清华大学考研辅导班数学试题(十1)---

lim S n = lim[ f (n) − f (0)] 存在，即级数 ∑ [ f (n) − f (n − 1)] 收敛，
n →∞ n→∞ n =1
∞
（16） （本题满分８分） 若此区域的形 假设区域 D 由曲线 y = px ( y > 0, P > 0) 及其过点 (1, p ) 的切线与 x 轴围成，
f (η1 ) − f (η 2 ) = f (ξ ) 。 η1 − η 2
证明 ： （1）因为 f ′′(ξ ) > 0 ， f ′(ξ ) = 0 ， ξ 是 f 的极小值点。 f ∈ C[a, ξ ] ，有最大 值 f (t1 ) 。同样 f在[ξ，b] 上也存在最大值 f (t 2 ) ，不妨假设 f (t1 ) ≤ f (t 2 ) ，则由连续
x
。
答案： − [ 解 ]
1 f (0) 。 4
x ⎡te t 0 f (u )du ⎤ dt ⎡te t 0 f (u )du ⎤ dt ∫ 0 ⎢ ∫t 2 ⎥ ⎥ ⎣ ∫t 2 ⎦ ⎦ = lim ∫0 ⎢ lim ⎣ x 4 4 x →0 x → 0 x e x x
= lim
x →0
xe x ∫ 2 f (u )du
2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三模拟试题-2
一．填空题（本题共 6 小题，每小题４分，满分 24 分．把答案填在题中横线上）
⎡te t 0 f (u )du ⎤ dt ⎥ 0⎢ ⎣ ∫t 2 ⎦ = （1）设 f ( x) 为已知连续函数连续，则极限 lim x 4 x →0 x e
∫
[ ]。答：D
(A) 存在非零的最大值。 (B) 存在非零的最小值。 (C) 只在边界上取到最大值和最小值。 (D) 能在边界上取到最大值和最小值。
（１2） A, B 为 n 阶方阵， r ( A) = r ( B ) ，则[
]
( A) r ( A − B) = 0 。 (C ) r ( AB) = 2r ( A) 。
2
[技巧] f ( x) =
（9）设 D 是以点 A(1,1), B ( −1,1), C ( −1,−1) 的三角形，则
∫∫ [(
D
x 2 + 3 y 2 + 1) sin( xy ) + 2 dxdy = [
4. (B) 2. (C) 1. (D) 0.
]
] 。答案： A。
(A)
（10） 若 f ( x ) 为 ( −∞,+∞) 内的二阶可导的奇函数, 在 ( −∞,0) 内 f ′ ( x ) > 0 , 且 f ′′( x) < 0 , 则在 ( 0,+∞) 内必有[ (A) f ′( x) > 0, (B) f ′( x) > 0, ]。答案：B。 且存在常数 k > 0 使得 y = f ( x) 与 y = kx 有两个交点； 且存在常数 k > 0 使得 y = f ( x ) 与 y = kx 有唯一交点； (D) f ′( x) < 0, f ′′( x) > 0 。
Ar (1 + r ) n 。 (1 + r ) n − 1
[解] 求函数关系 x n = f ( A , r , n) . 设 Ai 为第 i 个月欠款数，且 A0 = A ， 则
Ai = (1 + r ) Ai −1 − x n 。
（方法一）利用递推关系和条件 An = 0 ，可以直接求出：
x n = A0
答案： （Ｄ） 。
( B) r ( A + B) = 2r ( A) 。 ( D) r ( AB) ≤ r ( A) + r ( B) 。
（13）设 α 1 , α 2 , L , α s 和 β 1 , β 2 , L , β t 是两个 n 维向量组，且秩（ α 1 , α 2 , L , α s ）=
n +1
n =1
1
∞
答案：[ A ] 。
（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）与 f ( x) 增减性有关。
（8）设 f ( x) = (A)
2+ x (n) ，则 f ( x) = [ 1− x
].答案：D.
3 ⋅ (n − 1)! 3 ⋅ n! 3 ⋅ n! − 3 ⋅ n! . (B) . (C) . (D) . n +1 n n +1 (1 − x) (1 − x) (1 − x) (1 − x) n +1 2+ x 3 = −1 + ， 1− x 1− x
χ 2 (3) (C) Z ~ t (2) (D) Z ~ t (1)
答案： （D） 。 三．解答题（本题共 9 小题，满分 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （15） （本题满分９分） 设 f ( x) 在 [0,+∞) 上单调增加且有界，试证明级数
∑ [ f ( n) − ∫
n =1
5
函数介值定理可得存在 x0 ∈ [ξ , b] 使得 f ( x0 ) = f (t1 ) 。 即有 x1 = t1 , x 2 = x0 使得 f ( x1 ) = f ( x2 ) 。
（2）当 f ′(ξ ) ≠ 0 时，令 g ( x ) = f ( x ) − f ' (ξ )x ，则 g ' (ξ ) = f ' (ξ ) − f ' (ξ ) = 0 。则 g ( x)
（3）设 f ( x) 满足
∫
x 0
1 f (t − x)dt = x cos πx ，则 f ( ) = 2 1 a 1 1 1 1 a 1 1⎤ 1⎥ ⎥ 且秩（A）= 3，则 a = 1⎥ ⎥ a⎦ 1000
。答案： −
π
2
。
⎡a ⎢1 （4）设矩阵 A = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1
答案： a = −3 。
x
0
4x3
= lim
x →0
∫源自文库
0 x2
f (u )du 4x 2
= − lim
x →0
f (x 2 ) ⋅ 2x 8x
=−
1 f ( 0) 4
（2）某银行推出贷款购房业务，设贷款 A 元的月利为 r 元， n 个月本息还清。在这 n 个月 。 内按复利计息，每月连本带息归还 x n 元。则 x n = 答案： x n =
r (1 + r ) n ，初始条件 A0 = A 。 (1 + r ) n − 1
（方法二）利用解一阶差分方程的方法求解一阶非齐次差分方程 Ai − (1 + r ) Ai −1 = − x n 。 首先齐次方程
Ai − (1 + r ) Ai −1 = 0
； 的一般解为 Ai = c(1 + r ) i （ c 为任意常数） 其次，由待定系数法可得非齐次方程
∞
n n −1
f ( x)dx] 收敛。
[证] 由 f ( x) 在 [0,+∞) 上单调增加有界，则 f ( x) 可积，且有
f (n − 1) ≤ ∫
于是 0 ≤ f ( n) −
∞
n n −1 n n −1
f ( x)dx ≤ f (n) ，或 − f (n) ≤ − ∫ f ( x)dx ≤ f (n) − f (n − 1) ，
秩（ β 1 , β 2 ,L , β t ）= r ，则下列结论正确的是
( A) (C )
两向量组等价。
( B) r (α 1 , α 2 ,L ,α s , β 1 , β 2 ,L, β t ) = r 。
当 α 1 ,α 2 ,L,α s 能 被 β1 , β 2 ,L, β t 线 性 表 出 时 ， β1 , β 2 ,L, β t 也 可 被
Ai − (1 + r ) Ai −1 = − x n x * 一个特解为 Ai = n 。 r
1
因此，非齐次方程的一般解为 Ai = c(1 + r ) +
i
再利用初始条件 A0 = A 得到解为
xn 。 r
xn x )(1 + r ) i + n ， r r Ar (1 + r ) n 。 再由 An = 0 ，解出 x n = (1 + r ) n − 1 Ai = ( A −
(C) f ′( x) < 0, f ′′( x) < 0 ；
（11 ）设 D 是一有界闭域, 函数 f ( x, y ) 在 D 上连续，在 D 内偏导数存在，且满足等式
∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) +2 = − f ( x, y ) ，若 f ( x, y ) 在 D 的边界上恒为零，则 f ( x, y ) 在 D 上 ∂x ∂y
n n −1
n n −1
f ( x)dx ≤ − f (n − 1) ，
∫
所以级数
∑ [ f ( n) − ∫
n =1 n k =1
f ( x)dx] 为正项级数。
注意到 S n =
∑ [ f (k ) − f (k − 1)] = f (n) − f (0) ，
x →∞
由 于 f ( x) 在 [0,+∞) 单 调 增 加 且 有 界 ， 所 以 极 限 lim f ( x) 存 在 ， 由 此 得 到
[解]
记
∫
π
0
2
f ( x )dx = I ，令 2 x = u ，则 dx =
∫
对等式
π
0
4
f (2 x )dx =
π
0 4
1 π 2 2 ∫0
1 du ， 2 1 f (u )du = I 。 2
两边取积分得到,
π
f ( x ) + sin 4 x = ∫
f (2 x )dx
4
∫
即
π
2 0
[ f ( x ) + sin x]dx = ∫ 2
。
（5）设随机变量 X 服从均值为
λ
(λ > 0) 的指数分布，且其上 25%分位点为
1000 ，则 λ = 3 答案： ln 64 。
（6）设独立随机变量 X 和 Y 的期望和方差分别为 EX = 1, EY = −1, DX = 0.5, DY = 2 ，则
E[( X + 1) 2 (Y − 1) 2 ] =
0
π I dx = I . 2 4
I， 3 1 π ⋅ ⋅ , 4 2 2
I + ∫ 2 sin 4 xdx =
0
π
π
4
故
I−
π
4
I = ∫ 2 sin 4 xdx =
0
π
因此
I = ∫ 2 f ( x)dx =
0
π
3π . 4(π − 4)
（18） （本题满分８分） 设函数 f ( x )在[ a, b] 上连续，在 (a, b) 内二阶可导， ξ ∈ (a, b) ， f ′′(ξ ) > 0 。 （1）若 f ′(ξ ) = 0 ，试证存在 x1 , x2 ∈ ( a, b) 且 x1 < ξ < x2 ，使得 f ( x1 ) = f ( x2 ) 。 （2）若 f ′(ξ ) ≠ 0 ，试证存在η1 ,η 2 ∈ (a, b) 且η1 < ξ < η 2 ，使得
3
α 1 ,α 2 ,L,α s 线性表出。
答案： （C）
( D)
当 s = t 时，两向量组等价。
（14）已知 X 1 , X 2 , X 3 独立且服从 N (0, σ ) ， Z=
2
2 X1 + X 2 + X 3 ，则[ 3 | X3 − X2 |
]。
(A) Z ~ N (0, σ )
2
(B) Z ~
4
M y = ∫ px 3 ⋅ xdx − ∫2 [ p + 3 p ( x − 1)]xdx
0 3 1 8 4 7 1 1 p − ∫2 (3 px 2 − 2 px)dx = p − (1 − −1+ ) p = p 5 5 27 9 135 3 84 28 。 因此 X = = 135 45
1
1
=
（2）由古耳金定理得到（亦可直接积分）
V y = 2πXA = 2π
（17） （本题满分９分） 设 f ( x ) + sin x =
4
84 1 14 7 1 ⋅ p= πp = π ，解出 p = 。 135 12 135 135 2
π
0 2
∫
π
0
4
f (2 x )dx ，求 ∫
f ( x )dx 。
。
答案：27 二．选择题（本题共８小题，每小题４分，满分 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 f ∈ C[0, 1] ， a n = 的收敛情况是 [ ].
n ∫ n1 f ( x)dx （ n = 1,2, L ） ，则级数 ∑ a n
3
心为 ( X , Y ) ， （1）求 X 的值； （2）求 p 的值，使 D 绕 y 轴旋转一周而生成的旋转体体积为 V y = [解] （1） y ′ x =1 = 3 px
2 x =1
7 π． 135
= 3p ， 切线为 y = p + 3 p ( x − 1) , 它与 x 轴的交点为 ( 2 ,0) ; 3 1 1 1 3 区域 D 面积为 A = ∫ px dx − p = p , 静力矩为 0 6 12