晶格振动4PPT课件
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最新2019-三维晶格的振动-PPT课件
分布密度＝
1
b1 N1
b2 N2
b3 N3
N v0 (2 )3
V (2
)3
V 为晶体 的体积
从原子振动考查, q 的作用只在于确定不同原胞之间 振动位相的联系, 具体表现在格波解中的位相因子
ei R(l )q
如果 q 改变一个倒格子矢量 G n n 1 b 1 n 2 b 2 n 3 b 3 ,
由于边界条件允许的 q 分布密度为 V/(2π)³, 因此不同 q 的总数应当是
(倒 格 子 原 胞 体 积 ） V /(2)3 N
和晶体中包含的原胞数目相同. 对于每个 q 有 3 个
声学波, (3n－3) 个光学波, 所以不同的格波的总数是
N(33n3) 3nN
正好等于晶体 Nn 个原子的自由度。这表明, 上述的格波已概括了晶体的全部振动模
边界条件表示, 沿着 ai 方向, 原胞的标 数增加 Ni , 振动情况必须相同 (i=1,2,3)
边界条件要求
q N 1 a 1 h1 2 ,
x1
h1 N1
q N 2 a 2 h2 2 ,
x2
h2 N2
q N 3 a 3 h3 2 ,
q
指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面 波的形式, q 是其波数矢量
A1 (A1x, A1y, A1z), A2 (A2x, A2y, A2z), …可以是复数, 表示各原子的位移分量的振幅和位相可以有区别
上式实际上表示了三维晶格格波的一般形式
同样可证明, 代回运动方程后, 得到以 A1x , A1y , A1z , …, Anx , Any , Anz 为未知数的 3n 个线性齐次联立方程
第四章 晶格振动
2
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反 —— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
6 小结
一维双原子链的振动有以下主要特点
1) 相邻同类原子之间传递振动状态； 2) 波矢q取分离值，取值个数为原胞个数N； 3) 对应1个确定的波矢，有2支格波，共有2N支格波； 4) 格波布里渊区边界出现频隙； 5) 光学波与声学波，各有相应的频率范围，激发频 率不同，描述的原子振动状态不同。
声学波
min
0 0
max / 2a
min
2k / M
光学波
/ 2a 2 k / m
第五章 晶格振动
在上一章的讨论中把组成晶体的粒子看作是
处在平衡位置上的。但对于实际晶体却不确
切。实际晶体中的原子并不处于静止状态，
它们在平衡位置附近作微振动，而且由于晶
体内原子间存在着相互作用力，因此各个原
子的振动并不是孤立的，而是联系在一起的，
整个晶格可看作是一个互相耦合的振动系统，
这个系统的运动称为晶格振动。
色散关系：
k qa 2 sin m 2
q：波矢 k：表示弹性常数
q的可取值是分离的：
2 2 q l l Na L
l取任意整数
（二）一维双原子链的振动
引言 建立模型 建立运动方程 求解 讨论
1 引言
CsCl晶体
2 建立模型
两种原子m和M _( M > m)，系统有N个原胞 1 最近邻假设：只考虑最近邻异类原子之间的相互作用 力；
v
Y
v弹
2） 关于格波角频率
格波的角频率 ω 是波矢q的周
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反 —— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
6 小结
一维双原子链的振动有以下主要特点
1) 相邻同类原子之间传递振动状态； 2) 波矢q取分离值，取值个数为原胞个数N； 3) 对应1个确定的波矢，有2支格波，共有2N支格波； 4) 格波布里渊区边界出现频隙； 5) 光学波与声学波，各有相应的频率范围，激发频 率不同，描述的原子振动状态不同。
声学波
min
0 0
max / 2a
min
2k / M
光学波
/ 2a 2 k / m
第五章 晶格振动
在上一章的讨论中把组成晶体的粒子看作是
处在平衡位置上的。但对于实际晶体却不确
切。实际晶体中的原子并不处于静止状态，
它们在平衡位置附近作微振动，而且由于晶
体内原子间存在着相互作用力，因此各个原
子的振动并不是孤立的，而是联系在一起的，
整个晶格可看作是一个互相耦合的振动系统，
这个系统的运动称为晶格振动。
色散关系：
k qa 2 sin m 2
q：波矢 k：表示弹性常数
q的可取值是分离的：
2 2 q l l Na L
l取任意整数
（二）一维双原子链的振动
引言 建立模型 建立运动方程 求解 讨论
1 引言
CsCl晶体
2 建立模型
两种原子m和M _( M > m)，系统有N个原胞 1 最近邻假设：只考虑最近邻异类原子之间的相互作用 力；
v
Y
v弹
2） 关于格波角频率
格波的角频率 ω 是波矢q的周
第4章 晶格振动
(
2π
a
− q)sa − ω
t
same as k= − q
= A exp[i(2π s − qsa − ω t)] = A exp[i(− qsa − ω t)]
λ=4a/3
λ=4a/7
λ=4a
λ1 = 4a,
λ2
=
4a 3
,
λ3 =
4a 5
,
λ4
=
4a 7
,
k1
=
2π 4a
=
π 2a
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
k [(2π /a) m-1]
For a small k (ka<<1) Long wavelength limit
ω≈
4C M
ka 2
=
C M
a k =
Ca M/a
k=
Ca k
λ
= vk continuum elastic wave limit
ω2
=
2C M
(1− cos(ka)) =
2C M
2
sin
2
(
ka 2
)
ω=
4C M
sin
ka 2
Dispersion relation
When k =
4C
±
π
a
ω= M
: maximum
set the boundary of first BZ
ω [(4C/M)1/2 sec-1]
1.0
s第04章晶格振动PPT课件
在3r支色散关系中，当q→0时（长波）：
➢ 有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同， 这三支为声学波。长声学波描述了原胞质 心的振动。
➢ 其余(3r-3)支有有限的振动频率，为光学 波。长光学波描述原胞内原子之间的相对 运动。
波矢的取值和波矢空间
q的值由周期性边界条件确定：
u
Rl
N1a1
s
u
Rl s
u
Rl
N2a2
s
u
Rl s
代入 u
l s
A ei(q•Rl t ) sa
得到：
u
Rl
N3a3
s
u
Rl s
q • N1a1 2h1, q • N2a2 2h2 , q • N3a3 2h3
把波矢q表示为倒格子空间中的一 个矢量： q x1b1 x2b2 x3b3
光学波
在布里渊区边界 q
a
声学波： A
B
光学波： A 0
B
5、振动模式数（频率数）
波矢限定在第一布里渊区中 q
a
a
周期性边界条件下
q 2 l
Na
N l N
2
2
一维双原子链：
晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数
一个波矢对应2个不同的频率，共有2N个振动频 率，这2N个振动频率分为2支。
f
d
d
(un1 un )
→弹性力
一维原子链的振动模型：被一个个弹簧连接 起来的一串质量为m的球
第n个原子受到的作用力为：
f p (un p un )
p
p 1， 2， 3，
2、一维单原子链的运动方程
f p (xn p xn )
第四章 晶格振动优秀PPT
lkAkei[tRlkq]
将方程解代回3n个运动方程
—— 3n个线性齐次方程 m k2Akk'Ck q,k'Ak'
m in00
m a x /2 a 2 k /M
光学波
m in /2 a 2 k/m
m a x 0 2 k m M /m M
声学波
A B
2kcosqa
2km2
0
相邻异类原子一般朝同一方向振动
在长波极限：相邻原子同向振动，而且振幅 相同，它们的振动(波动)行为好象是同一类原 子。反映的是晶格的整体振动 。
光学波
A B
2kcosqa
2km2
0
相邻异类原子一般朝相反方向振动
q0
在长波极限：A/B
M/m,
mA+MB=0，
晶胞质心不动。晶体并非整体呈刚体，其中
的轻原子与重原子分别构成刚性结构，而且
两类原子永远反向振动。
与一维单原子链主要结论的比较
共同特点：色散关系中，角频率都为波矢的周 期函数，都有极值。波矢都只能取分离的值， 取值数目都为晶体原胞的个数。 不同之处：
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
2
k m
sin
qa 2
q0
a
k m
q
vq
v ka ，而Y ka， m a
m/a
u Aei[(n1)aqt] n1
格波
u Aei[(n1)aqt] n1
将方程解代回3n个运动方程
—— 3n个线性齐次方程 m k2Akk'Ck q,k'Ak'
m in00
m a x /2 a 2 k /M
光学波
m in /2 a 2 k/m
m a x 0 2 k m M /m M
声学波
A B
2kcosqa
2km2
0
相邻异类原子一般朝同一方向振动
在长波极限：相邻原子同向振动，而且振幅 相同，它们的振动(波动)行为好象是同一类原 子。反映的是晶格的整体振动 。
光学波
A B
2kcosqa
2km2
0
相邻异类原子一般朝相反方向振动
q0
在长波极限：A/B
M/m,
mA+MB=0，
晶胞质心不动。晶体并非整体呈刚体，其中
的轻原子与重原子分别构成刚性结构，而且
两类原子永远反向振动。
与一维单原子链主要结论的比较
共同特点：色散关系中，角频率都为波矢的周 期函数，都有极值。波矢都只能取分离的值， 取值数目都为晶体原胞的个数。 不同之处：
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
2
k m
sin
qa 2
q0
a
k m
q
vq
v ka ，而Y ka， m a
m/a
u Aei[(n1)aqt] n1
格波
u Aei[(n1)aqt] n1
晶格动力学讲稿PPT课件
i
3N
mi i
aijQ j
（2） （3）
T
1 2
3N i 1
• j1
Qi2
V
1 2
3N
2 i
Qi2
i 1
（4）
第26页/共68页
由分析力学的一般办法，由动能和势能可以直接写出拉格朗日函数
L T : V :
（5） （6）
:
Pi
L
•
•
Qi
（7）
的解为： 3N个相互无关的方程，各H简••Q正i 12坐3i标N1描P述i2 独 立i2的Q简i2 谐振动。其中任意简正坐标
（7）
u Ae qna表示第n个原子i振q动n的a位相因t 子。 n
整体上看，每个原子的振动位相各不相同，相邻的原子为相差为qa，因此（7）式代 表了一种全部原子都以同一频率，同一振幅。相邻原子的振动位相差均为qa的集体 振动模式——格波。因为是简谐近似，所以也称维简谐格波。
格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体振动模式格波——晶格振动的 简正模。
因为q介于
之间。
,
a a
2 l
a Na a
即因此N，只由取一Nl 个维不单N同原的子值组。成的一维晶格，q只能取N个不同的值。
2
2
l
第10页/共68页
q只对应一个格波。q取N个不同的值，对应N
个 ，因此，独立的格波函数为N。 晶格振动频率数目=晶体的自由度数。
3 一维双原子晶体的振动
作用力为 n n1
根据牛顿定理，得到第n个原子的运动方程为
n1 n
， n n1
（n6）1 n
••
m n n1 n n n1 n1 n1 2n
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布里渊散射谱
Diffuse X-Ray Scattering
X 射线漫散射
Inelastic neutron Scattering (INS) 非弹性中子散射
Ultrasonic methods
(US)
超声技术
Inelastic electron tunnelling Spectroscope （IETS)
X射线漫散射测出的Al晶体的色散曲线
需要说明的几点：
1. 角度θ通常不满足Bragg条件，因此监测器中测不到入射
2. 频率 0
背
，只检测到漂移后的频率，如前面图所示。违
3. Bragg条件的 X 射线散射类型称为漫散射。
4. 2定.，用X射线( q0测) 量1 0晶5 格振动的主要困难在于频率漂移难以确
X 射线用于测量声子能量太高的缺点，可以通过改用 能量低的多的可见光光源来实现。随着强度高、单色性好 的激光可见光源的出现，大大提高了光散射的灵敏度。
2.5eV
入射光能量虽然降低了很多，但波矢也降低了，和晶体
第一布里渊区半宽度相比又太小了： q 108cm1
的色散关系： j f (q)
X-射线被声子散射的示意图
振动着的晶格起着一组间距 等于λ的平面的作用，吸收q 声子和发射 q声子导致相同 的动量守恒。两个过程在检 测器内可以同时观察到，不 过它们的频率不同。
(q) 0 (q)
X-射线频率的频移 等于所含声子的频率。 正漂移相当于声子的 吸收，负漂移是声子 的发射。
由于 X 射线频率远大于声子频率：
014e 0V 0.0e3V
我们可以认为： 0,kk0
② q2k0sin2n c0sin
0
c n
k0
2θ是散射角。
n 是折射率。
处在 2θ方向的检测器测量到频率漂移后，根据此式即可 确定该声子（ω）相对应的 q 值。转动检测器，改变散 射角2θ，允许不同的声子进入图像，不断测量频率漂移， 即可给出一系列的 q 和ω（q）值，把这些点连接起来， 即是晶体的某支色散曲线。改变入射波进入晶体的方向， 即可测出不同支的色散曲线。
晶五格.规方振律法动是规固律体主微要观通结过构晶研格究振的动重谱要反内映容：，是固体物理实验
1六. 晶.的格核振心动内色容散之关一系。：（晶体 结 构j (q测) 定；晶格振动谱测定；
2七. 态.费面密米测度定：；缺g(陷观)测；f(等。)）
实验观测就围绕着这两条曲线的测 定进行,包括各种因素对它们的影响以及 声子的寿命等。主要通过辐射波和晶格 振动的相互作用来完成。
a
因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区心的声子 发生相互作用，涉及光学声子的称 Raman 散射，涉及声 学声子的称Brillouin散射。
非反射方向！！
上图中的没有发生频率变化的中心线不是被声子散射的， 而是样品中静态杂质引起的瑞利散射。漂移小的显然是声学声 子引起的布里渊散射，在长波阶段，声学声子的色散关系是：
Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 其中第2卷是测量方法。
由于多种原因，我国晶格振动的实验观测相对落后， 各种固体教材中介绍该内容相对较少，应该予以弥补。
一. 一般描述：
二. 从前面讨论中我们已经看到：晶格振动是影响固体 很多
三.性质的重要因素，而且只要 T≠0K，原子的热运动就是理 解
四.固体性质时不可忽视的因素。所以从实验上观测晶格振 动的
5. 因为 强度
。不过 X 光源普遍，且入射光光源
6. 大，特别是同步辐射光源的建立为晶格振动的研究带来 很
7. 多方便。
8. 3. 我国在这方面开展的工作尚X射不线多漫，散应射该见O引m起ar重书p视12。2-124
电磁波波谱图
X射线
可见光：400－700 nm
三.Raman 散射和 Brilouin 散射：
研究声子的 实验方法
见Phonons p7
其中最重要、最普遍的方法是：
Far- Infrared and
(FIR)
电 Infrared Spectroscopy (IR) 磁 Raman Spectroscopy (R) 波
Brillouin Spectroscopy (B)
远红外和红外光谱 喇曼光谱
2.4 晶格振动的实验研究
一. 一般描述 二. 非弹性X-射线散射 三. Raman 散射和Brillouin 散射 四. 远红外和红外吸收光谱 五. 非弹性中子散射
参考：黄昆 书 3.6 节, Kittel 8 版 4.5 节 P.Bruesch Phonons: Theory and Experiments
非弹性电子隧穿谱
几种辐射波的能量关系如下：
电磁波： k c c 是光速, 是圆频率。
电子或中子： 2 k 2 2m
中子质量是电子质量的 1836倍
声波：
vsq
辐射波照射晶体后，由于和晶格振动发生了能量交换， 吸收或者激发出一个声子而改变能量和方向。测出辐射波的 能量和方向的变化量，即可确定出一个声子的能量和波矢。
k k0 q
0 (q)
这种过程也可能由几个声子同时参与，但多数情形和一 个声子发生相互作用的几率要大的多，称为一级过程。
二. 非弹性X-射线散射： 三. 在晶体结构的实验研究中，我们已经讨论了 X射线衍
射花 四.样和结构之间的关系，关注的是入射波被晶体散射后方向
的变 五.化，实际上 X 射线是在同振动着的晶格发生作用，因此除
了 六.衍射现象外，电磁波还会和晶格发生能量的交换，入射波
①七.吸或线收者的k 发 射k 0一个q声子而发生能为和量区波和分矢波清用矢楚的， 变,这k化里，表电这示磁就，波是频X率射
八九..非弹散性射散前射0 后。服(从q)能量、动声量子守用恒定律, ：q 表示 。
电磁波散射前后频率和波矢变化的测量可以给出某一支声子
(q) vsq 代入②式后，有：
q2k0sin2n c0sin
vsq2n0vcs sin
为避免入射光的干扰，测量常常在是在垂直入射束的角度
下进行，即：2
2
。注意到： vs 105
0 c
所以，布里渊散射的频率漂移亦很小，测量也比较困难。注
意，布里渊散射测出的声速与通常测量的不同，这里的声波 不是由外部输入的，而是热激发的、固体中自然存在的。
Diffuse X-Ray Scattering
X 射线漫散射
Inelastic neutron Scattering (INS) 非弹性中子散射
Ultrasonic methods
(US)
超声技术
Inelastic electron tunnelling Spectroscope （IETS)
X射线漫散射测出的Al晶体的色散曲线
需要说明的几点：
1. 角度θ通常不满足Bragg条件，因此监测器中测不到入射
2. 频率 0
背
，只检测到漂移后的频率，如前面图所示。违
3. Bragg条件的 X 射线散射类型称为漫散射。
4. 2定.，用X射线( q0测) 量1 0晶5 格振动的主要困难在于频率漂移难以确
X 射线用于测量声子能量太高的缺点，可以通过改用 能量低的多的可见光光源来实现。随着强度高、单色性好 的激光可见光源的出现，大大提高了光散射的灵敏度。
2.5eV
入射光能量虽然降低了很多，但波矢也降低了，和晶体
第一布里渊区半宽度相比又太小了： q 108cm1
的色散关系： j f (q)
X-射线被声子散射的示意图
振动着的晶格起着一组间距 等于λ的平面的作用，吸收q 声子和发射 q声子导致相同 的动量守恒。两个过程在检 测器内可以同时观察到，不 过它们的频率不同。
(q) 0 (q)
X-射线频率的频移 等于所含声子的频率。 正漂移相当于声子的 吸收，负漂移是声子 的发射。
由于 X 射线频率远大于声子频率：
014e 0V 0.0e3V
我们可以认为： 0,kk0
② q2k0sin2n c0sin
0
c n
k0
2θ是散射角。
n 是折射率。
处在 2θ方向的检测器测量到频率漂移后，根据此式即可 确定该声子（ω）相对应的 q 值。转动检测器，改变散 射角2θ，允许不同的声子进入图像，不断测量频率漂移， 即可给出一系列的 q 和ω（q）值，把这些点连接起来， 即是晶体的某支色散曲线。改变入射波进入晶体的方向， 即可测出不同支的色散曲线。
晶五格.规方振律法动是规固律体主微要观通结过构晶研格究振的动重谱要反内映容：，是固体物理实验
1六. 晶.的格核振心动内色容散之关一系。：（晶体 结 构j (q测) 定；晶格振动谱测定；
2七. 态.费面密米测度定：；缺g(陷观)测；f(等。)）
实验观测就围绕着这两条曲线的测 定进行,包括各种因素对它们的影响以及 声子的寿命等。主要通过辐射波和晶格 振动的相互作用来完成。
a
因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区心的声子 发生相互作用，涉及光学声子的称 Raman 散射，涉及声 学声子的称Brillouin散射。
非反射方向！！
上图中的没有发生频率变化的中心线不是被声子散射的， 而是样品中静态杂质引起的瑞利散射。漂移小的显然是声学声 子引起的布里渊散射，在长波阶段，声学声子的色散关系是：
Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 其中第2卷是测量方法。
由于多种原因，我国晶格振动的实验观测相对落后， 各种固体教材中介绍该内容相对较少，应该予以弥补。
一. 一般描述：
二. 从前面讨论中我们已经看到：晶格振动是影响固体 很多
三.性质的重要因素，而且只要 T≠0K，原子的热运动就是理 解
四.固体性质时不可忽视的因素。所以从实验上观测晶格振 动的
5. 因为 强度
。不过 X 光源普遍，且入射光光源
6. 大，特别是同步辐射光源的建立为晶格振动的研究带来 很
7. 多方便。
8. 3. 我国在这方面开展的工作尚X射不线多漫，散应射该见O引m起ar重书p视12。2-124
电磁波波谱图
X射线
可见光：400－700 nm
三.Raman 散射和 Brilouin 散射：
研究声子的 实验方法
见Phonons p7
其中最重要、最普遍的方法是：
Far- Infrared and
(FIR)
电 Infrared Spectroscopy (IR) 磁 Raman Spectroscopy (R) 波
Brillouin Spectroscopy (B)
远红外和红外光谱 喇曼光谱
2.4 晶格振动的实验研究
一. 一般描述 二. 非弹性X-射线散射 三. Raman 散射和Brillouin 散射 四. 远红外和红外吸收光谱 五. 非弹性中子散射
参考：黄昆 书 3.6 节, Kittel 8 版 4.5 节 P.Bruesch Phonons: Theory and Experiments
非弹性电子隧穿谱
几种辐射波的能量关系如下：
电磁波： k c c 是光速, 是圆频率。
电子或中子： 2 k 2 2m
中子质量是电子质量的 1836倍
声波：
vsq
辐射波照射晶体后，由于和晶格振动发生了能量交换， 吸收或者激发出一个声子而改变能量和方向。测出辐射波的 能量和方向的变化量，即可确定出一个声子的能量和波矢。
k k0 q
0 (q)
这种过程也可能由几个声子同时参与，但多数情形和一 个声子发生相互作用的几率要大的多，称为一级过程。
二. 非弹性X-射线散射： 三. 在晶体结构的实验研究中，我们已经讨论了 X射线衍
射花 四.样和结构之间的关系，关注的是入射波被晶体散射后方向
的变 五.化，实际上 X 射线是在同振动着的晶格发生作用，因此除
了 六.衍射现象外，电磁波还会和晶格发生能量的交换，入射波
①七.吸或线收者的k 发 射k 0一个q声子而发生能为和量区波和分矢波清用矢楚的， 变,这k化里，表电这示磁就，波是频X率射
八九..非弹散性射散前射0 后。服(从q)能量、动声量子守用恒定律, ：q 表示 。
电磁波散射前后频率和波矢变化的测量可以给出某一支声子
(q) vsq 代入②式后，有：
q2k0sin2n c0sin
vsq2n0vcs sin
为避免入射光的干扰，测量常常在是在垂直入射束的角度
下进行，即：2
2
。注意到： vs 105
0 c
所以，布里渊散射的频率漂移亦很小，测量也比较困难。注
意，布里渊散射测出的声速与通常测量的不同，这里的声波 不是由外部输入的，而是热激发的、固体中自然存在的。