【怀化专版】2019年中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇七网格中的图形变换试题

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(怀化专版)中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练(七)网格中的图形变换课件

2017年中考数学(shùxué)命题研究（怀化专版）
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2017年中考(zhōnɡ kǎo)数学命题研究（怀化专版）
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2017年中考数学命题研究(yánjiū)（怀化专版）
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2017年中考数学命题(mìng tí)研究（怀化专版）
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2017年中考数学命题研究(yánjiū)（怀化专版）
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2017年中考(zhōnɡ kǎo)数命题(mìng tí)研究（怀化专版）
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2017年中考(zhōnɡ kǎo)数学命题研究（怀化专版）
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2017年中考数学命题研究(yánjiū)（怀化专版）
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2017年中考数学命题研究(yánjiū)（怀化专版）
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2017年中考数学(shùxué)命题研究（怀化专版）
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2017年中考数学命题(mìng tí)研究（怀化专版）
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2019年中考数学题型专项训练(四)网格作图

题型专项(四) 网格作图网格作图题是对图形变换的综合考查，在网格中可以同时考查平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换．此类题目属于图形的操作问题，在网格中进行图形变换的操作时，图形的每一个顶点都是关键点，可以将图形的变换操作转化为点的变换操作．此类题目属中档题，难度不大，复习时注意练习即可．1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(1，1)，C(5，1)．(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1(4，5)，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2.解：(1)、(2)如图．2．(2018·昆明五华区二模)如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A(－1，5)，B(－4，2)，C(－2，2)．(1)平移△ABC，使点B移到B1(1，1)，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2.解：(1)△A1B1C1如图所示，A1(4，4)，C1(3，1)．(2)△A2B2C2如图所示．3．(2018·曲靖罗平县三模)在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫格点)．(1)在图1中，图①经过一次平移变换(填“平移”或“旋转”或“轴对称”)可以得到图②；(2)在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A(填“A”“B”或“C”)；(3)在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④.解：如图．4．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 三个顶点都在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为A(－1，3)，B(－3，1)，C(－1，1)．请解答下列问题：(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；(2)画出△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 1，并求出点A 1走过的路径长．解：(1)如图，B 1(3，1)．(2)如图，A 1走过的路径长为90×π×2180＝π. 5．(2018·昆明八校联考模拟)△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示(坐标系内正方形的单位长度为1)．(1)在网格内画出△ABC 以点O 为位似中心的位似图形△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1和△ABC 的位似比为2∶1，且△A 1B 1C 1位于y 轴左侧；(2)分别写出A 1，B 1，C 1三个点的坐标：A 1(－3，－7)，B 1(－1，－1)，C 1(－7，－1)；(3)△A 1B 1C 1的面积为18．解：△A 1B 1C 1如图所示．6．(2018·云南模拟)如图，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，且B 点的坐标为(4，2)．(1)画出△OAB 向下平移3个单位长度后的△O 1A 1B 1；(2)画出△OAB 绕点O 逆时针旋转90°后的△OA 2B 2；(3)求点B 旋转到点B 2所经过的路线长．(结果保留根号和π)解：(1)如图，△O 1A 1B 1 为所求．(2)如图，△OA 2B 2为所求．(3)在Rt △AOB 中，OA ＝4，AB ＝2，∴由勾股定理，得OB ＝22＋42＝2 5.所以点B 旋转到点B 2所经过的路线长为90·π·25180＝5π.7．(2018·玉溪模拟)在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，△ABC 的三个顶点都在格点上，点B 的坐标(1，1)．请解答下列问题：(1)画出△ABC 向左平移5个单位长度后的△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标；(2)将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 2BC 2，并求出BA 所扫过的面积．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示，A 1(－1，4)．(2)△A 2BC 2如图所示，∵BA ＝32＋32＝32，∴BA 扫过的面积为90·π·（32）2360＝9π2.8．(2018·南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)．(1)将△ABC 向下平移5个单位长度后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；(3)判断以O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状．(无须说明理由)解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．(3)△OA 1B 的形状为等腰直角三角形．。

2019年湖南省怀化市中考数学试题及参考答案(word解析版)

2019年湖南省怀化市中考数学试题及参考答案与解析（满分150分，考试时量120分）一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的）1．下列实数中，哪个数是负数（）A．0 B．3 C．D．﹣12．单项式﹣5ab的系数是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣23．怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（）A．27.6×103B．2.76×103C．2.76×104D．2.76×1054．抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（）A．152 B．160 C．165 D．1705．与30°的角互为余角的角的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．90°6．一元一次方程x﹣2＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝17．怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝210．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．A．55 B．72 C．83 D．89二、填空题（每小题4分，共24分）11．合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝．12．因式分解：a2﹣b2＝．13．计算：﹣＝．14．若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为．15．当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于．16．探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣+|﹣3|18．（8分）解二元一次方组：19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况李明10次射箭得分情况（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．22．（12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．参考答案与解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的）1．下列实数中，哪个数是负数（）A．0 B．3 C．D．﹣1【知识考点】实数．【思路分析】根据小于零的数是负数，可得答案．【解答过程】解：A、0既不是正数也不是负数，故A错误；B、3是正实数，故B错误；C、是正实数，故C错误；D、﹣1是负实数，故D正确；故选：D．【总结归纳】本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型．2．单项式﹣5ab的系数是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2【知识考点】单项式．【思路分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案【解答过程】解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，故选：B．【总结归纳】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．3．怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（）A．27.6×103B．2.76×103C．2.76×104D．2.76×105【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：将27600用科学记数法表示为：2.76×105．故选：D．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（）A．152 B．160 C．165 D．170【知识考点】众数．【思路分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知160出现的次数最多．【解答过程】解：数据160出现了4次为最多，故众数是160，故选：B．【总结归纳】此题主要考查了众数，关键是把握众数定义，难度较小．5．与30°的角互为余角的角的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．90°【知识考点】余角和补角．【思路分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．【解答过程】解：与30°的角互为余角的角的度数是：60°．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键．6．一元一次方程x﹣2＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1【知识考点】解一元一次方程．【思路分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．【解答过程】解：x﹣2＝0，解得：x＝2．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键．7．怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．【思路分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答过程】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．8．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【知识考点】特殊角的三角函数值．【思路分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答过程】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【总结归纳】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．9．一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2【知识考点】解一元二次方程﹣配方法．【思路分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．【解答过程】解：∵x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，则x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1，故选：C．【总结归纳】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．A．55 B．72 C．83 D．89【知识考点】一元一次不等式组的应用．【思路分析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值，再进一步计算可得．【解答过程】解：设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，由题意知，解得：＜x＜12，∵x为整数，∴x＝11，则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只），故选：C．【总结归纳】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．二、填空题（每小题4分，共24分）11．合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝．【知识考点】合并同类项．【思路分析】根据合并同类项法则计算可得．【解答过程】解：原式＝（4+6﹣1）a2＝9a2，故答案为：9a2．【总结归纳】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．12．因式分解：a2﹣b2＝．【知识考点】因式分解﹣运用公式法．【思路分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．【解答过程】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：（a+b）（a﹣b）．【总结归纳】此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．13．计算：﹣＝．【知识考点】分式的加减法．【思路分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答过程】解：原式＝＝1．故答案为：1．【总结归纳】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．14．若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为．【知识考点】等腰三角形的性质．【思路分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答过程】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36°．【总结归纳】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于．【知识考点】代数式求值．【思路分析】把a、b的值代入代数式，即可求出答案即可．【解答过程】解：当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，故答案为：﹣5．【总结归纳】本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键．16．探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．【知识考点】规律型：数字的变化类．【思路分析】由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1．【解答过程】解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，故答案为n﹣1．【总结归纳】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共86分）17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣+|﹣3|【知识考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答过程】解：原式＝1+4×﹣2+3＝1+2﹣2+3＝4．【总结归纳】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质．18．（8分）解二元一次方组：【知识考点】解二元一次方程组．【思路分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．【解答过程】解：，①+②得：2x＝8，解得：x＝4，则4﹣3y＝1，解得：y＝1，故方程组的解为：．【总结归纳】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．【知识考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定．【思路分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB ＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论．【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．【总结归纳】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】如图，作AD⊥于BC于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，求得∠ABC＝∠BAC，得到BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答过程】解：如图，作AD⊥于BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．答：这条河的宽度为30米．【总结归纳】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况李明10次射箭得分情况（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．【知识考点】频数（率）分布表；加权平均数；方差．【思路分析】（1）根据各组的频数除以10即可得到结论；（2）根据加权平均数的定义即可得到结论；（3）根据方差公式即可得到结论．【解答过程】解：（1）李明10次射箭得分情况（2）王方的平均数＝（6+14+8+27+30）＝8.5；李明的平均数＝（48+27+10）＝8.5；（3）∵S＝[（6﹣8.5）2+2（7﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+3（10﹣8.5）2]＝1.85；S＝[6（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2＝0.35；∵S＞S，∴应选派李明参加比赛合适．【总结归纳】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．22．（12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM•BE．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）由题意可得∠COD＝70°，由圆周角的定理可得∠CAD＝36°；（2）由圆周角的定理可得∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°，可求∠AME＝∠CAE＝72°，可得AE＝ME；（3）通过证明△AEN∽△BEA，可得，可得ME2＝BE•NE，通过证明BM＝NE，即可得结论．【解答过程】解：（1）∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝70°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°（2）连接AE，∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36°∴∠AME＝72°∴∠AME＝∠CAE∴AE＝ME（3）连接AB∵∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB∴△AEN∽△BEA∴∴AE2＝BE•NE，且AE＝ME∴ME2＝BE•NE∵∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36°∴∠BAD＝∠BNA＝72°∴BA＝BN，且AE＝ME∴BN＝ME∴BM＝NE∴ME2＝BE•NE＝BM•BE【总结归纳】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN ∽△BEA是本题的关键．23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）求出点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），即可求解；（2）①S△PMN＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，即可求解；②k1k2＝＝＝﹣1，即可求解；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，即可求解．【解答过程】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，点P（1，4）；（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，|x2﹣x1|＝，解得：k＝±2；②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝＝1﹣k，y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键．。

【怀化专版】2019年中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇四三角形四边形中的相关证明及计算试题

三角形的有关计算及证明【例1】如图、在△ABC中、∠ACB＝90°、AC＝BC、E为AC边的中点、过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G、F为AB边上一点、连接CF、且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG、可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE、由(1)得CF＝BG、则只要证明BG＝2DE、又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE、再证明DG＝BG即可．【学生解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°、CG平分∠ACB、AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG、AC＝BC、∴△ACF≌△CBG(ASA)、∴CF＝BG、AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC、CG平分∠ACB、∴CH⊥AB、H为AB中点．又∵AD⊥AB、∴CH∥AD、又∵H为AB的中点、∴G为BD中点、∴BG＝DG、∠D＝∠EGC.∵E为AC中点、∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG、∴△AED≌△CEG(AAS)、∴DE＝EG、∴DG＝2DE、∴BG＝DG ＝2DE.由(1)得CF＝BG、∴CF＝2DE.1．(2016宁夏中考)在等边△ABC中、点D、E分别在边BC、AC上、若CD＝2、过点D作DE∥AB、过点E作EF⊥DE、交BC的延长线于点F、求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形、∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB、∴∠EDC＝∠B＝60°、∠DEC＝∠A＝60°、∴△EDC是等边三角形、∴DE＝DC＝2.∵EF⊥DE、∴∠DEF＝90°.Rt△DEF中、EF＝DE·tan 60°＝2 3.2．(2016龙岩中考)已知△ABC是等腰三角形、AB＝AC.(1)特殊情形：如图1、当DE∥BC时、有DB__＝__EC；(选填“>”“<”或“＝”)(2)发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置、则(1)中的结论还成立吗？若成立、请给予证明；若不成立、请说明理由．(3)拓展运用：如图3、P是等腰直角三角形ABC内一点、∠ACB＝90°、且PB＝1、PC＝2、PA＝3、求∠BPC 的度数．解：(2)成立．证明：由①易知AD＝AE、∴由旋转性质可知∠DAB＝∠EAC.又AB＝AC、∴△DAB≌△EAC、∴DB＝CE；(3)如图、将△CPB绕点C旋转90°到△CEA、连接PE、则△CPB≌△CEA、∴CE＝CP＝2、AE＝BP＝1、∠PCE ＝90°、∴∠CEP＝∠CPE＝45°.在Rt△PCE中、PE＝22、在△PEA中、PE2＝(22)2＝8、AE2＝12＝1、PA2＝32＝9.∵PE 2＋AE 2＝AP 2、∴△PEA 是直角三角形且∠PEA＝90°、∴∠CEA ＝135°.又∵△CPB≌△CEA、∴∠BPC ＝∠CEA ＝135°.3．如图、在△ABC 中、∠BAC ＝90°、AB ＝AC 、AD ⊥BC、垂足是点D 、AE 平分∠BAD、交BC 于点E.在△ABC 外有一点F 、使FA⊥AE 、FC ⊥BC.(1)求证：BE ＝CF ；(2)在AB 上取一点M 、使BM ＝2DE 、连接MC 、交AD 于点N 、连接ME. 求证：①ME⊥BC；②DE ＝DN.证明：(1)∵∠BAC＝90°、AB ＝AC 、∴∠B ＝∠ACB＝45°.∵FC ⊥BC 、∴∠BCF ＝90°.∴∠ACF＝90°－45°＝45°、∴∠B ＝∠ACF.∵∠BAC ＝90°、FA ⊥AE 、∴∠BAE ＋∠CAE＝90°、∠CAF ＋∠CAE＝90°、∴∠BAE ＝∠CAF.在△ABE 和△ACF 中、⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF，∴△ABE ≌△ACF(ASA )．∴BE＝CF ；(2)①过点E 作EH⊥AB 于点H 、则△BEH 是等腰直角三角形．∴HE＝BH 、∠BEH ＝45°.∵AE 平分∠BAD、AD ⊥BC 、∴DE ＝HE 、∴DE ＝BH ＝HE.∵BM ＝2DE 、∴HE ＝HM 、∴△HEM 是等腰直角三角形、∴∠MEH ＝45°、∴∠BEM ＝45°＋45°＝90°、∴ME ⊥BC ；②由题意得∠CAE＝45°＋12×45°＝67.5°、∴∠CEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°、∴∠CAE ＝∠CEA＝67.5°、∴AC ＝CE.在Rt △ACM 和Rt △ECM 中、⎩⎪⎨⎪⎧CM ＝CM ，AC ＝CE ，∴Rt △ACM ≌Rt △ECM(HL )、∴∠ACM ＝∠ECM＝12×45°＝22.5°.又∵∠DAE＝12×45°＝22.5°、∴∠DAE ＝∠ECM.∵∠BAC ＝90°、AB ＝AC 、AD ⊥BC 、∴AD ＝CD ＝12BC.在△ADE 和△CDN 中、⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠ECM，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDN，∴△ADE ≌△CDN(ASA )、∴DE ＝DN.四边形的有关计算及证明【例2】(2014邵阳中考)准备一张矩形纸片、按如图所示操作：将△ABE 沿BE 翻折、使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折、使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形、AB ＝2、求菱形BFDE 的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN、从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°、利用锐角三角函数可求出AE 、BE 、进而求出AD 、DE 、即可求出菱形BFDE 的面积．【学生解答】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形、∴∠A ＝∠C＝90°、AB ＝CD.由翻折得：BM ＝AB 、DN ＝DC 、∠A ＝∠EMB、∠C ＝∠DNF、∴BM ＝DN 、∠EMB ＝∠DNF＝90°、∴BN ＝DM 、∠EMD ＝∠FNB＝90°.∵AD ∥BC 、∴∠EDM ＝∠FBN 、∴△EDM ≌△FBN(ASA )、∴ED ＝BF 、又ED∥BF、∴四边形BFDE 是平行四边形；(2)∵四边形BFDE 是菱形、∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD、∠ABC ＝90°、∴∠ABE ＝13×90°＝30°.在Rt △ABE 中、∵AB ＝2、∴AE ＝233、BE ＝433、∴ED ＝433、∴S 菱形＝ED·AB＝433×2＝833.4．(2016哈尔滨中考)已知：如图、在正方形ABCD 中、点E 在边CD 上、AQ ⊥BE 于点Q 、DP ⊥AQ 于点P.(1)求证：AP ＝BQ ；(2)在不添加任何辅助线的情况下、请直接写出图中四对线段、使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形、∴AB ＝AD 、∠DAB ＝90°、∴∠BAQ ＋∠DAP＝90°.∵DP ⊥AQ 、∴∠APD ＝90°、∴∠ADP ＋∠DAP＝90°、∴∠ADP ＝∠BAQ.∵AQ ⊥BE 、∴∠AQB ＝90°、∴∠AP D ＝∠AQB、∴△DAP ≌△ABQ 、∴AP ＝BQ ；(2)AQ 与AP 、DP 与AP 、AQ 与BQ 、DP 与BQ.5．(2016毕节中考)如图、已知△ABC 中、AB ＝AC 、把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE、连接BD 、CE 交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2、∠BAC ＝45°、当四边形ADFC 是菱形时、求BF 的长．解：(1)由旋转知△ABC≌△ADE 且AB ＝AC 、∴AE ＝AD 、AC ＝AB 、∠BAC ＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE∴∠CAE＝∠DAB、在△AEC 和△ADB 中、⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠CAE ＝∠BAD，AC ＝AB ，∴△AEC ≌△ADB(SAS )；(2)∵四边形ADFC 是菱形且∠BAC＝45°、∴∠DBA ＝∠BAC＝45°、而AB ＝AD 、∴∠DBA ＝∠BDA＝45°、∴△ABD 是直角边长为2的等腰直角三角形、∴BD 2＝2AB 2.∴BD ＝2 2.又四边形ADFC 是菱形、∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2、∴BF ＝BD －DF ＝22－2.6．(2016枣庄中考)如图、把△EFP 放置在菱形ABCD 中、使得顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上、已知EP ＝FP ＝6、EF ＝63、∠BAD ＝60°、且AB>6 3.(1)求∠EPF 的大小；(2)若AP ＝10、求AE ＋AF 的值；(3)若△EFP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动、请直接写出AP 长的最大值和最小值．解：(1)∠EPF＝120°；(2)过P 点作PM⊥AB 于点M 、PN ⊥AD 于点N.∵AC 为菱形ABCD 的对角线、∴∠DAC ＝∠BAC、AM ＝AN 、PM ＝PN.在Rt △PME 和Rt △PNF 中、PM ＝PN 、PE ＝PF 、∴Rt △PME ≌Rt △PNF 、∴ME ＝NF.又∵AP＝10、∠PA M ＝12∠DAB ＝30°、∴AM ＝AN ＝AP cos 30°＝10×32＝53、∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME)＋(AN －NF)＝AM ＋AN ＝103；(3)如图、当△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动时、点P在P1P2之间运动、易知P1O＝P2O＝3、AO＝9、∴AP的最大值为12、AP的最小值为6.。

2019-2020年中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练七网格中的图形变换试题

2019-2020年中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练七网格中年怀化中考试题，图形的轴对称、平移、旋转是中考的热网格中的平移、旋转【例1】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt △ABC 的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，得到△A 1B 1C ，请画出△A 1B 1C 的图形；(2)平移△ABC，使点A 的对应点A 2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A 2B 2C 2的图形；(3)若将△A 1B 1C 绕某一点旋转可得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标．【解析】(1)分别画出点A ，B 以点C 为旋转中心的对称点A 1，B 1，再顺次连接A 1，B 1，C 即得到所求△A 1B 1C ；(2)根据平移后点A 对应的点A 2坐标确定出△ABC 平移的距离和方向，按此画出B ，C 平移后的对应点B 2，C 2，顺次连接A 2，B 2，C 2即可；(3)由图可知，△A 1B 1C 绕点(0，－2)旋转180°得到△A 2B 2C 2.【学生解答】解：(1)、(2)如图所示；(3)旋转中心坐标为(0，－2)．1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；(2)平移△ABC，若A 的对应点A 2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A 2B 2C2；(3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．解：(1)△A 1B 1C 如图所示；(2)△A 2B 2C 2如图所示；(3)如图所示，旋转中心的坐标为P(－1，0)．网格中的位似【例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点均在格点上，A(－1，3)，B(－3，1)，C(0，1)．(1)画出在网格内把△ABC 向右平移3个单位，再向上平移1个单位所得到的图形△A 1B 1C 1；(2)在网格内把△ABC 以原点O 为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，请在网格中画出放大后的图形△A 2B 2C 2.【解析】(1)把△ABC 的三个顶点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，找到对应的点，即可画出平移后的三角形；(2)把△ABC 以原点O 为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，连接AO 并延长到A 2，使OA 2＝2OA ，得到A 的对应点A 2，同理得到B 2与C 2，然后顺次连接即得△A 2B 2C 2.【学生解答】解：(1)作出△A 1B 1C 1如图所示；(2)作出△A 2B 2C 2如图所示．2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中：(1)画出△ABC 向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A 1B 1C 1；(2)以点B 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A 2BC 2，请在网格中画出△A 2BC 2；(3)求△CC 1C 2的面积．解：(1)、(2)如图所示；(3)9.网格中的对称【例3】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A ，B 的坐标分别是A(3，2)，B(1，3)．△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 1OB 1.(直接填写答案)(1)点A 关于点O 中心对称的点的坐标为________；(2)点A 1的坐标为________；(3)在旋转过程中，点B 经过的路径为BB 1︵，那么BB 1︵的长为________．【解析】(1)根据关于中心对称坐标特点解答；(2)运用勾股定理先求出OB ，再根据弧长公式求．【学生解答】解：(1)(－3，－2)；(2)(－2，3)；(3)102π3．(2016原创)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(－3，1)，C(－1，4)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请在图中画出△A 2B 2C 2，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积．(结果保留π)解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．BC ＝22＋32＝13，∠CB 2C 2＝90°，线段BC 旋转过程中所扫过的部分是一个扇形，因此扇形面积是S ＝90π×（13）2360＝134π.4．(2015聊城中考)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是(－3，－1)．(1)将△ABC沿y 轴正方向平移3个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；(2)画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．解：(1)△A 1BC 1的位置如图所示，点B 1的坐标是(－2，－1)；(2)△A 2B 2C 2的位置如图所示，点C 2的坐标是(1，1)．2019-2020年中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练八统计与统计知识的应用【例1】(2015梅州中考)在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：(直接填写结果)(1)这次调查获取的样本数据的众数是________；(2)这次调查获取的样本数据的中位数是________；(3)若该校共有学生1 000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有________人．【解析】(1)众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；(2)中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；(3)求得调查的总人数，然后利用 1 000乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解．【学生解答】解：(1)30元；(2)50元；(3)250.1．(2016长沙中考)为积极响应市委政府“加快建设天蓝水碧地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动(每人限选其中一种树)，并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图：请根据所给信息解答以下问题：(1)这次参与调查的居民人数为：__1__000__；(2)请将条形统计图补充完整；(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；(4)已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？解：(2)如图所示；(3)360°×1001 000＝36°；(4)2501 000×80 000＝20 000(人)．概率知识的应用【例2】(2015连云港中考)九(1)班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克中点数为“2”“3”“3”“5”“6”的五张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放回，完成一次抽奖．记每次抽出两张牌点数之差为x ，按下表要求确定奖项．奖项一等奖二等奖三等奖|x| |x|＝4 |x|＝3 1≤|x|<3(1)(2)是否每次抽奖都会获奖，为什么？【学生解答】(1)画树状图如图所示：可以看出一共有20种等可能情况，其中获一等奖的情况有2种．∴P(甲获一等奖)＝220＝110；(2)不一定．当两张牌都取3时，|x|＝0，不会获奖．2．(2015丹东中考)一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字－1，－2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x ；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y.(1)小红摸出标有数字3的小球的概率是__14__； (2)请用列表法或画树状图的方法表示出由x ，y 确定的点P(x ，y)所有可能的结果；(3)若规定：点P(x ，y)在第一象限或第三象限小红获胜；点P(x ，y)在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．(3)从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有(x ，y)在第一象限或第三象限的结果有4种，在第二象限或第四象限的结果有8种．∴小红、小颖两人获胜的概率分别为：P(小红胜)＝412＝13，P(小颖胜)＝812＝23.统计与概率的综合应用【例3】课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A.很好；B.较好；C.一般；D.较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：(1)王老师一共调查了多少名同学？(2)C 类女生有______名，D 类男生有______名，并将上面的条形统计图补充完整；(3)为了共同进步，王老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．【解析】(1)根据A(或B)类人数以及所占百分比，求总人数；(2)利用总人数以及扇形图求各类别人数，从而得出C 组女生人数和D 组男生人数；(3)利用列表或树状图得到所有可能结果，然后利用概率公式求解．【学生解答】解：(1)∵(6＋4)÷50%＝20(名)，∴王老师一共调查了20名同学；(2)3；1；补充统计图如图所示；(3)画树状图如下：∴所有可能出现的结果共有6种，所选两位同学恰好是一男和一女的结果共有3种．∴P(恰好是一男一女)＝36＝12.3．(2016孝感中考)为弘扬中华优秀传统文化，我市教育局在全市中小学积极推广“太极拳”运动．弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，该校七(1)班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：(1)该校七(1)班共有__50__名学生；扇形统计图中C 等级所对应扇形的圆心角等于__144__°；并补全条形统计图；(2)A 等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生作为全班训练的示范者，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．解：(1)补全条形统计图如图所示；(2)记2名女生2，列表如下：则符合条件的概率为P ＝12＝3.。

【怀化专版】2019届中考数学总复习试题：专题1_阴影部分图形的有关计算_含答案

第三编综合专题闯关篇,中考重难点突破)求阴影部分图形面积【例1】(2015怀化一模)如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD＝60°，AB ＝2，则图中阴影部分的面积为________．【解析】要求不规则图形的面积，可转化成规则图形面积的和差关系求解．如解图，连接OA ，OB ，OC ，则旋转角为∠AOC＝90°，且∠OCD＝∠OAD，又∵∠BAD ＝60°，四边形ABCD 是菱形，∴∠CBA ＝120°，∠BCD ＝60°，∵∠CBA ＋∠BCO＋∠COA＋∠OAB＝360°，∴∠OCD ＝∠OAD＝15°，∴∠BAO ＝∠BCO＝75°，∴∠AOB ＝45°，由题意知△ABD 是等边三角形，作BD 边上的高AE ，∵AB ＝2，∴AE ＝3，OE ＝AE ＝3，∴OD ＝3－1，∴S △AOD ＝12×(3－1)×3＝32－32.根据旋转的特征可知S 阴影部分＝8S △AOD＝8×(32－32)＝12－4 3.【学生解答】12－4 3【点拨】求阴影部分面积往往都是不规则图形，所以把不规则的图形的面积问题转化为规则图形的面积是解决这类问题的主要思路，以下介绍几种常用的方法：1.和差法：不改变图形的位置，用规则图形面积的和或差表示，经过计算即得所求图形面积；2.移动法：通过平移、旋转、割补、等体积变换等将图形的位置进行移动求解；3.代数法：借助于列方程(组)，通过解方程求解．本题则是通过作辅助线把不规则图形转化为规则图形，利用和差关系算出部分阴影面积，进而计算出全部阴影图形的面积．1．(2016怀化二模)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( D )A .23a 2B .14a 2C .59a 2D .49a 2(第1题图)(第2题图)2．(2015泰安中考)如图，半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( A ) A ．(π2－1)cm 2 B ．(π2＋1)cm 2C ．1 cm 2D .π2cm 23．(2016常德中考)如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是__3π__．(第3题图)(第4题图)4．(2016毕节中考)如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为__π2－1__．5．(2015绵阳中考)如图，⊙O 的半径为1 cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，则图中阴影部分面积为__π6__cm 2.(结果保留π)(第5题图)(第6题图)6．(2015广东中考)如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是__4__．7．(2016连云港中考)如图，⊙P 的半径为5，A ，B 是圆上任意两点，且AB ＝6，以AB 为边作正方形ABCD(点D ，P 在直线AB 两侧)．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为__9π__．(第7题图)(第8题图)8．如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于__163π__．9．(2016鹤城模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BDMC ，四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于__18__．(第9题图)(第10题图)10．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠DAB ＝60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得菱形AB′C′D′，其中点C 的运动路径为CC ︵′，则图中阴影部分的面积为42．求阴影部分图形的周长【例2】(2016原创)如图，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 方向平移得到△A 1B 1C 1，若AB ＝3，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分的面积为2，则重叠部分图形的周长为________．【解析】∵△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝3，∴S △ABC ＝3×3×12＝92，又∵△A BC 与△HB 1C 相似，∴S △ABC ∶S 阴影＝(AB B 1H)2，∴B 1H ＝2，在△HB 1C 中，B 1C ＝2B 1H ＝22，∴△B 1HC 周长为2＋2＋22＝4＋2 2. 【学生解答】4＋2 2【点拨】此类问题涉及到的阴影部分图形一般为不规则的图形，解决的方法有以下三种：1.在规则图形中找与所求图形存在数量关系的边，利用勾股定理或锐角三角函数求得线段长度，有时会涉及到弧长；2.将所求图形进行平移、拼接，转化为规则图形的和差关系求解；3.构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解．此题阴影部分为规则的三角形，且已知直角三角形的边与阴影部分的面积，首先应考虑运用相似三角形相似比及勾股定理，求出阴影部分图形的边长，进而计算出周长．11．(2016沅陵模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1，D 1处，则整个阴影部分图形的周长为( B )A ．72 cmB ．36 cmC ．18 cmD ．30 cm(第11题图)(第12题图)12．(2017怀化中考预测)如图，矩形花坛ABCD的周长为36 m，AD＝2AB，在图中阴影部分种植郁金香，则种植郁金香部分的周长约为( B)A．18.84 m B．30.84 mC．42.84 m D．48 m13．(2016溆浦模拟)把四张大小相同的长方形卡片(如图①)按图②、图③两种方式放在一个底面为长方形(长比宽多 6 cm)的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C2，图③中阴影部分的周长为C3，则( B)A．C2＝C3B．C2比C3大12 cmC．C2比C3小6 cm D．C2比C3大3 cm14．如图所示，两个面积都为6的正六边形并排摆放，它们的一条边相互重合，那么图中阴影部分的面积为( B)A．2 B．3 C．4 D．6,(第14题图)) ,(第15题图)) 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若BC＝16，AB＝10，则图中阴影部分的面积是( B)A．12 B．24 C．36 D．4816．如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为__8__．17．(2016洪江模拟)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得到新正方形A′B′C′D′，则新正方形与原正方形重叠部分四边形A′NCM的周长是__．(第17题图)(第18题图)18．(2016芷江模拟)如图，两个全等的正六边形ABCDEF，PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的边长均为1，PU，PQ与FE，CD的交点为M，N，且PM＝0.6，则阴影部分的周长是__3.2__．19．(2016原创)如图，菱形花坛ABCD的周长为36 cm，∠B＝60°，其中由两个正六边形拼接而成的图形部分种花，其余“四个角”是绿草地，则种花部分的图形的周长(不计拼接重合的边)为__33__cm.(第19题图)(第20题图)20．如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(阴影部分)的周长为．21．(2016黄石中考)如图所示，正方形ABCD对角线AC所在的直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕点O顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是__2π＋2__．,(第21题图)) ,(第22题图))22．(2016白银模拟)如图，四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__12__．。

湖南省怀化市2019年中考数学试题

绝密★启用前湖南省怀化市2019年中考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．下列实数中，哪个数是负数（） A ．0 B ．3C D ．1-【答案】D 【解析】【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．【详解】A 、0既不是正数也不是负数，故A 错误；B 、3是正实数，故B 错误；C 是正实数，故C 错误；D 、1-是负实数，故D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型． 2．单项式5ab -的系数是（）A ．5B ．5-C ．2D ．2-【答案】B 【解析】试卷第2页，总19页【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案【详解】单项式5ab -的系数是5-，故选：B ．【点睛】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．3．怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（） A ．327.610⨯ B ．32.7610⨯C ．42.7610⨯D ．52.7610⨯【答案】C 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】将27600用科学记数法表示为：42.7610⨯．故选C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（） A ．152 B ．160C ．165D ．170【答案】B 【解析】【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知160出现的次数最多．【详解】数据160出现了4次为最多，故众数是160，故选B ．【点睛】此题主要考查了众数，关键是把握众数定义，难度较小． 5．与30°的角互为余角的角的度数是（） A ．30° B ．60︒C ．70︒D ．90︒【答案】B 【解析】【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．【详解】与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒．故选B ．【点睛】此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键． 6．一元一次方程20x -=的解是（） A ．2x = B ．2x =-C ．0x =D ．1x =【答案】A 【解析】【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．【详解】20x -=，解得：2x =．故选A ．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键．7．怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）试卷第4页，总19页……线…………○…………线…………○……A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选C ．【点睛】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 8．已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则α∠= （） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】A 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】∵α∠为锐角，且1sin 2α=， ∴30α∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．9．一元二次方程2210x x ++=的解是（） A ．121,1x x ==- B ．121x x == C ．121x x ==- D ．121,2x x =-=【答案】C 【解析】【分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．【详解】∵2210x x ++=， ∴()210x +=，则10x +=，解得121x x ==-，故选C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只． A ．55 B ．72C ．83D ．89【答案】C 【解析】【分析】设该村共有x 户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x 的不等式组，解之求得整数x 的值，再进一步计算可得．【详解】设该村共有x 户，则母羊共有()517x +只，试卷第6页，总19页由题意知，()()517710517713x x x x ⎧+-->⎪⎨+--<⎪⎩解得：21122x <<， ∵x 为整数， ∴11x =，则这批种羊共有115111783+⨯+=（只），故选C ．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．合并同类项：22246a a a+-=_____．【答案】29a【解析】【分析】根据合并同类项法则计算可得．【详解】原式()224619a a=+-=，故答案为：29a．【点睛】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．12．因式分解：22a b-=_____．【答案】()()a b a b+-【解析】【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．【详解】()()22a b a b a b-=+-．故答案为：()()a b a b+-．【点睛】试卷第8页，总19页此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式． 13．计算：111x x x -=--_____．【答案】1 【解析】【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【详解】原式11x x -=- 1=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减． 14．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为_____．【答案】36° 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15．当1,3a b =-=时，代数式2a b -的值等于_____．【答案】-5 【解析】【分析】把a 、b 的值代入代数式，即可求出答案即可．【详解】当1,3a b =-=时，()22135a b -=⨯--=- ，………订…………○…………线__________考号：___________………订…………○…………线故答案为：5-．【点睛】本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键． 16．探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是_____．【答案】n-1 【解析】【分析】由题意“分数墙”的总面积等于所有分数的和求解即可. 【详解】由题意“分数墙”的总面积11112341234n n n=⨯+⨯+⨯++⨯=-L ，故答案为1n -．【点睛】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题17．计算：0(2019)4sin 603π-+︒- 【答案】4 【解析】【分析】试卷第10页，总19页先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【详解】原式143=+- 13=+，4=．【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质． 18．解二元一次方组：37{31x y x y +=-=【答案】41x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．【详解】37{31x y x y +=-=①②，①+②得：28x =，解得：4x =，则431y -=，解得：1y =，故方程组的解为：41x y =⎧⎨=⎩．【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．19．已知：如图，在ABCD Y 中，,AE BC CF AD ⊥⊥，,E F 分别为垂足．…线……………线…………（1）求证：ABE CDF ∆∆≌；（2）求证：四边形AECF 是矩形．【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B=∠D ，AB=CD ，AD ∥BC ，由已知得出∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，由AAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；（2）证出∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴,B D AB CD ∠=∠=，AD BC ∕∕， ∵,AE BC CF AD ⊥⊥，∴90AEB AEC CFD AFC ∠=∠=∠=∠=︒，在ABE ∆和CDF ∆中，B DAEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE CDF AAS ∆∆≌；（2）证明：∵AD BC ∕∕， ∴90EAF AEB ∠=∠=︒，∴90EAF AEC AFC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形AECF 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．20．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B 处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60︒方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．试卷第12页，总19页…装…………○………线…………○……※※要※※在※※装※※订※※线…装…………○………线…………○……【答案】【解析】【分析】如图，作AD ⊥于BC 于D ．由题意得到BC=1.5×40=60米，∠ABD=30°，∠ACD=60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°，求得∠ABC=∠BAC ，得到BC=AC=60米．在Rt △ACD 中，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】如图，作AD BC ⊥于D ．由题意可知： 1.54060BC =⨯=米，30,60ABD ACD ∠=︒∠=︒， ∴30BAC ACD ABC ∠=∠-∠=︒， ∴ABC BAC ∠=∠， ∴60BC AC ==米．在Rt ACD ∆中，sin60602AD AC =⋅︒=⨯=．答：这条河的宽度为【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．21．某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方10次射箭得分情况李明10次射箭得分情况（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．【答案】(1)见解析;(2)8.5,8.5;(3)见解析. 【解析】【分析】（1）根据各组的频数除以10即可得到结论；（2）根据加权平均数的定义即可得到结论；（3）根据方差公式即可得到结论．【详解】（1）王方10次射箭得分情况试卷第14页，总19页…○…………外……○…………内…李明10次射箭得分情况（2）王方的平均数()1614827308.510=++++=；李明的平均数()14827108.510=++=；（3）∵()()()()()222222168.5278.588.5398.53108.5 1.8510S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦王方； ()()()22221688.5398.5108.50.3510S ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦李明；∵22S S >王方李明，∴应选派李明参加比赛合适．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．22．如图，A B C D E 、、、、是O e 上的5等分点，连接AC CE EB BD DA 、、、、，得到一个五角星图形和五边形MNFGH ．（1）计算CAD ∠的度数；（2）连接AE ，证明：AE ME =；（3）求证：2ME BM BE =⋅．……装…………○…_____姓名：___________班级……装…………○…【答案】(1)36°;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】【分析】（1）由题意可得∠COD=70°，由圆周角的定理可得∠CAD=36°；（2）由圆周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°，可求∠AME=∠CAE=72°，可得AE=ME ；（3）通过证明△AEN ∽△BEA ，可得AE NEBE AE=，可得ME 2=BE•NE ，通过证明BM=NE ，即可得结论．【详解】（1）∵A B C D E 、、、、是O e 上的5等分点，∴»CD的度数360725︒==︒ ∴70COD ∠=︒ ∵2COD CAD ∠=∠ ∴36CAD ∠=︒ （2）连接AE∵A B C D E 、、、、是O e 上的5等分点，∴»»»»»AB DE AE CDBC ==== ∴36CAD DAE AEB ∠=∠=∠=︒ ∴72CAE ∠=︒，且36AEB ∠=︒ ∴72AME ∠=︒ ∴AME CAE ∠=∠ ∴AE ME = （3）连接AB试卷第16页，总19页线…………○……线…………○……∵»»»»»AB DE AE CDBC ==== ∴ABE DAE ∠=∠，且AEB AEB ∠=∠ ∴AEN BEA ∆∆∽ ∴AE NE BE AE= ∴2AE BE NE =⋅，且AE ME = ∴2ME BE NE =⋅∵»»»»»AB DE AE CDBC ==== ∴,36AE AB CAB CAD DAE BEA ABE =∠=∠=∠=∠=∠=︒ ∴72BAD BNA ∠=∠=︒ ∴BA BN =，且AE ME = ∴BN ME = ∴BM NE =∴2ME BE NE BM BE =⋅=⋅ 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN ∽△BEA 是本题的关键．23．如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1,tan 3OB ABO =∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到/P v s =，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过,,A B C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于,M N 两点． ①若2PMN S ∆=，求k 的值；…○…………线……____…○…………线……②证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；③当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【答案】（1）2y x 2x 3=-++,()1,4P ;（2）①k =±2241y x x =-++．【解析】【分析】（1）求出点A 、B 、C 的坐标分别为（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）①S △PMN =12PQ×（x 2-x 1），则x 2-x 1=4，即可求解；②k 1k 2=()()121221*********44·1141y y y y y y x x x x x x -++--=---+=-1，即可求解；③取MN 的中点H ，则点H 是△PMN 外接圆圆心，即可求解．【详解】（1）1,tan 3OB ABO =∠=，则3,3OA OC ==，即点A B C 、、的坐标分别为()0,3、()1,0-、()3,0，则二次函数表达式为：()()()23123y a x x a x x =-+=--，即：33a -=，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++，点()1,4P ；（2）将二次函数与直线l 的表达式联立并整理得：()220x k x k ---=，设点M N 、的坐标为()11,x y 、()22,x y ，试卷第18页，总19页○…………装………※※请※※不※※要※※在※○…………装………则12122,x x k x x k +=-=-，则：()21212266y y k x x k k +=+-+=-，同理：21294y y k =-，①3y kx k =-+，当1x =时，3y =，即点()1,3Q ，()21122PMN S PQ x x ∆==⨯-，则214x x -=， 21x x -=，解得：k =±②点M N 、的坐标为()11,x y 、()22,x y 、点()1,4P ，则直线PM 表达式中的1k 值为：1141y x --，直线PN 表达式中的2k 值为：2241y x --，为： ()()121221122112124164411141y y y y y y k k x x x x x x -++--===----+，故PM PN ⊥，即：PMN ∆恒为直角三角形；③取MN 的中点H ，则点H 是PMN ∆外接圆圆心，设点H 坐标为(),x y ，则121122x x x k +==-， ()()21211622y y y k =+=-，整理得：2241y x x =-++，即：该抛物线的表达式为：2241y x x =-++．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用根与系数的关系处理复杂数据，是本题解题的关键．。