2019年江苏省高考数学模拟试卷(4)(含附加,详细答案)

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2019年江苏省高考数学模拟试卷(含详细解析)

2019年江苏省高考数学模拟试卷一．填空题（共14小题，满分70分，每小题5分）1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，2{|20}B x x x =--<，则AB = ．2．（5分）已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为．3．（5分）如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为．4．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为．5．（5分）函数2()f x x=的定义城为． 6．（5分）五位同学任意站成一排，其中甲不站两边的概率为． 7．（5分）已知函数sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象的对称中心为(,0)12π，则ϕ的值是． 8．（5分）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线PA 与PB 的斜率之积为79，则双曲线的离心率为．9．（5分）设函数23(1)()4(1)x x f x x x <⎧=⎨-⎩…，则[f f （2）]= ． 10．（5分）记棱长都为1的正三棱锥的体积为1V ，棱长都为1的正三棱柱的体积为2V ，则12V V = ． 11．（5分）已知函数()f x xlnx =的图象与2()2g x x ax =-+-的图象恰有一个公共点，则实数a 的值为．12．（5分）已知向量(1,1)a =，(,2)b m =，且1a b =，则m 的值为，a 与b 夹角的余弦值等于．13．（5分）若实数x ，y 满足222(1)(1)22cos (1)1x y xyx y x y ++--+-=-+，则xy 的最小值为． 14．（5分）已知数列{}n a 是各项正数首项1等差数列，n S 为其前n项和，若数列也为等差数列，则81n n S a ++的最小值是．二．解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示的多面体111ABCDA B C 中，上底面ABCD 与下底面111A B C 平行，四边形ABCD 为平行四边形，且111////AA BB CC ，已知111122AB A B AA AC ===，113AAC π∠=，且1111AC B C ⊥．（1）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（2）若点M 为11B C 的中点，求直线1C D 与CM 所成角的余弦值．16．（14分）若5sin cos 1cos sin αααα-=+．（1）求tan α的值；（2）求cos sin sin cos cos sin αααααα++-的值．17．（14分）若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美增函数”．已知()x f x e x =+，()1g x lnx =-．（1）判断函数()f x 是否为区间(0,)+∞上的“完美增函数”；（2）若函数()g x 是区(0，]m 上的“完美增函数”，求整数m 的最大值．18．（16分）设有三点A ，B ，P ，其中点A ，P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，A (0,2)，B (2,0)，且6OA OB OP +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆C 的右焦点的直线l 倾斜角为45︒，直线l 与椭圆C 相交于E 、F ，求三角形OEF 的面积．19．（16分）已知函数y =在0x x =处附近有定义，且01|2x x y ='=，求x 的值．20．（16分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且1,2n a ，n S 构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足221223(log )(log )n n n b a a ++=，求证：123111112n b b b b +++⋯+<．三．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．（10分）如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ．（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =，求证：AB ED =．。

2019年江苏省高考数学全真模拟试卷(4)含答案

2019年江苏省高考数学全真模拟试卷（四）注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{}1,2,3A =-，{}|(3)0B x x x =-<，则A B = ．2.在复平面内，复数12iz i-=（i 为虚数单位）对应的点位于第象限． 3.设x R ∈，则“22x>”是“11x<”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为．5.运行如图所示的算法流程图，输出的k 的值为．6.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为．7.书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -= ． 9.记棱长为1的正三棱锥的体积为1V ，棱长都为1的正三棱柱的体积为2V ，则12V V = ． 10.若将函数()cos(2)f x x ϕ=+（0ϕπ<<）的图象向左平移12π个单位所得到的图象关于原点对称，则ϕ= ．11.在ABC ∆中，AH 是底边BC 上的高，点G 是三角形的重心，若2AB =，4AC =，30BAH ∠=︒，则()AH BC AG +⋅= ．12.已知函数2()1f x x b =+-+（a ，b 为正实数）只有一个零点，则121a ab ++的最小值为．13.已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足210PA PB λ⋅-+=的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是．14.已知函数2|||1|,0,()2,0x a x x f x x ax x ++->⎧=⎨-+≤⎩的最小值为a ，则实数a 的取值集合为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥；ABCDP E（2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S ，且2224)S a c b +-. （1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围．17．（本小题满分14分）下图（I ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135．（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值．19．已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ．（1）若20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式．20．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列；（2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值；（3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2019年江苏省高考数学全真模拟试卷（四）参考答案一、填空题1.{}22.三3.充分不必要4.1005.96.67.310 8.3169.3π 11.6 12.5213.3182λ<≤ 14.{}2,2- 二、解答题15．证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥．因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥．又POCO O =，所以BD ⊥平面PCO ．因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥．（2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ．由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥，又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ．又=COEO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16．解：（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-，则sin B =所以sin B B ．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B = 又0πB <<，所以π3B =．（2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--m n =．由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，．所以πsin(2)142A ⎛⎤-∈-⎥ ⎝⎦．所以( 63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． 17．解：（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则 60206015tan =tan 2174t t t tαβ===，，由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--，化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去），所以，2520500AC AP PC =+=⨯=．答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x .则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈，即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-，令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减；当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增；所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab.18. 解：（1）由椭圆的离心率为21.得21c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -，所以l的方程为：1y =+或1y x =+. （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+，联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y =+， ② 联立①②得212x x =，从而12x x =2为定值.解法2：设D 坐标为(x 3，y 3），由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-， ① 由B ,D ,N，将221y =+ 代入可得2x =， ②①和②相乘得，231231x x x y =-2333323333222)2x y x x x y x +-==-+-.19. 解：（1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ，得22()32f x x ax a '=+-，令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-.要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<，即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<，则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212*********()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=，因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=，因为310x x ->，所以2310x x x a +++=，又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=，因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3，所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++，所以b a 32=.20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③ 即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数，所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+，所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数，所以103d -=或112n b -+为常数．①当103d-=时，3d =，符合题意；②当112n b -+为常数时，在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分所以11113222n b b -+=+=，此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-．综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -．当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=，如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(四)含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 复数2＋i1＋i (i 为虚数单位)的模为________．2. 函数f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)的定义域为________ . 3. 某公司生产A ，B ，C 三种药品，产量分别为1 200箱，6 000箱，2 000箱．为检验该公司的药品质量，现用分层抽样的方法抽取46箱进行检验，则A 药品应抽取________箱．4. 如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的y 的值为________．5. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0， π6， π4， π3， π2， 2π3， 3π4， 5π6， π.现从集合A 中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为________．6. “α＝π4”是“cos 2α＝0”的________条件．7. 已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β＝－13，sin(α＋β)＝79.则sin α的值为________.8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x ≥1），kx －x 2（x <1）是R 上的单调增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积为36，点E 为棱B 1B 上的点，且B 1E ＝2BE ，则三棱锥A 1AED 的体积为________．10. 若直线l ：2x ＋y ＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝5相切，且a >0，b >0则ab 的最大值为________．11. 在等比数列{a n }中，a n ＞0且a 1a 3a 5a 7a 9＝32，则a 2＋a 8的最小值是________． 12. 已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈[－π2，π2]，则满足f (x 0)>f (π6)的x 0的取值范围是________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a ·b ＝0，且|c －2b |＝2|c －a |，则|c ＋2a |的最小值是________．14. 已知a ≠0，函数f (x )＝e x －a (x ＋1)的图象与x 轴相切．若x >1时，f (x )>mx 2，则实数m 的取值范围是__________________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG ∥平面BCD .求证：(1) EF ＝12BC ；(2) 平面EFD ⊥平面ABC .已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n . (1) 求函数f (x )在区间[－π4，π6]上的最大值；(2) 设g (x )＝12－f (x )，若sin(2θ－π6)＝13，0<θ<π4，求g (θ)的值．一个游戏盘由一个直径为2 m的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1 m，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.(1) 试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2) 求时间T最短时cos θ的值.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点(2, 2)．(1) 求椭圆C的方程；(2) 设点P是椭圆C上横坐标大于2的一点，过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线分别与y轴交于点A，B，试确定点P的坐标，使得△P AB的面积最小．若存在非零常数p，对任意的正整数n，a2n＋1＝a n a n＋2＋p，则称数列{a n}是“容数列”．(1) 若数列{a n}的前n项和S n＝n2(n∈N*)，求证：{a n}是“容数列”；(2) 设{a n}是各项均不为0的“容数列”．①若p<0，求证：{a n}不是等差数列；②若p>0，求证：当a1，a2，a3成等差数列时，{a n}是等差数列.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，ax 3＋（b －4a ）x 2－（4b ＋14）x ＋1， 0≤x ≤4，a （log 4x －1）， x >4(a ，b 为常数，且a ≠0)．(1) 若b ＝0且f (8)＝1，求f (x )在x ＝0处的切线方程；(2) 设a ，b 互为相反数，且f (x )是R 上的单调函数，求a 的取值范围； (3) 若a ＝1，b ∈R .试讨论函数g (x )＝f (x )＋b 的零点的个数，并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)1.102 解析： 2＋i 1＋i ＝3－i 2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 1＋i ＝⎪⎪⎪⎪3－i 2＝94＋14＝102. 2. (－1，2) 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧2－x>0，x ＋1>0，解得－1<x<2.3. 6 解析：461 200＋6 000＋2 000×1 200＝6.4. 2 解析：由程序框图可知，第一次运行时，输入x ＝5，不满足x ≤0，故x ＝5－3＝2；第二次运行时，x ＝2不满足x ≤0，故x ＝2－3＝－1；第三次运行时，x ＝－1满足x ≤0，故y ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，输出y ＝2.5. 49 解析：当余弦值为正数时，x ＝0，π6， π4， π3，概率为49. 6. 充分不必要解析：由cos 2α＝0，得2α＝k π＋π2，α＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴ “α＝π4”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件. 7. 13 解析：∵ β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－13，∴ sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，从而cos (α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝⎛⎭⎫792＝－429， ∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13. 8. [2，3] 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥1，k －1≤2，∴ 2≤k ≤3.9. 6 解析：V A 1AED ＝VEA 1AD ＝13S △A 1AD ·AB ＝16SA 1ADD 1·AB ＝16×36＝6.10.258 解析：|2a ＋b|5＝5，且a>0，b>0，从而2a ＋b ＝5，∴ 5＝2a ＋b ≥22ab ，∴ ab ≤258，当且仅当2a ＝b ，即a ＝54，b ＝52时等号成立，从而ab 的最大值为258. 11. 4 解析：∵ a 1a 3a 5a 7a 9＝32，a n >0，∴ a 5＝2，∴ a 2＋a 8≥2a 2a 8＝4.12. ⎣⎡⎭⎫－π2，－π6∪⎝⎛⎦⎤π6，π2 解析：函数f(x)＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2为偶函数，其图象关于y 轴对称，故考虑函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的情形，利用导数可得函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故在⎣⎡⎦⎤0，π2上f(x 0)>f ⎝⎛⎭⎫π6的x 0的取值范围是⎝⎛⎦⎤π6，π2，利用对称性质知，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上， x 0的取值范围是[－π2，－π6)∪⎝⎛⎦⎤π6，π2. 13. 20－10 解析：设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，OP →＝c ＝(x ，y )，则由|c －2b |＝2|c －a |，得x 2＋(y －2)2＝2[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝10.又|c ＋2a |＝（x ＋2）2＋y 2，∴ |c ＋2a |min ＝20－10.14. (－∞，e －2] 解析：f ′(x )＝e x－a ，依题意，设切点为(x 0，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝0，f ′（x 0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧e x 0－a （x 0＋1）＝0，e x 0－a ＝0.又a ≠0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝1，f (x )＝e x －x －1.由题意，得e x －x －1>mx 2，即e x －x －1x 2>m 在(1，＋∞) 上恒成立．设h (x )＝e x －x －1x 2，x >1，则h ′(x )＝（x －2）e x ＋x ＋2x 3，x >1.设s (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，x >1, ∴ s ′(x )＝(x －1)e x ＋1，x >1，∴ s ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴ s (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵ s (1)＝3－e>0，∴ s (x )>0即h ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵ h (1)＝e －2，∴ m ≤e －2，即实数m 的取值范围是(－∞，e －2]．15. 证明：(1) 因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG ∥BD.又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得F 为AC 的中点，所以EF ＝12BC.(7分)(2) 因为AD ＝BD ，由(1)知，E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE.又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC. 由(1)知，EF ∥BC ，所以AB ⊥EF.又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ，所以AB ⊥平面EFD.又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 由题意，得f(x)＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∵ －π3≤2x ＋π6≤π2，∴ f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1＋32， ∴ f(x)max ＝1＋32.(7分)(2) 由(1)知g(x)＝12－f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∵ sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝13，0<θ<π4，∴ －π6<2θ－π6<π3，∴ cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝223，∴ g (θ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋π3＝26＋16.(14分)17. 解：(1) 过O 作OG ⊥BC 于G ，则OG ＝1，OF ＝OG sin θ＝1sin θ，EF ＝1＋1sin θ，AE ︵＝θ，∴ T (θ)＝AE ︵5v ＋EF 6v ＝θ5v ＋16v sin θ＋16v ，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4.(6分)(2) ∵ T(θ)＝θ5v ＋16v sin θ＋16v，∴T ′(θ)＝15v －cos θ6v sin 2θ＝6sin 2θ－5cos θ30v sin 2θ＝－（2cos θ＋3）（3cos θ－2）30v sin 2θ，记cos θ0＝23，θ0∈[π4，3π4]，－＋故当cos θ＝23时，时间T 最短．(14分)18. 解：(1) 由题意得2c ＝26，且4a 2＋4b 2＝1.又c 2＝a 2－b 2，故a 2＝12，b 2＝6，所以椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(6分)(2) 设点P(x 0，y 0)，其中x 0∈(2，23]，且x 2012＋y 206＝1，又设A(0，m)，B(0，n)，不妨令m>n, 则直线PA 的方程为(y 0－m)x －x 0y ＋x 0m ＝0，则圆心(1，0)到直线PA 的距离为|y 0－m ＋x 0m|（y 0－m ）2＋x 20＝1，化简得(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0，(8分) 同理，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0，所以m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根，则(m －n)2＝（2y 0）2＋4x 0（x 0－2）（x 0－2）2，又△PAB 的面积为S ＝12(m －n)x 0，所以S 2＝y 20＋x 0（x 0－2）（x 0－2）2x 20＝（x 0－2）2＋82（x 0－2）2x 2，令t ＝x 0－2∈(0，23－2]，记f(t)＝（t 2＋8）（t ＋2）22t 2，则f′(t)＝t （t ＋2）（t 3－16）t 4＜0在(0，23－2]上恒成立，所以f(t)在(0, 23－2]上单调递减，故t ＝23－2，即x 0＝23时，f(t)最小，此时△PAB的面积最小，当x 0＝23时，y 0＝0，即P(23，0)．(16分) 19. 证明：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *，则{a n }是“容数列”⇔存在非零常数p ，使得(2n ＋1)2＝(2n －1)(2n ＋3)＋p ，显然p ＝4满足题意，所以{a n }是“容数列”．(4分) (2) ① 假设{a n }是等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，得(a 1＋nd )2＝[a 1＋(n －1)·d ][a 1＋(n ＋1)d ]＋p ，解得p ＝d 2≥0，这与p <0矛盾，故假设不成立，从而{a n }不是等差数列．(10分) ② 因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p (p >0)，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋p (n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1(n ≥2)．因为{a n }的各项均不为0，所以a n ＋1＋a n －1a n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1(n ≥2)，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1＋a n －1a n (n ≥2)是常数列．因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 3＋a 1a 2＝2，从而a n ＋1＋a n －1a n＝2(n ≥2)，即a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，即证．(16分) 20. 解：(1) ∵ f(8)＝1，∴ a ＝2. 又b ＝0，∴ f(0)＝1， ∴ f ′(0)＝－14，∴ f(x)在x ＝0处的切线方程为x ＋4y －4＝0.(4分) (2) ∵ y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，且f(x)是R 上的单调函数， ∴ 在y ＝a (log 4x －1)中，应该有y ′＝ax ln 4≤0，故a <0.(5分) 在y ＝ax 3＋(b －4a )x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1中，其中a ＋b ＝0， y ′＝3ax 2－10ax ＋4a －14，导函数的对称轴为x ＝53，故Δ＝100a 2－12a ⎝⎛⎭⎫4a －14≤0，解得－352≤a <0，即a 的取值范围是[－352，0)．(8分)(3) 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，x 3＋（b －4）x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1，0≤x ≤4，log 4x －1，x >4，则f ′(x )＝3x 2＋2(b －4)x －⎝⎛⎭⎫4b ＋14(0≤x ≤4)，其判别式Δ＝4b 2＋16b ＋67>0，记f ′(x )＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，＋－＋当b >0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x ＝1－b 无解，又f (0)＋b ＝1＋b >0, f (4)＋b ＝b >0,f (2)＋b ＝8＋4(b －4)－2⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－152－3b <0，方程在(0，4)上有两解，方程一共有两个解；(10分)当b <－1时，⎝⎛⎭⎫12x ＋b ＝0有一解x ＝log 0.5(－b )，log 4x －1＋b ＝0有一解x ＝41－b,又f (0)＋b ＝1＋b <0，f (4)＋b ＝b <0，f ⎝⎛⎭⎫12＋b ＝18＋14(b －4)－12⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－34b >0, 故方程在(0，4)上有两解，方程共有4个解；(12分) 当－1<b <0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x －1＋b ＝0有一解，又f (0)＋b ＝1＋b >0，f (4)＋b ＝b <0,方程在(0，4)内只有一解，方程共两解；(14分)当b ＝0时，有x ＝4和x ＝12两解，当b ＝－1时，有x ＝0，x ＝5－102，x ＝16三个解，综上，当b >－1时，g (x )有2个零点；当b ＝－1时，g (x )有3个零点；当b <－1时，g (x )有4个零点．(16分)。

2019年高考真题数学(江苏卷含答案)(4)

1。{1,6}
2。2
3.5 4.[ 1,7]
5。 5 3
6. 7 10
7. y 2x
8。16 9。10 10.4
11. (e, 1)
12。 3
13. 2 10
14.
1
3
,
2 4
二、解答题
15。本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运
算求解能力.满分14分。
（1)若 a=b=c,f（4）=8，求 a 的值；
(2）若 a≠b，b=c，且 f（x）和 f '(x) 的零点均在集合{ 3,1,3} 中，求 f（x）的极小值；
(3）若 a 0, 0 b„ 1, c 1，且 f（x）的极大值为 M，求证:M≤ 4 ．
27
20．(本小满分 16 分)
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列".
1
(x
1)2
，
g(x)
1 2
,1
x
2
，其中 k>0。若在区间(0，
9］上，关于 x 的方程 f (x) g(x) 有 8 个不同的实数根,则 k 的取值范围是 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
sin A sin B
2b b
从而 cos2 B (2sin B)2 ，即 cos2 B 4 1 cos2 B ，故 cos2 B 4 。 5
因为 sin B 0 ，所以 cos B 2sin B 0 ，从而 cos B 2 5 . 5
因此
sin

2019年高考数学(江苏专版)精选模拟卷4含答案(详细解析版)

2019年高考数学（江苏专版）精选模拟卷数学Ⅰ（文理公共）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．）．．1．【锡山高级中学实验学校2019届高三12月月考】集合A＝{0，}，B＝{﹣1，0，1}，若A B＝B，则x ＝_______．【答案】0【解析】因为A B＝B，所以，又因为，所以，2．【南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为_____.【答案】3．【徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测】已知一组样本数据5，4，，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为_________．【答案】2【解析】平均数为：，解得：，方差故答案为：24．【南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末联考】执行如图所示的算法流程图，则输出S的值是____.【答案】5．【苏州市高三调研】苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为______．【答案】【解析】每分钟一班列车，其中列车在车站停留分钟，根据几何概型概率公式可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为，故答案为.6．【海安县2019届高三上学期期中】已知函数为奇函数，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】依题意，有：，即再由对数不等式的解法得到结果.＝，所以，即：，所以，k＝±1，当k＝1时，没有意义，舍去，所以，k＝－1，不等式即为：＜1＝所以，0＜＜2，由＞0，得：x＜－1或x＞1，由＜2，即＜0，即＞0，得：x＜1或x＞3，综上可得：x＜－1或x＞3，所以，解集为：（－∞，－1）∪（3，＋∞）7．【镇江市2019届高三上学期期末】若，，则_______．【答案】【解析】8．【常州市2019届高三上学期期末】数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.【答案】【解析】数列{a n﹣n}的前2018项和为1，即有（a1+a2+…+a2018）﹣（1+2+…+2018）＝1，可得a1+a2+…+a2018＝1+1009×2019，由数列{b n}的前n项和为n2，可得b n＝2n﹣1，，a2＝1+a1，a3＝2﹣a1，a4＝7﹣a1，a5＝a1，a6＝9+a1，a7＝2﹣a1，a8＝15﹣a1，a9＝a1，…，可得a1+a2+…+a2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）＝505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1＝1+1009×2019，解得a1＝．故答案为：．9．【扬州市2018-2019学年度第一学期期末】已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______．【答案】【解析】10．【锡山高级中学实验学校2019届高三12月月考】已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为，则该三棱柱的体积是_______．【答案】【解析】设三棱柱的内切球半径为，则，所以，因为该球与正三棱柱两个底面都相切，所以该正三棱柱的高，又因为该球与正三棱柱的三个侧面都相切，所以底面边长，该正三棱柱的体积为11．【姜堰中学2018—2019学年第一学期高三期中】如图，在ABC中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为______．【答案】【解析】12．【扬州中学2019届高三上学期12月月考】若函数在定义域内某区间H上是增函数，且在H上是减函数，则称的在H上是“弱增函数”．已知函数的上是“弱增函数”，则实数的值为________．【答案】【解析】由题意可知g（x）＝x2+（4﹣m）x+m在（0，2]上是增函数，∴0，即m≤4．13．【清江中学2019届高三第二次教学质量调研】已知函数若函数存在5个零点，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数存在4个零点，不合题意.当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数存在5个零点，符合题意.当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数存在6个零点，不符合题意.所以实数a的取值范围为.故答案为：14．【扬州市2018-2019学年度第一学期期末】若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】令，则ln e ln et﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，f′（t）＝e0，则t，可得f（t）在（）递减，在（）递增，∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，即（ln）min＝2，∴的最小值为e2，故答案为：e2．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．【扬州市2018-2019学年度第一学期期末】如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）BB1⊥AC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（2）∵四边形为矩形∴，∵平面平面，平面，平面平面∴平面，∵平面∴16．【南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角的值；（2）若，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．又=．所以△的面积为.17．【泰州中学高三理上学期月考一】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知⊥．为裁剪出面积尽可能大铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FE FH、放在斜边EH上，且，的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点,A B放在弧EF上，点C D∠=．设AOEθ（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．【答案】（1）；（2）max 2S =. 【解析】（2）记，当06πθ<<时，()0f θ'>，当62ππθ<<时，()0f θ'<，所以()fθ在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调增，在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调减．所以，即6πθ=时，max S =考点：三角变换及导数等有关知识的综合运用.18．在平面直角坐标系中，椭圆M ：(a ＞b ＞0)的离心率为，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA，l 2⊥PB，直线l 1，l 2交于点C ．（1）若点C的横坐标为﹣1，求P点的坐标；（2）直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】∵y0，∴点C的坐标为（﹣x0，y0），∵点C的横坐标为﹣1，∴x0＝1，又∵P为椭圆M上第一象限内一点∴y0∴P点的坐标为．（2）设Q（x Q，y Q）∵λ，∴，解得：，19．【如皋市2019届高三教学质量调研（三)】设无穷数列的前项和为，已知，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立?若存在，请写出数列的所有通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立..【解析】（1）令，则，；（2），，，两式相减得，整理得，又因为，故数列的首项为1，公差为1的等差数列，所以，故.20．【徐州市2019届高三12月月】已知函数，．（1）当时，求的单调增区间；（2）若恰有三个不同的零点（）．①求实数的取值范围；②求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）当时，，定义域为．．所以，在上单调递增；即的单调增区间为.（2）①由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解．即关于的方程在上有三个不同的解．令，．令，可得或．将x,h1(x),h(x)变化情况列表如下极小值极大值又当所以，实数的取值范围为．②由①可知，当时，．令，则，即，，．不妨设，则．数学Ⅱ（理科加试）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）【南京师大附中2018届高三高考考前模拟】在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC 的外接圆交BC边于点N，求证：BN=2AM．【答案】见解析证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以＝．又AC＝AB，所以＝①因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以，BM·BA＝BN·BC，即＝②由①、②可知＝，所以BN=2AM．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到的点（1）求实数的值；（2）求矩阵的逆矩阵.【答案】（1）；（2）.【解析】C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【南京市六校联合体2019届高三12月联考】在直角坐标系中，已知直线的参数方程是（t 是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】【解析】消去参数，得直线的普通方程为，即，两边同乘以得，所以，圆心到直线的距离，所以弦长为．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）【南通市高考数学模拟】已知x>0，y>0，z>0，，求证：．【答案】见解析【解析】[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）【徐州市2019届高三上学期期中质量抽测】在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲【解析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，则，，，．的分布列为：，，，．所以，所以，的数学期望为．24．（本小题满分10分）【扬州市2019届高三上学期期中】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为轴，直线AC为轴，直线DA1为轴建立空间直角坐标系，解决以下问题:（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（2）由（1）得：=（2，1，﹣），=（﹣2，0，0），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），∴，取z=1，则=（0，），∴cos＜，＞===．设直线AB与平面A1BC所成角为β，β∈（0，]，则sinβ=|cos＜，＞|=．故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为．。

江苏省南通市2019届高三模拟练习(四)数学试题(PDF版)答案

（第4题）数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{|12}A x x =-<≤，{|0}B x x =<，则A B = ▲ ．【答案】{|10}x x -<<2．已知复数22i 1i z =++（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．【答案】1i -3．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．【答案】174．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[)120130，内的学生人数为 ▲ ．【答案】305．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的两条渐近线的方程为2y x =±，则该双曲线的离心率为 ▲ ．6．现有3个奇数，2个偶数．若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为 ▲ ．【答案】257．已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．【答案】8．给出下列三个函数：①1y x =；②sin y x =；③e x y =，则直线1()2y x b b =+∈R 不能作为函数 ▲ 的图象的切线．（填写所有符合条件的函数的序号）S ←3For i From 2 To 5 S ←S + i End For Print S（第3题）【答案】①9．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若()AC AD AE λμλμ=+∈R ，，则λμ的值为 ▲ ．10．已知实数x y ，满足()()2230x y x y +--+≥，则22x y +的最小值为 ▲ ．【答案】9511．已知()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，当(302x ⎤∈⎥⎦，时，()1|21|f x x =--．若函数 ()log (1)a y f x x a =->在(0)+∞，上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】7212．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知()11A x y ，，()22B x y ，为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB ⋅的最大值为 ▲ ．【答案】3214．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，S 为△ABC 的面积．若不等式22233kS b c a +-≤恒成立，则实数k 的最大值为 ▲ ．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>，π2ϕ<)的图象关于直线π6x =对称，两个相邻的最高点之间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式；（2）在ABC △中，若3()5f A =-，求sin A 的值．（第9题）EC【解】（1）因为函数()f x 的图象的两个相邻的最高点之间的距离为2π，所以函数f (x )的周期T ＝2π，所以2π2πω=，1ω=，……2分所以()()sin f x x ϕ=+．又因为函数()f x 的图象关于直线π6x =对称，所以πππ62k ϕ+=+，即ππ3k ϕ=+，k ∈Z ，……4分因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()()πsin 3f x x =+． ……7分（2）在ABC △中，因为()35f A =-，()0πA ∈，，所以()π3sin 035A +=-<，所以()π4ππ33A +∈，，所以()π4cos 35A +=-， ……10分所以()()()ππππππsin sin sin cos cos sin 333333A A A A ⎡⎤=+-=+-+⎢⎥⎣⎦()314525=-⨯--． ……14分16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC AA =， D 是棱AB 的中点．求证：（1）1BC ∥平面1ACD ；（2）1BC ⊥1A C ．【解】（1）连结AC 1，设11AC AC O =，连结OD ．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面ACC 1A 1是平行四边形，所以O 为AC 1的中点． ……2分又因为D 是棱AB 的中点，所以OD ∥BC 1．……4分又因为1BC ⊄平面1ACD ，OD ⊂平面1ACD ，所以1BC ∥平面1ACD ． ……6分（第16题）A 1C 1B 1BACD（第16题）A 1C 1B 1BACDO（2）由（1）知，侧面ACC 1A 1是平行四边形．因为1AC AA =，所以平行四边形ACC 1A 1是菱形，所以AC 1⊥A 1C ．……8分在直三棱柱111ABC A B C -中，AA 1⊥平面ABC ．因为AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥AA 1．又因为AB AC ⊥，AC ∩AA 1＝A ，AC ⊂平面ACC 1A 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1，所以AB ⊥平面ACC 1A 1．因为A 1C ⊂平面ACC 1A 1，所以AB ⊥A 1C ．……10分又因为AC 1⊥A 1C ，AB ∩AC 1＝A ，AB ⊂平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，所以A 1C ⊥平面ABC 1． ……12分因为BC 1⊂平面ABC 1，所以BC 1⊥A 1C ．……14分17．（本小题满分14分）如图，在宽为14 m 的路边安装路灯，灯柱OA 高为8 m ，灯杆P A 是半径为r m 的圆C 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P 到路面的距离为10 m ，到灯柱所在直线的距离为2 m ．设Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C 在线段PQ 上．（1）当r 为何值时，点Q 恰好在路面中线上？（2）记圆心C 在路面上的射影为H ，且H 在线段OQ 上，求HQ 的最大值．【解】（1）如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知(08)A ，，(210)P ，，若点Q 恰好在路面中线上，则(70)Q ，，（第17题）O A所以直线PQ 方程为2140x y +-=．……2分设圆心C 的坐标为()a b ，，则()2228a b r +-=，①()()222210a b r -+-=， ②①－②得100a b +-=， ③ ……4分又圆心()a b ，在直线PQ 上，所以2140a b +-=，④由③④解得46a b ==，，代入①式得r = 答：当r为时，点Q 恰好在路面中线上． ……6分（2）由（1）知100a b +-=．当2a =时，灯罩轴线所在的直线方程为2x =，此时0HQ =；当2a ≠时，灯罩轴线所在的直线方程为()1022a y x a --=--，令0y =，得2012x a =-，即Q ()20120a -，，……8分因为点H 在线段OQ 上，所以2012a a-≥，解得210a ≤≤．……10分所以()()202012121212QH a a a a =--=-+-=-≤当且仅当20a a =，即a = 答：HQ的最大值为(12- m ．……14分18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x C a b a b+=>>：经过点(0，，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当2MF FN =时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足2PM PN PF ⋅=，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由椭圆经过点(0-，得b = ①（第17题）由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等得2a a c c c+=-，② 又222a b c =+，③由①②③可得2a =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为22143y x +=． ……3分（2）当直线l 与x 轴重合时，(20)M -，,(20)N ，，此时3MF FN =，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，11()M x y ，,22()N x y ，,将直线l 与椭圆22143y x +=联立并消去x 得，22(34)690m y my ++-=．因为223636(34)m m ∆=++0>，所以122634m y y m +=-+， ④ 122934y y m =-+，⑤……5分由2MF FN =得122y y =-， ⑥ 由④⑥解得12221263434m m y y m m =-=++，，代入⑤得22227293434m m m -=-++（），所以m =，20y ±．……8分（3）法一：当直线l 的斜率为0时，则(20)(20)M N -，，，，设00()P x y ，，则00(2)(2)PM PN x x ⋅=-+．因为点P 在椭圆外，所以02x -，02x +同号．又220(1)PF x =-，所以00(2)(2)x x -+20(1)x =-，解得052x =．……10分当直线l 的斜率不为0时，由（2）知122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，10|PM y y -，20|PN y y -，0|PF y =.……12分因为点P 在椭圆外，所以10y y -，20y y -同号，（第18题）所以21020(1)()()PM PN m y y y y ⋅=+--22120120(1)[()]m y y y y y y =+-++()2200226913434m m y y m m ⎛⎫=++- ⎪++⎝⎭， ……14分代入2PM PN PF ⋅=得()2200226913434m m yy m m ⎛⎫++- ⎪++⎝⎭()2201m y =+，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．所以点P 在定直线52x =上．……16分（3）法二：当直线l x ⊥轴，则3(1)2M ，，3(1)2N -，，则0033||||22PM PN y y ⋅=-+．又220PF y =，所以2PM PN PF ⋅=不成立，不合题意．……10分当直线l 与x 轴不垂直时，设00()P x y ，，11()M x y ，，22()N x y ，，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆22143y x +=联立并消去y 得 2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为422644(34)(412)k k k ∆=-+-42161081080k k =++>，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以10|PM x x =-，20|PN x x -，01|PF x =-．……12分因为点P 在椭圆外，所以10x x -，20x x -同号，所以21020(1)()()PM PN k x x x x ⋅=+--22120120(1)[()]k x x x x x x =+-++()22220022841213434k k k x x k k ⎛⎫-=+-+ ⎪++⎝⎭， ……14分代入2PM PN PF ⋅=得()22220022841213434k k k x x k k ⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭()()2200121k x x =+-+，整理得052x =，所以点P 在定直线52x =上．……16分19．（本小题满分16分）设函数32()()f x x ax bx a b =++∈R ，的导函数为()f x '．已知12x x ，是()f x '的两个不同的零点．（1）证明：23a b >；（2）当0b =时，若对任意x ＞0，不等式()ln f x x x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）求关于x 的方程()1211()()()2x xf x f x x f x +'=-+的实根的个数．【解】（1）因为32()f x x ax bx =++，所以()232f x x ax b '=++，因为12x x ，是()f x '的两个零点，且12x x <，所以24120a b ∆=->，所以23a b >．……2分（2）法一：当0b =时，对任意x ＞0，()ln f x x x ≥恒成立，所以32ln x ax x x +≥，即2ln 0x ax x +-≥对任意x ＞0恒成立，所以ln x a x x-≥对任意x ＞0恒成立．……4分设ln ()x g x x x =-，则221ln 1ln ()1x x x g x x x ---'=-=，令2()1ln h x x x =--，则1()20h x x x '=--<，所以()h x 在()0+∞，上单调递减， ……6分注意到()10h =，当()01x ∈，时，()0h x >，()0g x '>，所以()g x 在()01，上单调递增；当()1x ∈+∞，时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在()1+∞，上单调递减．所以，当1x =时，()g x 有最大值(1)1g =-．所以1a -≥，所以a 的取值范围为[)1-+∞，． ……8分（2）法二：当0b =时，对任意x ＞0，()ln f x x x ≥恒成立，所以32ln x ax x x +≥，即2ln 0x ax x +-≥对任意x ＞0恒成立，设2()ln g x x ax x =+-，则221()x ax g x x+-'=，令()0g x '=，得2210x ax +-=，解得0x ，……4分当()00x x ∈，时，()0g x '<，所以()g x 在()00x ，上单调递减；当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，所以()g x 在()0x +∞，上单调递增．所以当0x x =时，()g x 有最小值0()g x ，所以20000()ln g x x ax x =+-2001ln 0x x =--≥．……6分令2()1ln h x x x =--，则1()20h x x x '=--<，所以()h x 在()0+∞，上单调递减，注意到()10h =，由()00h x ≥解得001x <≤，所以01<，1a -≥，所以a 的取值范围为[)1-+∞，．……8分（3）法一：设()()()()12112x x F x f x f x f x x +⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭，则原问题转化为求函数()F x 的零点的个数．因为()232f x x ax b '=++，12x x ，是()f x '的两个零点，所以1223x x a +=-，()212233x x a a f f b +⎛⎫''=-=-+ ⎪⎝⎭．所以()()122x x F x f x f +⎛⎫'''=- ⎪⎝⎭……10分22323a x ax =++222339a a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()2303a x =+≥，所以()F x 在()0+∞，上单调递增， ……14分注意到1()0F x =，所以()F x 在()0+∞，上存在唯一零点1x ，所以关于x 的方程()()()12112x x f x f x x f x +⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭有1个实根．……16分（3）法二：设()()()()12112x x F x f x f x f x x +⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭，则原问题转化为求函数()F x 的零点的个数．因为()()()123f x x x x x '=--，所以()()122x x F x f x f +⎛⎫'''=- ⎪⎝⎭……10分()()121212123322x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫=----- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2212121234444x x x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦()2123204x x x =-+⎡⎤⎣⎦≥，所以()F x 在()0+∞，上单调递增，……14分注意到1()0F x =，所以()F x 在()0+∞，上存在唯一零点1x ，所以关于x 的方程()()()12112x x f x f x x f x +⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭有1个实根．……16分20．（本小题满分16分）对于数列{}n a ，若存在正数k ，使得对任意*m n m n ∈≠N ，，，都满足m n a a k m n --≤，则称数列{}n a 符合“()L k 条件”．（1）试判断公差为2的等差数列{}n a 是否符合“(2)L 条件”？（2）若首项为1，公比为q 的正项等比数列{}n a 符合“()12L 条件”．① 求q 的取值范围；② 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”．【解】（1）因为{}n a 是等差数列且公差为2，所以12(1)n a a n =+-，所以对任意*m n m n ∈≠N ，，，()()11||2121m n a a a m a n -=+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2()2m n m n =--≤恒成立，所以数列{}n a 符合“(2)L 条件”． ……2分（2）① 因为0n a >，所以0q >．若1q =，则1||0||2m n a a m n -=-≤数列{}n a 符合“1()2L 条件”．若1q >，因为数列{}n a 递增，不妨设m n <，则()12n m a a n m --≤，即1122n m a n a m --≤，（*）设12n n b a n =-，由（*）式中的,m n 任意性可知，数列{}n b 不递增，所以()1112n n n n b b a a ++-=--()11102n q q -=--≤，*N n ∈．则当()1log 21q n q >--⎡⎤⎣⎦时，()11102n q q --->，矛盾．……5分若01q <<，则数列{}n a 单调递减，不妨设m n <，则 ()12m n a a n m --≤，即1122m n a m a n ++≤，（**）设12n n c a n =+，由（**）式中的,m n 任意性可知，数列{}n c 不递减，所以()1112n n n n c c a a ++-=-+()11102n q q -=-+≥，*N n ∈．因为01q <<时，()11()12n f n q q -=-+单调递增，所以()()()min 11102f n f q ==-+≥，因为01q <<，所以112q <≤．综上得，公比q 的取值范围112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．……8分② 由①知，11112n n q S q q -=-，≤≤，当1q =时，n S n =，要存在0k 使得0n m S S k n m --≤，只要01k ≥即可．……10分当112q <≤时，要证数列{}n S 符合“0()L k 条件”，只要证存在00k >，使得01111n mq q k n m q q------≤，*N n ∈， ……12分不妨设m n <，则只要证()()01m n q q k q n m ---≤，只要证()()0011m n q k q m q k q n +-+-≤设()()01n g n q k q n =+-，由m n ，的任意性可知，只要证()()()()()()0011110n n g n g n q q k q q k q +-=-+-=--≥，只要证0n k q ≥，*N n ∈，因为112q <≤，所以存在0k q ≥，上式对*N n ∈成立．所以，存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵120x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，5723⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．B 的逆矩阵1-B 满足1-=AB 7177y -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．（1）求实数x y ，的值；（2）求矩阵A 的特征值．【解】（1）因为1-=AB 7177y -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，5723⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，所以1()=-=A AB B 7177y -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦5723⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，即120x -⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，所以5147210y x y -=⎧⎨-=⎩，，解得13x y =⎧⎨=⎩，．……6分（2）矩阵A 的特征多项式+12()(1)2(2)(1)1f λλλλλλλ-==+-=+--．令()0f λ=，解得=2λ-或=1λ，所以矩阵A 的特征值为2-和1．……10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos 0ρθ+=，直线l 的方程为7π2sin()06m ρθ-+=．（1）若直线l 过圆C 的圆心，求实数m 的值；（2）若2m =，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【解】（1）以极点为坐标原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标系．由2cos 0ρθ+=得22cos 0ρρθ+=，则圆C 的直角坐标方程是2220x y x ++=，圆心坐标为(10)-，，半径1r =．……2分由7π2sin()06m ρθ-+=，得7π7π2sin cos 2cos sin 066m ρθρθ-+=，则直线l 的直角坐标方程是0x m +=．……4分若直线l 通过圆C 的圆心，则10m -+=，所以1m =．……6分（2）若2m =，则圆心到直线的距离12d ==，所以直线l 被圆C所截得的弦长为……10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足222491212x y z ++=．证明：22222111323x y y z z ++++≥．【解】设2222223a x y b y z c z =+=+=，，，则22263x a b c y b c ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩，．所以426)9(3)1212a b c b c c -++-+=（，即4912a b c ++=， ……3分所以2222211123x y y z z++++ =111a b c ++ ()()11114912a b c a b c =++++21312=≥． ……10分所以原不等式成立．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过(10)E -，的直线l 与抛物线分别交于A B ，两点（点A B ，在x 轴的上方）．（1）设直线AF BF ，的斜率分别为12k k ，，证明：120k k +=；（2）若ABF △的面积为4，求直线l 的方程．【解】（1）当直线为斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线为斜率不为0时，设直线1l x my =-：，1122()()A x y B x y ，，，．将直线方程与抛物线方程联立并消去x ，得2440y my -+=．所以124y y m +=，124y y =，……2分（第22题）所以12121212121122y y y y k k x x my my +=+=+---- 1212121222()24240(2)(2)(2)(2)my y y y m m my my my my -+⨯-⨯===----．……5分（2）12ABF EBF EAF S S S y y =-=-△△△……7分=4=．解得m =．所以直线l方程为：10x +=．……10分23．（本小题满分10分）（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简0112233434343434C C C C C C C C +++．【案例】考察恒等式()()()523111x x x +=++左右两边2x 的系数．因为右边()()()23012222211C C C x x x x ++=++()0312233333C C C C x x x +++，所以，右边2x 的系数为011223232323C C C C C C ++，而左边2x 的系数为25C ，所以01122322323235C C C C C C C ++=．（2）求证：()()()222122201C C 1C nr n n n n n r r n n --=+-=+∑．【解】（1）考察恒等式()()()734111x x x +=++左右两边3x 的系数．因为右边()()()34012233333311C C C C x x x x x ++=+++()0413223444444C C C C C x x x x ++++，所以，右边3x 的系数为0112233434343434C C C C C C C C +++，而左边3x 的系数为37C ，所以011223343343434347C C C C C C C C C +++=．……3分（2）11(1)!C C !()!1)!()!r r n n n n r rn n r n r r n r ---===---！（． ……4分()()()()()222221C C 2C C nn n nr r r r nnnnr r r r r r r ====+=++∑∑∑∑()()2221111110C2CC C nnnr r rr n n nn r r r nn ----====+⋅+∑∑∑．考察恒等式()()()2111n nnx x x +=++左右两边n x 的系数．因为右边()()()()0101111C C C C C C nnn n n n nn n n n n n x x x x x x-++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+，所以，右边nx 的系数为0011C C C C C C n n n n n n n n++⋅⋅⋅+()2C nr n r ==∑，而左边的n x 的系数为2C n n ，所以()220C C nr n n n r ==∑．……6分同理可求得()2-1-1-12-21C C nr n n n r ==∑．考察恒等式()()()2-1-1111n n nx x x +=++左右两边-1n x 的系数．因为右边()()()()-1011101111111C C C C C C n nn n n n n n n n n n n x x x xx x ------++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+，所以，右边-1n x 的系数为01121111C C C C C C n n n n n n n n----++⋅⋅⋅+111C C nr rn n r --==⋅∑，而左边的-1n x 的系数为-12-1C n n ，所以111C C nr r n n r --=⋅∑-12-1C n n =．……8分所以()()22212201C C nr n n n r r n --=+-=∑2-12-2C n n n -12-12C n n n +2C n n +2122C n n n ----12-12C n n n =2C nn +()()-1-1-12-12-122-12-12C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n =++=++222C C (1)C n n n n n n n n =+=+．……10分。

(完整word)2019年江苏高三数学模拟试题含答案,推荐文档

2019年高三数学模拟试题1. 已知集合{2,0,1,7}A =，{|7,}B y y x x A ==∈，则A B =I ．【答案】{0,7}2.已知复数z =(i 为虚数单位)，则z z ⋅= ．【答案】3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为．【答案】84. 阅读下列程序，输出的结果为．【答案】225．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的 3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号盒子中各有1个球的概率为．【答案】296．已知实数x ，y 满足132y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x 的取值范围是．【答案】]32,31[-7．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E PAB -的体积为4，则PA 的长为．【答案】48.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________14B答案：32 9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2a =，22cos cos cos A b C c B -=，则3122b c +-的最大值是答案：2210.已知圆C 的方程为22(1)1x y ++=，过y 轴正半轴上一点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 交圆C 于A B 、两点，当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率k =________ 答案：1或711.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN P 平面1MND ；②平面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为6；④三棱锥ABC N -的体积为32=-ABC N V 。

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(第 4 题)x y PA ⊥ 2019 年高三数学模拟试题1. 已知集合 A = {2, 0,1,7} ，B = {y | y = 7x , x ∈ A } ，则 A B = ．【答案】{0, 7}2. 已知复数( i 为虚数单位)，则z ⋅ z = ．【答案】 143. 一组数据共 40 个，分为 6 组，第 1 组到第 4 组的频数分别为 10，5，7，6，第 5 组的频率为 0.1，则第 6 组的频数为．【答案】84. 阅读下列程序，输出的结果为．【答案】225. 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为 1，2，3 的3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则 1，2 号盒子中各有 1 个球的概率为．2 【答案】96.已知实数 x ，y 满足，则的取值范围是．【答案】7. 如图所示的四棱锥P - ABCD 中，底面是矩形， AB = 2 ， AD = 3 ，点 E 为棱为．上一点，若三棱锥的体积为 4，则 PA 的长z = i 3 + i⎪x ≤ 3 ⎧ y ≤ x -1 ⎪x + y ≥ 2⎨⎩CD [- 1 , 2] 3 3S ← 0For I from 1 to 10 step 3S ← S + IEnd forP r int SABCD ，底面 ABCD E - PABAEABNl PDBC【答案】48. 从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人，从中随机抽取 2 个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是答案：9. 在 ∆ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ，且 a = 2 ，2 2 cos A - b cos C = c cos B ，则的最大值是答案： 10. 已知圆 C 的方程为(x +1)2+ y 2 = 1 ，过轴y 正半轴上一点 P (0, 2) 且斜率为 k 的直线交圆 C 于 A 、B 两点，当△ABC 的面积最大时，直线答案：1 或 7的斜率11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M , N 分别是AA 1, CC 1 的中点，给出下列命题：① BN 平面 MND 1 ；②平面 MNA ⊥ 平面； ③平面MND 1 截该正方体所得截面的面积为；④三棱锥的体积为VN -ABC= 2 。

2019年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析

2019年江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡
相应的位置上．
1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（?U B）=．
2．已知复数，则z的共轭复数的模为．
3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶
数的概率是．
4．运行如图所示的伪代码，其结果为．
5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．
6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值
为．
7．若函数是偶函数，则实数a的值为．
8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．
9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集
是．
10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．
11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象
上存在区域D上的点，则a的取值范围是．
12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：
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2019年高考模拟数学试卷(4)答案

2019年高考模拟数学试卷（4）一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．设集合M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |－1<x ≤3}，则M ∩N 等于( ) A ．(－2,3] B ．[2,3] C ．(2,3]D ．(2,3)2．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－∞，－3)∪(－3,0] B ．(－∞，－3)∪(－3,1] C ．(－3,0] D ．(－3,1]3．在等差数列{a n }中，若S n ＝3n 2＋2n ，则公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．64．不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2,3] C ．[3，＋∞)D ．[－1,2]5．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c 等于( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．16．已知命题p ：x ＞1，q ：1x ＜1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则S 10等于( )A ．4 B.92C ．5D ．68．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π B.π2 C.π3 D.π69．若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝|a －c |＝|b －c |，则|c |的最大值为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．110.如图，已知正三棱柱(底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱)ABC －A 1B 1C 1的体积为94，底面边长为 3.若点P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π211．若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |>4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b <－412．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤7，x －y ≤－2，x －1≥0，则目标函数z ＝yx的最大值为( )A.95B ．3C ．6D ．9 13．若4x ＋4y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[－1,0] C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1]14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则下列各式一定成立的是( ) A ．f (0)<f (6) B ．f (－3)>f (2) C ．f (－1)>f (3)D ．f (－2)<f (－3)15．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝016．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF (如图①)．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE (如图②)．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( )①AC ∥平面BEF ；②B ，C ，E ，F 四点不可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝018．已知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0，b ，c ∈R )在(0,2)内有两个实根，若⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，25a ＋10b ＋4c ≥4，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C.94 D.1625二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是________；最大值是________．答案 π 1解析 f (x )＝－cos 2x ，T ＝π，f (x )max ＝1.20．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝________.21．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a1，b2＝a3，则T n＝________.22．偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－x2，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋3cos x)－32，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)求f(x)的值域．24．(10分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，|MF1|＝43 3.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值．25．(11分)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在x0，使得f(－x0)＝－f(x0)成立，则称x0为函数f(x)的局部对称点．(1)若a，b∈R且a≠0，证明：函数f(x)＝ax2＋bx－a必有局部对称点；(2)若函数f(x)＝2x＋c在区间[－1,2]上有局部对称点，求实数c的取值范围．2019年高考模拟数学试卷（4）答案一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．设集合M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |－1<x ≤3}，则M ∩N 等于( ) A ．(－2,3] B ．[2,3] C ．(2,3] D ．(2,3)答案 C解析 ∵M ＝{x |x >2或x <－2}，∴M ∩N ＝{x |2<x ≤3}． 2．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－∞，－3)∪(－3,0] B ．(－∞，－3)∪(－3,1] C ．(－3,0] D ．(－3,1] 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x≥0，x ＋3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，即x ∈(－3,0]．3．在等差数列{a n }中，若S n ＝3n 2＋2n ，则公差d 等于( ) A ．2B ．3C ．5D ．6答案 D解析公差为d 的等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ＝3n 2＋2n ，所以d ＝6.故选D.4．不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2,3] C ．[3，＋∞) D ．[－1,2]答案 B解析不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，1－2x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≤5，解得－2≤x <－1或－1≤x ≤2或2<x ≤3，所以不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为[－2,3]，故选B.5．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c 等于( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1 答案 B解析由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，因为B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，所以1sin A ＝32sin A cos A .所以cos A ＝32. 又0<A <π，所以A ＝π6，所以B ＝2A ＝π3.所以C ＝π－A －B ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2.6．已知命题p ：x ＞1，q ：1x ＜1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x ＞1，即0＜1x ＜1，即1x ＜1，即p 是q 的充分条件；而1x ＜1，即x ＞1或x ＜0，即p 不是q 的必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件．7．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则S 10等于( )A ．4 B.92 C ．5 D ．6答案 C解析 a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝12，所以这是一个周期为3的周期数列，且a 1＋a 2＋a 3＝32，a 10＝12，所以S 10＝3×32＋12＝5. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π B.π2 C.π3 D.π6答案 D解析由三视图知，该几何体为一圆锥被轴截面所截得的圆锥的一半，底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＝π6.9．若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝|a －c |＝|b －c |，则|c |的最大值为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1 答案 B解析作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，设向量a ，b 的夹角为α，由题意可得OA ＝OB ，BA ＝CA ＝CB ，可得△CAO ≌△CBO ，即有OC 垂直平分AB . 设AB ＝t ，t ＝2sin α2，等边△ABC 的高CH ＝32t ＝3sin α2， OH ＝cos α2，则|c |＝CH ＋OH ＝3sin α2＋cos α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6，当α2＋π6＝π2，即当α＝2π3时，|c |取得最大值2.10.如图，已知正三棱柱(底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱)ABC －A 1B 1C 1的体积为94，底面边长为 3.若点P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 C解析因为AA 1⊥底面A 1B 1C 1，所以∠AP A 1为P A 与平面A 1B 1C 1所成的角，因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，所以∠AP A 1的大小等于P A 与平面ABC 所成的角的大小，所以111A B C S＝34×(3)2＝334，所以111ABC A B C V －＝AA 1×111A B C S ＝334AA 1＝94，解得AA 1＝ 3.又点P 为底面正三角形A 1B 1C 1的中心，所以A 1P ＝23A 1D ＝23×3×sin 60°＝1.在Rt △AA 1P 中，tan ∠AP A 1＝AA 1A 1P＝3，所以∠AP A 1＝π3，故选C.11．若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |>4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2 D ．b <－4答案 D解析由b <－4⇒|b |>4⇒|a |＋|b |>4知，充分性成立．由|a |＋|b |>4D /⇒b <－4知，必要性不成立． 12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤7，x －y ≤－2，x －1≥0，则目标函数z ＝yx的最大值为( )A.95 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C解析不等式组对应的平面区域如图(阴影部分，含边界)所示，z 的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，则由图象可知，OA 的斜率最大，OB 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，即A (1,6)，此时OA 的斜率k ＝6，故选C.13．若4x ＋4y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[－1,0] C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 D解析由于4x ＋4y ≥24x ×4y ＝2x ＋y ＋1，所以2x＋y ＋1≤1＝20，得x ＋y ＋1≤0，即x ＋y ≤－1.故选D.14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则下列各式一定成立的是( ) A ．f (0)<f (6) B ．f (－3)>f (2) C ．f (－1)>f (3) D ．f (－2)<f (－3)答案 C解析因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，又f (x )在[0，＋∞)上是减函数，所以f (6)<f (|－3|)<f (|－2|)<f (|－1|)<f (0)，则f (－1)>f (3)，故选C.15．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 答案 A解析由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.16．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF (如图①)．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE (如图②)．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( )①AC∥平面BEF；②B，C，E，F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析对于①，在图中记AC与BD交点(中点)为O，取BE的中点为M，连接MO，MF，易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC∥FM，又∵FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC∥平面BEF，故①正确；假设②中B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，所以AD∥EF，这与已知相矛盾，故B，C，E，F四点不可能共面，所以②正确；③在梯形ADEF中，易得FD⊥EF，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，即CD⊥EF，又CD⊥AD，AD，EF为平面ADEF内的相交直线，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，所以③正确；④延长AF至G使得AF＝FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG 于N，又平面BCE∩平面ABF＝BG，FN⊂平面ABF，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，前后矛盾，故④错误．故选B.17．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 答案 A解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.故选A.18．已知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0，b ，c ∈R )在(0,2)内有两个实根，若⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，25a ＋10b ＋4c ≥4，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C.94 D.1625答案 D解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x －p )(x －q )，∵⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，25a ＋10b ＋4c ≥4，∴f (0)＝c ≥1，f (2.5)≥1， ∴apq ≥1，a (2.5－p )(2.5－q )≥1，∴a 2pq (2.5－p )(2.5－q )≥1，即a 2≥1pq (2.5－p )(2.5－q )，又p ·(2.5－p )·q ·(2.5－q )≤625256，当且仅当p ＝q ＝1.25时，等号成立．∴a 2≥256625，即a ≥1625，a 的最小值为1625. 二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是________；最大值是________．答案 π 1解析 f (x )＝－cos 2x ，T ＝π，f (x )max ＝1.20．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝________. 答案 1534解析由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即49＝25＋AC 2－2×5×AC ×⎝⎛⎭⎫－12，则AC 2＋5AC －24＝0，解得AC ＝3.故△ABC 的面积S ＝12×5×3×sin 120°＝1534. 21．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则T n ＝________.答案 23(4n －1) 解析由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n －1)＝3n －1，当n ＝1时，也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，T n ＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 22．偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫1515，33 解析因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)，即k (x ＋1)－y ＝0(k >0)过定点(－1,0)．因为函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象及直线k (x ＋1)－y ＝0(k >0)如图所示，则由图易得|AB |＝22－1＝3，|AC |＝42－1＝15，tan ∠BAx ＝13＝33，tan ∠CAx ＝115＝1515，则要使直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1515，33. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋3cos x )－32，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的值域．解 f (x )＝cos x (sin x ＋3cos x )－32 ＝sin x cos x ＋32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． ⎝⎛⎭⎫注：或者写成单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) (3)x ∈R ，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即f (x )∈[－1,1]． 24．(10分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，|MF 1|＝433. (1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋2交椭圆于A ，B 两点，求△ABO (O 为坐标原点)面积的最大值．解 (1)由已知得c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1. 设点M 在第一象限，因为MF 2⊥x 轴，可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c ，由|MF 1|＝4c 2＋43c 2＝433，解得c ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入椭圆，可得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由Δ>0，可得3k 2－2>0，则有x 1＋x 2＝－12k 2＋3k 2，x 1x 2＝62＋3k 2，所以|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2. 因为直线y ＝kx ＋2与y 轴交点的坐标为(0,2)，所以△OAB 的面积S ＝12×2×|x 1－x 2| ＝218k 2－123k 2＋2＝26×(3k 2－2)3k 2＋2，令3k 2－2＝t ，由3k 2－2>0知t ∈(0，＋∞)，所以S ＝26t t ＋4＝26t t 2＋8t ＋16＝26t ＋16t＋8≤62，当且仅当t ＝16t ，即t ＝4时等号成立．所以当t ＝4时，△ABO 的面积取得最大值62. 25．(11分)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则称x 0为函数f (x )的局部对称点．(1)若a ，b ∈R 且a ≠0，证明：函数f (x )＝ax 2＋bx －a 必有局部对称点；(2)若函数f (x )＝2x ＋c 在区间[－1,2]上有局部对称点，求实数c 的取值范围．(1)证明由f (x )＝ax 2＋bx －a ，得f (－x )＝ax 2－bx －a ，代入f (x )＋f (－x )＝0，得(ax 2＋bx －a )＋(ax 2－bx －a )＝0，得到关于x 的方程ax 2－a ＝0(a ≠0)，其中Δ＝4a 2，由于a ∈R 且a ≠0，所以Δ＞0恒成立，所以函数f (x )＝ax 2＋bx －a (a ，b ∈R ，a ≠0)必有局部对称点．(2)解方程2x ＋2－x ＋2c ＝0在区间[－1,2]上有解，于是－2c ＝2x ＋2－x . 设t ＝2x (－1≤x ≤2)，则12≤t ≤4，－2c ＝t ＋1t ，其中2≤t ＋1t ≤174，所以－178≤c ≤－1. 即c ∈⎣⎡⎦⎤－178，－1.。

2019届高考数学(江苏卷)模拟冲刺卷(4)(含附加及详细解答)

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 复数2＋i1＋i (i 为虚数单位)的模为________．2. 函数f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)的定义域为________ . 3. 某公司生产A ，B ，C 三种药品，产量分别为1 200箱，6 000箱，2 000箱．为检验该公司的药品质量，现用分层抽样的方法抽取46箱进行检验，则A 药品应抽取________箱．4. 如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的y 的值为________．5. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0， π6， π4， π3， π2， 2π3， 3π4， 5π6， π.现从集合A 中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为________． 6. “α＝π4”是“cos 2α＝0”的________条件．7. 已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β＝－13，sin(α＋β)＝79.则sin α的值为________.8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x ≥1），kx －x 2（x <1）是R 上的单调增函数，则实数k 的取值范围是________．9. 如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积为36，点E 为棱B 1B 上的点，且B 1E ＝2BE ，则三棱锥A 1AED 的体积为________．10. 若直线l ：2x ＋y ＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝5相切，且a >0，b >0则ab 的最大值为________．11. 在等比数列{a n }中，a n ＞0且a 1a 3a 5a 7a 9＝32，则a 2＋a 8的最小值是________． 12. 已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈[－π2，π2]，则满足f (x 0)>f (π6)的x 0的取值范围是________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a ·b ＝0，且|c －2b |＝2|c －a |，则|c ＋2a |的最小值是________． 14. 已知a ≠0，函数f (x )＝e x －a (x ＋1)的图象与x 轴相切．若x >1时，f (x )>mx 2，则实数m 的取值范围是__________________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG ∥平面BCD .求证：（1）EF ＝12BC ；（2）平面EFD ⊥平面ABC .16. (本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n .（1）求函数f (x )在区间[－π4，π6]上的最大值；（2）设g (x )＝12－f (x )，若sin(2θ－π6)＝13，0<θ<π4，求g (θ)的值．一个游戏盘由一个直径为2 m的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1 m，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.（1）试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；（2）求时间T最短时cos θ的值.18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点(2, 2)．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上横坐标大于2的一点，过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线分别与y轴交于点A，B，试确定点P的坐标，使得△P AB的面积最小．若存在非零常数p ，对任意的正整数n ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，则称数列{a n }是“容数列”．（1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2(n ∈N *)，求证：{a n }是“容数列”；（2）设{a n }是各项均不为0的“容数列”． ① 若p <0，求证：{a n }不是等差数列；② 若p >0，求证：当a 1，a 2，a 3成等差数列时，{a n }是等差数列.20. (本小题满分16分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，ax 3＋（b －4a ）x 2－（4b ＋14）x ＋1， 0≤x ≤4，a （log 4x －1）， x >4(a ，b 为常数，且a ≠0)．（1）若b ＝0且f (8)＝1，求f (x )在x ＝0处的切线方程；（2）设a ，b 互为相反数，且f (x )是R 上的单调函数，求a 的取值范围；（3）若a ＝1，b ∈R .试讨论函数g (x )＝f (x )＋b 的零点的个数，并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 021的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P (23，π6)，直线l ：ρcos(θ＋π4)＝22，求点P 到直线l 的距离．C. (选修45：不等式选讲)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a |，若函数f (x )的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE ＝2BF＝2.（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角CEFD的大小．23. 已知k，m∈N*，若存在互不相等的正整数a1，a2，…，a m，使得a1a2，a2a3，…，a m－1a m，a m a1同时小于k，则记f(k)为满足条件的m的最大值．（1）求f(6)的值；（2）对于给定的正整数n(n＞1)，①当n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，求f(k)的解析式；②当n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，求f(k)的解析式．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四) 1. 102 解析： 2＋i 1＋i ＝3－i 2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 1＋i ＝⎪⎪⎪⎪3－i 2＝94＋14＝102. 2. (－1，2) 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，x ＋1>0，解得－1<x <2.3. 6 解析：461 200＋6 000＋2 000×1 200＝6.4. 2 解析：由程序框图可知，第一次运行时，输入x ＝5，不满足x ≤0，故x ＝5－3＝2；第二次运行时，x ＝2不满足x ≤0，故x ＝2－3＝－1；第三次运行时，x ＝－1满足x ≤0，故y ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，输出y ＝2.5. 49 解析：当余弦值为正数时，x ＝0，π6， π4， π3，概率为49. 6. 充分不必要解析：由cos 2α＝0，得2α＝k π＋π2，α＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴ “α＝π4”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.7. 13 解析：∵ β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－13，∴ sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，从而cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝⎛⎭⎫792＝－429， ∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13.8. [2，3] 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥1，k －1≤2，∴ 2≤k ≤3.9. 6 解析：VA 1AED ＝VEA 1AD ＝13S △A 1AD ·AB ＝16SA 1ADD 1·AB ＝16×36＝6.10. 258 解析：|2a ＋b |5＝5，且a >0，b >0，从而2a ＋b ＝5，∴ 5＝2a ＋b ≥22ab ，∴ ab ≤258，当且仅当2a ＝b ，即a ＝54，b ＝52时等号成立，从而ab 的最大值为258. 11. 4 解析：∵ a 1a 3a 5a 7a 9＝32，a n >0，∴ a 5＝2，∴ a 2＋a 8≥2a 2a 8＝4.12. ⎣⎡⎭⎫－π2，－π6∪⎝⎛⎦⎤π6，π2 解析：函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2为偶函数，其图象关于y 轴对称，故考虑函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的情形，利用导数可得函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故在⎣⎡⎦⎤0，π2上f (x 0)>f ⎝⎛⎭⎫π6的x 0的取值范围是⎝⎛⎦⎤π6，π2，利用对称性质知，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上， x 0的取值范围是[－π2，－π6)∪⎝⎛⎦⎤π6，π2.13. 20－10 解析：设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，OP →＝c ＝(x ，y )，则由|c －2b |＝2|c －a |，得x 2＋(y －2)2＝2[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝10.又|c ＋2a |＝（x ＋2）2＋y 2，∴ |c ＋2a |min ＝20－10.14. (－∞，e －2] 解析：f ′(x )＝e x－a ，依题意，设切点为(x 0，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝0，f ′（x 0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ex 0－a （x 0＋1）＝0，ex 0－a ＝0.又a ≠0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝1，f (x )＝e x －x －1.由题意，得e x －x －1>mx 2，即e x－x －1x 2>m 在(1，＋∞) 上恒成立．设h (x )＝e x －x －1x 2，x >1，则h ′(x )＝（x －2）e x ＋x ＋2x 3，x >1.设s (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，x >1, ∴ s ′(x )＝(x －1)e x ＋1，x >1，∴ s ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴ s (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∵ s (1)＝3－e >0，∴ s (x )>0即h ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∵ h (1)＝e －2，∴ m ≤e －2，即实数m 的取值范围是(－∞，e －2]． 15. 证明：(1) 因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG ∥BD .又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得F 为AC 的中点，所以EF ＝12BC .(7分)(2) 因为AD ＝BD ，由(1)知，E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE .又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC . 由(1)知，EF ∥BC ，所以AB ⊥EF .又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ，所以AB ⊥平面EFD .又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC .(14分)16. 解：(1) 由题意，得f (x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∵ －π3≤2x ＋π6≤π2，∴ f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1＋32， ∴ f (x )max ＝1＋32.(7分)(2) 由(1)知g (x )＝12－f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∵ sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝13，0<θ<π4，∴ －π6<2θ－π6<π3，∴ cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝223，∴ g (θ)＝sin ⎝⎛⎫2θ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋π3＝26＋16.(14分)17. 解：(1) 过O 作OG ⊥BC 于G ，则OG ＝1，OF ＝OG sin θ＝1sin θ，EF ＝1＋1sin θ，AE ︵＝θ，∴ T (θ)＝AE ︵5v ＋EF 6v ＝θ5v ＋16v sin θ＋16v ，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4.(6分)(2) ∵ T (θ)＝θ5v ＋16v sin θ＋16v，∴T ′(θ)＝15v －cos θ6v sin 2θ＝6sin 2θ－5cos θ30v sin 2θ＝－（2cos θ＋3）（3cos θ－2）30v sin 2θ，记cos θ0＝2，θ0∈[π，3π]，－＋故当cos θ＝23时，时间T 最短．(14分)18. 解：(1) 由题意得2c ＝26，且4a 2＋4b2＝1.又c 2＝a 2－b 2，故a 2＝12，b 2＝6，所以椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(6分)(2) 设点P (x 0，y 0)，其中x 0∈(2，23]，且x 2012＋y 206＝1，又设A (0，m )，B (0，n )，不妨令m >n ,则直线P A 的方程为(y 0－m )x －x 0y ＋x 0m ＝0，则圆心(1，0)到直线P A 的距离为|y 0－m ＋x 0m |（y 0－m ）2＋x 20＝1，化简得(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0，(8分) 同理，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0，所以m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根，则(m －n )2＝（2y 0）2＋4x 0（x 0－2）（x 0－2）2，又△P AB 的面积为S ＝12(m －n )x 0，所以S 2＝y 20＋x 0（x 0－2）（x 0－2）2x 20＝（x 0－2）2＋82（x 0－2）2x 20，令t ＝x 0－2∈(0，23－2]，记f (t )＝（t 2＋8）（t ＋2）22t 2，则f ′(t )＝t （t ＋2）（t 3－16）t 4＜0在(0，23－2]上恒成立，所以f (t )在(0, 23－2]上单调递减，故t ＝23－2，即x 0＝23时，f (t )最小，此时△P AB 的面积最小，当x 0＝23时，y 0＝0，即P (23，0)．(16分) 19. 证明：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *，则{a n }是“容数列”⇔存在非零常数p ，使得(2n ＋1)2＝(2n －1)(2n ＋3)＋p ，显然p ＝4满足题意，所以{a n }是“容数列”．(4分) (2) ① 假设{a n }是等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，得(a 1＋nd )2＝[a 1＋(n －1)·d ][a 1＋(n ＋1)d ]＋p ，解得p ＝d 2≥0，这与p <0矛盾，故假设不成立，从而{a n }不是等差数列．(10分) ② 因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p (p >0)，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋p (n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1(n ≥2)．因为{a n }的各项均不为0，所以a n ＋1＋a n －1a n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1(n ≥2)，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1＋a n －1a n (n ≥2)是常数列．因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 3＋a 1a 2＝2，从而a n ＋1＋a n －1a n＝2(n ≥2)，即a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，即证．(16分) 20. 解：(1) ∵ f (8)＝1，∴ a ＝2. 又b ＝0，∴ f (0)＝1，∴ f ′(0)＝－14，∴ f (x )在x ＝0处的切线方程为x ＋4y －4＝0.(4分)(2) ∵ y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，且f (x )是R 上的单调函数，∴ 在y ＝a (log 4x －1)中，应该有y ′＝axln 4≤0，故a <0.(5分) 在y ＝ax 3＋(b －4a )x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1中，其中a ＋b ＝0， y ′＝3ax 2－10ax ＋4a －14，导函数的对称轴为x ＝53，故Δ＝100a 2－12a ⎝⎛⎭⎫4a －14≤0，解得－352≤a <0，即a 的取值范围是[－352，0)．(8分)(3) 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x <0，x 3＋（b －4）x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1，0≤x ≤4，log 4x －1，x >4，则f ′(x )＝3x 2＋2(b －4)x －⎝⎛⎭⎫4b ＋14(0≤x ≤4)，其判别式Δ＝4b 2＋16b ＋67>0，记f ′(x )＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，＋－＋当b >0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x ＝1－b 无解，又f (0)＋b ＝1＋b >0, f (4)＋b ＝b >0,f (2)＋b ＝8＋4(b －4)－2⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－152－3b <0，方程在(0，4)上有两解，方程一共有两个解；(10分)当b <－1时，⎝⎛⎭⎫12x ＋b ＝0有一解x ＝log 0.5(－b )，log 4x －1＋b ＝0有一解x ＝41－b,又f (0)＋b ＝1＋b <0，f (4)＋b ＝b <0， f ⎝⎛⎭⎫12＋b ＝18＋14(b －4)－12⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－34b >0, 故方程在(0，4)上有两解，方程共有4个解；(12分)当－1<b <0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x －1＋b ＝0有一解，又f (0)＋b ＝1＋b >0，f (4)＋b ＝b <0,方程在(0，4)内只有一解，方程共两解；(14分)当b ＝0时，有x ＝4和x ＝12两解，当b ＝－1时，有x ＝0，x ＝5－102，x ＝16三个解，综上，当b >－1时，g (x )有2个零点；当b ＝－1时，g (x )有3个零点；当b <－1时，g (x )有4个零点．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)21. A . 解：由题意得矩阵M 的特征多项式 f (λ)＝(λ－a )(λ－1)．因为矩阵M 有一个特征值为2，f (2)＝0，所以a ＝2.(2分)所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ，代入方程x 2＋y 2＝1，得(2x )2＋(2x ＋y )2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.(10分)B. 解：点P 的直角坐标为(3，3)．(2分)直线l 的普通方程为x －y －4＝0，(4分)从而点P 到直线l 的距离为|3－3－4|2＝2＋62.(10分) C. 解：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3，所以f (x )的最小值为3－|a 2－2a |.(4分)由题设，得|a 2－2a |<3，解得－1＜a ＜3，即a 的取值范围是(－1，3)．(10分)22. (1) 证明：连结BD ，∵ FB ∥ED ，∴ F ，B ，E ，D 共面．∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ ED ⊥AC.又ABCD 为正方形，∴ BD ⊥AC ，而ED ∩DB ＝D ，∴ AC ⊥平面DBFE ，而EF ⊂平面DBFE ，∴ AC ⊥EF.(4分)(2) 解：如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，E(0，0，2)．由(1)知AC →为平面DBFE 的法向量，即AC →＝(－2，2，0)，又CE →＝(0，－2，2)，CF →＝(2，0，1)，设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，CF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2z ＝0，2x ＋z ＝0，取z ＝1，则x ＝－12，y ＝1，∴ n ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，1. 设二面角CEFD 的大小为θ，则cos 〈n ，AC →〉＝n ·AC →|n ||AC →|＝1＋232×22＝22. 又二面角CEFD 为锐角，∴ θ＝π4.(10分)23. 解：(1) 由题意，取a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2＜6，满足题意；若∃a 3≥3，则必有a 2a 3≥6，不满足题意，综上所述，m 的最大值为2，即f(6)＝2.(2分)(2) 由题意，当n(n ＋1)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，设A 1＝{1，2，…，n}，A 2＝{n ＋1，n ＋2，n ＋3，…}，显然，∀a i ，a i ＋1∈A 1时，满足a i a i ＋1≤n(n －1)＜n(n ＋1)＜k ，所以从集合A 1中选出的a i 至多有n 个，∀a j ，a j ＋1∈A 2时，a j a j ＋1≥(n ＋1)(n ＋2) ≥k ，不符合题意，所以从集合A 2中选出的a j 必不相邻．因为从集合A 1中选出的a i 至多有n 个，所以从集合A 2中选出的a j 至多有n 个，放置于从集合A 1中选出的a i 之间，所以f(k) ≤2n. ① 当n(n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，取一串数a i 为1，2n ，2，2n －1，3，2n －2，…，n －1，n ＋2，n ，n ＋1，或写成a i ＝⎩⎨⎧i ＋12，i 为奇数，2n ＋1－i 2，i 为偶数(1≤i ≤2n)，此时a i a i ＋1≤n(n ＋2)＜k(1≤i ≤2n －1)，a 2n a 1＝n ＋1＜k ，满足题意，所以f(k)＝2n.(5分)② 当n(n ＋1)＜k ≤n(n ＋2)时，从A 1中选出的n 个a i ：1，2，…，n ，考虑数n 两侧的空位，填入集合A 2的两个数a p ，a q ，不妨设na p ＞na q ，则na p ≥n(n ＋2) ≥k ，与题意不符，所以f(k) ≤2n －1，取一串数a i 为1，2n －1，2，2n －2，3，2n －3，…，n －2，n ＋2，n －1，n ＋1，n ，或写成a i＝⎩⎨⎧i ＋12，i 为奇数，2n －i 2，i 为偶数(1≤i ≤2n －1)，此时a i a i ＋1≤n(n ＋1)＜k(1≤i ≤2n －2)，a 2n －1a 1＝n ＜k ，满足题意，所以f(k)＝2n －1.(10分)。

江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题(四)

n n⎨ ⎩1注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题~第 20 题，共第 20 题）．本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。

考试结束后，请将草稿纸和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题，必须用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

江苏省 2019 年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（四）数学试题数学Ⅰ（本部分满分 160 分，时间 120 分钟）2n2 1 n 参考公式：1．样本数据 x 1 , x 2 , , x n 的方差 s = ∑(x i - x ) i =1 ，其中 x = ∑ x i . i =12.锥体的体积公式：V = 1Sh ，其中 S 是锥体的底面面积， h 是高．3一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．把答案填在题中横线上． 1．已知集合 A = {x -1≤ x ≤1}，则 A Z = ▲ ．1-a i 2．已知复数 z = 1+ i为纯虚数， i 为虚数单位，则实数a 的值为 ▲ ．3．有一组样本数据 12，x ，10，11，9，已知它们的平均数为 10则这组数据的方差 s 2＝ ▲．4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果 S 为 ▲ ． 5．已知甲乙丙三人在 3 天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率为 ▲ ．⎧x ≥0, 第 4 题图6．若实数 x , y 满足不等式组 ⎪y ≥ x , ⎪x - 2 y + 2 ≥ 0 ，则 z = x + 2 y 的最大值为 ▲ ．S ←1I ←1While I < 8S ←S ＋3 I ←I ＋2 End While Print S317．已知双曲线y 2－x 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为 2x －y ＝0，则该双曲线的离a 2b 2心率为 ▲ ．8．若直线 y = 2x 与曲线 f (x ) = x + m ln x 相切，则实数 m 的值为 ▲．9．若关于 x 的方程 ax 2+ ax -1≥ 0 的解集为空集，则实数 a 的取值范围为 ▲．π 10．将一个半径为 8cm 、圆心角为的扇形薄铁片，焊接成一个圆锥形容器，则这个圆锥4形容器的容积等于 ▲ cm 3．11．已知数列{log 2 a n }为等差数列，若 a 1 + a 10 = 8 ，则该数列前 10 项的和的最大值为 ▲ ．12 ．将函数 y = sin 2x 的图象向右平移ϕ (ϕ> 0) 个单位，使得平移后的图象仍过点π ( , ) ，则ϕ的最小值为 ▲ ． 6 213．已知向量a , b , c 满足a + b + c = 0 ，且a 与b 的夹角的正切值为 - 1， b 与c 的夹角2的正切值为- ， b = 2 ，则a c 的值为 ▲ ．3 14．若函数 f (x ) = 1 x 3 + ax 2+ bx + c 在区间(-1, 2) 上有三个零点，则 f (-1) f (2) 的取3值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为单位圆上在第一象 y 限内的动点，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 x 轴，直线 y = x 交于 π点 M ，N ，设∠MOP = α, α ∈ (0， ) ．4（1）若sin α = 1,求cos ∠PON ；N y = xP5（2）求OP ⋅ON 的最大值．OM xDB发如图，四棱锥 P －ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA ⊥平面 PDC ．P(1)求证：平面 PAD ⊥平面 ABCD ；(2)在棱 PD 上是否存在一点 E ，使得 PB //平面 EAC ？如果存在，请找出点 E 并加以证明；如果不存在， C请说明理由．17．（本小题满分 14 分）A第16 题图如图，某市市区有一条过市中心O 南北走向的北京路，为了连接开发区，市政府决定修建两条公路：延伸从市中心O 出发北偏西60 方向的深圳路至 B 点；在市中心正南方向北京路上选取 A 点，在 A , B 间修建天津路．（1）如果在 A 点处看市中心O 和 B 点视角的开北3B 正弦值为，求在 B 点处看市中心O 和 A5区点视角的余弦值；（2）如果△ AOB 区域作为保护区，已知保护区的面积为153 km 2， A 点距市中心的距离为 3km ， 4求天津路的长度；（3）如果设计要求市中心O 到天津路 AB 段的深圳路西天津路第17 题图 O 上海路东A南距离为 4km ，且天津路 AB 最短，请你确定 A , B 两点的位置．北京路北京路已知圆 C 方程为 x 2 + y 2 - 8mx - (6m + 2) y + 6m + 1 = 0(m ∈ R ,m ≠ 0) ，椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上．（1）证明圆C 恒过一定点 M ，并求此定点 M 的坐标；（2）判断直线4x + 3y - 3 = 0 与圆C 的位置关系，并证明你的结论；（3）当m = 2 时，圆C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点 M ，求此时椭圆方程；在 x 轴上是否存在两定点 A , B , 使得对椭圆上任意一点Q （异于长轴端点），直线QA ,QB 的斜率之积为定值？若存在，求出 A , B 坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分 16 分）已知函数 f (x ) = x 3- ax , g(x ) = e x, a ∈ R . （1）当 a = 0时，求函数h (x ) =f (x ) 的极值。

江苏省南通市2019届高三四模试题数学【含解析】

江苏省南通市2019届高三四模试题数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1.已知集合{}12A x x =-<≤，{}0B x x =<，则A B =_______．【答案】{}10x x -<< 【解析】【分析】由集合交集的定义运算即可.【详解】已知集合{}12A x x =-<≤，{}0B x x =<，则A B ={}10x x -<<故答案为：{}10x x -<<【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.2.已知复数221z i i=++（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为_______．【答案】1i - 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得z ，再由共轭复数的定义得答案．【详解】22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -∴=+=+=-+=+++- ∴1z i =-．故答案为：1i -【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，属于基础题．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_______．【答案】17【解析】【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，S的值，即可得解输出的S的值．【详解】模拟执行程序代码，可得S＝3第1步：i＝2，S＝S＋i＝5；第2步：i＝3，S＝S＋i＝8；第3步：i＝4，S＝S＋i＝12；第4步：i＝5，S＝S＋i＝17；此时，退出循环，输出S的值为17．故答案为：17．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为__．【答案】30【解析】【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．【详解】由图知，（0.035+a +0.020+0.010+0.005）×10＝1，解得a ＝0.03； ∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10＝30．故答案为：30．【点睛】本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，属于基础题.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两条渐近线的方程为2y x =±，则该双曲线的离心率为_______． 5【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y ＝±2x，得b ＝2a ，从而225c a b a =+=，即可求出双曲线的离心率．【详解】∵双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两条渐近线方程是y ＝±2x ，∴2b a =，即b ＝2a ，∴225c a b a +，∴5ce a==． 5．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6.现有3个奇数，2个偶数．若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为__．【答案】25【解析】【分析】从中随机抽取2个数相加，基本事件总数2510n C ==，和是偶数包含的基本事件的个数2232C C 4m =+=，由此能求出和是偶数的概率．【详解】现有3个奇数，2个偶数．从中随机抽取2个数相加，基本事件总数2510n C ==，和是偶数包含的基本事件的个数2232C C 4m =+=，则和是偶数的概率为42105m p n === ．故答案为：25．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题．7.已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为____．【答案】22π 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，依题意，222r =，即2r =，所以该圆锥的侧面积为rl π=22π．【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r ，已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，如图所示，所以2222222r=+=，即2r =，又因为圆锥的母线长为2l =，所以该圆锥的侧面积为rl π=22π．故答案为：22π．【点睛】本题考查了圆锥的结构特点，圆锥的侧面积．属于基础题．8.给出下列三个函数：①1y x =；②sin y x =；③e x y =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）．【答案】① 【解析】【分析】分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数．【详解】直线12y x b =+的斜率为k ＝12，对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意；对于③xy e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意；故答案为：①【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算，以及方程思想、运算能力，属于中档题．9.如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．43【解析】【分析】以A 为原点，建立平面直角坐标系，设AB ＝BC ＝2后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得．【详解】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝2， AD ＝226，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF 26262232=D （2323）， AC ＝（2,2），AD ＝（233-23），AE ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+，所以，（2,2）＝λ（233 -，233）+μ（2,1），所以，2322232λμλμ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ的值为43故答案为：43【点睛】本题考查了平面向量的基本运算，建系用坐标表示是解题的关键，属于中档题．10.已知实数,x y满足(2)(23)0x y x y+--+≥，则22x y+的最小值为_______．【答案】95【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【详解】由(2)(23)0x y x y+--+≥，得：20230x yx y+-≥⎧⎨-+≥⎩或20230x yx y+-≤⎧⎨-+≤⎩，不等式组表示的平面区域如图所示；22x y+=()()2200x-+y-，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，即原点到20x y+-=的距离为00222d+-==，原点到230x y+=－的距离为：02033555d-⨯+===所以，22x y +的最小值为235⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝95故答案为：95【点睛】本题考查线性规划的简单性质，考查目标函数的几何意义，数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于基础题．11.已知()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值__．【答案】72【解析】【分析】根据题意得()y f x =与log ay x =有4个交点，画出函数y ＝f （x ）与y ＝log ax （a ＞1）在（0，+∞）的图象，根据数形结合可得答案．【详解】当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，得12,02()1211322,22x x f x x x x ⎧<<⎪⎪=--=⎨⎪-≤≤⎪⎩ ，且()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，函数()log a y f x x =-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，∴函数()y f x =与log a y x =(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x ＝72时，有72log a ＝1，所以a =72.故答案为：72【点睛】本题考查了函数的图象及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．12.已知正项等比数列{}n a的前n项和为n S．若9362S S S=+，则631SS+取得最小值时，9S的值为_______．73【解析】【分析】因为9362S S S=+，所以q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a qq q q---=+---，即63(1)(2)0q q--=，得32q=．化简得16311311a qq aSS+-=-+，由基本不等式得其最小值，即可得到9S．【详解】由9362S S S=+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a qq q q---=+---，化简得：936112(1)q q q-=-+-，即963220q q q--+=，即63(1)(2)0q q--=，得32q=，化简得631SS+＝6131(1)11(1)a q qq a q--+--＝113131a qq a-+≥-当11311a qq a-=-，即13a=时，631SS+取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)13q q --＝33故答案为：73【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式和通项公式的灵活运用，基本不等式求最小值的条件，属于中档题．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB 的最大值为______．【答案】32【解析】【分析】因为C 为圆221x y +=上一点，设C （sinθ，cosθ），则利用坐标运算即可．【详解】因为C 为圆x 2+y 2＝1上一点，设C （sinθ，cosθ），则()()1122sin ,cos ,sin ,cos CA x y CB x y θθθθ=--=--，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴222211221,1x y x y +=+=，又121212x x y y +=-，∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sincos θθθθ⋅=+-+-+++()()2212121)2x x y y θϕ=++++ 222211*********)2x y x y x x y y θϕ=++++++ 1sin()2θϕ=-+，其中1212tan y y x x ϕ+=+，∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅的最大值为32．故答案为：32．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，利用坐标运算是解题的关键，属于中档题．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______．【答案】3【解析】【分析】在ABC ∆中，面积公式1sin 2S bc A =，余弦定理2222cos b c a bc A +-=，代入22233kS b c a ≤+-化简得22444cos sin b c bc A k bc A ++≤，由基本不等式得22444cos sin b c bc Abc A ++≥84cos sin A A +；令84cos sin Ay A+=，得sin 4cos 8y A A -=，由辅助角公式得216)8y A ϕ+-=，进而得2sin()16A y ϕ-=+(]0,1∈，求出y 即可得答案.【详解】在ABC ∆中，面积公式1sin 2S bc A =，余弦定理2222cos b c a bc A +-=，代入22233kS b c a ≤+-，有221sin 222cos 2k bc A b c bc A ⨯≤++，即22444cos sin b c bc A k bc A++≤恒成立，求出22444cos sin b c bc A bc A ++的最小值即可，而22444cos 8bc 4cos 84cos sin sin sin b c bc A bc A A bc A bc A A++++≥=，当且仅当b c =取等号，令84cos sin Ay A+=，得：sin 84cos y A A =+，即sin 4cos 8y A A -=，22216()81616y A A y y +=++，令22cos 1616y y ϕϕ=++216)8y A ϕ+-=，即2sin()16A y ϕ-=+所以02116y ≤+，两边平方，得：26416y ≤+，解得：4843y ≥=22444cos sin b c bc Abc A++的最小值为4343k ≤故答案为：3【点睛】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式求最小值，辅助角公式的化简，也考查了计算能力，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，π2<ϕ)的图象关于直线π6x =对称，两个相邻的最高点之间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，若3()5f A =-，求sin A 的值．【答案】（1）()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）43310. 【解析】【分析】（1）由题意可求正弦函数的周期，利用周期公式可求ω，由图象关于直线π6x =对称，可求62k ππϕπ+=+，结合范围π2<ϕ，可求ϕ，即可求得函数解析式．（2）由已知可求3sin 035A π⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，结合范围A+3π∈（π，43π），利用同角三角函数基本关系式可求cos （A+3π），根据两角差的正弦函数公式可求sinA 的值．【详解】（1）∵函数()sin()f x x ωϕ=+（ω＞0，π2<ϕ）的图象上相邻两个最高点的距离为2π， ∴函数的周期T ＝2π，∴2πω＝2π，解得ω＝1，∴f（x ）＝sin （x+φ），又∵函数f （x ）的图象关于直线π6x =对称，∴62k ππϕπ+=+，k∈Z ， ∵π2<ϕ，∴ϕ＝3π，∴f（x ）＝sin （x+3π）．（2）在△ABC 中，∵3()5f A =-，A∈（0，π），∴3sin 035A π⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，∴244,,cos 1sin 33335A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∈∴+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴sin sin ()sin cos cos()sin 333333A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫=+-=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭3143433525210-⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查由()Asin y x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC AA ＝，D 是棱AB 的中点．（1）求证：11BC CD 平面A ；（2）求证：11BC AC ⊥．【答案】(1)见详解；（2）见详解. 【解析】【分析】（1）连接AC 1，设AC 1∩A 1C ＝O ，连接OD ，可求O 为AC 1的中点，D 是棱AB 的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC 1，根据线面平行的判断定理即可证明BC 1∥平面A 1CD ．（2）由（1）可证平行四边形ACC 1A 1是菱形，由其性质可得AC 1⊥A 1C ，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA 1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面ACC 1A 1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A 1C ，又AC 1⊥A 1C ，根据线面垂直的判定定理可证A 1C⊥平面ABC 1，利用线面垂直的性质即可证明BC 1⊥A 1C ．【详解】（1）连接AC 1，设AC 1∩A 1C ＝O ，连接OD ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1是平行四边形，所以：O 为AC 1的中点，又因为：D 是棱AB 的中点，所以：OD∥BC 1，又因为：BC 1⊄平面A 1CD ，OD ⊂平面A 1CD ，所以：BC 1∥平面A 1CD ．（2）由（1）可知：侧面ACC 1A 1是平行四边形，因为：AC ＝AA 1，所以：平行四边形ACC 1A 1是菱形，所以：AC 1⊥A 1C ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，因为：AB ⊂平面ABC ，所以：AB⊥AA 1，又因为：AB⊥AC，AC∩AA 1＝A ，AC ⊂平面ACC 1A 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．r的圆C的一段劣弧．路17.如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为m灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m．设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上．（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上?（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值．【答案】(1)当r为5Q在路面中线上；（2）124 5.【解析】【分析】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出PQ 的方程，设C （a ，b ），根据CA ＝CP ＝r 列方程组可得出a ，b 的值，从而求出r 的值；（2）用a 表示出直线PQ 的斜率，得出PQ 的方程，求出Q 的坐标，从而可得出|HQ|关于a 的函数，根据a 的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值．【详解】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，8），P （2，10），Q （7，0），∴直线PQ 的方程为2x+y ﹣14＝0．设C （a ，b ），则222222(2)(10)(8)a b r a b r ⎧-+-=⎨+-=⎩，两式相减得：a+b ﹣10＝0，又2a+b ﹣14＝0，解得a ＝4，b ＝6，∴224(68)25r =+-=．∴当25r =时，点Q 恰好在路面中线上．（2）由（1）知a+b ﹣10＝0，当a ＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x ＝2，此时HQ ＝0．当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y ﹣10＝2aa --（x ﹣2），令y ＝0可得x ＝12﹣20a ，即Q （12﹣20a，0）， ∵H 在线段OQ 上，∴12﹣20a≥a，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣20a ﹣a ＝12﹣（20a +a ）≤12﹣220＝12﹣45，当且仅当20a＝a 即a ＝25时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣45）m ．【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±-=；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）由题意，b 3F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，结合隐含条件解得a ＝2，c ＝1，则椭圆方程可求；（2）当直线l 与x 轴重合时，求得MF ＝3NF ，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系及MF ＝2FN 求得m 值，则直线方程可求；（3）当直线l 的斜率为0时，设P （x 0，y 0），由PM•PN＝PF 2，求得052x =，当直线l 的斜率不为0时，由（2）中的根与系数的关系及PM•PN＝PF 2，求得032y m =，代入直线方程得052x =，由此可得点P 在定直线52x =上．【详解】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③，联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++，代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得5m 5=±5250x y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0），则PM•PN＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =．当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++， 22210200PM 1m y ,PN 1m y ,PF 1m =+-=+-=+．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 定直线52x =上．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．19.设函数32()f x x ax bx =++(a ，b ∈R)的导函数为()f x ,已知1x ，2x 是()f x '的两个不同的零点．（1）证明：23a b >；（2）当b ＝0时，若对任意x ＞0，不等式()ln f x x x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）求关于x 的方程1211()()()()2x x f x f x x f x -+'+=的实根的个数．【答案】(1)见解析；（2）[)1,-+∞；（3）1个. 【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用△＝4a 2﹣12b ＞0，得证；（2）分离参数a ，所以a≥ln x x ﹣x 对任意x ＞0恒成立，令新函数设g （x ）＝ln xx﹣x 求最值即可，或采用x 3+ax 2﹣xlnx≥0时求左侧最值亦可．（3）转化函数求零点个数可得结论．【详解】（1）函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx （a ，b∈R）的导函数为f′（x ）＝3x 2+2ax+b ．已知x 1，x 2是f'（x ）的两个不同的零点，设x 1＜x 2，所以△＝4a 2﹣12b ＞0，所以：a 2＞3b 得证；（2）当b ＝0时，对任意x ＞0，f （x ）≥xlnx 恒成立，所以x 3+ax 2≥xlnx，即x 3+ax 2﹣xlnx≥0，x 2+ax ﹣lnx≥0对任意x ＞0恒成立，所以a≥ln xx﹣x 对任意x ＞0恒成立，设g （x ）＝ln x x ﹣x ，则2221ln 1ln g ()1x x x x x x'---=-= ，令h （x ）＝1﹣1nx ﹣x 2，则h '（x ）＝﹣1x﹣2x ＜0，所以h （x ）在（0，+∞）上单调递减，注意到h （1）＝0，当x∈（0，1）时，h （x ）＞0，g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，H （x ）＜0，g '（x ）＜0，所以g （x ）在（1，+∞）上单调递减，所以，当x ＝1时，g （x ）有最大值g （1）＝﹣1，所以a 的取值范围为[﹣1，+∞）；（3）由题意设F （x ）＝f （x ）﹣f （x 1）﹣()'121()2x x f x x +-，则原问题转化为求函数F （x ）的零点的个数，因为导函数为f '（x ）＝3x 2+2ax+b ，已知x 1，x 2是f'（x ）的两个不同的零点，所以：21212,23233x x x x a a a f f b ''++⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以： 22212()()323()0233x x a a F x f x f x ax x +⎛⎫=-=++=+ ⎪⎝⎭'''，所以F （x ）在（0，+∞）上单调递增，注意到F （x 1）＝0，所以F （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点x 1， ∴关于x 的方程()()1211()2x x f x f x x f x '+⎛⎫=-+⎪⎝⎭有1个实根，【点睛】本题考查函数的极值，最值的综合应用，函数的零点判断，构造新函数求最值的特点，属于难题．20.已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，且2S 6＜S 3．（1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d ，求1a d的取值范围；（2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），求a 1⋅q 的取值范围．【答案】(1)1a d＜﹣3；（2）a 1⋅q ＞0 【解析】【分析】（1）根据已知条件，由于数列是等差数列，运用等差数列的求和公式，建立不等式，进一步求出相应的结果；（2）根据已知条件，由于数列是等比数列，运用等比数列的求和公式，建立不等式，进一步求出相应的结果．【详解】在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m 、n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，（1）设{a n }为等差数列，且公差为d ，则：2ma 1+2(21)2m m -d+2na 1+2(21)2n n -d ＜2[（m+n ）a 1+()(1)2m n m n ++-d]，整理得：（m ﹣n ）2d ＜0，则d ＜0，由2S 6＞S 3，整理得：9a 1+27d ＞0，则a 1＞﹣3d ，所以d ＜0，1a d＜﹣3；（2）设{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），则()()()2m 2n m+n 111a 1q a 1q 2a 1q 1q1q1q---+<---，整理得1a 1q-（2q m+n ﹣q 2m ﹣q 2n）＜0，则：﹣1a 1q -（q m ﹣q n ）2＜0，所以1a 1q-＞0，由2S 6＞S 3，则：2q 6﹣q 3﹣1＜0解得：﹣12＜q 3＜1，由于q ＞0，所以：0＜q ＜1，则：a 1＞0．即有a 1⋅q ＞0．【点睛】本题考查的知识要点：等差数列和等比数列前n 项和公式的应用，也考查了运算能力，属于中档题．21.已知矩阵 1 2 0A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 5 72 3B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．B 的逆矩阵1B -满足17 17 7AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求实数,x y 的值；（2）求矩阵A 的特征值．【答案】(1)1,3x y ==；(2)2-和1. 【解析】【分析】（1）利用1()A AB B -=求解即可；（2）矩阵A 的特征多项式12()1f λλλ+-=-求出行列式，然后令f （λ）＝0即可．【详解】（1）因为17 17 7AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 5 72 3B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴17175712()723514721A AB B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，∴51417210,3y x x y y ⎧-==⎧⎨⎨-=∴=⎩⎩；（2）矩阵A 的特征多项式12()1f λλλ+-=-=（λ+1）λ﹣2＝（λ+2）（λ﹣1），令f （λ）＝0，则λ＝﹣2或λ＝1，∴矩阵A 的特征值﹣2和1．【点睛】本题考查了逆变换与逆矩阵以及矩阵特征值的求法，属于基础题．22.在极坐标系中，圆C的方程为2cos 0ρθ+=，直线l 的方程为7π2sin 06m ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）若直线l 过圆C 的圆心，求实数m 的值；（2）若2m =，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【答案】（1）1m =；3【解析】【分析】（1）将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后，利用圆心在直线上列式可得．（2）利用点到直线的距离公式和勾股定理可得．【详解】（1）由ρ+2cosθ＝0得ρ2+2ρcosθ＝0，得x 2+y 2+2x ＝0，则圆心为（﹣1，0），半径r ＝1．由2ρsin（θ﹣76π）+m ＝0得2ρsinθcos 76π﹣2ρcosθsin 76π+m ＝0，得直线l 的直角坐标方程为 x3+m ＝0，因为直线l 过圆C 的圆心，则﹣1+m ＝0，所以m ＝1．（2）若m ＝2，则圆心C 到直线的距离1d 213==+，所以直线l 被圆C 截得的弦长为22122134r d -=-=．【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，属于中档题．23.已知实数,,x y z 满足222491212x y z ++=．证明：22222111323x y y z z ++≥++．【答案】见详解. 【解析】【分析】设a ＝x 2+2y 2，b ＝y 2+3z 2，c ＝z 2，由题意可得4a+b+9c ＝12，再根据柯西不等式即可证明．【详解】设a ＝x 2+2y 2，b ＝y 2+3z 2，c ＝z 2，∴4（a ﹣2b+6c ）+9（b ﹣3c ）+12c ＝12，即4a+b+9c ＝12，∴222221+1123x y y z z +++11111=(49)12b c a b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 2111149312a b c a b c ⎛⋅⋅⋅= ⎝ 故原不等式成立．【点睛】本题考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，考查了转化与化归思想，推理论证能力，属于中档题24.如图，已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过E(﹣l ，0)的直线l 与抛物线分別交于A ，B 两点（点A ，B 在x 轴的上方）．（1）设直线AF ，BF 的斜率分別为1k ，2k ，证明：120k k +=；（2）若∆ABF 的面积为4，求直线l 的方程．【答案】(1)见解析；(2)210x +=.【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程利用韦达定理可得121212y y k k 0x 1x 1+=+=--. （2）S △ABF ＝S △EFB ﹣S △EFA ＝|y 1﹣y 2|()221212416164y y y y m +-=-=．解得m 即可．【详解】（1）当直线l 的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程可得得y 2﹣4my+4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝4∴121212y y k k x 1x 1+=+=--()()()()()1212121222242402222my y y y m m my my my my -+⨯-⨯==----. （2）S △ABF ＝S △EFB ﹣S △EFA ＝|y 1﹣y 2|()221212416164y y y y m +-=-=．解得m ＝2±（负值舍去）． ∴直线l 的方程为：210x +=．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．25.（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简0112233434343434C C C C C C C C +++．案例：考察恒等式523(1)(1)(1)x x x +=++左右两边2x 的系数．因为右边2301220312232223333(1)(1)()()x x C C x C x C x C x C x C ++=+++++，所以，右边2x 的系数为011223232323C C C C C C ++，而左边2x 的系数为25C ，所以011223232323C C C C C C ++＝25C ．（2）求证：22212220(1)()(1)n r n n n n n r r C n C n C --=+-=+∑．【答案】(1)37C ；(2)见解析.【解析】【分析】（1）考查恒等式（1+x ）7＝（1+x ）3（x+1）4左右两边x 3的系数可得；（2）根据r 11n!(n 1)!C (r 1)!(n r)!(r 1)!(n r)!r n n rC n n ---==⋅=---- ，考查恒等式（1+x ）2n ＝（1+x ）n （x+1）n 左右两边x n 的系数．考查恒等式（1+x ）2n ﹣1＝（1+x ）n ﹣1（x+1）n 左右两边x n ﹣1的系数，可得等式成立．【详解】（1）考查恒等式（1+x ）7＝（1+x ）3（x+1）4左右两边x 3的系数，因为右边（1+x ）3（x+1）4＝（03C +13C x+23C x 2+33C x 3）（44C x 4+34C x 3+24C x 2+14C x+04C ），所以，右边x 3的系数为0122334343104334C C C C C C C C +++＝0112233434343434C C C C C C C C +++而左边x 3的系数为：37C ，所以011223343434343347=C C C C C C C C C +++．（2）∵r 11n!(n 1)!C (r 1)!(n r)!(r 1)!(n r)!r n n rC n n ---==⋅=----， 220(1)()n r n r r C =+=∑222000()2()()n n nr r r n n n r r r rC r C C ===++∑∑∑ 2121211110()2()n n nr r r r n n n n r r r n Cn C C C ----====++∑∑∑．考查恒等式（1+x ）2n ＝（1+x ）n （x+1）n 左右两边x n 的系数．因为右边x n 的系数为0011...n n n n n n n n C C C C C C +++＝()20nr r n C =∑，而左边的x n 的系数为2nn C ．所以220()n r n n n r CC ==∑，同理可求得1211221()nr n n n r C C ----==∑ 考查恒等式（1+x ）2n ﹣1＝（1+x ）n ﹣1（x+1）n 左右两边x n ﹣1的系数，因为右边（1+x ）n ﹣1（x+1）n ＝（01n C -+11n C -x+…+11n n C --x n ﹣1）（0n C x n +1n C x n ﹣1+…+nn C ），所以，右边的x n ﹣1的系数为01121111...n n n n n n n n C C C C CC ----+++＝11n r n r r n C C =-∑，而左边的x n ﹣1的系数为121n n C --，所以111n r n r r n CC =--∑＝121n n C --，220(1)()n r n r r C =+∑﹣2122n n n C --＝2122n n n C --+2n 121n n C --+2n n C ﹣2122n n n C -- ＝2n 121n n C --+2n n C ＝n （121n n C --+121n n C --）+2n n C ＝n （121n n C --+21n n C -）+2nn C ＝n 2n n C +2n n C ＝（n+1）2n n C ．【点睛】本题考查了二项式定理展开式指定项的系数，属于难题．。