河海大学研究生数值分析复习题

合集下载

河海大学硕士2002级数值分析考试试题1

硕士2002级数值分析考试试题2003年1月12日专业学号姓名一、（14分）已知x ex f -=)(的下列数据（1）用抛物插值计算2.0-e 的近似值，已知2.0-e 的精确值为0.81873075……,指出抛物插值所得近似值的有效数字的位数；（2）试求x ex f -=)(的二次Newton 插值多项式。

二、（10分）求211)(xx f +=在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。

三、（14分）（1）写出数值积分梯形法的步长逐次分半算法（梯形法的递推化公式），并用Romberg 算法计算dx x⎰311的近似值（要求二分3次，结果保留五位小数）；（2）确定参数a ，使求积公式)](')0('[121)]()0([)(20h f f h h f f ah dx x f h-++≈⎰ 的代数精度尽量高，并指出构造出的求积公式所具有的代数精度。

四、（14分）（1）用Gauss 列主元消去法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++-6557710462332121321x x x x x x x x （2）用追赶法求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛19158341131121114321x x x x五、（12分）（1）设A 为对称正定阵，其最大特征值为1λ，证明当α满足0<α<12λ时，迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α收敛；（2）给定线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23122121x x x x 建立收敛的Jacobi 和Gauss-seidel 迭代公式，并指出该迭代公式收敛的理由。

六、（12分）（1）应用Newton 法于方程03=-a x 导出求3a 的迭代格式；（2）讨论该迭代格式的局部收敛性及收敛阶；（3）取初值x 0=12，用Newton 迭代法求32003的近似值，要求迭代两步，并指出该近似值有几位有效数字。

数值分析第二章复习与思考题

第二章复习与思考题1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：若n 次多项式()),,1,0(n j x l j =在1+n 个节点n x x x <<< 10上满足条件(),,,1,0,,,0,,1n k j j k j k x l k j =⎩⎨⎧≠==则称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10 为节点n x x x ,,,10 上的n 次拉格朗日插值基函数.以()x l k 为例，由()x l k 所满足的条件以及()x l k 为n 次多项式，可设()()()()()n k k k x x x x x x x x A x l ----=+- 110，其中A 为常数，利用()1=k k x l 得()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+- 1101，故()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+- 1101，即()()()()()()()()∏≠=+-+---=--------=n kj j jk j n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 0110110)( .对于()),,1,0(n i x l i =，有()n k xx l x ni ki k i ,,1,00==∑=，特别当0=k 时，有()∑==ni i x l 01.2.什么是牛顿基函数？它与单项式基{}nxx ,,,1 有何不同？答：称()()()(){}10100,,,,1------n x x x x x x x x x x 为节点n x x x ,,,10 上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点n x x x ,,,10 上的n 次牛顿插值多项式()x P n 可以表示为()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10 ==.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如()()()()k k k k x x x x a x P x P --+=++ 011,其中1+k a 是节点110,,,+k x x x 上的1+k 阶差商，这一点要比使用单项式基{}nx x ,,,1 方便得多.3.什么是函数的n 阶均差？它有何重要性质？答：称[]()()000,x x x f x f x x f k k k --=为函数()x f 关于点k x x ,0的一阶均差，[][][]110010,,,,x x x x f x x f x x x f k k k --=为()x f 的二阶均差. 一般地，称[][][]11102010,,,,,,,,-----=n n n n n n x x x x x f x x x f x x x f 为()x f 的n 阶均差.均差具有如下基本性质：(1) n 阶均差可以表示为函数值()()()n x f x f x f ,,,10 的线性组合，即[]()()()()()∑=+-----=nj n j j j j j jj n x x x x x x x xx f x x x f 011010,, ,该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.(2) [][][]01102110,,,,,,,,x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=- .(3) 若()x f 在[]b a ,上存在n 阶导数，且节点[]b a x x x n ,,,,10∈ ，则n 阶均差与n 阶导数的关系为[]()()!,,10n f x x x f n n ξ= ，[]b a ,∈ξ. 4.写出1+n 个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？答：给定区间[]b a ,上1+n 个点b x x x a n ≤<<<≤ 10上的函数值()),,1,0(n i x f y i i ==，则这1+n 个节点上的拉格朗日插值多项式为()()∑==nk k k n x l y x L 0,其中()n k x x x x x l n kj j jk jk ,,1,0,0 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∏≠=. 这1+n 个节点上的牛顿插值多项式为()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ,其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10 ==为()x f 在点k x x x ,,,10 上的k 阶均差.由插值多项式的唯一性，()x L n 与()x P n 是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点.5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组y Ax =，其中系数矩阵A 与使用的基函数有关.y 包含的是要满足的函数值()Tn y y y ,,,10 .用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵A 中非零元素的分布.(1) 单项式基底；(2) 拉格朗日基底；(3) 牛顿基底.答：(1) 若使用单项式基底，则设()nn n x a x a a x P +++= 10，其中n a a a ,,,10 为待定系数，利用插值条件，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n nn nn y x a x a a y x a x a a y x a x a a 101111000010，因此，求解y Ax =的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n nx x x x x x A 1111100为范德蒙德矩阵.(2) 若使用拉格朗日基底，则设()()()()x l a x l a x l a x L n n n +++= 1100，其中()x l k 为拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n n n n n n y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a 11001111110000011000，由拉格朗日插值基函数性质，求解y Ax =的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 A 为单位矩阵.(3) 若使用牛顿基底，则设()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ，由插值条件，有()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-+=--++-+=--++-+---nn n n n n n n n n y x x x x a x x a a y x x x x a x x a a y x x x x a x x a a 10010111010110010000010 即()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-+=-+=-nn n n n n y x x x x a x x a a y x x a a y a 100101011000 故求解y Ax =的系数矩阵A 为()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=-110100120202011111n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx A为下三角矩阵.6.用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序.答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.7.给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？答：设()()x fn 在[]b a ,上连续，()()x fn 1+在()b a ,内存在，节点b x x x a n ≤<<<≤ 10，()x L n 是满足条件()n j y x L j j n ,,1,0, ==的插值多项式，则对任何[]b a x ,∈，插值余项()()()()())(!111x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ，这里()b a ,∈ξ且与x 有关，()()()()n n x x x x x x x ---=+ 101ω.若有()()11max ++≤≤=n n bx a M x f，则()x L n 逼近()x f 的截断误差()()()x n M x R n n n 11!1+++≤ω.8.埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值多项式？答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等.称()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x f x P 00000!-++-'+= 为()x f 在点0x 的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为()()()()n k x f x P k k n ,,1,0,00 ==，泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点0x 处给出1+n 个插值条件得到的n 次埃尔米特插值多项式.9.为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？答：对于任意的插值结点，当∞→n 时，()x L n 不一定收敛于()x f ，如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意.分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象.10.三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由.答：三次样条插值要求插值函数()[]b a C x S ,2∈，且在每个小区间[]1,+j j x x 上是三次多项式，插值条件为()n j y x S j j ,,1,0, ==.三次分段埃尔米特插值多项式()x I h 是插值区间[]b a ,上的分段三次多项式，且满足()[]b a C x I h ,1∈，插值条件为()()k k h x f x I =，()()),,1,0(,n k x f x I k k h='='. 分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样条插值更优越一些.11.确定1+n 个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答：由于三次样条函数()x S 在每个小区间上是三次多项式，所以在每个小区间[]1,+j j x x 上要确定4个待定参数，1+n 个节点共有n 个小区间，故应确定n 4个参数，而根据插值条件，只有24-n 个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间[]b a ,的端点0x a =，n x b =上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种： (1) 已知两端的一阶导数值，即()00f x S '='，()n n f x S '='.(2) 已知两端的二阶导数值，即()00f x S ''=''，()n n f x S ''='',特殊情况为自然边界条件()00=''x S ，()0=''n x S .(3) 当()x f 是以0x x n -为周期的周期函数时，要求()x S 也是周期函数，这时边界条件就满足()()00-=+n x S x S ，()()000-'=+'n x S x S ，()()000-''=+''n x S x S这时()x S 称为周期样条函数.12.判断下列命题是否正确？(1) 对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多.(2) 如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的.(3) ()),,1,0(n i x l i =是关于节点),,1,0(n i x i =的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于n 的多项式()x P 都有()()()x P x P x l ini i=∑=0(4) 当()x f 为连续函数，节点),,1,0(n i x i =为等距节点，构造拉格朗日插值多项式()x L n ，则n 越大()x L n 越接近()x f .(5) 同上题，若构造三次样条插值函数()x S n ，则n 越大得到的三次样条函数()x S n 越接近()x f .(6) 高次拉格朗日插值是很常用的.(7) 函数()x f 的牛顿插值多项式()x P n , 如果()x f 的各阶导数均存在，则当),,1,0(0n i x x i =→时，()x P n 就是()x f 在0x 点的泰勒多项式.答：(1) 对.(2) 错.1+n 个节点上的拉格朗日插值和牛顿插值就是表示形式不同的两种插值多项式. (3) 对.(4) 错.当∞→n 时，()x L n 并一定收敛到()x f .(5) 对.(6) 错.高次拉格朗日插值不一定具有收敛性，因而并不常用. (7) 对.。

数值分析期末复习题答案

数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。

答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。

例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。

2. 说明数值微分与数值积分的区别。

答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。

数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。

三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。

答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。

具体计算过程略。

2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。

答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。

具体计算过程略。

四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。

答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。

舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。

控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。

五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。

数值分析练习题加答案(一)

数值分析期末考试一、设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。

因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分）又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。

二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。

其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商二阶差商三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。

研究生考试数值分析试题

研究⽣考试数值分析试题研究⽣2002级数值分析⼀（12分）、对于积分=+1,2,1,0,999n dx x x n。

（1）试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上⾯算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。

⼆（12分）、解⽅程组= 00001.8800001.626221x x 和?=00002.8800001.626221x x ，就所观察到的现象进⾏分析。

三（12分）、设⽅程组=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ；（1）适当调整⽅程的排列顺序，使得⽤Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛？说明收敛原因。

（2）取初始向量()()Tx 0,0,00=，⽤Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x，并求其()()k k x x-+1误差。

四（12分）、（1）已知函数()4xe xf =，在[0,1]内三点0，1/2，1的函数值，求其⼆次插值的余项；（2）三个节点如何安排能使其余项达最⼩，此时⼈余项为多少？五（12分）、对于⽅程()02ln =+-x x ，若求［-1.9，-1］内的根，分别选取迭代⽅程()2ln +=x x 和2-=x e x ，它们的收敛性如何？再写出⽜顿迭代公式。

六（10分）、设()?=>+-='100,5y x x y y ，解析解xe x y -+-=25262515，分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ，利⽤Euler ⽅法计算得y(10)的近似值分别为1.96，1.96，5.2851，142.8863，对此现象进⾏分析。

七（10分）、设()x e x f =，分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ，⽤中⼼差商公式计算()0f '的近似值并求出误差，对结果作分析⽐较。

⼋（10分）、求不超过2次的多项式()x P 2，使其满⾜条件：()21=f ，()32=f ，()12='f ，并写出其误差估计。

河海大学数学分析期末复习要点

期末复习要点
一、证明题：
1.掌握证明根的存在性与唯一性的方法；
2.会判断一个函数是否满足微分中值定理的条件；会构造辅助函数证明相关命题；
3.利用一阶Taylor公式证明相关问题；
4.掌握证明不等式的一系列方法（如利用单调性、Lagrange定理）；
5.利用换元法证明定积分的等式。

二、掌握求极限的若干方法：
1.运用极限的四则运算法则；
2.利用两个重要极限；
3.利用等价无穷小；
4.利用无穷小的运算；
5.利用L’hospita法则；
6.利用定积分求和的极限。

三、计算题
1.会求函数的连续区间，判断间断点及类型。

2.掌握两个函数的阶的比较方法
3.会求函数的最大（小）值；
4.会求函数的单调区间与极值；凸凹区间与拐点；
5.会求变上限函数的导数，掌握与此相关的求极限等问题；
6.会求二阶的Lagrange型余项的Maclaurin公式；
7.会求曲线的渐近线；
8.掌握换元法与分部积分法求不定积分；
9.掌握定积分的换元法的四个计算技巧；
10.会判断简单的广义积分的收敛与发散；
11.利用定积分求直角坐标系的面积；会求旋转体的体积。

数值分析研究生复习题例题

迭代格式发散。
11
-1
2 -1
-2
-1/3
43
2
4/3
三次Newton插值多项式为
三阶差商 1/3
1
1
N3(x) 3-(x 1) 3 (x 1)(x 1) 3 (x 1)(x 1)(x 2)
或用 Doolittle 分解法
例7:用矩阵的直接三角分解法解方程组
2 4 6 x1 3
4
9
2
x2
5
1 1 3 x3 4
例5设Ax b的系数矩阵
9 3 2 A 1 8 4
3 2 6
分别写出解方程组Ax b的Jacobi、Gauss Seidel和超松弛迭代公式(=1.05)，并判断解Ax b的Jacobi迭代法
和Gauss Seidel迭代法的收敛性。
解：迭代法略. 因为 | a11 | 9 | 2 | | 3 |，| a22 | 8 | 1 | | 4 |，
| a33 | 6 | 3 | | 2 | 即 A是严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代法和 Gauss Seidel迭代法收敛。
例 6 已知x=-1, 1, 2, 4对应的函数值为y=3, 1, -1, 3，
作三次Newton插值多项式.
• 解首先构造差商表
xi f(xi) 一阶差商二阶差商 -1 3
13
2 4 6 1 0 0 2 4 6
解：
4
9
2
2
1
0
0
1
10
1 1 3
1
1
1
0
0
10
2
(1)解方程组
（2）解方程组
1
2
0 1

数值分析复习题答案

数值分析复习题答案数值分析复习题答案数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科。

在实际问题中，我们经常需要通过数值计算方法来求解数学模型，这就需要我们掌握数值分析的基本概念和方法。

下面是一些数值分析复习题的答案，希望能对你的复习有所帮助。

一、差分法与数值微分1. 差分法是一种数值计算方法，通过计算函数在一点的导数来近似计算函数在该点的值。

常用的差分法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。

2. 前向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h，其中h为步长。

3. 后向差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h，其中h为步长。

4. 中心差分法的近似公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)，其中h为步长。

5. 数值微分是使用差分法来近似计算函数的导数。

通过选取合适的步长，可以使数值微分的误差最小化。

二、插值法与数值积分1. 插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。

常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

2. 拉格朗日插值法通过构造一个多项式来逼近已知数据点，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。

3. 牛顿插值法是利用差商的概念来构造一个多项式，然后利用该多项式来估计未知数据点的值。

4. 数值积分是一种通过数值计算来近似计算函数的定积分。

常用的数值积分方法有梯形法则和辛普森法则。

5. 梯形法则通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形面积来近似计算积分。

6. 辛普森法则是在梯形法则的基础上进一步改进的方法，它使用抛物线来逼近函数的曲线，从而提高了积分的精度。

三、数值方程求解1. 数值方程求解是通过数值计算方法来求解非线性方程或线性方程组的方法。

2. 常用的数值方程求解方法有二分法、牛顿法和高斯消元法。

3. 二分法是一种通过不断缩小区间范围来逼近方程的根的方法。

河海大学硕士数值分析试卷08~09

1. 填空(10分,每空2分)1) 为了减少运算次数,应将表达式113141817162345---++x x x x x 改写为 .为了减少舍入误差的影响,应将表达式20002001-改写为 .2) 用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为 .3) 在高斯顺序消去法中,)1(-k kk a 称为第k 步主元.为使消去法得以顺利进行,必须 .2. 选择题(10分,每题2分)(1)设有求方程1=xxe 根的迭代公式kx k ex -+=1，取初值5.00=x ，则迭代公式A. 发散B. 敛散不定C. 收敛D. 不确定 (2)辛普森(Simpson)公式)]()2(4)([6)(b f ba f a f ab dx x f ba+++-≈⎰可由 A. 分段线性插值导出 B. 抛物插值导出 C. 线性插值导出 D. 分段抛物型插值导出(3)矩阵A 满足什么条件时，LR A =且分解唯一（L 是单位下三角阵，R 是上三角阵）A. 无限制B. 对称C. 可逆D. 严格对角占优 (4)为什么要把解常微分方程的欧拉(Euler)方法发展为改进的欧拉方法？A. 提高精度B. 便于计算C. 提高精度和便于计算D. 稳定性需要 (5) 当0)(=x f 有m 重根时，牛顿(Newton)迭代公式中的迭代函数应为 A. )()()(x f x f x x '-=ϕ B. )()()(x f x f m x x '-=ϕ C. )()()(x f m x f x x '-=ϕ D. )()()(x f x f mx x '-=ϕ4. (10分)选取求积公式中的常数a ，使)]()0([)]()0([2)(0h f f a h f f hdx x f h'-'++≈⎰的代数精度尽量高。

试指出最高代数精度，并估计误差。

数值分析复习题

一、判断题1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。

2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。

3. 设P(x)和Q(x)都是n 次多项式，如果在n +1 个不同的节点x i 上都有P(x i )＝Q(x i )，则P(x)≡Q(x) 。

4. 取节点01231, 0, 2 ,4x x x x =-===作2()f x x =的插值多项式()p x ，则()p x 次数为2，插值基函数的次数为3。

5. 插值多项式严格通过所有的节点(x i ，y i )。

6. 若k<=n ，P(x)和Q(x)分别是 x k的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则P(x)≡Q(x)≡x k。

7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。

8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。

9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。

10. 求积公式：⎰30)(dx x f ≈。

f f f f 是插值型的)]3()2(3)1(3)0([83+++11. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。

12. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的单根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。

13. 高斯型求积公式是插值型的。

14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。

15. 显式的亚当姆斯公式：+-=+-()n n n n h y y f f 1132是单步法。

16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。

17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差3111()()n n n T y x y O h +++=-=，则该方法是3阶的。

18. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，如其迭代过程()1k k x x ϕ+=发散，则方程()0f x = 的无解。

19. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。

研究生《数值分析》试卷(带答案)

一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时：1110==⎰dx I 1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ. 解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1541532345203203203202210a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H 解得 5,3=-=b a因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈11)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -= 得得Gauss 点：,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I 七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k kk k kk k k k x x x x x x x x x 令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.解：由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c 37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛135152121137253125121211113112 即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .（注：原题中)(2h o 错误）解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n n n n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y 对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y 得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ，即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。

数值分析习题与答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知的相对误差满足，而，故即2.有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

1. 给定的数值表解：计（误差限，因误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知由式由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里8．使，显然，再令由9. 令称为第二类的表达式，并证明是［］上带权解：因10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数解得最小二乘拟合曲线为11.满足条件的插值多项式(2) ,).设为互异节点，＝( )，＝( ).(4) 设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝( )，＝( )答：（1）（2）（3）（4）习题1.解 6.13）对）求出，按式（）求得2. 用由（6.8）式估计误差，因，故3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。

数值分析考试卷及详细答案解答汇总

姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？（D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。

2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。

3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。

6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。

* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。

(完整)数值分析题库及答案,推荐文档

模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分，共30分)y f (X y)5.解初始值问题的改进的Euler 方法是 ________ 阶方法;y(X o ) y o5x-| 3X 2 0.1x 3 36 .求解线性代数方程组2x , 6X 2 0.7X 3 2的高斯一塞德尔迭代公式为X 1 2X 2 3.5x 3 1若取 X (0) (1. 1.1).则 X ⑴ ______________7.求方程Xf (X)根的牛顿迭代格式是 _______________ .&丨o (x). h(x).L . l n (X)是以整数点X o . X 1.L . X n .为节点的Lagrange 插值基函数，则nxj j (X k )= ----------------- .k 09.解方程组Ax b 的简单迭代格式X (k 1} Bx (k) g 收敛的充要条件是 ___________________ .10 .设f (-1)1. f (0)0. f (1) 1. f (2)5 ,则f (x)的三次牛顿插值多项式为 ___________________ ，其误差估计式为 _________________________ .二、综合题(每题10分，共60分)1. 求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足：p(1) 15,p(1) 20 , p (1) 30p(2) 57 , p(2) 72.112.构造代数精度最高的形式为 °xf(x)dx A )f (3)Af(1)的求积公式，并求出1 5 232.设A2 1 0 , x 41422，贝V A =——.，X 广 ----------- 3.已知y=f(x)的均差14flX 0.X 1.X 2]— , flX 1.X 2.X 3]3^5 , flX 2.X 3.X 4]39115，8Hx o .X 2.X 3]- 3,那么均差 f [X 4,X 2, X 3]=4.已知n=4时Newton — Cotes 求积公式的系数分别是：C 04)-,C i (4)9016C (4) .C 2 451有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.(差商)其代数精度.x k x k 13.用Newt on 法求方程x In x 2在区间(2,)内的根,要求 --------------- ----- 10X k25.用矩阵的直接三角分解法解方程组1 02 0X15 0 1 0 1 X 2 3 1 2 4 3 X 317 . 0 1 03 X 476试用数值积分法建立求解初值问题y f (: x ,y)的如下数值求解公式y(0) y o1 32 1 ⑷10. -x x -x, f ()( )(x 1)x(x 1)(x 2)/24( 1,2)6 6二、综合题y n 1y n 1hi (fn1 4fnf n 1)，其中f i f (x, %), i n 1, n, n 1.三、证明题(10分) 设对任意的x ，函数f (x)的导数f (x)都存在且0f (x) M ,对于满足0 —的任意，迭代格式X k 1 X k f (xj 均收敛于f (x) 0的根x *.M参考答案一、填空题91, 16 1. 5 ； 2. 8, 9 ; 3.； 4.1545才1)(3 3x 2k) 0.1x 3k))/5 6. x 2k1)(2 2x (k1) 0.7x 3k))/6 , x 3k1)(1 才1) 2x 2k ")*2/75.(0.02 , 0.22, 0.1543)7. x k 1X kX k f(X k ) . 8 1 f (X k )'X j . 9.(B) 1.p(x) 1520( x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(x 2) 5 4x 3x 2 2x 3 x 4其他方法：设 p(x) 15 20(x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(ax b)令 p(2)57 , p (2)72，求出 a 和 b.2•取f(x) 1,x ，令公式准确成立，得:5•解设1 02 0 11 020 1 0 1 l 21 1u22u 23 u 24 1 2 4 3l31 l321u33u340 1 0 3l 41l42 l 43 1u 44由矩阵乘法可求出U jj 和l ij1 1A 。

《数值分析》2018-2019学年第二学期期末考试A卷

河海大学2018-2019学年第二学期期末考试《数值分析》试题(A)卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四总分分数一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、n 阶方阵A 可作LU 分解的一个充分条件是A 为（）。

A.对角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵２、设n 阶方阵A 及单位阵E 满足0|3|=-A E ，则谱半径)(A ρ（）。

A.<3B.3≤C.>3D.3≥3、若迭代公式)(1k k x x ϕ=+是p 阶收敛，则=--+∞>-pkk k x x x x )(lim **1（）。

A.０B.p!C.)(*)(x p ϕ D.!/)(*)(p x p ϕ4、设)(x Ln 和)(x Nn 是相同的插值条件下关于)(x f 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（）。

（其中∏=-=nj jxx x w 0)()(）A.)(],...,,[)!1()(10)1(x w x x x f n f n n =++ξB.)()!1()()()()1(x w n f x Nn x f n +≠-+ξC.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n ≠-D.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n =-５、称函数)(x ε为［a,b ］上的三次样条函数，是指)(x ε满足条件（）。

A.为分段三次多项式且有二阶连续导数B.为分段三次多项式且有三阶连续导数C.为分段函数且有任意阶导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）１、若已知x 的相对误差为%1，则)(x f ＝10x 的相对误差为。

２、设1)(3-=x x f ，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为。

３、设有求积公式)31()31(10f A f A +-是插值型求积公式，则=0A ，=1A 。