2013届福建省泉州市普通中学高中毕业班质量检查_理科数学(含参考答案及评分标准)

2013届泉州市普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1． B 2．B 3．C 4．A 5．D 6． B 7．A 8．D 9．C 10．C【解析】：1、∵1242x <<⇒12222x -<<⇒－1< x <2，∴选B.2、∵19379991822(a a )(a a )S ++===，，∴选B. 3、∵OB 1=b ，OF 2=c ，四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，∴b =c ，∵222a b c =+，∴222a c =，选C.4、对于B ，α与β可平行、可成任意角；对于C ，α与β可平行、可成任意角；对于D ，α⊥β.5、由已知得24T π=，∴ω=4；14f ()π=⇒4242k ππ⨯+ϕ=π+⇒22k πϕ=π-，k ∈Z ，∵|ϕ|<π，∴2πϕ=-，选D.6、∵2f (x )sin x |x |=+，∴f (x )是非奇非偶函数，排除A 、C ；又∵当x > 0时，221f (x )cos x '=+，令0f (x )'>解得3388k x k πππ-<<π+，k ∈Z∴f (x )在(0，38π)上递增，从而选B.7、由已知函数f (x )=11x +得A n (n ，11n +) ，则直线O A n 的斜率为n tan θ=11n(n )+=111nn -+，∴1tan θ＋2tan θ＋…＋n tan θ=111n -+，选A.8、∵目标函数z O A O P ==x ＋2y ，作出可行域，由图象可得：最优解为点（0，1），∴2m ax z =，则选D.9、记“甲袋中取出1个球是红球”为事件A ，“甲袋中取出1个球是白球”为事件B ，“乙袋中取出1个球是红球”为事件C ，“乙袋中取出1个球是白球”为事件D ， ∵f (n )=P(AC ＋BD)= P(A)P(C)＋P(B)P(D)=2135151n n n ⨯+⨯++=13251n n +⨯+=11(3)51n -+ n ∈N +∴f (n ) 随着n 的增大而增大，则f (n ) 的最小值为f (1)=1/2，选C.10、由已知得 R +∀ξ∈，x D ∃∈，使得| f (x ) －1|<ξ恒成立⇔ f (x )为“敛1函数”. 分别从四个函数图象去观察，可以发现①不满足上述条件（注意定义域），∴选C.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．12． 15 ； 13. y=lnx ＋1 (或y=ln|x|＋1) ； 14． 3 ； 15． 4个③和1个⑤【解析】：11、z=(＋(3－1)i= 2i . 12、∵16216()rrr r T C xx--+=-=3626(1)r r rC x--，∴r = 4 时，44416(1)15T C +=-=13、∵y=f (x )的导函数为y=1x，∴f (x )= lnx ＋c （或f (x )= ln|x|＋c ），(c 为常数)；…………①又过曲线y=f (x )上点P(0x ，0y )的切线方程为y －0y =1x (x －0x )，化简得 x －0x y ＋0x (0y －1)=0，对比已知直线l 的方程得0x =e ，0y =2，代入①式 解得 c=1，则 f (x )= lnx ＋1（或 f (x )= ln|x|＋c ）.14、由已知直线与已知圆相切，得1=⇒221a b +=；根据已知得 |AB|2=2214ba+=(2214ba+)(22b a +)≥(1＋2)2=9，（柯西不等式）∴当222a b ==23时，|AB| 的最小值为3.15、略三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 本小题主要考查三角函数的性质、两角和与差的三角函数公式、解三角形以及数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数学结合思想．满分13分． 解：（I ）∵a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴a=c －4，b=c －2 ………………1分又∵∠MCN=23π，∴cosC=12-，由余弦定理得 c 2=a 2＋b 2＋ab ， ………………4分即c 2=( c －4)2＋(c －2)2＋( c －4) (c －2)，整理得 c 2－9c ＋14 = 0，解得c=7或2 ………5分 又∵ a =c －4>0， ∴ c=7 ………6分 （II ）在△ABC 中，由已知及正弦定理得2233ab csin sin()sin===ππθ-θ，………8分 ∴b=2sin θ，a =2sin(3π-θ)，则△ABC 的周长f (θ)=a ＋b ＋c=2[sin(3π-θ)＋sin θ]，化简得 f (θ)=2sin(3πθ+)………11分∵θ∈(0，3π)， ∴3πθ+∈(3π，23π) ………12分则当 θ=6π时，f (θ)m ax =2………13分17. 本题主要考查概率与统计和独立性检验、频率估计概率、样本估计总体等统计思想方法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．满分13分． 解：（I ）设“甲机床生产一件零件获得的利润”为X 元，它的分布列为 ……… 3分则有E(X)= －350＋750＋34050⨯=12450=6225≈2.48 （元）∴甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元 ……… 6分 （II ）由已知表中数据可得，样本频数2×2列联表 如下……… 9分计算K 2=21004020301050507030()⨯-⨯⨯⨯⨯=10021≈4.762 ……… 11分考察参考数据，并注意到3.841<4.762<5.024，因此可知：约有95%的把握认为“零件优等品与否和所用机床有关”. ……… 13分18.本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间向量、函数等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解：（Ⅰ）在图1中，取BE 中点F ，由已知得DF AB=DC ，BF=FE=EC=1，∴DE ⊥BC (1)分在图2中，DE ⊥BE ，DE ⊥CE ，∴∠BEC 是二面角B —DE —C 的平面角， (2)分∵∠BEC 是直二面角，∴ BE ⊥CE (3)分则分别以EB 、EC 、ED 为x 、y 、z 轴，点E 为原点，建立空间直角坐标系E —xyz ， 根据已知得E(0，0，0)，A(1，0，B(2，0，0)，C(0，1，0)， (4)分设平面AEC 的法向量为n = (x ，y ，z)， ∴00EA n EC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即0x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取n 0，－1)， ……… 5分又平面ABED 的一个法向量为m= (0，1，0)， (6)分∴m·n= 0， 则 平面AEC ⊥平面ABED (7)分（II ）由已知得 点G(－1，0， 设M(x ，y ，0)，则G M=(x ＋1，y ， (9)∵直线GM与平面ACE所成交为60°，∴sin60°=|G M n||G M||n| (10)分12|x)++=⇒(x＋2)2= (x＋1)2＋y2＋3，化简得y2=2x (11)分又|MB|2=(x－2)2＋y2=x2－2x＋4=(x－1)2＋3 (12)分∴当x=1时，|MB|M到点B………13分19.本小题考查抛物线的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等．满分13分．解：（Ⅰ）由已知及抛物线的定义得|MF|=5=42p+，∴p=2 (2)分∴抛物线C的方程为y2=4x. ………3分又点M抛物线C上，∴2t=4×4 ，∵t > 0，∴M (4，4) ………4分（II）由已知可设直线1l的方程为y－4=1k(x－4)∵直线1l与抛物线C交于两点M、A，∴1k≠0 ………5分由y－4=1k(x－4)与y2=4x联立，消去x得1k y2－4y＋16(1－1k)=0. ………6分设A (1x，1y)，则由韦达定理得1y＋4=14k，1y×4=11161(k)k-………7分∴1y=14k－4=114(1)k-，1x=214y=2114(1)k-，则A (2114(1)k-，114(1)k-)，…8分同理 B (2214(1)k-，214(1)k-)， (9)则直线AB的斜率3k =122212114[(1)(1)]114[(1)(1)]k k k k ------=121212111111(2)()k k k k k k -+--=121112k k +- ………10分（i ）若1k ＋2k = 0，则1211k k +=1212k k k k +=0，∴3k =12- (11)分（ii ）∵31k =1211k k +－2， ∴1211k k +－31k =2 （定值） ………13分20. 本题主要考查函数、导数、零点、算法初步等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思、化归与转想化思想、分类与整合思想．满分14分．解： ∵3()=1n f x x nx -- ( x > 0 )， ∴()n f x '=32x －n ， ………1分（Ⅰ）3()f x '=32x －3=0 ，得x=1； 当x>1时，3()f x '>0；当0<x<1时，3()f x '<0， ………3分∴当x=1时，3()f x 取得唯一的一个极小值－3，无极大值 ………4分（II ）函数()n f x………5分 证明如下：∵()n f x '=32x －n ( x > 0 )， 令()n f x '>0⇒，∵当n ∈N *∴函数()n f x7分又∵n f=311--=-<0，n f=311-=->0∴n fn f < 0，则函数()n f x (8)分综上，函数()n f x (9)分（III ）程序框图的算法功能是：找出最小的正整数n ，使()n f x 的零点n a满足2n a +≥ (10)分∵()2n f +=3122--=8+－1 关于n 单调递增∴当n=1，2，3时，()2n f +< 0 =()n n f a ；当n ≥4时，()2n f +> 0 =()n n f a (11)分又∵函数()n f x∴当n=1，2，3时，2n a <；当n ≥42n a ≥ (13)分∴ 输出的n 值为4 …………………14分21.（1）选修4—2:矩阵与变换本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）复合变换090R σ 对应的矩阵为AB=10101021100012-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………… 3分 ∴复合变换090R σ 的坐标变换公式为12x y y x '=-⎧⎪⎨'=⎪⎩ ， ………… 4分 （II ）设圆C 上任意一点P （x ，y ）在变换090Rσ 的作用下所得点P '（x '，y '）由（Ⅰ）得12x yy x '=-⎧⎪⎨'=⎪⎩ 解得2x y y x '=⎧⎨'=-⎩， ………… 5分代入圆C ：221x y +=，得2241x y ''+=，∴曲线C '的方程为2241x y += ………… 7分（2）选修4—4:坐标系与参数方程本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，满分7分.解：（Ⅰ）由2x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数t 得0y +-=， ∴直线l 的平面直角坐标方程为y +-=………… 3分 （II ）直线l 与x 轴、y 轴的交点为P(2，0)、Q(0，，∴线段PQ 中点M 的直角坐标为(1，则ρ=2，tan θM 在第一象限， ………… 5分 ∴点M 的极坐标为(2，3π)， ………… 6分直线OM 的极坐标方程为 θ=3π （R ρ∈） ………… 7分（3）选修4—5；不等式选讲本题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想. 满分7分.解：（Ⅰ）∵不等式|x －2|>1的解集为{x| x<1或 x>3} ………… 1分 ∴由已知得，不等式 20x ax b -+>的解集为{x| x<1或 x>3}从而1、3是方程20x ax b -+=的两根 ………… 2分 由韦达定理得 a =4 ，b=3 ………… 3分 （II ）函数()f x 的定义域为[3，5]，且显然有 y>0 由柯西不等式可得：)2≤(42＋3222)=50 (5)分当且仅当时等号成立 …………6分即10725x =时，函数()f x (7)分。