2014大连大学经文类高等数学竞赛试题

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大连数学竞赛第十七届答案

大连市第十七届高等数学竞赛试卷B 答案一、填空题（每小题2分，共20分） 1．612．ππ+3323．1222++-xx 4．14-π5．43 6．e17．2>λ 8．3 9．dx )0(ϕ 10．Cx x ++)arctan(31arctan3二、（本题9分）令121==x x ，由条件)()()(122121x f x x f x x x f +=知0)1(=f让0,0>∆+>x x x ，则])1()1()([lim )()(limxx f x xf xx f xx f x x f x x ∆-∆++=∆-∆+→∆→∆4)()1()(+='+=xx f f xx f由导数定义知)(x f 在0>x 处可导，且有4)()(+='xx f x f ，再由上式得C x xx f x xx f +=⇒='ln 4)(4])([，又0)1(=f 得x x x f C ln 4)(0=⇒=。

三、（本题8分）令x e x x f ln )(-=，0>x ，则xe xf -='1)(，当e x >时，0)(>'x f ，故)(x f 单调增加。

由e >π知0)()(=>e f f π，即有0ln >-ππe 或ππln e >，考虑到1>e ，所以ee ee πππ=>ln 。

四、（本题8分）因为对xx x f 1ln )(+=，0>x ，有21)(xx x f -='，所以，1=x 是驻点。

由012)(13>=-=''=x xx x f 知1)1(=f 为极小值，即最小值。

由上知，nn n n x x x x 1ln 11ln 1+≤<++，即1+≤n n x x ，所以{}n x 单调增加，又由11ln 1<++n n x x 的1ln <n x ，即e x n <，从而a x n n =∞→lim 存在，且0>a 。

高等数学竞赛试题含答案

I 4zx dydz 2z dzdx (1 z 2) dxdy
S
[解 1]S 的方程为 z e x2 y2 (1 x 2 y 2 4)
补两平面 S1 : z e(x2 y 2 1, 下侧) S2 : z e2 (x2 y 2 4, 上侧)
2
e2
zdV 2 zdz
3. 设为 f (x) arctan x 在 [ 0, b] 上应用拉格朗日中值定理的 “中值”，则
lim
b0
2 b2
…………
（C ）
(A) 1； (B) 1 ； (C) 1 ； (D) 1 .
2
3
4
4.
设
f
(x)
,
g(x)
连续，当
x
0 时，
f
(x)
与
g(x)
为等价无穷小，令
F(x)
x 0
0
2a
（2） F (x) 1 [G '(x a) G '(x a)] 1 [ f (x a) f (x a)]
2a
2a
（3） lim F(x) lim G(x a) G(x a) lim [G(x a) G(x)] [G(x) G(x a)]
a0
a0
2a
a0
2a
1 [G '(x) G '(x)] G '(x) f (x) 2
解
lim
f
(0,
y
1 n
)
n
lim 1
f (0, y 1) n
f
(0,
y
)
n
f (0, y 1) f (0, y)
lim
n
n 1 f (0, y)

大连市高等数学竞赛试题B答案完整版

大连市高等数学竞赛试题B答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，计10分）1. n ⎭⎝∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x xx→-= 1/2 . 3. 0lim x x x +→= 1 . 4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5.若221lim 2,2x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '.解当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分）当0=x 时，由于),0(01sin lim )(lim 300f xx x f x x ≠==→→（8分）所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。

（10分）解：0,1,1x x x ===-为间断点。

（3分）当0x =时，由于00lim ()lim 1,1||x x x f x x x ++→→==+而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。

（5分）当1x =时，由于11lim ()lim 1,1||x x x f x x x →→==+所以1x =是可去间断点。

（7分）当1x =-时，而1lim (),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。

（8分）考生注意：考试时间 150 分钟试卷总分 100 分共四页第 1页曲线)0(316>=x x y 上哪一点处的法线在y 轴上的截距最小？ 3在),(y x 处的法线方程为 )(x X k y Y -=-，因为52x y ='，所以521x k -=，法线方程为 )(215x X x y Y --=-，（4分）整理后为 64545312121212x x X x x x X y Y ++-=+-=，法线在y 轴上的截距为 643121x x b +=。

高数竞赛试题集

高等数学竞赛一、填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n k n n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ．二、单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是【】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得【】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则【】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .22lim ln (1)n nn→∞+于【】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则【】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.25．某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ）连续点（B ）第一类间断点（C ）第二类间断点（D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是（A ） (5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)-7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ）绝对收敛（B ）发散C ）条件收敛（D ）收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1x x x xx e →-=- 。

大连市第3-6届高等数学竞赛试题

大连市第三届大学生高等数学竞赛试题1.（10分）求2.（10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足f(1)-2,求证在（0，1）内至少存在一点，使得f＇()= —。

3.（10分）设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(1)=0,且证明：4.（10分）求函f(x)= 在[0，2]上的最大值与最小值。

5.（10分）设函数f(x)在区间（0，1）上可微，且0＜f＇(ｘ)≤１，f(0)=0证明6.（10分）已知f(t)=(tg(tg(tg,求f＇（１）。

7.（10分）试求的和函数，并计算8.（10分）一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下10米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9.（10分）设f(x)=a1sin(x)+a2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤｜sinx｜求证：| a1+a2+…+a n|≤１10.（10分）设半径为R的球的球心在半径为a的定球面上，问R为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。

大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求。

2、设f(x)在（+）上有连续导函数，求其中L是从点A（3，）到点B(1,2)的直线段。

3、设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b）内存在,使得=（b-a）f()+(b-a) 。

4、设f(x)= 定义A(x)=令A= A(1)+ A()+…+ A()+…,试证：＜Ａ＜１５、设f(x)在（+）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf’(x+)(0<<1)中，与h无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。

6、函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由g(x)=所定义的g(x)有一阶连续导数。

7、若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), ||≤１，试证：｜｜≤在［０，１］上成立。

高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题一、选择题1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（ B ）(A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a ρρρρρρ+-=+=2,，则以向量a ϖ、b ϖ为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰Ñ（k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰Ñ（ D ）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn xa 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n nnx n a 在0=x 处（ D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。

2014年最新全国大学生高等数学竞赛试题及解答

2013年全国大学生数学专业竞赛试题及解答一、计算题（1）求极限 21lim (1)sin n n k k k n n π→∞=+∑解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.注意到 3sin ()x x O x =+, 3322611lim 1sin lim 1n n n n k k k k k k k O n n n n n πππ→∞→∞==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑, 由于 33336611|1()|20,()nn k k k k k O C n n n n ππ==⎛⎫+≤→→∞ ⎪⎝⎭∑∑，所以2211lim 1sin lim 1n n n n k k k k k k n n n n ππ→∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑65)(1)(lim 102122πππ=+=+=⎰∑=∞→dx x x n n k n k n k n .解法2 利用31sin 6x x x x -<<，得 3326221sin 6k k k k n n n n ππππ-<<， 332622111111(1)1sin 16n n n n k k k k k k k k k k k k n n n n n n n n ππππ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑, 由于33336611|1|20,()nn k k k k k n n n n ππ==⎛⎫+≤→→∞ ⎪⎝⎭∑∑， 21lim 1n n k k k n n π→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑65)(1)(lim 102122πππ=+=+=⎰∑=∞→dx x x n n k n k n k n ，所以215lim (1)sin 6n n k k k n n ππ→∞=+=∑ .（2）计算()2222axdydz z a dxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中∑为下半球222z a x y =---的上侧，0a >.解法一. 先以()12222x y z a ++=代入被积函数，()2axdydz z a dxdy I a ∑++=⎰⎰ ()21a x d y d z z a d x d y a ∑=++⎰⎰，补一块有向平面222:0x y a S z -⎧+≤⎨=⎩，其法向量与z 轴正向相反，利用高斯公式，从而得到()()-22+S 1S I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a -∑⎡⎤=++-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()2D 12a z a dxdydz a dxdy a Ω⎡⎤=-+++⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰，其中Ω为+S -∑围成的空间区域，D 为0z =上的平面区域222x y a +≤，于是32212323I a a zdxdydz a a a ππΩ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()222040012a a r a d dr zdz a ππθ--=--⎰⎰⎰32a π=-.解法二. 直接分块积分11I axdydz a ∑=⎰⎰ ()2222yzD a x y dydz =--+⎰⎰，其中yz D 为yOz 平面上的半圆222y z a +≤，0z ≤. 利用极坐标，得 222310223a I d a r rdr a ππθπ=--=-⎰⎰， ()221I z a dxdy a ∑=+⎰⎰ ()22221xyD a a x y dxdy a ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦⎰⎰，其中xy D 为xOy 平面上的圆域，222xy a +≤，用极坐标，得 ()22222200122a I d a a a r r rdr a πθ=---⎰⎰36a π=，因此3122I I I a π=+=-. （3）现要设计一个容积为V 的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？解：设圆柱体的高为h ，底面直径为d ，费用为f ，根据题意，可知22d h V π⎛⎫= ⎪⎝⎭，24V d h π= 222d f a b dh ππ⎛⎫=⋅⋅+⋅ ⎪⎝⎭212a d b d h π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2111222ad bdh bdh π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 23132ad bdh bdh π≥⋅⋅ ()2223332ab d h π=⋅2233342V ab ππ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当2ad bdh =时，等号成立，h a d b=，故当h a d b=时，所需要的费用最少. （4）已知()f x 在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内满足()331sin cos f x x x '=+求()f x . 解：()331sin cos f x dx x x '=+⎰22211sin cos 3sin cos 2sin sin cos cos x x dx x x x x x x +⎛⎫=+ ⎪+-+⎝⎭⎰，111sin cos 2sin 4dx dx x x x π=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰114ln tan 22x C π+=+， ()222sin cos sin cos 11sin sin cos cos sin cos 22x x x x dx dx x x x x x x ++=-+-+⎰⎰ ()2sin cos 2sin cos 1x x dx x x +=-+⎰ ()()2sin cos 2sin cos 1d x x x x -=-+⎰ ()22arctan sin cos x x C =-+所以，()()2124ln tan arctan sin cos 3232x f x x x C π+=+-+. 二、求下列极限.（1）1lim 1n n n e n →∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）111lim 3n n n n n a b c →∞⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中0a >，0b >，0c >.解：（1）11lim 1lim 1n x n x n e x e n x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1ln 1lim 1x x x e ex ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→+∞-=211111ln 11lim 1xx x x x x x x→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=- 211ln 11lim 1x x x e x →+∞⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=- ()2311111lim 12x x x x e x→+∞-+++= ()2211lim 12x x e x →+∞-+= 21lim 2211x e e x →+∞=-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （2） 111111lim lim 33n x n n n x x x n x a b c a b c →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln 3lim x x x a b c x x e ++→+∞= 111ln3lim 1x x xx a b c x e →+∞++=， 111ln3lim 1x x x x a b c x →+∞++1111112211ln ln ln lim 1x x x x x x x a a b b c c x a b c x →+∞⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=-1111111lim ln ln ln x x x x x x x a a b b c c a b c →+∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭++ ()1ln ln ln 3a b c =++3ln abc =，故1113lim 3n n n n n a b c abc →∞⎛⎫++ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 一般地，有1112lim n m n k k m m n a a a a m =→∞⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑ ，其中0k a >，1,2,,k m = ， 120lim x x nx x x e e e n →⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 2ln 0lim x x nx e e e n x x e +++→= ()2ln ln 0lim x x nx e e e n x x e +++-→= ()22012lim 1x x nx x x nx x e e ne e e e e→++++++= ()11122n n n e e++++== . 三．设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导，()10f =，()12f '=，求()220sin cos lim tan x f x x x x x→++. 解：()220sin cos lim tan x f x x x x x →++()()22220sin cos 1sin cos 1lim tan sin cos 1x f x x f x x x x x x x →⎛⎫+-+- ⎪=⋅ ⎪++-⎝⎭()220sin cos 11lim tan x x x f x x x→+-'=+ 2220sin 2sin 22lim tan x x x x x x →-=+22022sin cos 1222lim sin 11cos x x x x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2200sin cos 122lim lim sin 11cos x x x x x x x x→→⎛⎫- ⎪=⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭ 2111112-=⋅=+.四、设()f x 在[)0,∞上连续，无穷积分()0f x dx ∞⎰收敛，求()01lim y y xf x dx y →+∞⎰. 解：设()()0x Fx f t dt =⎰，由条件知，()()F x f x '=， ()()0lim x F x f t dt A +∞→+∞==⎰，利用分部积分，得 ()()00y yxf x dx xF x dx '=⎰⎰()()0y yF y F x dx =-⎰， ()()()0011y y xf x dx F y F x dx y y =-⎰⎰， ()()0lim lim y y y F x dx F y A y →+∞→+∞==⎰，于是()()()0011lim lim lim y y y y y xf x dx F y F x dx y y →+∞→+∞→+∞=-⎰⎰0A A =-=.五．设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可微，且()()010f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明：（1）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f ξξ=；（2）对于每一λ，存在()0,ηξ∈，使得()()1f f ηληλη'=-+. 证明：（1）令()()F x f x x =-，由题设条件，可知1122F ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11F =-；利用连续函数的介值定理，得存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0F ξ=，即()f ξξ=.（2）令()()()x G x e f x x λ-=-，由题设条件和（1）中的结果，可知，()00G =，()0G ξ=；利用罗尔中值定理，得存在()0,ηξ∈，使得()0G η'=，由()()()()()1x x G x e f x e f x x λλλ--''=---，即得()()1f f ηληλη'=-+.六、试证：对每一个整数2n ≥，成立11!!2n nn n e n +++> . 分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.证明：显然0n=时，不等式成立；下设1n ≥. 由于()001!!k n n n n t k n e n t e dt k n ==+-∑⎰，这样问题等价于证明()0!2n n n t n en t e dt ->-⎰，即 ()002n n n t n t t e dt e n t e dt +∞-->-⎰⎰，令u n t =-上式化为 002n n t n u t e dt u e du +∞-->⎰⎰，从而等价于0n n u n u n u e du u e du +∞-->⎰⎰，只要证明20n n n u n u n u e du u e du -->⎰⎰，设()n u f u u e -=，则只要证明()()f n h f n h +≥-，()0h n ≤≤，就有()()00n nf n h dh f n h dh +≥-⎰⎰，()()20n n n f u du f u du >⎰⎰，则问题得证.以下证明()()f n h f n h +≥-，()0h n ≤≤，成立上式等价于()()n n n h h n n h en h e ---+≥-，即()()lnln n n h h n n h h +-≥-+，令()()()ln ln 2gh n n h n n h h =+---，则()00g =，并且对0h n <<，有2dg n n dh n h n h=+-+- 2222222220n h n h n h=-==>--，从而当0h n <<时，()0g h >，这样问题得证.注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.六、设1n >为整数，()2011!2!!n x tt t t F x e dt n -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭⎰ ，证明方程()2n F x =，在,2n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上至少有一个根. 六、证明：存在1(,)2a n n ∈，使得001!2k n a x k x e dx n k -==∑⎰. 证明：令()00!k nyx k x f y e dx k -==∑⎰，则有220002!2n n k n x x x k n x n f e dx e e dx k --=⎛⎫=<= ⎪⎝⎭∑⎰⎰， ()00!k n n x k x f n e dx k -==∑⎰00!kn n n k n e dx k -=>∑⎰ 0122nn n n e e dx ->⋅=⎰，由连续函数的介值定理，得存在,2n a n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()2n f a =，故问题得证. 这里是由于()0!kn x k x g x e k -==∑， ()0!n x x g x e n -'=-<， ()g x 在[)0,+∞上严格单调递减，所以，当0x n <<时，有()()g x g n >.七、是否存在R 上的可微函数()f x ，使得2435(())1f f x x x x x =++--，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。

2014大连大学经文类高等数学竞赛试题

2014年大连大学高等数学竞赛经文类试题一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1、设()y y x =由2xy x y =+确定，则0|x dy ==2、曲线2cos31x y e xy e ++=+在点(0,1)处的切线方程为3、若0()lim11cos x f x x →=-且20()x f t dt ⎰是n x 的同阶无穷小，则n = 4、设sin x x为()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰5、曲线1sin y x x=+的渐近线方程为6、函数2ln ()23xf x x x =+-的第一类可去型间断点为7、设()f x 是连续函数且1201()()1f x x f t dt x=++⎰，则()f x = 8、sin 0limln cos x xx e e x x→-= 9、221limnn i in i→∞==+∑ 10、设曲线()y f x =与2y x x =+在点(0,0)相切，则lim n →∞= 二、（本题8分）求极限1212((1))lim1ln(1)x tx t e t dt x x→+∞--+⎰三、（本题10分）设111n n x n e n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，其中n 为正整数，求lim n n x →∞。

四、（本题9分）已知极限2014lim 0(1)n n c n n αα→∞=≠--，试求α以及c 。

五、（本题9分）已知曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-，求222(1)li mln co s x t x t x e f e e d t I x x→+-=⎰六、（本题8分）设函数()y f x =由方程32260y xy x y +++=确定，求()f x 的极值。

七、（本题10分）设函数()f x 的原函数为sin xx，求不定积分'(2)xf x dx ⎰。

八、（本题8分）设函数1()F x t x t dt =-⎰，求'()F x 。

2014年辽宁省大连市高考数学二模试卷(文科)

2014年辽宁省大连市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合U={0，1，2，4，8}，A={1，2，8}，B={2，4，8}，则∁U（A∩B）=（）A.{0，2}B.{4，8}C.{0，1，4}D.{1，8}【答案】C【解析】解：∵U={0，1，2，4，8}，A∩B={1，2，8}∩{2，4，8}={2，8}，∴C U（A∩B）={0，1，4}，故选C．利用两个集合的交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求出C U（A∩B）．本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出A∩B，是解题的关键．2.设复数z满足zi=-3+i（i为虚数单位），则z的虚部是（）A.-3B.-3iC.3D.3i【答案】C【解析】解：∵复数z满足zi=-3+i，∴z==1+3i，∴z的虚部是3，故选：C．由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求出z，可得z的虚部．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A.58B.88C.143D.176【答案】B【解析】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．4.平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）【答案】B【解析】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．5.下列命题中的假命题是（）A.∀x∈R，2x-1＞0B.∃x∈R，lgx＜1C.∀x∈R，x2＞0D.∃x∈R，tanx=2【答案】C【解析】解：根据指数函数的性质，2x-1＞0恒成立，故A正确；当0＜x＜10时，lgx＜1，故B：∃x∈R，lgx＜1正确；当x=0时，x2=0，故C：∀x∈R，x2＞0错误；∵函数y=tanx的值域为的，故D：∃x∈R，tanx=2正确；故选C根据指数函数的值域为（0，+∞）可判断A的真假；根据对数函数的图象和性质，可得0＜x＜10时，lgx＜1，进而判断出B的真假；根据实数平方的非负性，可以判断C的真假；根据正切函数的值域，可以判断D的真假本题以命题的真假判断为载体考查了指数函数、对数函数、二次函数、正切函数的图象和性质，熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解答的关键．6.已知cos（α-）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A. B.- C. D.-【答案】A【解析】解：∵cos（α-）+sinα=cosα+sinα+sinα=cosα+sinα=cos（-α）=，∴cos（-α）=，∴sin（α+）=sin[-（-α）]=cos（-α）=，故选：A．由条件利用查两角和差的三角公式、诱导公式求得cos（-α）=，再根据sin（α+）本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于基础题．7.设变量x，y满足约束条件则z=3x-2y的最大值为（）A.0B.2C.4D.3【答案】C【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=3x-2y过点D时，在y轴上截距最小，z最大由D（0，-2）知z max=4．故选C．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x-2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8.抛物线y2=8x的焦点与椭圆+=1的焦点重合，则椭圆的离心率为（）A. B.或 C.或 D.【答案】A【解析】解：由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），∵抛物线y2=8x的焦点与椭圆+=1的焦点重合，∴a2-5=4，∴a2=9，解得：a=3．∴e==．故选A．求出抛物线的焦点坐标，由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合得到椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且求得半焦距c，然后利用a2=b2+c2求出椭圆的半长轴，则离心率可求．本题考查了椭圆的简单性质，涉及圆锥曲线离心率的求解问题，一定要找到关于a，c 的关系，隐含条件a2=b2+c2的应用是解答该题的关键，此题是基础题．9.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则其中ω，φ分别为（）【答案】B【解析】解：由图知A=1，T=-=，ω＞0，∴T==π，解得：ω=2；又该函数的图象过（，0），|∴2×+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜π，∴φ=；综上所述，ω=2，φ=．故选：B．利用f（x）=A sin（ωx+φ）的图象，可得A=1，T=，从而可求得ω；再由其图象过（，0），|φ|＜π，可求得φ，从而可得答案．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的解析式的确定，着重考查正弦函数的图象与性质，求得φ是难点，属于中档题．10.执行如图所示的程序框图，输入的N=2014，则输出的S=（）A.-B.5C.2013D.【答案】A【解析】解：由程序框图知：第一次循环S=1+4=5，i=2；第二次循环S=1-=，i=3；第三次循环S=1-=-，i=4．第四次循环S=5，i=5，…∴S值的周期为3，∵N=2014，∴跳出循环的i值为2014，∴输出的S=-．故选：A．根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现S值的周期，再根据条件确定跳出循环的i值，利用周期确定输出的S值．本题考查了当型循环结构的程序框图，根据棱台的流程判断S值的周期并利用周期确定输出的S值是关键．11.已知双曲线-=1（b＞0），过其右焦点F作图x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，∠CED=150°，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图，∵双曲线-=1（b＞0），过其右焦点F作圆x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，∠CED=150°，∴∠FOC=180°-2∠OEC=30°，∠OCF=90°，∴OC=a，OF=c，CF=c，∴a2+（c）2=c2，解得c=a，∴e==．故选：D．根据已知条件，作出图形，结合图形，由双曲线的性质得到∠FOC=30°，∠OCF=90°，OC=a，OF=c，CF=c，利用勾股定理求出a，c间的等量关系，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题．12.已知函数f（x）满足f（x）=f（3x），当x∈[1，3），f（x）=lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】解：设x∈[3，9），则∈[1，3）∵x∈[1，3），f（x）=lnx，∴f（）=ln，∵函数f（x）满足f（x）=f（3x），∴f（）=f（x）=ln，∴f（x）=，＜，＜，∵在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，∴f（x）-ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=有三个解，则y=a与h（x）=的图象有三个交点，当x∈[1，3），h（x）==，则h′（x）==0，解得x=e，∴当x∈[1，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，3）时，h′（x）＜0即函数h（x）==在[1，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，∴当x=e处，函数h（x）==在[1，3）上取最大值，当x∈[3，9），h（x）==，则h′（x）==0，解得x=3e，∴当x∈[3，3e）时，h′（x）＞0，当x∈（3e，9）时，h′（x）＜0即函数h（x）==在[3，3e）上单调递增，在（3e，9）上单调递减，∴当x=3e处，函数h（x）==在[3，9）上取最大值，根据函数的单调性，以及h（1）=0，h（e）=，h（3）=0，h（3e）=，h（9）=，画出函数的大值图象，根据图象可知y=a与h（x）在[1，3）上一个交点，在[3，3e）上两个交点，∴在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（，）．故选：B．可以根据函数f（x）满足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，可转化成“f（x）-ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=有三个解”，最后转化成y=a与h（x）=的图象有三个交点，根据函数的单调性画出函数h（x）的图象，即可求出所求．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，同时考查了运算求解的能力，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于难题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= ______ m．【答案】4【解析】解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出h即可．本题考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．14.设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k= ______ ．【答案】6【解析】解：由等比数列的通项公式可得，=4又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题15.如图是某公司10个销售店某月销售某品牌电脑数量（单位：台）的茎叶图，则数落在区间[19，30）内的频率为______ ．【答案】0.6【解析】解：所有的数字有18，19，21，22，22，27，29，30，30，33，共10个，其中数据落在区间[19，30）内的有19，21，22，22，27，29，共6个，故数据落在区间[19，30）内的频率为=0.6，故答案为：0.6所有的数字共有10个，其中数据落在区间[19，30）内的有6个，由此求得数据落在区间[19，30）内的频率．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：频率=频数与样本容量之比是解题的关键．16.沿边长为1的正方形ABCD的对角线AC进行折叠，使折后两部分所在平面互相垂直，则折后形成的空间四边形ABCD的内切球的半径为______ ．【答案】【解析】解：由题意可知折后形成的空间四边形ABCD的体积为：=．折后形成的空间四边形ABCD的全面积为：S=2×设内切球的半径为：r，∴=，r==．故答案为：．利用等体积方法，求出内切球的半径即可．本题考查几何体的内切球的半径的求法，等体积法是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos A=．（Ⅰ）求2cos2+sin2（B+C）；（Ⅱ）若a=，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵cos A=，∴sin A==，∴=；（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，代入数据可得，∴，∴当且仅当b=c时取等号，∴△ABC面积最大值为【解析】（Ⅰ）由cos A=，可得sin A=，化简要求的式子可得1-cos A-2sin A cos A，代入化简可得；（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得，结合三角形的面积公式可得．本题考查解三角形，涉及三角函数的运算和基本不等式的应用，属中档题．18.从含有两件一等品、两件二等品和一件三等品的5件产品中，每次任取1件．（Ⅰ）若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件一等品的概率；（Ⅱ）若每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品属于不同等次的概率．【答案】解：（Ⅰ）设5件产品中，两件一等品为a1、a2，两件二等品为b1、b2，三等品为c．若取出后不放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间Ω1，则Ω1={（a1，a2）（a1，b1）（a1，b2）（a1，c）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c）（b1，b2）（b1，c）（b2，c）}…（3分）共10个基本事件．设取出的两件产品中恰有一件一等品为事件A，则事件A={（a1，b1）（a1，b2）（a1，c）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c）}含有6个基本事件，所以…..（6分）（Ⅱ）若取出后放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间Ω2，则Ω2={（a1，a1）（a1，a2）（a1，b1）（a1，b2）（a1，c）（a2，a1）（a2，a2）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c）（b1，a1）（b1，a2）（b1，b1）（b1，b2）（b1，c）（b2，a1）（b2，a2）（b2，b1）（b2，b2）（b2，c）（c，a1）（c，a2）（c，b1）（c，b2）（c，c）}共25个基本事件…..（8分）设取出的两件产品属于不同等次为事件B，则事件B={（a1，b1）（a1，b2）（a1，c）（a2，b1）（a2，b2）（a2，c）（b1，a1）（b1，a2）（b1，c）（b2，a1）（b2，a2）（b2，c）（c，a1）（c，a2）（c，b1）（c，b2）}共16个基本事件．所以…（12分）【解析】（Ⅰ）取出后不放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间共10个基本事件．设取出的两件产品中恰有一件一等品为事件A，则事件A含有6个基本事件，由此能求出结果．（Ⅱ）若取出后放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间包含25个基本事件，取出的两件产品属于不同等次为事件B，则事件B包含16个基本事件，由此能求出取出的两件产品属于不同等次的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.如图，三棱柱ADF-BCH中，侧面ABCD是菱形，FA=FD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在线段FC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面EFB；（Ⅱ）若Q是FC的中点，求证：FA∥平面BDQ（Ⅲ）若V F-BCDE=2V Q-ABCD，试求的值．【答案】（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，FA=FD，所以AD⊥FE因为侧面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，因为FE∩BE=E，所以AD⊥平面EFB…..（4分）（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，Q是FC的中点，所以OQ为△FAC的中位线，所以OQ∥FA，因为FA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，所以FA∥平面BDQ…．（8分）（Ⅲ）解：设四棱锥F-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，所以V F-BCDE=，因为V F-BCDE=2V Q-ABCD，且底面积所以，因为，所以…（12分）【解析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明，关键是证明AD⊥FE，AD⊥BE；（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连结OQ，利用三角形的中位线定理证明OQ∥FA，即可证明FA∥平面BDQ（Ⅲ）利用体积关系可得高的关系，即可求的值．本题考查线面垂直，考查线面平行，考查体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定，属于中档题．20.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为，其一个焦点在抛物线C2：x2=2py（p＞0）的准线上，过点M（0，1）的直线交C1于C、D两点，交C2于A、B两点，分别过点A、B作C2的切线，两切线交于点Q．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）求△QCD面积的最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为，∴，解得a2=8，b=2，c=2，∴C1的方程为：．（2分）∵C1的焦点为（0，2），（0，-2），其一个焦点在抛物线C2：x2=2py（p＞0）的准线上，∴p=4，∴C2的方程：x2=8y．（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），Q（x0，y0）．由（Ⅰ）知C2：y=，∴′，∴过A点C2的切线方程为y-y1=，即y=．过B点C2的切线方程为y=．又∵这两条直线均过点Q，∴，，∴点A，B均在直线上．∴直线AB的方程为y=，又∵直线AB过点M（0，1），∴y0=-1．∴直线AB的方程为y=，（6分）联立方程组，得，，．|CD|=|x3-x4|==，（8分）点Q到直线AB的距离为．∴△QCD面积：S=•=．（10分）设=t，∴t．∴S（t）==2（t-），∴当t∈[2，+∞）时，S（t）为单调递增函数．∴S min=．（12分）【解析】（Ⅰ）由已知条件得，由此能求出C1的方程．由C1的焦点为（0，2），（0，-2），其一个焦点在抛物线C2：x2=2py（p＞0）的准线上，得p=4，由此能求出C2的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），Q（x0，y0）．由C2：y=，利用导数的几何意义知过A点C2的切线方程为y=．过B点C2的切线方程为y=．由此求出直线AB的方程为y=，联立方程组，得，由此利用椭圆弦长公式和点到直线距离公式能求出△QCD面积的最小值．本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．21.已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=-=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2-ln2∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=-+2a=当a＜-2时，-＜，令f′（x）＜0得0＜x＜-或x＞，令f′（x）＞0得-＜x＜；当-2＜a＜0时，得-＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞-，令f′（x）＞0得＜x＜-；当a=-2时，f′（x）=-≤0，综上所述，当a＜-2时f（x），的递减区间为（0，-）和（，+∞），递增区间为（-，）；当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（-，+∞），递增区间为（，-）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3++6a]=-4a+（a-2）ln3，∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x1）-f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a-2ln3＞-4a+（a-2）ln3整理得ma＞-4a，∵a＜0，∴m＜-4恒成立，∵-3＜a＜-2，∴-＜-4＜-，∴m≤-【解析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．22.如图，已知PE是⊙O的切线，切点为E，PAB，PCD都是⊙O的割线，且PAB经过圆心O，过点P直线与直线BC，BD分别交于点M，N，且PE2=PM•PN．（Ⅰ）求证D，C，M，N四点共圆；（Ⅱ）求证PB⊥PN．【答案】证明：（Ⅰ）∵PE是⊙O的切线，∴PE2=PC•PD，又∵PE2=PM•PN，∴，又∵∠CPM=∠NPD，∴△PCM∽△PND，∴∠PCM=∠PND，∴∠DCM+∠PND=180°，∴D，C，M，N四点共圆．---------（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BCD=∠PND，由圆周角定理得∠BCD+∠NBP=90°，∠PND+∠NBP=90°，∴∠BPN=90°，∴PB⊥PN．-------------（10分）【解析】（Ⅰ）证明D，C，M，N四点共圆，只需证明∠DCM+∠PND=180°；（Ⅱ）证明PB⊥PN，只需证明∠BPN=90°，由圆周角定理可证．本题考查了相似三角形的性质和判定，切割线定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，综合性比较强，有一定的难度．23.已知点P（1+cosa，sina）（a∈[0，2π]），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线C：ρ=上．（Ⅰ）求点P的轨迹极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P的轨迹与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【答案】解：（Ⅰ）∵∴点P的轨迹方程为：（x-1）2+y2=10．将代入得ρ2-2ρcosθ-9=0．∵ρ=，∴ρsinθ-ρcosθ=1，∴曲线C的直角坐标方程为：x-y+1=0．（Ⅱ）由，解得或，∴交点极坐标为（，arccos），（，π+arccos）．【解析】（Ⅰ）先写出点P的轨迹方程，再由代入化简即得P的极坐标方程，运用两角差的正弦公式化简曲线C，再由，即可得到曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）先求出点P的轨迹与曲线C交点的直角坐标，再将其化为极坐标，注意ρ≥0，0≤θ＜2π．本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程和普通方程的互化，考查基本的运算能力．24.已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，∴，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x-1|+1，f（n）≤m-f（-n），∴|2n-1|+1≤m-（|-2n-1|+1），∴|2n-1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|2n-1|+|2n+1|+2=，，＜＜，，∴y min=4，由存在实数n，使得f（n）≤m-f（-n）成立，∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．【解析】（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，从而求得a的值；（2）由题意可得|2n-1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n-1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

高等数学竞赛练习题(含答案)

高等数学竞赛练习题1、单项选择题(1)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减，则2(4)f x +的单调递减区间是( C ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在(2)设函数(),0,x a x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数,10<<a ，则 ( B )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 (3)设函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=和()()()x g x f x G -=在0x 处 ( D )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数(4) 若ln x 是()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）A. ln axB. 1ln ax aC. ln x a +D. 21(ln )2x(5) 设()f x 连续，则[]sin ()()aax f x f x dx -+-⎰等于 ( A )A.0B.aC.a -D. 2a（6）下列命题中正确的命题有几个？（ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. （7）. 设1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是（ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x .. （8）设ξ为()arctan f x x=在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 22limb b ξ→=（ C ）(A) 1； (B) 12； (C) 13； (D) 14.（9）设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()xF x f x t dt=-⎰，1() () G x x g xt dt =⎰, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的（ D ）(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小； (D) 等价无穷小.（10）设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足 220(,)(0,0)lim31sin cos x y f x y f x x y y→→-=-+--，则),(y x f 在点)0,0(处（ A ）(A) 取极大值；(B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. （11）设f 有连续的一阶导数，则 (1,2)(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=⎰（ B ）(A) 102() d f x x⎰； (B) 3() d f x x ⎰； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 .（12）设任意项级数 1n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1n n b ∞=∑, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为1n n c ∞=∑，则1nn b ∞=∑与1n n c ∞=∑（ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.（13）设0()f x '存在，则下列四个极限中等于0()f x '的是（ B ）（A ）000()()lim x f x x f x x →-- ；（B ）000()()lim h f x f x h h →--；（C ）000()()limx x f x f x x x →--；（D ）000()()lim h f x h f x h h →+--.（14）0()0f x ''=是曲线()y f x =有拐点00(,())x f x 的（ D ）（A ）充分而非必要条件；（B ）必要而非充分条件；（C ）充分必要条件；（D ）既非充分又非必要条件.（15）设2222{(,,),0},0x y z x y z R z a Ω=++≤≥≠，则I axdV Ω==⎰⎰⎰（ C ）( A )0I >； ( B )0I <； ( C )0I =； ( D ) I 的符号与a 有关.2、求极限201sin lim ln x xx x →答案： 22001sin 1sin limln lim ln 1(1)x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-3、设220()()()xF x x t f t dt '=-⎰，若0x →时，()F x '与2x 为等价无穷小，求(0)f '答案：220()()()xxF x xf t dt t f t dt ''=-⎰⎰，220()2()()()2()x x F x x f t dt x f x x f x x f t dt '''''=+-=⎰⎰，由020002()()1limlim lim 2()2(0)xx x x f t dtF x f x f xx→→→''''====⎰，解得1(0)2f '=4、求220081(tan )dxx π+⎰ 答案：令2x t π=-，则2200801tan dx x π+⎰2008022008200802tan 1cot 1tan dt tdt t tππ-==++⎰⎰ 22200820080021tan 21tan dt dx t xππππ=-=-++⎰⎰所以220081tan 4dx x ππ=+⎰ 5、设函数()()10f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值和单调区间. 答案： 11220()()()()()xxxxf x t x t dt t t x dt tx t dt t tx dt =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰31323x x =-+ 21()2f x x '=-,令()0f x '=，得2x =.由()20(01)f x x x ''=><<知1(263f =-+为极小值，由21()2f x x '=-知，()f x的单调减区间是(0,2，单调增区间是 6、说明级数nn ∞=(1)(1)](1)1(1)11111n n n n n n n ----===----，而交错级数2(1)1nn ∞=-∑收敛，调和级数211n n ∞=-∑发散，故原级数发散 7、已知20()()8f x f x dx '=⎰，且(0)0f =，求2()f x dx ⎰及()f x答案：已知2()f x dx ⎰为一常数，由28()()f x f x dx'=⎰，积分得28()()f x x f x dx=⎰，再积分得2()4f x dx =±⎰，所以()2f x x =±8、求内接于椭圆12222=+by a x ，而面积最大的矩形的边长答案：设内接矩形的边长分别为2,2u v ，则(,)u v 在椭圆上，所以22221u v a b+=，矩形面积()44S u uv u u a ==<<，222()S u '==，令()0S u '=，得唯一驻点u =，从而v =，由实际问题知，当u =时，有最大面积2S ab =，这时矩形边长分别为a 29、设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，求证在(0,1)内至少存在一点c ，使()0f c '=答案：由定积分中值定理得1232(0)3()3()(1)()3f f x dx f f ξξ==-=⎰，其中213ξ≤≤，在[0,]ξ上应用罗尔定理，至少存在一点(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使()0f c '=10、设{}n a 是单调不减的数列，令12nn a a a b n+++=，若lim n n b a →∞=，试证lim n n a a →∞=.若去掉“单调不减”这个条件，试问这个结论是否成立？（要求说明理由）证：因对任意1,n n n a a +≤，故12n nn n a a a na b a n n+++=≤= .（夹逼）固定n ，并令m n >，则1111nk n mk m k k n k k n a m n b a a a m m m ===+-⎛⎫=+≥+ ⎪⎝⎭∑∑∑ 令m →∞，得lim m n m a b a →∞=≥，从而n n a a b ≥≥，令n →∞，得lim n n a a →∞=若去掉“单调不减”这个条件，则结论不一定成立.例如，取1(1),1,2,n n a n -=-= ，则12lim lim 0nn n n a a a b n→∞→∞+++== ，但数列{}n a 发散. 11、设在[0,](0)a a >上|()|f x M ''≤，且()f x 在(0,)a 内取得最大值，试证|(0)||()|f f a Ma ''+≤证：因()f x 在(0,)a 内取得最大值，由费马定理得存在(0,)b a ∈使()0f b '=.对()f x '使用拉格朗日中值定理得，111(0)()()(),(0,)f f b f b bf b ξξξ''''''=-=-∈222()()()()()(),(,)f a f b f a b a b f b a ξξξ''''''=+-=-∈ 从而(0)()()f f a Mb M a b Ma ''+≤+-=.12、设()f x 在[0,]n 上连续（n 为自然数，2n ≥），(0)()f f n =，试证存在,1[0,]n ξξ+∈，使()(1)f f ξξ=+证：令()(1)()g x f x f x =+-，则()g x 在[0,1]n -上连续令[0,1][0,1]min (),max ()x n x n m g x M g x ∈-∈-==，则11(),0,1,2,,1,()n i m g i M i n m g i M n -=≤≤=-≤≤∑ ，1()()(0)0n i g i f n f -==-=∑，对函数()g x 应用介值定理得，存在[0,1]n ξ∈-，使11()()0n i g g i n ξ-===∑，即存在,1[0,]n ξξ+∈，使()(1)f f ξξ=+.13、设函数()f x 在[,]a b 上可积，且()0baf x dx >⎰，试证存在区间[,][,]a b αβ⊂使()0,[,]f x x αβ>∈.证：反证法. 若不然，则对于[,]a b 的任何子区间[,]αβ上都有点ξ，使()0f ξ≤，从而对于[,]a b 的任何分划T ：012n a x x x x b =<<<<= ，在每个子区间1[,]i i x x -上都有点i ξ，使()0i f ξ≤.那么由()f x 在[,]a b 上的可积性知，max 01()lim()0i nbiiax i f x dx f xξ∆→==∆≤∑⎰，矛盾.14、设()f x 在点0x =二阶可导，且0()lim 11cos x f x x→=-，求(0),(0)f f '和(0)f ''的值解：0()lim11cos x f x x→=- 0(0)lim ()0x f f x →∴==又00()()1lim lim 1cos sin x x f x f x x x→→'==- 0(0)lim ()0x f f x →''∴==000()(0)()()sin (0)lim lim lim .10sin x x x f x f f x f x xf x x x x→→→''''-''====-15、设(,)()z f x y x y g x ky =-+++，,f g 具有二阶连续偏导数，且0g ''≠，如果222222224z z z f x x y y ∂∂∂''++=∂∂∂∂，求常数k 的值解：设,,x y u x y x ky w ν-=+=+=，则1212,z zf fg f f kg x y ∂∂''''''=++=-++∂∂ 2111221222zf f f fg x∂''''''''''=++++∂ 211122122zf f f f kg x y∂''''''''''=-+-++∂∂ 22111221222z f f f f k g y∂''''''''''=--++∂ ∴由222222224z z zf x x y y ∂∂∂''++=∂∂∂∂得2(1)0kg ''+=，故1k =-.16、设()f x 在[0,1]上可积，证明22()()01f x f y x y e dxdy π-≤+≤≥⎰⎰证： 2112!xe e x x x ξ=++≥+ ()()1()()f x f y e f x f y -∴≥+-[]2222()()01011()()f x f y x y x y e dxdy f x f y dxdy -≤+≤≤+≤≥+-⎰⎰⎰⎰ 22220101()()x y x y f x dxdy f y dxdy ππ≤+≤≤+≤=+-=⎰⎰⎰⎰17、设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，令21[()][()]L xI yf xy dx xf xy dy y y=++-⎰.要求：（1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当ab cd =时，求I 的值. 证明(1) 因为211[()]()()yf xy f xy xyf xy y y y ∂'+=-+∂2[()]xxf xy x y∂=-∂在上半平面内处处成立，所以曲线积分I 与上半平面内路径L 无关.解(2) 由于曲线积分I 与路径无关，所以可取积分路径L 为由点(,)a b 到点(,)c b ，再到点(,)c d 的折线段，从而2221[1()][()1]cd ab c I b f bx dx y f cy dyby =++-⎰⎰()()c d a b c a c cbf bx dx cf cy dy b d b -=+++-⎰⎰()()bc cd ab bc c a f t dt f t dt d b =-++⎰⎰ ()cd abc af t dt d b =-+⎰所以，当ab cd =时，c aI d b=-.18、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x ax x aF x f t t aG x f t t a +-==⎰⎰, 试求下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim ()()a F x f x →==；（4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m、,求证：()()F x f x M m -≤-.解（1）00111()()[()()][()()]222x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a ++--==-=+--⎰⎰⎰ （2）11()['()'()][()()]22F x G x a G x a f x a f x a a a'=+--=+--（3）000()()[()()][()()]lim ()lim lim22a a a G x a G x a G x a G x G x G x a F x a a→→→+--+-+--== 1['()'()]'()()2G x G x G x f x =+== （4）11|()()||()()||[()()]()()|22x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a aξ+--=-=+---⎰|()()|()f f x M m x a x a ξξ=-≤--≤≤+19、求曲线 ln ln 1x y += 所围成的平面图形的面积.[解1]去掉绝对值曲线为：,11,1,101,0111,0101xy e x y y x x y ey ex x y xy x y e =≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且11111()()e ee x A ex dx dx e ex x e e =-+-=-⎰⎰ [解2]令ln ,ln ,,,:||||1,uv x u y v x e y e D u v '====+≤则00uuv u v v uv x x e J e e y y e===⋅. ||DD dxdy J dudv '==⎰⎰⎰⎰u vD e e dudv '⋅=⎰⎰01111111u uu v u v u u e du e dv e du e dv e e+-----+=-⎰⎰⎰⎰. 20、设曲面S 为曲线 e 0yz x ⎧=⎨=⎩ (12y ≤≤) 绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分 24 d d 2 d d (1) d d SI zx y z z z x z x y =-+-⎰⎰[解1]S的方程为22(14)z x y =≤+≤补两平面2222212:(1,):(4,)S z e x y S z e x y =+≤=+≤下侧上侧122S S S VzdV ++=⎰⎰⎰⎰⎰ 2()2e eD z zdz d σ=⎰⎰⎰224252ln 22e ez zdz e e πππ==-⎰1222242(1)(1)(1)(1)xyS D zxdydz zdzdx z dxdy e dxdy e eππ-+-=--=--⋅=-⎰⎰⎰⎰；2121244225(1)4(1);(1)4(1)22xyS D S S S S S e dxdy e I e e e e πππππ44++=-=-=--=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 42332e e πππ13=--2 [解2]2(4,2,1)(,,1)x y DI zx z z z z dxdy =--⋅-⎰⎰222220142221(4cos 2sin 1)(41)1333(:14)22DD r edxdy dxdyd e r rdr e e D x y πθθθππππ⎡⎤⎥=+-⎥⎦=-+--=--≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰21、设幂级数 0n n n a x ∞=∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==; （1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值..解（1）令101(),()nn n n n n S x a x S x na x ∞∞-=='==∑∑则22222()(1)()n n n n n n n n n S x n n a x a x a x S x ∞∞∞---===''=-===∑∑∑，()()0S x S x ''-=1201()(0)4,(0)1x x S x c e c e S a S a -'=+====由，求得125353,,()2222x x c c S x e e -===+（2）由000531313()0ln ,()0,()(ln )222525x x S x e e x S x S x S -'''=-==>∴得又为极小值.22、设函数),(y x f 可微，(,), 0,12ff x y f x π∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭, 且满足()c o t y 1 ( 0, )lim e 0,nn f y n f y →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求 (,)f x y .解 1(0,)(0,)lim (0,)11(0,)(0,)(0,)lim lim 1(0,)(0,)n nnf y f y n f y nn n f y f y f y n n e f y f y →∞+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0,)(0,)y f y f y e = (0,)ln (0,)cot (0,)y f y d f y y f y dy==，对y 积分得ln (0,)lnsin ln (0,)sin f y y c f y c y =+= 代入(0,)112f c π==得，(0,)sin ff y y f x∂==-∂又已知(,)()x f x y c y e -⇒=，(0,)sin f y y = ，()sin (,)sin .x c y y f x y e y -∴==故23、如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________.解:令⎰=2d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)

n
四、（本题满分 10 分）设 f ( x ) 在 [0, +∞ ) 上连续，无穷积分
∫
∞
0
f ( x)dx 收敛。求
1 y xf ( x)dx 。 y →+∞ y ∫0 lim
（本题满分 12 分）设函数 f ( x ) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可微，且五、
1 1 f (0) = f (1) = 0, f ( ) = 1 。证明： (1) 存在 ξ ∈ ( ,1) 使得 f (ξ ) = ξ ； (2) 存在η ∈ (0, ξ ) 2 2
使得 f ′(η ) = f (η ) − η + 1 。六、（本题满分 14 分）设 n > 1 为整数，方程 F ( x ) =
的距离， λ , μ ,ν 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：（1）
∫∫ ρ ( x, y, z ) dS ；
S
z
（2）
∫∫ z ( λ x + 3μ y &#
数学家

六、（本题满分 12 分）设 f ( x) 是在 (−∞, +∞) 内的可微函数，且 f ′( x) < mf ( x) ，其中任取实数 a0 ，定义 an = ln f ( an −1 ), n = 1, 2, 0 < m <1。
L
（2） xe
sin y
5 dy − ye −sin y dx ≥ π 2 。 2
x
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xe + e ， y 2 = xe + e
2x x 2
−x

大连市第27届高等数学竞赛试题B

大连市第27届高等数学竞赛试题B一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(x) \)的最小值。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 32B. 35C. 38D. 413. 若\( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \)，求\( \sin(\alpha - \beta) \)。

A. \( \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \)B. \( \cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta \)C. \( \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta \)D. \( \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \)4. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)。

A. 1B. 2C. 4D. 85. 设\( A \)为单位圆上的点，\( O \)为圆心，\( \angle AOB =\theta \)，求三角形\( \bigtriangleup AOB \)的面积。

A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\theta}{2} \)C. \( \frac{\sin\theta}{2} \)D. \( \frac{\theta}{2\pi} \)6. 若\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)，求\( x \)的值。

A. \( -2 \)B. 无实数解C. \( 2i \)D. \( -2i \)二、填空题（每题5分，共20分）7. 计算\( \int_0^1 x^2 dx \)的值。

大连市数学竞赛试题17-21届

分
（2）由（1）知：
3 2
un1

un
，所以，
0 1 2 ( 2) 2 1 ... ( 2) n1 1 ( 2) n1 ，
un 3un1 3 un2
3 u1 3

故
1
收敛。……………………………………………….…4 分
u n1 n
阅卷人得分
八、（本题 8 分）求下列曲面积分 x3dydz y3dzdx z3dxdy ，
a
2a
证明：设 F (x)
x tf (t)dt x a
a
2
x
f (t)dt ( a x b )…………. 2 分
a
则 F '(x) xf (x) 1
2
x a
f
(t)dt

a
2
x
f
( x)…………………...
….2
分
x a f (x) 1
x
f (t)dt …………. ……………………...2 分
=3
(x2 y2 z2 )dV =12

2 d

2 d
1r 4 sindr = 6 …………. .2 分

0
0
0
5
阅卷人得分
九、（本题 10 分）设函数 f (x) 在[a,b] 上连续,且单调增加,求证:
b xf (x)dx a b
b
f (x)dx。
最大值 f (2, 0) 4 ,最小值 f (0, 0) 0 .…………………………………2 分
(3) 考察边界 x2 y2 4, y 0 ,由 x2 y2 4, 知 y2 4 x2 ,

师大答案

高等数学竞赛题参考答案一 .设λ是常数，试讨论方程λπ=-x x sin 2 在开区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内根的个数。

并证明你自己的结论。

解只需讨论曲线x x ysin 2π-=与直线λ=y 的交点的个数。

为此，设x x x f sin 2)(π-=则x x f cos1)('π-=，记2arccos0=x ，则易见，题给方程当)(0x f <λ或0>λ时，在)2,0(π内没有根，当)(0x f =λ时，在)2,0(π内有且只有一个根，当)0),((0x f ∈λ时，在)2,0(π内有且只有两个根。

二 . 用尽量多的方法计算曲面积分⎰⎰++Szdxdydydz z x )2(，其中S 为曲面)10(22≤≤+=z y x z ，且法向量与z 轴的正向成锐角。

解解法一（同合一投影法）即利用1cos cos -=xz βα和dxdy dS dydz βααcos cos cos == 原式=⎰⎰+-+sdxdy z x z x ])2)(2[(=⎰⎰--sdxdy x xz z )42(2=⎰⎰≤+-+-+12222222]4)(2[y x dxdy x y x x y x=2)cos 4cos 22232012πρρθθθπ-=--⎰⎰d p p pd解法二高斯公式法（略）解法三直接投影法（略）三 .求级数∑∞=+--022)1()1(n nn n n 的和。

解原式=1,)1(02<∑-∞=-x xn n n n ，则x x x dt du u s xtn n-==⎰⎰∑∞=1))((2002 从而32)1(2)"1()(x x x x s -=-=，第一项=274)1(22132=--=x x x，因此，原式=272232274=+。

四 .求幂级数∑∞=+-0)11(n nn a x 的收敛区间，并讨论端点的敛散性，其中 n n na ∑∞=-0)1(发散，且n n a a <<+10(()N ∈n 。