数学奥林匹克高中训练题(242)

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2020四套数学奥林匹克高中训练题及答案

数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x << (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x x g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面角B AP C --的余弦值是． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ．第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13．二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95- 三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++．四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．数学奥林匹克高中训练题（二）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A)． (A)a 21 (B)a1 (C)a (D)a2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20π<<x ，则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)． (A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,1 5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)． (A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈，若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称，且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点，则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bi a z z z 则ab 的最大值等于 18 ． 3．(训练题23)设 900<<α，若ααsin 1)60tan(31=-+ ，则α等于 3050o o 或． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d2 ． 5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy 中，有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ，则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n +-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数，且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集}01:{3=++∈=z z C z S 中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中．二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上，且A 在第一象限内），以及y ）轴正半轴上的一点P ，使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB 的方程．)2p y x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ，构造点列0P ，1P ， 2P ，使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置，而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置， ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈，有03P P n =，试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210，n b b b ≤≤≤< 210，且∑∑==≥n i i n i i b a 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤，当k i >时，有i i a b >.求证：∏∏==≥n i i n i ib a 11． 1。

数学奥林匹克高中训练题(20)及答案

数学奥林匹克高中训练题（20）第一试一、选择题（本题满分36分；每小题6分） 1．(训练题25)已知函数1x ay x a -=---的反函数的图象关于点(1,3)-成中心对称图形；则实数a 等于(A)．(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-42．(训练题25)我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称之为“优美椭圆”．设a by a x (12222=+＞b ＞0)为优美椭圆；,F A 分别是它的左焦点和右端点；B 是它的短轴的一个端点；则ABF ∠等于(C)．(A)60o(B)75o(C)90o(D)120o3．(训练题25)已知ABC ∆三边的长分别是,,a b c ；复数12,z z 满足1212,,z a z b z z c ==+=；那么复数21z z 一定是(C)． (A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数4．(训练题25)函数21522223411(1)6()1x x C x x P f x C C C ++-⋅-⋅=+++的最大值是(D)． (A)20 (B)10 (C)10- (D) 20-5．(训练题25)以O 为球心；4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于,,A B C 三点．已知4=∆BOC S ；16ABC S ∆>；则ABC ∠等于(B)．(A)12π (B)512π (C)712π (D)1112π 6．(训练题25)在集合{1,2,3,,10}M =的所有子集中；有这样一族不同的子集；它们两两的交集都不是空集；那么这族子集最多有(B)．(A)102个 (B)92个 (C)210个 (D) 29个二、填空题（本题满分54分；每小题9分）1．(训练题25)在直角坐标系中；一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴；且两直角边上的中A 1 AC 1B 1BCD线所在直线方程分别是31y x =+和2y mx =+；则实数m 的值是3124或． 2．(训练题25)设()(0,1)1xx a f x a a a =>≠+；[]m 表示不超过实数m 的最大整数；则函数]21)([]21)([--+-x f x f 的值域是 {1,0}- ．3．(训练题25)设,,a b c 是直角三角形的三条边长；c 为斜边长；那么使不等式kabc b a c a c b c b a ≥+++++)()()(222对所有直角三角形都成立的k 的最4．(训练题25)如图；正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1；截面1BCD 在棱1AA 上的交点为D ；设这个截面与底面ABC 和三个侧面111111,,ABB A BCC B CAAC 所成的二面角依次为1234,,,αααα；若1234cos cos cos cos αααα+=+5．(训练题25)已知()f x 是定义域在实数集的函数,且(2)[1()]1().(1)2f x f x f x f +-=+=若则(1949)f 2 ．6．(训练题25)设1x 是方程12cos 3sin 3-=-a x x 的最大负根；2x 是方程222cos 2sin x x a -=的最小正根；那么；使不等式12x x ≤成立的实数a 的取值范围是1122a a ≤-=或．第二试一、(训练题25)(本题满分25分)某眼镜车间接到一任务；需要加工6000个A 型零件和2000个B 型零件；这个车间有214名工人；他们每一个人加工5个A 型零件的时间可加工3个B 型零件．将这些人分成两组同时工作；每组加工同一型号的零件；为了在最短的时间完成；应怎样分组？77二、(训练题25)(本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数；并且任意一边的长都能整除其余三边之和．求证：这个四边形必有两边相等．三、(训练题25)(本题满分35分)实数数列1231997,,,,a a a a 满足：1223199619971997a a a a a a -+-++-=．若数列{}n b 满足：12(1,21997)kk a a a b k k++==．求199719963221b b b b b b -++-+- 的最大可能值．四、(训练题25)(本题满分35分)给定两个七棱锥；它们有公共的底面1234567A A A A A A A ；顶点12,P P 在底面的两侧．现将下述线段中的每一条染红；蓝两色之一：12,P P ；底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．。

高中数学竞赛模拟试题及参考答案(可编辑)

数学奥林匹克高中训练题第一试一、填空题（每小题8份，共64分）1.函数3()2731xx f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,113a =,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____. 5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,,则在该四面体的表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为_____.7.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2kk e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.8.某校进行投篮比赛,共有64人参加.已知每个参赛者每次投篮的命中率均为34,规定只有连续命中两次才能被录取,一旦录取就停止投篮,否则一直投满4次.设ξ表示录取人数,则E ξ=_____.二、解答题（共56分）9.(16分)设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上点F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.(20分)是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.(20分)设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像Γ上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；(2)当点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上时,求曲线Γ的切线斜率的最大值.加试一、(40分)设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、(40分)已知周长为1的i i i A B C ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c .设2224i i i i i i i p a b c a b c =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、(50分)是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、(50分)对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.参考答案第一试一、1.53-.令3xt =,[0,3]x ∈,则有3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而2'()3273(3)(3)g t t t t =-=-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.2.2009. 由已知可得113a =,223a =,343a =.下面用数学归纳法证明:21n n a a +-=,1n n a a n ++=.显然,当1n =时,结论成立.假设当n k =时,结论成立,即是有21k k a a +-=,1k k a a k ++=.则当1n k =+时,3122222[](2[])2()([][])2[1][])1k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ++++++-=---=---=-+-=（. 121(1)1k k k k a a a a k ++++=++=+. 即,当1n k =+时,结论也成立.综上所述,21n n a a +-=,1n n a a n ++=总成立.故200920102009a a +=.3.84.由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x A B ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.4.4. 由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4. 5.[0,3).由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2cx a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.6.32π. 如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=. 7.122n --.设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k k a c =,2k k k kce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n nn a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.8.1894. 由于每位参赛者被录取的概率均为331331133189444444444256p =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=,故录取人数ξ服从二项分布,即189(64,)256B ξ~,所以189189642564E ξ=⨯=.二、9.由已知得(,0)2p F ,设点(,0)A a ,则12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=.令1122(,),(,)M x y N x y ,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实数根,将该方程化简得:22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-.故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.10.当(0,)2πθ∈时,函数sin y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数tan y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有sin cos sin cos θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.11.因为32()f x ax bx cx d =+++,所以'2()32f x ax bx c =++.因为图像Γ上有一个极值点P 为坐标原点,所以'(0)0f =,且(0)0f =.故0c d ==.(1)当点Q 的坐标为(1,2)时,由'(1)0f =与(1)2f =可得:320a b +=,且2a b +=.解之,得:4,6a b =-=.此时,32()46f x x x =-+.(2)∵'2()32f x ax bx =+,且由题意点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上知0a <,∴曲线Γ的切线斜率k 的最大值为'()f x 的最大值2max3b k a=-.设点Q 的坐标为(,)m n ,则有'()0f m =,且()f m n =,∴2320am bm +=,且32am bm n +=.∴32b m a =-,23nb m=. ∴2max 332b n k a m =-=⋅. ∵n m表示过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线的斜率,而过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线斜率的最大值为2∴2max33(23322b n k a m =-=⋅≤=+∴曲线Γ的切线斜率的最大值为3加试一、由西姆松定理知,,P Q R 三点共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有D A C D P R D P ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理,可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PR DB DA DP PR BA BC QR DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅. 从而PR QR =的充要条件是DA BADC BC=.又由三角形的角平分线的性质定理可得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. 二、由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,于是不难得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=. 2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. 三、由640p q r s +++=,且,,,p q r s 是互不相同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由于23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故3(1)3226402qs p q r s p q s q s -+++=++=++=,即是有(32)(34)385771929q s ++==⨯⨯,于是得3419,32729s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====.四、所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,第二步说明26n =是可以的.首先说明当25n ≤时是不行的.我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.其次说明当26n =时是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中王全 710061 wangquan1978@。

数学奥林匹克高中训练题(4)

相交于点Ｐ、其中点Ｊ坐标为（，）两Ｑ，ｐ的３２，
寻＋２… ＝，了＋＋＇４ａｔ６／２００
ｔＩ／．
— —
圆半径的乘积为．若直线ｙ：（＞）ｋ０和
轴均与圆Ｃ。圆Ｃ相切，ｋ＝— — ．和则
＞ｔ）／为轴上一．
，
三、５）由／个Ｐ／个Ｑ和／个Ｒ（０分对＇ｔ、＇ｔｔ＇
【３刳
定点．点Ｍ的过直线交椭圆于不同的两点Ａ、直线Ａ和Ｂ，
２
ＡＢ与定直线１＝交于Ｐ、两点．．：Ｑ设
求证：＋：一１＋１
一
．
）Ｉ
Ｙ２
Ｙ３
Ｙ４
五、２（０分）２０６个实数０，／，，设０。ｔ … ．
４若、 ∈［２０，０６，．ｙ一６２０］且满足０
ｌｏ２２＋ｃｓ（＋３ｙ—１）＋ｙ＋２１）１）２（＋（一Ｙ
点，满足／ＡＧ＝且Ｃ
（，
／个白球（＇ｔｍ＞／４，＇）它们除颜色不同外，ｔ＞ｔ其
余都相同．现从中任取两个球．（）１若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，证：必求ｍ
为奇数；
／ＢＨ．Ａ过点Ｇ分别作
ＧＤ上ＢＧＣ，Ｅ上ＣＧＡ，Ｆ
上Ａ垂足分别为Ｄ、Ｂ，
、．
若ＤＦ＝９￣Ｅ０，

奥林匹克竞赛数学试题

奥林匹克竞赛数学试题一、选择题1. 已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)，\( b \)，\( c \) 为常数。

若 \( f(1) = 3 \)，\( f(2) = 7 \)，\( f(3) =15 \)，则 \( a \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 一个等差数列的前五项和为 35，第五项为 7，求该等差数列的公差。

3. 在直角坐标系中，点 \( A(2,3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点 \( B \) 的坐标是：A. (3,2)B. (2,2)C. (3,3)D. (2,3)4. 已知圆的周长为 \( 4\pi \)，求该圆的面积。

二、填空题5. 一个等比数列的前三项和为 7，且第一项与第二项之和为 4，求该等比数列的第三项。

6. 一个正方形的对角线长度为 10cm，求该正方形的面积。

7. 已知一个三角形的两边长分别为 5cm 和 12cm，且夹角为 60 度，求第三边的长度。

三、解答题8. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots+ n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

9. 一辆汽车从 A 点出发，以每小时 60 公里的速度向 B 点行驶。

同时，另一辆汽车从 B 点出发，以每小时 40 公里的速度向 A 点行驶。

如果两地相距 240 公里，求两辆汽车相遇的时间。

10. 一个无限等差数列的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，已知\( S_{10} = 110 \)，\( S_{20} - S_{10} = 440 \)，求 \( S_{30} \)。

四、综合题11. 在平面直角坐标系中，点 \( P \) 到原点 \( O \) 的距离为 5，点 \( P \) 到直线 \( y = x \) 的距离为 4，求点 \( P \) 的坐标。

数学奥林匹克高中训练题(02)及答案

数学奥林匹克高中练习题〔02〕第一试一、选择题〔此题总分值30分,每题5分〕1．(练习题07)十个元素组成的集合{19,93,1,0,25,78,94,1,17,2}M =----．M 的所有非空子集记为(1,2,,1023)i M i =,每一非空子集中所有元素的乘积记为(1,2,,1023)i m i =.那么10231i i m ==∑〔C 〕．〔A 〕0 〔B 〕1 (C) -1 (D)以上都不对2．(练习题07)ABC ∆△ABC 的三个内角,,A B C 依次成等差数列,三条边,,a b c 上的高,,a b c h h h 也依次成等差数列．那么ABC ∆为〔B 〕〔A 〕等腰但不等边三角形〔B 〕等边三角形〔C 〕直角三角形〔D 〕钝角非等腰三角形3．(练习题07)对一切实数x ,不等式42(1)10x a x +-+≥恒成立．那么a 的取值范围是〔A 〕〔A 〕1a ≥- (B) 0a ≥ (C) 3a ≤ (D) 1a ≤4．(练习题07)假设空间四点,,,A B C D 满足8,10,13AB CD AC BD AD BC ======,那么这样的三棱锥ABCD 共有〔A 〕个．〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕多于25．(练习题07)不等式21log 0(0,)2m x x x -<∈在时恒成立,那么m 的取值范围是〔B 〕〔A 〕01m << (B)1116m ≤< (C) 1m > (D) 1016m << 6．(练习题07)方程20(,,,0)ax b x c a b c R a ++=∈≠在复数集内根的个数为n .那么〔C 〕〔A 〕n 最大是2 〔B 〕n 最大是4 〔C 〕n 最大是6 〔D 〕n 最大是8二、填空题〔此题总分值30分,每题5分〕1．(练习题07)函数y =的值域是________2．(练习题07)椭圆22198x y +=,焦点为1F ,2F ,P 为椭圆上任意一点〔但P 点不在x 轴上〕,12PF F ∆的内心为I ,过I 作平行于x 轴的直线交12,PF PF 于,A B .那么12PAB PF F S S ∆∆=___916_____. 3．(练习题07),,A B C 为ABC ∆的三个内角,且cotcot cot 2(cot cot cot )222A B C A B C T ++-++≥.那么max T =__.4．(练习题07)实数,,a b c 满足22223,285a b c a b c c +-=-+++=.那么ab 的最小值是__2516__. 5．(练习题07)在一次足球冠军赛中,要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛,每场比赛胜队得2分,平局各得1分,败队得0分．有一队得分最多,但它胜的场次比任何一队都少．假设至少有n 队参赛,那么n =__6____.6．(练习题07)假设1013222m ++是一个完全平方数,那么自然数m = 14 ．三、(练习题07)〔此题总分值20分〕假设正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4,求这个正三棱锥的体积的最大值．(18)四、(练习题07)〔此题总分值20分〕一个点在x 轴上运动的速度为2米/秒,在平面其它地方速度为1米/秒．试求该点由原点出发在1秒钟内所能到达的区域的边界线．五、(练习题07)〔此题总分值20分〕x 为虚数,且1x x+是方程210y ay a -++=的实根．求实数的取值范围．(25a a ≤->) 第二试一、(练习题07)〔此题总分值20分〕在ABC ∆中,M 为BC 边上的任一点,ME AB ⊥于E ,MF AC ⊥于F ,AN EF ⊥交BC 于N ．求证：AM AN AB AC ⋅+=⋅．二、(练习题07)〔此题总分值35分〕用n 个数〔允许重复〕组成一个长为N 的数列,且2n N ≥.证实：可在这个数列中找出假设干个连续的项,它们的乘积是一个完全平方数．三、(练习题07)〔此题总分值35分〕空间中有100个点,其中每四点都不在同一平面上,每三点都不在同一条直线上,每一点都与其它33点连红线,与另33点连黄线,与最后的33点连蓝线．证实：一定会出现一个三边均不同色的三角形．。

【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】

两个数学奥林匹克高中训练题05按从小到大顺序排列数列各项的和记为s对于给定的自然数n若能从数列中选取一些不同位置的项使得这些项之和恰等于n便称为一种选项方案和数为n的所有选项方案的种数记为数学奥林匹克高中训练题05第一试一选择题本题满分42分每小题7分1
奥林匹克数学竞赛高中训练题集
目录
数学奥林匹克高中训练题（01） ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题（02） ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题（03） .............................................................................................. 4 数学奥林匹克高中训练题（04） ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题（05） ...................................................................................................

数学奥林匹克高中训练题

a2 - a - 2 b - 2 c = 0 且 a + 2 b - 2 c + 3 = 0 ,
则它的最大内角的度数是 ( ) .
(A) 150° (B) 120° (C) 90° (D) 60°
3. 对任意给定的自然数 n , n6 + 3 a 为正整数的
立方 , a 为正整数. 则这样的 a ( ) .
= 14
7 8
,过点
F 且与 OA 垂直的直线 l 的方程
为
.
由 (1) ～ (3) 得 △IOH 与 △ABC 的外接圆相等.
三、x + y = 3 - z ,
①
x3 + y3 = 3 - z3 .
②
①3 -
②得
xy
=8-
9z 3-
+ 3 z2 . z
知 x 、y 为 t2 -
(3 -
z)
t
+
8-
( a , b) ( ) .
(A) 不存在
(B) 恰有 1 个
(C) 恰有 2 个 (D) 无数个
6. 将棱长为 5 的正方体锯成棱长为 1 的 125 个
小正方体. 那么 ,至少需要锯 ( ) .
(A) 7 次 (B) 8 次 (C) 9 次 (D) 12 次
二、填空题 (每小题 9 分 ,共 54 分)
数学奥林匹克高中训练题
第一试
一、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分)
1. a 、b 是异面直线 ,直线 c 与 a 所成的角等于 c
与 b 所成的角. 则这样的直线 c 有 ( ) .
(A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 无数条

数学奥林匹克高中训练题(30)及答案

数学奥林匹克高中训练题（30）第一试一、选择题（本题满分36分：每小题6分）1．(训练题37)a 是由1998个9组成的1998位数：b 是由1998个8组成的1998位数：则b a ⋅的各位数字之和为(C)．(A)19980 (B)19971 (C)17982 (D)179912．(训练题37)已知)2,0(π∈x ：则方程03832=++ctgx x ctg 的所有根的和为(C)．(A)π3 (B)π4 (C)π5 (D)π63．(训练题37)已知三个正数a 、b 、c 之和为10：如果它们之中没有一个大于其余数的2倍：那么abc 的最小值是(B)．(A)32 (B)4131 (C)9727(D)16137 4．(训练题37)已知])32()32[(21n n n x -++=)(N n ∈：n x 为正整数：则19981999x 的个位数字为(B)．(A)1 (B)2 (C)6 (D)75．(训练题37)已知ABC ∆中：2lg ,2lg ,2lg C tg B tg A tg 成等差数列：则B ∠的取值范围是(B)． (A)60π≤∠<B (B)30π≤∠<B (C)323ππ≤∠≤B (D)ππ≤∠≤B 32 6．(训练题37)一只小球放入一长方形容器内：且与共点的三个面相接触：小球上有一点到这三个面的距离分别是cm 3：cm 3：cm 6：则这只小球的半径(D)．(A)只为cm 3 (B)只为cm 6 (C)只为cm 9 (D)以上说法不对二、填空题（本题满分54分：每小题9分）1．(训练题37)已知!1999|1998n ：则正整数n 的最大值为 55 ．2．(训练题37)已知0O 是正ABC ∆的内切圆：1O 与0O 外切且与ABC ∆的两边相切：…：1n O +与n O 外切且与ABC ∆两边相切)(N n ∈．那么：在ABC ∆内所有这些可能的圆（包括0O ：n O )(N n ∈）的面积之和与ABC ∆ 3．(训练题37)P 是边长为2的正ABC ∆所在平面上的一动点：且16222=++PC PB PA ：则动点P的轨迹为以正ABC ∆的中心为圆心：2为半径的圆．4．(训练题37)已知方程)(88N n n z y x ∈=++有666组正整数解),,(z y x ．那么n 的最大值是 304 ．5．(训练题37)已知正四面体ABCD 的六条棱的长分别为cm 4：cm 7：cm 20：cm 22：cm 28：xcm 。

高中数学奥林匹克竞赛试题及答案

1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a≢9，0≢b≢9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≢18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n≣10a＋1．因此b＝n2100a2≣20a＋1由此得 20a＋1＜100，所以a≢4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402≣422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．6 求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．1964年波兰【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．7 证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a都不是素数．1969德国．【证】对任意整数m＞1及自然数n，有n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2≣m2＞1故n4＋4m4不是素数．取a＝4²24，4²34，…就得到无限多个符合要求的a．8 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．1970年苏【证】假设和的数字都是奇数．在加法算式中，末一列数字的和d＋a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c≢9．于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！9 证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．1973年加拿大【证】因p是奇数，2是p＋1的因数．因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同，p、p＋2都不被3整除，所以p＋1被3整除．10 证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．美国1973年【证】设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，消去a，d，得化简得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m11 设n为大于2的已知整数，并设V n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V n称为在V n中不可分解，如果不存在数p，q∈V n使得pq＝m．证明：存在一个数r∈V n可用多于一种方法表达成V n中不可分解的元素的乘积．1977年荷兰【证】设a＝n－1，b＝2n－1，则a2、b2、a2b2都属于V n．因为a2＜（n＋1）2，所以a2在V n中不可分解．式中不会出现a2．r＝a2b2有两种不同的分解方式：r＝a2²b2＝a2…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab²ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a2，后者没有．12 证明在无限整数序列10001，100010001，1000100010001，…中没有素数．注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．1979年英国【证】序列1，10001，100010001，…，可写成1，1＋104，1＋104＋108，…一个合数．即对n＞2，a n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a2＝10001＝137²73．故对一切n≣2，a n均为合数．13 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．1984年苏【证】若不同数字多于3个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，104³M与上述7个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素数．14正整数d不等于2、5、13．证在集合｛2，5，13，d｝中可找到两个不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方数．1986年德【证】证明2d－1、5d－1、13d－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设5d－1＝x2 5d－1＝y2 13d －1＝z2 其中x、y、z是正整数．x是奇数，设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即d＝2n2－2n＋1 说明d也是奇数．y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．15 .求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n≢5）个数的和为合数．1987年全苏【解】由n个数a i＝i²n！＋1，i＝1，2，…，n组成的集合满足要求．因为其中任意k个数之和为m²n！＋k（m∈N，2≢k ≢n）由于n！＝1²2²…²n是k的倍数，所以m²n！＋k是k的倍数，因而为合数．对任意两个数a i与a j（i＞j），如果它们有公共的质因数p，则p也是a i－a j＝（i－j）n！的质因数，因为0＜i－j＜n，所以p也是n！的质因数．但a i与n！互质，所以a i与a j不可能有公共质因数p，即a i、a j（i≠j）互素．令n＝5，便得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．16 n≣2，证：如果k2＋k＋n对于整数k素数．1987苏联（1）若m≣p，则p|（m－p）2＋（m－p）＋n．又（m－p）2＋（m－p）＋n≣n＞P，这与m是使k2＋k＋n为合数的最小正整数矛盾．（2）若m≢p－1，则（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n≣n＞p因为（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n为合数，所以p－1－m≣m，p≣2m＋1由得4m2＋4m＋1≢m2＋m＋n即3m2＋3m＋1－n≢0由此得17 正整数a与b使得ab＋1整除a2＋b2．求证：（a2＋b2）/（ab＋1）是某个正整数的平方．1988德国a2－kab＋b2＝k （1）显然（1）的解（a，b）满足ab≣0（否则ab≢－1，a2＋b2＝k（ab＋1）≢0）．又由于k不是完全平方，故ab＞0．设（a，b）是（1）的解中适合a＞0（从而b＞0）并且使a＋b最小的那个解．不妨设a≣b．固定k与b，把（1）看成a的二次方程，它有一根为a．设另一根为a′，则由韦达定理a′为整数，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0．但由（3）从而a′＋b＜a＋b，这与a＋b的最小性矛盾，所以k必为完全平方．18 求证：对任何正整数n，存在n个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．1989年瑞典提供．【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2≢k≢n＋1），被k整除而不被k2整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k是质数的整数幂p l，则k＝p j（l、j都是正整数），但a2被p2j整除因而被p j＋1整除，所以a2＋k被p j整除而不被p j＋1整除，于是a2＋k＝p j＝k，矛盾．因此a2＋k（2≢k≢n＋1）这n个连续正整数都不是素数的整数幂．19 n为怎样的自然数时，数32n＋1－22n＋1－6n是合数？1990年全苏解32n＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）当n＞l时，3n－2n＞1，3n＋1＋2n＋1＞1，原数是合数．当n＝1时，原数是13 20 设n是大于6的整数，且a1、a2、…、a k是所有小于n且与n互素的自然数，如果a2－a1＝a3－a2＝…＝a k－a k－1＞0求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．1991年罗马尼亚．证由（n－1，n）＝1，得a k＝n－1．令d＝a2－a1＞0．当a2＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．当a2＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．设a2＞3．a2是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a k＝1＋（k－1）d，所以3d．又1＋d＝a2，于是31＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a3＝1＋2d，这时3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d≣n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n且与n互质的数．矛盾．综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．21 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．1992年台北数学奥林匹克【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和≣15005，所以A≣15005另一方面，将1001～2000排列如下：2000 1001 1900 1101 18001201 1700 1301 1600 14011999 1002 1899 1102 17991202 1699 1302 1599 1402………………1901 1100 1801 1200 17011300 1601 1400 1501 1300并记上述排列为a1，a2，…，a2000（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1≢i≢20，1≢j≢10）令S i＝a i＋a i＋1＋…＋a i＋9（i＝1，2，…，1901）则S1＝15005，S2＝15004．易知若i为奇数，则S i＝15005；若i为偶数，则S i＝15004．综上所述A＝15005．22 相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？1992年友谊杯国际数学竞赛七年级【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）不难验证n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）时，均有2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）0（mod 5）所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2不是平方数，23 是否存在完全平方数，其数字和为1993？1993年澳门数学奥林匹克第二轮【解】存在，取n＝221即可．24 能表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？1993年美国数学邀请赛【解】答495．连续9个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第5项与第6项之和的5倍；连续11个整数的和是第6项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11整除，这数至少是495．又495＝51＋52＋…＋59＝45＋46＋…＋54＝40＋41＋…＋5025 如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？1993年全俄数学奥林匹克【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2－m2＝（2k＋m）（2k－m）．因为5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k＋m）（2k－m）是合数．26 设n是正整数．证明：2n＋1和3n＋1都是平方数的充要条件是n＋1为两个相邻的平方数之和，并且为一平方数与相邻平方数2倍之和．1994年澳大利亚数学奥林匹克【证】若2n＋1及3n＋1是平方数，因为2（2n＋1），3（3n＋1），可设2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，由此可得n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2反之，若n＋1＝k2＋（k＋1）2＝（t±1）2＋2t2，则2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2从而命题得证．27 设a、b、c、d为自然数，并且ab＝cd．试问a＋b＋c＋d能否为素数．1995年莫斯科数学奥林匹克九年级题【解】由题意知正整数，将它们分别记作k与l．由a＋c＞c≣c1，b＋c＞c≣c2。

数学奥林匹克高中训练题_24及解析

数学奥林匹克高中训练题_24注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.对于每一对实数、，函数f满足方程f(x+y)−f(x)−f(y)=1+xy，且f(1)=1.那么，f(n)=n(n≠1)的整数n的个数共有（）个.A. 0B. 1C. 2D. 32.有6个座位连成一横排，三人就座，恰有二个空位相邻的排法种数为（）A. 72B. 96C. 48D. 以上都不对3.在一次体育比赛中，红、白两队各有5名队员参加，比赛计分办法是：队员在比赛中获第几名就为本队得几分，且每个队员的得分均不相同，得分少的队获胜，则可能获胜的分数是（）A. 29B. 28C. 27D. 134.现有下面四个命题：①底面是正多边形，其余各面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥.②底面是正三角形，相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.③有两个面互相平行，其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台.④有两个面互相平行，其余各个面是平行四边形的多面体是棱柱.其中，正确的命题的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 05.设f：N→N，且对所有正整数n，有f(n+1)>f(n)，f(f(n))=3n.则f(1997)的值为（）A. 1997B. 1268C. 3804D. 59916.方程组{(1+x)(1+x2)(1+x4)=1+y7(1+y)(1+y2)(1+y4)=1+x7的解(x,y)共有（）组.A. 4B. 2C. 1D. 0第II卷（非选择题）二、填空题7.数列n4，6，9，10，14，15，21，22，25，26，33，34，35，38，….按此规律，则a16=________.8.函数f(x)=(√x −x)(√x −1+√x−1)⋅1x的值域是________.9.方程√x 2−12x +1+√x 2−23x +1=1+√306的解是________.10.若方程x 2+(1−2i)x +3m −i =0(m ∈R)有一实根、一虚根，则此虚根是________.11.平面上有四点A 、B 、C 、D ，其中A 、B 为定点，且|AB |=√3，C ，D 为动点，且|AD |=|DC |=|BC |=1，记S ΔABD =S 为ΔABD 的面积，S ΔBCD =T 为ΔBCD 的面积.则S2+T 2的取值范围是________.12.使不等式1n+1+1n+2+...+12n+1<a −199513对一切自然数n 都成立的最小自然数a 的值是________.三、解答题13.已知F 1、F 2是椭圆2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，c 为半焦距，弦AB 过右焦点F 2.求ΔF 1AB 的面积的最大值. 14.若x 1>0，∑x i=1ni=1，x n+1=x 1，n >6，求证：∏1x i +x i+1>n!ni=1.15.已知ΔABC 是等腰三角形，AB =AC ，CD 是腰AB 上的高线，CD 的中点为M ，AE ⊥BM 于E ，AF ⊥CE 于F .求证：AF ≤13AB .16.46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二题的选手59人，做对第一、三题的选手29人，做对第一、四题的选手15人，四个题全做对的选手3人.存在这样的选手，他做对了前三个题，但没有做对第四题.求证：存在一个国家，这个国家派出的选手中至少有4个人，他们恰好只做对了第一题.参考答案1.B【解析】1. 令x=1，则f(1)+f(y)=f(y +1)−y −1，f(y +1)−f(y)=y +2. ①令y=1,2,3,...,y −1并将诸式相加得f(y)=y 2+3y−22. ②从而，对所有自然数y ，②式成立. 若f(y)=y ，可得y 2+3y −2=2y ，y =−2，y =1. 于是，对n∈N 且n ≠1时，f(n)=n 无解. 对公式①取y =0得f(0)=−1.再取y=−1得f(−1)=−2.进而得f(−2)=−2，f(−3)=−1，f(−4)=1.再由①式，y <−4时，f(y)>0.从而，n<−4时，有f(n)≠n .所以，只有n =−2时，f(−2)=−2.故答案为：B 2.A【解析】2.把相邻两个空座位看成一个整体，则有P 55=120种排法.但此时会出现三个空位相邻的情形，此时有2P 44=48种排法.所以,共有P 55−2P 44=72种排法.故答案为：A 3.C【解析】3.双方共得分1+2+...+10=55分.所以，要获胜至多得[552]=27分，又每队至少得1+2+3+4+5=15分，因而本题答案只能为27分.故答案为：C4.D【解析】4.四个命题皆不正确，可举反例如下：A的反例：底面为3的正三角形，两侧面是以3，3，2为边长的等腰三角形，一侧面是以2，2，3为边长的等腰三角形.B的反例，设S′−ABC为正三棱锥，∠SAB>60°，作BA′=AB，连A′C，可以证明ΔA′BC为正三角形，此时棱锥S′−A′BC满足条件，但不是正三棱锥.C的反例，将图中的一个矩形向上平移获得的图形.D的反例，如图的凹十面体.故答案为：D5.C【解析】5.由题设条件可证f(1)=2，f(2)=3，f(3n)=f[f(f(n))]=3f(n). ①由①及f(1)=2，f(2)=3得f(3n)=2⋅3n，f(2⋅3n)=3n+1.注意到2⋅3n与3n+1之间共有3n−1个自然数，而3n与2⋅3n之间也恰有3n−1个自然数，再由f的单调性可得f(3n+m)=2⋅3n+m，0≤m≤3n，n=0,1,2,....进而有f(2⋅3n+m)=f(f(3n+m))=3(3n+m).由1997=2⋅36+539，所以，f(1997)=3(36+539)=3804.故答案为：C6.B【解析】6.已知方程可化为{1−x8=(1−x)(1+y7), ①1−y8=(1−y)(1+x7). ②当x=y时，显然x=1.此时可解得(x,y)=(0,0)，(−1,−1).当x≠y时，若x>0，y<0，则已知方程组第1个方程左边大于1，右边小于1，不成立.若x>y>0，则(1+x)(1+x2)(1+x4)>1+x7>1+y7，方程不成立. 若0>x>y，则x7>y7，x6<y6，x8<y8.①-②得0<y8−x8=(y−x)+(y7−x7)+xy(x6−y6)<0.矛盾.所以，方程组没有x≠y的解，即只有二组解.故答案为：B7.46【解析】7.该数列的规律是：每个正整数都是合数，并且每个数都是两个质数的乘积（除1和本身乘积外），写出所有符合条件的正整数，如24=3*8，8还能分解，所以24就不是其中的项，4=2*2，6=2*3，9=3*3，…，38=2*19，39=3*13，40=2*20，不是其中的项，以此类推：42，44，45都不是其中的项，46=2*23，所以该数列的第16项就是46．故答案为：46．8.(0,1)【解析】8. 令x=sec 2θ(0<θ<π2)，则f(x)=sinθ.因为0<θ<π2，所以函数的值域为（0,1）.故答案为：（0,1） 9.13−2√307【解析】9.原方程可化为√(x −14)2+(√154)2+√(x −13)2+(2√23)2=1+√306.方程左边是P(x,0)到点A(14,−√154)和B(13,2√23)的距离，可以算出|AB |=1+√306.于是，P 点是直线AB 与x 轴的交点.因而，由x−14554=x−13−23√2得出x =13−2√307.故答案为：13−2√30710.−12+2i【解析】10.设方程有实根α，则有(α2+α+3m)+(−2α−1)i =0.由复数相等的充要条件可解得α=−12.设虚根为β，则由α+β=2i −1得β=−12+2i .故答案为：−12+2i11.2√3−34≤S 2+T 2≤78【解析】11. 由BD 2=12+(√3)2−2⋅1⋅√3cosα =12+12−2⋅1⋅1cosβ 得cosβ=√3cosα−1.又S2+T 2=34sin 2α+14sin 2β =−32(cosα−2√3)2+78.可以证明0≤α≤π2.于是，S 2+T 2当cosα=2√3时取最大值为78，当cosα=1时取最小值2√3−34. 故答案为：2√3−34≤S 2+T 2≤7812.1997【解析】12. 记f(n)=1n+1+1n+2+...+12n+1，则f(n +1)−f(n)=−1(2n+3)(2n+2)<0.f(n)为n >0时的减函数，则f(1)为最大值.为使一切n ∈N ，已知不等式都成立，则必须f(n)的最大值小于a−199513，即a −199513>f(1)=56.从而a>199616，自然数a 的最小值为1997.故答案为：199713.2b 2c a【解析】13.如图，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 与x 轴夹角为α，c 2=a 2−b 2.由于S ΔF 1AB =S ΔAF 1F 2+S ΔBF 1F 2 =12|F 1F 2||y 1−y 2| =c |y 1−y 2|，而c 为定值，则在|y 1−y 2|取最大值时，S ΔF 1AB 最大. 过F 2的直线AB 的方程为y =k(x −c)（若k 存在），则x =y k+c .代入椭圆方程并整理得(1a 2k 2+1b 2)y 2+2c a 2ky +c 2a 2−1=0.|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =4a 2b 4k 2(1+k 2)[b 2+(b 2+c 2)k 2]=(2ab 2c 2sinα+b 2sinα)2.（1）当b ≤c 时，由sinα>0得|y 1−y 2|≤22√c 2sinα⋅bsinα=ab c， S ΔF 1AB ≤c ⋅ab c=ab . 即当且仅当c 2sinα=b2sinα，sinα=bc≤1时，S ΔF 1AB 的最大值为ab .（2）当b>c 时，c 2sinα+b2sinα=c 2sinα+c 2sinα+b 2−c 2sinα ≥2c 2+b 2−c 2sinα≥2c 2+b 2−c 2=a 2.当且仅当sinα=1时，c 2sinα+b2sinα有最小值a 2.从而，S ΔF 1AB≤c ⋅2b2a=2b 2ca，即S ΔF 1AB 有最大值2b 2ca.所以，ΔF 1AB 的面积的最大值，当b≤c 时为ab ，当b >c 时为2b 2ca.14.见解析【解析】14. 由x 1>0，∑x 1=1,x n+1=x 1，及平均不等式得 ∏(x i +x i+1)≤[∑(x i +x i+1)n]ni=1n=(2n )n.下面证明 (n 2)2>n! (n >6).用数学归纳法. （1）n=7时，7! ×27=32×211×5×7 =(3×24)(5×23)(3×24)×7 <72⋅72⋅72⋅7=77.所以，n=7时不等式成立.（2）假设n=k >6时，有2k ⋅k!<k k.则(k +1)! ⋅2k+1=k! ⋅2k ⋅(k +1)⋅2<k k ⋅(k +1)⋅(1+1k)k （贝努里不等式）=(k +1)k+1.所以，n =k +1时不等式成立，从而，对n∈N ，n >6，(n 2)n >n!.于是，原不等式成立. 15.见解析【解析】15.设H 为BC 的中点，连AH 、HM .设∠BAH=α，∠ABE =β，BD =1，DM =MC =t .于是，HM//BD .由A 、D 、M 、E 共圆，A 、D 、H 、C 共圆可得BD ⋅AB =BM ⋅BE .BD ⋅AB =BH ⋅BC .于是，BM⋅BE =BH ⋅BC ，即E 、M 、H 、C 四点共圆，∠FEB=∠MHC =90°−α，∠FEB =∠MHC =90°−α.于是，∠AEF=α.AF =AE ⋅sinα=AB ⋅sinβ⋅sinα =AB ⋅√1+t 2⋅√1+4t 2， AF 2=AB 2⋅t 21+5t 2+4t4=AB 2⋅11t 2+5+4t 2≤AB 2⋅19.∴AF ≤13AB .16.见解析【解析】16. 设集合I={全部选手}，A ={做对第一题的选手}，B ={做对第二题的选手}，C ={做对第三题的选手}，D ={做对第四题的选手}，设n(P)表示集合P 的元素的个数. 本题相当于求n(A ∩B ∩C ∩D).由题设，n(A)=235，n(A ∩B)=59，n(A ∩C)=29，n(A ∩D)=15，n(A∩B∩C∩D)=3.显然，n(A∩B∩C)>n(A∩B∩C∩D)=3，而n(A∩C∩D)>3,n(A∩B∩D)>3.n(A∩B∩C∩D)=n(A∩B∪C∪D)=n(A∪B∪C∪D)−n(B∪C∪D) =[n(A)+n(B)+n(C)+n(D)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(A∩D)−n(B∩C)−n(B∩D)−n(C∩D)+n(A∩B∩C)+n(A∩B∩D)+n(A∩C∩D)+n(B∩C∩D)−n(A∩B∩C∩D)]−[n(B)+n(C)+n(D)−n(B∩C)−n(B∩D)−n(C∩D)+n(B∩C∩D)]=n(A)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(A∩D)+n(A∩B∩C)+n(A∩B∩D)+n(A∩C∩D)−n(A∩B∩C∩D)>236−59−29−15+3+3=138.从而，n(A∩∩∩≥139=3×46+1.于是，存在一个国家至少有4位选手只做对了第一题.。

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题高中数学奥林匹克竞赛试题一、选择题（共20小题，每小题2分，共40分。

从每题四个选项中选择一个正确答案，将其标号填入题前括号内）1. 已知函数f(x) = 2x^2 + bx + c, f(1) = 5, f(2) = 15，则b + c的值是：A. 4B. 6C. 8D. 122. 设等差数列{an}的公差为d，已知a₁ + a₃ + a₅ = 9d，a₂ + a₄ + a₆= 15d，则a₇的值为：A. 8dB. 9dC. 10dD. 11d3. 若复数z = a + bi满足|z - 1| = |z + 1|，则a的值为：A. -1B. 0C. 1D. 24. 若直线y = kx + m与椭圆(x + 2)²/9 + y²/16 = 1相交于点P，请问此时P点的横坐标x的取值范围是：A. [0, -4/3]B. [0, -2]C. (-∞, -2]D. (-∞, 0]5. 已知正整数a、b满足a + b = 10，ab = 15，则a/b的值是：A. 1/2B. 2/3C. 3/2D. 3/5二、填空题（共10小题，每小题4分，共40分）6. 若正整数x满足5x ≡ 15 (mod 17)，则x的最小正整数解为_______。

7. 在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + c经过点(1, 2)，且该直线与x轴交于点(3, 0)，则k的值为_______。

8. 设二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交于A、B两点，若A、B两点间的距离为10，且判别式Δ = b² - 4ac > 0，则a/b的值为_______。

9. 设U为自然数集合，函数f: U → U满足f(f(f(x)))) = 1 + x，则f(2019)的值为_______。

10. 若平面上直线y = kx + 1与曲线y = x² + 2x相切于点P，请问k的取值范围是_______。

数学奥林匹克高中训练题(附答案)

数学奥林匹克高中训练题_46学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、填空题三、解答题13．在△ABC 中，实数x 满足2222sec x csc A csc B csc C =++，求证：的定圆P 的圆心上一动点，Q 与P 相外切，Q 交l 于N 两点．对于任意直径使得△MAN 求△MAN 的度数．．设函数f(x)、g(x)定义为()f x ()()11?2000,n f a b ==，2000的最小正．上的O 与其他三边都相切，)0nn i i x b x ==∑的所有根的平方的相反数是f(x)=0的全部根．求证：参考答案：【详解】0,4a π⎛∈ ⎝()tanacota <)(cotatana <34t t ＜＜.【详解】1 022≤3.3arccot arc≤1 arccos2,a b a ≥∴(222a x a +1,?4y 又≥∴22 4.x y ∴+≤满足22x y +≤其面积为1··3π3((0011821122sina sin a b a β<<≤<=-即()26a -【详解】(a b c ++项，但(a )nc +的展开式中不同的项数为)(nd a ⎡+=⎣=AB AC∴⊥SD BC∴⊥面BC于是SA与2.当两条较长棱相邻时，不妨设2sec x csc=2∴=tan x2=+cot A(cotA cotB=+60【详解】以l为r,h）.△Q2222rh r k r +3,tan MAN ∠223r k r r nhr +-=)223nh k r r -=±+-两边平方，得2m 对于任意实数r≥1223,m k =-另一方面，用数学归纳法可证明：()281n n a b +>当n=1时，()31223181128n n a b a b +>=>.假设式(1)在n=k 时成立，即28k k a b +>.当n=k+1时，()()2883112121282000820008k k k k k b ba b b k k a b +++=>=>⨯>⨯=. 所以，式(1)对所有n 成立.由式(1)得1998199820008b b a ≤<.1998m ∴>.综上所述，m=1999.16．2或7【详解】1当p=7m -5(m 为自然数，下同)时，()123721p p m =+=-.当m ＞1时，1p 为合数.当m=1时，p=2.此时123456711,19,29,31,101p p p p p p ======，均为质数，所以p 可为2.2当p=7m -6时，()243743p p m =+=-.当m=1时，p=1与p 为质数相矛盾.当m>1时，2p 为合数.3当p=7m -3时，()383783p p m =+=-为合数.4当p=7m -2时，()41637165p p m =-=-为合数.5当p=7m -4时，()5323373223p p m =-=-为合数.6当p=7m -1时，()6642776413p p m =-=-为合数.7 当p=7m 时，因p 为质数,则p=7.当p=7时，1234561731,59,109,191,421p p p p p p ======，均为质数.AB AD =即OA OB +1sina sin ∴+11sin sin a +sin 2αβ+2cos α⎛∴ ⎝4sin sin 2a ⋅202β+＜22αϕ+∴即2αϕ+亦即BAD ∠则AB//CD。

高中奥林匹克数学竞赛试题

数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知sin a·cos b= –则cos a·sin b的取值范围为……………………………（）(A)[–1，] (B)[–] (C)[–](D)[–]2、一个人以匀速6m/s去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么………………………………（）(A)人可在7s内追上汽车(B)人可在10s内追上汽车(C)人追不上汽车，其间最近距离为5m (D)人追不上汽车，其间最近距离为7m3、已知a、b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,使a,x1,x2,…,x n,b成等差数列，a,y1,y2,…,y n,b成等比数列.则下列不等式（1）（2）（3）（4）中，为真命题的是……………………（）(A)（1）、（3）(B)（1）、（4）(C)（2）、（3）(D)（2）、（4）4、已知长方体的三条面对角线长为5，4，x.则x的取值范围为………………（）(A)（2，）(B)（3，9）(C)（3，）(D)（2，9）5、已知直线l1:y=a x+3a+2与l2:y= –3x+3的交点在第一象限.则a的取值范围为（）(A)（–(B)（–∞，）(C)（–3，(D)（–+∞）6、已知a、b、c三人的年龄次序满足：（1）如果b不是年龄最大，那么a年龄最小；（2）如果c不是年龄最小，那么a年龄最大.则这三个人的年龄从大到小为…………………………………………………（）(A)ba c(B)c ba (C)ab c(D)a c b二、填空题（每小题9分，共54分）1、不等式(x–1)≥0的解集为 .2、抛物线y=a x2+b x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，则以AB为直径的圆的方程为.3、圆锥的母线长为l，它和底面所成的角为θ，这个圆锥的内接正方体的棱长为（正方体有4个顶点在圆锥底面上，另4个顶点在圆锥侧面上）.4、在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门（图2中AB）附近带球过人沿直线（图2中CD）向前推进，于点C起脚射门。

数学奥林匹克高中训练题

ｍｎ＋ｐ＋ｑ
≥ 丁一＋一广＋一＋一 ≥ ■ 一筹Ｙ ‘
≥
１６
≥
１６
４
故（ｍ，ｎ，Ｐ，ｑ）
：
（９，４，２，２），（６，５，２，２），（４，３，３，２）．
；／６时上式当且仅当ｍ＝ｎｐｑ４、／６
ｆ１与椭圆交于Ａ、Ｂ两点，Ｚ：与椭圆交于Ｃ、Ｄ两点．若ｔ：ＴＡＢＣＤ满足ＡＣ上ＡＢ，且该椭圆的
ｒｒ
在 ∈ 【０，詈］有最大值２．求实数ｍ的值
三、（５０分）设所有满足下列条件的正整数个数为 Ⅳ：
７．已知两条斜率为ｌ的直线ｆ。、ｚ：分别
过椭圆ｘ＋＝１（０＞ｂ＞０）的两个焦点，且
ａＤ
外心．证明：ＯＭＥ＝９０。．
二、（４０分）已知函数
）＝３（ｓｉｎ＋ｃｏｓ）＋ｅ（ｒｓｉｎ＋ＣＯＳ）
，
（２）注意到，
等号成立．
＝
（・一）（一）（，一古）（一寺）
故（ｍ＋ｎ＋ｐ＋ｑ＝
（陈迁
．
侯国玺湖北省浠水县余堰
中学．４３８２００）
２０１３年第２期
４１
中等数学
熬蟹
中图分类号：Ｇ４２４．７９

奥林匹克竞赛数学试题

2022全国数学奥林匹克竞赛试题2022年全国数学奥林匹克竞赛试题：一、基本题：1. 求定积分：设f(x) = (3x + 4)sin(x^2)，求∫0^π f(x) dx的值是多少？2. 求极限：求极限lim（x → 0）(xlnx)的值是多少？3. 解不定方程：x^4 + 4x - 1 = 0的根是多少？4. 求倒数：求1/log2与2/log2的值是多少？二、复杂题：1. 求导数：由f(x) = 1 + 2x + 7x^2，求f'(x)的值是多少？2. 换元：已知f(x) = (2x + 3)sin2(x)，求f(-2)的值是多少？3. 计算一元二次方程：设ax^2 + bx + c = 0，x1及x2是两个不同的解，已知a=6，b=-2，c=-30，求x1及x2的值是多少？4. 几何函数：设圆C：x^2 + y^2 = 16，求圆C上一点P到圆心O的距离是多少？三、数学建模：1. 求最优解：已知函数f(x,y) = x + y，求使得f(x,y)取极大值的x与y的取值是多少？2. 求方程组的解：已知x+y=3，x-y=1，求x与y的取值是多少？3. 利用微积分求最小值：已知函数f(x) = x^3 – x^2，求使函数f取得最小值的x的值是多少？4. 求解隐式方程：设f(x,y) = x^2 + y^2 - 4，求使得f(x,y) = 0的x与y的取值是多少？四、综合考题：1. 利用概率统计求方程解：已知函数f(x) = 4x^2 + 4x – 3，求不等式f(x) ≤ 0的全部实数解。

2. 利用线性代数求方程组的解：已知2x+3y+z=5，3x-7y+3z=1，x+y+8z=9，求x，y，z的取值是多少？3. 利用分析几何求圆的方程：已知圆心为（-3,7），半径为5，求这个圆的标准方程式。

4. 利用泰勒展开求值：设f(x) = x^3，用泰勒展开两项求f(2)的值是多少？。

数学奥林匹克高中训练题100

合{1 ,2 , …, n}的不同子集 ,满足下列条件 :
(i) i ∈Ai 且 Card ( Ai ) ≥3 , i = 1 ,2 , …, n ;
(ii) i ∈Aj 的充要条件是 j ∈ Ai ( i ≠j ,
i 、j = 1 ,2 , …, n) .
试回答下列问题 :
n
∑ (1) 求 Card ( Ai ) ; i =1
(A) 0 < a < b
(B) a < 0 < b
(C) a < b < 0
(D)
a<
1 2
<
b
2. 已知不等式 22x + a2 x + b ≥0 解的最
小值为 2. 则 a 的取值范围是 ( ) .
(A) ( - ∞,0)
(B) [ 0 , + ∞)
(C) [ 2 , + ∞)
(D) [ - 4 , + ∞)
>
sin (α+β) sinα·sin β
-
2sin (α+β) ·cos(αsin 2α·sin 2β
β)
=
2sin (α+β)
[2cos α·cos sin 2α·sin
β2β
cos (α-
β)
]
=
2sin
(α+ sin
β) ·cos 2α·sin
(α+β) 2β
> 0.
5. B. 由韦达定理得 α+β= - p ,αβ= q. 则 m = (α+β) 2 + 4αβ= 2 (α+β) 2 - (α- β) 2 . 又| α+β| ≤| α| + | β| ≤1 , | α- β| ≤| α| + | β| ≤1 ,

数学奥林匹克高中训练题(22)4

数学奥林匹克高中练习题〔09〕第一试一、选择题〔此题总分值36分,每题6分〕1．(练习题09)由100+展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有〔B 〕项．(A) 50 (B) 17 (C) 16 (D) 152．(练习题09)z 满足5123z i +-=．那么z 的最大值是〔D 〕(A) 3 (B) 10 (C)20 (D)163．(练习题09)正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,E 为CD 的中点,F 为1AA 的中点,过1,,E F B 的截面面积是〔C 〕2222 4．(练习题09)方程sin cos 1(0)2x x πααα+=<<的解的个数是〔B 〕． (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 大于25．(练习题09)设a 是正整数,100a <,并且323a +能被24整除．那么,这样的a 的个数为〔B 〕．(A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 106．(练习题09)从1,2,,49中取出六个不同的数,其中至少有两个是相邻的,所有的取法种数是〔D 〕． (A)649C (B) 644C (C) 654944C C - (D) 564944C C -二、填空题〔此题总分值54分,每题9分〕1．(练习题09)12,z z 在复平面上对应点分别为,P Q ,且22211224,420z z z z z =-+=．那么,P Q 与原点O 所成的OPQ ∆面积等于___．2．(练习题09)设四面体ABCD 的体积为,V E 为棱长AD 的中点,F 在AB 的延长线上,且BF AB =,过,,C E F 三点的平面交BD 于G ．那么四面体CDGE 的体积为___3V _____． 3．(练习题09)设,,0x y z >且1x y z ++=．那么149x y z++的最小值为___36_____．4．(练习题09)函数2()f x x a =-在区间11x -≤≤内的最大值()M a 的最小值是____12____． 5．(练习题09)对于正整数m ,它的个位数码用()f m 表示,记1(21)(1,2,)n n a f n +=-=．那么1994a =_____7___．6．(练习题09)(3)n n ≥条直线中恰有(2)p p ≥条互相平行,而且n 条直线中没有3条相交于同一点,那么这条直线将平面分割成的块数是___221(2)2n p n p -+++_____．第二试一、(练习题09)〔此题总分值25分〕圆的方程为224x y +=．试在坐标平面上求两点(,),(,)A s t B m n ,使以下两条件满足：(1) 圆上任意一点到A 点的距离与到B 点的距离之比为定值k ；(2) ,s m t n >>,且,m n 均为自然数．((2,2),(1,1))二、(练习题09)〔此题总分值25分〕求满足条件的实系数多项式()f x ；(1) 对于任意的实数a ,有(1)()(1)f a f a f +=+；(2) 存在某一实数10k ≠,使122311(),(),,(),()n n n f k k f k k f k k f k k -====,其中n 为()f x 的次数．(()f x x =)三、(练习题09)〔此题总分值35分〕正整数n 的所有约数之和用()f n 表示,(比方(4)1247f =++=)．试答以下各问：(1) 证实：如果m 和n 互质,那么()()()f mn f m f n =；(2) 当a 是n 的约数()a n <,且()f n n a =+,试证n 是质数,其次,如果l 是正整数,21l -是质数,试证l 也是质数；(3) 设2k n m =(k 为正整数,m 为奇数),且()2f n n =．试证存在质数p 使得12(21)p p n -=-．四、(练习题09)〔此题总分值35分〕数列22199219921,1,3,3,3,3,,3,3是由两个1,两个3,两个23,…,两个19923按从小到大顺序排列,数列各项的和记为S ,对于给定的自然数n ,假设能从数列中选取一些不同位置的项,使得这些项之和恰等于n ,便称为一种选项方案,和数为n 的所有选项方案的种数记为()f n ．试求：(1)(2)()f f f s +++的值．(1993(1)(2)()41f f f s +++=-)。

第五招空间余弦定理 (学生版)

5空间余弦定理的妙用秒杀知识点如图，在空间四边形ABCD 中，AC BD AC ADABAC ADAC ABcos cos AC AD CADAC AB CAB2222AC AD CD AC AD AC AD2222AC AB CB AC AB AC AB22222AD CB AB CD ,设AC ，BD 所成的夹角为，0,2，则cos cos ,AC BD AC BDAC BD，故2222cos2AD CB AB CD AC BD.此公式可称为空间形式的余弦定理，简称为空间余弦定理.【记忆方法】①看四个字母ABCD ，两边的与中间的AD ，CB 是平方之后为加号，相连的AB ，CD 平方之后为减号，分母与平面余弦定理相似.②也可用另一种形式记忆：求“对角线”AC 与BD 的夹角的余弦等于两组对边平方和的差的绝对值除以两对角线乘积的2倍.【推论】在空间四边形中22222ADCBAB CDAC BD（由上面证明可得出）.秒杀思路分析利用空间余弦定理，关键是构造出空间四边形，并且空间四边形边长及对角线长可求. 为快速求出空间四边形边长，一般把几何体放置在长方体或直棱柱中. 【示例1】（2015年浙江卷理13）如图，三棱锥A BCD 中,3ABACBDCD，2ADBC，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为 .【示例2】（2017年全国卷II 理10）已知直三棱柱111ABCA B C 中，120ABC，2AB ，11BCCC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角得余弦值为（）A.【示例3】如图，在三棱锥D ABC 中，已知2AB ，3AC BD .设AD a ，BCb ，CDc ，则21c ab 的最小值为 .【示例4】（2017年天津卷文17）如图，在四棱锥P ABCD 中，AD平面PDC ，//AD BC ，PDPB ，1AD ，3BC ，4CD ，2PD .(1) 求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值. (2)(3)略.方法对比【例1】（2014年全国大纲卷文4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A.1C.1【例2】（2017年江苏卷数学II 附加题22）如图，在平行六面体1111ABCDA B C D 中，1AA 平面ABCD ，且2AB AD，13AA ，120BAD .（1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值. （2）略.【例3】（数学奥林匹克高中训练题（224））在四面体ABCD 中，15AB CD ，20BD AC ，337ADBC，则AB 与CD 所成角的大小为 .秒杀训练【试题1】如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E为AB 的中点，则异面直线1D B 与EC所成角的余弦值是（）A.【试题2】如图，已知正三棱锥PABC 的侧棱与底面的边长相等，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为 .【试题3】如图，在三棱锥D ABC 中，DA 平面ABC ，90ACB ，30ABD ，ACBC ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 .【试题4】如图,三棱柱111OAB O A B 中，平面11OBB O 平面OAB ，160O OB，90AOB，且12OB OO ，3OA ，则异面直线1A B 与1AO 所成角的余弦值为 .【试题5】如图,四边形中ABCD ，2ABBDDA ，2BC CD ，现将ABD 沿BD 折起，当二面角A BD C 处于5,66过程中，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围为（）A.522,88B. 252,88C. 20,8D. 520,8真题回放【试题1】（2015年陕西预赛）在三棱锥S ABC 中，已知AB AC ，SB SC ，则直线SA 与BC 所成角的大小为 .【试题2】（2014年新课标全国卷II 理11）直三棱柱111ABCA B C 中，90BCA，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BCCACC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（）A. 110B. 25【试题3】(2016年浙江卷文14）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ，1CD ，5AD，90ADC，沿直线AC 将ACD 翻折成'ACD ，直线AC 与'BD 所成角的余弦值的最大值为 .【试题4】(2015年辽宁预赛）在正方体1111ABCD A B C D 中，点M ，N 分别在线段AB ，1BB 上（不包括线段的端点），且1AMB N ，则1A M 与1C N 所成角的取值范围是 .【试题5】(2016年中国数学奥林匹亚克希望联盟夏令营（三））在四面体ABCD 中，ABD 为等边三角形，90BCD ，1BC CD ，3AC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则直线AE 与BF 所成角的余弦值为 .【试题6】(数学奥林匹亚克高中训练题（223））已知正四棱锥P ABCD 的各棱长均相等，以ABCD 为一个面，在正四棱锥的另一侧作一个正方体ABCDEFGH ，则异面直线PA 与CF 所成角的余弦值为 .。