18-8势阱中的粒子 势垒 谐振子

T=
ψ3(a)
A
2
2
≈e
2a 2m(U0 E) h
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜(STM) 扫描隧道显微镜(STM)
原理： 原理： 利用电子的隧道效应。 利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层 电子云， 电子云，电子云的密度随着 与表面距离的增大呈指数形 式衰减， 式衰减，将原子线度的极细 的金属探针靠近样品， 的金属探针靠近样品，并在 它们之间加上微小的电压， 它们之间加上微小的电压， 其间就存在隧道电流， 其间就存在隧道电流，隧道 电流对针尖与表面的距离及 其敏感， 其敏感，如果控制隧道电流 保持恒定， 保持恒定，针尖的在垂直于 样品方向的变化，就反映出 样品方向的变化， 样品表面情况。 样品表面情况。
Ψ ( x)
2
0
a
一维无限深势阱
设想一电子在无限深势阱， 例题 18-15 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为1.0×10-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下 × 和 相邻能级的能量差。 相邻能级的能量差。 解： 根据势阱中的能量公式 得到两相邻能级的能量差
E=
π2h2 2m 2 a
一维无限深势阱
相邻两个最大值之间的距离
x =
如果阱宽a不变， 如果阱宽 不变，当 不变
a n
n →∞
x →0
时
这时最大值连成一片，峰状结构消失， 这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布 成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。 成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。
2.一维势垒 2.一维势垒
一维方势阱如图
E = 8×9.11×1031kg×(102 m)2 n = 6.04×1034 × n2J = 3.37×10
15
(6.63×34 Js)2
2
×n eV
2
一维无限深势阱
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的， 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我 们可以把电子的能级看作是连续的。 们可以把电子的能级看作是连续的。 当a=10-10m时 时
2
x=0
m π π = 4a2π sin na x cos na x = 0
π 0 < x < a , sin na x ≠ 0
因为在阱内， 因为在阱内，即 只有
π cos na π a
x = (2N + 1) π 2
N = 0,1,2,L, n 1 x = (2N + 1) 2an
§18-8 势阱中的粒子 势垒 谐振子
1.一维无限深势阱 1.一维无限深势阱
的粒子，在保守力场的作用下， 若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限 制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。 制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。 为了简化计算，提出理想模型 无限深势阱。 为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。 无限深势阱 一维无限深势阱： 一维无限深势阱：
Ψ(x)
2
Ψ ( x )
2 2 nπ = sin ( x) a a
Ψ (x)
2
当 n 很大 时， 量子 概率分布 就接近经 典分布
n =4 n =3 n =2 a n =1
0
0
a
一维无限深势阱
有限深势阱， （4）有限深势阱，粒子出现的概率分布 如果势阱不是 无限深， 无限深，粒子的能 量又低于势璧， 量又低于势璧，粒 子在阱外不远处出 现的概率不为零。 现的概率不为零。 经典理论无 法解释， 法解释，实验得 到证实。 到证实。
解为： 解为：
h d ψi = Eψi 2 2m d x 2mE 2 k = 2 h ψi (x) = Csin(kx +δ )
2 2
一维无限深势阱
由边界条件得： 由边界条件得：ψi (0) = Csin δ
=0
ψi (a) = Csin ka = 0 δ =0 ka = nπ , n =1,2,3L
2 2
也称为基态能或零点能。 也称为基态能或零点能。
零点能的存在与不确定度关系协调一致。 零点能的存在与不确定度关系协调一致。
一维无限深势阱
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布 (3)粒子在势阱内出现概率密度分布 经典观点： 不受外力的粒子在0 经典观点： 不受外力的粒子在0到 a 范围内 出现概率处处相等。 出现概率处处相等。 量子论观点： 量子论观点
Csin nπx d x =1 ∫0 Ψ(x,t) d x = ∫0 a 2 C= a i 2 nπ hEt sin xe 得波函数表达式： 得波函数表达式： Ψ (x, t) = i a a
a 2 2 a
据归一化条件，得 据归一化条件，
一维无限深势阱
讨
论：
(1)粒子能量不能取连续值 (1)粒子能量不能取连续值 由
E = 37.7× n eV
2
E = (2n + 1) × 37.7eV
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的， 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的， 这时电子能量的量子化就明显的表现出来。 这时电子能量的量子化就明显的表现出来。
一维无限深势阱
当n>>1 时 ,能级的相对间隔近似为 能级的相对间隔近似为
一维无限深势阱
例题18-16 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 例题 值的位置。 值的位置。 解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 φn (n) = a sin2 nπ x a 2
n = 1,2,3,L
将上式对x求导一次， 将上式对 求导一次，并令它等于零 求导一次
d φn ( x) dx
扫描隧道显微镜
STM的横向分辨率已达 STM的横向分辨率已达 0.1nm ，纵向分辨达 0.01nm, STM的出现 的出现， STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。
48个Fe原子形成 48个 量子围栏” “量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。 围栏中的电子形成驻波。
n =
2
h2 8m 2 a
n
2
E = En+1 En = (2n + 1)
h2 8m 2 a
可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而 可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加， 且与粒子的质量m和势阱的宽度 有关。 和势阱的宽度a有关 且与粒子的质量 和势阱的宽度 有关。 当a=1cm时 时
由此解得最大值得位置为 例如
n = 1, N = 0 n = 2, N = 0,1,
最大值位置 最大值位置
x= 1a 2
3 x= 1a,4a 4
n = 3, N = 0,1, 2, 最大值位置
3 x = 1 a , 6 a, 5 a, 6 6
可见，概率密度最大值的数目和量子数 相等 相等。 可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
一维势垒
设三个区域的波函数分别为 在各区域薛定谔方程分别为
2 2
ψ1,ψ2 ,ψ3
h d ψ1 = Eψ1 2 2m d x 2 2 h d ψ2 +U0ψ2 = Eψ2 2 2m d x 2 2 h d ψ3 = Eψ3 2 2m d x
令
2mE 2m(U0 E) k = 2 , k2 = 2 h h
0 U(x) = ∞
0< x <a
x ≤ 0, x ≥ a
∞
∞
o
a
x
一维无限深势阱
保守力与势能之间的关系： 保守力与势能之间的关系：
dU(x) F = dx
在势阱边界处，粒子要受到无限大、 在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 表明粒子不能越出势阱, 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0 率为0。 势阱内的一维定态薛定谔方程为 薛定谔方程为： 势阱内的一维定态薛定谔方程为：
谐振子
U
n=3 n=2 n =1 n=0 o
7 hω 2 5 hω 2 3 hω 1 2 hω 2
x
一维谐振子的能级
谐振子
U
n=3 n=2 n =1 n=0 o
7 hω 2 5 hω 2 3 hω 1 2 hω 2
x
一维谐振子的能级
隧道效应
U
U0 E
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
U0 U(x) = 0
0< x <a x < 0, x > a
方向运动,当 粒子沿 x 方向运动 当 E > 0 粒子可以通过势垒。 粒子可以通过势垒。
o
a
x
实验证明粒子也能通过势垒,这只有 当 E < 0 ，实验证明粒子也能通过势垒 这只有 由量子力学的到解释。 由量子力学的到解释。
′ek2x +B
ik1x
ik1x
一维势垒
三个区域中波函数的 情况如图所示： 情况如图所示： 在粒子总能量低于势 垒壁高的情况下, 垒壁高的情况下,粒子有 一定的概率穿透势垒. 一定的概率穿透势垒. 此 现象称为隧道效应 隧道效应。 现象称为隧道效应。
隧道效应
贯穿势垒的概率定义为在x = a 处透射波的强度与 入射波的强度之比： 入射波的强度之比：
2 1
E <U0 ,
k2 为实数
一维势垒
d2ψ1 2 + k1 ψ1 = 0 2 dx d2ψ2 2 k2 ψ2 = 0 2 dx d2ψ3 2 + k1 ψ3 = 0 2 dx
ik1x
ψ1(x) = Ae
解为： 解为：
ik1x k2 x
+ A′e + C′e
ψ2 (x) = Be ψ3(x) = Ce