安徽省皖东县中联盟2019-2020学年第一学期高三期末考试理科数学试题
2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末考试数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，则21ii=+（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．22i -【答案】A利用复数的除法运算即可求解.解：()()()22122211111i i i i i i i i i-+===+++--. 故选：A本题考查了复数的除法运算，属于基础题.2．已知集合(){}|ln 1A x y x ==+，{}|210xB x =-≤，则A B =I （ ）A ．{}|11x x -<„B ．{}|10x x -<„C ．{}|01x x <„D ．{}|12x x -<„【答案】B先分别求出集合,A B ，由此能求出A B I .解：解：∵集合(){}{}|ln 1|1A x y x x x ==+=>-，{}{}|210|0x B x x x =-≤=≤，∴{}|10B x x A -<=≤I ， 故选：B.本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题.3．若1tan 3x =-，则sin 2x =（ ） A ．35B ．35-C ．310D ．310-【答案】B由题意利用同角三角函数的基本关系求出sin ,cos x x ，再利用二倍角的正弦即可求解. 解：因为1tan 03x =-<，所以x 为第二或第四象限的角；若x 为第二象限的角，则10sin 10x =，310cos 10x =-； 若x 为第四象限的角，则10sin x =-，310cos x =. 故3sin 22sin cos 5x x x ==-. 故选：B本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 4．在ABC ∆内部任取一点M ，使得MBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值大于13的概率为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．49【答案】D首先确定M 点的位置，根据位置区域，利用几何概型中的面积型概率求解即可. 解：如图取线段AB 靠近点B 的三等分点D ，取线段AC 靠近点C 的三等分点E ，连结DE ，当点M 在线段DE 上运动时，MBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值等于13，当点M 在图中阴影部分运动时，MBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值大于13， 因为ADE ABC V :V ，且相似比为2:3，故使得MBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值大于13的概率22439P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故选：D.本题考查面积型几何概型，是基础题.5．在等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q =（ ） A ．－1或12B ．－1或12-C ．1或12-D ．1或12【答案】C分类当1q =符合题意，当1q ≠时，可得1a 和q 的方程组，解方程组即可. 解：当1q =时，各项均为6，可得318S =，符合题意；当1q ≠时，23123111618a a q S a a q a q ⎧==⎨=++=⎩，解得11224q a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 综上可得公比q 的值为：1或12- 故选：C本题考查了等比数列的通项公式，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果s 为（ ）A ．－2B ．－1C ．2D ．3【答案】D由题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的,s n ，当5n =时满足条件4n >，退出循环，输出s 为3.解：由题意模拟执行程序时，1,1s n ==，第一次循环，()11110,2s n =+-⨯==，此时不满足4n >； 第二次循环，()20122,3s n =+-⨯==，此时不满足4n >； 第三次循环，()32131,4s n =+-⨯=-=，此时不满足4n >； 第四次循环，()41143,5s n =-+-⨯==，此时满足4n >； 故选：D本题考查了循环结构的程序框图，读懂流程图是关键，属于基础题.7．水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为x 轴，圆心到水面的垂线为y 轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点A 处开始计时，经过t 秒后转到P 点的位置，则点P 到水面的距离h 与时间t 的函数关系式为（ ）A ．3sin 1.5406h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭B ． 1.5cos 3406h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭C ．3cos 1.5403h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ． 1.5sin 3403h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭【答案】A由题意求出280πω=，再由三角函数的定义即可求解. 解：由2T πω=，80T =，解得240ππωω==，设圆的圆心为C ，由 1.5OC =，3CA =，则6CAO ACM π∠==，由正弦函数的定义可得经过t 秒后转到P 点的位置， 则点P 到水面的距离h 与时间t 的函数关系式为3sin 1.5406h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,故选：A本题考查了三角函数的应用，需掌握三角函数的定义，属于基础题. 8．设0.2a π=，log 0.2b π=，0.2c π=，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C根据对数函数的单调性可得0b <，再利用指数函数和幂函数的单调性知0.20.20.20.2ππ<<，从而比较出大小.解：log 0.20b π=<；根据指数函数和幂函数的单调性知0.20.20.20.2ππ<<， 故b a c <<.故选：C本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，属于基础题.9．五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（ ） A ．360 B ．240C ．150D ．90【答案】C分两步，第一步分类讨论，求出2人2本，1人1本和2人1本，1人3本的种数，第二步分配给3名学生，再由分步计数乘法原理得答案.解：先分堆再分配第一步分堆分两类()2,2,1和()3,1,1，则分堆方法有22353522C C A C +种； 第二步分配给三名学生有33A 种分法；由分步计数乘法原理得：2233535322150N C A C C A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭种.故选：C.本题考查分配问题，注意分两步，先分堆再分配的原则，是基础题.10．如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球1O ；顶部为球2O ，其直径与正四面体的棱长a 相等，若这样设计奖杯，则球1O 与球2O 的半径之比12:r r =（ ）A ．1:6B ．16C ．1:3D ．3【答案】B设内切球1O 的半径1r ，正四面体的高为h ，利用等体积得，可得14r h =，由h 即可求出16r =，进而求出比值.解：设内切球1O 的半径1r ，正四面体的高为h ，利用等体积得，111433Sr Sh ⨯=， 所以14r h =，又3h ==，则112r a =，球2O 的半径212r a =，所以12:r r =.故选：B本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.11．已知圆C ：228140x y y +-+=，直线l ：310mx y m --+=与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点.设圆C 上任意一点P 到直线的距离l 为d ，若d 取最大值时，PAB ∆的面积（ ） A．B ．8 C ．6D．【答案】B直线l ：310mx y m --+=过定点()3,1M ，当MC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大，求出最大距离d 以及AB ，进而可得PAB ∆的面积. 解：直线l ：310mx y m --+=过定点()3,1M ， 圆C ：228140x y y +-+=的圆心()0,4C，半径r =当MC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大，∵1MC k =-，∴1l k =，即直线l 方程为20x y --=， 则()2,0A ，()0,2B -，AB =，C 到直线l=则P 到直线l的最大距离d r == 此时PAB ∆的面积182S =⨯=， 故选：B.本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当MC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大是关键，是中档题. 12．已知函数()ln x xf x a=（0a >），若不等式()2f x <仅有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3ln 2,ln 32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3ln 3,4ln 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 2,ln 32⎛⎤⎥⎝⎦ D ．3ln 3,4ln 22⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C根据题意求出()1ln xf x a +'=，令()0f x '=可得1x e=，讨论a 的取值范围，求出函数的单调区间，由题意()2f x <有两个整数解为1，2，由()10f =，可得()22f <且()32f ≥，解不等式组即可.解：已知()ln x x f x a =，则()1ln 0xf x a +'==，即1x e=， 当0a >时，10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，()0f x '<，()f x 单调递减，1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，且()10f =，则()2f x <有两个整数解为1，2，所以2ln 22a <且3ln 32a …，解得3ln 2,ln 32a ⎛⎤∈⎥⎝⎦， 故选：C .本题考查了导数在研究函数单调性的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.二、填空题13．已知向量a r ，b r 满足1a =r，(b =r ，若()2a a b ⋅-=r r r ，则a r 与b r的夹角为______. 【答案】120︒根据向量的夹角公式计算即可.解：由()2a a b ⋅-=r r r 知，22a a b -⋅=r r r，又1a =r ，即21a =r则1a b ⋅=-r r，所以11cos ,122a b a b a b ⋅-===-⨯⋅r rr r r r ，故夹角为120︒， 故答案为：120︒.本题考查向量的模和夹角公式，是基础题.14．一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐a 个馒头，小和尚每餐每人吃1a个馒头.若大和尚的人数用()f a 表示，则()f a =______. 【答案】1001a + 设大和尚有x 人，则()1100100ax x a+-=，解方程即可. 解：设大和尚有x 人，则()1100100ax x a+-=，即()()211001x a a -=-，当1a =时，与生活实际不符，所以1a ≠，解得1001x a =+，即()1001f a a =+.故答案为：1001a +本题考查了列方程求函数解析式，属于基础题.15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右支上一点P 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H .若1PH PF +的最小值为4a ，则双曲线C 的离心率为______.利用双曲线的定义122PF PF a =+，从而可得12||||2PH PF PH PF a +=++，利用点到直线的距离公式可得2||PH PF b +=，由题意可得24b a a +=，进而求出离心率.解：由双曲线定义知，122PF PF a -=，则122PF PF a =+， ∴12||||2PH PF PH PF a +=++，所以，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H ，交右支于点P ， 此时2||2PH PF a ++最小，且最小值为4a ， 易求焦点到渐近线的距离为b ，即2||PH PF b +=，所以24b a a +=，即2b a =，225c a =，可求离心率e =本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题.16．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22663nn n S a ⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则数列{}n a 中最大项等于______. 【答案】89利用1n n n a S S -=-得到1133122nn n n a a --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令32nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得数列{}n b 的通项公式，进而可得数列{}n a 的通项公式，利用1n n a a +-的正负来确定数列{}n a 中最大项.解：因为22663nn n S a ⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭， 得2n …时，11122663n n n S a ---⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭，两式相减得:1123223n n n a a --⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，即：1133122nn n n a a --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令32nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又∵123a =， ∴数列{}n b 是首项132123b =⨯=，公差为1的等差数列， 则n b n =，所以，23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11222213333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝-⎭=⎭，所以1234n a a a a a <=>>>L ， 故数列{}n a 中2389a a ==且最大， 故答案为:89. 本题考查构造等差数列，利用递推式求通项公式，考查学生的观察能力和分析能力，对于数列最大或者最小项，可以通过1n n a a +-的正负来寻找，是中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n n S a n =-，*n ∈N . （1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）若()2log 1n nb a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析（2）1nn + （1）利用1n n n a S S -=-可得121n n a a -=+，再证明111n n a a -++是定值即可；（2）将1n a +代入()2log 1n n b a =+，然后利用裂项相消法求和. 解：解：（1）由题可知2n n S a n =-，① 当1n =时，11121a S a ==-，得11a =； 当2n ≥时，()1121n n S a n --=--，② ①－②并整理，得121n n a a -=+， 所以()1121n n a a -+=+，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知()22log 1log 2nn n b a n =+==，则()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=+++⋅⋅⋅+， 111111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+ 1n n =+. 本题考查等比数列的证明以及裂项相消法求和，是中档题.18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos 2bc C c B ab +=. （1）求cb的值； （2）若a =ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）2（2）2（1）利用正弦定理，将边化为角，通过三角公式变形可得；（2）由（1）及余弦定理可得2654cos b A=-，代入三角形面积公式可得54cos 6sin ABC ABC S S A A ∆∆-=，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可求得最值.解：解：（1）由2cos cos 2bc C c B ab +=，得()cos cos 2c b C c B ab +=， 由正弦定理知：()sin cos sin cos 2sin c B C C B b A +=， 即()sin 2sin c B C b A +=，sin 2sin c A b A =， ∵sin 0A ≠， ∴2c b =，2cb∴=； （2）由余弦定理知，222222cos 54cos 6a c b cb A b b A =+-=-=， 则2654cos b A=-；∴216sin sin sin 254cos ABC A S bc A b A A∆===-， 即54cos 6sin ABC ABC S S A A ∆∆-=， ∴()23616sin 5ABC ABC S A S ϕ∆∆++=， ∴236165ABC ABC S S ∆∆+≥，解得2ABC S ∆≤，即ABC ∆的面积的最大值是2.本题考查正弦定理余弦定理的应用，考查三角形的面积最值的求解，考查计算能力，是中档题19．如图，多面体ABCE 中，平面AEC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AE CD ⊥四边形BCDE 为平行四边形.（1）证明：AE EC ⊥； （2）若2AE EC CB ===，求二面角D AC E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3（1）先通过平面AEC ⊥平面ABC 得到BC AE ⊥，再结合AE CD ⊥，可得AE ⊥平面BCDE ，进而可得结论；（2）取AC 的中点O ，AB 的中点F ，连接OE ，OF ，以点O 为坐标原点，分别以OA ，OF ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DAC 的一个法向量以及平面ECA 的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果. 解：解：（1）因为平面AEC ⊥平面ABC ，交线为AC ，又AC BC ⊥， 所以BC ⊥平面AEC ，BC AE ∴⊥，又AE CD ⊥，CD BC C ⋂=， 则AE ⊥平面BCDE ，EC ⊂平面BCDE ， 所以，AE EC ⊥；（2）取AC 的中点O ，AB 的中点F ，连接OE ，OF ，则OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面AEC ；以点O 为坐标原点，分别以OA ，OF ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，已知2AE EC CB ===2AC =，1OE =，()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0C -，()0,2,1D -，则()2,0,0AC =-u u u r，()1,2,1AD =--u u u r ，设平面DAC 的一个法向量(),,m x y z =u r，由0,0m AC m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得20,20x x z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令2y ，则0x =，2z =，即()2,2m =u r；平面ECA 的一个法向量为()0,1,0n =r；23cos ,24m n m n m n⋅===+u r ru r r u r r所以二面角D AC E --本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题.20．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点F 与抛物线2C ：24y x =的（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点，满足AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）10x y ±-=（1）根据题意求出,,a b c ，即可写出椭圆的标准方程.（2）当直线l 不存在斜率时，可求出,,,A B C D四点，可验证AB ≠；当直线l 存在斜率时，设直线方程为()1y k x =-，将直线分别与椭圆1C 方程、抛物线方程联立，利用弦长公式和焦点弦公式求出AB 、CD ，根据AB =解方程即可. 解：解：（1）由已知椭圆的离心率ca=1c =，得a =1b =， 故椭圆1C 的标准方程为2212x y +=（2）当直线l 不存在斜率时，可求出()1,2A ，()1,2B -，1,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以||4AB =，||CD =，不满足条件；当直线l 存在斜率时，设直线方程为()1y k x =-，代入椭圆1C 方程得：()2222124220k xk x k +-+-=，>0∆恒成立，设()11,C x y ，()22,D x y ，则()212221224,2121,21k x x k k x x k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩∴()()22222212222212214114212121k k k CD k x x k k k k -+⎛⎫=+-=+-⨯= ⎪+++⎝⎭将直线l ：()1y k x =-，代入抛物线2C 得()2222240k x k x k -++=，设()33,A x y ，()44,B x y ，则234224k x x k++=， 又因为()2234224124||2k k AB x x k k++=++==， 由||32||AB CD =得：()()2222412213221k k k k ++=⨯+，∴221321k k =+， 解得1k =±，所以直线l 的方程为10x y ±-=.本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．为了鼓励职员工作热情，某公司对每位职员一年来的工作业绩按月进行考评打分；年终按照职员的月平均值评选公司最佳职员并给予相应奖励.已知职员A 一年来的工作业绩分数的茎叶图如图所示：（1）根据职员A 的业绩茎叶图求出他这一年的工作业绩的中位数和平均数； （2）若记职员A 的工作业绩的月平均数为A x .①已知该公司还有6位职员的业绩在100以上，分别是1116x =，2108x =，3102x =，4120x =，5112x =，6110x =，在这6人的业绩里随机抽取2个数据，求恰有1个数据满足8A i x x -<（其中1,2,3,4,5,6i =）的概率；②由于职员A 的业绩高，被公司评为年度最佳职员，在公司年会上通过抽奖形式领取奖金.公司准备了9张卡片，其中有1张卡片上标注奖金为6千元，4张卡片的奖金为4千元，另外4张的奖金为2千元.规则是：获奖职员需要从9张卡片中随机抽出3张，这3张卡片上的金额数之和就是该职员所得奖金.记职员A 获得的奖金为X （千元），求X 的分布列和期望.【答案】（1）中位数是122.5；平均数是123.5（2）①815②详见解析 （1）直接利用中位数和平均数的概念公式来计算即可； （2）①找出符合条件的数据，利用古典概型公式求出概率即可.②由题意知X 所有取值为：6，8，10，12，14，利用古典概型公式求出概率，进而可得分布列和期望.解：解：（1）由茎叶图可知，所求的中位数是122123122.52+=； 平均数是1812117123612182426120123.512-----++++++++=； （2）①由（1）知123.5A x =，①满足8A i x x -<的有1116x =，4120x =，所以，所求的概率112642C C 8C 15P ==； ②由题意知X 所有取值为：6，8，10，12，14则()34391621C P X C ===；()123944287C C P X C ===；()114221443951014C C C C P X C +===； ()311141113951221C C C C P X C +===； ()12143911414C C P X C ===.所以X 的分布列为所以，期望()125536810121410217142142E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）. 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查计算能力，是基础题. 22．已知函数()xf x e ax b =-+.其中,a b ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）函数()f x 在0x =处存在极值－1，且()1,x ∈-+∞时，()()21f x k x +>+恒成立，求实数k 的最大整数.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增;当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增（2）k 的最大整数为0.（1）求导()e xf x a '=-，分0a ≤，0a >讨论()f x '的正负值，即函数()f x 的单调性；（2）先通过函数()f x 在0x =处存在极值－1，可求出()e 2xf x x =--，将()()21f x k x +>+恒成立，转化为e 1x x k x -<+，令()e 1x x h x x -=+，利用导数求()h x 的最小值.解：解：（1）()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，()0xf x e a '=-=，ln x a =，则(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),ln a -∞上单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增. （2）函数()f x 在0x =处存在极值－1，由（1）知0a >，且()000f e a '=-=，()011f b =+=-，所以1a =，2b =-， 则()2xf x e x =--；因为()10xf x e '=-=，0x =，所以(),0x ∈-∞时，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，()f x 单调递增， 则()f x 在0x =处存在极值()01f =-满足题意；由题意()()21f x k x +>+恒成立，即()1xx x e k ->+，对()1,x ∈-+∞恒成立，即：1x x e x k -<+，设()1x x x e xh -=+，只需()min k h x <，因为()()()()211111xx x x e xxe h x x x e -+-+-'==++，又令()1xt x xe =-，()()1xxxt e xe x x e '=+=+，所以()t x 在()1,-+∞上单调递增，因为11102t ⎛⎫==<⎪⎝⎭，()110t e =->. 知存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00010x e t x x =-=， 即01x e x =， 且在()01,x -上，()0t x <，()0h x '<，()h x 单调递减， 在()0,x +∞上，()0t x >，()0h x '>，()h x 单调递增，所以，()()00000min00011111x x x x h x h x x x x e --====-++，即01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()min 0110h x x =->， 又()01h =，知()()min 0,1h x ∈，所以k 的最大整数为0.本题考查利用导数研究函数单调性以及恒成立问题，其中将恒成立问题通过参变分离转化为最值问题，是常见的解决恒成立问题的手段，考查了学生计算能力，是一道难度较大的题目.。
安徽省皖东县中联盟19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
安徽省皖东县中联盟19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则复数10i1−i=()A. −4+2iB. 4−2iC. −5−5iD. −5+5i2.若集合A={x|y=ln(x+2)}，B={x|3x<1}，则A∩B=()A. {x|−2<x<0}B. {x|−2≤x<0}C. {x|−2<x<1}D. {x|−2≤x<1}3.已知sin(x−π4)=35，则sin2x的值为()A. −725B. 725C. 925D. 16254.在△ABC内任取一点P，设S△PBC、S△ABC分别表示△PBC、△ABC的面积，则S△PBCS△ABC >12的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 235.在等比数列{a n}中，a3=6，前三项和S3=18，则公比q=A. −1或12B. −1或−12C. 1或−12D. 1或126.执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为()A. 138B. 85C. 53D. 327.图为一个大风车的示意图，其中圆的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，图中OA与地面垂直，将OA逆时针转动θ(θ>0)角到OB，设B点与地面的距离为h，则h与θ的关系式为()A. ℎ=5.6+4.8sin θB. ℎ=5.6+4.8cos θC. ℎ=5.6+4.8cos (θ+π2)D. ℎ=5.6+4.8sin (θ−π2)8. 设a =sin2，b =log 0.3π，c =40.5，则( )A. b <a <cB. a <b <cC. c <a <bD. b <c <a9. 五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置．学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是( )A. 360B. 240C. 150D. 9010. 将棱长为2的正四面体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积是( )A. √6π27B. √6πC. √32π D. 43π11. 直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]12. 若函数f(x)=ae x −x −2a 有两个零点，则实数a 的取值范围为 ( )A. (−∞,1e )B. (0,1e )C. (−∞,0)D. (0,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=7，|b ⃗ |=5，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则(2a ⃗ +4b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )的值为______． 14. 已知a >0，a ≠1，函数f(x)={a x ,x ≤1,−x +a,x >1,若函数f(x)在[0,2]上的最大值比最小值大52，则a 的值为________． 15. 设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|，则C 的离心率为________． 16. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n +1，则a n =______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +n ．(Ⅰ)求证：数列{a n−1}是等比数列；}的前n项和T n．(Ⅱ)设b n=log2(1−a n)，求数列{1b n b n+118.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=3，C=2A．4(1)求cos B的值；(2)若ac=24，求△ABC的周长．19.如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AE⊥平面ABCD，AE//CF，AB=AE=2，CF=1，(1)求证：BD⊥CE；(2)求二面角B−AF−D的余弦值20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,√22)，且焦距为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点P(−2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点G(0,−12)，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．21.某公司在年终“尾牙”宴上对该公司年度的最佳销售员工进行奖励．已知该员工A一年以来的月销售业绩分别为：102，113，123，132，144，138，126，119，108，122，109，146.若该公司为最佳员工准备了相应的奖品，需要该员工通过抽奖游戏进行确定奖品金额，游戏规则如下：该员工需要从9张卡牌中不放同的抽取3张，其中1张卡牌的奖金为600元，4张卡牌的奖金均为400元，另外4张卡牌的奖金均为200元，所抽到的3张卡牌的金额之和X便是该员工所获得的奖品的最终金额．(1)请根据题意完善最佳员工销售业绩的茎叶图，并求出该员工销售业绩的中位数；(2)求X的分布列以及数学期望；(3)记员工A的月平均销售业绩为x A，已知该公司其他几名月平均销售业绩在100以上的员工分别是：甲(x1=116)，乙(x2=108)，丙(x3=102)，丁(x4=120)，戊(x5=112)，已(x6=108)，则在这六人的月平均销售业绩中随机抽取2个数据，求恰有1个数据满足x A−x i<8(i=1,2，3，4，5，6)的概率．22.已知函数f(x)=e x−ax+a−1．(1)若f(x)的极值为e−1，求a的值；(2)若x∈[a,+∞)，则f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：10i1−i =10i(1+i)(1−i)(1+i)=−10+10i2=−5+5i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：A解析：本题考查了集合的交集运算，属于基础题．分别化简集合A，B，然后根据交集的运算求出结果．解：A={x|y=ln(x+2)}={x|x>−2}，B={x|x<0}.于是A∩B={x|−2<x<0}．故选A．3.答案：B解析：解：∵sin(x−π4)=√22(sinx−cosx)=35，∴sinx−cosx=3√25，两边平方得：(sinx−cosx)2=sin2x−2sinxcosx+cos2x=1−sin2x=1825，则sin2x=725．故选B利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知等式的左边，求出sinx−cosx的值，两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练公式是解本题的关键，属于基础题．4.答案：C解析：解：记事件A={S△PBCS△ABC >12}，基本事件空间是三角形ABC的面积，(如图)事件A的几何度量为图中三角形ADE的面积(DE是三角形的中位线)，因为阴影部分的面积是整个三角形面积的34，所以P(A)=1−阴影部分的面积△ABC的面积=14．故选：C．首先分析题目求在面积为S△ABC内任取一点P，则△PBC的面积超过12的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．本题主要考查了几何概型．由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意．5.答案：C解析：本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的求和，同时考查了一元二次方程的解，属于基础题．根据前三项和以及第三项可利用第三项表示出前两项和，建立关于q的方程，解之即可．解∵S3=18，a3=6，∴a1+a2=a3q2(1+q)=12，即2q2−q−1=0，解得q=1或q=−12．故选C．6.答案：A解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得k=1，s=32，满足条件k<4，执行循环体，k=2，s=53，满足条件k<4，执行循环体，k=3，s=85，满足条件k<4，执行循环体，k=4，s=138，不满足条件k<4，退出循环，输出s的值为138．故选：A．7.答案：D解析：本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的能力．属于中档题．本题需要过点O作平行与地面的直线l，过点B作l的垂线，根据三角函数来求解．解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ−π2，根据三角函数的定义得：BP=OBsin(θ−π2)=4.8sin(θ−π2)，ℎ=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin(θ−π2)，故选D．8.答案：A解析：本题考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义． 容易得出0<sin2<1, log 0.3π<0, 40.5>1，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 解：∵0<sin2<1，log 0.3π<log 0.31=0，40.5>40=1， ∴b <a <c ． 故选：A ．9.答案：C解析：本题考查了排列组合的综合应用，属于一般题． 先分组有C 52C 32A 22+C 53种，再分配有A 33，共有(C 52C 32A 22+C 53)A 33，即可得出结果．解：先分组再分配：第一步分两类(2,2，1)和(3,1，1)，则分类方法有C 52C 32A 22+C 53种；第二步分配给三名学生有A 33种分法，由分步计数乘法原理得：N =(C 52C 32A 22+C 53)A 33=150种.故选C ．10.答案：A解析：本题考查正四面体的内切球半径的求法，内切球的半径是正四面体的高的14，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．由题意，所求球为正四面体ABCD 的内切球，如图O 为正四面体ABCD 的内切球的球心，说明OE 是内切球的半径，运用勾股定理计算，即可得到球的体积．解：由题意，所求球为正四面体ABCD 的内切球，如图O 为正四面体ABCD 的内切球的球心，正四面体的棱长为2，所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，在等边三角形BCD中，BE=√33×2=2√33，AE=√4−43=2√63．由OB2=OE2+BE2，即有R2=(2√63−R)2+43解得，R=√62.OE=AE−R=√66，则其内切球的半径是√66，内切球的体积为43π×(√66)3=√627π．故选：A．11.答案：A解析：本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．求出A(−2,0)，B(0,−2)，|AB|=√4+4=2√2，求出圆心到直线x+y+2=0的距离：即可得出P 到直线x+y+2=0的距离取值范围，由此能求出△ABP面积的取值范围．解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=−2，令y=0，得x=−2，∴A(−2,0)，B(0,−2)，|AB|=√4+4=2√2，∵点P在圆(x−2)2+y2=2上，∴圆心到直线x+y+2=0的距离：d=√2=2√2，∴点P到直线x+y+2=0的距离d′∈[√2,3√2]，∴△ABP面积的取值范围是：[12×2√2×√2,12×2√2×3√2]=[2,6]．故选A．12.答案：D解析：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与零点问题，是中档题．对f(x)求导，讨论f′(x)的正负以及对应f(x)的单调性，得出函数y=f(x)有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围．解：∵f(x)=ae x−x−2a，∴f′(x)=ae x−1；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′(x)<0在R上恒成立，∴f(x)在R上是减函数，不合题意；②a>0时，由f′(x)=0，得x=−lna，∴f(x)的单调减区间是(−∞,−lna)，增区间是(−lna,+∞)；∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立：(i)f(−lna)=1+lna−2a<0，(ii)存在s1∈(−∞,−lna)，满足f(s1)>0，(iii)存在s2∈(−lna,+∞)，满足f(s2)>0；令g(x)=1+lnx−2x，则g′(x)=1−2xx，当0<x<12时，g′(x)>0，g(x)单调递增．当x>12，g′(x)<0，g(x)单调递减．g(x)max=ln12<0，所以f(−lna)=1+lna−2a<0对一切a>0恒成立．而显然存在所以a>0，故选D．13.答案：33解析：解：|a ⃗ |=7，|b ⃗ |=5，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则(2a ⃗ +4b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ −4b ⃗ 2=98+2×7×5×12−100=33．故答案为：33．利用向量的数量积以及向量的夹角求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．14.答案：12或72解析：当0<a <1和a >1时两种情况加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，并结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0,2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a 的方程，解之即得满足条件的实数a 的值．本题给出含有字母a 的分段函数，在已知函数的最大最小值之差的情况下求参数a 的值，着重考查了指数函数、一次函数的单调性和分段函数的理解等知识，考查了转化化归和分类讨论的数学思想，属于中档题．解：①当0<a <1时，可得在[0,1]上，f(x)=a x 是减函数；且在(1,2]上，f(x)=−x +a 是减函数 ∵f(0)=a 0=1>−1+a ，∴函数的最大值为f(0)=1；而f(2)=−2+a <−1+a =f(1)，所以函数的最小值为f(2)=−2+a 因此，−2+a +52=1，解得a =12∈(0,1)符合题意； ②当a >1时，可得在[0,1]上，f(x)=a x 是增函数；且在(1,2]上，f(x)=−x +a 是减函数 ∵f(1)=a >−1+a ，∴函数的最大值为f(1)=a 而f(2)=−2+a ，f(0)=a 0=1，可得i)当a ∈(1,3]时，−2+a <1，得f(2)=−2+a 为函数的最小值， 因此，−2+a +52=a 矛盾，找不出a 的值．ii)当a ∈(3,+∞)时，−2+a >1，得f(0)=1为函数的最小值， 因此，1+52=a ，解之得a =72∈(3,+∞)，符合题意．综上所述，实数a 的值为12或72 故答案为12或72．15.答案：√3解析：本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题． 根据点到直线的距离求出|PF 2|=b ，求出|OP|=a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2−2|PF 2|⋅|F 1F 2|cos∠PF 2O ，代值化简整理可得√3a =c ，则C 的离心率可求． 解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0.b >0)的一条渐近线方程为y =ba x ，∴点F 2到渐近线的距离d =√a 2+b 2=b ，即|PF 2|=b ， ∴|OP|=√|OF 2|2−|PF 2|2=√c 2−b 2=a ，cos∠PF 2O =bc ， ∵|PF 1|=√6|OP|，∴|PF 1|=√6a ， 在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得，∴6a 2=b 2+4c 2−2×b ×2c ×bc =4c 2−3b 2=4c 2−3(c 2−a 2)，即3a 2=c 2，得e =√3， 故答案为：√3．16.答案：−2n−1解析：解：∵S n =2a n +1，∴当n =1时，a 1=2a 1+1，解得a 1=−1．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2a n +1−(2a n−1+1)，化为a n =2a n−1，∴数列{a n }是等比数列，首项为−1.公比为2． ∴a n =−2n−1． 故答案为：−2n−1．利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)证明：当n =1时，由S n =2a n +n 得，S 1=a 1=2a 1+1，解得a 1=−1；当n ≥2时，S n−1=2a n−1+n −1，则a n =2a n +n −2a n−1−n +1，∴a n =2a n−1−1(n ≥2)， 则a n −1=2(a n−1−1)(n ≥2)，即a n −1an−1−1=2，∴数列{a n −1}是−2为首项，以2为公比的等比数列；(2)解：由数列{a n −1}是以2为公比的等比数列，得an −1=−2⋅2n −1=−2n ，则a n =1−2n ， ∴b n =log 2(1−a n )=log 22n =n ，则1bn b n+1=1n (n+1)=1n −1n+1，∴T n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1=nn+1．解析：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．(1)在已知的数列递推式中取n =1求得数列首项，取n =n −1得另一递推式，两式作差可得a n =2a n−1−1(n ≥2)，然后利用构造法可得数列{a n −1}是以2为公比的等比数列；(2)由数列{a n −1}是以2为公比的等比数列求得an −1=−2⋅2n −1=−2n ，代入b n =log 2(1−a n )后求出b n =n ，再代入1bn ·b n+1后利用裂项相消法求和．18.答案：解：(1)因为cosA =34，所以cosC =cos2A =2cos 2A −1=2×(34)2−1=18，在△ABC 中，因为cosA =34，所以sinA =√74，因为cosC =18，所以sinC =√1−(18)2=3√78，所以cosB =−cos(A +C) =sinAsinC −cosAcosC =916．(2)根据正弦定理，得ac =23．又ac =24，所以a =4，c =6，所以b 2=a 2+c 2−2accosB =25，即b =5， 所以△ABC 的周长为15．解析：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题． (1)利用已知条件结合二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解即可； (2)利用正弦定理和余弦定理，结合已知条件转化求解即可．19.答案：证明：(1)∵AE//CF ，∴四点A 、C 、F 、E 共面．如图所示，连接AC ，BD ，相交于点O ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴对角线BD ⊥AC ， ∵AE ⊥平面ABCD ，∴AE ⊥BD ，又AE ∩AC =A ， ∴BD ⊥平面ACE ，∵CE ⊂平面ACE ，∴BD ⊥CE ．解：(2)以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AE 分别为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A(0,0，0)，B(2,0，0)，F(2,1，1)，D(0,2，0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面ABF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y +z =0，令y =1，得m⃗⃗⃗ =(0,1，−2)． 同理可得：平面AFD 的法向量n ⃗ =(1,0，−2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=45． 由图可知：二面角B −AF −D 的平面角为钝角，∴二面角B−AF−D的余弦值为−45．解析：(1)连接AC，BD，推导出BD⊥AC，AE⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥CE．(2)以A为坐标原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立坐标系．利用向量法能求出二面角B−AF−D 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)由2c=2得c=1，a2=b2+c2=b2+1，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,√22)，则1b2+1+12b2=1，解得：b2=1，a2=2，∴椭圆的标准方程为：x22+y2=1；(2)由题意可知设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=k(x+2)，联立方程{y=k(x+2) x22+y2=1,整理得：(1+2k2)x2+8k2x+8k2−2=0，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，AB的中点M(x0,y0)，则x1+x2=−8k21+2k2，x1x2=8k2−21+2k2，则y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=4k1+2k2，△=(8k2)2−4(1+2k2)(8k2−2)>0，解得：−√22<k<√22，则x0=−4k21+2k2，y0=2k1+2k2，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，则k GM=y0+12x0=2k1+2k2+12−4k21+2k2=−1k，(k≠0)，解得：k=2−√22或k=2+√22(舍)，当k=0时，显然满足题意；∴直线l 的方程为：y =2−√22(x +2)或y =0．解析：(1)由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(2)将直线代入椭圆方程，由△>0，求得k 的取值范围，由|GA|=|GB|，则GM ⊥AB ，根据直线的斜率公式，即可求得k 的值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21.答案： 解：(1)依题意，所求茎叶图如下所示：则所求中位数为122+1232=122.5；(2)X 的所有可能值为600，800，1000，1200，1400． 则P(X =600)=C 43C 93=484=121，P(X =800)=C 41⋅C 42C 93=2484=27，P(X =1000)=C 11C 42+C 41C 42C 93=514，P(X =1200)=C 43+C 11⋅C 41⋅C 41C 93=521，P(X =1400)=C 11⋅C 42C 93=684=114．所以X 的概率分布列为： X 600 800 1000 1200 1400 P 121 27 514 521 114 E(X)=600×121+800×27+100×514+1200×521+1400×114=1000(元)．(3)依题意，x A =123.5，故满足x A −x i <8为甲(116)，丁(120)， 故所求概率P =C 21C 41C 62=815．解析：本题考查频率与概率的综合，茎叶图，离散型随机变量的分布列以及期望，古典概型概率的计算，(1)由数据即茎叶图的特征，绘制茎叶图；(2)找不离散型随机变量，求出概率，列出分布列，求期望；(3)由古典概型计算概率．22.答案：解：(1)f′(x)=e x−a，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，无极值；当a>0时，令f′(x)=0，x=lna，令f′(x)>0，解得x>lna，令f′(x)<0，解得x<lna，故f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，故f(x)极小值=f(lna)=e lna−alna+a−1=2a−alna−1=e−1，解得：a=e；(2)f′(x)=e x−a(x≥a)，①当a<0时，f′(x)>0，f(x)在[a,+∞)上单调递增，∵f(0)=a<0，f(1)=e−1>0，∴f(x)≥0不恒成立，即a<0不符合题意；②当a=0时，f′(x)=e x>0，f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，即f(x)≥0恒成立，所以a=0符合题意；③当a>0时，f′(x)=0，解得x=lna，所以f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，令g(x)=x−lnx，x>0，则g′(x)=x−1，x所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=1−0=1>0，即x>lnx，所以a>lna，f(x)在[a,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(a)=e a−a2+a−1，令ℎ(x)=e x−x2+x−1，x>0，则ℎ′(x)=e x−2x+1，令m(x)=e x−2x+1，x>0，则m′(x)=e x−2，令m′(x)=0，得x=ln2，所以当0<x<ln2时，m′(x)<0，m(x)单调递减；当x>ln2时，m′(x)>0，m(x)单调递增，所以m(x)min=e ln2−2ln2+1=3−2ln2>0，所以ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)min>ℎ(0)=1−1=0，即f(x)min=f(a)=e a−a2+a−1>0，所以a满足题意．综上所述，a的取值范围是[0,+∞)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查分类讨论思想，属于中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的取值范围，根据导数确定函数的单调区间和极值，即可求出a的值；(2)求出函数的导数，通过讨论a的取值范围，在每种情况下利用导数判断f(x)≥0是否恒成立，从而确定a的取值范围．。
安徽皖东中联盟2018~2019学年第一学期高三期末联考理科数学试题(5页)
安徽皖东中联盟2018~2019学年第一学期高三期末联考理科数学试题数学试题(理科)一、选择题：本题共12小题，毎小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ）A. (,0)-∞B. (,0)(1,2)-∞UC.(,0)(1,4)-∞⋃D. R2.若i 为虚数单位，则12i2i+=（ ） A. 112i +B. 112i -C.1i 2- D.1+2i 3.若直线:410l x ay -+=平分圆22:(2)(2)4C x y ++-=，则实数a 的值为（ ） A. 72-B.2815C.72D.2815或724.2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A. 45B. 47C. 48D. 635.已知:p 双曲线221916x y -=的离心率为54；:q 关于x 的方程220x ax a -+-=（a ∈R ）有两个不相等的实数根，则下列为假命题的是（ ） A. ()p q ⌝∧ B. p q ∨C. p q ∧D. ()p q ⌝∨6.若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2019cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A.35 B. 35-C.45 D. 45-7.若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A.10072015B.10082017C.10092019D.101020218.我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是（ ） A.678斤 B.739斤 C.778斤 D.111斤 9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.43B.23C. 2D. 410.已知函数2()xf x x e =，若2220,0,,,()22a b a b a b p f q f r f ab ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫>>=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中正确的是（ ） A. q r p ≤≤B. q p r ≤≤C. r p q ≤≤D. r q p ≤≤11.已知过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 作斜率为3的直线交抛物线于A B 、两点，分别过点A B 、作x 轴的垂线，垂足分别为11,A B ，若四边形11AA B B的面积是C 的方程是（ ）A. 2x y =B. 2x y =C. 24x y =D. 2x y =12.已知函数3213,0()2,0x x x t x f x t x -+⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩有且只有3个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A. (2,0]- B. (0,2) C. (2,4) D. (2,4)-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知2,3,4a b a b ==+=v v r v ，则向量a r 与b v夹角的正弦值为______________．14.已知实数,x y 满足不等式组1420220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则481x y -+的最小值是______________．15.612x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______________．16.在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，ABC ∆的面积2S =，且满足()cos 1cos a B b A =+，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ．18.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-． （1）求证：A B =； （2）若c =3cos 4C =，求ABC ∆的周长． 19.“微信运动”已成为当下热门运动方式，小王的微信朋友内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设ξ＝|X ﹣Y |，求E 的分布列及数学期望．附：K 2()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++，n ＝a +b +c +d ．20.如图，矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，2,1EP BP AD AE ====，,//,,AE EP AE BP G F ⊥分别是,BP BC 的中点．的（1）求证：平面//AFG 平面PCE ； （2）求二面角D BE A --的正切值．21.已知椭圆2222:1()0x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左焦点为1F ，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于,D E 两点，则在x 轴上是否存在一个定点M 使得直线,MD ME 的斜率互为相反数？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，也请说明理由．22.定义：若函数()f x 的导函数()f x '是奇函数（()()0f x f x ''-+=），则称函数()f x 是“双奇函数” ．函数21()()()f x x x a x x=++∈R ． （1）若函数()f x 是“双奇函数”，求实数a 的值；（2）假设211()()ln 2x a g x f x x x x a +⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭． （i ）在（1）的条件下，讨论函数()g x 的单调性； （ii ）若a ∈R ，讨论函数()g x 的极值点．。
2019-2020年高三上学期期末考试 理科数学 含答案
绝密★启用并使用完毕前2019-2020年高三上学期期末考试 理科数学 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.复数满足，则（A ） （B ） （C ） （D ） 2.已知为全集，,则 （A ） （B ） （C ） （D ） 3.已知，则（A ） （B ） （C ） （D ） 4.有一个容量为的样本，其频率分布直 方图如图所示，据图估计，样本数据在 内的频数为 （A ） （B ） （C ） （D ）5.为等差数列，为其前项和， 则（A ） （B ） （C ） （D ）6.（A ） （B ）（C ）（D ）7.已知三个数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为 （A ） （B ） （C ）或 （D ）或8.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为 （A ）（B ）（C ）（D ） 9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积不可能是 （A ） （B ） （C ） （D ）10.已知函数的定义域为，且为 偶函数，则实数的值可以是（A ） （B ） （C ） （D ）样本数据频率 组距0.020.05 0.09 0.15（第4题图） 主视图左视图俯视图（第9题图）11.从,六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有多少种取法（A）（B）（C）（D）12.对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 的展开式中，常数项为___________.14. ____________________.15.已知，则的最大值为_________________.16.已知，则函数的零点的个数为_______个.三、解答题（本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）在中，角所对应的边分别为，为锐角且，，.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，求的值.18．（本小题满分12分）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）求出上表中的的值；（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率； ②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）已知数列，，，记，，（）,若对于任意，，，成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ) 求数列的前项和. 20.（本小题满分12分）三棱锥,底面为边长为的正三角形，平面平面，,为上一点，，为底面三角形中心. （Ⅰ）求证∥面； （Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设为中点，求二面角的余弦值.21.（本小题满分13分）已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求实数的最小值； （Ⅲ）求证：（）. 22.（本小题满分13分）已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为、,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆（垂直于轴的一条弦，所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交定直线于两点、，求证.CB高三理科数学参考答案一、选择题C CD C A ,A C A D B , B C二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵为锐角， ∴ --------------2分 ∵，，∴ --------------3分 ∵，∴∴, --------------4分cos cos()cos cos sin sin2C A B A B A B =-+=-+==- ∴ --------------6分（Ⅱ）由正弦定理 --------------8分 ∴，解得 --------------10分∴ --------------12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知， --------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人， --------------4分 ①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件， 则所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为. --------------6分 ②随机变量的可能取值为 --------------7分 ， ,， --------------10分 随机变量的分布列为：--------------11分因为 ，所以随机变量的数学期望为. --------------12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意，，成等差数列∴--------------2分整理得∴数列是首项为，公差为的等差数列--------------4分∴--------------6分（Ⅱ）--------------8分记数列的前项和为.当时，当时，2(2)(138)313714222nn n nS n-+-=+=-+综上，--------------12分20.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结交于点，连结.为正三角形的中心，∴,且为中点.又，∴∥, --------------2分平面，平面∴∥面．--------------4分（Ⅱ）,且为中点, ∴,又平面平面，∴平面, --------------5分由（Ⅰ）知，∥，∴平面,∴--------------6分连结,则,又,∴平面,∴．--------------8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，两两互相垂直，且为中点，所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则21(3,0,0),(0,0,1)(1,0,),(0,(0,)32A B P D C M，------------9分∴设平面的法向量为，则，令，则．--------------10分由（Ⅱ）知平面,∴为平面的法向量，∴cos,||||n ACn ACn AC⋅<>===r u u u rr u u u rr u u u r，由图可知，二面角的余弦值为．--------------12分21. （本小题满分13分）C解：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴① --------------1分 ，∴② --------------2分 ①②联立，解得∴ --------------3分 （Ⅱ），∴在上恒成立；即在恒成立； --------------4分 设，，∴只需证对于任意的有 --------------5分[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++设，1）当，即时，，∴在单调递增，∴ --------------6分 2）当，即时，设是方程的两根且 由，可知，分析题意可知当时对任意有；∴，∴ --------------7分综上分析，实数的最小值为. --------------8分 （Ⅲ）令，有即在恒成立；--------------9分令，得 --------------11分 ∴22222211111111(ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln(1)ln )2323111=1ln(1)231111ln(1)1223(1)12ln(1)2ln(1)n n n nn n n n n n n n++++≤+++++-+-+++-++++++<++++++⨯⨯-=-++<++K K L K K ∴原不等式得证. --------------13分 22. （本小题满分13分）解：（Ⅰ） 观察知，是圆的一条切线，切点为， --------------1分 设为圆心，根据圆的切线性质，， --------------2分 所以， --------------3分 所以直线的方程为. --------------4分 线与轴相交于，依题意， --------------5分所求椭圆的方程为 --------------6分 （Ⅱ） 椭圆方程为，设则有， --------------7分 在直线的方程中，令，整理得 ①同理， ② --------------9分 ①②，并将代入得=222220022011(4)(1)(4)(1)44()m x mx m m m x -⋅-+-⋅--==. --------------11分而24416,,Q R Q R OQ OR y y y y m m m⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r = --------------12分∵且，∴∴ --------------13分。
2019-2020学年安徽省芜湖市高三(上)期末数学试卷(理科)附答案解析
2019-2020学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2）B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，2）2．（5分）已知复数z满足z＝1+i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．B．1C．2D．3．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，已知a4＝6，S3＝6，则（）A．a n＝4n﹣10B．a n＝3n﹣6C．S n＝n2﹣n D．S n＝2n2﹣4n 4．（5分）《周髀算经》中记录了一种“盖天天地模型”如图所示，“天之中央亦高四旁六万里．四旁犹四极也，地穹隆而高，如盖笠．故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里．”意思为“天的中央亦高出四周六万里．四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠．所以日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里．”将地球看成球体，以此数据可估算地球半径大约为（）A．164万里B．140万里C．104万里D．78万里5．（5分）已知抛物线方程为x2＝2y，则其准线方程为（）A．y＝﹣1B．x＝﹣1C．D．6．（5分）若（2x﹣4）n展开式中第3项二项式系数和第5项二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为（）A．26B．﹣27C．28D．﹣297．（5分）若，b＝log34，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c8．（5分）已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）某校高三年级有男生410人，学号为001，002，…，410；女生290人，学号为411，412，…，700对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030）；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝|cos2x|+cos|x|，x∈[﹣π，π]，则下列说法错误的为（）A．f（x）有2个零点B．f（x）最小值为C．f（x）在区间单调递减D．f（x）的图象关于y轴对称11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个截面经过顶点A，C及棱A1D1上一点K，且将正方体分成体积之比为13：41的两部分，则的值为（）A．1B．C．D．12．（5分）若点A（0，t）与曲线y＝lnx上点B距离最小值为，则实数t为（）A．ln2+3B．ln3+2C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，（n∈N*），那么数列{a n}的前9项和S n ＝．15．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD边长为2，E为PB中点，∠AEC＝90°，则球O表面积为．16．（5分）设F1，F2为双曲线（a＞0，b＞0）左，右焦点，过F2的直线交双曲线左，右两支于点M，N，连接MF1，NF1，若，且，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点，．（1）求证：ED⊥BP；（2）若BD与平面PBC所成的角为30°，求二面角C﹣PB﹣D的大小．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的周期；（2）若，，求sin2α．19．（12分）已知定点M（﹣1，0），圆N：（x﹣1）2+y2＝16，点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点M与N作平行直线l1和l2，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．20．（12分）小明和父母都喜爱《中国好声音》这栏节目，2019年10月7日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为1，2，3，4，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测．现用a1，a2，a3，a4表示某网友对实际名次为1，2，3，4的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列，X＝|a1﹣1|+|a2﹣2|+|a3﹣3|+|a4﹣4|是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述．（1）求X的分布列及数学期望；（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是X＜4，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）．21．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣2x（a＞1）．（1）当a＝e时，求证：f（x）﹣lnx+2x＞2；（2）讨论函数f（x）的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为，，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为M，N（除极点外），求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣4|﹣2|x﹣1|的最大值为m．（1）解不等式f（x）＞1；（2）若a，b，c均为正数，且满足a+b+c＝m，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1）．故选：C．2．【解答】解：∵z＝1+i，∴|z|＝．故选：D．3．【解答】解：因为a4＝6，S3＝6，所以，解可得，a1＝0，d＝2，故a n＝2n﹣2，s n＝＝n2﹣n．故选：C．4．【解答】解：设地球的半径为R万里，如图所示：由题意可得，日光照射到地球所形成的截面圆的半径为万里，则R2＝（R﹣6）2+（）2，解得R＝3+≈140（万里），故选：B．5．【解答】解：抛物线x2＝2y的准线方程为：y＝﹣，故选：D．6．【解答】解：（2x﹣4）n展开式中第3项二项式系数和第5项二项式系数相等，所以，所以n＝6，令x＝1，则（2﹣4）6＝26，故选：A．7．【解答】解：＝log35＞b＝log34＞1，＜1，则a＞b＞c．故选：D．8．【解答】解：函数的导数f′（x）＝2x﹣2sin x，则f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，设g（x）＝f′（x）＝2x﹣2sin x，则g′（x）＝2﹣2cos x≥0，即g（x）为增函数，排除D故选：C．9．【解答】解：由题意得，抽样间隔为＝70，且第1组抽到的号码为030，第2组抽到号码为100，第3组抽到号码为170，第4组抽到号码为240，第5组抽到号码为310，第6组抽到号码为380，都为男生，从第7组开始抽到的都为女生，有4人．所以在抽取的10人中，男生6人，女生4人．从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率P＝1﹣﹣＝．故选：D．10．【解答】解：由x∈[﹣π，π]关于原点对称，且f（﹣x）＝|cos2（﹣x）|+cos|﹣x|＝|cos2x|+cos|x|＝f（x），即有f（x）为偶函数，即f（x）的图象关于y轴对称，故D正确；由对称性可知只需考虑x∈[0，π]，当x∈[0，]时，2x∈[0，]，cos2x≥0，f（x）＝cos2x+cos x＝2cos2x+cos x﹣1＝2（cos x+）2﹣，令t＝cos x（≤t≤1），则y＝2（t+）2﹣在[0，1]递增，则f（x）在x∈[0，]递减，故C正确；当x∈[，]时，2x∈[，π]，cos2x≤0，f（x）＝﹣cos2x+cos x＝﹣2cos2x+cos x+1＝﹣2（cos x﹣）2+，令t＝cos x（0≤t≤），则y＝﹣2（t﹣）2+在[0，]递增，[，]递减，则f（x）在x∈[，arccos]递增，在x∈[arccos，]递减；x∈[，]时，2x∈[π，]，cos2x≤0，f（x）＝﹣cos2x+cos x＝﹣2cos2x+cos x+1＝﹣2（cos x﹣）2+，令t＝cos x（﹣≤t≤0），则y＝﹣2（t﹣）2+在[﹣，0]递增，则f（x）在x∈[，]递减，x∈[，π]时，2x∈[，2π]，cos2x≥0，f（x）＝cos2x+cos x＝2cos2x+cos x﹣1＝2（cos x+）2﹣，令t＝cos x（﹣1≤t≤﹣），则y＝2（t+）2﹣在[﹣1，﹣]递减，则f（x）在x∈[，π]递增，综上可得，f（x）在x＝处取得最小值，且为﹣，故B正确；又f（x）在[0，]时f（x）＞0，f（x）在（，）递减，在[，π]递增，f（）＜0，f（π）＝0，可得f（x）在[0，π]有两个零点，则f（x）在[﹣π，π]有4个零点，故A错误，故选：A．11．【解答】解：过K作KE∥AC，交C1D1于点E，连结CE，设正方体棱长为a，设＝，则D1K＝D1E＝，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个截面经过顶点A，C及棱A1D1上一点K，且将正方体分成体积之比为13：41的两部分，∴＝[++]＝，解得λ＝2．∴＝．故选：C．12．【解答】解：设点B坐标为（x0，lnx0），其中x0＞0，∵，∴过点B的切线斜率为，∵当直线AB与过点B的切线垂直时，点A与点B间的距离最小，∴此时，∴，点A与点B间的距离最小值，即，解得：x，又∵x 0＞0，∴，∴，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：；∵；∴；∴m＝8．故答案为：8．14．【解答】解：a1＝1，（n∈N*），可得a1a2＝3，即a2＝3，又a n+1a n+2＝3n+1，相除可得＝3，则数列的奇数项和偶数项，均为公比为3的等比数列，可得数列{a n}的前9项和为（1+3+…+34）+（3+9+27+81）＝+120＝241．故答案为：241．15．【解答】解：如图，设ABCD的中心为G，连接PG，则PG⊥底面ABCD，∵底面ABCD边长为2，∴AC＝2，又∠AEC＝90°，∴△AEC为等腰直角三角形，得EG＝，则PB＝2，∴PG＝．设正四棱锥P﹣ABCD的外接球的外接球的球心为O，半径为R，则，解得R＝．∴球O表面积为．故答案为：．16．【解答】解：若，且，可得△MNF1为等腰直角三角形，设|MF1|＝|NF1|＝m，则|MN|＝m，由|MF1|﹣|MF2|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，两式相加可得|NF2|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，即e＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．【解答】解：（1）证明：面PCD⊥面ABCD，BC⊥CD，面PCD∩面ABCD＝CD，所以BC⊥面PCD，∴BC⊥DE，又∵PD＝CD，E为PC中点，∴ED⊥PC，BC∩PC＝C，∴ED⊥面PBC，故ED⊥BP．（2）解：以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，由（1）可知，BD在平面PBC的射影为EB，即∠DBE＝30°，不妨设CD＝2，由得，∴，故BC＝2，D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，0）∴，，，设平面PBC与平面PBD的法向量分别为和，则由，令y2＝1，则x2＝﹣1，z2＝0，∴∴，∴二面角C﹣PB﹣D的大小60°．18．【解答】解：（1）＝＝，所以函数f（x）周期为T＝π．（2），所以因为，得，所以，可得＝．19．【解答】解：（1）由题意可得|MP|+|NP|＝|PQ|+|NP|＝4＞|MN|＝2，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；（2）由题意可设l2的方程为x＝ty+1，联立方程得，设D（x1，y1），E（x2，y2），则由根与系数关系有，所以，同理l1与l2的距离为，所以四边形ABDE面积为，令（u≥1）得，当且仅当u＝1，即t＝0时，S ABDE面积取最大值为6．20．【解答】解：（1）X的可能取值集合为{0，2，4，6，8}．分可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，在等可能的假定下，得X02468P故；（2）首先，将三人评分后都有X＜4的概率记作p，由上述结果的独立性得．21．【解答】（1）解法1：令g（x）＝f（x）﹣lnx+2x﹣2＝e x﹣lnx﹣2，则（x ＞0），∵g'（1）＝e﹣1＞0，，∴存在，使g'（x0）＝0因为g'（x）在（0，+∞）为增函数，所有函数g（x）在（0，x0）上为单减函数，在（x0，+∞）上为单增函数，所以（x0≠1）即得证．解法2：（放缩法）由重要不等式可得，e x＞x+1，x＞lnx+1，易得e x＞lnx+2，故得证．（2）解：当a x＝2x，两边取对数得xlna＝ln2x＝ln2+lnx，令h（x）＝xlna﹣lnx﹣ln2，，令得，，当时，即得时，，函数f（x）无零点；当时，即得时，，函数f（x）有1个零点；当时，即得时，，，函数f（x）有1个零点，，，函数f（x）有1个零点．故函数有2个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由参数方程，得普通方程x2+（y﹣2）2＝4，所以极坐标方程：ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣4ρsinθ＝0，则ρ＝4sinθ．（2）直线与曲线C的交点为O，M，得又直线与曲线C的交点为O，N，得且，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣4|﹣2|x﹣1|＝，∵f（x）＞1，∴或或，∴﹣1＜x＜，∴不等式的解集为．（2）由（1）知f（x）的最大值m＝3．∵a，b，c均为正数，∴，，，又a+b+c＝m＝3，∴．∴，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．∴．。
2019-2020年高三上学期期末考试数学理含答案
2019-2020年高三上学期期末考试数学理含答案xx．1 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页。
共150分，测试时间l20分钟。
注意事项：选择题为四选一题目。
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
第I卷(共60分)一、选择题：本大题共l2小题。
每小题5分，共60分。
把正确答案涂在答题卡上。
1．若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为A．B．C．D．2．设集合M={}，N={}，则MN=A．{} B．{}C．{} D．{}3．命题“，使得”的否定为A．，都有B．，都有C．，都有D．，都有4．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是A．90 B．75 C．60 D．455．已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=A．8 B．6 C．6 D．86．某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应为A．K>2 B．K>3C．K>4 D．K>57．已知是定义域为R的奇函数，当x≤0时，，则不等式的解集是A．(5，5) B．(1，1)C．(5，+) D．(l，+)8．函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为A．B．C．D．9．如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是A．B．C．D．10．已知双曲线C 1：22221(00)y x a b a b-=>>，的离心率为2，若抛物线C 2：的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离是2，则抛物线C 2的方程是A ．B ．C ．D ．11．已知是实数，则函数的图象可能是12．没函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数，取函数，恒有，则A ．K 的最大值为B ．K 的最小值为C ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．设满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若，则实数的取值范围为 ．14．二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是 ．15．已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．16．下列四个命题：①； ②23(0,),log log x x x ∃∈+∞<；③121(0,),()log 2x x x ∀∈+∞>；④． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分l2分)已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m =(sinA ，1)，n =(cosA ，)，且m //n ．(I)求角A 的大小；(II)若a=2，b=2，求ABC 的面积．18．(本题满分l2分)设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，曲线通过点(0，2a+3)，且在处的切线垂直于y轴．(I)用a分别表示b和c；(II)当bc取得最大值时，写出的解析式；(III)在(II)的条件下，g(x)满足4()6(2)()(2)3f x xg x x-=->，求g(x)的最大值及相应x值．19．(本题满分l2分)某中学经市批准建设分校，工程从xx年底开工到xx底完工，分三期完成，经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立完成，必须在建完前一期工程后再建后一期工程，已知甲公司获得第一期，第二期，第三期工程承包权的概率分别是，，．(I)求甲乙两公司均至少获得l期工程的概率；(II)求甲公司获得的工程期数的分布列和数学期望E(X)．20．(本题满分l2分)已知等差数列{}的首项a1=1，公差d>0，且a2，a5，a14分别是等比数列{}的b2，b3，b4．(I)求数列{}与{{}的通项公式；(Ⅱ)设数列{}对任意自然数n均有成立，求的值．21．(本题满分l3分)已知函数．(I)讨论的单调性；(Ⅱ)若在(1，+)恒成立，求实数a的取值范围．22．(本题满分l3分)已知椭圆C：的两个焦点是F1(c,0)，F2(c，0)(c>0)。
2019-2020年高三上学期期末考试数学理(2021年整理)
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2019—2020年高三上学期期末考试数学理xx 。
1一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
“”是“直线和直线互相垂直”的A.充分不必要条件B 。
必要不充分条件 C.充要条件D 。
既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当时，直线为，此时两直线不垂直,所以，所以的斜率为,若直线垂直，则有，即，所以“”是“直线和直线互相垂直"的充要条件 ，选C 。
2。
如图，若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为A. B. C. D 。
1 【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥，底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以体积为，选A.3.设0.533,log 2,cos 2a b c ===，则A.B 。
C. D 。
【答案】A【解析】,,，，,所以，选A 。
4.设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若，则等于A. B 。
C. D.3【答案】B【解析】因为，所以,即。
所以tan 1211tan()41tan 123πααα---===++，选B. 5。
已知集合，集合，则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为A.B.C. D. 【答案】C【解析】{}222{20}{02}M x y x x x x x x x ==-=-≥=≤≤，{}3,0{1}x N y y x y y ==>=>，则阴影部分为{}x x M N x M N ∈∉且，，所以,即阴影部分为{}{012}x x MN x M N x x x ∈∉=≤≤>且或，即，选C 。
2019届安徽省皖东县中联盟高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)
2019届安徽省皖东县中联盟高三上学期期末联考数学(理)试题、单选题1 .已知集合 A {x|2x 4}, B {x|x2 x},则 AU BB. ( ,0)U(1,2)C. (,0)U(1,4) D. R【详解】A {x|x 2},B {x|x 0或x 1}, AU B R .本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法， 并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力.2 .若i 为虚数单位，则1 B. 1 -i本题选择B 选项.【点睛】 本题主要考查复数的除法运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力- 22C :(x 2) (y 2) 4，则实数a 的值为(据此得到关于实数a 的方程4(2) a 2 1 0 ,,0) 【解析】 首先求得集合A,B,然后求解其并集即可.d 1 .A . 1 -iD i +i【解析】由题意结合复数的运算法则分子分母同时乘以 i,然后整理计算即可求得最终结果. 【详解】由复数的运算法则有:1 2i (1 2i)i 2i2i 23.若直线l ：4xay 1 0平分圆7A.-228B.—7C.-D .丝或115 2【解析】由题意可知直线经过圆心,解方程即可确定实数a的值.【详解】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心C( 2,2)在直线l:4x ay 1 0上,所以4 ( 2) a 2 1 0,解得a本题选择A选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是( )A . 45 B. 47 C. 48 D . 63【答案】A【解析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可^【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63,最中间的数为：45,所以，中位数为45.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力5.已知P：双曲线—L 1的离心率为-;q：关于x的方程x2 ax a 2 0 9 16 4(a R)有两个不相等的实数根，贝U下列为假命题的是( )A • ( p) q B. p q C. p q D . ( P) q【答案】C【解析】由双曲线的方程求解双曲线的离心率可知p为假命题，由判别式为正数可知命题q为真命题，然后考查选项中所给的复合命题的真假即可^【详解】 双曲线中, 3,b 4, 所以，c y/a 2 b 2 5，离心率为e —, p 为假命题;3对于命题 q ：(a)2 224(a 2) a 2 4a 8 (a 2)2 4 0,所以万程2 x ax 0 (aR ）有两个不相等的实数根,q 为真命题,考查所给的命题: A. p q 是真命题，B. p q 是真命题，C. p q 是假命题，D.本题选择C 选项. 【点睛】 本题主要考查双曲线的离心率的计算, 兀一次方程根的个数的判定, 复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 6 .若 sin 3 2 3 .................................................. —,且是第二象限角，则 5 cos2019 23 A.- 5 C.【解析】 求得sin 【详解】 sin cos 【点睛】 由题意结合诱导公式首先求得 4 ___ _____…—,取后由诱导公式求解5 cos cos 3 小，…一 一_-,然后结合同角三角函数基本关系52019竺匕的值即可.2 32cos 3 一，cos 5是第三象限角，所以sin2019 2 cos 10083 . 一 sin 2 本题主要考查诱导公式的应用, 同角三角函数基本关系的应用等知识， 意在考查学生的 转化能力和计算求解能力7.若执行如图所示的程序框图, 则输出 S 的值为（）1007100810091010A . -------- B. -------- C. D.2015201720192021【答案】C【解析】首先确7E流程图的功能为计数S1 11 1 ,13 3 5 5 72017 2019值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果【详解】1 111由题意结合流程图可知流程图输出结果为S -L ---------------13 3 5 5 72017 2019 Q——1(n 2)n111n(n2)2n(n 2)2n n 2S -1111L1335 5 7201720191 1 211111L11 335572017201911 211009 2019.本题选择C选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：⑴要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.⑵要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.8.我国南北朝时期的数学著作〈〈张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是( )【答案】C结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值 【详解】则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是 —斤.78本题选择C 选项.【点睛】 本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（_ 2B.—3【答案】A【详解】且D 是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积u 斤78B.［斤39L 78- 1 D .一斤11【解析】由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得S ,d778设首项为a i,公差为d ,则根据题意可得3a i 3d 4 a 30d4，解得a 1l ，d778【解析】首先由三视图还原所给的几何体为三棱锥,然后结合体积公式求解其体积即可据三视图分析知，该几何体是如图所示的棱长为的正方体被平面解得的三棱锥⑴求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及 直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.C.首先由均值不等式和不等式的性质比较自变量的大小可得11.已知过抛物线C:x 2 2py （p 0）的焦点F 作斜率为寸3的直线交抛物线于 A B33 J3，则抛物线C 的方程是（ ）【点睛】10.已知函数f(x)a 0, b0, 2,2a b 丁 ,q ,r f （ab ）,则下列关系式中正确的【解析】 22【详解】因为a 0,b0 :22a b ab 2222abm a2a bab，然后结合函数区间（0,）上单调递增比较p,q,r 的大小即可.又因为函数f （x ）2a 2 2b 2 4a 2b 2 2ab4b 2x 2e x 在区间（0,）上单调递增,所以 f(ab) < f本题主要考查函数的单调性,两点，分别过点 A B 作x 轴的垂线，垂足分别为A, B i ,若四边形AA 1B 1B 的面积是22,2a b设A(x〔, y i), Bg, y2)，则x1 X22、3p, x〔x23所以y i 所以x2y2x i \(x i x2)2(x i x2)(y i y2) x2所以抛物线C的方程为4x1x24 2 23p 4p4.3x i23p53p5p3 i03、一30-^y-【答案】B B. x2 迥y C. x2 4y52D • x23.6 T y【解析】由题意，联立直线方程与抛物线方程可得 22、3 2x ------ px p0 ,结合韦达定理有x1 x22.3-3- p,伞22______________ , 1 , 、—p .则四边形的面积为一（y i y2） x2 X ,据此得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程【详解】据题意，得直线AB的方程为y技x卫由3 2 、3x 3本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求解，韦达定理的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力3 _ _x 3x t, x 022|X1|七0有且只有3个零点，则实数t的取值范围是A. ( 2,0]B.(0,2)C. (2,4) D . ( 2,4)【点睛】【答案】C【解析】由题意可得t3x 3x, x 0-,，由题意可知函数y t的图象与函数2 x 112 ，'， x 03x 3x, x 0八. 的图象有且只有三个交点，据此确定实数2 x 12 I \ x 0t的取值范围即可【详解】x3 3x, x 0 x3 3x, x 0』，作出函数y 八、的图象，据题设分2 x 1 2x12 1', x 0 2 11, x 0析可知，函数y t的图象与函数yx3 3x, x 0_i " 的图象有且只有三个交点，则实2 x 12 1 ', x 0数t的取值范围是（2,4）.12 .已知函数f (x)( )本题主要考查分段函数的零点问题， 等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【答案】_!54【解析】由题意利用向量夹角公式首先求得向量夹角的余弦值cosa, V -V-a然后结合同角三角函数基本关系求解其正弦值即可 ^【详解】r v 2a b 16，1 . v v 15 —,sin a, b4 4 -同角三角函数基本关系及其应用等知识， 意在考查学生x 14x y 2 0,则4x 8y 1的最小值是 2x y 2 0【答案】431【解析】首先圆出可行域，由几何意义可知当z 取得最小值时，直线系方程y — x k2的截距最大, 即目标函数在点 C 处取得最小值，求得点 C 的坐标，代入目标函数求解其最小值即可 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，11 z 目标函数z 4x 8y 1即y 1x 1 -28 8’1 .v vr v 13.已知a 2, b3, a b一，-r . v .一一、，，•4,则向量a 与夹角的正弦值为r V 2 「2r v v 2a ba2a b b 13v vr v3vv a ba b cosa,bv-2同b【点睛】本题主要考查平面向量的夹角， 的转化能力和计算求解能力 .、填空题由几何怠乂可知当z取碍取小值时，直线系万程y - x k的截距最大，则目标函数在点C处取得最小值,联立直线方程：，可得点C的坐标为：1,6 ,4x y 2 0据此可知目标函数的最小值为： 4 1 8 6 1 43.故答案为-43.【点睛】求线性目标函数z= ax+ by（ab乒0的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当bv 0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.615 . 1 x 2 的展开式中的常数项为 .x【答案】76【解析】由题意首先写出展开式的通项公式C：C；x a x b y c n x y,然后结合所给的式子求解其常数项即可.【详解】x y xy n x y二项式（a b c）n展开式的通项公式为C n C"x a b y c y,1所以 1 x 2 的展开式中的常数项为：x12326 C 1C 1 11 24 C 2C2 1 2 22 C3 132 C 6C 5 — ( X) 2C 6C 4 —( X) 2 C 6 —( x)XXX64 480 360 2076.【点睛】(1) 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成： 第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和r 的隐含条件，即n, r 均为非负整数，且 n 洋，如常数项指数为零、有理项指数为整数等 )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2) 求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 16 .在锐角 ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边， ABC 的面积S 2 ,且满足acosB b 1 cosA ，贝U c a b c b a 的取值范围是 .【答案】8、2 8,8【解析】 在锐角△ ABC 中，a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边，满足acosB=b(1+cosA),sinAcosB=sinB+sinBcosA,sin(A- B)=sinB, . .A-B=B ，即 A=2B< 方,..BE (0, -),/. A+B=3B> —B> —6Q — C —S -absinC22C8 2sin — 2sin cos2 2242 ab ----------sinC2222,2a c (a b) cab 2ab8 .. 一2abcosC 2ab --------- (1 cosC)4 2.2 1 tan C2c a b c b a (8J2 18)，故选 A三、解答题17 .已知公比为4的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S 4 85.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛( n 1)a n ｝的前n 项和T n.【答案】(1) a n 4n I , n N* ； (2) T n【解析】(1)设公比为q,运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求 通项公式;n 1(2)求得(n 1)a n (n 1) 4,由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公 式，化简可得所求和. 【详解】(1)设公比q 为4的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S 4 85 ,则 a n 4n 1 , n N * ； n 1 (2) (n 1)a n (n 1) 4,前 n 项和 T n 0 1 4 2 42 3 43 (n 1) 4n 1 , 4T n 0 1 42 2 43 3 44(n 1) 4n ,两式相减可得3T n 4 42 43 4n1 (n 1)4n4(1 4n 1)(n 1) 4n ,【点睛】力，属于中档题.18 .已知在 ABC 中，角A, B , C 的对边分别为a ，b , c,bsin BtanC bcosB asin AtanC acosA .(1) 求证：A B ;3 一(2) 若 C J 3 , cosC —,求 ABC 的周长.4I 4化简可得T n 4 (3n 4) 4n4 (3n 4) 4n9可得a 1(1 4)85，解得a 〔1 41,本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法， 考查化简运算能【答案】(1)证明见解析；(2) 2姻73【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求sin(A B) 0,可得A B k (k Z),结合范围A, B (0,)，即可得证A B •(2)由(1)可得a b ,进而根据余弦定理可求a b J6 ,即可求解ABC的周长.【详解】(1)Q bsin BtanC bcosB asin AtanC acosA ,bsin Bsin C asin AsinC------------ bcosB ----------------- acosA,cosC cosCbsin BsinC bcosBcosC asinAsinC acosAcosC ,acos(A C) bcos(B C),又QA B C ,acosB bcosA , sin AcosB sin BcosA ,sin(A B) 0 , A B k (k Z),又QA, B (0, ), A B .(2)Q由(1)可知A B ,可得a b,3又Q c 3 , cosC —, 43a2 a2(、、3)2 2a2 3—- ~~2~，42a a 2aa2 b2 6,可得a b 76,••• ABC的周长a b c 246后【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围.19 .微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友内也有大量好友参与了微信运动”，他随机选取了其中的40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，(1)已知某人一天的走路步数超过 8000步被系统评定为 积极型”，否则为 懈怠型根据题意完成下面的 2X2列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为 评定类型(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过 5000步的有X 人，超过10000步的有丫人，设E= |X - Y|,求E 的分布列及数学期望.2n ad bc ..-------------------------- ,n = a+b+c+d. a b c d a c b d【答案】(1)列联表见解析，没有 95%以上的把握认为 评定类型”与 性别”有关；(2)5分布列见解析，E ( &—附：K 28【解析】(1)根据题设数据完成列联表，代入公式计算即得解；(2) E 可能的取值为0, 1, 2,根据独立和互斥事件的概率公式求解对应的概率得到分 布列，计算期望，即得解.【详解】(1)根据题表中的数据完成 2 X2列表如下：没有95%以上的把握认为 评定类型”与 性别”有关.1(2)由题意得小王的微信好友中任选一人，其每日走路频数不超过5000步的概率为-，8………，1超过10000步的概率为-4E 的分布列为:X = Y= 0 或 X= Y= 1 时，A 0, (E= 0)§ 5 C 2 8 8 1 1 29一 一—,8 4 64X = 1, Y= 0 或 X = 0, Y= 1 时，E= 1, (E= 1)C 11 5 C2 ——8 8k 1 5 30C2 —— 4 8 64 X = 2, Y= 0 或 X = 0, Y= 2 时，E= 2, (E= 2)(1)2 (1)2 485 64P P P 2 o n ad bc 240 14 12 6 8 4029 30E ( E) 0——1—— 64 64【点睛】考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于20 .如图，矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面,EP 启 BP 2,AD AE 1, AE EP,AE //BP,G,F 分别是 BP,BC 的中点.(1) 求证：平面AFG//平面PCE ; (2) 求二面角D BE A 的正切值.【答案】(1)见解析；(2)匹3【解析】(1)由几何关系可知四边形 AEPG 是平行四边形，贝U AG//EP .由线面平 行的判定定理可得 AG//平面PCE •由中位线的性质可知 FG//PC ，则FG//面PCE 利用面面平行的判定定理即可证得平面 AFG//平面PCE .(2)以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面 BDE 的一个法向量n J3,2,J3 .而平面ABE 的一个法向量为 估 0,0,1 .据此可得 cosm, n 乂30 ,然后结合同角三角函数基本关系求解二面角D BE A 的正切值即10可. 【详解】(1)因为G 是BP 的中点，BP 2,所以PG - BP 1 .2又因为 AE 1, AE//BP ，所以 AE//PG ，且 AE PG , 所以四边形 AEPG 是平行四边形，所以 AG//EP . 又因为AG 平面PCE, EP 平面PCE ，所以AG//平面PCE .2 -A 5 64 8本题考查了统计和概率综合,2因为G 、F 分别是BP 、BC 的中点，所以FG//PC . 又因为PC 平面PCE,FG 平面PCE,所以FG//面PCEG, AG 平面AFG, FG 平面AFG ，所以平面 AFG//平面PCE.(2)以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则易知平面ABE 的一个法向量为的转化能力和计算求解能力10)的离心率为一，短轴长为2 J3 .又因为AG FGE 1,0,0 ,D 0,0,1 ,B1,73,0 , uuiv所以EDuuv 1,0,1 ,EB2,J3,0 .设平面BDE的一个法向量为x, y, z ,则uui vvuuvn EB2x J3y 0得 y 2, z73,所以cosm^v,35 10又因为二面角D BE A 的平面角为锐角，所以二面角 D BE A 的正切值本题主要考查面面平行的判定定理,空间向量处理面面角的方法等知识， 意在考查学生<70 ；3DflE【点睛】(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 的左焦点为F l,过点F l 的直线l 与椭圆C 交于D, E 两点，则在X 轴上是否存在一个定点 M 使得直线MD, ME 的斜率互为相反数？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，也请说明理由.22【答案】(1)工七1 ； (2)见解析4 32b 2、一3 c 1.................... ... 一 …【解析】(1)据题意，得 一 一，求解方程组确定a,b 的值即可求得椭圆方程;a 222, 2cab(2)据题设知点F 1 1,0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y k x 1 .与足题意，则k ME k MD 0 ,结合韦达定理求解实数 m 的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点 M 存在.【详解】2b 2 .3(1)据题意，得 C -a 222,2cab22解碍a 4,b3,y 2,y 1椭圆方程联立，结合韦达定理有x , x 22.. 2——2 X<X 2 ---------------------- 2 ------- -- 假设存在点 M满4k 3 4k 3(2)据题设知点F 11,0 ， 当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y k x 1 .y k x 1由 x 2 * 4y 2 ，得— — 14k 2_ 2 2 -8k x 4k 12设 E x 〔，y 〔 ,D X2N2，则x 2尧，为x 2 4k 34k 2 12 4k 2 3设M m,0，贝U直线MD,ME的斜率分别满足k MD L^X MEx2 m x1 m又因为直线MD, ME的斜率互为相反数,所以k ME 1k Y I Y2x2Y1X I Y2m Y1 Y2MDx1 m x2m x1 m x2m所以m Y I Y20,所以x2k x1 1x1k x2 1m k x11k x210 ,所以2kx1x2k x1 x2m k x1x22k0,0,所以24k212 :2k 2-------- k8k23k 24k28k232k m 4 0对任意k R恒成立，则4,当直线l的斜率k不存在时, 4, 则点M 4,0满足直线MD , ME的斜率互为相反数.综上，在x轴上存在一个定点M4,0 ,使得直线MD,ME的斜率互为相反数.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意(1)注意观察应用题设中的每一个条件, 明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一儿次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22 .定义：若函数f (x)的导函数f (x)是奇函数(f (x) f (x) 0 ),则称函数f (x)1 _是双奇函数”.函数f(x) x(x a) — (x R).x........ (1)(2)假设g(x) f (x) 2 1lnx. 2(i)在(1)的条件下，讨论函数g(x)的单调性;(ii)若 a R，讨论函数g(x)的极值点.(1) 0; (2) (i)见解析；(ii)见解析【解析】(1)由题意结合奴奇函数”的定义可知2 x任意x R且x 0成立, 据此计算实数a的值即可;导函数的符号讨论函数的单调性即可;a J/ 4据此结合函数的单调性讨论函数的极值即可,4【详解】(1)因为f x x x又因为函数f x x x212a —，x1 a2x所以f x 2x a —. x是双奇函数”，2所以2 x a 32x a—0对任意x R且x 0成立,所以2a0 ,解得a 0.故函数g x 在区间1 .............. .. ,、-, 上单调递增，在区间20《上单调递减.(ii) g x 】lnx2(x 0 且x当a 0时,2x ax郭x,g x 2x 12x4x2 2ax 12x(2) (i)由题意结合(1)的结论可知g x 1lnx, 2 c 1 12 x x由函数的解析式可知当a 0时, ax 1lnx,g x 4x1 2 * 2ax 12xax 0时，gax 1Inx, x21 . clnx,0a,,据此分段讨论函数的极值的情况由(1)1xx a l1lnx x x a1lnxx x a220,则g x 2 x 1 . ―-lnx ,所以2(x 0,且x a).求解知，ag x f增，函数g x 在区间a,上不存在极值点;x x i ,时，g一2, 2 1 4x 2 ax 1a 一 ---------------------2x 2x———-,不存在极大值点.4令g x 0,则 x 1■a 24a 招 3 4 （舍去）.44分析知，当 x 0,x 1 时， g x 0;当 x x 〔， 时,g x 0,所以g x 在0,x 〔上单调递减，在 x ， 上单调递增，g x 的极小值点不存在极大值点.所以 a a 2 4 x ---------------- 4 0时，g a 时，gx i a .a 2 44 ,x 2o1序 ax -lnx, 21 . c ax —lnx,0 24x 22x2ax 1 x a,x 0,得x 0,所以g x 在a,上单调递共 a .a 2 4 行 ---------------4，即—20 ,则当x a,x i 时，g 0；当所以g x 在 a,x上单调递减,x i ,上单调递增，所以函数 x 在区间0,得 0,即24x 2 2ax 1a 0 时，g x 0, a 上不存在极值点;、.20,记 4a 16(a 0).0,所以g x 在0, a 上单调递减，函数g x0,即a2时，则由g x0,得a,上存在一个极小值点xa 时, g x 2xa a 4 a .a 4X 3 ----------------------------- X ------------------------------------ ,0 X 3 X 4a -44分析知，当 x 0,X 3 时，g x 0；当 x X 3* 时，g x 0；当 x X 4, a时，g x 0,所以g x 在0,x 3上单调递减，在 x 3,x 4上单调递增，在 x 4, a 上单调递减,值点..............a W 时，函数g x 无极值点;2【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值 （最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. ⑶利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优 化问题.（4）考查数所以当a2时，函数g x 存在两个极值点.a 2时，函数g x 存在两个极值点，且极小值点a极大4寸2时，函数g x 的极小值点x2无极大值点.形结合思想的应用.2 ,2a b------- ，即r < q < p .2【点睛】均值不等式比较代数式的大小等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力2 221 .已知椭圆C :% 土 1(a a2 b22 2所以椭圆C的标准方程为—匕4 3。
2019-2020学年高三(上)数学期末试卷(理科)带答案
2019-2020学年高三（上）数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣1）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[1，3]B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，1]∪[3，+∞）2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．（5分）已知||=1，||=2，•（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A． B． C．D．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2 B．4 C．8 D．165．（5分）求sin16°cos134°+sin74°sin46°=（）A．B．C．D．6．（5分）设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．137．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如表2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表K2=P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．90% B．95% C．99% D．99.9%8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．4 B．2 C．0 D．149．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（）A．B．C． D．10．（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）A．B．﹣ C．D．﹣11．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π12．（5分）设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x2f′（x）＞0，则不等式（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2012，+∞）B．（0，2012）C．（0，2016）D．（2016，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，那么的最大值是．14．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）S n为数列的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n﹣1．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）过E做⊙O的切线，交AC与点D，证明：D是AC的中点；（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+；（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣1）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[1，3]B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，1]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤1或x≥3，即S=（﹣∞，1]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，1]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．3．（5分）已知||=1，||=2，•（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A． B． C．D．【分析】由•（﹣）=0，得到，展开数量积公式，代入已知条件得答案．【解答】解：∵||=1，||=2，且•（﹣）=0，∴，即＜＞﹣1=0，∴1×2×cos＜＞=1，cos＜＞=，则向量与的夹角为．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由于a3=2，a4a6=16，可得=2，=16，解得q2．可得=q4．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2，a4a6=16，∴=2，=16，解得q2=2．则==q4=4．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）求sin16°cos134°+sin74°sin46°=（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算求值．【解答】解：sin16°cos134°+sin74°sin46°=﹣sin16°cos46°+cos16°sin46°=sin30°=，故选：A【点评】本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．（5分）设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．13【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，∴f（﹣7）+f（log312）=1+log39+=1+2+4=7，故选：A．【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用．7．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如表2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表K2=P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．90% B．95% C．99% D．99.9%【分析】计算观测值，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为K2==10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．【点评】本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．4 B．2 C．0 D．14【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=8，b=12，不满足a＞b，则b变为12﹣8=4，由b＜a，则a变为8﹣4=4，由a=b=4，则输出的a=4．故选：A．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【分析】依题意，抛物线y2=2bx 的焦点F（b，0），由（b+c）：（c﹣b）=5：3可求得b，c关系，结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2=4bx的焦点F（b，0），线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5：3的两段，∴（b+c）：（c﹣b）=5：3，∴c=4b，∴c2=a2+b2=a2+，∴．∴此双曲线的离心率e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质，求得c=4b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，令x的次数为0，求出m，再由定积分的运算法则，即可求得．=，【解答】解：二项式（）6的展开式的通项公式为：T r+1令12﹣3r=0，则r=4．即有m==3．则=（x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题．11．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．12．（5分）设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x2f′（x）＞0，则不等式（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2012，+∞）B．（0，2012）C．（0，2016）D．（2016，+∞）【分析】先构造函数g（x）=x2f（x），再根据导数和函数的单调性的关系得到g （x）在（0，+∞）为增函数，由（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0得到g （x﹣2014）＞g（2）根据函数的单调性即可求出答案【解答】解：令g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），∵2f（x）+x2f′（x）＞0，∴g′（x）＞0，在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（0，+∞）为增函数，∵（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0，∴（x﹣2014）2f（x﹣2014）＞4f（2），∵g（2）=4f（2），∴g（x﹣2014）＞g（2）∴，解得x＞2016，故选D．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，那么的最大值是2．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，那么z=的几何意义是区域内的点到定点（0，0）的斜率由图象知OB的斜率最大，由可得B（2，4），∴z的最大值为z==2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．14．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是{x|x≥3或x≤1} ．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≤0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=sin（x+α）（其中，cosα=，sinα=），由题意可得θ+α=2kπ+，k∈z，即θ=2kπ+﹣α，k∈z，再利用诱导公式求得cosθ 的值．【解答】解：当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin （x+α）取得最大值，（其中，cosα=，sinα=﹣），∴θ+α=2kπ+，k∈z，即θ=2kπ+﹣α，k∈z，∴cosθ=cos（2kπ+﹣α）=cos（﹣α）=sinα=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=ln2．【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+1和y=ln（x+2）的切点分别为（x1，lnx1+1）、（x2，ln（x2+2））；∵y=lnx+1，y=ln（x+2）∴y′=，y′=，∴k==，∴x1﹣x2=2，切线方程分别为y﹣（lnx1+1）=（x﹣x1），即为y=+lnx1，或y﹣ln（x2+2）=（x﹣x2），即为y=++lnx1，∴=0，解得x1=2，∴b=ln2故答案为：ln2【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）S n为数列的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n﹣1．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用递推关系可得，又a n＞0，即可求出．（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）依题意有①，当n=1时，（a1﹣1）2=0，解得a1=1，+1）2=4S n﹣1，②，当n≥2是，（a n﹣1①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n+a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0（n≥2），∴{a n}成等差数列，得a n=2n﹣1．（2），【点评】本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）直接利用茎叶图，写出这组数据的众数和中位数；（2）设A1表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，然后求概率；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出概率，写出分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）众数：87；中位数：88.5（2）设A1表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，；；；；分布列为ξ0123P．注：用二项分布直接求解也可以．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，茎叶图的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．【分析】（1）由平行四边形AA1C1C中AC=A1C1，结合题意证出△AA1C1为等边三角形，同理得△ABC1是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC1，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，同理△ABC1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，由题意可得，，则，所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），∴cosθ=．即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．20．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…（5分）联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S．…（9分）△AOB因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．【分析】（1）首先求导得，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；（2）将条件对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2）转化为g（x2）≤f（x）min在x2∈[1，3]有解，再参变量分离，即2b在x2∈[1，3]有解，利用基本不等式可知，故b．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，当a=0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当a＜0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当时，f'（x）＞0得，∴f（x）的递增区间为f'（x）＜0得0＜x＜1或，∴f（x）的递减区间为（0，1）和．（2）当时，由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，∴，依题意有在x2∈[1，3]有解在x2∈[1，3]有解，又当且仅当时等号成立，∴．【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是利用导数性质将条件进行合理转化．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）过E做⊙O的切线，交AC与点D，证明：D是AC的中点；（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．【分析】（1）利用圆的切线的性质、弦切角与等腰三角形的性质、直角三角形的性质即可证明．（2）；△ABE中，，BE=2AOsin ∠ACB，代入化简基础即可得出．【解答】（1）证明：连接OE，AE，∵AC是⊙O的切线，DE也是⊙O的切线，∴弦切角∠CAE=∠DEA，∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°=∠CEA．∴D是△AEC的外心，即是AC的中点．（2）解：；△ABE中，，BE=2AOsin∠ACB；∴；解方程的，∴锐角∠ACB=30°．【点评】本题考查了圆与切线的性质、直角三角形的边角关系及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．【分析】（1）根据，求出极坐标方程即可；（2）求出，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）因为，将其代入C1展开整理得：，∴圆C1的极坐标方程为：，l1消参得（ρ∈R），∴直线l1的极坐标方程为：（ρ∈R）．（2）⇒⇒，∴．【点评】本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的转化，考查求三角形的面积，是一道中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+；（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围求出不等式组的解集，取并集即可；（2）通过讨论x的范围，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）原不等式等价于或或，解得或或﹣1≤x＜0．即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）①当x=0时，易知成立：当0＜x≤1时，，即在0≤x≤1时恒成立．因为0≤x≤1，所以当且仅当时，取到最小值3，故3≥2m+1，即m≤1．②当﹣1≤x＜0时，即在﹣1≤x＜0时恒成立；因为﹣1≤x＜0，所以当且仅当时取到最小值3，故3≥﹣2m+1，即m≥﹣1，综上可知，m的取值范围为[﹣1，1]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。