江苏省高考数学模拟专家卷(2)

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江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题及答案

江苏新高考二模数学模拟卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U =R ，集合{|34}=-<≤A x x ，{}25B x x =<<，则()U B A ⋃=ð（）A.{|3x x ≤-或2}x >B.{|3x x ≤-或4}x >C.{}35x x -<< D.{}24x x <≤2.当122m -<<时，复数i2im z +=-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在ABC 所在平面内，D 是BC 延长线上一点且4BD CD =，E 是AB 的中点，设AB a=，AC b= ，则ED =（）A.1455a b + B.3144a b +C.5463a b-+ D.5564a b-+ 4.已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位长度后关于y ()f x 的解析式可能为（）A.()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.7()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.在1220 ，，，这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（）A.257B.119C.338D.136.菠萝眼常有两种剔除法：用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线.现有一个波萝准备去眼，假设：()1该菠萝为圆柱体，菠萝有64个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上(如图2甲());2若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm ，且侧棱与底面成60︒夹角的正四棱锥();3若使用三角刀，可挖出8根螺纹条，其侧面展开图如图2丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼A ，B的距离为()cm .h 若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为()8cm h ，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为()1.4cm ，顶角为30︒，则当菠萝眼的距离h 接近于（）cm 时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多(参考数据：3 1.7)≈A.1.7B.1.8C.1.9D.2.07.设2log 3a =，123b =，132c =，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.c b a<< D.c<a<b8.记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（）A.1B.2C.5D.8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知A BCD -是棱长均为1的三棱锥，则（）A.直线AB 与CD 所成的角90B.直线BC 与平面ACD 所成的角为60C.点C 到平面ABD 的距离为63D.能容纳三棱锥A BCD -的最小的球的半径为6410.已知0a >，0b >，且21a b +=，则（）A.2a b ≤B.1222a b<<C.22log log 1a b +≥- D.21a b ->-11.已知椭圆2211612x y +=，点F 为右焦点，直线()0y kx k =≠与椭圆交于P Q ，两点，直线PF 与椭圆交于另一点M ，则（）A.PQM 周长为定值B.直线PM 与QM 的斜率乘积为定值C.线段PM 的长度存在最小值D.该椭圆离心率为1212.已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()22,2122,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩,下列叙述正确的是（）A.存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根B.当122x x <<-时，有()()12f x f x >C.当0x a <≤时，()f x 的最小值为1，则13a ≤≤D.若关于x 的方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，则32m -＝三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式2nx ⎛+ ⎝的展开式的第5项为常数项，则n =__________．14.过点()3,2P -且与圆C ：222410x y x y +--+=相切的直线方程为__________15.已知曲线21y x =-与31y x =+在0x x =处的切线互相垂直，则0x =__________16.设过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 与C 交于M N ，两点，若3FN FM = ，且0OM FN ⋅= （O 为坐标原点），则C 的离心率为__________四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，csin cos B b A b =+．（1）求A ；（2）若2c =，1cos b C-=sin C ．18.已知矩形ABCD，1AB AD ==，，M 为AD 的中点，现分别沿BM ，CM 将ABM 和DCM △翻折，使点,A D 重合，记为点P．（1）求证：;BC PM ⊥（2）求直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值．19.为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.（1）获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()E ξ；（2）某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2P η=．20.已知数列{}n a 满足112a =-，()1120n n n a na +++=.数列{}n b 满足11b =，1n n n b k b a +=⋅+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当1k ≤时，1132n n n b -+≤-．21.如图，过y 轴左侧的一点P 作两条直线分别与抛物线24y x =交于,A C 和,B D 四点，并且满足3PC PA = ，3PD PB =．（1）设CD 的中点为M ，证明PM 垂直于y 轴.（2）若P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，求PAB 面积的最小值．22.已知函数()()1211e2x f x x a x ax -=---+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间;（2）若函数()f x 在()0,∞+的最小值为12-，求a 的最大值．江苏新高考二模数学模拟卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U =R ，集合{|34}=-<≤A x x ，{}25B x x =<<，则()U B A ⋃=ð（）A.{|3x x ≤-或2}x >B.{|3x x ≤-或4}x >C.{}35x x -<< D.{}24x x <≤【答案】A 【解析】【分析】先求出集合A 的补集，再与集合B 求并集．【详解】{|3U A x x =≤-ð或4}x >，{}25B x x =<<，所以(){|3U A B x x =≤- ð或2}x >，故选：A ．2.当122m -<<时，复数i 2im z +=-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．【详解】()()()()i i i 21i 2i 22525i 2i m m m m z -++-+===+-++因为12,2m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2120,055m m-+，故复数z 在复平面内的对应点位于第二象限，故选：B ．3.在ABC 所在平面内，D 是BC 延长线上一点且4BD CD =，E 是AB 的中点，设AB a=，AC b= ，则ED =（）A.1455a b + B.3144a b +C.5463a b-+ D.5564a b-+【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用AB 、AC 表示ED即可判断作答.【详解】在ABC 所在平面内，D 在BC 延长线上，且4BD CD =，则43BD BC =，又E是AB 的中点，所以2)14141454()2332363(ED EB BD AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=-+ .故选：C4.已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位长度后关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（）A.()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.7()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于y 轴对称及||2ϕπ<得到ϕ的值，进而可得函数()y f x =可能的解析式．【详解】解：由题意知22πωπ==．将()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 23y x πϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为其图像关于y 轴对称，所以2,32k k Z ππϕπ-=+∈．又||2ϕπ<，所以6πϕ=．即()sin(26f x x π=+，由诱导公式知()sin 2cos 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．5.在1220 ，，，这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（）A.257B.119C.338D.13【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得公差9d ≤，进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型概率公式计算即可．【详解】因为三个数成递增等差数列，设为,,2a a d a d ++，按题意必须满足220a d +≤，9d ≤，若给定了d ，则a 可以取1,2,,202d - ，故三数成递增等差数列的个数为912)109d d -=⨯∑，所以三数成递增等差数列的概率为3201093C 38⨯=，故选：C ．6.菠萝眼常有两种剔除法：用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线.现有一个波萝准备去眼，假设：()1该菠萝为圆柱体，菠萝有64个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上(如图2甲());2若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm ，且侧棱与底面成60︒夹角的正四棱锥();3若使用三角刀，可挖出8根螺纹条，其侧面展开图如图2丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼A ，B 的距离为()cm .h 若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为()8cm h ，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为()1.4cm ，顶角为30︒，则当菠萝眼的距离h 接近于（）cm 时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多?(1.7)≈A.1.7B.1.8C.1.9D.2.0【答案】B 【解析】【分析】根据棱锥及棱柱的体积的计算公式即可得到答案．【详解】欲使留下的果肉一样多，只需两种刀法下削掉的菠萝果肉的体积一样大．若用去眼刀削菠萝，削掉的每个菠萝眼视为一个正四棱锥，该椎体的高为333sin602⨯︒=，底面对角线长为23cos603⨯︒=，故正四棱锥的体积为1933933224⨯⨯=，菠萝眼共有64个，故用去眼刀去掉的菠萝果肉的体积为644⨯，若用三角刀削菠萝削掉的每根螺纹条视为一个直三棱柱，其底面的高为()(0.70.70.72tan15tan 4530==⨯︒︒-︒，底面积为((11.40.7222⨯⨯⨯+=⨯+，直三棱柱的体积为(0.4928h ⨯+⨯，故用三角刀去掉的菠萝果肉的体积为(0.49288h ⨯+⨯⨯，由题可得：(930.49288644h ⨯⨯⨯=⨯，则()()9393921.73 3.64 1.840.49 1.96 1.96h ⨯⨯⨯-==≈=⨯，故选：B ．7.设2log 3a =，123b =，132c =，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.c b a<< D.c<a<b【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性和指数以及对数的运算，并借助中间量进行比较，即得答案．【详解】223log 3log 2a =>=，333272(28c =<=，所以32c <，由于5832<，所以25log 38<，即28log 3 1.65<=，而123 1.7b ==>，所以c<a<b ，故选：D ．8.记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（）A.1 B.2C.5D.8【答案】D 【解析】【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1，设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ），对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意．在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i ==，对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d A C d A C ==，平面234C C C 符合题意，即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个；设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G ，当平面α经过234A A A △的中位线EF 时，如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，又34//EF A A ，EF ⊂平面2B EF ，34A A ⊄平面2B EF ，可得34A A //平面2B EF ，且E 、F 分别为2324,A A A A 的中点，则2A 、3A 、4A 到平面2B EF 的距离相等，因此平面2B EF 符合题意．如下图3：对于平面34B B FE ，3B 在线段13A A 上，4B 在线段41A A 上，且131433442A B A B A B A B ==，利用三角形相似可知1313332A A d A B d A B ==，又34//EF A A ，EF ⊂平面34B B FE ，34A A ⊄平面34B B FE ，可得34A A ∥平面34B B FE ，且E 、F 分别为2324,A A A A 的中点，则2A 、3A 、4A 到平面34B B FE 的距离相等，因此平面34B B FE 符合题意．对于中位线EG GF 、，也有类似结论,即平面α经过234A A A △的某条中位线时，满足条件的平面有6个，综上所述，符合题意的平面共有8个．故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知A BCD -是棱长均为1的三棱锥，则（）A.直线AB 与CD 所成的角90B.直线BC 与平面ACD 所成的角为60C.点C 到平面ABD 的距离为63D.能容纳三棱锥A BCD -的最小的球的半径为64【答案】ACD 【解析】【分析】根据正四面体的结构特征、线面垂直判定及性质、线面角定义逐一计算或判断各项正误即可．【详解】A ：若E 为CD 中点，连接,AE BE ，由题设知：各侧面均为等边三角形，所以,AE CD BE CD ⊥⊥，AE BE E =I ，,AE BE ⊂面ABE ，则CD ⊥面ABE ，又AB ⊂面ABE ，故AB CD ⊥，正确；B ：若F 为面ACD 中心，连接BF ，则BF ⊥面ACD ，CF ⊂面ACD ，所以直线BC 与平面ACD 所成的角为BCF ∠，且BF CF ⊥，而2331323CF =⨯⨯=，故cos 3CF BCF BC ∠==，显然BCF ∠不为60 ，错误；C ：由B 分析3BF ==，即该正棱锥的体高为3，故C 到平面ABD 的距离为63，正确；D ：显然正棱锥的外接球半径最小，令其外接球半径为R ，则22263()33R R =-+，所以64R =，正确.故选：ACD10.已知0a >，0b >，且21a b +=，则（）A.a ≤B.1222a <<C.22log log 1a +≥- D.21a b ->-【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 利用基本不等式可判断；对于B 利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C 可用特殊值法判断；对于D 直接根据不等式的基本性质判断即可．【详解】0a > ，0b >，且21a b +，212a b ∴=+≥，()((22222a b a a ∴+≥+∴+≤，，当且仅当22a ==取等号，故A 正确；0a > ，0b >，且21a b +=，010111a a ∴<<<<∴-<<∴，，，1222a <<，故B 正确；则21a b b ->->-，故D 正确；取2122a ==，则223log log 12a +=-<-，故C 错误.故选：ABD ．11.已知椭圆2211612x y +=，点F 为右焦点，直线()0y kx k =≠与椭圆交于P Q ，两点，直线PF 与椭圆交于另一点M ，则（）A.PQM 周长为定值B.直线PM 与QM 的斜率乘积为定值C.线段PM 的长度存在最小值D.该椭圆离心率为12【答案】BCD 【解析】【分析】通过k 取不同值求出周长即可判断A ，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B ，确定线段PM 取最小值的条件即可判断C ，确定a 、c 的值即可求出离心率从而判断D ．【详解】该椭圆中42a b c ===，，则()2,0F ，所以离心率为12，故D 正确；设()11,M x y ，()22,P x y ，()22Q x y --，，则在PM 、QM 斜率都存在的前提下有1212PM y y k x x -=-，1212QM y y k x x +=+，于是()()()()2212121222121212PM QMy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+-221222123312124434x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--为定值，故B 正确；由题意可设PM 的方程为2x my =+，联立22116122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 得()223412360m y my ++-=，则1212221236,3434m y y y y m m +=-=-++，所以()2224134m PM m +===+2222424134311m m m ==++++，则当0m =时，min6PM =，所以线段PM 的长度存在最小值，故C 正确.当216k =时，直线216y x =与椭圆2211612x y +=交于点2132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，和2132⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，不妨取点P 为2132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，得直线PF 方程为()2122y x =-，求得交点M 为132124⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则254PM =，2174QM =，PQ =PQM的周长为2521744++，当32k =时，联立221161232x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2x =±，不妨取()2,3P ，则PM 垂直于x 轴，此时6PM =，4QM =，PQ =，此时PQM的周长为10+，显然PQM 周长不为定值，故A 错误；故选：BCD ．12.已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，()22,2122,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩,下列叙述正确的是（）A.存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根B.当122x x <<-时，有()()12f x f x >C.当0x a <≤时，()f x 的最小值为1，则13a ≤≤D.若关于x 的方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，则32m -＝【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据函数的奇偶性得到()f x 在R 上的解析式，画出函数图象，数形结合得到当12k <<-时，y kx =与()f x 的图象有7个交点，即方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根，A 正确；由图象可得<2x -时，()y f x =单调递减，从而得到B 正确；由()11f =，令211x =-，解得：3x =，数形结合得到13a ≤≤，C 正确；求出()32f x ＝的所有实数根之和为123133x x x ++=，进而当<2x -时，2313513=--+，再结合对称性得到32m -＝时，方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，从而35m =-或32-，D 错误.【详解】因为()f x 为定义域为R 的奇函数，当<2x -时，2x ->，故()()2211f x f x x x =--=-=--+，当20x -≤<时，02x <-≤，故()()()222222f x f x x x x x ⎡⎤=--=--++=---⎣⎦，当0x =时，()0f x =，综上：()222,2122,020,022,202,21x x x x x f x x x x x x x ⎧>⎪-⎪-+<≤⎪⎪==⎨⎪----≤<⎪⎪<-⎪+⎩，画出函数()f x的图象，如下：存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根，理由如下：如图1，当1k =时，直线1:l y x =与()f x 的图象有5个交点，联立y kx =与()222f x x x =-+，()2220xk x -++=，由()2280k ∆=+-=且0k >得：2k =，且此时()2y x =与()222f x x x =---联立，220x ---=，其中(280∆=--=，故2k =时，直线()2:2x l y =与两抛物线刚好相切，故有5个交点，则当12k <<-时，y kx =与()f x 的图象有7个交点，即关于x 的方程()f x kx ＝有7个不相等的实数根，A正确；当<2x -时，()y f x =单调递减，故当122x x <<-时，有()()12f x f x >，B 正确；由图象可知：()11f =，令211x =-，解得：3x =，当0x a <≤时，()f x 的最小值为1，则13a ≤≤，C 正确；令()32f x ＝，当02x <≤时，23222x x -+=，设两根为12,x x ，则12221,122x x =+=-，当2x >时，2312x =-，解得：373x =，故()32f x ＝的所有实数根之和为123133x x x ++=，当<2x -时，2313513=--+，故当35m =-时，方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，由对称性可知32m -＝时，方程()32f x ＝和()f x m ＝的所有实数根之和为零，综上：35m =-或32-，D 错误.故选：ABC【点睛】数形结合在研究函数与方程方面具有重要作用，通常函数零点，方程的根及两函数的交点可互相转化进行求解，本题中()f x kx ＝实数根个数问题，要转化为两函数()y f x =与y kx =的交点个数问题，再同一平面直角坐标系中画出()y f x =与y kx =的图象，用数形结合的思想求解.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式2nx ⎛+ ⎝的展开式的第5项为常数项，则n =__________．【答案】6【解析】【分析】根据二项式通项公式和展开式的第5项为常数项建立方程即可得解．【详解】二项式2nx ⎛ ⎝展开式的通项公式为23321C 2n r r r n r nT x --+⋅=，由展开式中，第5项为常数项，此时4r =，则23402n -⨯=，即6n =．故答案为：6.14.过点()3,2P -且与圆C ：222410x y x y +--+=相切的直线方程为__________【答案】3x =或3410x y +-=【解析】【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．【详解】解：将圆C 方程化为圆的标准方程()()22124x y -+-=，得圆心()1,2C ，半径为2r =，当过点()3,2P -的直线斜率不存在时，直线方程为3x =是圆C 的切线，满足题意；当过点()3,2P -的直线斜率存在时，可设直线方程为()23y k x +=-，即320kx y k ---=，2=，解得34k =-，即此直线方程为3410x y +-=，故答案为：3x =或3410x y +-=．15.已知曲线21y x =-与31y x =+在0x x =处的切线互相垂直，则0x =__________【答案】366-【解析】【分析】求导得切线斜率，根据切线垂直的斜率关系建立方程即可得解．【详解】由21y x =-，得2y x '=，则曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为102k x =，由31y x =+，得23y x '=，则曲线31y x =+在0x x =处的切线斜率为2203k x =，则根据题意有121k k =-，即3061x =-，得0366x =-．故答案为：6-.16.设过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 与C 交于M N ，两点，若3FN FM = ，且0OM FN ⋅= （O 为坐标原点），则C 的离心率为__________【解析】【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于a 、c 的方程即可求出离心率．【详解】如图，设P 为MN 中点，MF t =，由3FN FM =可知3FN t =，MP PN t ==，由双曲线的定义可知22MF t a =+，232NF t a =-，由0OM FN ⋅=可知OM FN ⊥，又O 为2FF 中点，M 为FP 中点，可知2OM PF ，则2PF FN ⊥,从而2PF 为线段MN 的垂直平分线，22MF NF =，即232t a t a +=-，所以2t a =，则2MNF 为正三角形，2PF =，在直角△2FPF 中，22222FP PF FF +=，即222(4))(2)a c +=，所以e =．．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c sin cos B b A b =+．（1）求A ；（2）若2c =，1cos b C-=sin C ．【答案】（1）π3；（2）22.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式及三角函数性质求解作答.（2）利用正弦定理结合已知变形，再由差角的正弦公式求解作答.【小问1详解】在ABC sin cos B b A b =+及正弦定理得sin sin cos sin A B B A B =+，而sin 0B ≠，cos 1A A =+，即cos 1A A -=，整理得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又ππ5π666A -<-<，则ππ66A -=，所以π3A =.【小问2详解】由正弦定理sin sin c b C B =，得sin sin c B b C=，而1cos b C -=2sin 1sin BC C -=，即2sin sin cos B C C C -=，而2π3B C =-，因此2π2sin sin cos 3C C C C ⎛⎫--=⎪⎝⎭，整理得cos C C C =，显然cos 0C ≠，解得sin 2C =，所以sin 2C =.18.已知矩形ABCD ，1AB AD ==，，M 为AD 的中点，现分别沿BM ，CM 将ABM 和DCM △翻折，使点,A D 重合，记为点P ．（1）求证：;BC PM ⊥（2）求直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】【分析】（1）取BC 的中点Q ，连接,PQ MQ ，先利用线面垂直判定定理证得BC ⊥平面PMQ ，再由线面垂直性质得证；（2）先利用线面垂直判定定理证得PB PMC ⊥平面，可得BCP ∠为直线BC 与平面PMC 所成角的平面角，从而得解．【小问1详解】已知矩形ABCD ，沿BM ，CM 将ABM 和DCM △翻折，使点,A D 重合，记为点P ，可得11BP AB CD CP ====，，取BC 的中点Q ，连接,PQ MQ ，1BP CP ∴==，BM CM =，BC MQ ∴⊥，BC PQ ∴⊥，又MQ PMQ ⊂平面，PQ PMQ ⊂平面，MQ PQ Q ⋂=，BC ∴⊥平面PMQ ，PM PMQ ⊂ 平面，BC PM ∴⊥；【小问2详解】1BP CP == ，BC AD ==，222PB PC BC ∴+=，PB PC ∴⊥，又四边形ABCD 为矩形，PB PM ∴⊥，PM PC P PM PMC PC PMC ⋂=⊂⊂ ，平面，平面，PB PMC ∴⊥平面，BCP ∴∠为直线BC 与平面PMC 所成角的平面角，2sin2BCP ∠==，即直线BC 与平面PMC 所成角的正弦值为22．19.为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A 商场在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球．具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.（1）获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折．记随机变量ξ为获得各奖次的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()E ξ；（2）某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量η为获得7折及以下资格的人数，求()2P η=．【答案】（1）分布列见解析，496（2）11279000【解析】【分析】（1）根据古典概型和相互独立事件的概率乘法公式可求得分布列，进而求出离散型随机变量的期望；（2）根据随机变量η服从二项分布，利用二项分布概率公式即可得解．【小问1详解】设事件i A 为“从甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“从乙盒中取出j 个红球”，则()()21324C C ,01C i i i P A i -==，，()()22426C C ,012C j jj P B j -==，，,记x 为取出的4个球中红球的个数，则()()2234002246C C 10C C 5P x P A B ===⋅=，()()()2111233244011022224646C C C C 71C C C C 15C P x P A B P A B ==+=⋅+⋅=，()()()2121133224021122224646C C C C C 32C C C C 10P x P A B P A B ==+=⋅+⋅=，()()1232122246C C 13C C 30P x P A B ===⋅=，由题意得ξ的分布列为则()113749578930510156E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由（1）可知，获得7折及以下资格的概率为11730530+=．由题意得7330B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()2237711272C ()130309000P η⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.20.已知数列{}n a 满足112a =-，()1120n n n a na +++=.数列{}n b 满足11b =，1n n n b k b a +=⋅+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当1k ≤时，1132n n n b -+≤-．【答案】（1）*(1)N 2nn n na n =-∈，；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用累乘法即可得解；（2）利用不等式的基本性质进行放缩，再由累加法和错位相减求和法即可得证．【小问1详解】根据题意，由()1120n n n a na +++=可知，0n a ≠，则112n n a n a n++=-，当2n ≥且*N n ∈时，由累乘法得()()1111121311212223212n n n a n na n --⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-⎢⎥ ⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，又112a =-，则111(1)(1)222n n n n n n n a --⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，112a =-也符合上式，综上可知，*(1)N 2nn nn a n =-∈；【小问2详解】因为1(1)2nn n n n n nb k b a k b +=⋅+=⋅+-，1k ≤，所以1(1)22nn n n n n n n b k b b +≤⋅+-≤+，即12n n nn b b +-≤，当2n ≥且*N n ∈时，由累加法得121121222n n n b b ---≤+++ ，设21121222n n n S --=+++ ，则2223121222n n n S --=++++ ，所以12211111111111212122222212n n n n n n n n n S --------+=++++-=-=-- ，又11b =，则111112322n n nn n n n b b S b --++-≤=-⇒≤-，当1n =时，11b =上述不等式也成立，因此，当1k ≤时，1132n n n b -+≤-对*N n ∈恒成立．21.如图，过y 轴左侧的一点P 作两条直线分别与抛物线24y x =交于,A C 和,B D 四点，并且满足3PC PA = ，3PD PB =．（1）设CD 的中点为M ，证明PM 垂直于y 轴.（2）若P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，求PAB 面积的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）1669．【解析】【分析】（1）设出相关点坐标，结合向量关系，证得点P 、M 纵坐标相等，从而得证；（2）根据向量关系得19PAB PCD S S = ，又结合点P 在双曲线上表示出面积表达式，根据函数思想求出最小值．【小问1详解】设(),P P P x y ，(),C C C x y ，(),y D D D x ，(),M M M x y ，则由3PC PA =，3PD PB =，(,)3C P C P x x y y --=(,)A P A P x x y y --，(,)3D P D P x x y y --=(,)B P B P x x y y --，可得2233C P C Px x y y A ++⎛⎫⎪⎝⎭，，2233D P D Px x y y B ++⎛⎫⎪⎝⎭，．由点,A C 都在抛物线上可得224(2)2493C C C PC P y x y y x x ⎧=⎪⎨++=⨯⎪⎩，化简可得2221220C P C P P y y y x y -+-=，同理可得2221220D P D P P y y y x y -+-=，故C y ，D y 可视为二次方程2221220P P P y y y x y -+-=的两根，由韦达定理可得2C D P y y y +=，故2C DM P y y y y +==，由此可得PM 垂直于y 轴.【小问2详解】由（1）可得2C D P y y y +=，2122C D P P y y x y ⋅=-；由3PC PA = ，3PD PB =知19PAB PCDS S = 11922C D P C D x x x y y +⎛⎫=⋅⋅-⋅- ⎪⎝⎭221188CD P y y x ⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭2()21188C D C D P y y y y x ⎛⎫+-⋅=⋅- ⎪⎝⎭()21418P P y x =⋅-⋅()2349P P y x =-⋅=，又P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，可得224414PPP P x y x x -=--且2P x ≤-，则PABS = ，又当2P x ≤-时，24184PP x x --≥，因此，当2P x =-时PAB S 取最小值为1669．22.已知函数()()1211e2x f x x a x ax -=---+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间;（2）若函数()f x 在()0,∞+的最小值为12-，求a 的最大值．【答案】（1）单调递增区间为(),∞∞-+（2）e12-．【解析】【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；（2）求导，对a 进行分类讨论，根据函数()f x 在()0+∞，的最小值为12-，求得a 的取值范围，从而得到a 的最大值．【小问1详解】当1a =时，()()1212e 2x f x x x x -=--+，则()()()()111e 11e 1x x f x x x x --'=--+=--，令()()11()1e1,()e 1x x g x x g x x --'=--=-，()g x '在R 上单调递增，当1x <时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增，故()(1)0g x g ≥=，所以()()()11e10x f x x -'=--≥恒成立，仅当1x =时取等号，即()f x 的单调递增区间为(),∞∞-+;【小问2详解】()()()()11e e 1x x f x x a x a x a --'=--+=--当0a ≤时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在1x =取得最小值12-，符合题意；当01a <<时，(0,)x a ∈时，()0f x '>，(,1)x a ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，因为()f x 最小值为()112f -=，所以()()01f f ≥得e 12a ≤-，即e012a <≤-；当1a =时，由（1）可知()f x 单调递增，则当0x >时()f x 无最小值，不合题意；当1a >时，(0,1)x ∈时，()0f x '>，(1,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a∈+∞时，()0f x'>，则有()()112f a f<=-，不合题意；综上可得，a的最大值e12-．【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.。

2023年江苏省苏州市高考数学模拟试题(二)

2023年江苏省苏州市高考数学模拟试题(二)2023年江苏省苏州市高考数学模拟试题(二)，旨在考查考生在高中阶段学过的数学知识和能力，以及其独立思考问题、分析求解复杂题目的能力。

2023年江苏省苏州市高考数学模拟试题(二)一、选择题1. 已知集合A={x|x<3}, B={x|x≥2}，则A∩ B=A. {2}B. {x|x<2}C. {x|x≤2}D. {x|2<x<3}2. 设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点是F，F点到直线y=x+3的距离是2，则 p=A. 2B. 1C. 4D. 73. 设函数f(x)=2x+1/x-2(x≠2)，则函数f(x)有极值。

A. 0B. 1C. 2D. 无4. 定义在R上的函数f(x)满足f(-2)=7，f(-1)=6，f(0)=5，f(1)=4，f(2)=3，则f(3)=A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题5. 设a等于2的平方根，则a^3+2a的值等于____________。

6. 设函数f(x)的定义域为[-2,2],则使f(x)值域为[1,3]的x的取值范围为____________。

三、解答题7. 设全集U=R,A={x|-2<x≤2},B={x|x+2<x≤5},求A∩B的补集。

解：A∩B={x|-2<x<2+2=x≤4},其补集A∪B'=U-A∩B=(-∞,-2]∪(4,+∞)=(-∞,4]∪(4,+∞)。

8. 求实数a，使不等式|x-1|+|a-2|≥2无解。

解：当|x-1|+|a-2|≥2时，1-x≥2-a且x-1≥a-2，即a≤3或a≥5。

但a>5时，2-a<0，因此应取a=3，a=3时，不等式|x-1|+|a-2|≥2无解。

江苏省南通市(新版)2024高考数学人教版模拟(评估卷)完整试卷

江苏省南通市（新版）2024高考数学人教版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知定义在上的函数满足，当时，，则（）A．1B．2C．D．－2第(2)题已知函数与的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数t的取值范围是（）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）A．B．C．D．第(3)题已知函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题=ax3+b sin x+4（a，b∈R），f（lg（log 210））=5，则f（lg（lg2））=（）A．﹣5B．﹣1C．3D．4第(6)题若为实数,且,则A．B．C．D．第(7)题执行如图的程序框图，如果输出i的值是5，那么在空白矩形框中可以填入的语句为（）A．B．C．D．第(8)题已知是所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知曲线，则下列结论正确的是（）A．曲线可能是直线B．曲线可能是圆C．曲线可能是椭圆D．曲线可能是双曲线第(2)题已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（）A．B ．为其一个对称中心C．若在单调递增，则D．曲线与直线有7个交点第(3)题已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C ．在区间上单调递增D．在区间上有且只有两个极值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数，则______．第(2)题已知函数的图象过点，且相邻两个零点的距离为.若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则函数的解析式为___________.第(3)题已知△ABC的顶点坐标分别为，则内角的角平分线所在直线方程为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，是的平分线，，求：(1)的长；(2)的面积.第(2)题已知函数．(1)求函数的极值；(2)若为整数，且函数有4个零点，求的最小值．第(3)题如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点.(1)若为的中点，求证：；(2)若三棱台的体积为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.第(4)题我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．第(5)题如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且．(1)证明：平面；(2)若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值．。

江苏省连云港市2022届高考考前模拟考试(二)数学试题及答案

2022届高考考前模拟考试（二）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，复数z1，z 2对应的点分别为，−(1,2)，则z z 12=A ．55B ．52C ．255D ．52．已知集合A x x =−<<15}{，Z =∈<<B x x 18}{，则 A B 的子集个数为 A ．4B ．6C ．8D ．93．直线mx y m −++=30与圆x y +=224相切，则m 的值为 A.3 B. 1 C.33D. −3 4．两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘.算筹有纵式和横式两种排列方式，0~9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现.如“”表示87，“〇”表示502. 在“〇”“”“” “”“”按照一定顺序排列成的三位数中任取一个，取到奇数的概率是 A. 0.7 B. 0.6C. 0.4D. 0.35．柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X 服从柯西分布为X ～C (γ，x 0)，其中当γ＝1，x 0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f (x )＝+x (1)π12．已知X ～C (1，0)，P (|X |≤3)＝23，P (1＜X ≤3)＝112，则P (X ≤−1)＝ A ．16 B ．23 C ．14 D ．126．甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是；胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则A ．甲胜乙B ．乙胜丙C ．乙平丁D ．丙平丁 7．如果函数f x x =+ϕ()cos(2)满足−=−f x f x 3()()π4，则ϕ||的最小值是 A ．6π B ．3π C ．6π5 D ．3π48．已知>t 0，函数=+−f x x t x tx ()()ln 2，当x ＞1时，+<f x t ()0恒成立，则实数t 的最小值为A ．4B ．31C ．21D ．1二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知由样本数据点集合x i {(，=y i i )|1，2，⋯，n }，求得的回归直线方程为=+yx 1.50.5ˆ，且=x 3，现发现两个数据点（1.3，2.1）和（4.7，7.9）误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则A ．变量x 与y 具有正相关关系B ．去除后的回归方程为y x =+^1.2 1.6C ．去除后y 的估计值增加速度变慢D ．去除后相应于样本点(2,3.75)的残差为0.05 10．已知>>a b 0,0，直线=+2y x a 与曲线=−+−y b x e 11相切，则下列不等式一定成立的是A ．≤ab 91B ． ≥+a b 921CD 11．过点P (1,0)作两条直线分别交抛物线2=y x 于A ，B 和C ，D ，其中直线AB 垂直于x 轴（其中A ，C 位于x 轴上方），直线AC ，BD 交于点Q ．则A ．y y C D ⋅=−1B ．x Q =−1C ．QP 平分∠CQBD ．PC ||的最小值是3212．如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，AD =DE =4，G 为线段AE 上的动点，则A ．⊥AE CFB ．若G 为线段AE 的中点，则GB //平面CEFC ．点B 到平面CEF 的距离为3D ．+BG CG 22的最小值为48三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知a ，b 是两个单位向量，a b c +−=20，且⊥b c ，则a 与−a b 的夹角为_________．14．设函数≥⎩−⎨=++<⎧x x f x x x 2,1,()(1)2,1,2则不等式+−>f f x (3)(||4)0的解集为_________．15．一个正四棱锥的高为7，底面边长为10，若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为_________．16．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为S 1，S 2，…，S n （单位：m 2），其相应的透射系数分别为1τ，τ2，…，τn ，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值τ确定：++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ττττS S S S S S nn n121122，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB ）为=τR 4ln 1．已知某墙的透射系数为1014，面积为20 m 2，在墙上有一门，其透射系数为1012，面积为2m 2，则组合墙的平均隔声量约为 dB ．（注：≈≈e 2,e 50.693 1.609）四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．在①a 3是a 1与a 9的等比中项，②=+a n S n n 21，③S S =+6423，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：在公差不为0的等差数列a n {}中，其前n 项和为S n ，a =412，，是否存在正整数k ，使得S a k k <−642？若存在，求出所有的正整数k ，若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，=B 4π3，=AC ，=AD 4，=BC >BC CD ．（1）求CD ；（2）求△ABC 的面积． 19．在四棱锥−P ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，PA ⊥CD ，AB =2，BC =DC =23，DAC 60∠=︒．（1）证明：BD ⊥PC ；（2）若点A 到平面PBD 的距离为31010，求二面角−−B PC D 的余弦值．20．为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划．已知某国际航空公司A 航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是13，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是23，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是12．一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A 航线的第n 次航班被熔断的概率为P n ．（1）求P 2；（2）证明：P n 35−⎧⎨⎩⎫⎬⎭为等比数列；（3）求数列P n }{的前n 项和T n ，并说明T n 的实际意义．21．已知函数()ln =+f x x mx ．（1）当m =−13时，判断f x ()的零点个数；（2）若不等式≥+++−ax x x a a x e ln (1)对任意x >1恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知A ，B 分别为椭圆C ：x y +=2241的左、右顶点，P 为直线x =4上的动点，直线PA ，PB与椭圆C 的另一个交点分别为D ，E ．（1）证明：直线DE 过定点；（2）设△EDB 和△EDA 的面积分别为S 1,S 2，求−S S 12的最大值．数学模拟考试（二）参考答案一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分 9．AC 10． BCD 11．ABD 12．ABC 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分 13．π614．−<<x x 11}{ 15． 1499 16．27.624四、解答题：本大题共6个小题，共70分 17.解：公差d 不为0，==+a a d 12341，选择①：由a 3是a 1与a 9的等比中项，=a a a 3192， +=+a d a a d (2)(8)1112，得=a d d 12，又≠d 0，所以=a d 1，………………………………………………………………………3分又a d +=1312，所以d =3，a =13，……………………………………………………5分所以=3n a n ，n S n n =+3(1)2， ………………………………………………………………7分所以S a k k <−642，k k k +<−3(1)21842得：k k −+<211280，即k <<47，又k 为正整数，所以正整数k 可以取5，6．………………………………………………10分选择②：由=+a n S n n 21，取=n 2，得=S a 2322，即+=a a a 2()3122，所以=a a 221，又=+a a d 21，所以=a d 1，…………………………………………………………………3分又a d +=1312，所以d =3，a =13，……………………………………………………5分所以=3n a n ，n S n n =+3(1)2， ………………………………………………………………7分所以S a k k <−642，k k k +<−3(1)21842得：k k −+<211280，即k <<47，又k 为正整数，所以正整数k 可以取5，6． ………………………………………10分选择③：=+S a d 61561，=+S a d 4641，又=+S S 2464，所以+a d 6151a d =++12(46)3，化简得：a d −+=12330，………………………3分又a d +=1312，所以d =3，a =13，……………………………………………………5分所以=3n a n ，n S n n =+3(1)2， ………………………………………………………………7分所以S a k k <−642，k k k +<−3(1)21842得：k k −+<211280，即k <<47，又k 为正整数，所以正整数k 可以取5，6． ……………………………………10分18．解：（1）由题意设∠=∠=αBAC DAC ,=CD x ，则=AC ，在∆ACD 中，由余弦定理得⋅∠=+−AD ACDAC AD AC CD 2cos 222，即αcos 222 ………………………2分在∆ABC 中，由正弦定理得∠=B BACAC BCsin sin ，即=αsin ② ………………………………………4分联立①②得=x 2或=x ，故=CD 2. ………………………………………6分 (2) 在∆ABC 中，由余弦定理得=+−⋅∠AC AB BC AB BC ABC 2cos 222，即=+−πAB 4208cos 32， ………………………………………8分所以=AB 2或=−AB 6（舍）， ……………………………………10分故=⋅=⨯⨯=∆πS AB BC B ABC 224sin 22113. ……………………………………12分 19．解：（1）∵面平面平⊥PAB ABCD ,⊥BC AB ,面平面平=PAB ABCD AB ,面平⊂BC ABCD ,∴面平⊥BC PAB ，又面平⊂PA PAB , ∴⊥BC PA ，又⊥PA CD ,=CDBC C ,面平⊂CD BC BCD ,,∴面平⊥PA BCD ,面平⊂BD BCD ,∴⊥PA BD , …………………………2分在∆Rt ABC 中，=AB 2，=BC ，得=∠=AC BAC 4,60,在∆ADC 中，=AC 4，=DC ，DAC 60∠=︒,得∠==ADC AD 90,2,∴⊥AC BD , …………………………4分又=PA AC A ,面平⊂PA AC PAC ,, ∴面平⊥BD PAC ，又面平⊂PC PAC ,∴⊥BD PC . …………………………6分 (2) 法1：设=BDAC O ,建立如图所示空间直角坐标系，由（1）得B C D (0,3,0),(,由=−−V V A PCD P ABD ,得−P (0,1,3), …………………………8分设平面BPC 法向量为=m x y z (,,),则⎩⎪⋅=⎨⎪⋅=⎧m PC m PB 00,即⎩⎪−=+−=y z y z 43030，取=m (33,3,4)设平面DPC 法向量为=n x y z (,,),则⎩⎪⋅=⎨⎪⋅=⎧n PC n PD 0,即⎩⎪−=⎨⎪+−=⎧y z y z 43030，取=−n (33,3,4) …………………………10分设二面角−−B PC D 的夹角为θ，则++++⋅=〈〉===⋅−++θm nm n m n279162791626cos cos ,279161. 由图可知，二面角−−B PC D 的余弦值为261. ……………………12分法2：作⊥BQ PC ,垂足为Q ，连接DQ ,由（1）知∆≅∆Rt PDC Rt PBC ，得⊥DQ PC ，故∠BQD 即为−−B PC D 所成二面角的平面角， ……………8分在∆BQD中，=BD,==DQ BQ 5, ………………………10分由余弦定理得⋅∠===+−+−DQ BQ BQD DQ BQ BD 226cos 112156156222， Q故二面角−−B PC D 的余弦值为261. …………………………12分 20. 解：（1）由题意得P =⨯+⨯=21323231259………………………3分 (2)由题意得P P P n n n =+−−−112312(1)=P n −+11612（≥n 2），所以P P n n −−=−13516(35) ………………………5分又P −=−=−≠13513354150，所以P n 35−⎧⎨⎩⎫⎬⎭是以−415为首项，16为公比的等比数列； ………………………7分(3)由（2）知P n n −=−−35415161，从而−=−=−−−T n n n nn 6151552561(1)63438111………………………10分由于P n 可以理解为第n 次航班平均被熔断的次数，所以T n 表示前n 次航班一共被熔断的次数. ………………………12分 21. 解：（1）因为=−f x x x 3()ln ，所以=−='−x x f x x33()113，令='f x ()0，则=x 3,当 ∈x (0,3)时，>'f x ()0，f x ()递增，当∈+∞x (3,) 时，<'f x ()0，f x ()递减，所以==−>f x f ()(3)ln310max , …………………………………2分又因为=−<f 3(1)01，所以<f f (1)(3)0，所以f x ()在(1,3)上有唯一零点，同理，因为=−<f e e 3()2022,所以<f f e (3)()02所以f x ()在e (3,)2上有唯一零点，所以函数f x ()有两个零点. ……………………………………………4分（2）≥+++−e ax x x a a x ln (1)即≥+−+−e a x x x a x (1)ln (1),即≥+−+−ea x e x a x x (1)ln (1)ln ,构造函数=+F x e x x()，即≥−F a x F x ((1))(ln ), ………………………………………6分F x ()显然为+∞(0,)上的单调递增函数，所以转化为：≥−a x x (1)ln 在+∞(1,)上恒成立，①当≤a 0时，因为>x 1,所以≤−a x (1)0,而>=x ln ln10,显然不符合题意. ……………………………8分 ②当>a 0时,即≥−−a x x (1)ln 0在+∞(1,)上恒成立，令=−−>G x a x x x ()(1)ln (1)，则=−='−x xG x a ax ()11, 令='G x ()0，则=ax 1, i)当≤<a011即≥a 1时，因为>x 1,所以>'G x ()0，所以G x ()在+∞(1,)上递增，所以 >=G x G ()(1)0，即>G x ()0恒成立，符合题意.ii)当>a 11即<<a 01时，当∈a x (1,)1时<'G x ()0，当∈+∞ax (,)1时>'G x ()0，所以==−−=−+a a aG x G a a a ()()(1)ln 1ln 111min ，令=−+<<h a a a a ()1ln (01)，则=−+=>'−a ah a a()1011,所以h a ()在(0,1)上递增，所以<=h a h ()(1)0，所以<G x ()0min 不符合题意，所以舍去.综上所述≥a 1. ………………………………………………………12分 22. 解：(1)设P t (4,)，D x y (,)11，E x y (,)22，则直线PA 的方程为：=+y x t6(2) 联立⎩⎪+=⎪⎨⎪⎪=+⎧y x y x t 416(2)22得+=−t x t 9182212，代入=+y x t 6(2)得+=t y t 9621，即++−t t D t t99(,)1826222, 同理可得++−−t t E t t11(,)222222， ………………………………………2分设直线DE 过定点M m (,0)，则当≠t 0时，++−−−−=++−−−t t m m t t t t t t9118222910062222222，化简得+−=t m (3)(1)02解得=m 1，直线DE 过定点M (1,0)，当=t 0时，直线DE 为x 轴，也过定点M (1,0)， ………………………5分综上，直线DE 过定点M (1,0). …………………………………………6分 (2) =−S BM y y 21112,=−S AM y y 21212−=−⋅−=⨯⨯−=−S S AM BM y y y y y y 2221112121212 设直线DE 的方程为：=+x ny 1，联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+y x x ny 41122得++−=n y ny (4)23022则⎩+⎪=⎪−⎨+⎪⎪+=⎧n y y n y y n 4342212212所以−=−===S S y y 1212=14 ………………………………………10分u ，则+−=uu S S 1412，=+uy u 1在+∞)单调递增，故当=u =n 0时，−S S max12 …………………………………12分。

2024学年江苏省苏州等四市高考模拟冲刺卷(提优卷)(二)数学试题文试题

2024学年江苏省苏州等四市高考模拟冲刺卷（提优卷）（二）数学试题文试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-2．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>3．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④4．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 5．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（） A ．1B ．-1C ．0D ．26．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（） A ．12B ．12-C ．2D ．2-7．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π8．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．749．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭12．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省高考数学模拟专家卷(2)

江苏省高考数学模拟专家卷（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合M ＝{x ｜y ＝lg x }，N ＝{ x ｜y ＝1－x }，则M ∩N ＝ ▲ ． 2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i （i 是虚数单位），则复数z 的实部为 ▲ ． 3．根据如图所示的算法流程图，输出的结果T 为 ▲ ．4．上图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(含60)为考试合格，则这次考试的合格率为 ▲ ．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是 ▲ ．6、在边长为3的正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，则FD →·DE →的值为 ▲ ． 7．若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝ ▲ ．8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2013)＝ ▲ ．9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋2x －1，则不等式f (x )＜－1的解集是 ▲ ． 10. 已知锐角,A B 满足tan()2tan A B A +=，则tan B 的最大值是 ▲ ．11．已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“|k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的 ▲ （填“充分但不必要条件”、“必要但不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中的一个．） 12．已知数列{a n }满足3a n ＋1+a n ＝4(n ∈N*)，且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是 ▲ ．13．在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为 ▲ ．14．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN ＝ ▲ ．开始 I ←2 T ←1 T ≤30输出I 结束 T ←T ×II ←I ＋2NY（第3题图）O 20 40 60 80 100 频率组距 0.0020.004 0.008 0.012 0.024(第4题图） ANO二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸．．．相应位置上． 15．（本题满分14分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ．（1）求角B 的大小；（2）求sin A ＋sin C 的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点．现将△ADE 沿DE 折起，得四棱锥A －BCDE ．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FDCE 的体积．17.（本小题满分14分）如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB ．现欲在弧AB 上取不同于A 、B 的点C ，用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA )，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA ＝1km ，∠AOB ＝π3．求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围．（第16题图）ABEO A BO AB C D 养殖区域Ⅰ养殖区域Ⅱ18．（本题满分16分）已知椭圆C ： x 2a 2＋ y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1（－3，0），过点F 1作一条直线l 交椭圆于A ，B两点，点A 关于坐标原点O 的对称点为A 1，两直线AB ，A 1B 的斜率之积为－1625．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知D （m ，0）为F 1右侧的一点，连AD ，BD 分别交椭圆左准线于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆恰好过点F 1，求m 的值．19．（本题满分16分）已知函数f (x )＝x 3＋x 2－ax (a ∈R )．（1）当a ＝0时，求与直线x －y －10＝0平行，且与曲线y ＝f (x )相切的直线的方程；（2）求函数g (x )＝f (x )x－a ln x (x ＞1)的单调递增区间；（3）如果存在a ∈[3，9]，使函数h (x )＝f (x )＋f '(x )(x ∈[－3，b ])在x ＝－3处取得最大值，试求b 的最大值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n ∈N*），且a 2=6．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n ab n c=+（n ∈N*，c 为非零常数），若数列{b n }是等差数列，记c n ＝b n 2n ，S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求S n ．数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1．求⊙O 的半径．B ．选修4—2：矩阵与变换已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A (0, 2)，B (1，1)，C (1，3)．若△ABC 在一个切变变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，其中B (1，1) 在变换T 作用下变为点B 1(1，－1)．（1）求切变变换T 所对应的矩阵M ；（2）将△A 1B 1C 1绕原点O 按顺时针方向旋转30 后得到△A 2B 2C 2．求△A 2B 2C 2的面积．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 是以点C (2，－π6)为圆心、2为半径的圆．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求圆C 被直线l ：θ＝－5π12 所截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.ABOCP【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为12．（1）若规定每投进1球得2分，求甲同学投篮4次得分X 的概率分布和数学期望；（2）假设某同学连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？23．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n．（1）求S 2，S 4的值；（2）若T n ＝7n ＋1112，试比较2n S 与T n 的大小，并给出证明．参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(0，1] 2．3 3．8 4．72% 5．136．－32 7．2e 8．－13 9．(－2，0)∪(1＋3，＋∞) 10．2411．充分但不必要条件 12．7 13．4 14．5－12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1）方法一：由a cos C ＋c cos A ＝2b cos B 及余弦定理，得a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ×a 2＋c 2－b 22ac． ……………… 2分化简，得a 2＋c 2－b 2＝ac ．所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12． ………………………………………………………… 5分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3． ………………………………………………………… 7分方法二：由a cos C ＋c cos A ＝2b cos B 及正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ． ……………………………………… 2分即sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ≠0，所以cos B ＝12． ………………………………………………………… 5分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3． ………………………………………………………… 7分（2）sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)． ……………………………………………… 11分因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6，所以12＜sin(A ＋π6)≤1，所以sin A ＋sin C 的范围是(32，3]． ……………………………………………… 14分 16．（本题满分14分）证明：（1）取线段AC 的中点M ，连结MF 、MB ．因为F 为AD 的中点，所以MF ∥CD ，且MF ＝12CD ．…………………… 2分在折叠前，四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以BE ∥CD ，且BE ＝12CD ．所以MF ∥BE ，且MF ＝BE ． …………………… 4分所以四边形BEFM 为平行四边形，故EF ∥BM ．又EF ⊄平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ……………………………………………… 6分（2）在折叠前，四边形ABCD 为矩形，AD ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，所以△ADE 、△CBE 都是等腰直角三角形，且AD ＝AE ＝EB ＝BC ＝2．所以∠DEA ＝∠CEB ＝45°，且DE ＝EC ＝22．又∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝180°，所以∠DEC ＝90°．又平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ，CE ⊂平面BCDE ，所以CE ⊥平面ADE ，即CE 为三棱锥C －EFD 的高．………………………… 10分因为F 为AD 的中点，所以S △EFD ＝12×12×AD ·AE ＝14×2×2＝1．所以四面体FDCE 的体积V ＝13×S △EFD ·CE ＝13×1×22＝223． …………… 14分17.（本小题满分14分）解：设∠AOC ＝θ，设渔网的长度为f (θ)．由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ．在ΔOCD 中，由正弦定理，得CD ＝23sin(π3－θ)，θ∈(0，π3) ……………………6分所以，f (θ)＝θ＋1＋23sin(π3－θ)．……………………………… 8分∵ f ′ (θ)＝1－23cos(π3－θ)，因为θ∈(0，π3)，所以π3－θ∈(0，π3)，令f ′ (θ)＝0，得cos(π－θ)＝3，所以π－θ＝π，所以θ＝π6．答：所需渔网长度的取值范围是(2，π＋6＋236]．………………………………………14分18．（本题满分16分）解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，－y 1)．所以，AB k ＝y 2－y 1x 2－x 1，1A B k ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，于是AB k ·1A B k ＝y 22－y 12x 22－x 12，由⎩⎨⎧x 12a 2＋ y 12b 2＝1，x 22a 2＋ y 22b 2＝1，得x 22－x 12a 2＋ y 12－y 12b 2＝0，所以AB k ·1A B k ＝－b 2a 2． …………………………5分所以，b 2a 2＝1625，所以b a ＝45．设b ＝4k ，a ＝5k ，其中k ＞0．由c ＝3，得25k 2－16k 2＝9，所以k ＝1所以，椭圆C ：x 225＋ y 216＝1． ………………………………………………………………………7分（2）①若l 存在斜率k 时，设l ：y ＝k (x ＋3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋3)，x 225＋ y 216＝1消去y ，得(16＋25k 2)x 2＋150k 2x ＋225 k 2－400＝0．所以222212121212222150225400256,(3)(3)162516251625k k k x x x x y y k x x k k k -+=-=⇒=++=-+++．………10分设342525(,),(,)33M y N y --，由M 、A 、D 共线，得131(325)3()m y y m x +=-，同理242(325)3()m y y m x +=-． …………………………………………………………………………12分又131411111616(,),(,),033F M y F N y F M F N F M F N 由已知得=-=-⊥⇒•=，得212343412325)256,99()()m y y y y y y m x m x （而，即+=-=--222561625k k -+·212325)9()()m m x m x （+--＝－2569，整理得 22(1)(16400)0k m +-=，所以m ＝±5，因为m ＞－3，所以m ＝5．……………………16分19．（本题满分16分）解：（1）设切点为T (x 0，x 03＋x 02)，由f '(x )＝3x 2＋2x 及题意得3 x 02＋2 x 0＝1． …………………… 2分解得x 0＝－1，或x 0＝13．所以T (－1，0)或T (13，427)．所以切线方程为x －y ＋1＝0或27x －27y －5＝0． …………………… 4分（2）因为g (x )＝x 2＋x －a －a ln x (x ＞1)，所以由g '(x )＝2x ＋1－a x＞0，得2x 2＋x －a ＞0． ……………………………… 6分令φ(x )＝2x 2＋x －a (x ＞1)，因为φ(x )在(1，＋∞)递增，所以φ(x )＞φ(1)＝3－a ．当3－a ≥0即a ≤3时，g (x )的增区间为(1，＋∞)； ……………………… 8分当3－a ＜0即a ＞3时，因为φ(1)＝3－a ＜0，所以φ(x )的一个零点小于1、另一个零点大于1．由φ(x )＝0得零点x 1＝－1－1＋8a 4＜1，x 2＝－1＋1＋8a4＞1，从而φ(x )＞0(x ＞1)的解集为(－1＋1＋8a 4，＋∞)，即g (x )的增区间为(－1＋1＋8a4，＋∞)． …………………………………… 10分（3）方法一：h (x )＝x 3＋4x 2＋(2－a )x －a ，h′(x )＝3x 2＋8x ＋(2－a )．因为存在a ∈[3，9]，令h′(x )＝0，得x 1＝－4－3a ＋103，x 2＝－4＋3a ＋103．当x ＜x 1或x ＞x 2时，h′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，h′(x )＜0．必有⎩⎨⎧x 1≤－3，x 2＞－3，解得a ≥5，即a ∈[5，9]． ………………………………………… 13分所以存在a ∈[5，9] 使h (x )(x ∈[－3，b ])在x ＝－3处取得最大值的充要条件为h (－3)≥h (b )，即存在a ∈[5，9] 使(b ＋3)a －(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0成立．因为b ＋3＞0，所以9(b ＋3)－(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0，即(b ＋3)( b 2＋b －10)≤0.解得－1－412≤b ≤－1＋412，所以b 的最大值为－1＋412． …………………… 16分方法二：h (x )＝x 3＋4x 2＋(2－a )x －a ，据题意知，h (x )≤h (－3)在区间[－3，b ]上恒成立．即(x 3＋27)＋4(x 2－9)＋(2－a )(x ＋3)≤0，(x ＋3)(x 2＋x －1－a )≤0 ①．若x ＝－3时，不等式①成立；若－3＜x ≤b 时，不等式①可化为x 2＋x －1－a ≤0，即x 2＋x ≤1＋a ②．……… 13分令ψ(x )＝x 2＋x ．当－3＜b ≤2时，ψ(x )在区间[－3，b ]上的最大值为ψ(－3)＝6，不等式②恒成立等价于6≤1＋a ，a ≥5，符合题意；当b ≥2时，ψ(x )的最大值为ψ(b )＝b 2＋b ，不等式②恒成立等价于b 2＋b ≤1＋a ．由题意知这个关于a 的不等式在区间[3，9]上有解．故b 2＋b ≤(1＋a )max ，即b 2＋b ≤10，b 2＋b －10≤0，解得2＜b ≤－1＋412．综上所述，b 的最大值为－1＋412，此时唯有a ＝9符合题意．…………………… 16分20．（本题满分16分）解：（1）由1111n n n n a a n a a +++-=-+，得(n －1)a n ＋1－(n ＋1)a n ＝－(n ＋1)，当n ≥2时，有a n ＋1 n ＋1－a n n －1＝－1 n －1， ………………………………………………………… 3分所以，a n ＋1 n (n ＋1)－a n (n －1)n ＝－1 n (n －1)＝－(1 n －1－1n)， ……………………………… 6分由叠加法，得当n ≥3时，a n ＝n (2n －1)． ……………………………… 8分把n ＝1，a 2＝6代入1111n n n n a a n a a +++-=-+，得a 1＝1，经验证：a 1＝1，a 2＝6均满足a n ＝n (2n －1)．综上，a n ＝n (2n －1)，n ∈N*． ………………………………………………………… 10分（2）由（1）可知：b n ＝n (2n －1)n ＋c ，于是b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c，由数列{b n }是等差数列，得b 1＋b 3＝2 b 2，即11＋c ＋153＋c ＝122＋c ，解得c ＝－12（c ＝0舍去）．此时，b n ＝2n ，所以，数列{b n }是等差数列．所以c ＝－12满足题意．……………………… 13分所以，c n ＝n2n －1．所以S n ＝1＋221＋322＋……＋n 2n －1，由错位相减法，得S n ＝4－n ＋22n －1．……………………… 16分21．A ．选修4—1：几何证明选讲C又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC ．所以3θ ＝ 90︒．所以θ ＝ 30︒．又设圆的半径为r ，在Rt△POC 中，r ＝ CP ·t A n30︒ ＝ 1×33 ＝ 33． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1． ………………………………………………… 4分（2）因为△ABC 在变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，三个顶点的坐标分别是(0, 2)，(1，－1)和(1，1)，其面积为1．而旋转变换不改变图形的形状，所以其面积不变，依然为1．所以，△A 2B 2C 2的面积为1． ………………………………………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos(θ＋π6) ． ………………………………5分（2）将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos(θ＋π6)，得ρ＝22，所以，圆C 被直线l ：θ＝－5π12 所截得的弦长为22． ………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：方法一：左边－右边＝a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)． …………………………… 4分因边a ＋b ＝2，所以左边－右边＝1－ab(a ＋1)(b ＋1)． …………………………… 6分因为a ，b 都是正实数，所以ab ≤(a ＋b )24＝1． ………………………… 8分所以，左边－右边≥0，即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. …………………………… 10分方法二：由柯西不等式，得 (a 2a ＋1＋b 2b ＋1)[(a ＋1)2＋(b ＋1)2]≥(a ＋b )2． ……………………………… 6分因为a ＋b ＝2，所以上式即为(a 2a ＋1＋b 2b ＋1)×4≥4．即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. ……………………………………………………… 10分22．解：（1）X 的概率分布列为11 ……………………………………………… 2分 E (X )＝0×116＋2×14＋4×38＋6×14＋8×116＝4．（或E (X )＝8×12＝4．） …………… 4分（2）①连续3次投篮未中，不同投法为：1＋C 16＋C 26＋(C 36－4)＋(C 13＋C 13)＝44（种）； ②累计7次投篮未中，不同投法为：C 13＋1＝4（种）．所以，该同学恰好投篮10次停止投篮测试的概率为P ＝481024＝364．…………………… 10分23．解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝2512． ……………………………… 2分（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7×2＋1112＝2512，所以，2n S ＝T n ．当n ＝3时，T 3＝7×3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞83＝T 3．于是，猜想，当n ≥3时，2n S ＞T n ． ……………………………… 4分下面用数学归纳法证明：①当n ≥3，显然成立；②假设n ＝k (k ≥3)时，2k S ＞T k ；那么，当n ＝k ＋1时，12k S ＝2k S ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1＋1＋12k ＋2k －1＋2＋…＋12k ＋1）＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1×2k －1＋12k ＋1×2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112，这就是说，当n ＝k ＋1时，2n S ＞T n ．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ．综上，当n ＝1，2时，2n S ＞T n ；当n ≥3时，2n S ＞T n ． ……………………………… 10分。

江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题 (2)

一、单选题二、多选题1. 若数列满足，，则（）A．B ．11C．D．2.设是等差数列的前项和，已知，，则（）A ．16B ．18C ．20D ．223.中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（）A．B．C．或D．或4. 设向量，，若向量与同向，则（）A ．2B ．-2C ．±2D ．05. 已知双曲线C：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为，，过C 的右支上一点P 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若的最小值为，则C 的离心率为（）A．B ．2C．D．6.已知集合，，则（）A．B．C．D．7.在平面直角坐标系中，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，于点，则点的轨迹为（）A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆8. 在梯形中，，，为的中点，，则（）A．B．C．D．9. 函数的部分图象如图所示，则（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C ．函数在内的所有零点之和为D ．将函数图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位长度后得到曲线10. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A ．样本的标准差B ．样本的中位数C ．样本的极差D ．样本的平均数11. 已知，（参考数据），则下列说法正确的是（）A ．是周期为的周期函数B ．在上单调递增C ．在内共有4个极值点江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题 (2)江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题 (2)三、填空题四、解答题D ．设，则在上共有5个零点12. 已知F 是双曲线E：（，）的右焦点，直线与双曲线E 交于A ，B 两点，M 为双曲线E 上异于A ，B 的一点，且MA ，MB 不与坐标轴垂直，O 为坐标原点，P ，Q 分别为AF ，BF的中点，且，记双曲线E 的离心率为e ，直线MA 与MB 的斜率分别为，.则（）A．B．C．D．13. 已知球在底面半径为1､高为的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________.14. 已知，当时，_________.15.已知等差数列的公差为d ，前n项和为，试写出“”的一个充分不必要条件：___________．16. 现有甲，乙，丙，丁四位同学课余参加巴蜀爱心社和巴蜀文学风的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，并且参加每个社团都是等可能的.（1）求巴蜀爱心社和巴蜀文学风都至少有1人参加的概率；（2）求甲，乙在同一个社团，丙，丁不在同一个社团的概率.17. 已知数列，是其前项和，且满足.(1)求证:数列是等比数列；(2)设，且为数列的前项和，求数列的前项和.18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．(1)求椭圆的方程：(2)直线（不过原点）与抛物线相交于两点，以为直径的圆经过原点，且此直线也与椭圆相交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.19. 已知函数（，为自然对数的底数）.(1)求函数的最小值；(2)若对任意的恒成立，求实数的值；(3)在（2）的条件下，证明：（其中）20. 某班级为了提高考试的做卷效率，提出了考试的两种做卷方式，为比较两种做卷方式的效率，选取50名学生，将他们随机分成两组，每组25人．第一组学生用第一种做卷方式：从前往后的顺序做；第二组学生用第二种做卷方式：先做简单题，再做难题．根据学生的考试分数（单位：分）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种做卷方式的效率更高？并说明理由；（2）求50名学生的考试分数的中位数，并将考试分数超过和不超过的学生人数填入下面的列联表：超过不超过总计第一种做卷方式第二种做卷方式总计（3）根据（2）中的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为两种做卷方式的效率有差异？附：．0.0500.0100.0013.841 6.63510.82821. 已知椭圆的离心率，两焦点分别为，右顶点为，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过定点的直线与双曲线的左支有两个交点，与椭圆交于两点，与圆交于两点，若的面积为，，求正数的值.。

2023年江苏省苏州市高考模拟数学试题(二)

一、单选题二、多选题1. 已知正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，为的中点，为中点，是的动点，是平面上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．2. 已知，则（）A．B．C．D ．33.已知定义在上的奇函数，当时，；且，则（）A．B ．4C ．4或D ．4或4. 以下是某同学对棱长为1的正方体的性质的探究，其中正确的是（）A ．12条棱中可构成16对异面直线B．以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为C ．过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形D．以正方体各表面中心为顶点的正八面体的表面积是5. 设，，，则（）A．B．C．D．6.已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上一点，当最大时，点恰好在（或）处.则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7. 已知函数，则函数的大致图象为（）A．B．C．D．8. 能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）A．B．C．D．2023年江苏省苏州市高考模拟数学试题（二）三、填空题四、解答题9.已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（）A ．当时，B ．当时，C ．一定能被3整除D ．的取值集合为10.已知圆，，则（）A ．直线的方程为B．过点作圆的切线有且仅有条C．两圆相交，且公共弦长为D ．圆上到直线的距离为的点共有个11. 甲同学投掷骰子次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为，方差在区间内，则这五个点数（）A．众数可能为B．中位数可能为C．一定不会出现D ．出现的次数不会超过两次12. 居民消费价格指数，简称CPI ，是一个反映居民消费价格水平变动情况的宏观经济指标.某年的，以下是年居民消费价格指数的柱形图.从图中可知下列说法正确的是A．年居民消费价格总体呈增长趋势B ．这十年中有些年份居民消费价格增长率超过3%C ．2009年的居民消费价格出现负增长D ．2011年的居民消费价格最高13.求值_________．14.函数的最大值为___________.15. 设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．16. 如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b(1)求这段时间的最大温差．(2)写出这段曲线的函数解析式．17. 已知函数为的导函数．(1)求不等式的解集；(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．18. 已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．(1)求；(2)记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．19. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积.20. “绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求的值和这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）;(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求抽取的2人中至少有1人的年龄在第1组中的概率.21. 已知函数，．(1)求函数极值；(2)若对恒成立，求的最小值．。

【数学】2022届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学试题(解析)

＋１×（－２）＝０，则ＰＭＬＡＧ，又ＢＤｎＰＭ＝Ｍ，ＢＤ、ＰＭｅ平面ＰＢＤ，所以ＡＧＬ平面ＰＢＤ，
故选项Ａ正确；因为Ｆ０．１，０）．元Ｇ＝（１．０．１）．２＝（２．０．０．则ｃｏｓ＜元．石＞
ＦＧ·ＡＢＩ
Ｆｉ｜ＬＡ商
所以直线ＦＧ和直线ＡＢ所成的角为严，故选项Ｂ正确；对于选项Ｃ，设Ａ
“’ 到平面ＰＢＤ距离为ｄ，则Ｉ－ｍ＝５ｓｃａｐＡＰ＝５ｓｍｏｄ，则ｄＳ－ＳＡＡｐｍｍＡＤＰ＿２９，从而Ｇ到
４．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为０°￣９０°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则ｔａｎ６００° 的值为（小数点后保留２位有效数字）
ａ１０２０３０４０５０° ６０７０色
ｓｉｎａ０．１７３６０．３４２００．５００ｏ０．６４２０７７６６００．８６６０｜０．９３９７０．９８４８
６．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的
概率分布列为ＰＸ＝ｋ）＝告￣气ｋ＝０，１，２…），其中ｅ为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ＞０）的泊松分布．若每周销售１件该商品与每周销售２件该商品的概率相等，则两周共销售２件该商品的概率为
一象限，故答案选Ａ．
３．已知ａ，ｂ为单位向量．若ａ－２６＝＼５，则ａ＋２ｂ｜＝
Ａ．√ Ｂ．Ｎ后５ｃ．、７Ｄ．５
【答案】Ｂ【考点】平面向量的数量积运算
【解析】由题意可知，ｌａ－２ｂＰ＝ａ－４ａ·ｂ＋４６２＝１－４ａ·ｂ＋４＝５，解得４ａ·ｂ＝０，所以ａ＋２ｂ＝ａ２＋４ａ·ｂ＋４＝５，所以ａ＋２ｂ＝＼５，故答案选Ｂ．
？？二ｅ４

江苏省南京市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(提分卷)模拟试卷

江苏省南京市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（）A．B．C．D．第(2)题已知“水滴”可近似看成一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体．如图，将“水滴”的轴截面看成由线段，和优弧所围成的平面图形，其中点，所在直线与水平面平行，和与圆弧相切，是边长为6的等边三角形，点为优弧所在圆的圆心，点在优弧上，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(3)题已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是（）A．两个球都是红球的概率为B．两个球中恰有1个红球的概率为C．两个球不都是红球的概率为D．至少有1个红球的概率为第(4)题已知等差数列的前项和为，，，则（）A．7B．8C．10D．16第(5)题纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（）（参考数据：，）A．0.82B．1.15C．3.87D．5.5第(6)题设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（）A．B．C．D．第(7)题设，，且，则（）A．B．C．D．第(8)题记递增的等差数列的前项和为．若，则（）A．B．125C．155D．185二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

高考数学 2024年江苏省南京市高考数学全真模拟试卷

2024年江苏省南京市高考数学全真模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．（4，+∞）B ．[4，+∞）C ．（-∞，0）∪[4，+∞）D ．（-∞，0]∪（4，+∞）1．（5分）已知全集U =R ，集合A ={x |log 2x ⩽2}，则∁U A =（）A ．1B ．C ．2D ．22．（5分）已知复数z =，则|z |=（）+iM 6√21-iM 3√2A ．B ．-C ．D ．-3．（5分）已知sin （-α）+sinα=，则sin （2α+）=（）π313π679798989A ．134B ．135C ．136D ．1374．（5分）已知数列{a n }和数列{b n }的通项公式分别为a n =3n +1和b n =5n +1，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列{cn }，则满足不等式c n ≤2024的最大的整数n =（）A ．=，＜B ．Z 甲=Z 乙，＞C ．＞，＞D ．Z 甲<Z 乙，＞5．（5分）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如图．设甲、乙命中环数的众数分别为Z 甲，Z 乙，方差分别为，，则（）s 甲2s 乙2Z 甲Z 乙s 甲2s 乙2s 甲2s 乙2Z 甲Z 乙s 甲2s 乙2s 甲2s 乙2A ．若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ,l ⊥n ,则l ⊥α6．（5分）设α是空间中的一个平面，l ,m ,n 是三条不同的直线，则（）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分对的得部分分，有选错的得0分．B ．若l ∥m ,m ∥n ,l ⊥α，则n ⊥αC ．若l ∥m ,m ⊥α，n ⊥α，则l ⊥nD ．若m ⊂α，n ⊥α，l ⊥n ,则l ∥mA ．（0，e ）B ．（e ,+∞）C ．（0，2e ）D ．（2e ,+∞）7．（5分）若函数f （x ）=-有两个零点，则实数m 的取值范围为（）lnx x xmA ．B ．C ．D ．28．（5分）已知A 为双曲线E ：-=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点，O 为坐标原点，B ，C 为双曲线E 上两点，且AB +AC =2AO ，直线AB ，AC 的斜率分别为4和，则双曲线E 的离心率为（）x 2a 2y 2b 2→→→12M 3M 52M 62A ．拿走x 3，这组数据的方差变大B ．拿走x 2，x 4，这组数据的方差变大C ．拿走x 2，x 3，x 4，这组数据的方差减小D ．拿走x 1，x 2，x 4，x 5，这组数据的方差减小9．（6分）设一组样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5满足x i <x i +1（i =1，2，3，4），则（）A ．正四面体P -ABC 的外接球表面积为4πB ．正四面体P -ABC 内任意一点到四个面的距离之和为定值C ．正四面体P -ABC 的相邻两个面所成二面角的正弦值为D ．正四面体S -EFG 在正四面体P -ABC 的内部，且可以任意转动，则正四面体S -EFG 的体积最大值为10．（6分）已知正四面体P -ABC 的棱长为，则（）√213181A ．函数f （x ）的单调递减区间为（0，1）∪（1，e ）B ．f （π）<f （2）11．（6分）对于函数f （x ）=，下列说法正确的是（）xlnx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、明过程或演算步骤．C ．若方程|f （|x |）|=k 有6个不等实数根，则k >eD ．对任意正实数x 1，x 2，且x 1≠x 2，若f （x 1）=f （x 2），则＞x 1x 2e 212．（5分）已知向量a =（2-t ,-3），b =（-1，2+t ），若a ⊥b ，则t =．→→→→13．（5分）设（2-x =+（x -1）+（x -1+⋯+（x -1，若a 5+a 6=0，则n =．）na 0a 1a 2）2a n ）n14．（5分）已知△ABC 的三内角A ，B ，C 满足16sinCcos （A -B ）+8sin 2C =3π，则△ABC 的面积与△ABC 外接圆的面积之比为．15．（13分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ,且向量m =（a ,b ），n =（-cosA ，sinB ）满足m ∥n ．（1）求A ；（2）若a =，b =3，求BC 边上的高h .→→M 3→→M 1316．（15分）已知数列{a n }满足=，+=2．（1）证明数列{}是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足，b n =（a n -1）（a n +1-1），求{b n }的前n 项和S n ．a 132a n +11a n 1-1a n 17．（15分）某公司为了解旗下的某产品的客户反馈情况，随机抽选了250名客户体验该产品并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理得到如下列联表：不喜欢喜欢合计男50100150女5050100合计100150250（1）是否有99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系？（2）公司为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取6人，收集对该产品改进建议．若在这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．附：=，P （K 2≥k ）0.100.050.0100.001K 2n （ad -bc ）2（a +b ）（c +d ）（a +c ）（b +d ）k 2.706 3.841 6.63510.82818．（17分）如图，在三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AC 1与A 1C 相交于点D ，BB 1⊥平面ABC ，AB =6，BC =4，BB 1=2，=，AE =2EB ，且DE ∥平面BCC 1B 1．（1）求线段AC 的长；（2）求三棱锥C -A 1B 1C 1的体积．A 1C 1M 13→→19．（17分）已知椭圆C ：+=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为，经过点F 1且倾斜角为θ（0＜θ＜）的直线l 与椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在x 轴上方），△ABF 2的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面AF 1F 2）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面BF 1F 2）互相垂直．（i ）若θ=，求异面直线AF 1和BF 2所成角的余弦值；（ii ）是否存在θ（0＜θ＜），使得△ABF 2折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．x 2a 2y 2b 212π2π3π21516。

江苏省苏州市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷

江苏省苏州市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（）A．B．C．D．第(2)题已知等比数列中，，则公比为（）A．B．C．D．第(3)题已知椭圆的左、右焦点分别为是上的点，且在第一象限，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，若，则的离心率为（）A．B．C．D．第(4)题如图，正方体的棱长为3，点P是平面内的动点，M，N分别为，的中点，若直线BP与MN所成的角为，且，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（）A．B．C．D．第(5)题为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（）A．43.5分钟B．45.5分钟C．47.5分钟D．49.5分钟第(6)题若，且，则下列不等式中，恒成立的是A．B．C．D．第(7)题的展开式中的系数为（）A．10B．5C．D．1第(8)题泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（）A．f（0）＝0B．f(x)是R上的奇函数C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6D．不等式的解集为第(2)题已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则（）A．B．C ．当时，最小D．的最小值为第(3)题已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，，，且，则下列结论正确的是______．（填所有正确结论的序号）①；②；③；④．第(2)题在的展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）第(3)题若，，，则在上投影向量的模为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题的内角的对边分别为，已知，且的面积.(1)求C；(2)若内一点满足，，求．第(2)题为了保障学生的饮食安全和健康，学校对饭堂硬件和菜品均进行了改造升级，改造升级后的饭堂菜品受到了很多学生的欢迎，因此在学校饭堂就餐成为了很多学生的就餐选择.现将一周内在饭堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢饭堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢饭堂就餐”.学校为了解学生饭堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：性别饭堂就餐合计喜欢饭堂就餐不喜欢饭堂就餐男生401050女生203050合计6040100(1)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢饭堂就餐是否与性别有关.(2)该校小林同学逢星期三和星期五都在学校饭堂就餐，且星期三会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期三选择了①号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为0.8；若星期三选择了②号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为，求小林同学星期五选择②号套餐的概率.(3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢饭堂就餐”的人数为，事件“”的概率为，求使取得最大值时的值.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828第(3)题已知的角的对边分别为a，b，c，满足．(1)求；(2)从下列条件中：①；②中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．第(4)题已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点．(1)求曲线的普通方程；(2)若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角．第(5)题如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，.(1)证明：平面平面ABCD；(2)求点A到平面SBC的距离.。

江苏省连云港市2022届高三下学期高考前模拟(二)数学试题

一、单选题二、多选题1. 如图，在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值等于（）A．B．C．D ．02. 某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（）A ．22B ．27C ．32D ．373.若，，，则（）A．B．C ．·D．4. 下列选项中，表示的是同一函数的是（）A．B．C．D．5.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其长轴长为4，焦距为2，则的方程为（）A．B ．或C．D ．或6.在的展开式中常数项为（）A ．721B ．-61C ．181D ．-597. 已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于（）A ．6B ．2C．D．8. 已知,则的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．19.已知函数，若，则（）A ．为偶函数B ．在上为增函数C．D．江苏省连云港市2022届高三下学期高考前模拟(二)数学试题江苏省连云港市2022届高三下学期高考前模拟(二)数学试题三、填空题四、解答题10. 已知O 为坐标原点，点F 为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C 于A ，B 两点（不与P 点重合），则以下说法正确的是（）A．B ．存在实数，使得C ．若，则D ．若直线PA 与PB的倾斜角互补，则11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C ．函数在单调递减D ．该图象向右平移个单位可得的图象12. 设复数ω＝，则1+ω＝（）A ．ω2B ．ω2C．D．13. 是虚数单位，则的值为_______.14.已知数列的前项和为，且满足，，，记，数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围为__________．15. 在△ABC 中，AB ＝，BC ＝1，∠C＝，则AC ＝__．16.已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．17.设为等比数列的前项和，已知成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. 2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公园之一的泉湖公园正式开园.元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放.现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？愿意不愿意总计男生女生总计（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为，记甲通过的关数为，求的分布列和数学期望.参考公式与数据：0.10.050.0250.012.7063.841 5.024 6.635.19. 筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．(1)求到平面的距离；(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20. 2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x123456收入y（百万元） 6.68.616.121.633.041.0(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位）(3)从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：3.5021.15 2.8517.70125.35 6.734.5714.30其中，设（i=1，2，3，4，5，6）.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.21. 设函数，，为的导函数.（1）若，，求的值；（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值.。

江苏省苏州市(新版)2024高考数学统编版(五四制)模拟(提分卷)完整试卷

江苏省苏州市（新版）2024高考数学统编版（五四制）模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数（为自然对数的底数，），，分别为函数的极大值点和极小值点，若恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的所有极值点为，且函数在内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对（）A．只有2对B．只有3对C．只有4对D．有无数对第(3)题在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则 A．B．C．D．第(4)题计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A．B．C．D．第(5)题已知实数满足，则有（）A．最小值B．最大值C．最小值2D．最大值2第(6)题五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A．B．C．D．第(7)题由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A．210个B．300个C．464个D．600个第(8)题2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（）A．36B．24C．18D．42二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知,，下列说法正确的是（）A．存在使得是奇函数B．任意､的图象是中心对称图形C．若为的两个极值点，则D．若在上单调，则第(2)题在正方体中，分别为的中点，则以下结论正确的是（）A．直线与平面平行B．直线与直线垂直C．平面截正方体所得的截面面积为D．四面体的体积为第(3)题已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（）A．B．C．1D．2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，则__________．第(2)题某厂在生产甲产品的过程中，产量（吨）与生产能耗（吨）的对应数据如下表：根据最小二乘法求得回归直线方程为．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为__________吨．第(3)题函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，与轴交于点，为坐标原点.(1)证明：；(2)若，求面积取得最大值时椭圆的方程.第(2)题数列的前项和记为，已知，且对，点都在函数图象上．(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：．第(3)题如图，在四棱锥中，底面，，，，M为线段上一点，，N为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．第(4)题已知函数在区间上存在两个极值点，．(1)求实数a的取值范围；(2)若，求证：．第(5)题如图，在中，内角所对的边分别为，.(1)求角；(2)若，，求四边形面积的最大值.。

江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题

一、单选题1.设则“ ”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知，，，则（）A．B．C．D．3. 圆上到直线距离为1的点恰有一个，则（）A ．3B ．8C ．3或D ．或84. 已知集合，，则（）A．B．C．D．5. 将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．6. 复数是纯虚数的充分不必要条件是（）A ．且B．C ．且D．7.已知集合，，则（）A．B．C．D．8. 若，是z 的共轭复数，则（）A ．-2B ．0C．D ．29. 如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为1的正三角形，圆锥表面上的点M ，N 在正视图上的对应点分别是A 、B ．则在此圆锥的侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A ．B ．2C．D ．110.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论：①是的一个解析式；江苏省新高考2023届高三下学期二模模拟数学试题二、多选题②是最小正周期为的奇函数；③的单调递减区间为，；④直线是图象的一条对称轴.其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411.已知等差数列满足，则不可能取的值是（）A．B．C．D．12. 某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．13.设向量，满足，，则（）A ．2B．C．D．14. 曲线表示（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆15. 已知复数z 满足，则（）A ．1B．C．D ．516.已知集合，则集合中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．417. 四叶草曲线是数学中的一种曲线，某方程为，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线（如图），在几何学、数学、物理学等领域中有广泛的应用.例如，它可以用于制作精美的图案、绘制函数图象、描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象，给出如下4条性质，其中错误的是（）A ．四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数；B ．曲线上两点之间的最大距离为；C ．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）；D．四个叶片围成的区域面积小于.18. 等腰梯形的上下底边之比为，若绕该梯形的对称轴旋转一周所得几何体的表面积为，则该梯形的周长可能为（）A．B ．8C．D ．1619.如图，菱形边长为2，，E 为边AB 的中点.将沿DE 折起，使A到，且平面平面，连接，.则下列结论中正确的是（）三、填空题A．B ．四面体的外接球表面积为C ．BC与所成角的余弦值为D ．直线与平面所成角的正弦值为20.已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（）A．B．C．D．21. 甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B 表示取出的球是红球的事件，则（）A ．B与相互独立B．，，两两互斥C．D．22.设复数，（i 为虚数单位），则下列结论正确的为（）A ．是纯虚数B ．对应的点位于第二象限C．D．23. 已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（）A ．或B．圆与抛物线的准线相切C ．在抛物线上存在关于直线对称的两点D ．线段的垂直平分线与抛物线交于，则有24. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．B．C ．点是的一个对称中心D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称四、解答题25. 若命题“，”为假命题，则的取值范围为______.26. 在几何体中，是正三角形，平面平面，且，，则的外接球的表面积等于__________．27.已知函数的定义域为R ，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．28. 已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影是_________．29. 过点作圆的切线方程是__________．30. 已知函数，，若对，，使得，则实数的取值范围为______.31. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，双曲线的一条渐近线被抛物线截得的弦为，为坐标原点，若为直角三角形，则该双曲线的离心率等于_______．32.在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.33. ChatGPT 是由人工智能研究实验室OpenAI 于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT 的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT 时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT 的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT 的回答被采纳的概率为50%.(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT 的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，（i ）求ChatGPT 的回答被采纳的概率；（ii ）若已知ChatGPT 的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.34.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.35. 化简：．36. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；五、解答题(2)若为等边三角形，求面积的范围.37. 已知函数f (t )=（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．38. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.39. 某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数．满分为100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本．发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）算出第三组的频数．并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）40. “城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间（x 分钟）68101214等候人数（y 人）1518202423(1)根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数.附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数； .41.艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒病毒引起，它把人体免疫系统中最重要的CD 4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：年份20112012201320142015201620172018年份代码x12345678感染者人数单位：万人85请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；建立y 关于x 的回归方程系数精确到，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：；，，，参考公式：相关系数，回归方程中，，．42. 某省参加2021年普通高考统考报名的所有考生均可选考英语口试科目，考生自愿参加，不作为统一要求.考生卷面成绩采用百分制.某市从参加高三英语口语考试的1000名学生中随机抽取100名学生，将其英语口试成绩（均为整数）分成六组，…后得到如下部分频率分布直方图，已知第二组与第三组的频数之和等于第四组的频数.六、解答题（1）求频率分布直方图中未画出矩形的总面积；（2）预估该市本次参加高三英语口语考试的1000名学生中成绩处于的人数；（3）用分层抽样的方法在高分（不低于80分）段的学生中抽取一个容量为12的样本，将该样本看成一个总体，再从中任取3人，记这3人中成绩低于90分的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.43. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．44.年月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一人，高二人，高三人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取名志愿者，参加为期天的第一期志愿活动．（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取人去粘贴宣传标语，设这人中含有高二学生人，求随机变量的分布列；（3）食堂每天约有人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前天剩菜剩饭的重量为：后天剩菜剩饭的重量为：借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．45.已知数列的前项．(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：．46.如图所示三棱柱中，平面，四边形为平行四边形，.(1)若,求证：平面；(2)若与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.47. 如图，扇形AOB的半径为2，圆心角∠AOB＝120°．PO⊥平面AOB，PO=，点C为弧AB上一点，点M在线段PB上，BM＝2MP，且PA平面MOC，AB与OC相交于点N．(1)求证：平面MOC⊥平面POB；(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值．48. 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形，且，．(1)若F为BC的中点，求证：平面ACE；(2)若，求三棱锥的体积．49. 已知椭圆：（）的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于A，两点，直线，分别交轴于，两点，点，若，，求证：为定值．50. 已知抛物线：，过点作x轴的垂线交抛物线于G，H两点，且（为坐标原点）.七、解答题(1)求p ；(2)过任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，直线AR交抛物线于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.51. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A 充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得.A 充电桩投资金额x /万元3467910所获利润y /百万元1.5234.567(1)已知可用一元线性回归模型拟合y 与x 的关系，求其经验回归方程；(2)若规定所获利润y 与投资金额x 的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y 与投资金额x 的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y 与投资金额x的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X 表示记分之和，求X 的分布列及数学期望.附：.52. 村民把土地流转给农村经济合作社后，部分村民又成为该合作社职工.下表是某地村民成为合作社职工，再经过职业培训后，个人年收入是否超过10万元的人数抽样统计：年收入超过10万元年收入不超过10万元合计男45550女7525100合计12030150(1)是否有99%的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关？(2)根据合同工期要求，合作社要完成A ，B ，C 三种互不影响的产品加工，拟对至少完成其中两种产品加工的职工进行奖励（每个职工都有加工这三种产品的任务），若每人完成A ，B ，C 中任何一种产品加工任务的概率都是0.8，求某职工获奖的概率（结果精确到0.1）.附①参考公式：.②检验临界值表：0.100.0100.0012.7066.63510.82853. 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时）.又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.（1）将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为，，…，，，完成下图的频率分布直方图；（2）以（1）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；（3）以（1）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人.请完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.附：（）.54. 一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且，，米，如图所示：(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；(2)若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球．已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段上的点处截住足球，求此时线段的长．55. 为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；(2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；(3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．56. 某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品八、解答题样本数量（件）30506060(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望;(3)为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小.（请直接写出结论）57. 某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场（如图），现有50米长的铁丝网，如果用它来围成这个储料场，那么长和宽各是多少时，这个储料场的面积最大？并求出这个最大的面积.58. 某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行了测试（满分100分），从中随机抽取50名学生的成绩，并将其分成以下6组：，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值；(2)试估计全校学生成绩的平均数和中位数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）59. 已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程．(2)设为椭圆的左，右顶点，直线过点，且与椭圆交于点．若直线斜率之和为．求直线的方程．60. 1．从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知数列的前项和为，数列是正项等比数列，且，，，___．(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．61. 已知函数.(1)判断的导函数在上零点的个数，并说明理由；(2)证明：当时，.注：.62.已知数列的前n项和满足．(1)写出数列的前三项；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对任意的整数，有．。