理科复习——复数1

合集下载

复数高考考点解析(理科)

复数高考考点解析（文科）目录题型1：复数的乘法 .................................................................................................................................................. 1 题型2：复数方程 ...................................................................................................................................................... 1 题型3：复数的概念 .................................................................................................................................................. 2 题型4：复数的几何意义 .......................................................................................................................................... 2 题型5：复数的模 (3)题型1：复数的乘法【例1】【2013年高考浙江卷（文）】已知i 是虚数单位，则()()23i i ++=（） A ．5-5i B ．7-5i C ．5+5i D ．7+5i【答案】C【解析】()()2236555i i i i i ++=++=+。

【练习1】【2013年高考天津卷（文）】i 是虚数单位，复数()()312i i +-=______.【答案】55i -【练习2】【2013年高考大纲卷（理）】()3=（）A ．B ．8C ．8i -D ．8i 【答案】A 【练习3】【2013年高考浙江卷（理）】已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i i （） A ．i +-3 B ．i 31+-C ．i 33+-D ．i +-1【答案】B题型2：复数方程【例2】【2013年高考新课标Ⅱ卷（理）】设复数满足，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】(1)2i z i -=21i z i ⇒=-2(1)(1)(1)i i i i +=-+2211i -=+1i =-+。

高一复数知识点公式归纳

高一复数知识点公式归纳在高中数学学习的过程中，复数是一个重要的知识点。

复数是数学中一种形式，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

复数的研究和应用在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

为了帮助大家更好地理解和掌握复数，以下是高一复数知识点的公式归纳。

1. 复数的表示复数的一般形式可以表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部。

2. 复数的加法和减法对于两个复数a+bi和c+di，复数的加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i复数的减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法对于两个复数a+bi和c+di，复数的乘法：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 复数的除法对于两个复数a+bi和c+di，复数的除法：(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i5. 复数的共轭对于复数a+bi，复数的共轭：(a+bi)的共轭是(a-bi)6. 复数的模对于复数a+bi，复数的模：|a+bi| = √(a^2+b^2)7. 复数的幂对于复数a+bi和正整数n，复数的幂：(a+bi)^n = (a+bi)*(a+bi)*...*(a+bi) (共n个)根据乘法和幂的性质，可以将其展开并进行计算。

8. 复数的指数函数对于复数a+bi和实数x，复数的指数函数：e^(a+bi) = e^a * (cosb + isinb)9. 欧拉公式欧拉公式是复数的一种重要表示形式，它可以表示为e^ix = cosx + isinx，其中i为虚数单位。

10. 复数的解析几何表示复数可以在平面上表示为一个有序对(a, b)，其中a为实部，b 为虚部。

这种表示方法可以用于解析几何问题的计算和分析。

11. 复数的应用复数在物理学、电路理论、信号处理等领域有广泛的应用。

复数知识点总结

复数知识点总结一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位）的数叫做复数，其中\（a\）叫做复数的实部，＼（b\）叫做复数的虚部。

当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。

二、虚数单位\（i\）虚数单位\（i\）满足\（i^2 ＝－1\）。

三、复数的代数形式复数的代数形式为\（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））。

四、复数的几何意义1、复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的模复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。

3、复数与向量复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的向量\（＼overrightarrow{OZ} ＝（a,b)＼）。

五、复数的四则运算1、加法＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）2、减法＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）3、乘法＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2 ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、除法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi^2}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼end{align}＼六、共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。

高三复数的知识点归纳总结

高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在复数中，实部为a，虚部为b。

二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。

十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。

在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。

它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。

掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。

复数知识点总结

复数知识点总结复数是我们在数学和物理中经常遇到的一个概念。

所谓复数，就是实数与虚数的结合，而虚数则是以i为单位的平方根。

本文将对复数的基本概念、计算方法、图像表示和应用等进行详细阐述。

一、基本概念复数一般写作z = a + bi，其中a和b都是实数。

a成为实部，b称为虚部。

实部和虚部可以用图像来表示，其中实部在横轴上方，虚部在竖轴右侧。

复数也可以写成极坐标形式：z = r(cosθ + i sinθ)。

二、计算方法复数的计算方法与实数类似。

加减、乘法和除法都可以通过实部和虚部进行计算。

加减法直接进行实部和虚部分别相加减即可。

乘法时，可以将复数表示成模长和相角的形式，再应用公式计算即可。

除法时，需要将分母的复数取共轭（虚部变号），再应用乘法公式。

另外，复数的幂运算和开方运算也需要一些特殊的方法。

幂运算时，可以使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i sinθ，将复数转换成指数形式进行计算。

开方运算则需要求解解析式或图形法来解决。

三、图像表示复数可以用平面上带有横纵坐标轴的图形来表示。

具体来说，实部在x轴上方，虚部在y轴右侧。

若把复数z看成一个点，则它距离原点的距离称为模长，而向量与正半轴的夹角称为相角。

模长和相角可以用三角函数的定义表示，因此可以通过三角函数表格来确定复数的值。

四、应用复数在物理和工程学中有着广泛的应用。

在物理学中，复数用于描述波动现象中的振幅和相位差，如电磁场、声波和光波等。

在工程学中，复数有着重要的应用，如网络分析、信号处理、机器学习等。

总之，复数是经典数学领域中的一个重要概念。

通过对基本概念、计算方法、图像表示和应用等的了解，我们可以更好地理解和应用复数，将其运用到更多的实际问题中。

复数的考点知识点归纳总结

复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。

3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。

4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。

5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。

6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。

三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。

2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。

3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。

高考复数知识点精华总结

复数1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1〃z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模|Z|=22a b +, 且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

高考复数知识点总结

高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。

理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。

下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。

一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。

当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。

二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。

3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。

4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。

四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。

复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。

五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。

共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。

高考复数知识点总结大全

高考复数知识点总结大全一、引言高考是每位学子都会遭遇的一场考试，而对于数理化等科目的学生而言，复数是一个必不可少的知识点。

复数作为数学中的重要概念，不仅在高考中占有一定的比重，而且在实际问题中也有广泛的应用。

本文将对高考中常见的复数知识点进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握复数的相关知识。

二、基础概念与表示方式1. 复数的定义：复数是由实数与虚数相加凑成的数。

2. 虚数的定义：虚数单位i是一个特殊的数，它满足i²=-1。

3. 复数的表示：一般情况下，复数可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部。

三、复数的运算1. 复数的加法：将两个复数的实部和虚部分别相加即可。

2. 复数的减法：将两个复数的实部和虚部分别相减即可。

3. 复数的乘法：根据FOIL法则展开，然后将实部与虚部相加。

4. 复数的除法：将分子和分母同乘以分母的共轭复数，然后进行化简。

5. 复数的共轭：将复数的虚部变号，实部保持不变。

四、复数的性质1. 复数的模：复数的模是指复平面上从原点到复数所对应点的距离，可以用公式|z|= √(a²+b²) 来计算。

2. 复数的辐角：复数的辐角是指与复平面上正实轴之间的夹角，可以用公式 arg(z)=arctan(b/a) 来计算。

3. 复数的指数表示：复数可以用指数形式表示，即z=re^(iθ)，其中r为模，θ为辐角。

4. 复数的根的性质：复数的根一般有n个解，可以通过将复数转化为指数形式来求解。

五、复数的应用1. 微分方程中的应用：复数可以用来解决某些微分方程的问题。

2. 电路中的应用：复数可以用来描述电路中的电压和电流之间的关系。

3. 振动问题中的应用：复数可以用来描述振动问题的解决方法。

六、注意事项与解题技巧1. 注意虚数单位i的运算规则：i²=-1。

2. 在乘法和除法中，注意复数的模和辐角的运算。

3. 注意化简复数的运算过程，尽量将结果写成 a+bi 的形式。

上高中复数知识点总结

上高中复数知识点总结复数是代数中一个非常重要的概念，它在数学和物理学中都有着非常广泛的应用。

在高中阶段，复数的概念和应用占据了很重要的地位。

复数的概念涉及到了虚数单位i，以及实部和虚部的概念。

在此，我们将对高中复数知识点进行总结和归纳，包括复数的定义和性质、复数的运算、复数方程和不等式、复数的几何意义以及在物理学中的应用等内容。

一、复数的定义和性质1.1 复数的定义复数由实部和虚部组成，通常表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

复数包括实数和虚数，实数可以看作是虚部为0的复数，虚数可以看作是实部为0的复数。

1.2 复数的性质（1）实部和虚部：复数z=a+bi的实部为Re(z)=a，虚部为Im(z)=b。

（2）共轭复数：对于复数z=a+bi，其共轭复数记作z*=a-bi，实部相同，虚部相反。

（3）复数的大小和幅角：复数z=a+bi的大小记作|z|=√(a^2+b^2)，幅角记作arg(z)=arctan(b/a)。

1.3 复数的表示形式复数可以通过不同的表示形式来描述，如代数式表示、三角式表示和指数式表示。

代数式表示即z=a+bi，三角式表示即z=r(cosθ+isinθ)，指数式表示即z=re^(iθ)，其中r为复数的大小，θ为复数的幅角。

1.4 复数的模和论复数的模即其大小，复数的论即其幅角。

复数表示为z=a+bi时，其模为|z|=√(a^2+b^2)，其论为arg(z)=arctan(b/a)。

二、复数的运算2.1 复数的加减法复数的加减法即按照实部和虚部分别进行加减运算，例如z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i。

2.2 复数的乘法复数的乘法即按照分配律和虚数单位的性质进行计算，例如z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i。

复数知识点总结公式大全

复数知识点总结公式大全复数是数学中一个重要的概念，其包括实数和虚数。

在实际应用中，复数广泛被用于电路分析、信号处理、控制系统、波动方程求解等领域。

因此，理解复数的性质和运算规律对于掌握这些领域的知识具有重要意义。

以下是复数知识点的总结和相关公式的大全：1. 复数的定义：复数可以表示为a+bi的形式，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足i^2=-1。

2. 复数的运算：（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)3. 共轭复数：设z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。

显然，复数与共轭复数的乘积是实数，即zz*=|z|^2，其中|z|表示复数z的模。

4. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ5. 复指数函数：e^(z)=e^a(cosb+isinb)，其中z=a+bi6. 幅角和辐角：复数z=a+bi的幅角θ满足tanθ=b/a，辐角则为θ+2kπ(k∈Z)。

7. 极坐标形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为z的辐角。

8. 三角形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以表示为z=r∠θ9. 复数的乘除法：（1）乘法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1z2=r1r2∠(θ1+θ2)（2）除法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1/z2=r1/r2∠(θ1-θ2)10. 复数的幂：z^n=r^n∠(nθ)11. 根式：复数z=r∠θ的n次根是n个复数，其模为∛r，辐角依次加2kπ/n(k=0,1,...,n-1)。

12. 解析函数与共轭函数：设u(x,y)和v(x,y)是复变函数f(x+iy)的实部和虚部，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。

(完整版)高考复数知识点精华总结

1.复数的概念: (1 )虚数单位i ;(2) 复数的代数形式z=a+bi , (a, b € R)； (3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 2 .复数集3 .复数a+bi(a, b € R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时，a+bi 就是实数，当b 工0时，a+bi 是虚数，其中 a=0且b 工0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则a+bi=0是实数。

4. 复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， (1) 加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2) 减法:z1 - z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ； (3) 乘法:z1 z 2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i;z-i (a-i a 2 t 1b 2) (a 2t 1 a-|b 2)i— 2~Z~2(4)除法：z 2a 2b 2;(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况 (6) 特殊复数的运算：n2①i (n 为整数)的周期性运算； ②(1 ± i) = ±2i ;丄 3③若 3 =- 2 + 2 i ，则 3 3=1 ， 1+ 3 + 3 2=0.5. 共轭复数与复数的模实数(b 复数 a bi (a, b R) 0)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a 0) 非纯虚数(a 0)(1 )若z=a+bi，则z a bi，z z 为实数,(2)复数z=a+bi 的模|Z|= b ,且z zz z为纯虚数(b工0).2|z| =a2+b2.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4 •复数a+bi 的共轭复数是a - bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称若b=0，贝U 实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

复数知识点归纳总结

复数知识点归纳总结一、复数的定义复数是指大于零的数字，包括实数和虚数。

在复数中，实部和虚部分别用来表示横轴和纵轴上的坐标，形成一个二维坐标系。

二、复数的表示1. 简单位分法表示：a+bi2. 模幅相位表示：r(cosθ + i sinθ)三、复数的性质1. 加减法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2. 乘法：(a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad+bc)i(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi3. 除法：(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i四、复数的共轭对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。

五、复数的模和幅角对于复数a+bi，其模r为sqrt(a^2+b^2)，幅角θ为arctan(b/a)。

六、复数的比较对于两个复数a+bi和c+di，当a>c时，a+bi>c+di；当a=c时，若b>d时，a+bi>c+di。

七、复数的指数形式指数形式为r(cosθ + i sinθ)，其中r为模，θ为幅角。

八、复数的牛顿迭代法通过迭代公式z_{n+1} = z_n - f(z_n)/f'(z_n)计算非线性方程的近似解，其中f(z)为非线性函数，z_n为已知迭代值。

九、复数的应用1. 信号处理在信号处理中，复数经常用于表示信号的频率和相位，以及信号的变换和滤波。

2. 电路分析在电路分析中，复数经常用于表示电压和电流的相位和幅值，在交流电路中进行计算和分析。

3. 控制系统在控制系统中，复变量经常用于表示控制器的频率响应和稳定性分析。

十、复数的应用举例1. 信号处理中的傅里叶变换傅里叶变换将时域的信号转换成频域的表示，利用复数的模和幅角来表示信号的频率和相位。

2. 电路分析中的阻抗分析利用复数的表示方法，可以将电阻、电感、电容等元件用复阻抗的形式来表示，简化电路分析和计算。

[实用参考]复数的概念与运算-理科.doc

第二节复数的概念与运算一、课标考纲要求1.复数的概念（1）理解复数的基本概念（2）理解复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示法及其几何意义 2.复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识梳理1．复数的基本概念(1).概念：形如a bi +（a b R ∈，）的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C 表示. (2).虚数单位为i ：①21i =-.②i 和实数在一起，服从实数的运算律(3)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面,x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数. (4).复数的几种形式：①.代数形式：z a bi =+（a b R ∈，），其中a 叫实部记作Re(z)，b 叫虚部记作Im(z)；②几何形式:将(,)a b 作为复平面内点的坐标，那么z 与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射;因此复数可以用点来表示,点称为复数的几何形式.即(,)z a b =③将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量,因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式.即z OZ = (5).复数的分类：①.实数⇔b=0,即z a = ②.虚数⇔0b ≠③.纯虚数⇔a =0且0b ≠,即z bi =(6).共轭复数:若两个复数的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数叫做互为共轭复数,复数z 的共轭复数用z 表示,即z a bi =+（a b R ∈，）,则z a bi =-（a b R ∈，） (7).两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d=（其中a b c d R ∈，，，，）;特别地00a bi a b +=⇔== 2.复数的基本运算(1).复数的运算法则：①代数形式:运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意:复数的除法运算,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；即:()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±;()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++()()()()22()()a bi c di a bi ac bd bc ad ic di c di c di cd +-+++-==++-+ ②向量形式:加、减法满足平行四边形和三角形法则,若为坐标满足向量的坐标运算. (2).运算定律:①复数的加法满足交换律、结合律; 即123,,,z z z C ∀∈都有()()1221123123;z z z z z z Z z z z +=+++=++②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律; 即123,,,z z z C ∀∈()()()12211231231231323;;z z z z z z Z z z z z z Z z z z z ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅=⋅+⋅(3)距离:①模:z =;②复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.3、复数的性质(1).共轭复数的性质：2121a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a +b i ）22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=-2121z z z z ⋅=⋅ 2121zz z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ）n n z z )(= 特别地:z R z z ∈⇔=;非零复数z 是纯虚数⇔0z z +=注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] (2).模运算的性质111212222;;(0);nn z z z z z z z z z z z z z =⋅=⋅=≠=;11;z z z =⇔⋅=特别地:2222z z z z z z ====⋅(3).复数的乘方：①)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn; ②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有nn n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.(4).绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：12233411n n n z z z z z z z z z z -++++=.4.复数常用的结论： (1).n i 周期为4;即4142434,1,,1n n n ni i i i i i+++==-=-=;)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++(2).211(1)2,,11i ii i i i i i+-±=±==--+ (3).若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 5.易错点(1).两个复数不能比较大小;当且仅当两个复数全为实数时,才能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数]2若21z z ，则021 z z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）(2).在实数集成立的2||x x =.当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.即在复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根abx 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根aib x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.)(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω三、高考真题在线题型一、复数的概念例1．(20PP ·福建理13)复数2(1)i i +的实部是 . 【解析】2(1)1i i i +=--,所以实部是-1 【答案】-1例2．(20PP ·广东)．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b = A.2B.12C.-12D.-2【解析】(1)(2)2(12)bi i b b i ++=-++，而复数(1)(2)bi i ++是纯虚数，那么由20b -= 且120b +≠得b=2，故选A 。

高考数学必考知识点复数

高考数学必考知识点复数复数是高中数学中的重要概念，也是高考数学中必考的知识点之一。

许多学生对复数有些陌生，不太了解其概念和性质。

本文将详细介绍复数的基本概念、运算规则以及在解决实际问题中的应用等方面，帮助学生更好地掌握这一知识点。

1. 复数的概念复数是由实数和虚数构成的数。

其中，实数可以看作是复数的一部分，而虚数被定义为单位虚数 $i$ 与实数乘积所得。

一个复数可以表示为 $a+bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 分别代表实数部分和虚数部分。

例如，$3+2i$、$-5i$ 都是复数。

2. 复数的运算（1）复数的加法和减法：复数的加法和减法遵循实部相加（减），虚部相加（减）的规则。

即，设复数 $z_1 = a_1+b_1i$，$z_2 = a_2+b_2i$，则有$z_1+z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i$，$z_1-z_2 = (a_1-a_2) + (b_1-b_2)i$。

（2）复数的乘法：复数的乘法可以使用分配律展开，注意虚数 $i$ 与自身的乘积为 $-1$。

例如，$(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$。

需要注意的是，复数的乘法满足交换律和结合律。

（3）复数的除法：复数的除法需要将除数分母的虚数部分进行有理化，化为实数形式。

具体操作是将分母的虚数部分与其共轭相乘，即将分母化为实数。

然后将被除数与实数形式的除数进行乘法运算，得到的结果即为商。

例如，$(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]$。

3. 复数的性质（1）复数的模：复数的模表示复数离原点的距离，可以用勾股定理求得。

设复数 $z = a+bi$，则有 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。

模的性质包括非负性、零模性、模的加法和乘法性质等。

（2）共轭复数：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取相反数的复数。

即，设复数 $z = a+bi$，则其共轭复数为 $\bar{z} = a-bi$。

(完整版)复数知识点总结

复数知识点小结1、复数的概念复数 (,)z a bi a b R =+∈Re Im a z b z ⎧⎨⎩——实部————虚部——，其中21i =-，i 叫做虚数单位. 2、复数的分类 (0) (,)(0) (0b z a bi a b R b a =⎧=+∈⎨≠=⎩实数复数虚数特别地，时为纯虚数)3、两个复数相等定义：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。

复平面中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。

5、复数的向量表示OZ Z 向量复平面上点复数↔↔+=),(b a bi a z6、复数的模复数模（绝对值）的定义，几何意义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。

|z|=|a+bi|=022≥+b a .[说明] ||||z z a ==为实数时，，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。

当且仅当a=b=0时，|z|=07、复数的四则运算性质：R d c b a ∈,,,1）、加法：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++2）、减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+3）、乘法：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++4）、除法：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++ （目的：分母实数化） [要点说明]①计算结果一律写成),(R b a bi a ∈+的代数形式；②复数的加法满足交换律、结合律；③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律；交换律：1221z z z z ⋅=⋅结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅分配律：3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即n n n mn n m n m n m z z z z z z z z z N n m C z z z 2121*321)(,)(,,,,,=⋅==∈∈+时：8、i 的整数指数幂的周期性特征：414243441, 1, , 1k k k k k i i i i i i ++++==-=-=若为非负实数，则（）；024*******=+++++++k k k k i i i i ）（9、||21z z -的几何意义：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 则2221)()(|)()(||)()(|||d b c a i d b c a di c bi a z z -+-=-+-=+-+=-几何意义：对应复平面上点12(,), (,)Z a b Z c d 两点间距离22)()(d b c a d -+-=10、共轭复数1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为bi a z -=问题：当R z ∈时，是否有共轭复数？两者关系如何？z z R z =⇔∈2）运算性质：结论可推广到n 个2121)1(z z z z ±=± 2121)2(z z z z ⋅=⋅ )0()()()3(22121≠=z z z z z 3）模的运算性质：① 121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；② 1212z z z z ⋅=⋅，可推广至有限多个，特别地n n z z= ③ 2121z z z z = ④ 22z z z z ==，特别地，当1=z 时，1=z z 即 1z z=. 11、复数的平方根：在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根.从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.12、复数的立方根设i 2321+-=ω，则： 322331322(1) 1; (2) 10 ; (3) ;(4) 1,{}3.n n n nT ωωωωωωωωωωω++=++======即是的等比数列 13、实系数一元二次方程根的情况1）20(0)ax bx c a ++=≠实系数一元二次方程在复数集内根的情况：① 0 ,∆>当时有两个不相等的实根；② 0 ∆=当时，有两个相等的实根； ③ 0 ∆<当时，有两个共轭虚根.2）0∆<当时，2212112122Re ,||||b c x x x x x x x a a+==-⋅=== 3）120||x x a∆≥-=当时，；120||||22||b i b i x x a a a --∆<-=-=当时，12||x x -=综上：。

高考复数知识点精华总结

高考复数知识点精华总结1.复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

2.复数集：复数集包括整数、有理数、实数（当b=0时）、分数、小数、无理数、纯虚数和虚数。

3.复数a+bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位。

当b=0时，a+bi是实数，当b≠0时，a+bi是虚数。

若a=0且b≠0，则a+bi是纯虚数。

4.复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法都可以用实数单位和虚数单位进行运算。

特殊复数的运算包括周期性运算和(1±i)2=±2i等。

5.共轭复数与复数的模：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为|z|=√(a^2+b^2)。

共轭复数关于实轴对称，若b=0，则实数a与其共轭复数相等。

6.两个复数相等的定义为a+bi=c+di，其中a、b、c、d都是实数。

复数不能进行大小比较，只能由定义判断它们相等或不相等。

在运算中需要将虚数单位i的平方i^2=-1结合到实际运算过程中去。

6.复数的除法可以通过将分母实化得到，即满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi被称为复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此可以得到以下公式：a+bi / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2)7.复数a+bi的模表示复数a+bi的点到原点的距离。

1.例1：对于复数z=m+1+(m－1)i，当m=1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m=-1时，z是纯虚数；当m<-1时，z对应的点Z在第三象限。

例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x。

y∈R，求x。

y。

解得x=2.y=4.2.例4：对于复数z＝m25+(m2+3m－10)i，当虚部m2+3m－10=0时，z为实数，解得m=2；当虚部m2+3m－10≠0且分母不为零时，z为虚数，解得m≠2且m≠±5；当虚部为0且分母不为零时，z为纯虚数，解得m=-2.3.计算i＋i2＋i3+……+i2005，可以将i的周期性用以下公式表示：i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i。

复数知识点归纳(一)2024

复数知识点归纳（一）引言概述：复数是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。

本文将要介绍复数的一些重要知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则、复数的性质以及复数在实际应用中的应用场景。

正文：1. 复数的定义：- 复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。

- 实部和虚部分别由实数a和b来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2. 复数的表示形式：- 矩形形式：复数可以用直角坐标系中的点来表示，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，形成一个复平面。

- 极坐标形式：复数可以用极坐标表示，即用模和幅角来表示。

3. 复数的运算规则：- 加法和减法：复数相加减时，实部和虚部分别进行运算。

- 乘法和除法：复数相乘除时，可以使用矩阵形式进行运算，实部和虚部分别进行运算。

- 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为极坐标形式来简化运算。

4. 复数的性质：- 共轭复数：一个复数的共轭复数是将该复数的虚部取负数得到的复数。

- 模和幅角：一个复数的模是其在复平面上到原点的距离，幅角是与x轴正向的夹角。

- 相等和不等式：两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等，两个复数的大小可以通过比较它们的模的大小来确定。

5. 复数的应用场景：- 电路分析：复数可以表示交流电压和交流电流，用于描述电路中电压和电流的相位关系。

- 信号处理：复数可以用于描述信号的频谱分析，在数字信号处理中有着重要应用。

- 工程计算：在工程中经常需要处理复杂的计算问题，复数可以简化计算过程。

总结：复数是一个由实部和虚部组成的数，可以用矩形形式和极坐标形式进行表示。

复数的运算包括加减法、乘除法和幂运算，具有一些重要的性质如共轭复数、模和幅角。

复数在实际应用中有广泛的应用场景，包括电路分析、信号处理和工程计算等。

深入理解和掌握复数知识，将对数学和工程领域的学习与应用产生积极的影响。

数学复数高考知识点总结

数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。

在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。

1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。

1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。

1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。

1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。

二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。

2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。

2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。

2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。

复数的知识点总结高一数学

复数的知识点总结高一数学高一数学复数的知识点总结复数在数学中扮演着重要的角色，它是由实数部分和虚数部分组成的。

接下来，我将对高一数学中与复数相关的知识点进行总结和概述。

1. 复数的定义和表示复数是由实数部分和虚数部分组成的数。

一般地，表示为z=a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，满足i^2=-1。

2. 复数的运算复数的运算包括加减乘除四则运算。

对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的加法、减法、乘法和除法分别为：- 加法：z1+z2=(a+c)+(b+d)i- 减法：z1-z2=(a-c)+(b-d)i- 乘法：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i- 除法：z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i3. 共轭复数对于一个复数z=a+bi，它的共轭复数记作z*=a-bi。

共轭复数与原复数的实部相同，虚部的符号相反。

4. 模和参数表示对于一个复数z=a+bi，它的模记作|z|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。

复数还可以使用模和参数来表示，其中参数θ满足tanθ=b/a。

5. 纯虚数如果一个复数z=a+bi的实部a为0，即a=0，那么它就是一个纯虚数。

纯虚数可以表示为z=bi。

6. 复数的平方根对于一个复数z=a+bi，它的平方根记作√z。

复数的平方根存在两个值，分别表示为√z=√(r(cosθ+i*sinθ))，其中r=|z|，θ=arg(z)，n为整数。

7. 欧拉公式欧拉公式是一种重要的数学公式，它将复数与三角函数之间建立了联系。

欧拉公式表示为e^(ix)=cosx+isinx，其中e是自然对数的底数。

8. 复数的应用领域复数在数学中有着广泛的应用，例如在电路分析、信号处理、量子力学等领域中都得到了广泛的应用。

复数的运算规律和性质也使得它成为处理波动、振荡、相位等问题的有力工具。

经过以上的总结，我们对于高一数学中的复数知识点有了更加清晰的认识。