02010概率论与数理统计一真题-2010-4
2010年1月概率论与数理统计(经管类)试题答案
2010年1月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．若A 与B 互为对立事件，则下式成立的是（ C ） A ．Ω=)(B A P B ．)()()(B P A P AB P = C ．)(1)(B P A P -=D ．∅=)(AB PA ．81 B ．41 C ．83 D ．213．设A ，B 为两事件，已知3)(=A P ，3)|(=B A P ，5)|(=A B P ，则=)(B P （ A ）A ．51B ．52C ．53D ．54则=k （ D ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4的实数a ，有（ B ）A ．⎰-=-adx x f a F 0)(1)(B ．⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C ．)()(a F a F =-D ．1)(2)(-=-a F a F则=}0(XY P A ．121 B ．61C ．31D ．32 A ．=≤-}1{Y X P 21 B ．=≤-}0{Y X P 21 C ．=≤+}1{Y X P 21D ．=≤+}0{Y X P 21 8．设随机变量X 具有分布5}{==k X P ，5,4,3,2,1=k ，则=)(X E （ B ）A ．2B ．3C ．4D ．59．设521,,,x x x 是来自正态总体),(σμN 的样本，其样本均值和样本方差分别为∑==5151i i x x 和2512)(41∑=-=i i x x s ，则sx )(5μ-服从（ A ）A ．)4(tB ．)5(tC ．)4(2χD ．)5(2χ10．设总体X ～),(2σμN ，2σ未知，n x x x ,,,21 为样本，∑=--=ni i x x n s 122)(11，检验假设0H ：2σ20σ=时采用的统计量是（ C ）A ．)1(~/--=n t ns x t μB ．)(~/n t ns x t μ-=C ．)1(~)1(2222--=n s n χσχ D ．)(~)1(22022n s n χσχ-=二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11．设4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=B A P ，则=)(B A P ___________．12．设A ，B 相互独立且都不发生的概率为9，又A 发生而B 不发生的概率与B 发生而A不发生的概率相等，则=)(A P ___________．14．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,00,24)(2cx x x f ，则常数=c ___________．15．X 服从均值为2，方差为σ的正态分布，且3.0}42{=≤≤X P ，则=≤}0{X P _______．16．设X ，Y 相互独立，且2}1{=≤X P ，3}1{=≤Y P ，则=≤≤}1,1{Y X P ___________．17．X 和Y 的联合密度为⎩⎨⎧≤≤≤=--其他,010,2),(2y x e y x f y x ，则=>>}1,1{Y X P _________．18．设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧=其他,0),(y x f ，则Y 的边缘概率密度为________．注：第18题联合概率密度是错误的，不满足规范性．19．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从均匀分布)5,3(U ，则=-)32(Y X E __________．n 则对任意的}|{|lim ,0εμε<->∞→p nP nn =___________．21．X ～)1,0(N ，Y ～)2,0(2N 相互独立，设22Y CX Z +=，则当=C _____时，Z ～)2(2χ．n 21均值，0>θ为未知参数，则θ的矩估计=θˆ ___________．00称这种错误为第___________类错误．24．设总体X ～),(11σμN ，Y ～),(22σμN ，其中21σσσ==未知，检验0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠，分别从X ，Y 中取出9个和16个样品，计算得3.572=x ，1.569=y ，样本方差25.14921=s ，2.14122=s ，则t 检验中统计量=t ___________（要求计算出具体数值）．0026．飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求明天飞机晚点的概率．解：设=A {明天有雨}，=B {明天飞机晚点}，已知8.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，4.0)(=A P ，则6.0)(=A P ，明天飞机晚点的概率为44.02.06.08.04.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．27．已知9)(=X D ，4)(=Y D ，相关系数4.0=XY ρ，求)2(Y X D +，)32(Y X D -． 解：由)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ，即23),cov(4.0⨯=Y X ，得4.2),cov(=Y X ，),cov(4)(4)()2,cov(2)2()()2(Y X Y D X D Y X Y D X D Y X D ++=++=+6.344.24449=⨯+⨯+=，),cov(12)(9)(4)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X Y D X D Y X D -+=-+-+=-2.434.2124994=⨯-⨯+⨯=．四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28． 设某种晶体管的寿命X （以小时计）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=100,0100,100)(2x x x x f ．（1）若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间不到200小时的概率是多少？（2）若一个电子仪器中装有3个独立工作的这种晶体管，在使用150小时内恰有一个晶体管损坏的概率是多少？解：（1）注意到32100100)(}150{1501502150=-===>+∞+∞+∞⎰⎰x dx xdx x f X P ，61100100)(}200150{2001502001502200150=-===<<⎰⎰x dx xdx x f X P ，所求概率为413/26/1}150{}200150{}150|200{==><<=><X P X P X X P ；（2）每一个晶体管在使用150小时内损坏的概率为31321}150{1}150{=-=>-=≤X P X P ， 设使用150小时内损坏的晶体管数为Y ，则Y ～⎪⎭⎫⎝⎛31,3B ，所求概率为943231}1{213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C YP ．29．某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X ～)(λP ，已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y ．试求：（1）参数λ的值；（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率；（3）该柜台每小时的平均销售情况)(Y E ． 解：X 的分布律为λλ-==e k k X P k!}{， ,2,1,0=k ．（1）由}2{}1{===X P X P ，即λλλλ--=e e 22，得2=λ，X ～)2(P ；（2）所求概率为21}0{1}1{--==-=≥e X P X P ；（3）由X ～)2(P ，得2)()(==X D X E ，642)()()(22=+=+=X E X D X E ，526212)(21)(2=+⨯=+=X E Y E ． 五、应用题（本大题共1小题，10分）30．某生产车间随机抽取9件同型号的产品进行直径测量，得到结果如下：21.54, 21.63, 21.62, 21.96, 21.42, 21.57, 21.63, 21.55, 21.48 根据长期经验，该产品的直径服从正态分布)9.0,(2μN ，试求出该产品的直径μ的置信度为0.95的置信区间．（96.1025.0=u ，645.105.0=u ）（精确到小数点后三位） 解：已知9.00=σ，05.0=α，9=n ，算得57.21=x ，588.099.096.102/=⨯=⋅nu σα，μ的置信度为0.95的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x σσαα2/2/,]158.22,982.20[]588.057.21,588.057.21[=+-=．。
《概率论与数理统计》考试题(含答案)
《概率论与数理统计》考试题一、填空题（每小题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则a ）、若B A ,互斥，则=)B -A (p 0.5 ;b ）若B A ,独立,则=)B A (p 0.65 ;c ）、若2.0)(=⋅B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。
(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X E 8 .4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- 0.210，=+)(Y X E 8 。
5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 0.0228 。
其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 则=a _0.1_，X的数学期望=)(X E ___0.4___，Y X 与的相关系数=xy ρ___-0.25______。
7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总体)16,8(N 的容量为16，8的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2221,S S 分别为样本方差。
则：~X N(8,1) ，~Y X - N(0,1.5) ，{}5.12>-Y X p = 0.0456 ，~161521S )15(2χ，~2221S S F(15,7) 。
武汉大学《概率论与数理统计》期末考试历年真题及参考答案
6、解：首先确定 f (x, y)
1[
1 x dy]dx
6,0 x 1, x2
y x；
0 x2
E(X)=
1[
0
x x2
x
6dy]dx
1 2
；E(X
2
)=
1[
0
x x2
x2
6dy]dx
3 10
；E(Y)=
1[
0
y
y y 6dx]dy
2 5
E(Y 2 )=
1[
0
y
y
(
1 2
x)(
1 2
y)
f
(x,
y), 所以X ,Y不独立；
（3）1[ 1h(x y) f (x, y)dy]dx 1[ x1 h(z)(x x z)dz]dx
00
0x
0 [ z1 h(z)(2x z)dx]dz 1 1 h(z)(2x z)dx]dz
1 0
0z
0 h(z)(z2 z 1)dz 1 h(z)(1 z2 z)dz
Z 0 1234
P
1 131 1
(Z) 16 4 8 4 16
武汉大学2011-2012 第一学期《概率论与数理统 计》期末试题及参考答案
一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7
(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7 二、解：
y
2
6dx]dy
3 14
；E(XY)=
2010年10月_自考_概率论与数理统计试题及答案[1]
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全国2010年10月概率论与数理统计（经管类）试题1全国2010年10月概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）>0,P (B )>0，则( ) A.P (B |A )=0 B.P (A |B )>0 C.P (A |B )=P （A ）D.P (AB )=P (A )P (B )2.设随机变量X ～N (1，4)，F (x )为X 的分布函数，Φ(x )为标准正态分布函数，则F (3)=( ) A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1)D.Φ(3)3.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤,,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21=( )A.41B.31C.21 D.43 4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+, ,0 ,01,21其他x cx 则常数c =( ) A.-3B.-1C.-21D.15.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) A. f (x )=-e -xB. f (x )=e -xC. f (x )=||-e 21xD. f (x )=||-e x6.设二维随机变量（X ，Y ）～N （μ1,μ2，ρσσ,,2221），则Y ～( ) A.N （211,σμ） B.N （221,σμ） C.N （212,σμ）D.N （222,σμ）全国2010年10月概率论与数理统计（经管类）试题27.已知随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<, ,0,42,21其他x 则E (X )=( )A.6B.3C.1D.21 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～B (16，0.5)，Y 服从参数为9的泊松分布，则D (X -2Y +3)=( ) A.-14 B.-11 C.40D.439.设随机变量Z n ～B （n ，p ），n =1，2，…，其中0<p <1，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞→x p np np Z P n n )1(lim =( )A.22e21t x-⎰πd t B.22e21t x-∞-⎰πd tC.22e21t -∞-⎰πd t D.22e21t -∞+∞-⎰πd t10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )=( ) A.2σB.221σC.231σ D.241σ 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
10月概率论与数理统计(经管类)试题及答案
全国2010年10月高等教育自学考试 概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）>0,P (B )>0，则( ) (事件的关系与运算） A.P (B |A )=0 B.P (A |B )>0 C.P (A |B )=P （A ） D.P (AB )=P (A )P (B )解：A 。
因为P （AB ）=0.2.设随机变量X ～N (1，4)，F (x )为X 的分布函数，Φ(x )为标准正态分布函数，则F (3)=( ) A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1) D.Φ(3)(正态分布） 解：C 。
因为F(3)=)1()213(Φ=-Φ 3.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤,,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21=( )A.41 B.31C.21D.43 (连续型随机变量概率的计算）解：Ａ。
因为P {0≤X ≤}21412210==⎰xdx4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+, ,0 ,01,21其他x cx 则常数c =( ) A.-3 B.-1 C.-21D.1解：D.（求连续型随机变量密度函数中的未知数） 由于1)(=⎰+∞∞-dx x f112121212121)(01201=⇒=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=--∞+∞-⎰⎰c c x cx dx cx dx x f5.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) A. f (x )=-e -x B. f (x )=e -x C. f (x )=||-e 21xD. f (x )=||-e x解：选Ｃ。
（概率密度函数性质）A ．0<--x e 不满足密度函数性质 由于1)(=⎰+∞∞-dx x f ，B 选项∞=-=+∞∞--+∞∞--⎰xx e dx eＣ选项12122100||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰xx x x e dx e dx e dx eＤ选项2220||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰x xx x edx e dx e dx e6.设二维随机变量（X ，Y ）～N （μ1,μ2，ρσσ,,2221），则Y ～( )（二维正态分布）A.N （211,σμ） B.N （221,σμ） C.N （212,σμ）D.N （222,σμ）解：D 。
概率论与数理统计复习资料
山东科技大学2010—2011学年第一学期《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷）一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）1、1.设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P 。
2、设D(X)=4, D(Y)=9, 0.4xy ρ=，则D(X+Y)= 。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得{}22P X -≥≤ 。
4、设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()24E X ⎡⎤+=⎣⎦。
5、设123,,X X X 是来自正态总体X ~(),1N μ的样本,则当a = 时,12311ˆ32X X aX μ=++是总体均值μ的无偏估计。
6、设n X X X ,,,21 为正态总体),(2σμN （2σ未知）的一个样本，则μ的置信 度为1α－的单侧置信区间的下限为 。
二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）1、设随机变量的概率密度21()01qx x f x x -⎧>=⎨≤⎩，则q=（ ）。
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/22、设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功的概率为（ ）.(A)r n r r n p p C ----)1(11;(B)r n r r n p p C --)1( ;(C)1111)1(+-----r n r r n p pC ;(D)r n r p p --)1(. 3、设)4,5.1(~N X ，则P{-2<x<4}=（ ）。
(A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.25434、设,X Y 相互独立，且211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，则Z X Y =-服从正态分布，且Z 服从( ).(A) 22112(,)N μσσ+ ； (B)22212(,)N μσσ⋅； (C)221212(,)N μμσσ-+； (D)221212(,)N μμσσ++。
2010年10月全国自考《概率论与数理统计(经管类)》试题和答案
全国2010年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）>0,P (B )>0，则( ) A.P (B |A )=0 B.P (A |B )>0 C.P (A |B )=P （A ）D.P (AB )=P (A )P (B )2.设随机变量X ～N (1，4)，F (x )为X 的分布函数，Φ(x )为标准正态分布函数，则F (3)=( ) A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1)D.Φ(3)3.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤,,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21=( )A.41B.31C.21 D.43 4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+, ,0 ,01,21其他x cx 则常数c =( ) A.-3 B.-1 C.-21D.15.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) A. f (x )=-e -xB. f (x )=e -xC. f (x )=||-e 21xD. f (x )=||-e x6.设二维随机变量（X ，Y ）～N （μ1,μ2，ρσσ,,2221），则Y ～( )A.N （211,σμ） B.N （221,σμ） C.N （212,σμ）D.N （222,σμ）7.已知随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<, ,0,42,21其他x 则E (X )=( )A.6B.3C.1D.21 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～B (16，0.5)，Y 服从参数为9的泊松分布，则D (X -2Y +3)=( ) A.-14 B.-11 C.40D.439.设随机变量Z n ～B （n ，p ），n =1，2，…，其中0<p <1，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞→x p np np Z P n n )1(lim =( )A.22e21t x-⎰πd t B.22e21t x-∞-⎰πd tC.22e21t -∞-⎰πd t D.22e21t -∞+∞-⎰πd t10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )=( ) A.2σB.221σC.231σ D.241σ 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国2010年7月自学考试概率与数理统计(经管类)答案
全国2010年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计(经管类)试题答案一、 单项选择题1----5 DACCC 6----10 ACDBB 提示：1、()()(),()=()P A B P A P AB A B P A B P A -=--互不相容有2、()()()()()()()()P AB P B P A B P AB P B P A B P B P B =⊂∴==又B A 则=1 3∞∞∴3、由分布函数的性质F(-)=0;F(+)=1只有F(x)满足要求 4、{11}{0}{1}0.20.40.6P X P X P X -<≤==+==+=5122213()333x a x aX a x b b a x b a baa b a b P X F b a ⎧<⎪-⎪∴≤≤⎨-⎪⎪>⎩+-++⎧⎫<===⎨⎬-⎩⎭、服从[a,b]上的均匀分布其分布函数F(x)=于是6、14123111,=+()515215102210X Y q p p ∴⇒==+⇒=独立有（q ） 212000117(,)()()()3123Df x y dxdy k x y dxdy k dx x y dy k x dx k k +∞+∞-∞-∞=+=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、8、2~(0,1)()1,()(21)2()414X N D X D Y D X D X ∴==-==⨯=于是 9、2211()5~(0.5)()2,()4,239D X XE E X D X X λλ∴====-≥=于是P(<3)1-10、111++1263k k =∴=按无偏估计规律二、填空题11、0.6 12、114 13.、15 14、658115、121e -- 16、0.3 17、38 18、330()0xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 19、13 20、1(0,)N n21、2()n χ 22、[51.04 , 54.96] 23、71224、 0.1 25、 3 提示：11.()()()()()()0.70.30.4()1()10.40.6P A B P A P AB P AB P A P A B P AB P AB -=-∴=--=-=∴=-=-=313548112.14C C C =213,()()()()()()()()()[1()]()()[1()]()()11[()]()255A B P AB P A P B P AB P AB P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P A ∴=∴=⇒=⇒-=-⇒=∴=⇒=、独立004411265~(4){1}1{0}1()()33381X B P X P X C ∴≥=-==-=14、设X 为四年内发生旱灾的次数由题知，于是有43340121215~()(4)3(3)3120124121010!X P P X P X e e P X P X e e λλλλλλλλ----====⇒-=⇒=∴≥==-、由得！3！（）=1-（）=1-220101010101016~(10,)(1020)0.300.50.3100.810100101010(010)00.510.80.3X N P X P X σσσσσσσσσσ--<<=ΦΦΦΦΦ-=∴Φ=--∴<<ΦΦΦΦ-Φ=-+=、由得F(20)-F(10)=()-()=()-()=()()=F(10)-F(0)=()-()=()-(-)=0.51+()11317()(0,0)(1,1)488P X Y P X Y P X Y ====+===+=、33103018()(,)()()000xxX X Xe x e x F x F xf x F x x x --⎧⎧->>'=+∞=∴==⎨⎨≤≤⎩⎩、00.5(0.5)1190.753XY ρ-⨯-====、()1(())~(0)D X N E X N n nn n 20、由中心极限定理知Z 近似服从，即Z ，22133~(34)~(0)~()44ni X X X N N n χ=--⎛⎫∴∴ ⎪⎝⎭∑21、，，1由卡方分布定义有220.025;;20.02540.950.050.025 1.962=53 1.96u u u X αασαα=∴=====∴22、已知选统计量1-置信区间为[51.04, 54.96]2322327512323[][2(1)](1)4(1)475(1)117775011212Ln Ln Ln Ln dLn d θθθθθθθθθθθθθθθθΛ=--=-=++-=-=⇒=∴=-、似然函数L()=p p p 取对数L()L()求导0024()==P H H 、拒绝真犯第一类错误的概率0.1110025=3=633Y X ββββΛΛΛΛ-⇒=-=、由已知条件可知而三、计算题17110026.{} {}7()100769377()()()()()1009910099100A B C P A C P B P A P B A P A P B A =====+=⨯+⨯=解：设甲中奖甲中奖甲乙两人中奖概率相同00112323010122111100013434011222232311110027.()()(1)(1)()()023231()()(1)(1)()()3434x x x x E X xf x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x x x E X xf x dx x x dx x x dx x x dx x x dx +∞-∞----+∞-∞----==++-=++-=++-===++-=++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：22611()()[()]066D XE X E X =-=-=四、综合题28.X解：(1)由题知可能取的值为-2;-1;1;2;3X的分布律为其分布函数为0212161113()1122223313xxxF xxxx⎧<-⎪⎪-≤<-⎪⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩Y（2）可能取的值1;4;9 Y的分布律为222229.~(01)~(04)()0;()0;()1;()4~(05);~(05),()()()00=0(2)()0()0()5()5(3)(,)()()()[()()]00()(()X N Y N E X E y D X D Y U X Y N V X Y N X Y E XY E X E Y E U E V D U D V COV U V E UV E U E V E X Y X Y E X Y E X E Y ∴=====+=-∴==⨯=====-=+--⨯=-=解：，，且，，（1）相互独立）-2222(()[()]1()()[()]4(,)=14=3(,)=(,)=(,)(,)=(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)()()14E X D X E X E Y D Y E Y COV U V COV U V COV X Y X Y COV X X Y COV Y X Y COV X X COV X Y COV Y X COV Y Y COV X X COV X Y COV Y X COV Y Y D X D Y =+==+=∴+---+-++-=-+-=-=-=-而）--或用协方差的性质有3五、应用题201220.0130.~N 1:50:50501.5~(0,1)2.32= 2.321(45.147.652.246.949.450.344.647.548.4)48948501H H X N W X u αμμμσα≥<-===∴∞=++++++++=-∴=解：X （，1.5） n=9）建立假设：2）选统计量：已知，选u 检验u=3）定拒绝域：=0.01u u 拒绝域为（-,-）4）算观测值：统计量的观测值014.54H H α=--5）给出结论：在拒绝域中所以拒绝，接受即在=0.01下该产品的维生素含量是显著低于质量要求的。
线性代数、概率论与数理统计试题及答案
2010线性代数试题及答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
《概率论与数理统计》期末考试(A)卷答案与评分标准
海南师范大学 物理、电子、自动化、地理、城规、计算机专业《概率论与数理统计》 2009—2010学年度第一学期期末考试（A ）卷答案与评分标准 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷 4. 本试卷共五大题，满分100分， 考试时间100分钟一、单项选择题（本题共六小题，每小题3分，共18分。
在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分）1、设B A ,为随机事件, 若4.0)(,6.0)(==B P A P , 则有（ D ）. A ：1)(=B A P ； B ：24.0)(=AB P ； C ：6.0)(≤B A P ； D: 4.0)(≤AB P .2、设随机变量X 服从正态分布)1 ,0(N , )(x Φ为其分布函数，则}4{2<X P =（ A ） . A ：1)2(2-Φ ； B ：1)4(2-Φ ； C ： )2(21Φ-； D ：)2(1Φ-.3、己知二维随机变量),(Y X 具有分布函数),(y x F ，则（ D ）. A ：}{),(x X P x F <=+∞； B ：1),(=+∞x F ； C ：1),(=+∞-∞F ； D ：0),(=-∞x F .4、己知随机变量X 服从二项分布)2.0 ,5(B , 则=)(2X E （ C ）. A ：1； B ：0.8； C ：1.8； D ：0.2.5、设n X X X ,,,21 是来自总体) ,(2σμN 的简单随机样本，则∑==n i i X n X 11服从正态分布（ A ）. A ：) ,(2n N σμ； B ：) ,(2σn n N ； C ：) ,(2σμN ； D ：)1 ,0(N .6、设n X X X ,,,21 是来自总体) ,(2σμN 的简单随机样本，2 σ未知，检验假设 00μμ=：H ，对01μμ≠：H 时，需用到检验统计量是（ B ）. A ：n X Z σμ0-=； B ：n S X T 0μ-=； C ：222)1(σχS n -=； D ：n S X T n 0μ-=. 二、填空题（将答案直接填入栝号内，本题共六小题，每小题3分，共18分） 1、设事件B A 与相互独立,7.0)(,5.0)(==B A P A P ，则=)(B P ( 0.4 ) 第1页（共6页） 第2页（共6页）2、设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它，,0,10,3)(2x x x f X 的概率分布函数为)(x F ，则=)5.0(F （ 0.125 ）.3、已知随机变量Y X 与的联合分布律为则概率==}1),{max(Y X P （ 0.6 ）；4、设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-，0,0,0,)(x x e x f x则X e Y 3-=的数学期望=)(Y E （ 41）.5、己知随机变量X 的期望,20)(=X E 方差,8)(=X D ,则≤≥-}620{X P ( 92);.6、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，2σ未知，X 是样本均值, 2S 是样本均值,则μ的置信度为1-α的单侧置信下限为（）三、解答题（本题共 4小题，每小题8分，共32分）1、9.0)(,7.0)(,5.0)(===B A P B P A P ,试计算：)(AB P ,)(B A P -及)(B A A P 的值。
概率论与数理统计期中试卷(1-4章)附答案及详解
X，23π+=X Y5．设随机变量1X ,2X ,3X 相互独立，1X 在)5,1(-服从均匀分布，)2,0(~22N X，)2(~3Exp X （指数分布），记32132X X X Y +-=，则)(Y E )(Y D6. 设二维正态分布的随机变量)0,3,4,2,1( ),(22-N ~Y X ，且知8413.0)1(=Φ，则-<+)4(Y X P7. 已知随机变量X 的概率密度201()0 a bx x f x⎧+<<=⎨⎩其他, 且41)(=X E ，则a b )(X D 8. 设4.0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D =-)(Y X D 二. （10分） 某车间有甲乙两台机床加工同一种零件，甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍，甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03，0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求 （1）任取一个零件是合格品的概率；（2）任取一个零件经检验是废品，试求它是由乙机床生产的概率.解：设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件,A .A再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件.B 由已知得.02.0)(,03.0)(;31)(,32)(====A B P A B P A P A P …… 3’（1）由全概率公式知027.075202.03103.032)()()()()(≈=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P . …… 3’ 故任取一个零件是合格品的概率73()1()0.973.75P B P B =-=≈ …… 1’ （2）由贝叶斯公式知.4102.03103.03202.031)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P …… 3’三. （10分）设某型号的电子元件的寿命X （单位: 小时）的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=其它,01000,1000)(2x x x f各元件在使用中损坏与否相互独立，现在从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有一只元件的寿命大于1500小时的概率。
2010年考研数学一真题及答案
精心整理2010年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)极限(C)这是一个“”型极限【方法二】原式而(等价无穷小代换)则【方法三】对于“”型极限可利用基本结论：若,,且则,求极限由于则【方法四】综上所述，本题正确答案是C。
设函数由方程确定，其中,则。
(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】因为,所以设为正整数，则反常积分的收敛性仅与(B)仅与的取值有关与的取值都有关与的取值都无关和时无界在反常积分中，被积函数只在时无界。
由于，已知反常积分收敛，则也收敛。
在反常积分中，被积函数只在时无界，由于(洛必达法则)取任何正整数，反常积分收敛。
综上所述，本题正确答案是(4)(A)(C)(D)【答案】D。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5)设为矩阵，为矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)秩秩(B)秩秩(C)秩秩(D)秩秩【答案】A。
因为为阶单位矩阵，知另一方面，为矩阵，为矩阵，又有可得秩秩设为且若则(A)(C)(D)【答案】D。
【解析】由知，那么对于推出来所以的特征值只能是再由是实对称矩阵必有，而是的特征值，那么由,可知D正确设随机变量的分布函数,则(B)(C)(D)【答案】C综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质(8)设为标准正太分布的概率密度，为上均匀分布得概率密度，若为概率密度，则应满足(A)(B)(C)(D)【答案】A。
【解析】为标准正态分布的概率密度，其对称中心在处，故为上均匀分布的概率密度函数，即所以,可得综上所述，本题正确答案是A。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。
）(9)设，则。
经济数学2010概率论复习(1)
概率论与数理统计练习题及解答第一章一. 填空题1．射击三次，事件i A 表示第i 次命中目标（1,2,3i =），则事件“至多命中两次”可表示为123123()A A A A A A 2. 射击三次，事件i A 表示第i 次命中目标（1,2,3i =），则事件“至少命中一次” 可表示为123A A A3. 设A ，B ，C 表示三个随机事件， 则三个事件都发生表示为 ABC4. 设A ，B ，C 表示三个随机事件， 则三个事件至少有一个发生表示为A B C5. 设A,B,C 为三事件，则事件“三个都不发生”可表示为 ABC .6. 设A 与B 互不相容，()04.P A = , ()05.P B =, 则()P A B =09.7. 设A 与B 相互独立，()04.P A = , ()05.P B =, 则()P A B = 07.8. 10件产品中有4件次品，从中任取3件，则恰有2件次品的概率为03.9. 三个人独立地破译密码，他们能译出的概率分别为51、41、31，此密码能被译出的概率为（3/5）。
10．10个零件中有4个次品，每次从中任取一个零件，作不放回地抽取， 则第三次才取得正品的概率为1 10. 11．同时掷三枚均匀的硬币，则至少出现一次反面的概率为7 8. 12．每次试验中A 出现的概率为13，在三次试验中A 至少出现一次的概率为2719. 13. 袋中有4个红球，2个白球.从中任取3个，则恰好取到2个红球的概率是3514. 设()0.5,()0.6,()0.9P A P B P A B ===, 则(|)P B A =0.415. 设()0.5,()0.4,()0.8P A P B P A B ===, 则(|)P A B =0.25二．单项选择题1．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为【 B 】（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”（C ）“甲、乙两种产品均畅销”（D ）“甲、乙两种产品均滞销”2．设事件A 与B 同时发生的概率0)(=AB P ，则【 D 】(A ) 事件A 与B 相互独立 (B ) 事件A 与B 互不相容(C ) 事件AB 为不可能事件 (D ) )()()(B P A P B A P +=3．每次试验中A 出现的概率为1/3, 在三次试验中A 出现至少一次的概率是【 B 】 (A) 12 (B) 1927 (C) 827 (D) 1274．设A 、B 是随机事件，且B A ⊂，()0P B >，则下列式子正确的是【 B 】.（A ）()(|)P A P A B <（B ）()(|)P A P A B ≤ （C ）()(|)P A P A B > （D ）()(|)P A P A B ≥5．设甲、乙二人独立地向同一目标各射击1次, 其命中率分别为06.和05.,则目标被击中的概率是【 C 】(A ) 01. (B ) 03. (C ) 08. (D ) 06.6．对于任意两个事件A 与B,必有P(A-B)=( C )A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C ． P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)7. 某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（ D ）。
2010年考研数学一真题与答案
2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)极限limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=(A)1 (B)e (C)e a−b(D)e b−a 【考点】C。
【解析】【方法一】这是一个“1∞”型极限lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞{[1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b)](x−a)(x+b)(a−b)x+ab}(a−b)x+ab(x−a)(x+b)x=e a−b【方法二】原式=limx→∞e xlnx2(x−a)(x+b)而limx→∞ xln x2(x−a)(x+b)=limx→∞xln(1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b))=limx→∞x∙(a−b)x+ab(x−a)(x+b)(等价无穷小代换) =a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若limα(x)=0, limβ(x)=0,且limα(x)β(x)=A 则li m(1+α(x))β(x)=e A,求极限由于limx→∞α(x)β(x)=limx→∞x2−(x−a)(x+b)(x−a)(x+b)∙x=limx→∞(a−b)x2+abx(x−a)(x+b)=a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法四】lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞[(x−a)(x+b)x2]−x=limx→∞(1−ax)−x∙limx→∞(1+bx)−x=e a∙e−b=e a−b综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数z=z(x,y)由方程F(yx ,zx)=0确定，其中F为可微函数，且f′′2≠0,则xðzðx +yðzðy=。
2010考研数一真题.docx
一、小题,每小题4 分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)．．．x 2x(A) 1.(B)e.(C)e a b.(D)e b a.y zx y(x y)(A) x. (B) z. (C) x. (D) z.(3) 设m, n是正整数,则反常积分dx的收敛性( )(A) 仅与m的取值有关. (B)仅与n的取值有关.(C) 与m, n取值都有关. (D) 与m, n取值都无关.i1j1n i n2j2()0 0 1x1y20 0 1x1y(B)dxxdy.0 0 1x1y2(5) 设A为m n矩阵,B为n m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB E,则( )(A) 秩r A m,秩r B m. (B) 秩r A m,秩r B n.(C) 秩r A n,秩r B m. (D) 秩r A n,秩r B n.(6) 设A为4 阶实对称矩阵,且A2 A O,若A的秩为3,则A相似于( )(A)111(B)1111n n nz z. .(C)1dx 11dy.(D) 1dx 11dy.(A)1dx x1dy.(2) 设函数z z(x, y) , 由方程F , 0 确定,其中F为可微函数,且F20 ,则x x(1) 极限lim ( )x(x a)(x b)(C)111(D)1110,(7) 设随机变量X 的分布函数F (x )1 2 1 e x ,x 00 x 1 ,则P X 1 = ( ) x 1(A) 0.1 (B) .2(C) e 1 .(D) 1 e 1.(8) 设 f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 (x ) 为 1,3 上均匀分布的概率密度,若af 1(x ), x 0(A) 2a 3b 4 . (B) 3a 2b 4 . (C) a b 1. (D) a b 2 . 二、(914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.)．．．x e t, d 2yy 0 ln 1 u 2du , dx t.(10)2cos dx .(11) 已知曲线L 的方程为 y 1 x x 1,1 ,起点是 1.0 ,终点是 1, 0 ,则曲线积 分 Lxydx x 2dy .(12) 设 x , y , z x 2 y 2z 1 ,则 的形心的竖坐标z .(13) 设11, 2, 1, 0 T,21,1, 0, 2 T,32,1,1, a T,若由1,2,3 生成的向量空间的维数是 2,则a .(14) 设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P X k , k 0,1, 2, , 则 E X2=.三、～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.) (9) 设 t 求 2k !C21, ..f (x ) , (a 0,b 0) 为概率密度,则a , b 应满足 ( ) bf 2 (x ), x 0(15)(本题满分 10 分)求微分方程y 3y 2y 2xe x 的通解． (16)(本题满分 10 分)求函数f x1x 2 x2t e t 2dt 的单调区间与极值.(17)(本题满分 10 分) (I)比较 ln t ln 1 t ndt 与 t n ln t dt n 1, 2,的大小,说明理由；(II)记u nln t ln 1 tndt n 1, 2, (18)(本题满分 10 分)求幂级数n 11n 1 2n,求极限lim u n .(19)(本题满分 10 分)设 P 为椭球面 S : x 2 y 2 z 2 yz 1上的动点,若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直,求点 P 的轨迹 C ,并计算曲面积分 I 2 2 dS ,其中 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分. (20)(本题满分 11 分)1 1 a 设 A 0 1 ，b 1 ,已知线性方程组Ax b 存在两个不同的解.( I ) 求 , a ；( II ) 求方程组Ax b 的通解. (21)(本题满分 11 分)已知二次型 f (x 1 , x 2 , x 3) x T Ax 在正交变换 x Qy 下的标准形为 y y ,且 Q 的第三列为( , 0, )T .( I ) 求矩阵 A ；( II ) 证明A E 为正定矩阵,其中E 为 3 阶单位矩阵.(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) Ae2x 2 2xy y 2, x , y ,求常数 A 及条件概率密度f Y |X (y | x ) ．x y 2z2 214 y z 4yznx 的收敛域及和函数. 2n 1(23)(本题满分11分)设总体X的概率分布为1 2 3122表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的其中参数0,1未知,以Ni3个数(i 1, 2,3 ).试求常数a1 , a2 , a3 ,使T a i N i为的无偏估计量,并求T的方差.i 1(1)【答案】 (C).【解析】 本题属于未定式求极限,极限为1 型,故可以用“e 的抬起法”求解．x 2 xx 2 lim e x a x b x x 2 e x x a x b , x 2 x 2 (x a )(x b )x x 2 (x a )(x b ) x(xa )(xb )(a b )x 2 abxlima b故原式极限为e a b ,所以应该选择(C). (2)【答案】 (B).【解析】 zF 1F 2F1F 2yF 1 zF 2 ,xF21 F2 xF 2z F y F 1x F 1 , y F 21 F 2z z yF 1 zF 2 yF 1 F 2z2 2 2(3) 【答案】 (D).【解析】 x 0 与x 1都是瑕点.应分成x x 2 xxx x1x(x a )(x b )limlim x ln x ln xx y z ．x y F F F x a x b1 (x a )(x b ) lim x x a x b其中又因为1[ln 2(1 x )]m用比较判别法的极限形式,对于dx ,由于im1 .1 2 n m显然,当0 1 ,则该反常积分收敛.n m当 0 , im 0存在,此时dx 实际上不是反常积分,故收.20 1,不论m , n 是什么正整数,1[ln 2 (1 x )]m11lim x nlim ln 2 (1 x )m (1 x ) 0 ,(1 x )2(4)【答案】 (D).【解析】i 1j 1n i n 2 j 2i 1 n i (j 1 n 2 j 2 ) (j 1 n 2 j 2 )(i 1n i )nj 1 nj 1dy ,ni 1ni 1dx ,i 1j 1n i n 2 j 2j 1 n 2 j 2 )(i 1 n i)j 1 n 2 j 2i 1 n i)敛 xnn n n n 1 n 1n nn n 1 n n n n n 1nn n nx 1 1 x 11 2n11所以dx 收敛,故选(D).故不论 m , n 是什么正整数,02dx 总收敛.对于 1dx ,取1 1(dx )( dy ) dxdy .(5)【答案】 (A).【解析】 由于AB E ,故r (AB ) r (E ) m .又由于r (AB ) r (A ), r (AB ) r (B ) ,故m r (A ), m r (B ) ①由于 A 为m n 矩阵,B 为n m 矩阵,故r (A ) m , r (B ) m ②由①、②可得r (A ) m , r (B ) m ,故选 A. (6)【答案】 (D).【解析】 设 为 A 的特征值,由于 A 2 A O ,所以 20 ,即 ( 1) 0 ,这样 A 的 特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即1A ,r (A ) r () 3 ,因此,11 1 ,即 A1(7) 【答案】 (C).【解析】 离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数 是连续函数.观察本题中F (x ) 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续 型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定 义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P X 1 P X 1 P X 1 F 1 F 1 0 1 e 1e 1,故本题选(C).(8)【答案】 (A).1, 1 x 3 2 0, 其它利用概率密度的性质:fxdx1 ,故f x dx af 1 x dx bf 2 x dxf 1 x dx b3dx b 1所以整理得到2a 3b 4 ,故本题应选(A).二、(9) 【答案】 0. x 2 1 2 21 1 1.【解析】 根据题意知,f 1 x e 2 ( x ),f 2 x 4【解析】因为tln1t e t,d2y d ln 1t2 e t dt 2t t 2 t t d2y0 .(10)【答案】4.【解析】令原式t cos t 2tdt2t2 cos tdt 2t2d sin t2 t2 sin t 2t sin tdt 4td cos t(11)【答案】0.121x1x dx x2dx x1x dx x2 dx12x2 x dx x 2x2 dx3 212 321122.3dxdydz2d rdrr12dz2d 1 r2 rdr12d r dr0 6d22 21622.32zdxdydz2d rdrr12zdz02d rdr22r2 r6ddy ln 1t2 20412(12) 【】dx e【解析】213 2 2 30 12x3 x2 x2 2x3【解析】Lxydx x2dyLxydx x2dyLxydx x2dy4t cos t0 0cos tdt 4c os 4sin t4.x t,x t2 ,dx 2tdt,利用分部积分法,dx2 dt dx 1t2e ln 1t e e,所以dx2t0(13)【答案】 a 6 . 【解析】 因为由1 ,2,3 生成的向量空间维数为 2,所以r (1,2,3) 2 . 对(1,2,3)进行初等行变换：1(1,2,3)所以a 6 .1 2 11 2 11 20 a 6 (14) 【答案】 2 .【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知1 k 0P X k k 0k !Ce ,整理得到 C e 1 ,即P X ke 1.故X 服从参数为1的泊松分布,则E X 1, D X 1,根据方差的计算公式有E X 2D XE X2112 2 .三、(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为 23 2 0 ,解得特征根11,22 ,所以对应齐次方程的通解为y c C 1e xC 2e 2x ．设原方程的一个特解为y * x (ax b )e x ,则y *ax 2 2ax bx b e x ,y *ax 2 4axbx 2a 2b e x ,代入原方程,解得a 1,b 2 ,故特解为y * x (x2)e x ．故方程的通解为y y cy * C 1e x C 2e 2x x (x 2)e x ．其中C 1, C 2 为任意常数.(16)【解析】因为f (x ) 1x 2(x2t )e t 2dt x2 1x2e t 2dt1x 2te t 2dt ,所 以 f (x ) 2x1x 2e t 2dt 2x 3e x 42x 3e x42x1x 2e t 2dt , 令f (x ) 0 , 则x 0, x 1 .C e 1 1k k ! k !1 32 10 01 1 0 0 1 02 a 02 a 0 0又f (x ) 21x 2 e t 2 dt 4x 2e x 4,则f (0) 210 e t 2dt 0 ,所以f (0) 1 (0 t )e dt 2 e 2 (1 e )是极大值.而f (1) 4e 10 ,所以f (1) 0 为极小值.又因为当 x 1时, f (x ) 0 ； 0 x 1时, f (x ) 0 ； 1 x 0 时, f (x ) 0 ；x1时, f (x ) 0 ,所以 f (x ) 的单调递减区间为 (, 1) (0,1) , f (x ) 的单调递增区.(I)当0 x 1时0 ln(1 x ) x ,故 ln(1 t ) n t n ,所以ln t ln(1 t ) ndtln t t n dt n 1, 2, .(II) ln t t ndtln t t n dt ln td t n1,故由n0 n 12根据夹逼定理得0 lim u n lim 0 ,所以lim u n 0 .(18)【解析】所以,当x 2 1 ,即 1 x 1时,原级数绝对收敛.当x 2 1时,原级数发散,因此幂级数 的收敛半径R 1 .当 x1 时,n 1x 2nn 1,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为 1,1 . ( 1)(n1)12(n 1)(I) 2(n 1) 1 lim n 1 lim x( 1)n x 2n 22n 1 ( 1)n 1x 2n 2n 1(2n 1)x 2limn2n 12n 1 2 2lim x x ,n2n 10 t21 t2 1 1n( 1) 2n n 2n 1 x 11n n n 1 2 n0 u 1ln t t n dt 1, 间为( 1,0) (1, )(17)【解析】 ln t ln(1 t ) nln t t n ,则( 1)n12n( 1)n 1 2n 1S 1(x )n 1 2n 1x x 1,1 ,所以有 S 1 (x ) ( 1)n1 x2n 2(x 2 )n1n 1 n 1x 1,1 ,从而有 故S 1 (x ) 2 2 x 1,1 ,S 1(x )xdx S 1(0) arctan x ,x 1,1 .S 1(x ) 在x1,1上是连续的,所以S (x ) 在收敛域 1,1 上是连续的.所以S (x ) x arctan x ,x 1,1 .(19)【解析】 ( I )令F x , y , z x 2 y2z2yz 1 ,故动点P x , y , z 的切平面的法向量 为 2x ,z , 2z , 由 切 平 面 垂 直 xOy , 故 所 求 曲 线 C 的 方 程 为x 2 y 2 z 2 yz 1( II ) 由 ,消去z ,可得曲线 C 在xOy 平面上的投影曲线所围2z y 0,成的xOy 上的区域D :{(x , y ) | x 23 y 21} ,由 x 2 y 2 z 2 yz x1x ,由z 2z2x y y 2z故I 2 2 dS x dxdy xdxdydxdy3(20)【解析】 因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可 以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法 1： ( I )已知Ax b 有 2 个不同的解,故r (A ) r (A ) 3 ,对增广矩阵进行初等行 x y 2z1 (x ) 1 x 1 14 D4 y z 4yz D D Ddxdy 3 122 . .2z y 0x 2 y 2 z 2 yz 1 (II) 设S (x ) x x x ,其中令n 1 2n 1 n 1 2n 1( 1)n12n 1变换,得11 1 0 1a 11 1 0 1 111 11 0 1 1 21 111 00 12111 1 1 0 0 0 0 12 0 1 11 0 0 11 1 1,由于r (A ) r (A ) 3 ,所以a 2 ,故 1 ,a 2 .方法 2：已知Ax b 有 2个不同的解故r (A ) r (A ) 3 ,因此 A0 ,即11 11 0 1知 1或-1.当1 时, r (A ) 1 r (A )2 ,此时, Ax b 无解,因此1 .由 r (A ) r (A ) ,得a 2.(II ) 对增广矩阵做初等行变换33x 1 x 33 x 1 12 可知原方程组等价为 1 ,写成向量的形式,即 x 2 x 32 .A (1)2 ( 1) 0 ,x 2 2 x 3 1 02 11 0 1 21 1 12 1 1 1 2 A 0 2 0 1 0 2 0 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 02当 1时,A 0 1 0 1 当 1时,A 0 0 0 1 ,此时,r (A ) r (A ) ,故 Ax b 无解(舍去)． 0 0 0a 20 a 0 0 1 0 1 0a 1a 01 01A 011a3因此Ax b的通解为x k02,其中k为任意常数.(21)【解析】( I )由于二次型在正交变换x Qy下的标准形为y y,所以A的特征值为121,30.由于Q的第3 列为2 , 0,2,所以A对应于 3 0 的特征向量为2, 0,2,记为3. 由于A是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于2 2程组的基础解系为10,1,0T ,21,0,1T,因此1,2为属于特征值1的两个线性无关的特征向量.由于1,2是相互正交的,所以只需单位化：122取Q1,2,31故A Q Q T011121211.( II )A E也是实对称矩阵,A的特征值为1,1,0,所以A E的特征值为2,2,1,由于A E的特征值全大于零,故A E是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度f x,y后,要求条件概率密度T T22,且Q 1 Q T,2110,1,0T,2211,0,1T.1 21的特征向量为x1, x2, x3T,则T30 ,即x1x30 . 求得该方121f Y|X (y|x),可以根据条件概率公式fY|X(y|x)来进行计算.本题中还有待定参数, A要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.fXx f x,y dy A e2x2 2xy y 2 dy A e (y x )2 x 2 dy Ae x2 e (y x )2 dyA e x 2 , x .根据概率密度性质有1fXx dx A e x 2 dx A ,即A 1 ,当x 时,有条件概率密度fYXy x e x22xy y2 e(x y)2 , x, y.(23)【解析】N1 ~ B n,1, N2~ B n, 2 , N3~ B n, 23a1n1a2n 2 a3n 2 na1n a2a1n a3a22 .na1因为T是的无偏估计量, 所以E T, 即得n a2 a1 1 , 整理得到n a3 a2 0a 1 0 , a2, a3.所以统计量1111注意到N1B(n,1) ,故111n n11f(x,y)fX(x)D T D n n N1 n2D N1 n1 .T 0N1N2N3N2N3n N1.n n n nE T E aiNia1E N1a2E N2a3E N3i1故fX x1e x2,x.。
全国2010年1月自考
全国2010年1月自考概率论与数理统计（经管类）试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.若A 与B 互为对立事件，则下式成立的是（ ） A.P （A ⋃B ）=Ω B.P （AB ）=P （A ）P （B ） C.P （A ）=1-P （B ）D.P （AB ）=φ2.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（ ）A.81B.41C.83D.21 3.设A ，B 为两事件，已知P （A ）=31，P （A|B ）=32，53)A |B (P =，则P （B ）=（ ）A. 51B. 52C.53 D.54 4.设随机变量X则k= A.0.1 B.0.2 C.0.3D.0.4 5.设随机变量X 的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X 的分布函数，则对任意的实数a ，有（ ）A.F(-a)=1-⎰a 0dx )x (fB.F(-a)=⎰-adx )x (f 21C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-16.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则P{XY=0}=（ ）A. 121 B. 61 C.31 D.32 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且X~N （2，1），Y~N （1，1），则（ ）A.P{X-Y ≤1}=21B. P{X-Y ≤0}=21C. P{X+Y ≤1}=21 D. P{X+Y ≤0}=21 8.设随机变量X 具有分布P{X=k}=51,k=1，2，3，4，5，则E （X ）=（ ） A.2 B.3 C.4D.59.设x 1，x 2，…，x 5是来自正态总体N （2,σμ）的样本，其样本均值和样本方差分别为∑==51i i x 51x 和251i i2)x x(41s ∑=-=，则s)x (5μ-服从（ ） A.t(4) B.t(5) C.)4(2χD. )5(2χ10.设总体X~N （2,σμ），2σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--=n1i 2i2)x x(1n 1s ，检验假设H 0∶2σ=20σ时采用的统计量是（ ） A.)1n (t ~n/s x t -μ-=B. )n (t ~n/s x t μ-=C. )1n (~s )1n (2222-χσ-=χ D. )n (~s )1n (2222χσ-=χ 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2010年考研数学一真题及答案
2010年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)极限(A)1 (B)(C)这是一个“”型极限原式而则【方法三】对于“”型极限可利用基本结论：若,,且则,求极限由于则(2)设函数由方程确定，其中为可微函数，且(A)(B)(C)【解析】因为,所以综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分(3)设为正整数，则反常积分的收敛性(A)仅与的取值有关(B)仅与的取值有关(C)与的取值都有关(D)与的取值都无关本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在和时无界在反常积分中，被积函数只在时无界。
由于，已知反常积分收敛，则也收敛。
在反常积分中，被积函数只在(洛必达法则)且反常积分收敛，所以收敛综上所述，无论取任何正整数，反常积分收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(4)(A)(B)(C)(D)【答案】D。
综上所述，本题正确答案是C。
(5)设为矩阵，为矩阵，为,(A)秩秩秩秩(C)秩秩(D)秩秩【答案】A。
【解析】因为为阶单位矩阵，知又因,故另一方面，为矩阵，为矩阵，又有可得秩秩综上所述，本题正确答案是A。
(6)设阶实对称矩阵，且，若，则(A)(B)(C)(D)由知，那么对于所以的特征值只能是正确综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(7)设随机变量的分布函数,则(A)0 (B)(C)(D)【答案】C。
(8)设为标准正太分布的概率密度，为上均匀分布得概率密度，若为概率密度，则应满足(A)(B)(C)(D)【解析】根据密度函数的性质为标准正态分布的概率密度，其对称中心在处，故为上均匀分布的概率密度函数，即所以,可得综上所述，本题正确答案是14(9)设，则【答案】则，【方法二】由参数方程求导公式知，由得，当时，则综上所述，本题正确答案是。
广州大学2010-2011(1)概率试卷A解答
广州大学2010-2011学年第一学期考试卷概率论与数理统计Ⅰ,Ⅱ(A 卷)参考解答一．填空题（每小题3分，共计15分）1.设AB φ=,()0.3,()0.4P A P B ==,则()P A B ⋃= 0.7 .2.设随机变量X 的分布律为则常数,,a b c 应满足的条件为0.3,0.1,0.4,0a b c a b c -+=≥-≤≥且 . 3.连续型随机变量取任何给定实数值a 的概率均为 0 .4.设~(1.5,4)X N ,且(1.25)0.8944Φ=,(1.75)0.9599Φ=, 则{24}P X -<<=0.8543 .5.设()1D X =，则(12)D X -= 4 .二．单项选择题（每小题3分，共计18分）1.掷一枚质地均匀的骰子,在出现奇数点的条件下出现3点的概率为( A ). A.1/3; B.2/3; C.1/6; D.1/2. 2.事件,A B 为对立事件,则( B )不成立.A.()0P AB =;B.(|)P B A φ=;C.()1P A B =;D.()1P A B +=. 3.设(|)1P B A =，则下列命题成立的是( D ).A.A B ⊂;B.B A ⊂;C.A B φ-=;D.()0P A B -=.4.设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是( A ).A.0()1F x ≤≤;B.0()1f x ≤≤;C.{}()P X x F x ==;D.{}()P X x f x ==.5.设随机变量的概率密度2,1()0,1qx x f x x -⎧>=⎨≤⎩，则q =( B ).A.1/2;B.1;C.-1;D.3/2.6.设~()X P λ(泊松分布)且{2}P X =2{1}P X ==,则()E X =( D ). A.1; B.2; C.3; D.4.三．解答下列各题（每小题6分，共计12分）1．将4个球随机地放入4个盒子中(每个盒子中装多少个球不限)，求每盒中各有一球的概率.解: 44256n ==, ……(2分)4!24r ==, ……(4分)332r P n ==. ……(6分) 2. 三位不同国家的密码专家各自独立破译某密码，已知他们成功破译该密码的概率分别为0.9，0.7，0.6．问该密码能被他们成功破译的概率是多少? 解: 该密码不能被他们成功破译的概率为()(10.9)(10.7)(10.6)0.012P A =---= ……(3分)该密码能被他们成功破译的概率为()1()0.988P A P A =-= ……(6分)四．解答下列各题（每小题8分，共计16分）1．有两个口袋，甲袋中盛有2个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球．由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，问取得白球的概率是多少?解: 设事件1A 为“由甲袋中取一球为白球”,事件2A 为“由甲袋中取一球为黑球”, 事件B 为“由乙袋中取一球为白球”,则12()3P A =,21()3P A =,11(|)2P B A =,21(|)4P B A = ……(4分)由全概率公式1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ 21115323412=⨯+⨯= ……(8分) 2．罐中有5个红球，3个白球,无回放地每次取一球，直到取到红球为止，设X 表示抽取次数，求(1)X 的分布律；(2){13}P X <≤. 解：(1)X 所有可能取值为1,2,3,4……(6分)(2) ()1<3P X ≤()()X=3X=2P P =+2056= ……(8分)五．（本题10分）设随机变量X 的分布律为试求随机变量3Y X X =-的分布律和分布函数. 解：Y 所有可能取值为2,0-,Y 的分布律为……(6分)Y 的分布函数为0,2()()0.6,201,0Y y F y P Y y y y <-⎧⎪=≤=-≤<⎨⎪≥⎩……(10分)六．(本题10分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，(1)计算{1}P X Y +<；(2)求随机变量X 的边缘概率密度.解: (1) {1}P X Y +<1(,)x y f x y dxdy +<=⎰⎰1104x dx xydy -=⎰⎰1202(1)x x dx =-⎰16= ……(5分)(2) ()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰104,010,xydy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它 2,010,x x <<⎧=⎨⎩其它 ……(10分)七．(本题12分)设随机变量X 的概率密度为22,01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩其它 (1)求{0.5}P X >；(2)求数学期望()E X ；(3)求方差()D X .解: (1) {0.5}P X >0.5()f x dx +∞=⎰10.5(22)x dx =-⎰14= ……(4分)(2) ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰10(22)x x dx =-⎰13= ……(8分)(3) 22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰120(22)x x dx =-⎰16= ……(11分)22()()[()]D X E X E X =-118= ……(12分)八．（本题7分）一袋中有n 张卡片，分别标有号码1，2，…，n ，从中有放回地抽取出k 张来，以X 表示所得号码之和，求(),()E X D X . 解：i X ：第i 次抽到的卡片号码,则1kii X X==∑,诸i X 独立.111()2ni j n E X j n =+=⋅=∑ ……(2分) 1(1)()()2ki i k n E X E X =+==∑ ……(4分)2211(1)(21)()6ni j n n E X j n =++=⋅=∑ ……(5分) []2221()()()12i i i n D X E X E X -=-= ……(6分)1()()ki i D X D X ==∑2(1)12k n -= ……(7分)。