16.数列的概念与简单表示法

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数列的概念与简单表示法教案

数列的概念与简单表示法教案一、教学目标1. 了解数列的概念，理解数列的表示方法，如通项公式、项的表示等。

2. 学会用图像和数学公式表示数列。

3. 能够运用数列的性质解决实际问题。

二、教学内容1. 数列的概念：数列是按照一定的顺序排列的一列数。

2. 数列的表示方法：a) 通项公式：数列中每一项的数学表达式。

b) 项的表示：用序号表示数列中的每一项。

3. 数列的图像表示：数列的图像通常为一条直线或曲线。

4. 数列的性质：数列的项数、公差、公比等。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、数列的表示方法、数列的图像表示。

2. 教学难点：数列的性质及其应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳数列的性质。

2. 利用多媒体展示数列的图像，增强学生的直观感受。

3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。

五、教学步骤1. 引入数列的概念，引导学生理解数列是按照一定顺序排列的一列数。

2. 讲解数列的表示方法，如通项公式、项的表示，让学生学会用数学公式表示数列。

3. 利用多媒体展示数列的图像，让学生了解数列的图像表示方法。

4. 分析数列的性质，如项数、公差、公比等，并引导学生运用数列的性质解决实际问题。

5. 进行课堂练习，巩固所学内容。

教案设计仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。

六、教学活动1. 课堂讲解：数列的概念与表示方法。

2. 实例分析：分析生活中常见的数列，如等差数列、等比数列。

3. 练习：求给定数列的前n项和。

七、数列的图像表示1. 讲解：数列图像的绘制方法。

2. 练习：绘制给定数列的图像。

八、数列的性质与应用1. 讲解：数列的性质及其应用。

2. 实例分析：运用数列的性质解决实际问题。

3. 练习：运用数列的性质解决给定问题。

九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结数列的概念、表示方法、图像表示和性质。

2. 强调数列在实际问题中的应用。

十、课后作业1. 习题：求给定数列的前n项和。

数列知识点总结(高中数学)

数列知识点总结数列的概念与简单表示法知识点一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，所以数列的一般形式可以写成： ,,,,,,321 n a a a a简记为{}n a 。

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列；4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列；知识点二、通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

知识点三、数列的前n 项和1.数列的前n 项和的定义：我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即n n a a a S +++= 21。

2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n等差数列知识点一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

知识点二、等差中项有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A 叫做b a 与的等差中项。

1.根据等差中项的定义：b A a ,,是等差数列，则2b a A +=；反之，若2ba A +=，则b A a ,,是等差数列。

2.在等差数列{}n a 中，任取相邻的三项()*+-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11，则n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项；反之，n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切*∈≥N n n ,2均成立，则数列{}n a 是等差数列。

数列的概念与简单表示法

第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1_____a n ；常数列⇔a n ＋1______a n .递增数列与递减数列统称为__________．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（n ＝1）_________，（n ≥2）_________.自查自纠：1．(1)项首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式法(解析式法) 列表法图象法递推公式法 2．(1)有穷数列无穷数列 (2)递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜＝单调数列 3．S 1 S n －S n －1典型例题讲练类型一数列的通项公式例题1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．变式1 写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)23，－1，107，－179，2611，…. (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1；(3)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n ＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）.类型二由前n 项和公式求通项公式例题2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1) ＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.变式2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b.解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.类型三由递推公式求通项公式例题3 写出下面各数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1；(2)a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：(1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a na n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n （n ＋1）2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.(3)解法一：(累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .∵a 1＝1，∴a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也适合上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 解法二：(迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1)＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.变式3 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.解：(1)∵当n ≥2时，a n －a n －1＝1n （n －1）＝1n －1－1n，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . 当n ＝1时，适合．故a n ＝3－1n .(2)∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，∴a n ＝2n （n －1）2.当n ＝1时，适合．故a n ＝2n （n －1）2.(3)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.类型四数列通项的性质例题4 已知数列{a n }，且a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)．求数列{a n }的最大项．解：因为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n 是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小．解：令a na n －1≥1(n ≥2)，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011nn ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n （n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．故a 9＝a 10＝1010119最大．变式4 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060解：易得a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n＝9或10时，a n ＝119最大．故选C.方法规律总结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），注意a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，还须验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )．(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )．注：以上两式均要求{f (n )}易求和或积． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小．课后练习1．1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项解：观察a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.故选D.3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4解：依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.故选D.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}解：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2. 解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n.故选A.6．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2017的值为( )A ．－1 B.12C ．2D ．3解：根据题意，∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，∴a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，…，可知数列的周期为3，∵2017＝3×672＋1，∴a 2017＝a 1＝2.故选C.7．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2， t ＝4，则a 8＝a 2×4＝a 2×a 4＝8.故填8. 8．下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是a n ＝________.解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.故填n（n＋1）2.9．若数列{a n}满足1a n＋1－pa n＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是________．解：4依题意可得b n＋1＝pb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99＝299＝b9950，则b50＝2. b8＋b92≥2b8·b92＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．10．已知数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S n＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及a n；(2)若S n＝3n＋2n＋1，求a n.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1), a1适合此式，∴a n＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n －1＋2，a 1不适合此式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.。

数列的概念与简单表示法备课资料

《数列的概念与简单表示法》备课资料（2）
1.数列的表示方法
数列可以看作是以正整数集（或它的有限子集{}1
23n ，，，，为定义域的函数()n a f n =）当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值．因此，可以说数列具有特殊的函数，所以从函数的观点看，数列的表示方法有以下三种：
（1）解析法
解析法可分为通项公式和递推公式两种，通项公式已在前面论述了，递推公式是利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律，那么通过知道数列中的一些项，就可以求出后面的项．递推公式也是给出数列的一种重要方法．
有些数列，虽然它给出的是递推公式，但可以根据递推公式，求出它的前几项，进而归纳出它的通项公式．
（2）列表法
2.数列的分类
（1）有穷数列、无穷数列
按数列的项数是有限还是无限来分类分为有穷数列和无穷数列．切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限项，那么它也是有穷数列．
（2）单调数列，摆动数列
常数列按前后项之间的大小关系来分，从第二项起，每一项都不大于它的前一项的数列，称之为递减数列；每一项都不小于它的前一项的数列，称之为递增数列；若有些项大于后面的项，有些小于后面的项，称之为摆动数列；若数列里面的所有项均为同一个常数，则称之为常数列．
递增数列和递减数列，称为单调数列．
3.已知数列的前项和公式，求数列的通项公式
在已知，求时，我们可以利用1(2)n n n a S S n -=-≥，这里常常因为忽略了条件而出错．由此求得不一定就是它的通项公式，因此，必须要验证时是否也成立，
否则通项公式只能用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩ ≥来表示．。

数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)

所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
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命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
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— 12 —
4．(易错题)若数列
— 7—
4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法、图象法和 9 解析法．
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常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。

在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。

本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。

一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。

一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。

数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。

数列可以分为等差数列和等比数列两种。

等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。

等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。

二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。

通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。

以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。

而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。

另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。

这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。

三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。

这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。

1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。

例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。

数学知识点：数列的概念及简单表示法_知识点总结

数学知识点：数列的概念及简单表示法_知识点总结
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。

从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。

特别提醒：
①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,学习规律，即用共性来解决特殊问题；
②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．。

高中数学-数列

二、数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列无穷数列
项数有限项数无限
按项与项间的大小关系分类
按其他标准分类
递增数列递减数列常数列有界数列
摆动数列
an＋1＞an
an＋1＜an
其中 n∈N＋
an＋1＝an
存在正数 M，使|an|≤M
从第二项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
12.若an 是等差数列，公差为d ，则ak、ak +m、ak +2m …(k，m∈N＋)是公差为 md 的等差
数列
13.若数列 an
是等差数列，前
n
项和为
Sn
，则
Sn n
也是等差数列，其首项和 an
的首
项相同，公差是
an
公差的
1 2
14.若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x − d, x, x + d ；若四个数成等差数
an−1
an
3.等比中项：如果三个数 x，G，y 组成等比数列，那么 G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中
G= xy
二、等比数列的通项公式及前 n 项和公式
1.若等比数列an 的首项为a1 ，公比是 q ，则其通项公式为an = a1q n −1
通项公式的推广： an = amq n −m
( ) 2.等比数列的前 n 项和公式：当 q ＝1 时， Sn = na1
（2）若 f (n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和
（3）若 f (n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和
（4）若 f (n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和

数学知识点：数列的概念及简单表示法

数学知识点：数列的概念及简单表示法
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。

特别提醒：
①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,学习规律，即用共性来解决特殊问题；
②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'
或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．。

人教版高三数学必修三知识点：数列的概念与简单表示法

精心整理人教版高三数学必修三知识点：数列的概念与简单表示法1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数数列 3 n.数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数，….这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，4，54，【同步练习题】1.已知数列{an}中，an=n2+n，则a3等于()A.3B.9答案：C2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A.1，12，13，14，…B.-1，-2，-3，-4，…B，C，解析：选B.不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，….4.数列23，45，67，89，…的第10项是()解析：选C.由题意知数列的通项公式是an=2n2n+1，∴a10=2×102×10+1=2021.故选C.5.已知非零数列{an}的递推公式为an=nn-1•an-1(n>1)，则a4=()当n=3。

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念2．数列的表示方法3．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类(1)与函数的关系：数列是一种特殊的函数，定义域为N*或其有限子集数列的图象是一群孤立的点．(2)周期性：若a n＋k＝a n(n∈N*，k为非零正整数)，则{a n}为周期数列，k为{a n}的一个周期．[四基自测]1．(教材改编)已知数列{a n}的通项公式为a n＝9＋12n，则在下列各数中，不是{a n}的项的是()A．21B．33C．152 D．153答案：C2．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝1＋1a n－1(n≥2)，则a4＝()A．32B．53C．74D．85答案：B3．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅰ改编)记S n 为{a n }的前n 项和，若3S n ＝S n －1＋S n ＋1(n ≥2)，a 1＝2，a 2＝－1，则a 5为________．答案：35．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝________．答案：n2n －1考点一已知数列的前几项写通项公式◄考基础——练透[例1] (1)下列公式可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…，的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝（－1）n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝（－1）n －1＋32(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： ①－1，7，－13，19，…； ②0.8，0.88，0.888，…；③12，14，－58，1316，－2932，6164，…； ④32，1，710，917，…； ⑤0，1，0，1，….解析：(1)由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，….故选C ．(2)①符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． ②将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…， ∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .③各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .④将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.⑤a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，（n 为奇数），1，（n 为偶数）.答案：(1)C (2)见解析由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑤对于正负号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．写出下列各数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3，33，333，3 333，…. 解析：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以a n ＝2n －12n ，n ∈N *.(3)奇数项为负，偶数项为正，故第n 项的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋（－1）nn，也可写为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1，102－1，103－1，104－1，…. 所以a n ＝13(10n－1)，n ∈N *.考点二已知递推关系求通项公式◄考能力——知法[例2] 根据下列已知条件，求数列{a n }的通项公式：累加法：(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ；累乘法：(2)a 1＝12，a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)；构造法：(3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3；构造法：(4)a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1；取倒数：(5)a 1＝1，a n ＝a n －13a n －1＋1；取对数：(6)a 1＝3，a n ＋1＝a 2n . 解析：(1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n (n ≥1)， ∴a n －a n －1＝ln nn －1(n ≥2)，∴a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…，a 2－a 1＝ln 21(n ≥2)，∴a n －a 1＝ln nn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n (n ≥2)，∴a n ＝ln n ＋a 1(n ≥2)，又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2. (2)因为a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)，所以当n ≥2时，a na n －1＝n －1n ＋1，所以a na n －1＝n －1n ＋1，…，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13，以上n －1个式子相乘得a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·24·13，即a n a 1＝1n ＋1·1n ×2×1，所以a n＝1n （n ＋1）. 当n ＝1时，a 1＝11×2＝12，也与已知a 1＝12相符，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）.(3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3，故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.(4)在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边分别乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1.令b n ＝2n ·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以数列{b n －3}是首项为b 1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列．所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n . 于是，a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(5)取倒数，得1a n ＝3a n －1＋1a n －1＝3＋1a n －1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，1a n ＝1a 1＋3(n －1)＝1＋3(n －1)⇒a n ＝13n －2.(6)由题意知a n >0，将a n ＋1＝a 2n 两边取常用对数得到lg a n ＋1＝2lg a n ，即lg a n ＋1lg a n＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列．所以lg a n ＝(lg 3)·2n －1，所以a n ＝32n －1.由递推公式求通项的方法1．将本例(1)改为：在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，则a n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n （3n ＋1）2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n2.答案：32n 2＋n 22．将本例(2)改为已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ＋1a n＝n ＋1n .∴当n ≥2时，a na n －1＝nn －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2.将以上各式累乘求得a na 1＝n ，∴a n ＝n ，而n ＝1也适合．∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n3．将本例(3)改为在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.求a n . 解析：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.考点三 S n 与a n 的关系的应用◄考素养——懂理[例3] (1)(2018·菏泽模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＋1＝2，当n ≥2时，S n －1＝3(n －1)2－2(n －1)＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝16n －5，n ≥2(2)(2019·广东化州第二次模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．解析：由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝12n ，n ≥21．已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． 2．S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．1．(2019·广东江门模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，若∀n ∈N *，2S n ＝a n ＋1，则a 2 018＝________．解析：∵2S n ＝a n ＋1， ∴2S n －1＝a n －1＋1(n ≥2)，∴2S n －2S n －1＝2a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，即a n ＝－a n －1(n ≥2)，又2S 1＝2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1，∴a 2 018＝a 2＝－a 1＝－1. 答案：－12．已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：∵2S n ＝4a n －1，2S n －1＝4a n －1－1(n ≥2)，两式相减可得2a n ＝4a n －4a n－1(n ≥2)，∴a n ＝2a n －1(n ≥2)，又2a 1＝4a 1－1，∴a 1＝12，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －2，设b n ＝(log 2a n )2＋λlog 2a n ＝(n －2)2＋λ(n －2)，∵{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝2n －3＋λ＞0恒成立，∴λ＞3－2n 恒成立，∵(3－2n )max ＝1，∴λ＞1，故实数λ的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)逻辑推理——数列的定义与通项公式中的学科素养求数列的通项公式，无论是已知前n 项归纳猜想出通项公式，还是根据递推关系式求通项公式，其主要工作就是逻辑推理，从特殊到一般或从一般到特殊． [例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( ) A ．2（n ＋1）2B ．2n （n ＋1）C ．12n －1D ．12n －1解析：因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，故a n ＋1＝nn ＋2a n ，当n ＝2时，a 1＋a 2＝4a 2，a 1＝1，所以a 2＝13.所以a 1＝1＝21×2，a 2＝13＝22×3，a 3＝22＋2a 2＝12×13＝16＝23×4，a 4＝33＋2a 3＝35×16＝110＝24×5，a 5＝44＋2a 4＝23×110＝115＝25×6，由此可猜想a n ＝2n （n ＋1）.答案：B课时规范练A 组基础对点练1．已知数列{a n }的前4项为2，0，2，0，则归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1解析：对于C ，当n ＝3时，sin 3π2＝－1，则a 3＝－2，与题意不符．答案：C2．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第19项D ．第11项解析：数列即：2，5，8，11，…，据此可得数列的通项公式为：a n ＝3n －1，由3n －1＝25，解得：n ＝7，即25是这个数列的第7项．3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8. 答案：C4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D ．12n －1解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B ．答案：B5．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( ) A ．415 B ．425 C ．435D ．445解析：由题知：a n ＋1＝2na n －（n －1）a n －1n ＋1，a 3＝2×2×3－13＝113，a 4＝2×3×113－2×34＝4，a 5＝2×4×4－3×1135＝215，a 6＝2×5×215－4×46＝266，故a n ＝5n －4n ，所以a 20＝5×20－420＝245＝445.6．(2019·北京模拟)数列{a n }满足a n ＋1(a n －1－a n )＝a n －1(a n －a n ＋1)，若a 1＝2，a 2＝1，则a 20＝( ) A ．1210B ．129C ．110D ．15解析：数列{a n }满足a n ＋1(a n －1－a n ) ＝a n －1(a n －a n ＋1)，展开化为1a n －1＋1a n ＋1＝2a n.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1a 2－1a 1＝12，首项为12.所以1a 20＝12＋12×19＝10，解得a 20＝110.答案：C7．(2019·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝__________．解析：∵S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.答案：128．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝________．解析：当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12. 答案：129．(2019·长沙模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________．解析：因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，所以a 2＝－(1＋1)＝－2，a 3＝－2＋1＝－1，a 4＝－(－1＋1)＝0，a 5＝0＋1＝1，a 6＝－(1＋1)＝－2，a 7＝－2＋1＝－1，…，所以{a n }是以4为周期的周期数列，因为2 018＝504×4＋2，所以S 2 018＝504×(1－2－1＋0)＋1－2＝－1 009. 答案：－1 00910．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，则数列{a n }的通项公式为_______．解析：由题干图可知，a n ＋1－a n ＝n ＋1，a 1＝1，由累加法可得a n ＝n （n ＋1）2.答案：a n ＝n （n ＋1）2B 组能力提升练11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n C ．2n －1D ．2n －2解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n＋1，故选A ．答案：A12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A ．1516B ．158C ．34D ．38解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.答案：C13．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23.故选C ．答案：C14．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．15D ．110解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15. 答案：C15．(2019·黄冈模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥216．(2019·郑州模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{b n}，则b2 018＝________．解析：由题意得，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…构成以8为周期的周期数列，所以b2 018＝b2＝1.答案：1第二节等差数列及其前n项和[基础梳理]1．等差数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．②符号语言：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2．3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋D ．(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数； S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是无常数项的二次函数．[四基自测]1．(教材改编)已知数列{a n }中，a n ＝3n ＋4，若a n ＝13，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A2．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B3．(教材改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 答案：D4．在100以内的正整数中有________个能被6整除的数．答案：165．已知等差数列5，427，347，…，则前n 项和S n ＝________．答案：514(15n －n 2)考点一等差数列的性质及基本量的运算◄考基础——练透角度1 用等差数列的基本量a 1和d 进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×（3－1）2×d ＝2a 1＋2×（2－1）2×d ＋4a 1＋4×（4－1）2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B ．答案：B(2)已知等差数列{a n }的各项都为整数，且a 1＝－5，a 3a 4＝－1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．70 B ．58 C ．51D ．40解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由各项都为整数得d ∈Z ，因为a 1＝－5，所以a 3a 4＝(－5＋2d )(－5＋3d )＝－1，化简得6d 2－25d ＋26＝0，解得d ＝2或d ＝136(舍去)，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×（1＋13）2＝58.故选B ．答案：B角度2 用等差数列性质进行计算[例2] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为D ．∵a 2＋a 3＋a 10＝9，∴3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3，∴a 5＝3，∴S 9＝9×（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝27.故选D ．答案：D(2)(2019·河北唐山第二次模拟)设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A ．2X ＋Z ＝3Y B ．4X ＋Z ＝4Y C ．2X ＋3Z ＝7YD ．8X ＋Z ＝6Y解析：设数列{a n }的前3n 项的和为R ，则由等差数列的性质得X ，Y －X ，R －Y ，Z －R 成等差数列，所以2(Y －X )＝X ＋R －Y ，解之得R ＝3Y －3X ，又因为2(R －Y )＝Y －X ＋Z －R ，把R ＝3Y －3X 代入得8X ＋Z ＝6Y ，故选D ．答案：D等差数列的计算技巧1．已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A ．－3 B ．－52 C ．－2D ．－4解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4，故选D ．答案：D2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝8，∴a 3＝4，又∵a 3＋a 5＝2a 4， ∴a 5＝2a 4－a 3＝14－4＝10. 故选B ．答案：B3．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13 B ．26 C ．52D ．156解析：3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×42＝26，故选B ．答案：B考点二等差数列的判定与证明◄考能力——知法角度1 用等差数列定义证明[例3] (2019·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．解析：(1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n . 由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n （n －1），又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12（n ＝1），－12n （n －1）（n ≥2）.角度2 用等差中项法证明[例4] 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .(1)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列；(2)若a m ＋2是a m ＋1和a m 的等差中项，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列吗？解析：(1)证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1，于是有a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q ，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12，a 8＝a 2q 6＝14a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2，所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列．(2)依题意，得2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ，则2a 1q m ＋1＝a 1q m ＋a 1q m －1.在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，所以2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1. 因为a 1≠0，所以2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．当q ＝－12时，S m ＋2＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2a 13[1－(－12)m ＋2]＝2a 13 [1－14×(－12)m ]， S m ＋S m ＋1＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ]1－（－12）＋a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1]1－（－12）＝2a 13[1－(－12)m ＋1－(－12)m ＋1] ＝2a 13[2－12×(－12)m ]，所以2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.故当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列；当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．判定数列{a n}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一个常数．(证明用)(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1.(证明用)(3)通项公式法：数列的通项公式a n是n的一次函数．(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式S n是n的二次函数，且常数项为0. 提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．将本例1条件变为“数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，2S n－na n＝n，”求证：{a n}为等差数列．证明：因为2S n－na n＝n，①所以当n≥2时，2S n－1－(n－1)a n－1＝n－1，②所以①－②得：(2－n)a n＋(n－1)a n－1＝1，(1－n)a n＋1＋na n＝1，所以2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，所以数列{a n}为等差数列．考点三等差数列前n项和及综合问题◄考素养——懂理[例5](1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.①求{a n}的通项公式；②求S n，并求S n的最小值．解析：①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. ②由①得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．①求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；②设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . 解析：①∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn ＝2＋2(n －1)＝2n .②由①知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－13＋2n －15）2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.关于等差数列前n 项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为： (1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．(2)定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法． ①求和：用哪个公式，需要哪些量． ②求S n 最值：(ⅰ)借助S n 的二次函数法； (ⅱ)借用通项的邻项变号法a 1>0，d <0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0a m ＋1≤0S n 取得最大值S m ；a 1<0，d >0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0a m ＋1≥0，S n 取得最小值S m .1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．21 B ．20 C ．19D ．18解析：由a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35. a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a n ＝a 4＋(n －4)×d ＝33＋(n －4)×(－2)＝－2n ＋41. ∴a 20＞0，a 21＜0，∴当n ＝20时，S 20最大，故选B ．答案：B2．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解析：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2（n ＋1）－31≥0，解得292≤n ≤312， ∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15×（－29＋2×15－31）2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.数学建模——传统文化中的数列的学科素养在传统文化中，涉及很多等差数列的模型，经过转化用等差数列的知识求解，体现了数学建模，数学运算的素养．[例1] 《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A ．47尺 B ．1629尺 C ．815尺D ．1631尺解析：设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．故选B ．答案：B[例2] 中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A ．174斤 B ．184斤 C ．191斤D ．201斤解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B ．答案：B课时规范练A 组基础对点练1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( ) A ．－1 B ．0 C ．14D ．12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 答案：B2．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( ) A ．3，7，9，15，100 B ．4，10，12，34，100 C ．5，11，16，30，100D ．4，10，13，43，100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3，9，11，33，99，n 的所有可能取值为4，10，12，34，100，故选B ．答案：B3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A ．答案：A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 1＋8×72d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.故选A ．答案：A5．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝（a 2＋a 4）·52，得25＝（3＋a 4）·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13. 答案：B6．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，解得a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝－1＋99×1＝98. 答案：C7．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：108．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：59．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值．(2)已知数列{b n }满足b n ＝S nn ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又∵b1＝1a1＝1，∴数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又b n＝1a n，∴a n＝1b n＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.B组能力提升练11．(2019·唐山统考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝()A．18 B．12C．9 D．6解析：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得S11＝11（a1＋a11）2＝11（2a1＋10d）2＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D．答案：D12．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，公比为q，数列{c n}中，c n＝a n b n，S n是数列{c n}的前n项和．若S m＝11，S2m＝7，S3m＝－201(m为正偶数)，则S4m的值为()A．－1 601 B．－1 801C．－2 001 D．－2 201解析：令A＝S m＝11，B＝S2m－S m＝－4，C＝S3m－S2m＝－208，则q m·A＝(a1b1＋a2b2＋…＋a m b m)q m＝a1b m＋1＋…＋a m b2m.故B－q m·A＝(a m＋1－a1)b m＋1＋…＋(a2m－a m)b2m＝md(b m＋1＋…＋b2m)，其中，d是数列{a n}的公差，q是数列{b n}的公比．同理C－q m·B＝md(b2m＋1＋…＋b3m)＝md(b m＋1＋…＋b2m)·q m，故C－q m·B＝q m(B－q m·A)．代入已知条件，可得11(q m)2＋8q m－208＝0，解得q m ＝4或q m ＝－5211(因m 为正偶数，舍去)．又S 4m －S 3m ＝(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a m b m )q 3m ＋3md (b m ＋1＋…＋b 2m )q 2m ＝11×43＋3(B －q m ·A )×42＝11×43－3×12×43＝－1 600. 故S 4m ＝S 3m －1 600＝－1 801. 答案：B13．(2019·长春质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值，故选B ．答案：B14．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6，因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941.所以a 6b 6＝1941.答案：194115．(2019·银川模拟)在等差数列{a n }中，已知a 3＝7，a 6＝16，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是________．解析：由题知公差d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，所以a n ＝7＋(n －3)d ＝3n －2，第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第1＋2＋…＋9＋5＝50项，即为a 50＝3×50－2＝148. 答案：14816．(2019·太原模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＜0，S 2 015＝0. (1)求S n 的最小值及此时n 的值． (2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解析：(1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d＝0，d ＝－11 007a 1，a 1＋a n ＝2 015－n 1 007a 1，所以S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·20 15－n1 007a 1 ＝a 12 014(2 015n －n 2)．因为a 1＜0，n ∈N *，所以当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1. (2)a n ＝1 008－n1 007a 1，S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1. 因为a 1＜0，所以n 2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n≤2 016.故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 016，n∈N*}．第三节等比数列及其前n项和[基础梳理]1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．②符号语言：a n＋1a n＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(a、G、b不为零)．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1． (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ．特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ．(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列． (5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ．1．(1)在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论． (2)当{a n }是等比数列且q ≠1时，S n ＝a 11－q －a 11－q ·q n ＝A －A ·q n .2．当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q .[四基自测]1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32答案：C2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128答案：C3．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案：12，484．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________．答案：345．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________．答案：－2n －1考点一等比数列的基本运算及性质◄考基础——练透角度1 利用基本量进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________．解析：∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－1（1－2n ）1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.答案：－63(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解析：①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.角度2 利用性质进行计算[例2] (1)在等比数列{a n }中，已知a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两根，则a 5＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．3解析：在等比数列{a n }中，因为a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，所以a 3＋a 7＝6＞0，a 3·a 7＝1＞0，所以a 3＞0，a 7＞0，a 5＞0，因为a 3·a 7＝a 25＝1，所以a 5＝1. 答案：A(2)已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________．解析：因为数列1，a 1，a 2，9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10；因为数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310.答案：310解决等比数列的基本运算常用方法1．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝3，①a 10＝a 1q 9＝384，②②÷①，得q 7＝128，即q ＝2，把q ＝2代入①，得a 1＝34，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝34×2n －1＝3×2n －3.答案：3×2n －32．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．解析：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q＝74a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2，则a 8＝14×27＝32.答案：323．(2019·哈尔滨模拟)等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．2＋log 3a 5解析：由题a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10. 答案：B4．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.所以a 7＋a 8＝40×(32)3＝135. 答案：A考点二等比数列的判定与证明◄考能力——知法[例3] (1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8，即a 26＝a 3·a 9.答案：D(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n . ①求b 1，b 2，b 3；②判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； ③求{a n }的通项公式．解析：①由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.②{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． ③由②可得a nn ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.等比数列的判断与证明的常用方法。

数列的概念与简单表示法教案

数列的概念与简单表示法教案数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

数列的概念和简单表示法是数学中重要的概念之一。

通过学习数列的概念和简单表示法，我们可以更好地理解数学中的序列和数的变化规律，并应用到解决实际问题中。

一、数列的概念1. 定义：数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

2. 表示方法：数列可以用各种方法进行表示，常用的有列表法和通项公式法。

- 列表法：将数列的每一项按照规律列成一个列表，例如：1, 3, 5, 7, 9, ...- 通项公式法：用一个公式表示数列的第n项，例如：an =2n - 1。

3. 数列的性质：数列可以有不同的性质，例如有界性、单调性、周期性等。

- 有界性：数列中的数有上下界，即存在最大值和最小值。

- 单调性：数列中的数可以是递增的，也可以是递减的。

- 周期性：数列的数按照一定规律重复出现。

二、数列的简单表示法1. 递推公式：递推公式是指用数列的前几项来表示数列的后续项的公式。

- 递推公式的一般形式为：an+1 = f(an)，其中f为确定的函数关系。

- 递推公式的例子：an+1 = an + 2，即后一项等于前一项加2。

2. 通项公式：通项公式是指用n来表示数列的第n项的公式。

- 对于等差数列，通项公式的一般形式为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

- 对于等比数列，通项公式的一般形式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

- 对于其他特殊数列，也可以通过观察规律，推导出通项公式。

三、教学设计建议1. 引导学生理解数列的概念：通过列举生活中的数列实例，如自然数序列、偶数序列等，引导学生理解数列的概念。

2. 举例说明不同数列的特点：通过具体的数列例子，如等差数列和等比数列，说明数列的有界性、单调性、周期性等特点。

3. 教授数列的表示方法：通过具体的数列例子，引导学生掌握列表法和通项公式法表示数列的方法。

高考数学-第六章 §6.1 数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．若已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).(3)数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列与函数数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f (1)，f (2)，…，f (n )，…就是数列{a n }． 3．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间递增数列a n ＋1>a n其中的大小关系递减数列 a n ＋1<a n n ∈N *常数列a n ＋1＝a n4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？提示体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列的通项公式是唯一的．( × )(2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二教材改编2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是a n ＝________.答案 a n ＝1n (n ＋2)，n ∈N *3．已知数列a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)．则a 2 022＝________.答案－1解析 a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，所以数列{a n }满足a n ＝a n ＋3，所以a 2 022＝a 3＝－1.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－λn ＋1，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，3)解析由题意得a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2－λ(n ＋1)＋1>n 2－λn ＋1. 化简得，λ<2n ＋1，n ∈N *，∴λ<3. 题组三易错自纠5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－2n 2＋1，则{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2(n ∈N *) 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋1＋2(n －1)2－1＝－4n ＋2，a 1＝－1不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2，n ∈N *.6．若a n ＝－n 2＋9n ＋10，则当数列{a n }的前n 项和S n 最大时，n 的值为________．答案 9或10解析要使S n 最大，只需要数列中正数的项相加即可，即需a n >0，－n 2＋9n ＋10>0，得－1<n <10，又n ∈N *，所以1≤n <10. 又a 10＝0，所以n ＝9或10.题型一由a n 与S n 的关系求通项公式1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________. 答案 2n ＋1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.由于a 1＝3适合上式，∴a n ＝2n ＋1.2．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案－2n －1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1. 当n ≥2时，S n ＝2a n ＋1，① S n －1＝2a n －1＋1.②①－②，S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴{a n }是首项a 1＝－1，q ＝2的等比数列． ∴a n ＝a 1·q n －1＝－2n －1.3．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝21＝2. ∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①∴a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得，(2n －1)·a n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －12n －1(n ≥2)．显然n ＝1时不满足上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2.4．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则下列结论正确的是_______． ①a n ＝1n (n －1)②a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2③S n ＝－1n④数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列答案 ②③④解析 ∵a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，两边同除以S n ＋1·S n ，得1S n ＋1－1S n ＝－1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，d ＝－1的等差数列，即1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n (n －1)，又a 1＝－1不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2转化为关于a n 的关系式，再求通项公式．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解．方向2：利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．题型二由数列的递推关系式求通项公式命题点1 累加法例1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， ……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1，则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合，因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．命题点2 累乘法例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其首项a 1＝1，且满足3S n ＝(n ＋2)a n ，则a n ＝______. 答案n (n ＋1)2解析 ∵3S n ＝(n ＋2)a n ，① 3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，②由①－②得，3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1×n n －2×n －1n －3×…×31×1＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，满足a n ＝n (n ＋1)2，∴a n ＝n (n ＋1)2.本例2中，若{a n }满足2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0，且a n >0，a 1＝1，则a n ＝____________. 答案 n ·2n －1解析由2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0得 n (2a 2n ＋a n ·a n ＋1－a 2n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0，∴n (a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， (a n ＋a n ＋1)[(2a n －a n ＋1)·n ＋2a n ]＝0，又a n >0，∴2n ·a n ＋2a n －n ·a n ＋1＝0， ∴a n ＋1a n ＝2(n ＋1)n，又a 1＝1，∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n n －1×2(n －1)n －2×2(n －2)n －3×…×2×32×2×21×1＝2n －1·n .又n ＝1时，a 1＝1适合上式，∴a n ＝n ·2n －1.思维升华 (1)根据形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出a n －a 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．(2)根据形如a n ＋1＝a n ·f (n )(f (n )是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出a na 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．跟踪训练1 (1)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝1n －1－1n ，a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，……a 2－a 1＝1－12，∴以上各式相加得，a n －a 1＝1－1n ，∴a n ＝4－1n ，a 1＝3适合上式，∴a n ＝4－1n.(2)已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2222n n -+解析 ∵a n ＋1a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n a n －1＝2n －1，a n －1a n －2＝2n －2，……a 3a 2＝22，a 2a 1＝2， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·22·2·2 ＝21＋2＋3＋…＋(n －1)·22(1)212222,n nn n -⋅-++==，又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2222n n -+.题型三数列的性质命题点1 数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析 (单调性)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1<0，所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．思维升华解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断．(3)函数法．命题点2 数列的周期性例4 (2021·广元联考)已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则{b n }的前2 022项的和为( ) A ．0 B ．1 C ．－5 D ．－1 答案 A解析 ∵b n ＋2＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，b 2＝－2， ∴b 3＝b 2－b 1＝－2－1＝－3， b 4＝b 3－b 2＝－1，b 5＝b 4－b 3＝－1－(－3)＝2， b 6＝b 5－b 4＝2－(－1)＝3， b 7＝b 6－b 5＝3－2＝1.∴{b n }是周期为6的周期数列，且S 6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.∴S 2 022＝S 337×6＝0.思维升华解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．命题点3 数列的最值例5 已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( )A.293 B ．47－1 C.485 D.274 答案 C解析由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝n 2－n ＋28， ∴a n n ＝n ＋28n－1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293，故选C.思维升华求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1；若有a n＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1<a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1.跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列答案 A解析 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，∴选A.(2)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，则a 2 021等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析由题意，数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝1，a 2＝2，当n ＝1时，可得a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1；当n ＝2时，可得a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1；当n ＝3时，可得a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2；当n ＝4时，可得a 6＝a 5－a 4＝－2－(－1)＝－1；当n ＝5时，可得a 7＝a 6－a 5＝－1－(－2)＝1；当n ＝6时，可得a 8＝a 7－a 6＝1－(－1)＝2； ……可得数列{a n }是以6为周期的周期数列，所以a 2 021＝a 336×6＋5＝a 5＝－2. 故选A.(3)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n，则数列{a n }的最大项是第________项．答案 6或7解析 a n ＋1a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n＝78×n ＋2n ＋1≥1.得n ≤6，即当n ≤6时，a n ＋1≥a n ，当n >6时，a n ＋1<a n ，∴a 6或a 7最大．课时精练1．数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项答案 C解析数列3，3，15，21，33，…，可化为3，9，15，21，27，…，则数列的通项公式为a n＝6n－3，当a n＝6n－3＝9时，6n－3＝81，∴n＝14，故选C.2．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n－1＝2n，则a n等于()A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2答案A解析∵a n＋1－a n＝2n＋1，∴a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，a n－a n－1＝2n－1＋1(n≥2)，以上各式相加得，a n－a1＝21＋…＋2n－1＋(n－1)＝2(1－2n－1)1－2＋n－1＝2n＋n－3，∴a n＝2n＋n－2，选A.3．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021等于()A．4 711 B．4 712C．4 714 D．4 715答案C解析由题意可知a n a n＋1a n＋2＝8，则对任意的n∈N*，a n≠0，则a1a2a3＝8，∴a3＝8a1a2＝4，由a n a n＋1a n＋2＝8，得a n＋1a n＋2a n＋3＝8，∴a n a n＋1a n＋2＝a n＋1a n＋2a n＋3，∴a n＋3＝a n，∵2 021＝3×673＋2，因此a1＋a2＋…＋a2 021＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2＝673×7＋1＋2＝4 714.故选C.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－11n ＋a n，a 5是数列{a n }的最小项，则实数a 的取值范围是( )A ．[－40，－25]B ．[－40,0]C ．[－25,25]D ．[－25,0]答案 B解析由已知条件得a 5是数列{a n }的最小项，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5≤a 4，a 5≤a 6，即⎩⎨⎧ 52－11×5＋a 5≤42－11×4＋a 4，52－11×5＋a 5≤62－11×6＋a 6，解得⎩⎨⎧a ≥－40，a ≤0. 故选B.5．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k B ．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的第7项C ．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝2n －1D ．数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }是递增数列答案 ABD解析对于A ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k ，A 正确；对于B ，令n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)，B 正确；对于C ，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{b n }，则其通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝b n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，C 错误；对于D ，a n ＝n n ＋1＝1－1n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1n ＋1－1n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)>0，因此数列{a n }是递增数列，D 正确．故选ABD.6．(多选)若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(a ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2＋1C ．a n ＝nD ．a n ＝ln n n ＋1答案 CD解析对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对于C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n ，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确；对于D ，若a n ＝ln n n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确．故选CD.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析 ∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增的，∀n ∈N *，S n ≥S 6，即S 6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一)．9．已知在数列{a n }中，a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 答案 8164解析 ∵a 1a 2·…·a 8＝82＝64，①a 1·a 2·…·a 9＝92＝81，②②÷①得a 9＝8164. 10．已知数列的通项为a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．答案 5解析因为a n ＝n ＋13n －16，数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163，又因为n ∈N *，且数列{a n }的前5项递减，所以n ＝5时，a n 的值最小．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n －1，n ∈N *；(2)S n ＝2n 2＋n ＋3，n ∈N *.解 (1)∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.经检验，当n ＝1时，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵S n ＝2n 2＋n ＋3(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 经检验，当n ＝1时，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2，n ∈N *. 12．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋9n ＋3.(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？(2)求数列中的最大项．解 (1)令a n ＝－107，－2n 2＋9n ＋3＝－107,2n 2－9n －110＝0，解得n ＝10或n ＝－112(舍去)．所以a 10＝－107. (2)a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058，由于n ∈N *，所以最大项为a 2＝13.13．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024答案 C解析在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.故选C.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(2n ＋1)2－1B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(n ＋1)3答案 D解析在4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n 中，令n ＝1，得8(a 1＋1)＝9a 1，所以a 1＝8，因为4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，①所以4n ·(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1(n ≥2)，②①－②得，4a n ＝(n ＋2)2n ＋1a n －(n ＋1)2n a n －1，即n 2n ＋1a n ＝(n ＋1)2n a n －1，a n ＝(n ＋1)3n 3a n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1 ＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8 ＝(n ＋1)3(n ≥2)，又a 1＝8也满足此式，所以数列{a n }的通项公式为(n ＋1)3. 故选D.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，则S 1＋S 3＋S 5等于( ) A ．0 B.1764 C.564 D.2164答案 D解析数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，当n 为偶数时，S n ＝S n －S n －1＋12n ，即有S n －1＝12n ，所以S 1＋S 3＋S 5＝14＋116＋164＝2164. 故选D.16．(2020·鹰潭模拟)S n 是数列{a n }的前n 项和，且a n －S n ＝12n －12n 2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a－5a n ，求数列{b n }中最小的项．解 (1)对任意的n ∈N *，由a n －S n ＝12n －12n 2，得a n ＋1－S n ＋1＝12(n ＋1)－12(n ＋1)2，两式相减得a n ＝n ，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)得b n ＝2n －5n ，则b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－5(n ＋1)]－(2n －5n )＝2n －5. 当n ≤2时，b n ＋1－b n <0，即b n ＋1<b n ，∴b 1>b 2>b 3；当n ≥3时，b n ＋1－b n >0，即b n ＋1>b n ，∴b 3<b 4<b 5<…，所以数列{b n}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.。

数列的概念及简单表示法知识点讲解+例题讲解(含解析)

数列的概念及简单表示法一、知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23解析 a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12， a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 答案 D 3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解析由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4. 答案 5n －44.(2019·山东省实验中学摸底)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，S n 为其前n 项和，则S 5的值为( ) A.57B.61C.62D.63解析由条件可得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，a 5＝2a 4＋1＝31，所以S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1＋3＋7＋15＋31＝57. 答案 A5.(2018·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( )A.（－1）n ＋12B.cosn π2 C.cos n ＋12π D.cos n ＋22π解析令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D6.(2019·天津河东区一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝________.解析 ∵S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，则a 4＝S 4－S 3＝32.∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.答案 12考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________.解析 (1)对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n . 答案 (1)C (2)a n ＝(－1)n ·2n －32n【训练1】写出下列各数列的一个通项公式： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)5，55，555，5 555，….解 (1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ×1n （n ＋1），n ∈N *.(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1).考点二由a n 与S n 的关系求通项【例2】 (1)(2019·广州质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________________.(2)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)由S n ＝2a n ＋1，得a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，得a n ＝2a n －1. ∴数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列.∴S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝－（1－26）1－2＝－63. 答案 (1)a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝12n ，n ≥2 (2)－63【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合上式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2考点三由数列的递推关系求通项【例3】 (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n(2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________.(4)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________.解析 (1)因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2). 把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1，则a n ＝2＋ln n ，且a 1＝2也适合，因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *).(2)由na n－1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2).所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1＝2n ＋1，又a 1也满足上式，所以a n ＝2n ＋1. (3)由a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列.∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. (4)因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12＝n ＋12. 所以a n ＝2n ＋1.规律方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可用待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列.(4)形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C (A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.【训练3】 (1)(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则a n ＝________. (2)若a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.解析 (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1⇒a n ＋1－a n ＝2n －1＋1⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1，则a n ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋n －1＋a 1＝1－2n －11－2＋n －1＋2＝2n －1＋n .(2)由a n ＋1＝2n a n ，得a na n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n （n －1）2.答案 (1)2n －1＋n (2)2n （n －1）2考点四数列的性质【例4】 (1)数列{a n }的通项a n ＝n n 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A.310B.19C.119D.1060(2)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12<a n <1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________.解析 (1)令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.(2)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35， ∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25. 答案 (1)C (2)25【训练4】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020＝________.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是________.解析 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 020＝a 2＝0.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n . 又n ∈N *，所以k >－3. 答案 (1)0 (2)(－3，＋∞)三、课后练习1.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列共有( ) A.98项B.97项C.96项D.95项解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n ＝21n －20，由1≤a n ≤2 018得1≤n ≤97，又n ∈N *，故此数列共有97项. 答案 B2.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________.解析假设第n 项为最大项，则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n≥（n ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n －1，（n ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥（n ＋3）·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n＋1，解得⎩⎨⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574. 答案 4或53.(2019·菏泽模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝(－1)n·a n －12n ，记b n ＝8a 2·2n －1，若对任意的n ∈N *，总有λb n －1>0成立，则实数λ的取值范围为________.解析令n ＝1，得a 1＝－14；令n ＝3，可得a 2＋2a 3＝18；令n ＝4，可得a 2＋a 3＝316，故a 2＝14，即b n ＝8a 2·2n －1＝2n . 由λb n －1>0对任意的n ∈N *恒成立，得λ>⎝ ⎛⎭⎪⎫12n对任意的n ∈N *恒成立，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12n≤12，所以实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞4.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8. 即a 的取值范围是(－10，－8).。

数列

此题也可用排除法求解，只需验证当 n= 1 时， A 3 3 1 选项为， B 选项为， C选项为，均不为 1 ，故 2 4 3 排除A 、B、C，从而选D.
3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*), 则a100等于 A.1 解析 B.-1 方法一 C.5 （ B ） D.-5 由 a1 = 1 , a2 = 5 , an + 2 = an + 1 - an
存在正数M，使|an|≤M an的符号正负相间，如 1，-1，1，-1，…
摆动数列
3.数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式如果数列 { an} 的第 n项 an与序号n 之间的关系可以用一个公式 an=f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
解
∵当n≥2, n∈N*时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1
+2SnSn-1=0，
1 1 即 − = 2, S n S n −1 1 ∴ 数列 { }是公差为2的等差数列 . Sn 1 1 又S1 = a1 = ,∴ = 2, 2 S1 ∴ 1 = 2 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n, S1
题型分类
题型一
深度剖析
由数列的前几项写数列的通项公式
【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）-1，7，-13，19，… （2）0.8，0.88，0.888，… 1 1 5 13 29 61 （3） , , − , , − , , 2 4 8 16 32 64 3 7 9 （4） ,1, , , 2 10 17 （5）0 ， 1 ， 0 ， 1 ， …

第1讲数列的概念及简单表示法

第1讲数列的概念及简单表示法一、知识梳理1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.二、教材衍化1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32 B.53 C.85D ．23解析：选D.a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12，a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝．答案：5n －4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 二、易错纠偏常见误区(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N ＋或其子集{1，2，…，n }； (2)根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第项．解析：依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：102．已知S n ＝2n ＋3，则a n ＝．解析：因为S n ＝2n ＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2由数列的前几项求数列的通项公式(师生共研)(1)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－(n －1)B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是．【解析】 (1)设此数列为{a n }，则由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4.…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n .【答案】 (1)C (2)a n ＝(－1)n·2n －32n解决此类问题，需抓住下面的特征：(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征．(4)拆项、添项后的特征．(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．[注意]根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！1．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝．解析：数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.答案：2n ＋1n 2＋12．数列3，7，11，15，…的一个通项公式是．解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a 2n －a 2n －1＝4，所以a 2n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1，所以a n ＝4n －1.答案：a n ＝4n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (师生共研)(1)(2020·河南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1的值为( )A.12B.14C.18D ．116(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a 1＝，{a n }的通项公式为．【解析】 (1)因为S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，所以S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，所以a 1＝12，故选A.(2)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，所以(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1. 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立．所以a n ＝22n －1.【答案】 (1)A (2)2 a n ＝22n －1(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1；②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥22．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝．解析：由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n－1由递推关系求数列的通项公式(师生共研)分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)(n∈N＋)；(2)a1＝1，a n＋1＝2n a n(n∈N＋)；(3)a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N＋)．【解】(1)a n＝a1＋(a2－a1)＋…＋(a n－a n－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为a n＝(n－1)2.(2)由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2，所以数列的通项公式为a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n－1－1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法1．在数列{a n}中，若a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1，则a n＝．解析：a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1⇒a n＋1－a n＝2n－1⇒a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，则a n＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝1－2n－11－2＋2＝2n－1＋1.答案：2n－1＋12．若a1＝1，na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，则数列{a n}的通项公式a n＝．解析：由na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，得a na n－1＝nn＋1(n≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34×23×1＝2n ＋1，(*) 又a 1也满足(*)式，所以a n ＝2n ＋1. 答案：2n ＋1数列的函数特征(多维探究) 角度一数列的单调性已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N ＋，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N ＋恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.【答案】 D(1)解决数列单调性问题的三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．角度二数列的周期性等差数列{a n}的公差d＜0，且a21＝a211，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6 D．6或7【解析】由a21＝a211，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.因为d＜0，所以{a n}是递减数列，所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.【答案】 C解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．已知数列{a n}满足a n＝(n－λ)2n(n∈N ＋)，若{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是．解析：因为数列{a n}是递增数列，所以a n＋1＞a n，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对任意的n∈N＋都成立．所以λ＜3.答案：(－∞，3)核心素养系列13 逻辑推理——数列的通项公式逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比推理；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎推理．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( )A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.12n －1D ．12n －1【解析】法一(归纳推理)：因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，故a n ＋1＝nn ＋2a n ，当n ＝2时，a 1＋a 2＝4a 2，a 1＝1，所以a 2＝13.所以a 1＝1＝21×2，a 2＝13＝22×3，a 3＝22＋2a 2＝12×13＝16＝23×4，a 4＝33＋2a 3＝35×16＝110＝24×5，a 5＝44＋2a 4＝23×110＝115＝25×6，由此可猜想a n ＝2n （n ＋1）.法二(演绎推理)：因为a 1＝1，S n ＝n 2a n ，所以n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n－1，即(n ＋1)(n －1)a n ＝(n －1)2a n －1，所以a na n －1＝n －1n ＋1，所以a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1·…·24×13，即a n a 1＝2n （n ＋1），所以a n ＝2n （n ＋1）. 【答案】 B本题是从特殊到一般的归纳，是不完全归纳，解答此类问题的具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理．1．在数列1，2，7，10，13，…中219是这个数列的第项．解析：数列1，2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，所以该数列的通项公式为a n＝3（n－1）＋1＝3n－2，所以3n－2＝219＝76，所以n＝26，故219是这个数列的第26项．答案：262．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N＋)，则a2 020等于．解析：因为a1＝1，所以a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的周期数列，所以a2 020＝a2＝0.答案：0[基础题组练]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则( ) A ．3不是数列{a n }的项 B ．3只是数列{a n }的第2项 C ．3只是数列{a n }的第6项 D ．3是数列{a n }的第2项和第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3.整理，得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6.故选D.2．已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N ＋，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，则a 5＝( )A.132B.116C.14D ．12解析：选A.由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，所以a 5＝a 3·a 2＝132.3．在数列{a n }中，“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.“|a n ＋1|>a n ”⇔a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立，必要性成立，所以“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，且a 1＝2，则( )A ．a 3＝－1B ．a 2 019＝12C ．S 3＝3D ．S 2 019＝2 019解析：选A.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，可得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，…所以a n －3＝a n ，数列的周期为3.a 2 019＝a 672×3＋3＝a 3＝－1.S 6＝3，S 2 019＝2 0192.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1 B.2n （n ＋1） C.6（n ＋1）（n ＋2）D ．5－2n 3解析：选B.由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n （n ＋1），当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1）.6．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝．解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为n2n －1.答案：n2n －17．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N*8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n ＝(n ＋1)a n ，则a n ＝．解析：由2S n ＝(n ＋1)a n 知，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝(n ＋1)a n－na n －1，所以(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .答案：n9．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝ (－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.10．(2020·安徽合肥四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式；(2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4（a n ＋1）a n ＋1＝4.[综合题组练]1．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，若S n －22n ＋1＋1＝n ，则数列{b n }的通项公式为b n ＝．解析：因为S n －22n ＋1＋1＝n ，所以S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以当n ≥2时，S n －1＝(n －2)2n ＋2，两式相减，得a n b n ＝n ·2n ，所以b n ＝n ；当n ＝1时，a 1b 1＝2，所以b 1＝1.综上所述，b n ＝n ，n ∈N *.故答案为n .答案：n2．(2020·新疆一诊)数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 019＝．解析：由a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝1－1a n，又a 1＝3，则a 2＝1－1a 1＝23，a 3＝1－1a 2＝1－32＝－12，a 4＝1－1a 3＝1－(－2)＝3，则数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝3×⎝⎛⎭⎫23×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，则A 2 019＝(a 1a 2a 3)·(a 4a 5a 6)·…·(a 2017a 2 018a 2 019)＝(－1)673＝－1.答案：－13．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围．解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n－2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时， a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。

数列的概念及简单表示方法

= ()
+1

在数列中,
=

且1
+2
= 2, 求数列的通项公式
3、构造法：
形如+1 = +
在数列中, 1 = 1, +1 =
2

3
+ 1,求数列的通项公式
, +
若数列的前项和为：
1 , = 1
则 = ቊ
− −1 , ≥ 2
习题练习
求数列的通项公式
一、观察法：写出下面各数列的一个通项公式
（1）1，-3，5，-7，9,… = (−1)−1 × （2 − 1)
（2）9， 9，999，9999，… = 10 − 1
摆动数列
数列的函数特性
1、数列与函数的关系
数列可以看成一类特殊的函数 = (),定义域
为正整数集（或正整数集的有限子集），所以它的图
像是一系列鼓励的点，而不是连续不断的曲线。
2、数列的性质：单调性、周期性。
数列的前n项和和通项的关系
= 1 + 2 + 3 + ⋯ +
（或某一项）开始的任一项与它的前一项n−1 （或前
几项）（ ≥ 2)的关系可以用一个公式表示，那么这个公
式就叫做该数列的递推公式。
例如：+1 = + 2, 1 = 1
递推公式包括两部分：开头，递推关系；
通项公式可以直接求出数列的任意一项，递推公式不可以
直接求出；
递推公式、通项公式共同点：都可以确定一个数列，求出
子 =(）， ∈ + 表达，这个式子叫做数列的通项
公式。

16.数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法教案

数列知识点总结(高中数学)

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法备课资料

数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法

数学知识点：数列的概念及简单表示法_知识点总结

高中数学-数列

数学知识点：数列的概念及简单表示法

人教版高三数学必修三知识点：数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法教案

高考数学-第六章 §6.1 数列的概念与简单表示法

数列的概念及简单表示法知识点讲解+例题讲解(含解析)

数列

第1讲 数列的概念及简单表示法

数列的概念及简单表示方法

第1讲数列的概念及简单表示法