曲线积分曲面积分的对称性

谈曲线积分与曲面积分的运算

在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根据自己多年的经验,提出了一些关于曲线与曲面积分的运算方法,希望能够起到抛砖引玉的效果。

一、曲面积分的运算

(一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算

第二类曲面积分也有类似于重积分的轮换对称性。这里的轮换是指:

1.被积表达式满足轮换对称性,即将补积表达式中的所有字母按轮换次序x→y→z→x代换后,积分不变;

2.积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性,这是指在各坐标面上的投影区域相同,且配给的符号也相同。

若满足上述轮换对称性,

则

上述轮换对称性通俗的说就是被积表达式的变量互换位置,被积式不变;且区域边界方程中的变量互换位置,区域也不变,从而互换后积分值当然也不变。

例1:计算其中Σ是平面x=0,y=0,x+y+z=1所围的空间区域的整个边界面的外侧。

解:因变量按次序x→y→z→x轮换时被积表达式不变,且积分曲面在各坐标面上的投影区域相同,配给的符号也相同,故积分曲面及其指定侧亦具有轮换对称性,所以积分具有轮换对称性。

因Σ2,Σ3垂直于面xoy,故

又因在Σ1上有z=0,

于是

从此例观察,先用轮换对称性简化积分后,再采用其它方法来计算此类积分,可使计算量大大降低。可见,用轮换对称性来计算某些满足该条件的第二类曲面积分,是一种切实可行的计算方法。

(二)高斯公式法

定理(高斯公式):设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲线S围成,若函数

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上连续,且有一阶连续偏导数,则:

积分区域关于y=x对称就可以用轮换对称性吗

积分区域关于y=x对称就可以用轮换对称性吗坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。

(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数

u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即

u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分

∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分

∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。

(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可。比如:如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分

∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)d zdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy.

(3) 将1中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分

(整理)例谈积分计算中对称性的应用开题报告.

本科学生毕业论文（设计）开题报告

题目例谈积分计算中对称性的应用

姓名

学号_________________________

院系_____________________

专业_____ _______________

指导教师__________职称__ __

年月日

1

对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用

ｐｉｅｎｔｇａｐｒｔｒｉｈｅｒｌ．ｌｄｉｅｒｌｏｅａｏｎｔｏｅｉｆ
Ｋｅｒｓ：ｙｙｗｏｄＳｍｍｅｒ，ｕｖｎｅｒ，ｕａｅｉｔｇａｔＣｒｅｉｔｇａＳｒｃｎｅｌｙｌｆｒ
１“ ，）ｓ『ＩＹｄ，２，
０，
，关于（）Ｙ）ｙ是偶函数
，）关于（，，，））是奇函数
其中，。￡是在 ≥Ｏｙ）（Ｏ的那段曲线，即。是三在右（）上半平面的部分。
证明：Ｌ＝Ｌ＋、分别是￡关于Ｙ轴令。Ｌ，对称的两部分。记的参数方程为：（）Ｙ＝Ｙｔ。ｔ＝，（）从ａ变到ｂ则：的参数方程为：，＝一（）Ｙ＝，ｔ，ｘｔ，，）（
ｆ，）ｓ，Ｙｄ＝
收稿日期：０１— ２一６修订日期：０２— ２一７２１１ｏ；２１０ｏ
（）Ｙ）￡，］（
作者简介：胡纪华（９７一）女，１６，安徽颍上人，副教授，主要从事数学教育研究工作。基金项目：安康学院大学生科技创新项目《大学数学课程理论的研究与应用》２１ＡＸＤＳ１。（００ＫＹＸ０）

积分中的对称性

作者：刘建康

【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称

在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。

在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：

若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有

∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)

2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)

利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。

1 对称性在重积分计算中的应用

对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。

结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有

①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数

②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。

其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。

结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有：

积分轮换对称性

坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。

特点及规律

(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。

(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如：如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx,

∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。

(3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分

满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。第二类和（2）总结相同。

巧用对称性解第二类曲线积分和第二类曲面积分

积分和第一类曲面积分的有关对称性的结论恰好相反。用时应特别使
数，由结论１得』￡，等。。０第－＋。；－。＝
Ｙ＋１
．
注意！使用时一般分两方面来讨论：）用积分区域的对称性和被积积分，曲线Ｌ关于Ｙ轴对称，且走向相（利１函数的奇偶性简化计算；）用积分区域和函数关于变量的轮换对称反，积函数是ｘ的偶函数，论２得（利２被由结，性简化计算。有时候两种对称性可结合起来，积分计算更加简便。使
【ｙｗｏｄ】ｕ，ｉｔｇａｐ；ｒｃｔｇａｔｐ；ｍｍｅｙＫｅｒｓｃｎｅｎｅｌｙｅ２ｓｆｅｉｅｌｙｅ２ｓｒｔｕａｎｒｙｔｒ
０引言．
众所周知，用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性可简化定利积分、积分以及第一类曲线积分和第一类曲面积分的计算，几乎重但是所有的高等数学教材中都没有提及第二类曲线积分和第二类曲面
１计算第二类曲线积分的对称性方法．

对称性在积分中应用

对称性在积分中的应用

摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.

关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称

一、引言

二、相关对称的定义

（一）区域对称的定义

（二）函数对称性定义

（三）轮换对称的定义

三、重积分的对称性

（一）定积分中的对称性定理及应用

（二）二重积分中的对称性定理及应用

（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性

（一）第一曲线积分的对称性定理及应用

（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性

（一）第一曲面积分的对称性定理及应用

（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结

参考文献

引言

积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条

件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我

将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐

曲线积分和曲面积分

第八章曲线积分和曲面积分

我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。 §1 第一型曲线积分与曲面积分

１．第一型曲线积分

我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数

(,,)f x y z 在L 上定义。为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，

01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的

长度为j s V 。在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式

,

1

(,)n

j j

j j j f s ξη

ς=∑V

以此作为L 质量的近似值。最后我们令1max{}0j j n

s λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，

即

,0

1

lim (,)n

j j j j j M f s λξης→==∑V

由此我们可得到以下定义定义

设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分

点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点

(,,)j j j j P ξης=，作和式

,

1

(,)n

j j

j j j f s ξη

ς=∑V

考研数学巧用对称性计算第二类平面曲线积分

考研数学：巧用对称性计算第二类平面曲线积分

来源：文都教育

在高等数学中，对称性是积分计算的一种十分有用的方法，广泛应用于定积分的计算、二重积分和三重积分的计算、曲线积分和曲面积分的计算，在一般考研数学复习资料上，关于对称性在定积分和重积分中的应用都有相应介绍，但对于对称性在曲线积分和曲面积分中的应用则讲得较少或者没有讲，为了帮助数学（一）的考生了解对称性在这方面的应用，下面文都教育的蔡老师对对称性在第二类平面曲线积分计算中的应用做些分析总结，供同学们参考。

一、第二类平面曲线积分的对称性下面分四种情况分别讨论其对称性：

1）若平面曲线L 关于x 轴对称，L 在x 轴上方部分为1L ，则

10,2,L L P y Pdx Pdx P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于为偶函数

关于为奇函数（偶零奇倍）

，1

0,2,L L Q y Qdy Qdy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于为奇函数

关于为偶函数（奇零偶倍）

，综合即得11

10,2,2,2,L L L L P y Q y Pdx P y Q y Pdx Qdy Qdy P y Q y Pdx Qdy P y Q y ⎧⎪

⎪⎪

+=⎨⎪⎪

+⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数，关于为奇函数

关于为奇函数，关于为奇函数关于为偶函数，关于为偶函数关于为奇函数，关于为偶函数。

证：设L 在x 轴下方部分为2L ，如图所示：

1L 的参数方程为()

()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，其中:t αβ→，

则2L 的参数方程为()

()

x t y t ϕψ=⎧⎨=-⎩，其中:t βα→，

1

2

[(),()]()[(),()]()L

积分对称性定理

关于积分对称性定理

1、定积分：

设)(x f 在[],a a -上连续，则

()()()()-0

0,d 2d ,a a

a

f x x f x x f x x f x x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰

⎰为的奇函数,为的偶函数.

2、二重积分：

若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则

（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分

()()()()1

0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,

为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。

（2）如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分

()()()()2

0,

,,d d 2,d d ,

,D

D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。

（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即

),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分

()()()()2

0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪

积分对称性

第二型曲面积分对称性 S关于xoy对称
0,
若f ( x, y, z)关于z为偶函数
S
R(
x,
y,
z
)dxdy
2
S1
R(
x,
y,
z
)dxdy,若f
(
x,
y,
z
)关于z为奇函数
S关于yoz对称
0,
若f ( x, y, z)关于x为偶函数
S
P
(
x,
y,
z
)dydz
2
S1
P
(
x,
y,
z
)dydz,若f
y)d
2
D1
f
( x,
y)d
D
0
D关于坐标原点对称
f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
f (x,
y)d
4
D1
f
( x,
y)d，f
(x,
y)
f
(x,y)
f
(x,
y)
D
0， f ( x, y) f ( x, y)或f ( x, y) f ( x, y)
若P( x, y)关于y为偶函数若P( x, y)关于y为奇函数
Q( x,
L
y)dy
2
0 Q( x,

积分对称性定理

关于积分对称性定理

1、定积分：

设)(x f 在[],a a -上连续，则

()()()()-0

0,d 2d ,a a

a

f x x f x x f x x f x x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰

⎰为的奇函数,为的偶函数.

2、

二重积分：

若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则

（1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分

()()()()1

0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。

(2）如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇(或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=），则二重积分

()()()()2

0,,,d d 2,d d ,

,D

D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。

(3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即

),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--)则二重积分

()()()()2

0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪

积分的轮换对称性

(2)对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如：如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分 ∫ ∫ f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz, ∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。 (3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的 x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分 ∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成 y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。第二类和（2）总结相同。 (4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
z

y
解: 利用轮换对称性 , 有
o

x ds
2

y ds
2

z ds
2
x
(的重心在原点)
利用重心公式知
I 2
3
( x y z )ds 4 3

曲线积分与曲面积分第一类曲面积分

分割、近似、求和、取极限；
（4）均为黎曼和的极限. 因此可以给出上述五种积分定义的统一表述式.
定义10.4 设 I 是Rn中的一个有界的几何形体(直线段、
Leabharlann Baidu
平面闭区域、空间闭区域、曲线段或曲面)，f ( x)是在
在I 上有定义并且有界的数量值函数。将 I 任意划分为
n 个“子块”：ΔI1, ΔI2,L,ΔIn,并将ΔIi的度量(长度,面积,
的划分方法及点 xi的取法无关，则称此极限为函数
∫ f ( x)在几何形体I上的积分，记作 f ( x)dv, 即
被积函数
I
n
∫ ∑ I
f ( x)dv
=
lim
λ→0 i=1
f ( xi )Δvi
积分区域
被积表达式
当被积函数为密度函数时, 五种积分表示几何形体 I的质量.
∫ I是闭区间[a, b]→
y
Σ3
= 1 + ( x )2 + ( y )2 d xd y = 2d x d y
x2 + y2
x2 + y2
∴ ∫∫ d S = ∫∫ 2d xd y =
Σ1
D xy
( 2 ) Σ 2 = Σ ′2 + Σ ′2′，
∫∫ f ( x, y, z)dS
Σ
∫∫ =

曲线积分曲面积分的对称性

一、曲线积分的对称性

① 关于弧长的曲线积分。有奇偶对称性和轮换对称性。奇偎对

称性:设积分曲线弧关于y 轴对称,则

r

hf /（对刀山，当2、小关于工为偶函数 J=］几1

L

b, 当心、心关于为为奇函数. 英中在’轴右侧的部分.

若L 关于R 轴对称，则有类似结论•

轮换对称性:设积分曲线孤L 关于直线y -工对称，则

了)d$ = J/(>,兀〉山.

② 关于地标的乎面曲线积分•有奇偶对称性•

奇偶对称性；若L 关于y 轴对称，则 f 2

〔 P （x, j ）dx, F （s 》＞血=］仏

J J L h,

其中轴右侧的部分.

若L 夬于文轴对称，则

f ［2（ P （H,，）d4 j P （=,，）dz = y L 2

L b,

其中乙2为L 在文轴上侧的部分・

关于\Q （x,y ）dy 亦有类似结论.

③ 关二坐标的空间曲线积分•有奇偶对称性. 奇偶对称性:若F 关于心面对称，则

2 z ）dx, Jr i

0,

其中巧为I*在垃y 面上方的部分.

若厂关于.：Qz 面对称，则

2|

z ）dLr ・符别有

^/( X )ds 二 5 )ds.

当PG Q 〉关于工为偶函数

当关于力为奇函数当关于夕为奇函数

当PR”）关于y 为偶画数 £(巾 j, z)dx = 当P （孙八幻关于乂为奇函效当Pg*关于2为偶函数

当PQ,""）关于工为偶西数

当FQ”, z ）关于，为奇函数

Jr2

0,

其中&为尸在妙面前方的部分•

若厂关于25面射称，则

f

M P(z,g)dg 当P(z,y,2〉关于』为奇函数 J f P(x,y ^)d.r "3