高中数学 2.1.3第1课时函数的单调性的定义同步测试 新人教B版必修1
新教材高中数学3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明课后课时精练课件新人教B版必修一
答案
解析7
二、填空题 6．设函数 y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区 间[－2,6]上递增，且 f(－4)<f(6)，则函数 f(x)的最小值是______，最大值是 ______．
答案 f(－2) f(6)
答案 8
解析 函数 y＝f(x)在[－4,6]上的图像的变化趋势如图所示，观察可知 f(x)min＝f(－2)．
答案22
解 函数 f(x)＝ x2－1在[1，＋∞)上是增函数． 证明如下：任取 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2， 则 f(x2)－f(x1)＝ x22－1－ x21－1
答案12
＝ x22－x122＋－x21x21－1＝ xx222－－x11＋x2＋x21－x11， ∵1≤x1<x2， ∴x2＋x1>0，x2－x1>0, x22－1＋ x21－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，故函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
答案13
10．已知函数 f(x)＝x3－－3x，2，xx∈∈[2－，15，]，2]， (1)画出函数 f(x)的图像； (2)写出函数 f(x)的单调递增区间及最大值和最小值．
14
解 (1)函数 f(x)的图像如下图．
(2)函数 f(x)在[－1,0]和[2,5]上为增函数，在(0,2)上为减函数，所以函数
答案
解析5
4．若函数 f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则 y＝f(x＋5)的递增区间是( )
A．(3,8)
B．(－7，－2)
C．(－2，－3) D．(0,5)
答案 B 解析 ∵函数 f(x)的增区间为(－2,3)，则 f(x＋5)的递增区间满足－2<x＋ 5<3，即－7<x<－2.故选 B.
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一2.1.3《函数的单调性》课件
自学导引
1．增函数与减函数
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M⊆A.如果取
区间 M 中的 任意两个值x1，x2
，改变量 Δx＝x2－x1>0，则
当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0 时，就称函数 y＝f(x)在区间 M 上是增
函数，当 Δy＝f(x2)－f(x1)<0 时，那么就称函数 y＝f(x)在区间
审题指导 本题考查了抽象函数单调性的判定，及由单调性 求函数的最值．
【 解 题 流 程 】 赋值、变形 → 定义证明单调性
→ 单调性求最值 → 赋值、求值 [规范解答](1)证明：令 x＝y＝0，则 f(0)＋f(0)＝f(0)， ∴f(0)＝0.又令 y＝－x，则有 f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)…………………………………………2 分 设 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． ∵x2－x1>0，依题意 x>0 时，有 f(x)<0， ∴f(x2－x1)<0，即 f(x2)－f(x1)<0， f(x2)<f(x1)，∴y＝f(x)在 R 上是减函数…………………6 分
单击此处进入 活页规范训练
【训练 3】 已知函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比 较 f(34)与 f(a2－a＋1)的大小．
解 ∵a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34， ∴34与 a2－a＋1 都属于[0，＋∞)． 又∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴f(34)≥f(a2－a＋1)．
误区警示 利用函数单调性时忽视定义区间而出错 【示例】 已知 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－ 1)<f(1－3x)，求 x 的取值范围． [错解] ∵f(x)是增函数， 由 f(x－1)＜f(1－3x)得：x－1＜1－3x 解得：x＜12. 思维突破 当函数 y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当 x1 ＜x2 时，f(x1)＜f(x2)；反之也成立；但 x1，x2 的取值需在所给定 区间上．
高中数学3.1.2函数的单调性第1课时函数的单调性及函数的平均变化率人教B版必修第一册
第1课时 函数的单调性及函数的平均变化率[A 基础达标]1．如图是函数y ＝f (x )的图像，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由图像，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|解析：选B.y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－|x ＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y ＝x 2＋1在(0，2)上是增函数．3．若函数f (x )在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a 2)解析：选D.因为f (x )是R 上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．故选D. 4．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3，0]上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减解析：选C.因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x ＜－2.作出y ＝|x ＋2|的图像，如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．5．(2019·宣城检测)已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0解析：选A.因为y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，所以f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．解析：当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．答案：(－∞，1)7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图像的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2.答案：(－∞，2]8．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图像上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为__________．解析：因为A (0，－2)，B (－3，2)在函数y ＝f (x )的图像上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2<f (x )<2可化为f (0)<f (x )<f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3<x <0.答案：(－3，0)9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图像，并指出函数的单调区间． 解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图像如图所示，由图像可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]； 单调递增区间为(2，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1.(1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．解：(1)由题意知x ＋1≠0，即x ≠－1.所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)证明：∀x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝(2x 2－1)(x 1＋1)－(2x 1－1)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0. 又因为x 1，x 2∈[1，＋∞)， 所以x 2＋1>0，x 1＋1>0. 所以f (x 2)－f (x 1)>0， 所以f (x 2)>f (x 1)．所以函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．函数y ＝2x －3的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－3] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.由2x －3≥0，得x ≥32.又因为t ＝2x －3在(－∞，＋∞)上单调递增，y ＝t在定义域上是增函数，所以y ＝2x －3的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 解析：选A.当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，所以0≤a ≤13.13．已知定义在[1，4]上的函数f (x )是减函数，求满足不等式f (1－2a )－f (3－a )>0的实数a 的取值范围．解：由题意，可得f (1－2a )>f (3－a )． 因为f (x )在定义域[1，4]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤1－2a ≤41≤3－a ≤41－2a <3－a ，解得－1≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[－1，0]．14．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ax 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．[C 拓展探究]15．设f (x )＝x 2＋1，g (x )＝f (f (x ))，F (x )＝g (x )－λf (x )．问是否存在实数λ，使F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22上是减函数且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0上是增函数？ 解：假设存在这样的实数λ，则由f (x )＝x 2＋1，g (x )＝f (f (x ))，得g (x )＝(x 2＋1)2＋1， 所以F (x )＝g (x )－λf (x )＝x 4＋(2－λ)x 2＋2－λ. 令t ＝x 2，则t ＝x 2在(－∞，0)上递减，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22时，t ＞12；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0时，0＜t ＜12.故要使F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0上递增， 则函数φ(t )＝t 2＋(2－λ)t ＋2－λ在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递减，所以函数φ(t )＝t 2＋(2－λ)t ＋2－λ的图像的对称轴t ＝λ－22为t ＝12，即λ－22＝12，则λ＝3.故存在这样的实数λ(λ＝3)，使F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22上是减函数且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0上是增函数．。
人教B版高中数学必修一学第二章函数的单调性讲解与例题
2.1.3 函数的单调性1．函数单调性的概念一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A . 如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数，如下图所示．当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数，如下图所示．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)．谈重点 对函数单调性的理解1．函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y ＝x 2的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0)时是减函数．2．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1，x 2”，“任意”二字决不能丢掉；二是有大小，即x 1＜x 2(x 1＞x 2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．3．单调性是一个“区间”概念，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，但不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数．如函数f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．因为当x 1＝－1，x 2＝1时有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不满足减函数的定义．4．单调区间端点的写法：对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．【例1－1】下列说法不正确的有( )①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；②函数1=y x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在其上是减函数； ③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两个值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是增函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①函数y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1=yx的单调区间，在这两个区间上都是减函数，但1=yx在整个定义域上不是减函数；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图象上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1，得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义，可知0＜x＋1＜3.∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图象法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图象较容易画出，因此，可利用图象的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．【例2－1】写出下列函数的单调区间： (1)y ＝|2x －1|；(2)y ＝|x 2－3x ＋2|；(3)2=3xy x -+. 分析：本题画出各个函数的图象后，就可以得出相应的单调递增或单调递减区间了．图1解：(1)y ＝|2x －1|＝121,,2121,<.2x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩ 如图1所示，函数的单调递增区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；单调递减区间是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)y ＝|x 2－3x ＋2|＝2232,12321<<2.x x x x x x x ⎧-+≤≥⎨-(-+)⎩或，， 如图2所示，函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.图2图3(3)255==1=1333xyx x x-⎛⎫---+⎪+++⎝⎭.如图3所示，函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．谈重点由图象得出函数的单调区间对于函数求单调区间，可以根据图象及结合基本函数的单调性来寻找的．对于有些函数，如果能够画出函数的图象，那么寻找单调区间就比较容易了，此类题目通常是与基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数以及后面学的指数函数与对数函数等)有关的函数．【例2－2】已知四个函数的图象如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )解析：已知函数的图象判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数．答案：B谈重点单调函数的图象特征函数的单调性反映在图象上是在指定的区间(也可以是定义域)从左到右图象越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图象上的直观表现．【例2－3】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图象后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：2223,0, ()=23,<0.x x xf xx x x⎧-++≥⎨--+⎩当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；当x＜0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.作出函数的图象(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．辨误区写函数的单调区间易忽略的问题1．如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接；2．确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子区间；3．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图象在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差Δy＝f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值Δy的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若Δx＝x2－x1与Δy＝f(x2)－f(x1)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－4】(1)证明函数()=f x在定义域上是减函数；(2)证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数；(3)证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1)，f(x2)的差Δy＝f(x2)－f(x1)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)()=f x的定义域为[0，＋∞)，任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝((--＝<0，由单调函数的定义可知，函数()=f x在定义域[0，＋∞)上是减函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x23＋x2)－(x13＋x1)＝(x23－x13)＋(x2－x1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12＋1)＝222121113()1024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．(3)设x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝212111x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 2－x 1)＋1212x x x x -＝(x 2－x 1)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2112121x x x x x x (-)(-).∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0.∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴由单调函数的定义可知，函数1()=f x x x+在(0,1)上为减函数．辨误区 利用定义证明函数的单调性需谨慎在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤x 1＜x 2，这种证明实际上利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点．3．利用函数的单调性比较两个函数值的大小若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：∵a 2－a ＋1＝2133244a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭＞0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a ≠时，a 2－a ＋1＞34，有f (a 2－a ＋1)＜34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1=2a 时，a 2－a ＋1＝34，有f (a 2－a ＋1)＝34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上可知，f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图象，会给我们研究问题带来很大方便．要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴x ＝1－a ≥4即可，解得a ≤－3.谈重点 对分段函数的单调性的理解求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图象之间的上下关系．【例4】已知函数(3)4,<1,()=,1a x a x f x a x x-+⎧⎪⎨≥⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．分析：函数f (x )是一个分段函数，其图象由两部分组成．当x ＜1时，f (x )＝(3－a )x ＋4a ，其图象是一条射线(不包括端点)；当x ≥1时，()=af x x，其图象由a 的取值确定，若a ＝0，则为一条与x 轴重合的射线，若a ≠0，则为反比例函数图象的一部分(曲线)．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x ＜1时的图象位于x ≥1时的图象的上方.解：由题意知，函数f (x )＝(3－a )x ＋4a (x ＜1)与()=af x x(x ≥1)都是递减的，且前者图象位于后者图象的上方(如图所示)．∴3<0,>0,34,a a a a a -⎧⎪⎨⎪(-)+≥⎩即>3,>0,3.2a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥-⎩ ∴a ＞3.∴实数a 的取值范围是{a |a ＞3}． 5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，最小值在左端点a 处取得；若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，最小值在右端点b 处取得．解题时也可结合函数的图象，得出问题的答案．【例5－1】求()=f x x +的最小值．分析：求函数()=f x x +的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：()=f x x +的定义域为[1，＋∞)，任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，Δx ＝x 2－x 1＞0，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2)－(x 1＝(x 2－x 1)＋(－＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)·1⎛ ⎝.∵Δx ＝x 2－x 1＞0,1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1.【例5－2】已知函数2=1xy x +(x ∈[－3，－2])，求函数的最大值和最小值． 解：设－3≤x 1＜x 2≤－2，则f (x 1)－f (x 2)＝12122211x x x x -++＝122112212111x x x x x x (+)-(+)(+)(+)＝1212211x x x x (-)(+)(+).由于－3≤x 1＜x 2≤－2，则x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0. 所以f (x 1)＜f (x 2)． 所以函数2=1xy x +在[－3，－2]上是增函数． 又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3. 6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f (x )在区间D 上是递增的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＞x 2〔事实上，若x 1≤x 2，则f (x 1)≤f (x 2)，这与f (x 1)＞f (x 2)矛盾〕．类似地，若f (x )在区间D 上是递减的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＜x 2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域要求，最后取几个不等式的解的交集即可．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．【例6】已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，求a 的取值范围．分析：由于函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a ∈(－1,1)，a 2－1∈(－1,1)，且1－a ＞a 2－1，解此关于a 的不等式组，即可求出a 的取值范围．解：由题意可得221<1<1,1<1<1,1>1,a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩①②③由①得0＜a ＜2，由②得0＜a 2＜2，∴0＜|a |，∴a ，且a ≠0.由③得a 2＋a －2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， ∴1>0,2<0a a -⎧⎨+⎩或1<0,2>0,a a -⎧⎨+⎩∴－2＜a ＜1.综上可知0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是0＜a ＜1.7．复合函数单调性的判断方法一般地，如果f(x)，g (x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，y＝1f x与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y＝f x具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调区间；④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若不同，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴10,30xx-≥⎧⎨+≥⎩或10,30.xx-≤⎧⎨+≤⎩∴x≥1，或x≤－3.∴函数y的定义域为{x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则=y u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．辨误区求函数的单调区间易忽略的问题由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间；在处理函数的相关问题时，往往会把函数问题转化成方程问题或简单不等式问题来处理，但要注意转化时应确保转化前后式子的等价性．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．解决抽象函数的有关问题，常采用赋值法．在解不等式时关键是将已知不等式转化为f(x1)≥f(x2)的形式，然后利用单调性结合定义域求解．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，2 (1)=3f .求证：f(x)在R上是减函数；证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即Δy＜0.∴f(x)在R上是减函数．。
2020高中数学 2.1.3第1课时函数的单调性的定义同步测试 新人教B版必修1
第二章 2.1 2.1.3 第1课时函数的单调性的定义一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2[答案] D[解析] ∵函数y ＝x 2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．2．设函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的增函数，则有( ) A ．a >12B ．a ≤12C ．a >－12D ．a <12[答案] A[解析] 由题意2a －1>0，∴a >12.3．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )A ．f x 1－f x 2x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )D ．x 1－x 2f x 1－f x 2>0[答案] C[解析] 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；对于C ，若x 1<x 2时，可能有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故C 不成立．4．(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．a <4B ．a ≤4C ．a >4D ．a ≥4[答案] D[解析] 函数f (x )的图象的对称轴为x ＝a ，由题意得a ≥4.5．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性[答案] D[解析] 函数f (x )在两个单调增区间的并区间上并不一定是增函数．如图所示．6．设f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (1)>f (2) B ．f (－a )<f (a ) C ．f (0)<f (a ) D ．f (1)<f (2)[答案] A[解析] ∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (1)>f (2)，故选A ． 二、填空题7．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且m ＝f (34)，n ＝f (a 2－a ＋1)，则m 与n 的大小关系是____________．[答案] m ≥n[解析] a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (34)≥f (a 2－a ＋1)，∴m ≥n .8．已知函数f (x )的图象如图．则f (x )的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．[答案] [－3,1] 2 －3[解析] 由图可知f (x )的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3.三、解答题9．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )＝x2x －1，证明函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．[证明] 设任意x 1∈(1，＋∞)，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2.f (x 2)－f (x 1)＝x 22x 2－1－x 12x 1－1＝2x 1x 2－x 2－2x 1x 2＋x 12x 2－12x 1－1＝x 1－x 22x 2－12x 1－1∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵x 1>1，x 2>1， ∴2x 1－1>0,2x 2－1>0， ∴x 1－x 22x 2－12x 1－1<0，∴f (x 2)<f (x 1)．故函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数． 10．判断函数f (x )＝－x 3＋1在R 上的单调性． [证明] 函数f (x )＝－x 3＋1在R 上是减函数． 设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋1＋x 31－1＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴Δy <0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数.一、选择题1．在(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2B ．y ＝－1xC ．y ＝x －1D ．y ＝4x[答案] D[解析] 函数y ＝1－x 2，y ＝－1x ，y ＝x －1在区间(－∞，0)上是增函数，函数y ＝4x在(－∞，0)上为减函数，故选D ．2．已知函数f (x )＝8＋2x －x 2，那么( ) A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数 B ．f (x )是减函数C ．f (x )是增函数D ．f (x )在(－∞，0)上是增函数[答案] D[解析] 函数f (x )＝8＋2x －x 2的图象为开口向下，对称轴是x ＝1的抛物线，∴函数f (x )在(－∞，0)上是增函数．3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减[答案] C[解析] y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x ≥－2－x －2x <－2，作出y ＝|x ＋2|的图象， 易知在[－3，－2]上为减函数， 在[－2,0]上为增函数．4．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )[答案] A[解析] ∵f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 二、填空题5．若f (x )＝x 2＋2mx ＋2在(－∞，1]上是减函数，则实数m 的取值范围为________． [答案] m ≤－1[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2的对称轴为x ＝－m ，∴要使函数在(－∞，1]上是减函数，应满足－m ≥1，∴m ≤－1.6．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间为________． [答案] (－∞，－12][解析] 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－12，∴函数的递减区间为(－∞，－12]．三、解答题7．设函数f (x )是R 上的单调增函数，F (x )＝f (x )－f (2－x )． 求证：函数F (x )在R 上是单调增函数． [证明] 任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2， ∵函数f (x )是R 上的单调增函数， ∴f (x 1)<f (x 2)，f (2－x 1)>f (2－x 2)， 即f (x 1)－f (x 2)<0，f (2－x 1)－f (2－x 2)>0，∴F (x 1)－F (x 2)＝[f (x 1)－f (2－x 1)]－[f (x 2)－f (2－x 2)]＝[f (x 1)－f (x 2)]＋[f (2－x 2)－f (2－x 1)]<0，即F (x 1)－F (x 2)<0，所以F (x 1)<F (x 2)．∴函数F (x )在R 上是单调增函数． 8．讨论函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a ≠12)在(－2，＋∞)上的单调性． [解析] 设x 1、x 2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝ax 2＋1x 1＋2－ax 1＋1x 2＋2x 1＋2x 2＋2＝2a －1x 2－x 1x 1＋2x 2＋2.∵x 1>－2，x 2>－2，x 1<x 2， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 2－x 1>0.因此，当a >12时，2a －1>0，此时f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是增函数；当a <12时，2a －1<0，此时f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是减函数．。
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【高中数学新人教B 版必修1】2.1.3《函数的单调性》测试1一、 选择题：1、函数x x f 2)(=在]2,1[-∈x 上的单调性为 （ ）A.减函数B.增函数.C.先增后减.D.先减后增2、函数2x y -=的单调增区间为 （ ）A.]0,(-∞B.),0[+∞C.),(+∞-∞D.),1(+∞-3、若函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，那么 （ ）A.b>0B. b<0C.m>0D.m<04、函数32)(2+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于 （ ）A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数5、若函数xx k x f -=)(在)0,(-∞上是减函数，则k 的取值范围是 （ ） A.0=k B.0>k C.0<k D.0≥k二、填空题：6、函数||)(x x f =的减区间是____________________.7、若函数n x m x f +-=)12()(在),(+∞-∞上是减函数，则m 的取值范围是______.8、如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f 的取值范围是__________________.三、解答题：9、已知函数3)(2+--=ax x x f 在区间]1,(--∞上是增函数，求a 的取值范围10、求函数1)(-=x x x f 在[2，5]上的最大值和最小值 参考答案：1、 B ；2、A ；3、C ；4、A ；5、C ；6、(,0]-∞；7、12n <； 8、8a ≥； 9、对称轴2a x =，开口向下，在(,1]-∞-上递增，122a a ∴≥-⇒≥-； 10、111()111x f x x x -+==+--，可证f(x)在[2,5]上是减函数， 故 当x=2时，f(x)最大值为2当x=5时，f(x)最小值为54；。
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【高中数学新人教B 版必修1】2.1.3《函数的单调性》测试(一)选择题1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2[ ]A ．增函数B ．既不是增函数又不是减函数C ．减函数D ．既是增函数又是减函数[] A．(1)和(2) B ．(2)和(3)C ．(3)和(4)D ．(1)和(4)3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有[ ]A kB kC kD k ．＞．＜．＞－．＜－121212124．如果函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥－3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ≥35．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是2(1)y |x|(2)y (3)y (4)y x (0)．函数＝，＝，＝－，＝＋中在－∞，上为增函数的有||||||x x x x xx 2[ ]A (]B [)C (]D [)．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞343434346．若y ＝f(x)在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是[ ]A y (a b)．＝在区间，上是减函数1f x ()B ．y ＝－f(x)在区间(a ，b)上是减函数C ．y ＝|f(x)|2在区间(a ，b)上是增函数D ．y ＝|f(x)|在区间(a ，b)上是增函数7．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则[ ]A ．f(a)＞f(2a)B ．f(a 2)＜f(a)C ．f(a 2＋a)＜f(a)D ．f(a 2＋1)＜f(a)(二)填空题1y 2y ．函数＝的单调递减区间是．．函数＝的单调递减区间是．1111--+x xx3．函数y ＝4x 2－mx ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________．4y 5y ．函数＝的增区间是．．函数＝的减区间是．542322--+-x x x x6．函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________．7．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a 2－a ＋1)与之间的大小关系是．．若＝，＝－在，＋∞上都是减函数，则函数＝f(34)8y ax y (0)y bxax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________函数(填增还是减)． (三)解答题1f(x)x f(x)(4)2f(x)x +b(a b)．已知函数＝＋，证明在－∞，上是增函数．．研究函数＝＞的单调性．27-+x x a3．已知函数f(x)＝2x 2＋bx 可化为f(x)＝2(x ＋m)2－4的形式．其中b ＞0．求f(x)为增函数的区间．4．已知函数f(x)，x ∈R ，满足①f(1＋x)＝f(1－x)，②在[1，＋∞]上为增函数，③x 1＜0，x 2＞0且x 1＋x 2＜－2，试比较f(－x 1)与f(－x 2)的大小关系．参考答案(一)选择题 1．(B)．2(C)x (0)y =x y =(x)x=1．．解：当∈－∞，时－为减函数．－－为常数函数．－为增函数．＋－为增函数．∴③、y ==x y =x =x 1x x xx 2||||④两函数在(－∞，0)上是增函数．3．(B)．解：若y=(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则2k －1＜0⇒k (B)＜．选．124(B)x =4a 3．．解：对称轴－－≥≤－．212()a ⇒ 5(B)y =2x 3x 1x ==342．．解：－＋＋开口向下，对称轴－－，322()增区间为，＋∞．[34)6．(B)．解：可举一例y=x 在x ∈(－∞，＋∞)上是增函数，从而否定了(A)、(C)、(D)．∴选(B)．7(D)a 1a =(a )0a 1a 222．．∵＋－－＋＞，∴＋＞，∵在－1234f x ()(∞，＋∞)上为减函数，∴f(a 2＋1)＜f(a)，选(D)． (二)填空题1．(－∞，1)和(1，＋∞)2(1)(1)y =1x 1x =1．－∞，－和－，＋∞，解－＋－＋＋，可得减21x区间是(－∞，－1)和(－1，＋∞)．325=2m =16y =4x 16x 2．．解：由题意得－－－－，∴＋＋m8⇒5，故f(1)=25．4[52]54x x 05x 1x 4x 22．－，－．解：由－－≥≤≤，函数－－＋⇒5x ==2[52]的对称轴是－－－－，∴增区间是－，－．425(3]x 2x 30x 3x 12．－∞，－．解由＋－≥≤－或≥．易得减区间⇒是(－∞，－3]．6．[－1，1]．解：令t=x ＋1，∵－2≤x ≤0，∴－1≤t ≤1，∴f(t)=(t －1)2－2(t －1)＋1=t 2－4t ＋4，即f(x)=x 2－4x ＋4=(x －2)2在区间[－1，1]上是减函数．7f(a a 1)f(34)a a 1=(a )0222．－＋≤．解：∵－＋－＋≥＞，而123434f(x)(0)f(a a 1)f(34)2在，＋∞上是减函数，∴－＋≤8．减解；由已知得a ＜0，b ＜0，二次函数y=ax 2＋bx 的抛物线开口向下，对称轴－＜，∴函数在，＋∞上是减函数．x =0y (0)ba2 (三)解答题1x x (]x x 1212．证：任取两个值，∈－∞，且＜．74∵－－＋－－－－＋f(x )f(x )=x x =x x 1212122212x xx x x x x x x x 211212122222122－－＋－－·－＋－－－＋－．=(x x )12∵＜≤，∴－＞，－≥，∴－＋－x x 1274212212221212x x x x＞1，x 1－x 2＜0．∴－－＋－－－＋－＜(x x )2x 2x 0121121222x x∴＜故在－∞，上是增函数．f(x )f(x )f(x)(]12742f(x)=x b =1a b a b 0f(x)．解：＋＋－＋＋－＋．∵＞，∴－＞，∴a b x b a bx b在区间(－∞，－b)和(－b ，＋∞)上都是减函数． 3．解：∵f(x)=2(x ＋m)2－4=2x 2＋4mx ＋2m 2－4．由题意得2x 2＋bx=2x 2＋4mx ＋2m 2－4，对一切x 恒成立，比较等式两边对应项的系数得且－，∵＞，∴．故＋＋－，增区间是－，＋∞．b =4m 2m 4=0b 0b =42f(x)=2x 42x =2(x )4[22222)4．解：∵x 1＜0，x 2＞0，x 1＋x 2＜－2，∴－x 1＞2＋x 2＞1，即－x 1，2＋x 2∈[1，＋∞)，又f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(－x 1)＞f(2＋x 2)，又由f(1＋x)=f(1－x)，得f(2＋x 2)=f[1＋(1＋x 2)]=f[1－(1＋x 2)]=f(－x 2)．∴f(－x 1)＞f(－x 2)．。
2019—2020年最新高中数学人教B版必修一2.1.3《第2课时函数的单调性的应用》同步测试.doc
第二章 2.1 2.1.3 第2课时函数的单调性的应用一、选择题1．已知函数f(x)＝3x，则在下面区间内f(x)不是递减函数( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(1，＋∞)[答案] C[解析] f(x)＝3x在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A、B、D正确，但在(0，＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．2．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列函数在区间(0,1)上是增函数的是( )A．y＝|x| B．y＝3－2xC．y＝12＋xD．y＝x2－4x＋3[答案] A[解析] y ＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ≥0－x x<0，∴函数y ＝|x|在(0,1)上是增函数．3．(2014～2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)函数y ＝x 2＋bx ＋c 在区间(－∞，1)上是减函数时，b 的取值范围是( )A ．b ≤－2B ．b ≥－2C ．b>－2D ．b<－2[答案] A[解析] 由题意得－b2≥1，∴b ≤－2.4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋61≤x ≤2x ＋71≤x ≤1，则f(x)的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C．8,6 D．以上都不对[答案] A[解析] 函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f(x)的最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.5．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)．若x1<x2，x1＋x2＝0，则( )A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)<f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定[答案] C[解析] f(x1)－f(x2)＝ax21＋2ax1＋4－ax22－2ax2－4＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋2a(x1－x2)∵a>0，x1<x2，x1＋x2＝0，∴f(x1)－f(x2)＝2a(x1－x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．6．已知函数f(x)在其定义域R上单调递增，则满足f(2x －2)<f(2)的x的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] ∵函数f(x)在其定义域R 上单调递增， ∴2x －2<2，∴x<2，故选D ． 二、填空题7．函数y ＝－ax 在(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上的单调性为________．[答案] 单调递减[解析] ∵函数y ＝－ax 在(0，＋∞)上是减函数，∴a<0.又函数y ＝－2x 2＋ax 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝a4<0，∴函数y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上单调递减． 8．函数y ＝|x －3|＋2的递增区间为________，递减区间为________．[答案] [3，＋∞) (－∞，3][解析] y ＝|x －3|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1x ≥35－x x<3，其图象如图所示，由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]．三、解答题9．已知f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，若f(t －1)<f(1－3t)，求t 的取值范围．[解析] ∵函数f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，且f(t －1)<f(1－3t)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤t －1≤1－2≤1－3t ≤1t －1<1－3t，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤20≤t ≤1t<12，即0≤t<12.故t 的取值范围为0≤t<12.10．已知函数f(x)对任意x ∈R ，都有f(2＋x)＝f(2－x)，且当x>2时，f(x)为增函数，试比较f(1)、f(4)、f(－2)的大小．[解析] ∵x ∈R ，都有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x)的图象关于直线x ＝2对称，又x>2时，f(x)为增函数，∴x<2时，f(x)为减函数， 则在x 轴上距离对称轴x ＝2越远的数，其函数值越大，∴f(－2)>f(4)>f(1).一、选择题1．函数y ＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则a 的取值范围是( )A．a>0 B．a≥0C．a<0 D．a≤0[答案] D[解析] 如图所示：∴函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，要使y＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则有a≤0.2．设(a，b)、(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为( )A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定[答案] D[解析] 根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x1、x2分别在两个单调增区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，选D．3．下列函数中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都有ΔyΔx>0”的是( )A．f(x)＝2xB．f(x)＝－3x＋1C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x＋1 x[答案] C[解析] ΔyΔx>0⇔f x2f x1x2－x1>0⇔f(x)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝2x及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A、B错误；f(x)＝x＋1x在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1，所以f(x)在[－2，＋∞)上递增，故选C．4．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( )A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)>25[答案] A[解析] ∵f(x)＝4x2－mx＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝m8，由f(x)在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴m8≤－2，即m≤－16.又f(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.二、填空题5．已知函数y＝ax和y＝bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是__________函数．[答案] 增[解析] ∵y＝ax和y＝bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b>0，结合二次函数图象可得，函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是增函数．6．设函数f(x)满足；对任意的x1、x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．[答案] f(－3)>f(－π)[解析] (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可得函数为增函数．∵－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．三、解答题7．求函数y＝x－1－1x的最小值．[解析] 因为x－1≥0，且x≠0，所以x≥1，则函数f(x)的定义域为[1，＋∞)．又y＝x－1在[1，＋∞)上单调递增，而y＝1x在[1，＋∞)上单调递减，所以函数y＝－1x在[1，＋∞)上单调递增，所以函数y＝x－1－1x在[1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝1时，y min ＝1－1－11＝－1， 故所求的最小值为－1. 8．已知函数f(x)对任意x 、y ∈R ，总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23. (1)求证：f(x)是R 上的单调递减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．[解析] (1)证明：设x 1、x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x 2－x 1)<0，又∵x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，∴f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)，∴f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)<0，∴f(x 2)<f(x 1)．∴f(x)是R 上的单调递减函数．(2)解：由(1)可知f(x)在R 上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. ∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.。
2019年高中数学人教B版必修一练习：2.1.3 函数的单调性
2.1.3 函数的单调性【选题明细表】1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a,b,总有>0成立,则f(x)必定是( C )(A)先增后减的函数 (B)先减后增的函数(C)在R上的增函数 (D)在R上的减函数解析:因为对任意两个不等实数a,b,总有>0,所以当Δx=a-b>0时,Δy=f(a)-f(b)>0,当Δx=a-b<0时,Δy=f(a)-f(b)<0,所以f(x)在R上是增函数,故选C.2.下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( A )(A)f(x)=(B)g(x)=-2x2(C)h(x)=-3x+1 (D)s(x)=(x-1)2解析:B,C在(0,+∞)上是减函数,而D是二次函数,在(0,1)上是减函数,(1,+∞)上是增函数,故选A.3.已知下列区间不是函数y=的递减区间的是( D )(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)(C)(3,9) (D)(-∞,0)∪(0,+∞)解析:作出函数图象,可知应选D.4.已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,那么f(a2-a+1)与f的大小关系是( C )(A)f(a2-a+1)≥f(B)f(a2-a+1)=f(C)f(a2-a+1)≤f(D)两者大小关系与a的取值有关解析:因为(a2-a+1)-=a2-a+=≥0,所以a2-a+1≥,又f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以f(a2-a+1)≤f.故选C.5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是.解析:由题知,g(x)=在[1,2]上是减函数,需a>0,欲使f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,则需a≤1,综上,a的取值范围是(0,1].答案:(0,1]6.(2018·北京西城13中期中)若函数y=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数c的取值范围是.解析:由函数y=|2x+c|=即函数y=|2x+c|在(-∞,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增. 所以-≥1,解得c≤-2.答案:(-∞,-2]7.设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题,其中正确的命题是( C )①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;③若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;④若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减.(A)①②(B)①④(C)②③(D)②④解析:若函数f(x),g(x)单调性相同,则函数f(x)-g(x)的单调性不确定,故①④不正确.由-g(x)与g(x)的单调性相反知②③正确.故选C.8.已知f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,a,b∈R,且a+b≤0,则有( D )(A)f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)(B)f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)(C)f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)(D)f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)解析:由a+b≤0可得,a≤-b,b≤-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).故选D.9.(2018·河北枣强中学期末)已知函数f(x)=若f(2-a2)<f(a),则实数a的取值范围是( D )(A)(-1,2)(B)(-2,1)(C)(-∞,1)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:画出图象如图可得函数f(x)在实数集R上单调递增,故由f(2-a2)<f(a),可得2-a2<a,即a2+a-2>0,解得a<-2或a>1.故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).选D.10.证明:函数f(x)=-2x2+3x+3在(-∞,]上是增函数.证明:设x1,x2是(-∞,]上的任意两个不相等的实数,且x1<x2,则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1)=(-2+3x2+3)-(-2+3x1+3)=2-2+3x2-3x1=2(x1+x2)(x1-x2)-3(x1-x2)=[2(x1+x2)-3](x1-x2).因为x1<x2,所以x1-x2=-Δx<0.由x1,x2∈(-∞,]且x1<x2,得x1+x2<+=,则2(x1+x2)<3,即2(x1+x2)-3<0,所以Δy>0,所以函数f(x)=-2x2+3x+3在(-∞,]上是增函数.11.作出函数f(x)=的图象,并指出函数f(x)的单调区间.解:f(x)=的图象如图所示.由图可知,函数f(x)=的单调减区间为(-∞,1]和(1,2),单调增区间为[2,+∞).12.(2018·湖南师范大学附中检测)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)-2,且当x>1时恒有f(x)<2,则下列结论正确的是( A )(A)f(x)在(0,+∞)上是减函数(B)f(x)在(0,+∞)上是增函数(C)f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数(D)f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数解析:设任意0<x1<x2,则>1,f(x2)-f(x1)=f(·x1)-f(x1)=f()+f(x1)-2-f(x1)=f()-2<0,即f(x2)<f(x1),所以函数为减函数,故选A.。
新教材高中数学课时练二十二第三单元函数第1课时函数的单调性含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学新人教B 版必修第一册：二十二 函数的单调性【基础全面练】(15分钟·35分)1.(2021·无锡高一检测)下列函数在()0，＋∞ 上是增函数的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x|C ．y ＝－x 2D ．y ＝－2x ＋1【解析】选B.对于A ，函数y ＝1x在()0，＋∞ 上单调递减，故A 错误； 对于B ，函数y ＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0在()0，＋∞ 上单调递增，故B 正确； 对于C ，函数y ＝－x 2在()0，＋∞ 上单调递减，故C 错误；对于D ，函数y ＝－2x ＋1在()0，＋∞ 上单调递减，故D 错误．2．(2021·大冶高一检测)函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．()9，＋∞B ．[)9，＋∞C ．()－∞，－9D ．(]－∞，－9【解析】选A.因为y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(m ＋9)，所以2m>m ＋9，解得m>9.3．可推得函数f(x)＝ax 2－2x ＋1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是( )A ．a ＝0B ．⎩⎪⎨⎪⎧a>01a<1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧a>01a >2 D ．⎩⎪⎨⎪⎧a<01a<1 【解析】选B.因为函数f(x)＝ax 2－2x ＋1在区间[1，2]上，开口向上，对称轴x ＝－－22a ＝1a， 要使f(x)在区间[1，2]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1a<1， 若a ＜0，图像开口向下，要求1a＞2，显然不可能， 所以函数f(x)＝ax 2－2x ＋1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1a<1. 4．(2021·北京高一检测)函数f(x)＝x 2＋ax －1在[]2，3 上不单调，则实数a 的取值范围为________．【解析】可得f ()x 的对称轴为x ＝－a 2， 因为f ()x 在[]2，3 上不单调，则2<－a 2<3， 解得－6<a<－4.答案：()－6，－4【补偿训练】已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x<1，－x ＋1，x≥1 是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎭⎫17，＋∞B ．⎣⎡⎭⎫17，13C ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，17 ∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 【解析】选B.当x≥1时，函数f(x)＝－x ＋1为减函数，此时函数的最大值为f(1)＝0， 要使f(x)在R 上是减函数，则满足⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a≥f （1）＝0， 即⎩⎨⎧a<13，a ≥17，即17 ≤a ＜13. 5．(2021·苏州高一检测)函数f(x)＝16＋6x －x 2 的单调递减区间为________．【解析】16＋6x －x 2≥0，解得－2≤x≤8，所以函数的定义域为[]－2，8 ，令y ＝16＋6x －x 2＝－x 2＋6x ＋16＝－(x －3)2＋25，二次函数图像开口向下，对称轴为x ＝3， 由y ＝u 为增函数，得函数f(x)＝16＋6x －x 2 的单调递减区间为[]3，8 .答案：[]3，86．已知函数f(x)＝ax ＋b x (a ，b 是常数)，满足f(1)＝3，f(2)＝92. (1)求a ，b 的值．(2)试判断函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，22 上的单调性，并用定义证明． 【解析】(1)因为f(1)＝3，f(2)＝92，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，2a ＋b 2＝92， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 故a ＝2，b ＝1.(2)由(1)得f(x)＝2x ＋1x ，任取x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，22 且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 那么f(x 1)－f(x 2)＝2x 1＋1x 1 －2x 2－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2 ，因为0＜x 1＜x 2＜22 ，所以x 1x 2＜12 ，2－1x 1x 2＜0，又x 1－x 2<0， 故f(x 1)－f(x 2)＞0，f(x 1)>f(x 2)，故f(x)在⎝⎛⎭⎫0，22 上递减． 【综合突破练】 (30分钟·60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f(a)＞f(2a)B ．f(a 2)＜f(a)C ．f(a 2＋a)＜f(a)D ．f(a 2＋1)＜f(a) 【解析】选D.因为a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －12 2＋34 ＞0，所以a 2＋1＞a ，又因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a 2＋1)＜f(a).2．(2021·南宁高一检测)已知函数f(x)＝－x|x|＋2x ，则下列结论正确的是( )A ．递增区间是(0，＋∞)B ．递减区间是(－∞，－1)C ．递增区间是(－∞，－1)D ．递增区间是(－1，1)【解析】选D.因为函数f(x)＝－x|x|＋2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≥0x 2＋2x ，x<0 ，作出函数f(x)的图像，如图所示，由图可知，递增区间是(－1，1)，递减区间是(－∞，－1)和()1，＋∞ .3．定义域在R 上的函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[(f(x 1)－f(x 2)]＞0，则有( )A ．f(－2)＜f(1)＜f(3)B ．f(1)＜f(－2)＜f(3)C ．f(3)＜f(－2)＜f(1)D ．f(3)＜f(1)＜f(－2)【解析】选A.因为对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[(f(x 1)－f(x 2)]＞0， 当x 1<x 2时，x 1－x 2<0，则f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)；当x 1>x 2时，x 1－x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2).可得函数f(x)是在R 上的增函数，所以f(－2)＜f(1)＜f(3).4．若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝a x在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(0，1)D ．(0，1]【解析】选D.因为g(x)＝a x在区间[1，2]上是减函数，所以a>0.因为函数f(x)＝－x 2＋2ax 的图像开口向下，对称轴为直线x ＝a ，且函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以a≤1. 故满足题意的a 的取值范围是(0，1].二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．下列四个函数中，在(－∞，0]上为减函数的是( )A ．f(x)＝x 2－2xB ．f(x)＝2x 2C ．f(x)＝x ＋1D ．f(x)＝1x【解析】选AB.在A 中，f(x)＝x 2－2x 的减区间为(－∞，1]，故A 正确；在B 中，f(x)＝2x 2的减区间为(－∞，0]，故B 正确；在C 中，f(x)＝x ＋1在R 上是增函数，故C 错误；在D 中，f(x)＝1x中，x≠0，故D 错误． 6．关于函数y ＝x 2＋2x －3 的单调区间以下说法正确的为( )A ．单调递减区间为(－∞，－3]B ．单调递减区间为(－∞，－1]C ．单调递增区间为[1，＋∞)D ．单调递增区间为(－3，－1]【解析】选AC.该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．三、填空题(每小题5分，共10分)7．(2021·南昌高一检测)如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，那么a 的取值范围是________．【解析】y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a －13 2 ＋b －（a －1）23 在区间(－∞，1]上是减函数， 则－a －13≥1，所以a≤－2. 答案：[－∞，－2]【补偿训练】函数f(x)＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为________．【解析】当a ＝0时，f(x)＝－2x ＋2，符合题意；当a≠0时，要使函数f(x)＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1－a a≥4， 解得0<a≤15 . 综上所述，0≤a≤15. 答案：0≤a≤158．(2021·郑州高一检测)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋a ，x>1，（3－2a ）x －2，x≤1 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．【解析】因为f(x)是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，3－2a>0，1－2a ＋a≥3－2a －2，解得0≤a≤1. 答案：[0，1]四、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2]，4x，x ∈（2，4]. (1)在图中画出函数f(x)的大致图像；(2)写出函数f(x)的单调递减区间．【解析】(1)函数f(x)的大致图像如图所示．(2)由函数f(x)的图像得出，函数的单调递减区间为[2，4].10．已知函数f(x)＝（a ＋1）x 2＋1bx ，且f(1)＝3，f(2)＝92. (1)求a ，b 的值，写出f(x)的表达式．(2)判断f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝3，f （2）＝92 ⇒⎩⎨⎧（a ＋1）＋1b ＝3，4（a ＋1）＋12b ＝92⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1， 则f(x)＝2x 2＋1x . (2)任设1≤x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝2x 21 ＋1x 1 －2x 22 ＋1x 2 ＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－1x 1x 2， 因为x 1＜x 2所以x 1－x 2＜0，又因为x 1≥1，x 2>1，所以x 1x 2>1，2x 1x 2>2>1，即2x 1x 2－1＞0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，故f(x)在[1，＋∞)上是增函数．【应用创新练】1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3（x<0），x ＋a （x≥0） 的增区间为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ＜0时，f(x)＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，当－1≤x ＜0时，函数f(x)为增函数，当x≥0时，f(x)为增函数，要使函数在[－1，＋∞)上是增函数，则满足f(0)＝0＋a≥－3，即a≥－3.答案：[－3，＋∞)2．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f ⎝⎛⎭⎫13 ＝1，当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)解关于x 的不等式f(x)＋f(x －2)>－1.【解析】(1)令x ＝y ＝1时，f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递减．对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2时，因为x 2x 1>1，所以f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1 <0，所以f(x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1·x 1 ＝f(x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1 ， 即f(x 2)－f(x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0，所以f(x 2)<f(x 1)，故f(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递减． (3)令x ＝3，y ＝13，则f ⎝⎛⎭⎫3×13 ＝f(3)＋f ⎝⎛⎭⎫13 ＝f(1)＝0， 所以f(3)＝－f ⎝⎛⎭⎫13 ＝－1，所以f(x)＋f(x －2)＝f[x·(x －2)]>f(3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x －2>0，x·（x －2）<3， 解得2<x<3，所以不等式的解集为(2，3).。
高中数学人教B版必修第一册《312_函数的单调性》同步练习卷(2)(有答案)
人教B版（2019）必修第一册《3.1.2 函数的单调性》2020年同步练习卷（2）一、单选题（每小题5分，共25分）1. 函数y=x2在区间[−1, 2]上（）A.是增函数B.是减函数C.既是增函数又是减函数D.不具有单调性2. 若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是（）A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a2)3. 已知函数f(x)＝4x2−mx+5在区间[−2, +∞)上是增函数，则f(1)的范围是（）A.f(1)≥25B.f(1)＝25C.f(1)≤25D.f(1)>254. 函数f(x)＝|x−1|+3x的单调递增区间是（）A.[1, +∞)B.(−∞, 1]C.[0, +∞)D.(−∞, +∞)5. 已知函数f(x)＝2x2−kx−3在[1, 4]上具有单调性，则实数k的取值范围为（）A.(−∞, 4]B.[16, +∞)C.[4, 16]D.(−∞, 4]∪[16, +∞)二、填空题（每小题5分，共15分）函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．若函数f(x)＝4x2−mx+5在[−2, +∞)上递增, 在(−∞, −2]上递减，则f(1)＝________．已知f(x)在(0, +∞)上是减函数，且m＝f（），n＝f(a2−a+1)，则m与n的大小关系是________．三、解答题（共20分）证明：函数y＝x+在区间(0, 3]上是减函数．讨论函数y＝x2−2(2a+1)x+3在[−2, 2]上的单调性．+2，x∈[1, +∞)．已知函数f(x)=x+12x（1）判断函数f(x)在区间[1, +∞)上的单调性；)<f(x+1007)．（2）解不等式：f(2x−12一、选择题（每小题5分，共10分）已知函数f(x)＝8+2x−x2，那么（）A.f(x)在(−∞, 0)上是减函数B.f(x)是减函数C.f(x)是增函数D.f(x)在(−∞, 0)上是增函数函数y=|x+2|在区间[−3, 0]上是（）A.减函数B.增函数C.先减后增D.先增后减二、多选题（每小题5分，共10分）下列四个函数中，在(0, +∞)上为减函数的是（）A.f(x)＝3−xB.f(x)＝x2−3xC.f(x)＝-D.f(x)＝−|x|下列说法中，正确的是（）A.若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上是增函数B.函数y＝x2在R上是增函数C.函数y＝-在定义域上是增函数D.函数y＝的单调减区间是(−∞, 0)和(0, +∞)三、填空题（每小题5分，共10分）函数f(x)＝|x2+2x−3|的单调递增区间为________．若函数f(x+1)=x2−2x+1的定义域为[−2, 0]，则函数y=f(x)的单调递减区间是________．四、解答题（共10分）讨论函数f(x)=ax+1x+2(a≠12)在(−2, +∞)上的单调性．参考答案与试题解析人教B版（2019）必修第一册《3.1.2 函数的单调性》2020年同步练习卷（2）一、单选题（每小题5分，共25分）1.【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】由二次函数的图象和性质，分析函数y=x2在区间[−1, 2]上的单调性，可得答案．【解答】解：函数y=x2在区间[−1, 0]上为减函数；在区间[0, 2]上为增函数，故函数y=x2在区间[−1, 2]上不具有单调性，故选：D2.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断【解析】由已知结合函数的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】解析：因为f(x)是R上的减函数，且a2+1>a2，所以f(a2+1)<f(a2)．3.【答案】由y＝f（x）的对称轴是x=m8，可知f（x）在[m8，+∞）上递增，由题设只需m8≤−2⇒m≤﹣16，∴ f（1）＝9﹣m≥25应选A【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】由二次函数图象的特征得出函数f(x)＝4x2−mx+5在定义域上的单调区间，由函数f(x)＝4x2−mx+5在区间[−2, +∞)上是增函数，可以得出[−2, +∞)一定在对称轴的右侧，故可以得出参数m的取值范围，把f(1)表示成参数m的函数，求其值域即可．【解答】由y＝f(x)的对称轴是x=m8，可知f(x)在[m8, +∞)上递增，由题设只需m8≤−2⇒m≤−16，∴f(1)＝9−m≥25．应选A．4.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断【解析】通过讨论x的范围，求出各个区间上的函数的解析式，判断函数的单调性即可．【解答】x≥1时，f(x)＝x−1+3x＝4x−1，在[1, +∞)递增，x<1时，f(x)＝1−x+3x＝2x+1，在(−∞, 1)递增，故f(x)在R递增，5.【答案】D【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】根据f(x)的图象特征可求得f(x)的单调区间，由f(x)在[1, 4]上具有单调性，知[1, 4]为函数单调区间的子集，从而可得不等式，求得k的取值范围．【解答】函数f(x)＝2x2−kx−3在[1, 4]上具有单调性，可得≤1或≥4，解得k∈(−∞, 4]∪[16, +∞)．二、填空题（每小题5分，共15分）【答案】(−∞, 1]和(1, +∞)【考点】函数单调性的性质与判断【解析】根据已知中函数的图象，可得函数有两个单调递增区间，进而可得答案．【解答】由已知中函数y＝f(x)的图象可得：函数f(x)的单调递增区间是：(−∞, 1]和(1, +∞)，【答案】25【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】利用二次函数的对称轴，求出m，然后求解函数在即可．【解答】函数f(x)＝4x2−mx+5，在[−2, +∞)上递增, 在(−∞, −2]上递减，可得函数的对称轴为：x＝−2，则＝−2，m＝−16．函数f(x)＝4x2+16x+5，f(1)＝4+16+5＝25，故答案为：25．【答案】m≥n【考点】函数单调性的性质与判断【解析】由已知结合二次函数的性质可比较函数值的大小，然后结合函数单调性即可比较m，n 的大小．【解答】因为a2−a+1＝(a−）2，因为f(x)在(0, +∞)上单调递减，所以f(a2−a+1)≤f（），即m≥n．三、解答题（共20分）【答案】证明：任取0<x1<x2≤3，则y2−y1＝（＝(x2−x1)−，＝(x2−x1)(1−），因为0<x1<x2≤3，所以x2−x1>0，>1，所以y2−y1＝(x2−x1)−<0，故y2<y1，所以y＝x+在区间(0, 3]上是减函数．【考点】函数单调性的性质与判断【解析】先任取0<x1<x2≤3，然后利用作差法比较y2与y1的大小，即可判断．【解答】证明：任取0<x1<x2≤3，则y2−y1＝（＝(x2−x1)−，＝(x2−x1)(1−），因为0<x1<x2≤3，所以x2−x1>0，>1，所以y2−y1＝(x2−x1)−<0，故y2<y1，所以y＝x+在区间(0, 3]上是减函数．【答案】原函数的对称轴为x＝2a+1；∴（1）2a+1≤−2，即a时，原函数在[2, 2]上单调递增；（2）−2<2a+1<2，即时，原函数在[−2, 2a+1]上单调递减，在(2a+1, 2]上单调递增；（3）2a+1≥2，即a时，原函数在[−2, 2]上单调递减．【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】先求出原函数的对称轴x＝2a+1，然后讨论对称轴和区间[−2, 2]的关系：分2a+1≤−2，−2<2a+1<2，以及2a+1≥2三种情况，在每种情况里根据二次函数的单调性判断原函数的单调性即可．【解答】原函数的对称轴为x ＝2a +1；∴ （1）2a +1≤−2，即a 时，原函数在[2, 2]上单调递增；（2）−2<2a +1<2，即时，原函数在[−2, 2a +1]上单调递减，在(2a +1, 2]上单调递增；（3）2a +1≥2，即a 时，原函数在[−2, 2]上单调递减．【答案】 解：（1）设x 2>x 1≥1，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+12x 1−x 2−12x 2=(x 1−x 2)+x 2−x 12x1⋅x 2=(x 1−x 2)•(1−12x1⋅x 2)．由题设可得x 1−x 2<0，1−12x 1⋅x 2>0，∴ (x 1−x 2)•(1−12x1⋅x 2)<0，故有f(x 1)−f(x 2)<0，故函数f(x)在区间[1, +∞)上是增函数．（2）∵ 函数f(x)在区间[1, +∞)上为增函数， ∴ f(2x −12)<f(x +1007)，等价于{2x −12≥12x −12<x +1007． 解得34≤x <20152，故原不等式解集为[34, 20152)．【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明 【解析】（1）设x 2>x 1≥1，根据f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)•(1−12x 1⋅x 2)<0，可得函数f(x)在区间[1, +∞)上是增函数．（2）由题意可得，f(2x −12)<f(x +1007)等价于{2x −12≥12x −12<x +1007，由此求得不等式的解集．【解答】 解：（1）设x 2>x 1≥1，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+12x 1−x 2−12x 2=(x 1−x 2)+x 2−x 12x1⋅x 2=(x 1−x 2)•(1−12x1⋅x 2)．由题设可得x1−x2<0，1−12x1⋅x2>0，∴(x1−x2)•(1−12x1⋅x2)<0，故有f(x1)−f(x2)<0，故函数f(x)在区间[1, +∞)上是增函数．（2）∵函数f(x)在区间[1, +∞)上为增函数，∴f(2x−12)<f(x+1007)，等价于{2x−12≥12x−12<x+1007．解得34≤x<20152，故原不等式解集为[34, 20152)．一、选择题（每小题5分，共10分）【答案】D【考点】二次函数的图象函数单调性的性质与判断二次函数的性质【解析】由已知结合二次函数性质即可直接求解．【解答】函数f(x)＝8+2x−x2的图象为开口向下，对称轴是x＝1的抛物线，∴函数f(x)在(−∞, 0)上是增函数，【答案】C【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的应用【解析】结合一次函数的图象和性质，分段讨论各段上函数的单调性，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：当x∈[−3, −2]时，y=|x+2|=−x−2为减函数，当x∈[−2, 0]时，y=|x+2|=x+2为增函数，故函数y=|x+2|在区间[−3, 0]上是先减后增，故选：C二、多选题（每小题5分，共10分）【答案】A,D【考点】函数单调性的性质与判断【解析】结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】A:f(x)＝3−x在R上为减函数；B:f(x)＝x2−3x在（，+∞)上为增函数；C:f(x)＝-在(−∞, −1)，(−1, +∞)上为增函数，D:f(x)＝−|x|在(0, +∞)上为减函数．【答案】A,D【考点】函数单调性的性质与判断命题的真假判断与应用【解析】直接利用：函数的性质单调性的定义和单调区间求法来判定A、B、C、D的结论．【解答】对于A：由>0知>0，因此y＝f(x)是增函数，故A正确．对于B和Cy＝x2、y＝-都有增区间，但不是增函数，故B和C错误；对于D:y＝单调减区间是(−∞, 0)和(0, +∞)，故D正确．三、填空题（每小题5分，共10分）【答案】(−3, −1)，(1, +∞)．【考点】函数的单调性及单调区间【解析】画出函数的图像，结合图像求出函数的单调区间即可．【解答】令g(x)＝x2+2x−3＝(x+1)2−4．先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，再把它在x轴下方的图象翻折到x轴上方就得到f(x)＝|x2+2x−3|的图象，如图所示：由图象易得，函数的递增区间是(−3, −1)，(1, +∞)，故答案为：(−3, −1)，(1, +∞)．【答案】[−2, 0]【考点】二次函数的性质【解析】根据二次函数的定义域为[−2, 0]，它的图象的对称轴方程为x=1，可得函数y=f(x)的单调递减区间．【解答】解：函数f(x+1)=x2−2x+1的定义域为[−2, 0]，它的图象的对称轴方程为x=1，则函数y=f(x)在区间[−2, 0]上单调递，即递减区间是[−2, 0]，故答案为：[−2, 0]．四、解答题（共10分）【答案】函数的解析式：f(x)=ax+1x+2=a+1−2ax+2，设x1，x2∈(−2, +∞)，且x1<x2，则：f(x1)−f(x2)=1−2ax1+2−1−2ax2+2=(1−2a)(x2−x1)(x1+2)(x2+2)，x1，x2∈(−2, +∞)，且x1<x2，则x2−x1(x1+2)(x2+2)>0，当1−2a<0,a>12时，f(x1)<f(x2)，函数f(x)单调递增；当1−2a>0,a<12时，f(x1)>f(x2)，函数f(x)单调递减．【考点】函数单调性的性质与判断【解析】首先将函数的解析式整理变形，然后结合函数单调性的定义整理计算即可求得最终结果．【解答】函数的解析式：f(x)=ax+1x+2=a+1−2ax+2，设x1，x2∈(−2, +∞)，且x1<x2，则：f(x1)−f(x2)=1−2ax1+2−1−2ax2+2=(1−2a)(x2−x1)(x1+2)(x2+2)，x1，x2∈(−2, +∞)，且x1<x2，则x2−x1(x1+2)(x2+2)>0，当1−2a<0,a>1时，f(x1)<f(x2)，函数f(x)单调递增；2时，f(x1)>f(x2)，函数f(x)单调递减．当1−2a>0,a<12。
高中数学人教B版必修第一册《312_函数的单调性》同步练习卷(4)(有答案)
人教B版（2019）必修第一册《3.1.2 函数的单调性》2020年同步练习卷（4）一、单选题（每小题5分，共25分）1. 已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|1x|)<f(1)的实数x的取值范围是（）A.(−1, 1)B.(0, 1)C.(−1, 0)∪(0, 1)D.(−∞, −1)∪(1, +∞)2. 下列四个函数中，在(0, +∞)上是增函数的是（）A.f(x)＝B.f(x)＝x2−3xC.f(x)＝3−xD.f(x)＝−|x|3. 已知函数f(x)在R上是增函数，若a+b>0，则（）A.f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)B.f(a)+f(b)>f(−a)−f(−b)C.f(a)+f(−a)>f(b)−f(−b)D.f(a)+f(−a)>f(b)−f(−b)4. 二次函数y=x2−2x+2在[−2, 3]上的最大值、最小值为（）A.10，5B.10，1C.5，1D.以上都不对5. 函数f(x)在区间[−3, −1]上是增函数，且最小值为−2，最大值为1，那么|f(x)|在[−3, −1]上（）A.最小值为−2，最大值为1B.最小值为0，最大值为1C.最小值为0，最大值为2D.最小值为−2，最大值为0二、填空题（每小题5分，共15分）对任意x∈R，函数f(x)表示−x+3，32x+12，x2−4x+3中的较大者，则f(x)的最小值是________．已知函数f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，若f(a2+2a−2)≤f(a2−3a+3)，则实数a的取值范围是________．已知f(x)＝x2+2(a−1)x+2在[1, 5]上的最大值为f(1)，则a的取值范围是________．三、解答题（共20分），x∈[3, 5]，已知函数f(x)=x−1x+2(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．已知函数f(x)＝x2−2x+2．（1）求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；（2）若g(x)＝f(x)−mx在[2, 4]上是单调函数，求m的取值范围．一、选择题（每小题5分，共10分）函数f(x)＝的最大值是（）A.1B.2C.3D.4已知y＝ax+1，在[1, 2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（）A.2B.−2C.2，−2D.0二、多选题（每小题5分，共10分）设c<0，f(x)是区间[a, b]上的减函数，下列命题中正确的是（）A.f(x)在区间[a, b]上有最小值f(a)B.在[a, b]上有最小值f(a)C.f(x)−c在[a, b]上有最小值f(b)−cD.cf(x)在[a, b]上有最小值cf(a)狄利克雷是德国著名数学家，函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论中正确的是（）A.若x是无理数，则D[D(x)]＝0B.函数D(x)的值域是[0, 1]C.D(−x)＝D(x)D.若T≠0且T为有理数，则D(x+T)＝D(x)对任意的x∈R恒成立三、填空题（每小题5分，共10分）函数f(x)＝−3x在区间[2, 4]上的最大值为________．(x>0)的值域为________．函数f(x)=3xx2+x+1四、解答题（共10分）已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3．（1）求f(x)的解析式；（2）若f(x)在区间[2a, a+1]上不单调，求a的取值范围（3）若x∈[t, t+2]，试求y＝f(x)的最小值．参考答案与试题解析人教B版（2019）必修第一册《3.1.2 函数的单调性》2020年同步练习卷（4）一、单选题（每小题5分，共25分）1.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断【解析】|与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．由函数的单调性可得|1x【解答】>1解得−1<x<0或0<x<1，由已知得1|x|2.【答案】A【考点】函数单调性的性质与判断【解析】分别判断函数的单调性是否满足条件即可．【解答】f(x)＝＝1−，+∞)上是增函数．函数f(x)＝x2−6x的对称轴为x＝，在(5，，在（，故B不符合题意．函数f(x)＝3−x在(4, +∞)上是减函数．函数f(x)＝−|x|＝−x在(0, +∞)上是减函数，3.【答案】A【考点】函数单调性的性质【解析】直接利用a+b>0，化为a>−b，b>−a，利用增函数以及不等式的性质即可得到f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)．【解答】解：因为a+b>0，所以a>−b，b>−a，又因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)>f(−b)，f(b)>f(−a)，由不等式的性质可知f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)．故选：A．4.【答案】B【考点】二次函数在闭区间上的最值【解析】根据二次函数的解析式，确定函数的对称轴和图象的开口方向，根据离对称轴轴越远，对应的函数值越大，即可求得答案．【解答】解：∵ 二次函数y =x 2−2x +2，∴ y =(x −1)2+1，对称轴为x =1，图象是开口向上的抛物线，∵ 离对称轴越远，其对应的函数值越大，x ∈[−2, 3]，∴ x =1时，函数取得最小值为1；当x =−2时，函数取得最大值为10，故选：B ．5.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断函数的最值及其几何意义【解析】利用函数的单调性，结合函数的图象变换，推出结果即可．【解答】函数f(x)在区间[−3, −1]上是增函数，最大值为4，那么|f(x)|的图象，把原来函数的图象，对称到x 轴上方，所以函数在[−3, −1]上，最小值为2，二、填空题（每小题5分，共15分）【答案】2【考点】函数的最值及其几何意义函数的图象变换【解析】由题意比较三者之间的大小，从而可得f(x)={x 2−4x +3，x ≤0或x >5−x +3,0<x ≤132x +12，1<x ≤5，从而求最小值．【解答】解：由32x +12−(−x +3)>0得，x >1；由x 2−4x +3−(−x +3)>0得，x >3或x <0；由x 2−4x +3−(32x +12)>0得，x >5或x <12；则f(x)={x 2−4x +3，x ≤0或x >5−x +3,0<x ≤132x +12，1<x ≤5； 结合函数的图象如下，f min (x)=f(1)=−1+3=2；故答案为：2．【答案】[1, +∞)【考点】函数单调性的性质与判断函数的单调性及单调区间 【解析】由函数的单调性分析可得原不等式等价于a 2+2a −2≥a 2−3a +3，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】因为函数f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，若f(a 2+2a −6)≤f(a 2−3a +4)，所以a 2+2a −6≥a 2−3a +3，即5a ≥5，解得a ≥7，所以实数a 的取值范围是[1, +∞)，【答案】(−∞, −2]【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】由条件可知f(x)的图象是对称轴为x ＝1−a ，开口向上的抛物线，根据题意可知x ＝1的位置高于x ＝5的位置，从而得出，然后解出a 的范围即可．【解答】f(x)＝x 2+2(a −5)x +2＝(x +a −1)7−(a −1)2+3，函数图象是对称轴为直线x ＝1−a ，开口向上的抛物线，∵ f(x)在[1, 3]上的最大值为f(1)，∴ ，解得a ≤−2，∴ a 的取值范围是(−∞, −5]．故答案为：(−∞, −2]．三、解答题（共20分）【答案】解：(1)函数f(x)为增函数，证明：任取x 1，x 2∈[3, 5]且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=x 1−1x 1+2−x 2−1x 2+2=3(x 1−x 2)(x 1+2)(x 2+2)，∵ 3≤x 1<x 2≤5，∴ x 1−x 2<0，(x 1+2)(x 2+2)>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)在[3, 5]上为增函数．(2)由(1)知，f(x)在[3, 5]上为增函数，则f(x)max =f(5)=47，f(x)min =f(3)=25．【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）任取x 1，x 2∈[3, 5]且x 1<x 2，可求得f(x 1)−f(x 2)=3(x 1−x 2)(x 1+2)(x 2+2)，结合条件，判断其符号，即可证明其单调性；（2）根据（1）判断的函数的单调性即可求得函数f(x)的最大值和最小值．【解答】解：(1)函数f(x)为增函数，证明：任取x 1，x 2∈[3, 5]且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=x 1−1x 1+2−x 2−1x 2+2=3(x 1−x 2)(x 1+2)(x 2+2)，∵ 3≤x 1<x 2≤5，∴ x 1−x 2<0，(x 1+2)(x 2+2)>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)在[3, 5]上为增函数．(2)由(1)知，f(x)在[3, 5]上为增函数，则f(x)max =f(5)=47，f(x)min =f(3)=25．【答案】∵ f(x)＝x 2−2x +4＝(x −1)2+4，其对称轴x ＝1，∵x∈[，3]，∴f(x)的最小值是f＝1，又f（）＝，f(1)＝5，所以，f(x)的最大值是f(2)＝5，即f(x)在区间[，3]上的最大值是3．（3）∵g(x)＝f(x)−mx＝x2−(m+2)x+3，其对称轴x＝，要使f(x)在[8, 4]上是单调函数，则≤2或，即m≤2或m≥6．故m的取值范围是(−∞, 6]∪[6．【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】（1）直接利用二次函数的性质可得f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；（2）利用二次函数的性质求出对称轴，可得m的取值范围．【解答】∵f(x)＝x2−2x+4＝(x−1)2+4，其对称轴x＝1，∵x∈[，3]，∴f(x)的最小值是f＝1，又f（）＝，f(1)＝5，所以，f(x)的最大值是f(2)＝5，即f(x)在区间[，3]上的最大值是3．（3）∵g(x)＝f(x)−mx＝x2−(m+2)x+3，其对称轴x＝，要使f(x)在[8, 4]上是单调函数，则≤2或，即m≤2或m≥6．故m的取值范围是(−∞, 6]∪[6．一、选择题（每小题5分，共10分）【答案】B【考点】分段函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】利用分段函数，分段判断函数的单调性，求解函数的最值，推出结果即可．【解答】当x≥1时，函数f(x)＝，此时f(x)在x＝3处取得最大值；当x<1时，函数f(x)＝−x2+5在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2．综上可得，f(x)的最大值为4．【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断【解析】根据一次函数单调性可得|(a+1)−(2a+1)|＝2，解出即可．【解答】①当a＝0时，y＝ax+1＝1，不符合题意；②当a>0时，y＝ax+1在[1, 2]上递增，则(2a+1)−(a+1)＝2，解得a＝2；③当a<0时，y＝ax+1在[1, 2]上递减，则(a+1)−(2a+1)＝2，解得a＝−2．综上，得a＝±2，二、多选题（每小题5分，共10分）【答案】C,D【考点】函数单调性的性质与判断命题的真假判断与应用【解析】利用已知条件结合函数的单调性以及函数的最小值判断选项的正误即可．【解答】A中，f(x)是区间[a，在区间[a，A错误；B中，f(x)是区间[a，而函数，b]上单调性无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a, f(x)−c在区间[a，其最小值f(b)−c；D中，f(x)是区间[a, 且c<0, b]上是增函数，b]上有最小值cf(a)．【答案】C,D【考点】函数的值域及其求法命题的真假判断与应用【解析】通过x是有理数、无理数，结合狄利克雷函数，求解D[D(x)]，判断A；求出函数的值域，判断B；利用有理数的性质判断C；有理数的性质判断D即可．【解答】当x为无理数时，D(x)＝0，D[D(x)]＝D(1)＝4(1)当x为无理数时，D[D(x)]＝D(0)＝1，均有D[D(x)]＝1，故A不正确（2）对于B，函数D(x)的值域为{7，1](3)对于C，∵有理数的相反数还是有理数，∴对任意x∈R，都有D(−x)＝D(x)(4)对于D，若x是有理数；若x是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D(x+T)＝D(x)对任意的x∈R恒成立，故D正确（5）故选：CD．三、填空题（每小题5分，共10分）【答案】−4【考点】函数的最值及其几何意义【解析】判断函数的单调性，然后求解函数的最大值即可．【解答】因为y＝在区间[2，y＝−4x在区间[2，所以函数f(x)＝−5x在区间[2，所以f(x)max＝f(2)＝−3×2＝−6．【答案】(0, 1]【考点】函数的值域及其求法【解析】函数即为y=3x+1x +1，运用基本不等式，求得x+1x≥2，即可得到函数y的值域．【解答】函数y=3xx2+x+1(x>0)即为y=3x+1x +1，≥2，由于x>0，则x+1x+1≥3，则有x+1x则有y≤1，且y>0，则有函数的值域为(0, 1]．四、解答题（共10分）【答案】由已知，f(0)＝f＝3，则函数的定点坐标为(1, 3)，设f(x)＝a(x−1)2+4，a>0，得a＝2，故f(x)＝5x2−4x+6．因为函数的对称轴为1，f(x)在区间[2a对称轴在区间[4a, a+1]内，解得0<a<．（1）当t≥1时，函数f(x)在[t, f(x)min＝f(t)＝6t2−4t+8．当t<1<t+2时，即−7<t<1时min＝1，当t+3≤1时，即t≤−1时，t+4]上单调递减min＝f(t+2)＝2t7+4t+3，综上所述y＝f(x)min＝g(t)＝【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】（1）根据二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)可得对称轴为x＝1，可设f(x)＝a(x−1)2+1，由f(0)＝3，求出a的值即可；（2）f(x)在区间[2a, a+1]上不单调，则2a<1<a+1，解得即可；（3）通过讨论t的范围，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值．【解答】由已知，f(0)＝f＝3，则函数的定点坐标为(1, 3)，设f(x)＝a(x−1)2+4，a>0，得a＝2，故f(x)＝5x2−4x+6．因为函数的对称轴为1，f(x)在区间[2a对称轴在区间[4a, a+1]内，解得0<a<．（1）当t≥1时，函数f(x)在[t, f(x)min＝f(t)＝6t2−4t+8．当t<1<t+2时，即−7<t<1时min＝1，当t+3≤1时，即t≤−1时，t+4]上单调递减min＝f(t+2)＝2t7+4t+3，综上所述y＝f(x)min＝g(t)＝。
数学人教B全国通用版必修一学案：第2章 2.1 2.1.3 函数的单调性 Word版含答案
2.1.3函数的单调性学习目标：1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义．(重点)2.掌握定义法判断函数单调性的步骤．(重点)3.掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)．(难点)[自主预习·探新知]1．增、减函数的概念2．函数的单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．思考：如何正确理解函数单调性的概念？[提示](1)定义中“区间M⊆A”及“在这个区间M上”说明了：函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是函数的整个定义域也可以是定义域的某个子集．(2)定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，所以，在证明单调性时“任意”二字不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1＜x 2；三是同属于一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系实现正逆互推，即由f (x )是减(增)函数且f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＞x 2(x 1＜x 2)．[基础自测]1．思考辨析(1)已知f (x )＝1x ，因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )是增函数．( )(2)增、减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1、x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( )[解析] (1)×.由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)×.不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．(3)×.反例：f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ∈(1，2]，12x ，x ∈(2，3).[答案] (1)× (2)× (3)× 2．设函数f (x )＝(4m ＋1)x ＋n 是R 上的减函数，则有( )A ．m ≥14B ．m ≤－14C ．m ＞－14D ．m ＜－14D [∵f (x )在R 上为减函数，∴4m ＋1＜0，即m ＜－14.]3．函数f (x )＝1x 的减区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)和(0，＋∞)D [画出反比例函数y ＝1x 的图象，由图象可知其减区间为：(－∞，0)和(0，＋∞)．]4．函数f (x )＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________．(－∞，1) [因为f (x )＝x 2－2x ＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以函数f (x )的单调减区间是(－∞，1)．][合 作 探 究·攻 重 难]是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋1(x ≥1)，5－x (x <1)；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.[思路探究] (1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．[解] (1)函数f (x )＝－1x 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调区间为(－∞，1)，(1，＋∞)，并且函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．f (x )在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．[规律方法] 1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[跟踪训练]1．若f (x )＝⎩⎨⎧(x －1)2，x ≥0，x ＋1，x <0，则f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．(－∞，0]，[1，＋∞) [0,1] [作出函数f (x )的图象(图略)，利用图象易写出它的增区间和减区间．]A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋2x(2)用定义法证明函数f (x )＝x 2x 2－1在区间(0,1)上是减函数． [思路探究] (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．(2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．[解] (1)对于A ：f (x )在R 上递减，不合题意；对于B ：f (x )的对称轴是x ＝1，在(0,1)上递减，不合题意；对于C：f(x)在(0，＋∞)上递减，不合题意；对于D：f(x)的对称轴是x＝－1，开口向上，在(0，＋∞)上递增，符合题意，故选D.[答案] D(2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x21x21－1－x22x22－1＝x22－x21(x21－1)(x22－1)＝(x2－x1)(x2＋x1)(x1－1)(x1＋1)(x2－1)(x2＋1)，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以，函数f(x)＝x2x2－1在区间(0,1)上是减函数．[规律方法]判断函数单调性的常用方法(1)定义法.这是证明或判定函数单调性的常用方法.(2)图象法.根据函数图象的升、降情况进行判断.(3)直接法.运用已知结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.同时还要注意以下结论：①函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y＝1f(x)与y＝f(x)的单调性相反.③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数等. [跟踪训练]2．已知函数f(x)＝1a－1x，用单调性定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.[证明] 设任意x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数.[探究问题]1．根据函数单调性的定义，若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当自变量x 越大，函数值是越大还是越小？如果函数f (x )是减函数呢？提示：若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当自变量x 越大，函数值就越大；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当自变量x 越大，函数值就越小．2．若函数f (x )＝ax 2－4ax ＋3，显然其图象的对称轴为x ＝2，那么f (4)>f (3)一定成立吗？提示：不一定．如果函数f (x )是图象开口向上的二次函数，则f (x )在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则f (4)>f (3)；如果函数f (x )是图象开口向下的二次函数，则f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，则f (4)<f (3)．3．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是什么？提示：因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝a ，所以其单调增区间为(a ，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a ，＋∞)，所以a ≤2. (1)f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( )A ．f (a )＜f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )(2)已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．[思路探究] (1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．(2)由函数的单调性求参数a 的取值范围⇒函数单调性的定义．[解] (1)因为a ∈R ，所以a －2a ＝－a 与0的大小关系不定，没法比较f (a )与f (2a )的大小，故A 错；而a 2－a ＝a (a －1)与0的大小关系也不定，也无法比较f (a 2)与f (a )的大小，故B 错；又因为a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，所以a 2＋1＞a .又f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f (a 2＋1)＜f (a )，故C 对；易知D 错．故选C.[答案] C(2)设1<x 1<x 2，则x 1x 2>1，因为f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋a x 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1.故a 的取值范围是[－1，＋∞)．母题探究：1.(变条件)将例3(2)改为f (x )在[1，＋∞)上是增函数，且f (2m )>f (m －9)，求实数m 的取值范围．[解] 因为f (x )在[1，＋∞)上是增函数，又f (2m )>f (m －9)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ≥1，m －9≥1，2m >m －9，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥12，m ≥10，m >－9.解得m ≥10，所以实数m 的取值范围为[10，＋∞)．2．(变条件)将例3(2)改为在定义域(0,1)上是减函数，求实数a 的取值范围．[解] 设0<x 1<x 2<1，则0<x 1x 2<1.因为f (x )在(0,1)上是减函数．所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2>0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋a x 1x 2<0，即a <－x 1x 2. 因为0<x 1<x 2<1,0<x 1x 2<1，所以－1<－x 1x 2<0.所以a ≤－1，故a 的取值范围为(－∞，－1]．[规律方法] 1.已知函数的单调性比较函数值的大小，首先要确定自变量的大小，并且确定两个自变量在已知函数的单调增区间还是单调减区间内，然后利用函数的单调性确定函数值的大小．2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．[当堂达标·固双基]1．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是()A．f(x1)－f(x2)x1－x2>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．x1－x2f(x1)－f(x2)>0C[因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)．]2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)B[易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．]3．若x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，函数f(x)＝－1x，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能B[∵函数f(x)＝－1x在(－∞，0)上是增函数，又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，∴f(x1)<f(x2)．]4．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 [∵f (x )是定义在R 上的增函数， 又∵f (x －2)<f (1－x )，∴x －2<1－x ，∴x <32，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32.] 5．证明函数f (x )＝x ＋1x 在(－1,0)上是减函数．[证明] 设－1＜x 1＜x 2＜0，则有f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2， 由于－1＜x 1＜x 2＜0,0＜x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0，又x 1x 2＞0，x 1－x 2＜0， 则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数在(－1,0)上为减函数．。
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第二章 2.1 2.1.3 第1课时函数的单调性的定义一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2[答案] D[解析] ∵函数y ＝x 2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．2．设函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的增函数，则有( ) A ．a >12B ．a ≤12C ．a >－12D ．a <12[答案] A[解析] 由题意2a －1>0，∴a >12.3．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )A ．f x 1－f x 2x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )D ．x 1－x 2f x 1－f x 2>0[答案] C[解析] 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；对于C ，若x 1<x 2时，可能有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故C 不成立．4．(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．a <4B ．a ≤4C ．a >4D ．a ≥4[答案] D[解析] 函数f (x )的图象的对称轴为x ＝a ，由题意得a ≥4.5．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性[答案] D[解析] 函数f (x )在两个单调增区间的并区间上并不一定是增函数．如图所示．6．设f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (1)>f (2) B ．f (－a )<f (a ) C ．f (0)<f (a ) D ．f (1)<f (2)[答案] A[解析] ∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (1)>f (2)，故选A ． 二、填空题7．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且m ＝f (34)，n ＝f (a 2－a ＋1)，则m 与n 的大小关系是____________．[答案] m ≥n[解析] a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (34)≥f (a 2－a ＋1)，∴m ≥n .8．已知函数f (x )的图象如图．则f (x )的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．[答案] [－3,1] 2 －3[解析] 由图可知f (x )的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3.三、解答题9．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )＝x2x －1，证明函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．[证明] 设任意x 1∈(1，＋∞)，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2.f (x 2)－f (x 1)＝x 22x 2－1－x 12x 1－1＝2x 1x 2－x 2－2x 1x 2＋x 12x 2－12x 1－1＝x 1－x 22x 2－12x 1－1∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵x 1>1，x 2>1， ∴2x 1－1>0,2x 2－1>0， ∴x 1－x 22x 2－12x 1－1<0，∴f (x 2)<f (x 1)．故函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数． 10．判断函数f (x )＝－x 3＋1在R 上的单调性． [证明] 函数f (x )＝－x 3＋1在R 上是减函数． 设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋1＋x 31－1＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴Δy <0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数.一、选择题1．在(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2B ．y ＝－1xC ．y ＝x －1D ．y ＝4x[答案] D[解析] 函数y ＝1－x 2，y ＝－1x ，y ＝x －1在区间(－∞，0)上是增函数，函数y ＝4x在(－∞，0)上为减函数，故选D ．2．已知函数f (x )＝8＋2x －x 2，那么( ) A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数 B ．f (x )是减函数C ．f (x )是增函数D ．f (x )在(－∞，0)上是增函数[答案] D[解析] 函数f (x )＝8＋2x －x 2的图象为开口向下，对称轴是x ＝1的抛物线，∴函数f (x )在(－∞，0)上是增函数．3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减[答案] C[解析] y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x ≥－2－x －2x <－2，作出y ＝|x ＋2|的图象， 易知在[－3，－2]上为减函数， 在[－2,0]上为增函数．4．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )[答案] A[解析] ∵f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 二、填空题5．若f (x )＝x 2＋2mx ＋2在(－∞，1]上是减函数，则实数m 的取值范围为________． [答案] m ≤－1[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2的对称轴为x ＝－m ，∴要使函数在(－∞，1]上是减函数，应满足－m ≥1，∴m ≤－1.6．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间为________． [答案] (－∞，－12][解析] 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－12，∴函数的递减区间为(－∞，－12]．三、解答题7．设函数f (x )是R 上的单调增函数，F (x )＝f (x )－f (2－x )． 求证：函数F (x )在R 上是单调增函数． [证明] 任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2， ∵函数f (x )是R 上的单调增函数， ∴f (x 1)<f (x 2)，f (2－x 1)>f (2－x 2)， 即f (x 1)－f (x 2)<0，f (2－x 1)－f (2－x 2)>0，∴F (x 1)－F (x 2)＝[f (x 1)－f (2－x 1)]－[f (x 2)－f (2－x 2)]＝[f (x 1)－f (x 2)]＋[f (2－x 2)－f (2－x 1)]<0，即F (x 1)－F (x 2)<0，所以F (x 1)<F (x 2)．∴函数F (x )在R 上是单调增函数． 8．讨论函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a ≠12)在(－2，＋∞)上的单调性． [解析] 设x 1、x 2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝ax 2＋1x 1＋2－ax 1＋1x 2＋2x 1＋2x 2＋2＝2a －1x 2－x 1x 1＋2x 2＋2.∵x 1>－2，x 2>－2，x 1<x 2， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 2－x 1>0.因此，当a >12时，2a －1>0，此时f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是增函数；当a <12时，2a －1<0，此时f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是减函数．。