S n 中S 16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．二、解答题11．三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin B ＝3cos B ． (1)若cos A ＝13，求sin C 的值；(2)若b ＝7，sin A ＝3sin C ，求三角形ABC 的面积．解 (1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35．又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．AEDCB由正弦定理知b sin B ＝csin C，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334．【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性． 12．三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，3sin B )，c ＝(1，－1)． (1)若a ·c ＝1，求角A 的大小；(2)若a //b ，求当A －B 取最大时，A 的值．解 (1)a ·c ＝3cos A －sin A ＝2cos(A ＋π6)＝1，则cos(A ＋π6)＝12．因为A ∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，则A ＋π6＝π3，则A ＝π6．(2)因为a //b ，所以3cos A ·3sin B ＝sin A ·cos B ，则tan A ＝3tan B ．由于A 、B 为三角形内角，则A 、B 只能均为锐角，即tan A ＞0，tan B ＞0． tan(A －B ) ＝tan A －tan B 1＋tan A ·tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝2 1tan B＋ 3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B 时，B ＝π6取“＝”号．又A －B ∈(－π2，π2)，则A －B 的最大值为π6，此时A ＝π3．所以，当A －B 的最大时，A ＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值． 13．如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE //面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO ⊂面DBC ，所以DO ⊥面ABC ．又AE ⊥面ABC ，则AE //DO ．又AE ⊂/ 面DBC ，DO ⊂面DBC ，故AE // 面DBC ． (2)由（1）知DO ⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以DO ⊥AB ．又AB ⊥BC ，且DO ∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ，则AB ⊥面DBC ．因为DC ⊂面DBC ，所以AB ⊥DC ．又BD ⊥CD ，AB ∩DB ＝B ，AB ，DB ⊂面ABD ，则DC ⊥面ABD ．又AD ⊂ 面ABD ，故可得AD ⊥DC ．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o ．在面ABC 中，AB ＝23，BC ＝4，M 为BC 的中点，过A 1，B 1，M 三点的平面交AC 于点N ． (1)求证：N 为AC 中点； (2)平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．BA 1B 1C 1MN A解 (1)由题意，平面ABC //平面A 1B 1C 1，平面A 1B 1M 与平面ABC 交于直线MN ，与平面A 1B 1C 1交于直线A 1B 1，所以MN // A 1B 1．因为AB // A 1B 1，所以MN //AB ，所以CN AN ＝CMBM．因为M 为AB 的中点，所以CNAN ＝1，所以N 为AC 中点．(2)因为四边形A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o ．在三角形A 1AN 中，AN ＝1，AA 1＝2，由余弦定理得A 1N ＝3，故A 1A 2＝AN 2＋A 1N 2，从而可得∠A 1NA ＝90o ，即A 1N ⊥AC ．在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，BC ＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o，即AB ⊥AC ．又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ，所以AC ⊥平面A 1B 1MN ．又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a2时，y ＝a 3．(1)求产品增加值y 关于x 的表达式； (2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f (x )＝8(a －x )x 2 ，x ∈(0，2am2m ＋1]．(2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3．①当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a3)上是增函数，当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am2m ＋1)上是减函数，所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3； ②当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am2m ＋1)上是增函数，所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3，综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3．当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3．【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．16．如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6．设S 的眼睛距地面的距离按3米．(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解 (1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝3．因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米. (2) 方法一：连结SM ，SN ，设ON ＝a ，OM ＝b ．在△SON 和△SOM 中，(23)2＋1－b 22·23·1＝－(23)2＋1－a 22·23·1，得a 2＋b 2＝26．cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12．又∠MSN ∈(0，π)，则∠MSN ＜π3．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．方法二提示:设∠MOS ＝θ，建立cos ∠MSN 关于θ的关系式，求出cos ∠MSN 最小值为1113，从而得到∠MSN ＜π3．方法三提示:假设∠MSN ＝π3，设ON ＝a ，OM ＝b ，联立a 2＋b 2＝26和a 2＋b 2－ab ＝4消元，判断方程是否有解．方法四提示：计算过S 点作圆O (1为半径)的两切线夹角大于60o ．也可合理建系．【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10米，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A (2，2)．设点A 处的切线方程为y －2＝k (x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0．则△＝4－4k (4－4k )＝0，解得k ＝12．故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6．（2）由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5．又CF ＝1，则CD ＝6．答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5，考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力．解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注．18．如图，在RtΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与RtΔABC 的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为RtΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为RtΔABC 外接圆的圆心．又AM ＝22，从而RtΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b2＝2，化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4．当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．19．如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1)求点A ，B 所在的曲线L 方程；(2) 过 L 上点C (－2，0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l //OA ．求证：CD ·CE OA 2为定值．解 (1)因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8所以两点A ，B 到M ，N 的距离之和均为4>23由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1．曲线L 方程为x 24＋y 2＝1（y ≠0）．(2)由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4因为点C (－2，0)在曲线上，则D (－8k 2＋21＋4k 2，4k1＋4k 2)，E (0，2k )，所以CD ＝41＋k 2 1＋4k2，CE ＝21＋k 2．因为OA //l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4．所以x 2A ＝4 1＋4k 2，y A 2＝4k ２ 1＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k ２ 1＋4k 2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值．【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明． 20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B的任意一点，直线AP 交l 于点M ．(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；*(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标. 解：(1)由题意得2c ＝2 ，所以c ＝1，又2a 2＋32b2＝1．消去a 可得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2＝－12(舍去)，则a 2所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝y 1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2，则k 1k 2＝4y 212(x 21－4)．因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，则k 1k 2＝4y 212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)方法一：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1(x －2)＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1[(x －2)＋4y 124－x 12]＝2－x 1y 1[(x －2)＋12－3x 124－x 12]＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．方法二：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1(x －2)，若P 为(0，3)，则m 的方程为y ＝233x ＋233，若P 为(0，－3)，则m 的方程为y ＝－233x －233，两直线方程联立解得Q (－1，0)．因为k MQ ·k 2＝4y 13(x 1＋2)·y 1x 1－2＝4y 123(x 12－4)＝12－3x 123(x 12－4)＝－1，所以Q 在过M 且与BP 垂直的直线上，所以直线m 过定点(－1，0)．【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题．其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明．21．已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b (a ，b ，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程；②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．* (2)若λ＝1，b ＜a ，求证：不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值．解 (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x (x 2－1)2，可得f ′(2)＝－42，又f (2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－42(x －2)，即42x ＋y －10＝0． ②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b，则f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b；(Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧4b －1，－13＜b ＜0，9b －92－6b，b ≤－13．(2) f (x )≥1即1x －a ＋1x －b≥1．……………………(*)①当x ＜b 时，x －a ＜0，x －b ＜0，此时解集为空集．②当a ＞x ＞b 时，不等式(*)可化为 (x －a )＋(x －b )≤(x －a )(x －b )，展开并整理得，x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≥0，设g (x )＝x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )，因为△＝(a －b )2＋4＞0，所以g (x )有两不同的零点，设为x 1，x 2(x 1＜x 2)，又g (a )＝b －a ＜0，g (b )＝a －b ＞0，且b ＜a ，因此b ＜x 1＜a ＜x 2，所以当a ＞x ＞b 时，不等式x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≥0的解为b ＜x ≤x 1． ③当x ＞a 时，不等式(*)可化为 (x －a )＋(x －b )≥(x －a )(x －b )，展开并整理得，x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≤0，由②知，此时不等式的解为a ＜x ≤x 2综上所述，f (x )≥1的解构成的区间为(b ，x 1]∪(a ，x 2]，其长度为(x 1－b )＋(x 2－a )＝x 1＋x 2－a －b ＝a ＋b ＋2－a －b ＝2．故不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值2．【说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式．其中第(2)问涉及不常考的解一元二次不等式分类讨论问题，注意比较a 、b 与两根的大小． 22．已知函数f (x )＝ln x (x ＞0)．(1)求函数g (x )＝f (x )－x ＋1的极值；*(2)求函数h (x )＝f (x )＋|x －a |(a 为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ln x －x ＋1，g′(x )＝1x －1＝1－x x ，当0＜x ＜1时，g′(x )＞0；当x ＞1时，g′(x )＜0，可得g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )有极大值为g (1)＝0，无极小值． (2)h (x )＝ln x ＋|x －a |．当a ≤0时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，h (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋x －a ，x ≥a ，ln x －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(a ，＋∞)上单调递增； ②当0＜x ＜a 时，h (x )＝ln x －x ＋a ，h ′(x )＝1x －1＝1－x x．当0＜a ≤1时，h ′(x )＞0恒成立，此时h (x )在(0，a )上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′(x )＞0，当1≤x ＜a 时h ′(x )≤0，所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，a )上单调递减．综上，当a ≤1时，h (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞1时，h (x )增区间为(0，1)，(a ，＋∞)；减区间为(1，a )．(3)不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，即(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；ln x ＜0，则(x 2－1)ln x ＞0；当x ≥1时，x 2－1≥0；ln x ≥0，则(x 2－1)ln x ≥0．因此当x ＞0时，(x 2－1)ln x ≥0恒成立．又当k ≤0时，k (x －1)2≤0，故当k ≤0时，(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2恒成立．下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，(x 2－1)ln x －k (x －1)2＝(x 2－1)[ln x －k (x －1)x ＋1]．设h (x )＝ln x －k (x －1)x ＋1( x ＞0且x ≠1)，h ′(x )＝1x －2k (x ＋1)2＝x 2＋2(1－k )x ＋1x (x ＋1)2．记△＝4(1－k )2－4＝4(k 2－2k )．①当△≤0，即0＜k ≤2时，h ′(x )≥0恒成立，故h (x )在(0，1)及(1，＋∞)上单调递增．于是当0＜x ＜1时，h (x )＜h (1)＝0，又x 2－1＜0，故(x 2－1) h (x )＞0，即(x 2－1)ln x ＞k (x －1)2．当x ＞1时，h (x )＞h (1)＝0，又x 2－1＞0，故(x 2－1) h (x )＞0，即(x 2－1)ln x ＞k (x －1)2．又当x ＝1时，(x 2－1)ln x ＝k (x －1)2．因此当0＜k ≤2时，(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立．②当△＞0，即k ＞2时，设x 2＋2(1－k )x ＋1＝0的两个不等实根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)．函数φ(x )＝x 2＋2(1－k )x ＋1图像的对称轴为x ＝k －1＞1，又φ(1)＝4－2k ＜0，于是x 1＜1＜k －1＜x 2．故当x ∈(1，k －1)时，φ(x )＜0，即h ′(x )＜0，从而h (x )在(1，k －1)在单调递减；而当x ∈(1，k －1)时，h (x )＜h (1)＝0，此时x 2－1＞0，于是(x 2－1) h (x )＜0，即(x 2－1)ln x ＜k (x －1)2，因此当k ＞2时，(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 不恒成立．综上，当(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立时，k ≤2，即k 的取值范围是(－∞，2]．【说明】本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想．第三问比较难，两个注意：①适当变形后研究函数h (x )；②当k ＞2时，区间(1，k －1)是如何找到的．23．已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )．(1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围； *(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．解 (1)证明：f ′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f ′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．(2)因为f ′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ．设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． (3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F ′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G ′(x )＝F ′(x )－F ′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G ′(x )＜0．则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F ′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)得证．同理可以证明：F ′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F ′(x 2)，难度稍大．24．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2，n ∈N *)具有性质P ：∀i ，j (1≤i ≤j ≤n )， a i ＋a j 与a j －a i 两数中至少有一个属于A ．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P ，并说明理由；(2)证明：a 1＝0；*(3)证明：当n ＝5时，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列．证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P ．(2)因为A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，所以a n ＋a n 与a n －a n 中至少有一个属于A ，又a n ＋a n ＞a n ，所以a n ＋a n ∈∕A ，所以a n －a n ∈A ，即0∈A ，又a 1≥0，a 2＞0，所以a 1＝0；(3)当 n ＝5时，取j ＝5，当i ≥2时，a i ＋a 5＞a 5，由A 具有性质P ，a 5－a i ∈A ，又i ＝1时，a 5－a 1∈A ，所以a 5－a i ∈A ，i ＝1，2，3，4，5．因为0＝a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，所以a 5－a 1＞a 5－a 2＞a 5－a 3＞a 5－a 4＞a 5－a 5＝0，则a 5－a 1＝a 5，a 5－a 2＝a 4,a 5－a 3＝a 3，从而可得a 2＋a 4＝a 5，a 5＝2a 3，故a 2＋a 4＝2a 3，即0＜a 4－a 3＝a 3－a 2＜a 3，又因为a 3＋a 4＞a 2＋a 4＝a 5，所以a 3＋a 4∈∕A ，则a 4－a 3∈A ，则有a 4－a 3＝a 2＝a 2－a 1．又因为a 5－a 4＝a 2＝a 2－a 1，所以a 5－a 4＝a 4－a 3＝a 3－a 2＝a 2－a 1＝a 2，即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为0，公差为a 2的等差数列．【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题．对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口．25．设M ⊂≠N *，正项数列{a n }的前项积为T n ，且∀k ∈M ，当n ＞k 时，T n ＋k T n －k ＝T n T k 都成立． (1)若M ＝{1}，a 1＝3，a 2＝33，求数列{a n }的前n 项和；(2)若M ＝{3，4}，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ≥2时，因为M ＝{1}，所以T n ＋1T n －1＝T n T 1，可得a n ＋1＝a n a 12，故a n ＋1a n＝a 12＝3(n ≥2)．又a 1＝3，a 2＝33，则{a n }是公比为3的等比数列，故{a n }的前n 项和为3(1－3n )1－3＝32·3n －32． (2)当n ＞k 时，因为T n ＋k T n －k ＝T n T k ，所以T n ＋1＋k T n ＋1－k ＝T n ＋1T k ，所以T n ＋k T n －k T n ＋1＋k T n ＋1－k ＝T n T k T n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1，因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12；取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12．由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………………①由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………………②数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，…………………③数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…………④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 3；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝q q 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42，所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝22．又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1·2．【说明】本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法． *26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1= S t 1，当n ≥2时，M n = S t n －S t n －1，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若不存在，说明理由．解：（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n 2， ①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3，此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12，此时S t n ＝3n －12(1＋3n －12)2，S t n －1＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2，则M n ＝S t n －S t n －1＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2，所以M n 为一整数平方．因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方．（3）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以S t n ＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12，因为q 为正有理数，所以设q ＝r s(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)．因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数．若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12s n －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12 (1＋q ＋q 2)，于是t 32 t 12＝1＋q ＋q 2．因为1＋q ＋q 2∈N *，所以t 32t 12∈N *．又t 3t 1为有理数，从而t 3t 1必为整数，即1＋q ＋q 2为一整数的平方．但q 2＜1＋q ＋q 2＜(q ＋1) 2，即1＋q ＋q 2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n }．【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质，考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力．对于新构造的函数，可以尝试列举，了解构造的过程和含义，从中观察发现规律或寻找突破口．对于存在性问题，也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口．*27．已知(1＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ．(1)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n 的值；(2)求1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n的值．解 (1)令x ＝0得，a 0＝1；令x ＝1得，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n ＝22n ．于是a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n ＝22n －1．(2)a k ＝C k 2n ，k ＝1，2，3，…，2n ，首先考虑1 C k 2n ＋1＋1 C k ＋12n ＋1＝k !(2n +1－k )!(2n ＋1)!＋(k ＋1)!(2n －k )!(2n ＋1)!＝k !(2n －k )!(2n ＋1－k ＋k ＋1)(2n ＋1)! ＝k !(2n －k )!(2n ＋2)(2n ＋1)!＝2n ＋2(2n ＋1) C k 2n，则1 C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1 C k ＋12n ＋1)，因此1C k2n－1C k＋12n＝2n＋12n＋2(1C k2n＋1－1C k＋22n＋1)．故1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n＝2n＋12n＋2(1C12n＋1－1C32n＋1＋1C32n＋1－1C52n＋1＋…＋1C2n－12n＋1－1C2n＋12n＋1)＝2n＋12n＋2(1C12n＋1－1C2n＋12n＋1)＝2n＋12n＋2(12n＋1－1)＝－nn＋1．【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下．。

2014届高三调研测试试卷南京、盐城卷数学答案

南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试一、填空题1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则A B =I .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Pr int S For I From To S S I End For S←←+ 5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = . 6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 . 7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅ 的最小值为 .12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间；（3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<< ，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.2014届高三调研测试试卷(一)(南京、盐城)数学参考答案及评分标准试卷勘误：第16题第(1)小题“求证：BF ∥平面A 1EC 1”更正为“求证：BF ∥平面A 1EC ”．1. {1，2}2. －33. 234. 555. 2656. y ＝±3x7. 68. 33 9. 必要不充分10. x ＋y －3＝0 11. －23 12. ⎣⎡⎦⎤1e ，e 13. {10} 14. 5972 15. 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.(2分)因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(7分)(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.(10分)当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.(13分)所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.(14分)16. 证明：(1) 连AC 1交A 1C 于点O ，连结OE 、OF ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1. 因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1，且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE.(4分) 又BF 平面A 1EC ，OE 平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC.(7分)(2) 由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC.(9分)因为AA 1⊥底面ABC ，而BF 底面ABC ，所以AA 1⊥BF.由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1、AC 平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1.(12分)因为OE 平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.(14分) 17. 解：(1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，(4分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，即9≤x ≤15.所以x 的取值范围是[9，15]．(7分)(2) 记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y ＝a ×π×⎝⎛⎭⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a11×⎣⎡⎦⎤104－π×⎝⎛⎭⎫15x 22－πx 2 ＝a 11⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，(10分) 令f(x)＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f′(x)＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝⎛⎭⎫125x 2－x ＋6.由f′(x)＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15，(12分) 列表如下：x 9 (9，10) 10 (10，15) 15 f′(x) －0 ＋ 0 f(x)极小值所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低．(14分) 18. 解：(1) 由题意，得2a ＝（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＋（1＋1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，即a＝2.(2分)又c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 因为B ⎝⎛⎭⎫85，335，所以P ⎝⎛⎭⎫－85，－335.又F(1，0)，所以k AB ＝3，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．(7分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3（x －1），解得A(0，－3)．(9分)所以直线PA 的方程为y ＝－34x －3，即3x ＋4y ＋43＝0.(10分) (3) 当直线AB 斜率k 不存在时，易得y M y N ＝－9.当直线AB 斜率k 存在时，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则P(－x 2，－y 2)，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，得（x 2＋x 1）（x 2－x 1）4＝－（y 2＋y 1）（y 2－y 1）3，所以（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝－34＝k PA k ，所以k PA ＝－34k .(12分)所以直线PA 方程为y ＋y 2＝－34k(x ＋x 2)，所以y M ＝－34k (x 2＋4)－y 2＝－3（x 2＋4）（x 2－1）4y 2－y 2.因为直线PB 方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.(14分)所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）x 2－4y 22x 2.因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22，所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.(16分)19. 解：(1) 因为f′(x)＝e x ，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.(2分) 因为g′(x)＝2ax ＋b ，所以g′(0)＝b.又g(0)＝1，所以y ＝g(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1.所以当a ≠0且b ＝1时，曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在x ＝0处总有相同的切线．(4分) (2) 由a ＝1，h(x)＝x 2＋bx ＋1e x，所以h′(x)＝－x 2＋（2－b ）x ＋b －1e x ＝－（x －1）[x －（1－b ）]e x.(7分)由h′(x)＝0，得x ＝1或x ＝1－b.所以当b>0时，函数y ＝h(x)的减区间为(－∞，1－b)，(1，＋∞)；当b ＝0时，函数y ＝h(x)的减区间为(－∞，＋∞)；当b<0时，函数y ＝h(x)的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)．(10分) (3) 由a ＝0，则φ(x)＝f(x)－g(x)＝e x －bx －1，所以φ′(x)＝e x －b. ① 当b ≤0时，φ′>0，函数φ(x)在R 上单调递增．又φ(0)＝0，所以x ∈(－∞，0)时，φ(x)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾．(12分) ② 当b>0时，由φ′(x)>0，得x>lnb ；由φ′(x)<0，得x<lnb ，所以函数φ(x)在(－∞，lnb)上单调递减，在(lnb ，＋∞)上单调递增．当0<b<1时，所以lnb<0，又φ(0)＝0，所以φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾；当b>1时，同理φ(lnb)<0，与函数f(x)≥g(x)矛盾；当b ＝1时，lnb ＝0，所以函数φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以φ(x)≥φ(0)＝0，故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}．(16分)20. 解：(1) 设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，因为a 1＝2，解得d ＝23.(2分)所以S n ＝n （n ＋5）3.(4分)(2) ① 因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{ak n }的公比q>1. 要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝a 2a 1＝43，此时ak 3＝2·⎝⎛⎭⎫432＝329.由329＝23(n ＋2)，解得n ＝103 N *，所以k 2>2.同理k 2>3.(6分)若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时ak n ＝2n .因为ak n ＝23(k n ＋2)，所以23(k n ＋2)＝2n ，即k n ＝3×2n －1－2.所以对任何正整数n ，ak n 是数列{a n }的第3·2n －1－2项，所以最小的公比q ＝2，所以k n ＝3·2n －1－2.(10分)② 因为ak n ＝2k n ＋43＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q>1)．所以当q>1且q ∈N 时，所有的k n ＝3q n －1－2均为正整数，适合题意；当q>2且q N 时，k n ＝3q n －1－2∈N 不全是正整数，不合题意，所以q 为正整数．而6S n >k n ＋1有解，所以2n （n ＋5）＋23q n>1有解．经检验，当q ＝2，q ＝3，q ＝4时，n ＝1都是2n （n ＋5）＋23q n >1的解，适合题意．(12分)下证当q ≥5时，2n （n ＋5）＋23q n >1无解，设b n ＝2n （n ＋5）＋23q n，则b n ＋1－b n ＝2[（1－q ）n 2＋（7－5q ）n ＋7－q]3q n ＋1，因为5q －72－2q <0，所以f(n)＝2[(1－q)n 2＋(7－5q)n ＋7－q]在n ∈N *上单调递减．因为f(1)<0，所以f(n)<0恒成立，所以b n ＋1－b n <0，所以b n ≤b 1恒成立．因为当q ≥5时，b 1<1，所以当q ≥5时，6S n >k n ＋1无解．(15分) 综上所述，q 的取值为2，3，4.(16分)2014届高三调研测试试卷(一)(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A ．解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.(5分) 因为PC·PD ＝PA·PB ＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.(10分)B. 解：设曲线C 上一点(x′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y.(5分) 所以x′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，所以x′y′＝x ＋y 2·y －x2＝1，所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2.(10分)C. 解：直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a)2＋y 2＝a 2，(5分)依题意，得|4a －2|42＋（－3）2＝|a|，解得a ＝－2或29.(10分)D. 证明：因为x 1、x 2、x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.(10分)22. 解：(1) 由点A(1，2)在抛物线上，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x.(3分)设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1、C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(7分)(2) 另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.(10分) 23. 解：(1) 因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1，则(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)，共有2种情况，所以(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )共有2m 种不同的选择，所以A ＝2m .(5分)(2) 当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由(1)知有2m －1，所以共有2C 1m 2m －1种；当存在两个k 时，因为条件对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有≤4成立得这两组共有2C 2m 种，其余的由(1)知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m －2种；…，依次类推得：B＝2C1m2m－1＋2C2m2m－2＋…＋2C m m＝2(3m－2m)．(10分)。

2024-2025学年江苏省南京市高三上学期第一次学情调研数学试题及答案

南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}30A x x =->，{}2540B x x x =-+>，则A B = （）A.(,1)-∞ B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.(4,)+∞2.已知4x a =，log 3a y =，则x y a +=（）A.5B.6C.7D.123.已知||a = ，||1b = .若(2)a b a +⊥，则cos ,a b = （）A. B.4.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S .若36S =，63S =，则9S =（）A.18- B.9- C.9D.185.若α是第二象限角，4sin 2tan αα=，则tan α=（）A. B.6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若2PF QF =，PF QF ⊥，则PFQ △的面积为（）A.254 B.25 C.552D.55二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（）A.若1z +∈R ，则z R ∈B.若i z +∈R ，则z 的虚部为1-C.若||1z =，则1z =± D.若2z ∈R ，则z ∈R10.对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（）A.3()20P AB =B.()16P A B =C.9()10P A B +=D.1()2P AB =11.设函数18()|sin ||cos |f x x x =+，则（）A.()f x 的定义域为π,2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭Z B.()f x 的图象关于π4x =对称C.()f x 的最小值为D.方程()12f x =在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.01x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是___________.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线2BF 与C 相交于另一点A .当1cos F AB ∠最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）A 方案2812B 方案3030（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求()3P X =.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++，()0P x χ≥0.100.050.0250.0100.0110x 2.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，ACD △是边长为3的正三角形，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，2AM MD = ，2CN ND =.（1）求证：//EF 平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18.（本小题满分17分）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12F F =T 在C上.（1）求C 的方程（2）设直线l 过点(1,0)D ，且与C 交于A ，B 两点.①若3DA DB =，求12F F A △的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若||2PQ =，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知函数2()e31x af x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.24013.3π四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设0:8H 点前到单位与方案选择无关，则22100(28301230)40604258χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯.8003.94 3.841203=≈>，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当3X =时，则分两种情况：①若周一8点前到单位，则22214210.7C (10.5)0.580P =⨯-⨯=.（2）若周一8点前没有到单位，则33246(10.7)(10.5)0.580P C =-⨯-⨯=.综上，1227(3)80P X P P ==+=.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以//EF AC .因为2AM MD = ，2CN ND = ，即13DM DN DA DC ==，所以//MN AC ，所以//EF MN .又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以//EF 平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为ACD △为正三角形，所以DO AC ⊥.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则//OE BC .又因为AC BC ⊥，所以OE AC ⊥.以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎛ ⎝，33,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛- ⎝，10,2N ⎛ ⎝，故(3,BM =-- ，(0,1,0)MN =，33,2BD ⎛=-- ⎝.设平面MNB 的法向量为(,,)n x y z =，直线BD 与平面MNB 所成角为θ，则0,0,n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即320,0.x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩取n = .则sin cos ,BD n BD n BD nθ⋅=====，所以BD 与平面MNB.17.（本小题满分15分）解：（1）因为(1)2n n n a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n n n n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故{}n b 为等比数列，所以2λ=符合题意.（2）223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ 当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),, 23(1),. 2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为奇数为偶数因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可知c =，点T 在C 上，根据双曲线的定义可知122TF TF a -=，即24a =-=，所以2a =，则2222b c a =-=，所以C 的方程为22142x y -=.（2）①设()00,B x y ，()001,DB x y =-.因为3DA DB = ，所以()0033,3DA x y =-，所以A 点坐标为()0032,3x y -，因为A ，B 在双曲线C 上，所以()()220022001,423231,42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩解得03x =，0y =，所以A点坐标为7,⎛ ⎝，所以12121122F F A A S y F F =⨯=⨯=△②当直线l 与y 轴垂直时，此时4PQ =不满足条件.设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，(),0Q Q x .直线l 与C 联立221,421,x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()222230t y ty -+-=，所以12222t y y t +=--，12232y y t =--.由()22241220,20.t t t ⎧∆=+->⎪⎨-≠⎪⎩，得232t >且22t ≠.以AB 为直径的圆方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，令0y =，可得()21212120x x x x x x y y -+++=，则P x ，Q x 为方程的两个根，所以12P Q x x x x +=+，1212P Q x x x x y y =+，所以P Q PQ x x =-======2==.解得22t =-（舍）或253t =，即t=，所以直线l 的方程为：330x ±-=.19.（本小题满分17分）解：（1）当1a =时，12()e31x f x x x -=+-+，则1()e 23x f x x -=+-，所以曲线()y f x =在1x =处切线的斜率(1)0k f '==.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程为0y =.（2）1(1)e21af a -=-+，()e 23x a f x ax a -'=+-，则1(1)e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x af x a -''=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为111(1)ee 10af a --'=-<-=，2()123(21)(1)0f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的0(1,)x a ∈，使得()00f x '=.当()01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又因为10(1)e21e 210af a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<.又因为3(3)e10af -=+>，所以当1a >时，()f x 在[1,)+∞上有且只有一个零点.（3）①当1a >时，10(1)e 21e 210af a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，所以1a >不满足题意.②当1a ≤时，(0)e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，()e 2x a f x a -''=+，(0)e 2a f a -''=+.记函数()e 2xq x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当(ln 2,1)x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在(ln 2,1)-单调递增；当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()q x 在(,ln 2)-∞-单调递减，所以()(ln 2)22ln 20q x q ≥-=->，所以(0)0f ''>.又因为()f x ''在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''''≥>，所以()f x '在[0,)+∞上单调递增.（i ）若(0)e30af a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若(0)e30af a -'=-<，可得0a >，则01a <≤.因为1(1)e 0af a -'=-≥，且()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一的1(0,1]x ∈，使得()10f x '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中1(0,1]x ∈，且11e 230x aax a -+-=.所以()12111()e 31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为1(0,1]x ∈，所以21153[1,3)x x -+∈-.又因为(0,1]a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(,1]-∞.。

2014届数学试题选编12：等差数列及其前n项和(教师版)-Word版含答案-(1)(1)

(Ⅱ)已知数集具有性质 .
①求证: ;
②判断数列是否为等差数列,若是等差数列,请证明;若不是,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)由于和都不属于集合 ,所以该集合不具有性质 ;
由于、、、、、、、、、都属于集合 ,所以该数集具有性质
(Ⅱ)① 具有性质 ,所以与中至少有一个属于 ,
由 ,有 ,故 , ,
故
② , ,故 .
由具有性质知, ,
又 ,
,
即 ①
由知, , ,,, 均不属于 ,
由具有性质 , , ,,, 均属于 ,
,而 ,
, , ,,
即 ②
由①②可知 ,
即 ( ).故构成等差数列
．（2009高考(江苏)）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足
（1）求数列的通项公式及前项和；
【答案】8
．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）已知数列{ }的通项公式为 ,数列{ }的通项公式为 .若将数列{ },{ }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{ },则的值为_____.
【答案】961
．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）已知函数f(x)=,则f()+f()++f()=________________.
【答案】
．（2010年高考（江苏））设各项均为正数的数列的前n项和为 ,已知 ,数列是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式(用表示)
②设为实数,对满足的任意正整数 ,不等式都成立.求证: 的最大值为
【答案】(1) .
(2)由
．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）数列的前n项和为 ,存在常数A,B,C,使得对任意正整数n都成立.若数列为等差数列,求证 :3A-B+C=0.

南京市2014届高三数学综合试卷

南京市2014届高三数学综合题有答案
一、填空题
1．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0， ]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．
【答案】{ ，，1}．
【提示】由题意知，即，其中k Z，则k＝或k＝或k＝1．
【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等．
【答案】16．
【提示】设{an}的公差为d，由a12＝ a5＞0得a1＝－ d，d＞0，所以an＝(n－ )d，
从而可知1≤n≤16时，an＞0，n≥17时，an＜0．
从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，
故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．
③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．
其中正确的是___________．（填写正确命题序号）
【答案】①④．
【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．
【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．
4．圆锥的侧面展开图是圆心角为 π，面积为2 π的扇形，则圆锥的体积是______．
又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得q＝．
综上所述，q＝．
【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．
*10．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝ a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于___________．