2015-16人教A版高三数学上学期期末试卷(有答案)

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2015-16人教A版高一数学上学期期末联考试卷(含答案分析)

2015-16人教A 版高一数学上学期期末考试试题第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．每小题只有一个正确答案） 1．若{}{}0,1,2,12,A B x x==?则A B?（）A ．{}1B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,22．sin15cos15值为（）A ．12B ．14 C ．2 D ．43．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)4．已知点(,3)P x 是角θ终边上一点，且4cos 5θ=-，则x 的值为（） A ．5B ．5-C ．4D ．4-5．已知8.028.01.1,8.0log ,7.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a c b <<6．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为： ()()123sin 100,3cos 100y t y t =π=π，则这两个声波合成后即21y y y +=的振幅为（）A ． 3B ．6C ．23D ． 8．下列函数中，不具有奇偶性的函数是 ( )A ．e e x x y -=-B ．1lg1xy x+=- C ．cos 2y x =D ．sin cos y x x =+9．若s i n ()(0,0,||)2y A x A ωϕωϕπ=+>><的最小值为2-，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图像过点（0，1），则其解析式是（）A ．2sin()6y x π=+B ．2sin()3y x π=+ C ．2sin()26x y π=+ D ． 2sin()23x y π=+10．如右图，点P 在半径为1的半圆上运动，AB 是直径，当P 沿半圆弧从A 到B 运动时，点P 经过的路程x 与APB ∆的面积y 的函数()y f x =的图像是下图中的（）第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题后横线上） 11． 23(log 9)(log 4)⋅= ． 12．把函数y ＝3sin2x 的图象向左平移6π个单位得到图像的函数解析是． 13．已知tan 2α=，则cos 2α= ．14．若函数()x f 满足(1)()f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()f x x =，则()()()234f f f ++= ．15．函数()|cos |cos f x x x =-具备的性质有．（将所有符合题意的序号都填上）（1）()f x 是偶函数；（2）()f x 是周期函数，且最小正周期为π；（3）()f x 在[,]2ππ上是增加的；（4）()f x 的最大值为2．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．已知集合{}12M x x =<<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=423x x N ．（1）求A B È；（2）设集合{}2P x a x a =<<+，若()P A B 腿，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知1tan 2,tan 3αβ=-=，其中0,0αβ<<π<<π．（1）求tan()αβ-的值；（2）求角αβ+的值．18．（本小题满分12分）已知函数()sin()sin()32f x x x ππ=++．（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()()g x f x =-，求()g x 在区间[0,]2π上的值域．19．（本题满分12分）辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下:(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由:①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③log b y a x =．(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．20． (本小题满分13分) 已知函数1,0()21,1x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤，满足9()28c f =．(1)求常数c 的值； (2)解关于x 的不等式()18f x >+．21． (本小题满分14分)已知函数()||1mf x x x=+-(0)x ≠．（1）当2m =时，判断()f x 在(,0)-∞的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x ∈R ，不等式 (2)0xf >恒成立，求m 的取值范围；（3）讨论()f x 零点的个数．高一数学参考答案参考答案：一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A 二、填空题 11．4 12．6π 13．35- 14．1 15．（1）（3）（4）三、解答题 16．解：（1）{}14A B x x ?<< ……………………6分（2）由（1）{}14A B x x ?<<， (9)分 124a a ì³ïï\íï+ ïî 12a\＃ (12)分17．解：（1）12tan tan 3tan()711tan tan 1(2)3αβαβαβ----===-++-⋅ (5)分（2）12tan tan 3tan()111tan tan 1(2)3αβαβαβ-+++===----⨯ (10)分因为1tan 20,tan 03αβ=-<=>，所以2απ<<π，02βπ<< 所以22αβπ3π<+<，故4αβ3π+= (12)分18．解：1()(sin )cos 22f x x x x =+ ……………………2分21sin cos 2x x x =+1sin 2cos 2)4x x =++ ……………………4分1sin(2)23x π=++……………………6分（1）所以22T π==π． ……………………8分（2）1()sin(2)23g x x π=+，因为02x π≤≤，所以2333x ππ4π+≤≤，所以sin(213x π+)≤，11sin(24232x π-+)≤，所以()g x 在区间[0,]2π上的值域为1[]2． (12)分19．解:(1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ax b =+和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意，∴2y ax bx c =++． ……………………4分(2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入2y ax bx c =++中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++90361296511010090416c b a c b a c b a …………………… 6分解得41=a ，10-=b ，126=c ……………………8分 ∴221110126(20)2644y x x x =-+=-+， ……………………10分 ∴当20x =时，y 有最小值min 26y =． ………………11分答：辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．…………12分20．解： (1)∵9()28c f =，即9128c c ⋅+=，解得12c =． ……………………5分(2)由(1)得4111,022()121,12x x x f x x -⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤，由()1f x >+，得当102x <<12x <<； ……………………9分当112x <≤时，解得1528x <≤． ……………………12分∴不等式()1f x >+的解集为5{|}8x x <<． ……………………13分21．解析：（1）当2m =，且0x <时，2()1f x x x=-+-是单调递减的．………………… 1分证明：设120x x <<，则12121222()()1(1)f x f x x x x x -=-+---+- 211222()()x x x x =-+-2121122()()x x x x x x -=-+21122()(1)x x x x =-+ (3)分又120x x <<，所以210x x ->，120x x >，所以21122()(1)0x x x x -+> 所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故当2m =时，2()1f x x x=-+-在(,0)-∞上单调递减的． (4)分（2）由(2)0xf >得|2|102xx m+->，变形为2(2)20x x m -+>，即22(2)x x m >-而22112(2)(2)24x x x-=--+，当122x =即1x =-时2max 1(2(2))4x x -=，所以14m >． ……………………9分（3）由()0f x =可得||0(0)x x x m x -+=≠，变为||(0)m x x x x =-+≠令22,0()||,0x x x g x x x x x x x ⎧-+>⎪=-=⎨+<⎪⎩作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得：当14m >或14m <-时，()f x 有1个零点．当14m =或0m =或14m =-时，()f x 有2个零点；当104m <<或104m -<<时，()f x 有3个零点． ……………………14分。

2015-16 人教A版高一数学上学期期末考试试卷(含答案分析)

2015-16人教A 版高一数学上学期期末考试试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每小题5分）1已知集合M={0,2,4,6},集合Q={0,1,3,5},则M ∪Q 等于( ).A.{0}B.{0, 1,2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6}D.{0,3,4,5,6}2、函数21)(--=x x x f 的定义域为（） A 、[1，2)∪(2，+∞） B 、(1，+∞） C 、[1，2) D 、[1，+∞)3、已知角α的终边经过点1)P -，则cos sin αα-=（）A、12-; B、12-; C、12; D、124、已知向量(2,),(,8)a x b x →→==，若||||→→→→⋅=⋅b a b a ，则x 的值是A.4-B. 4 C . 0 D. 4或－4 5．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（）A ．)45,()2,4(ππππB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ 6. 化简015tan 115tan 1-+等于（） A. 3 B. 23 C. 3 D. 1 7．三个数23.0=a ，3.0log 2=b ，3.02=c 之间的大小关系是（）A ．a < c < bB ．a < b < cC ． b < a < cD ． b < c < a8．已知函数 ⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f =（） A ．9 B ． 19 C ．－9 D ．－199、已知方程lg x=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ).A.x 0∈(0,1)B.x 0∈(1,2)C.x 0∈(2,3)D.x 0∈[0,1]10、已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（）A ．7B ．10C ．13D ．411、函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为（）A ．1 B. 2 C. 3 D. 23 12、已知函数f(x)在[0，+∞)上是减函数，g(x)=-f(x ),若g(lgx)<g(1),则x 的取值范围是 ( ) A(110,10) B(0,10) C(10，+∞) D(0,110)∪(10，+∞）二、填空题（每小题5分）13 若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________14.若幂函数)(x f 的图象过点)22,2(，=)9(f __________________.15.函数)34(log 221-+-=x x y 的单调递增区间________________.16、关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x∈R )有下列命题：①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6π)； ③y＝f(x)的图象关于点(－6π，0)对称；④ y＝f(x)的图象关于直线x ＝512π-对称；其中正确的序号为。

人教版2015-2016学年高三数学上(文)期末试题及答案

2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）满分：150分时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若复数,215iiz -=则z 的共轭复数对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D . 第四象限 2．如果命题" ()"p q ⌝∨为假命题，则（）A ．,p q 均为真命题B ．,p q 均为假命题C ．,p q 中至少有一个为真命题D ．,p q 中至多有一个真命题 3．设1.05.0=a ,1.0log 4=b ，1.04.0=c ,则( )A.a c b >> B ．a c b >> C ．c a b >> D. c a b >>4．已知向量(,),a x y = 若实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ,则a 的最大值是( )AB．2C ．D .5．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（） A.1 B.2 C.3 D.46．某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（）A. 82 万盒B. 83万盒C. 84万盒D. 85万盒7．函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象如上图所示，其中,A B 两点之间的距离为5，则=)1(f ( )A ．3B ．3-C ．1D ．1-8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．21B ．1C ．1-D ．2 9．数列}{},{n n b a 满足111==b a ，*11,2N n b b a a nn n n ∈==-++, 则数列}{n a b 的前10项的和为（）A ．)14(349-B ．)14(3110-C ．)14(319- D ．)14(3410-10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线C相交于A 、B 两点,则22OA OB +（O 为坐标原点）的最小值为( )A ．4B ．8C ．10D . 1211．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则不等式()xf x e >的解是（）A ．1x > B12．若)(x f A ．)(-=xe xf y C ．)(=x e x f y 二、填空题：（每小题13．正四棱锥O -ABCD O -14．向量AC AB ,若a⊥15．若直线2-+by ax 则12a b+16．若对于任意的实数三、解答题：17.（本小题满分12在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos 10A =sin sin sin sin 5a A b B c C a B +-=. （1）求B 的值；（2）设10=b ，求ABC ∆的面积S .18.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以x 表示.（1）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354, 求x 及乙组同学投篮命中次数的方差; （2）在（1）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名,记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A 发生的概率.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且,SA SC SA BD =⊥．（1）求证：SO ⊥平面ABCD ；（2）设60BAD ∠=︒，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点，且SB ∥平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 上的点到两焦点的距离和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 与圆O :25122=+y x 相切，证明：MON ∠为定值；21.（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间；（3）若1()ag x x+=-，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图所示，AB 是圆O 的直径，AC 切圆O 于点A ，AC AB =，CO 交圆O 于点P ， CO 的延长线交圆O 于点F ，BP 的延长线交AC 于点E ．（1）求证：AP FAPC AB=；（2）若圆O 的直径1AB =，求tan CPE ∠的值．(23)（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C 的方程是)4sin(22πθρ-=，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，πα<≤0），设(2,1)P ,直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求||AB 的长度；（2）求22||||PB PA +的取值范围．（24）（本小题满分10）选修4一5：不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈．（1）当3a =时，解不等式()0f x >；（2）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）答案一、选择题：CCAAB DDABC CB二、填空题： 13． π)74(- 14．3 15．223+ 16． 1->a 三、解答题：17.解析：（1） sin sin sinC sin 5a Ab Bc B +-=，∴222a b c +-=．∴222cos 2a b c C ab +-==．又 A B C 、、是ABC ∆的内角，∴sin 105A C ==．()cos cos cos sin sin A C A C A C +=-== 又 A B C 、、是ABC ∆的内角，∴0A C π<+<，∴34A C π+=．∴()4B AC ππ=-+=．（2） sin sin c b C B =，∴sin sin bc C B=⨯=∴ABC ∆的面积11sin 106022S bc A ==⨯⨯= 18．解析：（Ⅰ）8x =，21116s =；（Ⅱ）13.19.解析：（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．又,,BD SA SA AC A BD ⊥⋂=∴⊥ 平面SAC ．又,SO SAC BD SO ⊂⊥ 平面,,SA SC AO OC SO AC ==∴⊥又,AC BD O SO ⋂=∴⊥ 平面ABCD ．（2）连接OP ，∵SB 平面APC ，SB ⊂平面SBD ，平面SBD ⋂平面APC OP =，SB OP ∴ ．又∵O 是BD 的中点，∴P 是SD 的中点．由题意知ABD 为正三角形．1OD ∴=．由（1）知SO ⊥平面ABCD ，∴SO OD ⊥．又2SD = ，∴在Rt SOD 中，SO =P 到面ABCD11122sin1203222A PCD P ACD V V --⎛⎫∴==⨯⨯⨯︒⨯= ⎪⎝⎭20．解析：（1）229161x y +=；（2）2π=∠MON ;21. 解析：（1）20x y +-=；（2）当1a >-时，单调递增区间为(1,)a ++∞时，单调递减区间为(0,1)a +；当1a ≤-时，单调递增区间为(0,)+∞时，无单调递减区间；（3）211e a e +≥-或2a ≤﹣.22. 解析：（1）见解析；（223. 解析：(1)||AB =-----------------------4分 (2)22||||(14,22]PA PB +∈——————————10分24. 解析：解：（1）当3a =时，()0f x >即|2||23|0x x --->等价于：3210x x ⎧≤⎪⎨⎪->⎩或322350x x ⎧<<⎪⎨⎪-+>⎩或210xx ≤⎧⎨-+>⎩ 解得312x <≤或3523x <<或x ∈∅所以原不等式的解集为：5{|1}3x x <<（2）()2|2|f x x x a =---所以()0f x <可化为|2|2x a x ->- ① 即22x a x ->-或22x a x -<-①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<(,2)x ∈-∞， ∴a ∈∅或4a ≥ 4a ∴≥。

高三数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．805．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．226．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．87．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．129．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．5010．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，故选：D．2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，∴z=2﹣4i，则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．故选：D．3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．80【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得等比数列的公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q2===，∴a7+a8=（a1+a2）q6=40×=135，故选：C．5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．22【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣98）=1+lg100=3，f（lg30）=10lg30﹣1==3，∴f（﹣98）+f（lg30）=3+3=6．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高．∴四棱锥的高h==2，∴棱锥的体积V==4．故选A．7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．【考点】圆的一般方程．【分析】设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），可得，解得：b=2，r=5，所以|MN|=2=2，故选：D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：∵△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，∴点M的坐标为（a+，2a•），即（，），又∵点M在双曲线E上，∴将M坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，b2=2a2，而c2=a2+b2=3a2，∴e2==，因此e=，故选：C．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．【解答】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，1）递减，而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R是奇函数，∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，如图示：，x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，综上：x∈（﹣2，2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出．【解答】解：∵向量，是相互垂直的单位向量，∴=0，．∵λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ﹣2=0．解得λ=2．故答案为2．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC及内部），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，代值计算可得z的最大值为2，故答案为：2．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①，再令x=﹣1，可得（m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②，由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0，故答案为：0．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=（n≥2），∴2=2S n a n﹣a n，∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，∴2=﹣，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，∴S2016==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…即，故．…（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…由余弦定理得．所以．…18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D为AA1的中点，∴DC=DC1．又，可得，∴DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD=D，∴DC1⊥平面BCD．∵BC⊂平面BCD，∴DC1⊥BC．…（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，∴CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知，，．则，，．设是平面BDC1的法向量，则，即，可取．设点P到平面BDC1的距离为d，则．…12分19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；（II）（i）使用乘法原理计算；（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程．【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种．故所求的概率．（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，所以x2+4y2=4，即…..（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．设C（x1，y1），D（x2，y2），则．…△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．…．①，…②．…又由，得，将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足）．所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣+，∴…（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…，，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0）则，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，所以ϕ（x）存在唯一零点x0，且满足x0∈（2，3），x0=1+ln（x0+1）．…由x＞x0时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：h（x）的最小值为．所以正整数k的最大值为3．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．【解答】解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，…又∵PC=ED=1，∴CE=2，∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴，…∴AC2=PC•AB=2，∴…证明：（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…∴，∴EF=BE．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的X围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。

高三上学期期末联考数学(理)试题答案.docx

2015—2016学年度第一学期期末联考高三数学（理科）参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1-5 DABBC 6-10 ABDCA 11-12 BD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 1- 14. ()7,3- 15. 15 16. []1,2-三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 【答案】(1) [,],63k k k Z ππππ-+∈ ；(2)233+．【解析】(1)∵()cos cos 2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.………………………5分 (2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B AC ππ=--=.∴113sin 22242ABC S ac B ∆+==⋅=. ……………………………10分 18.解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1．又121AA AC =，可得DC 12+DC 2＝CC 12，所以DC 1⊥DC ．而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD ．BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC ．…………………………………………………5分（2）由（I ）知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA uu u r 的方向为x 轴的正方向， CA u u u r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．由题意知A 1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C 1(0,0,2)．则1(0,0,1)A D =-u u u u r，(1,1,1)BD =-u u u r ，1(1,0,1)DC =-u u u r , 设(,,)=n x y z 是平面A 1B 1BD 的法向量，则100n BD n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u u r ，即⎩⎨⎧==+-00z z y x ,可取n ＝(1,1,0)．同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，10m BD m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u ur 可取m ＝(1，2，1).3cos <>==g n m n,m n m . 故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°……………………………12分19.(1)解：所有可能的申请方式有43种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2242C 种，………………………………3分从而恰有2人申请A 片区房源的概率为224428327C =…………………………5分(2)ξ的所有可能取值为1、2、3421322324424121342431(1);327()14(2);3274(3)39p C C C C C p C C C p ξξξ===+======………………………………9分所以ξ的分布列为ξ 1 2 3P127 142749()123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯=………………………………12分20.【解析】（1）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(30)-，，(30)，为焦点，长半轴长为2 的椭圆．故曲线C 的方程为2214x y +=．………………………………5分（2）因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．x yz则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 整理得032422=--+my y m ）（·········7分.0)4(12)2(22>++=∆m m 由设).,(),,(2211y x B y x A 解得 432,432222221++-=+++=m m m y m m m y 则.4342212++=-m m y y 因为21.21y y OE S AOB-=∆31324322222+++=++=m m m m 10分设.3,3,1)(2≥+=+=t m t tt t g 则)(t g 在区间],3[+∞上为增函数所以.334)(≥t g 所以23≤∆AOB S ，当且仅当0=m 时取等号，即23=∆AOB S 所以AOB S ∆的最大值为23·································12分注：第（2）问也可用韦达定理.21. 解：(1)由题意0,()x a f x e a '>=-, 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<;当(l n,)x a ∈+∞时,()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减,在(l n ,)a +∞单调递增即()f x 在l n x a =处取得极小值,且为最小值,其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- (2)()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立,即在x ∈R 上,m i n()0f x ≥. 由(1),设()l n 1.g a a aa =--,所以()0g a ≥. 由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减,∴()g a 在1a =处取得最大值,而(1)0g =. 因此()0g a ≥的解为1a =,∴1a = (3)由（2）得1+≥x e x，即x x ≤+)1ln(，当且仅当0=x 时，等号成立，令)(1*∈=N k kxEAD OBC则，)11ln(1k k +>即)1ln(1k k k +>，所以),...,2,1(ln )1ln(1n k k k k=-+> 累加得))(1ln(1...31211*∈+>++++N n n n选做题（本题满分10分）22. 解：（1）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥即CE ．因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ．所以AE 是⊙O 的切线．……5分（2）由（1）可得△ADE ∽△BDA ，所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD，则BD ＝2AD ，所以∠ABD ＝30，从而∠DAE ＝30，所以DE ＝AE tan 30＝233．由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，所以4＝233× (233＋CD )，所以CD ＝433．……10分23. 解：（1）221:22C x y +=，:24l x += ………5分（2）设)2,sin Qθθ，则点Q 到直线l 的距离2sin()42sin 2cos 44333d πθθθ+-+-==≥ ………8分当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时,Q 点到直线l 23。

高三数学上学期期末试卷理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市通渭县榜罗中学高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．已知数列{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣2或14．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．C．D．15．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣17．已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．9．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．10．已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x11．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．12．已知函数f（x）=的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣1，2] D．[2，+∞）二．填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．设向量满足，则||=．14．曲线在点（﹣1，﹣1）处的切线方程．15．已知a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是．16．观察如图等式，照此规律，第n个等式为．三．解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余各题均为12分，共70分）17．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6+a8=14（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{}的前n项和S n．18．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．19．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．21．已知四棱锥P﹣ABCD的直观图（如图1）及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．22．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若DP⊥AB，求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．2015-2016学年某某省某某市通渭县榜罗中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2．若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故选A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．已知数列{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣2或1【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：数列{a n}是递增等比数列的公比为q，∵a2=2，a4﹣a3=4，∴，解得，（舍去），则此数列的公比q=2．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】由条件可得 1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，从而求得tanα 的值．【解答】解：∵已知，∴1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，tanα=﹣1．故选A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得α=，是解题的关键，属于基础题．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．6．设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣1【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据已知中的约束条件，画出满足的平面区域，并画出满足条件的可行域，由图我们易求出平面区域的各角点的坐标，将角点坐标代入目标函数易判断出目标函数x+2y 的最大值和最小值．【解答】解：满足的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2故选B【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键．7．已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是求出被积函数，属于基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．【点评】本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．10．已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．11．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出ω的值即可．【解答】解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；k=0时，ω=故选C【点评】本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，常考题型．12．已知函数f（x）=的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣1，2] D．[2，+∞）【考点】函数的零点；函数的图象；函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得只要满足直线y=x和射线y=2（x＞m）有一个交点，而且直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的两个交点即可，画图便知，直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象的两个交点为（﹣2，﹣2）（﹣1，﹣1），由此可得实数m的取值X围．【解答】解：由题意可得射线y=x与函数f（x）=2（x＞m）有且只有一个交点．而直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2，至多两个交点，题目需要三个交点，则只要满足直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象有两个交点即可，画图便知，y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象交点为A（﹣2，﹣2）、B（﹣1，﹣1），故有m≥﹣1．而当m≥2时，直线y=x和射线y=2（x＞m）无交点，故实数m的取值X围是[﹣1，2），故选B．【点评】本题主要考查函数与方程的综合应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二．填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．设向量满足，则||= 1 ．【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】根据向量的公式：||2=，直接代入数据进行计算即可．【解答】解：由于||2==4+3+=8，∴||=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了向量的模，向量的一个重要公式：||2=．属于基础题．14．曲线在点（﹣1，﹣1）处的切线方程2x﹣y+1=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】先求曲线的导数，因为函数在切点处的导数就是切线的斜率，求出斜率，再用点斜式写出切线方程，再化简即可．【解答】解：的导数为y′=，∴曲线在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为2，切线方程是y+1=2（x+1），化简得，2x﹣y+1=0故答案为：2x﹣y+1=0．【点评】本题主要考查了函数的导数与切线斜率的关系，属于导数的应用．15．已知a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是9 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；不等式．【分析】利用导数的运算法则化简表达式，通过基本不等式求解最值即可．【解答】解：a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，可得a+b=1，==5+≥5+2=9，当且仅当b=2a=时取等号．故答案为：9．【点评】本题考查对数运算法则以及基本不等式的应用，考查计算能力．16．观察如图等式，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．【专题】探究型．【分析】根据前4个式子的规律，利用归纳推理进行归纳即可．【解答】解：等式的右边为1，9，25，49，即12，32，52，72…，为奇数的平方．等式的左边为正整数为首项，每行个数为对应奇数的和，∴第n个式子的右边为（2n﹣1）2，左边为n+（n+1）+…+（3n﹣2），∴第n个等式为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．故答案为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，观察等式的取值规律，进行归纳是解决归纳推理的基本方法，考查学生的观察和分析能力．三．解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余各题均为12分，共70分）17．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6+a8=14（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列公差由已知条件求出a1=1，d=1，由此能求出a n=n．（2）由，利用错位相减法能求出数列{}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a2=2，a6+a8=14，∴，解得a1=1，d=1，∴a n=n．（2）∵，∴S n=+…+，①=，②①﹣②，得===1﹣，∴．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．18．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的X围，可的sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的X围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x， =cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=．∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）=，f′（1）=0得到a、b 即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x=1处有极值，所以即可得，b=﹣1．（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣ 0 +f（x）↘极小值↗所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得： cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S△ABC=acsinB=×××=．【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．已知四棱锥P﹣ABCD的直观图（如图1）及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．【考点】简单空间图形的三视图；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】作图题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，证明AD垂直平面PAB内的两条相交直线PO，AB，即可证明AD⊥PB；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出，利用cos==，求异面直线PD与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）平面PABD 法向量=（1，0，0）设平面PCD的法向量=（x，y，z），通过cos，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，则PO⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=ABPO⊂平面PAB，可得PO⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AD⊥AB，PO∩AB=0可得AD⊥平面PABPB⊂平面PAB所以AD⊥PB（Ⅱ）过O作AD的平行线为x轴，OB、OP分别为y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0）D（2，﹣1，0），B（0，1，0），C（2，1，0）由已知左视图知PO=2，故P（0，0，2）=（2，﹣1，﹣2），cos==（Ⅲ）平面PABD 法向量=（1，0，0）设平面PCD的法向量=（x，y，z）取cos即所求二面角的大小为【点评】本题主要考查三视图、直线与直线直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想像能力，推理论证能力，以及运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．22．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若DP⊥AB，求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）点P为AB的中点时，连接AC1，因为在△ABC1中DP是三角形的中位线，DP∥AC1．然后证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）以AB的中点O为原点，CO、OB、过点O平行AA1的直线分别为x、y、z轴，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，即可求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）当点P为AB的中点时，连接AC1，因为在△ABC1中DP是三角形的中位线，DP∥AC1．AC1⊂平面ACC1A1；DP不在平面ACC1A1；所以DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）解：如图，以AB的中点O为原点，CO、OB、过点O平行AA1的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，在三角形ABC中，则B（0，1，0），C（，0，0），P（0，，0），C1（，0，3），D（，，），，，设平面CDP的法向量为=（x，y，z），则∴，不妨令x=，则y=﹣6，z=1，∴，CBP的法向量为： =（0，0，1）∴二面角D﹣CP﹣B的余弦值为：conθ===．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力．。

2015-16人教A版高一数学上学期期末试卷(含答案分析)

2015-16人教A 版高一数学上学期期末考试试题本试卷分为第I 卷和第II 卷两部分，共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．（请把所选答案填在答题卡上的相应表格内） 1．若α为钝角，则2α的终边在（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第一象限或第三象限 2．若0cos165a =，则0tan195=（）（A （B ）a- （C ）a （D ）a3．下列图象中可以表示以{|01}M x x =≤≤为定义域，以{|01}N y y =≤≤为值域的函数的图象是（）4．在下列给出的函数中，以π为周期且在(0,)2π内是增函数的是（）（A ）sin2xy = （B ）cos 2y x = （C ）sin(2)4y x π=+（D ）tan()4y x π=- 5．在下列四组函数中，表示同一函数的是（）（A ）1=y ，0x y = （B ）1,112-=+⨯-=x y x x y（C ）55,x y x y == （D ）2)(|,|x y x y == 6．函数2sin y x =是（）（A ）周期为2π的偶函数（B ）周期为2π的奇函数（C ）周期为π的偶函数（D ）周期为π的奇函数7．下列四类函数中，具有性质“对任意的实数0>x ，0>y ，函数)(x f 满足)()()(y f x f y x f =+”的是（）（A ）幂函数（B ）对数函数（C ）指数函数（D ）余弦函数 8．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）（A ）sin()6y x π=+（B ）sin(2)6y x π=-（C ）cos(4)3y x π=-（D ）cos(2)6y x π=-9．已知函数x x f xsin )21()(-=,则)(x f 在]2,0[π上的零点个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 10．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）（A ）247 （B ）－247 （C ）724（D ）－72411．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（）（A ）35(,)(,)244ππππ （B ）5(,)(,)424ππππ（C ）353(,)(,)2442ππππ （D ）3(,)(,)424ππππ 12．给出下列命题，其中正确的有（） ①存在实数x ，使得3sin cos 2x x +=； ②若cos 0α>，则α是第一象限角或第四象限角； ③函数3sin()42y x π=+是偶函数；④若α是第二象限角，且(,)P x y 是α终边上异于坐标原点的一点，则cos α=（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：每小题5分，满分20分．（请把答案填在答题卡内的相应横线上） 13．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是． 14． =+25.0log 10log 255 ．15． 0tan 20tan 4020tan 40+= ． 16．函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C ，则以下结论中正确的是． (写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线12π=x 对称； ②图象C 关于点)0,32(π对称； ③函数125,12()(ππ-在区间x f )内是增函数； ④由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．三、解答题：本大题共6小题，共70分（其中17小题满分10分，其余各题满分均为12分）．（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（满分10分）化简下列各式：①cos()2sin(2)cos()5sin()2πααππαπα-⋅-⋅-+；α为第二象限角．18．（满分12分）如图A 、B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限．点C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为)54,53(，若△AOB 为正三角形．（Ⅰ）求COA ∠sin ；（Ⅱ）求COB ∠cos ．19．（满分12分）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值。

人教版数学高三期末测试精选(含答案)3

【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于（）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3

2015-16人教A版高一数学上学期期末考试(含答案分析)

2015-16人教A 版高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．sin 210= （）A ．B ．C ．12D ．12-2．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )．A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限3则cos θ=( )A.5-B.5C.35- D.354．已知角α的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为( )A ．(sin α，cos α)B ．(cos α，sin α)C ．(sin α，tan α)D ．(tan α，sin α) 5.下列四个函数中，既是(0,)2π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A sin y x =B |sin |y x =C cos y x =D |cos |y x =6. 已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（）A ．47B ．169-C ．329-D ．329 7. 如图所示， M 是△ABC 的边AB 的中点，若,CM a CA b ==，则＝A. 2a b -B. 2a b -C. 2a b +D. 2a b + 8．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．(35，－45B ．(45，－35)C ．(－35，45D ．(－45，35)9．向量BA ＝(4，－3)，向量BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )．A ．等腰非直角三角形 B.等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形10．函数f (x )＝3sin 2x -cos 2x 的图象可以由函数g (x )＝4sin x cos x 的图象________得到． ( )A ．向右移动π12个单位B ．向左移动π12个单位C ．向右移动π6个单位D ．向左移动π6个单位11.已知tan(4π+α)=12,则2sin2cos 1cos2α-α+α的值为( )A ．53- B.56- C.16- D.32-12．已知O 是ABC ∆内部一点，,60,2, =∠=⋅=++BAC 且则OBC ∆的面积为（）A ．33B ．21C ．23D ．32二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在横线上．13．若向量1(cos ,)2a α=cos2α=14.在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是弧度，扇形面积是 .15．已知11tan tan 37αβ==，，且αβ，都是锐角，则2αβ+的值为 .16．△ABC 中，∠A=60°，角A 的平分线AD 将BC 分成BD 、DC 两段，若向量1()3AD AB AC R λλ=+∈，则角C=17．在下列五个命题中，①函数y=tan(x+4π)的定义域是 {x | x ≠4π+ k π，k ∈Z}； ②已知sin α =21，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{6π} ；③函数)3x 2sin()3x 2sin(y π-+π+=的最小正周期是π；④直线4x π=是函数sin cos y x x =+图象的一条对称轴；⑤函数x sin x cos y 2+=的最小值为1-.把你认为正确的命题的序号都填在横线上 .第Ⅱ卷三、解答题：本大题共5小题，共49分。

2015—2016学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学(A卷)20151027_最新修正版

2015—2016学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学（A 卷）考生注意：本卷共三大题，24小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器. 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=（其中S 为底面面积，h 为高），柱体的体积公式V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高），球的表面积公式24R S π= （其中R 为球的半径）.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1.已知集合{|2}A x x =>，{|}B x x m =<，且A B R =，那么m 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．32.若()34(,,)i x yi i x y R i +=+∈是虚数单位，则复数x yi -的模是 A.2 B.3 C.4 D.53.如果向量(,1)a k =与(2,1)b k =+共线且方向相同，那么k 的值为（） A ．-1 B.2 C.1 D.-24.在“市中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A.5和1.6B.85和1.6C.85和0.4D.5和0.45.已知113344333,,552a b c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<6.下列有关命题的说法正确的是（） A.命题“若21,x =则1x =”的否命题为：“若21,x =则1x ≠”； B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；C.命题“[)1,x ∃∈+∞，使得210x x +-<”的否定是：“[)1,,x ∀∈+∞均有210x x +-≥”D.命题“已知,,x y R ∈若1x ≠或4y ≠，则5x y +≠”为真命题. 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81126a a =+，则9S 的值等于（） A.36 B.45 C.54 D.278.某程序框图如右图所示，若输出的57S =，则判断框内应为（） A..k >6? B..k >5? C..k >4? D..k >3?9.已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin(1)8g x x π=+ C.()sin(1)2g x x π=+ D.()sin(1)8g x x π=+10. 已知某空间几何体的三俯视图是正三角形，则该几何体的体积是33A332B 334C 335D11.已知抛物线24y x =，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为A．3 B．3C．3 D．312.已知函数()()y f x x R =∈的图像过点(1,0)，'()f x 为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，若0x >，'()1xf x >下恒成立，则不等式()ln f x x ≤的解集为A. 1(0,]eB. (0,1]C. (0,]eD. (1,]e第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.正视图侧视图俯视图二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13.设,x y 满足约束条件130x y x y y -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩，则z x y =-的取值范围为 .14.函数()x f x xe =在点()()1,1f 的切线方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.15.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()22,f a f a f -+≤则a 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.16.已知在直角梯形ABCD 中，,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,将直角梯形ABCD 沿AC 折成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -的体积最大时，其外接球的面积为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（I ）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T18.为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂n 名工人某天的产量（单位：件），整理后得到如下的频率分布直方图（产量的区间分别为[)[)[)[)[]10,15,15,20,20,25,25,30,30,35），其中产量在[)20,25的工人有6名。

高三数学上学期期末试卷理(含解析)-人教版高三全册数学试题7

2015-2016学年内蒙古包头市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（）A．﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜B．﹛x|﹣5＜x＜5﹜C．﹛x|﹣3＜x＜5﹜D．﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜2．设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（）A．ad﹣bc=0 B．ac﹣bd=0 C．ac+bd=0 D．ad+bc=03．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．85．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．46．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．（x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．1 D．28．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．29．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x ＞2}10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60°的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（）A．8πB．4πC．3πD．2π11．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点为P，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若对x∈R都有|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，0] C．[﹣2，1] D．（﹣∞，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线I与α内的一条直线平行，则I∥α③设α∩β=I，若α内有一条直线垂直于I，则α⊥β④直线I⊥α的充要条件是I与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是．14．正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．15．已知二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，且其图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上．函数f（x）在x∈[0，2]上的值域是．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*．（1）求a1a2，并求数列{a n}的通项公式，（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.50～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250日均浓度空气质量级别一级二级三级四级五级六级严重污空气质量类型优良轻度污染中度污染重度污染染甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值．20．已知动点M（x，y）到直线ι：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求点A的坐标．21．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．[选修4-4；极坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l被圆截得的弦长；（Ⅱ）从极点作圆C的弦，求各弦中点的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2015-2016学年内蒙古包头市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（）A．﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜B．﹛x|﹣5＜x＜5﹜C．﹛x|﹣3＜x＜5﹜D．﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜【考点】并集及其运算．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：在数轴上画出集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣3}．故选A2．设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（）A．ad﹣bc=0 B．ac﹣bd=0 C．ac+bd=0 D．ad+bc=0【考点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】本题考查的是复数的充要条件．注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数⇔b=0 【解答】解：a，b，c∈R，复数（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i为实数，∴ad+bc=0，故选D．3．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．故选C．4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．8【考点】循环结构．【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：x 1 2 4 8y 1 2 3 4当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B．5．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，截距最小，此时z最大，从而求出z=2x﹣y的最大值．【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3x﹣z，作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，直线的纵截距最小，此时z最大，最大值为4﹣1=3故选C6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．7．（x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a 的值．【解答】解：∵T r+1=C5r•x5﹣r•（）r=a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r=3得r=1，∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．故选D．8．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．2【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；平面向量数量积的运算．【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知： =2， =∴=2•=2||2=2×12=2．故选：D．9．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x ＞2}【考点】偶函数；其他不等式的解法．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2 解得x＞4，或x＜0．应选：B．10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60°的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（）A．8πB．4πC．3πD．2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知，该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心，进而可求此几何体的内切球的半径，即可得到此几何体的内切球表面积．【解答】解：由于此几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心，即是正方形的中心．由此几何体三视图可知，几何体每个面的三边长分别为，设此几何体的内切球的半径为r，则由体积相等得到：=解得r=，则此几何体的内切球表面积为故答案为 C．11．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点为P，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由焦点弦的性质求出AB，再求出P点到直线AB的距离，即可求出△PAB的面积【解答】解：由焦点弦的性质可得，P点到直线AB的距离就是原点到直线AB的距离的2倍，为，那么．故选：C．12．已知函数f（x）=，若对x∈R都有|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，0] C．[﹣2，1] D．（﹣∞，1]【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数的图象，利用不等式恒成立进行转化求解即可．【解答】解：由y=|f（x）|的图象知：①当x＞0时，y=ax只有a≤0时，才有可能满足|f（x）|≥ax，可排除C，D．②当x≤0时，y=|f（x）|=|﹣x2+2x|=x2﹣2x．故由|f（x）|≥ax得x2﹣2x≥ax．当x=0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x﹣2≤a．∵x﹣2＜﹣2，∴a≥﹣2．综上可知：a∈[﹣2，0]，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线I与α内的一条直线平行，则I∥α③设α∩β=I，若α内有一条直线垂直于I，则α⊥β④直线I⊥α的充要条件是I与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是①②．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】结合判定定理，作出图形举出反例等进行判断．【解答】解：由面面平行的判定定理可知①正确；由线面平行的判定定理可知②正确；当α，β斜交时，α内存在无数条直线都与I垂直，显然α，β不垂直，故③错误；若α内的两条平行直线与I垂直，则不能保证I与α垂直，故④错误．故答案为：①②．14．正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．【考点】几何概型．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【解答】解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故答案为：．15．已知二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，且其图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上．函数f（x）在x∈[0，2]上的值域是[﹣1，8] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数零点的定义设出f（x）的解析式，结合条件求出顶点坐标，代入函数解析式求出系数，即可求出f（x）的解析式，由配方法和二次函数的性质求出值域．【解答】解：∵二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，∴设f（x）=ax（x﹣1），则定点的横坐标x=，∵f（x）图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上，∴y=log2=﹣1，则顶点为，代入f（x）得， a（﹣1）=﹣1，解得a=4，则f（x）=4x（x﹣1）=4，∵x∈[0，2]，∴当x=时，f（x）取到最小值是﹣1；当x=2时，f（x）取到最大值是8，∴﹣1≤f（x）≤8，即f（x）的值域是[﹣1，8]．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*．（1）求a1a2，并求数列{a n}的通项公式，（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推式与等比数列的通项公式可得a n；（2）利用“错位相减法”、等比数列前n项和公式即可得出．【解答】解（1）∵a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*．令n=1得a1=1，令n=2得a2=2．当n≥2时，由2a n﹣1=S n，2a n﹣1﹣1=S n﹣1，两式相减得a n=2a n﹣1，又a1≠0，则a n≠0，于是数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴通项公式；（2）由（1）知，na n=n•2n﹣1，T n=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，2T n=2+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=﹣n×2n=（1﹣n）×2n﹣1，∴T n=（n﹣1）×2n+1．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.50～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250日均浓度空气质量级别一级二级三级四级五级六级严重污空气质量类型优良轻度污染中度污染重度污染染甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好．（II）由（I）的分析及相互独立事件的概率计算公式即可得出；（III）利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好．（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为．（Ⅲ）X的取值为0，1，2，，，P（X=2）==．X的分布列为：X 0 2P数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出DA⊥PA，AC⊥AD，从而DA⊥面PAC，由此能证明DA⊥PC．（2）过A作AM⊥PC交PC于M，连接DM，则∠AMD为所求角，由此能求出二面角A﹣PC﹣D 的正弦值．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，DA⊂平面ABCD，∴DA⊥PA，又∵AC⊥AD，PA∩AC=A，∴DA⊥面PAC，又PC⊂面PAC，∴DA⊥PC．（2）过A作AM⊥PC交PC于M，连接DM，则∠AMD为所求角，在Rt△PAC中，AM=，在Rt△DAM中，DM=，在Rt△AMD中，sin∠AMD=．∴二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．20．已知动点M（x，y）到直线ι：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求点A的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得|x﹣4|=2，由此能求出动点M的轨迹方程．（2）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=x2，设直线m的方程为y=kx+3，代入椭圆，得（3+4k2）x2+24kx+24=0，由此能求出点A的坐标．【解答】解：（1）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则|x﹣4|=2，即（x﹣4）2=4（x﹣1）2+4y2，整理得，所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为．（2）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=x2，椭圆的上下顶点坐标分别是（0，3）和（0，﹣3），经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在，设直线m的方程为y=kx+3，联立，得，所以，得，设直线m的方程为，则，得．21．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先求出f′（x）=，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，得f′（1）=0，从而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅲ）因g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，进而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=，x∈（0，+∞），且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（1）=0，∴k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，又e x＞0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；证明：（Ⅲ）∵g（x）=（x2+x）f′（x），∴g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2⇔1﹣x﹣xlnx＜（1+e﹣2），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴h′（x）=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞），∴x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，x∈（e﹣2，+∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，∴h（x）max=h（e﹣2）=1+e﹣2，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），∴m′（x）=e x﹣1=e x﹣e0，∴x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增，∴m（x）＞m（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，m（x）＞0，即＞1，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2．请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．[选修4-4；极坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l被圆截得的弦长；（Ⅱ）从极点作圆C的弦，求各弦中点的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出直线的普通方程，以及圆的普通方程，利用圆心到直线的距离以及半径半弦长的关系，求直线l被圆截得的弦长；（Ⅱ）从极点作圆C的弦，设A（ρ0，θ0），弦OA的中点M（ρ，θ），列出关系式，即可求各弦中点的极坐标方程．【解答】解（Ⅰ）依题，把直线l的参数方程化为普通方程为y=x，…把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2=4y，即x2+（y﹣2）2=4，…则点C（0，2）到直线l的距离d=，于是所求的弦长为；…（Ⅱ）记所作的弦为OA，设A（ρ0，θ0），弦OA的中点M（ρ，θ），则，…．消去ρ0，θ0，可得ρ=2sinθ即中点的极坐标方程．【注】其他方法比照上述方法酌情给分[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。

高三数学上学期期末试卷文(含解析)-人教版高三全册数学试题3

2015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{2，5} C．{2，5，7} D．{1，2，5，7}2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．43．若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．16．若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y+1）2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+y2=17．已知f（x）=x﹣1，若|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）8．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数i（1﹣i）的实部为．10．已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m= ．11．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a= ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则sinB= ．13．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为．14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为．卖家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数200 400 500 100买家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数600 300 300 100三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．16．已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．17．编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号 A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N 分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．19．已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．20．已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．2015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{2，5} C．{2，5，7} D．{1，2，5，7}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由并集可得A∪B={1，2，5}，再求交集即可．【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2}；∴A∪B={1，2，5}；∵C={1，2，5，7}，∴（A∪B）∩C={1，2，5}，故选：A．【点评】本题考查了并集，交集的运算．2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】数形结合．【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答时可以就选项逐一排查．对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可获得解答；对B满足函数定义，故可知结果；对C出现了一对多的情况，从而可以否定；对D值域当中有的元素没有原象，故可否定．【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．【点评】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了函数概念的理解、一对一、多对一、定义域当中的元素必须有象等知识，同时用排除的方法解答选择题亦值得体会．4．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当a=2 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立．【解答】解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．5．如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=1，i=2不满足条件i＞3，满足条件i是偶数，S=﹣1，i=3不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=2，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的条件，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基础题．6．若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y+1）2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+y2=1【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．【分析】求出圆的圆心与半径，写出结果即可．【解答】解：圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆的圆心坐标（0，1），圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1．故选：C，【点评】本题考查圆的方程的求法，考查计算能力．7．已知f（x）=x﹣1，若|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】作图题；函数思想；运动思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意画出图形，结合图形求得动直线y=ax﹣1的斜率的范围得答案．【解答】解：如图，要使|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则过定点（0，﹣1）的直线y=ax﹣1的斜率a∈[﹣1，1]．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法，属中档题．8．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】排列、组合的实际应用．【专题】方案型；数形结合；数形结合法；排列组合．【分析】给能走的方格表上数字，一一列举即可得到答案．【解答】解：如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．【点评】本题考查了考查了排列组合的问题，一一列举也是常用的方法，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数i（1﹣i）的实部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法化简复数，然后求解复数的实部即可．【解答】解：复数i（1﹣i）=1﹣i，复数的实部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本运算，基本概念的应用，是基础题．10．已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m= 7 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标公式，以及向量垂直的定义直接计算即可．【解答】解：由题可知：•（﹣）=（﹣3，4）•[（﹣3，4）﹣（1，m）]=（﹣3，4）•（﹣4，4﹣m）=12+16﹣4m=0，即m=7，故答案为：7．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．11．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a= 0.125 ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是120 ．【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】先由样本的频率分布直方图求出a，再根据样本中产品净重小于100克的个数是48，而这个区间的频率是2×（0.05+0.1）=0.3，得到样本的容量，根据样本中净重在[98，104）的产品的频率是2×（0.10+0.15+0.125）=0.75，能求出样本中净重在[98，104）的产品的个数．【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a=[1﹣2×（0.05+0.075+0.1+0.15）]=0.125．∵样本中产品净重小于100克的产品的频率是2×（0.05+0.1）=0.3，样本中产品净重小于100克的个数是48，∴样本的容量是n==160，∵样本中净重在[98，104）的产品的频率是2×（0.10+0.15+0.125）=0.75，∴样本中净重在[98，104）的产品的个数是160×0.75=120．故答案为：120．【点评】本题考查频率分布直方图，本题解题的关键是做出这个样本容量，用样本容量乘以符合条件的概率，本题是一个基础题．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则sinB= ．【考点】正弦定理．【专题】计算题；对应思想；分析法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解．【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°，∴sinB===．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．13．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为4．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为 2.2 元，能够成交的股数为600 ．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；探究型；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别计算出开盘价为2.1、2.2、2.3、2.4元买家意向股数及卖家意向股数，进而比较即得结论．【解答】解：依题意，当开盘价为2.1元时，买家意向股数为600+300+300+100=1300，卖家意向股数为200，此时能够成交的股数为200；当开盘价为2.2元时，买家意向股数为300+300+100=700，卖家意向股数为200+400=600，此时能够成交的股数为600；当开盘价为2.3元时，买家意向股数为300+100=400，卖家意向股数为200+400+500=1100，此时能够成交的股数为400；当开盘价为2.4元时，买家意向股数为100，卖家意向股数为200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为100；故答案为：2.2，600．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（I）设公差为d，由题意可得，求出d的值，即得数列{a n}的通项．（II）化简，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式求得结果【解答】解：（I）设公差为d，由题意可得，即d2﹣d=0，解得 d=1或d=0（舍去）所以 a n=1+（n﹣1）=n．（II）∵，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴数列{b n}的前n项和．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．16．已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）先化简函数可得f（x）=，即可求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数f（x）在上的最大值与最小值．【解答】解：==．（Ⅰ）f（x）的最小正周期为．令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以0≤f（x）≤1．当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0．当且仅当，即时最大值．【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．17．编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号 A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率．【解答】解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==【点评】本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N 分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）由题可得AA1⊥CN且CN⊥AB又因为AA1∩A B=A所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）由题意得CM∥NG，CM=NG所以四边形CNGM是平行四边形，所以CN∥MG．又因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．（Ⅲ）所以先求△AB1N的面积，由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N，三棱锥的高是GM，所以根据三棱锥的体积公式可得体积为．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC又因为CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN．因为AC=BC=2，N是AB中点，所以CN⊥AB．因为AA1∩AB=A，所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连接MG，NG，因为N，G分别是棱AB，AB1中点，所以NG∥BB1，．又因为CM∥BB1，，所以CM∥NG，CM=NG．所以四边形CNGM是平行四边形．所以CN∥MG．因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N．所以．故答案为：．【点评】证明线面垂直关键是证明已知直线与面内的两条相交直线都垂直即可，证明线面平行关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行；求三棱锥的体积时若不易求出一般是先观察一下是否换一个底面积与高都容易求的定点．19．已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，求出直线的斜率，即可得到所直线方程．【解答】解：（I）由条件椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得k2＜，x1+x2=，由又点A，B的中点横坐标为．可得解得k2=，即有k=±．y=（x﹣4）．直线l的方程：y=（x﹣4）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（1）=0，解出即可；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣（m+1）x，得f′（x）=x（x﹣m﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，即m≤x﹣1恒成立，由x＞2，得m≤1，（Ⅲ）先求出h′（x）=（x﹣1）（x﹣m）=0，分别得m=1时，m＜1时的情况，进而求出m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，由f（x）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1﹣（m+1）=0，∴m=0，（符合题意）；（Ⅱ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，∵f（x）在区间（2，+∞）为增函数，∴f′x）=x（x﹣m﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，∴x﹣m﹣1≥0恒成立，即m≤x﹣1恒成立，由x＞2，得m≤1，∴m的范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣x2+mx﹣，∴h′（x）=（x﹣1）（x﹣m）=0，解得：x=m，x=1，m=1时，h′（x）=（x﹣1）2≥0，h（x）在R上是增函数，不合题意，m＜1时，令h′x）＞0，解得：x＜m，x＞1，令h′（x）＜0，解得：m＜x＜1，∴h（x）在（﹣∞，m），（1，+∞）递增，在（m，1）递减，∴h（x）极大值=h（m）=﹣m3+m2﹣，h（x）极小值=h（1）=，要使f（x）﹣g（x）有3个零点，需，解得：m＜1﹣，∴m的范围是（﹣∞，1﹣）．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，参数的范围，是一道综合题．。

高三数学上学期期末考试试题理(含解析)-人教版高三全册数学试题3

北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检高三数学（理科）学校___________班级_____________姓名____________考号___________ 本试卷共 5 页，150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合U {1, 2,3, 4}，集合 A {1,3, 4} ， B {2, 4} ，那么集合 (C A) B U（A）{2}（B）{4}【考点】集合的运算（C） {1, 3}（D）{2, 4}【试题解析】【答案】A，所以，故选 A（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于333 正（主）视图1 侧（左）视图13 俯视图3 （A） 2 cm3（B）3 cm3【考点】空间几何体的三视图与直观图（C）3 cm3【试题解析】由三视图可知，直观图为底面积为体积为，故选 A（D）9 cm3 ，高的三棱锥，所以【答案】A（3）设 i 为虚数单位，如果复数 z 满足 (1 2i)z 5i ，那么 z 的虚部为（A） 1（B）1【考点】复数综合运算（C） i（D） i【试题解析】【答案】B，虚部为 1，故选 B（4）已知 m (0,1) ，令 a logm 2 ， b m2 ， c 2m ，那么 a,b, c 之间的大小关系为（A） b c a（B） b a c【考点】对数与对数函数指数与指数函数（C） a b c（D） c a b【试题解析】因为，所以，，，即，故选 C 【答案】C（5）已知直线 l 的倾斜角为，斜率为 k ，那么“ ”是“ k 3（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件3 ”的（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【试题解析】当时，，当的必要而不充分条件，故选 B 【答案】B时，，所以“”是“”（6）已知函数f(x) 1 x1,0 x 2 ，如果关于 x 的方程 f (x) k 有两个不同的实根，ln x, x 2那么实数 k 的取值范围是（A） (1, )（B）[ 3 , ) 23（C）[e2 , )【考点】零点与方程【试题解析】在同一坐标系内作出函数与的图象（如图），（D）[ln 2, )关于 x 的方程有两个不同的实，等价于直线与图象有两个不同的交点，所以的取值范围是，故选 B【答案】B（7）过抛物线 y2 2 px（p 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，点 O 是原点，如果BF 3， BF AF ， BFO 2 ，那么 AF 的值为 3( A) 1【考点】抛物线3 (B)2(C) 3（D） 6【试题解析】由已知直线的斜率为，则方程为，联立方程得，即因为，所以，依题意，所以，则，故选A【答案】A （8）如图所示，正方体 ABCD ABCD 的棱长为 1, E, F 分别是棱 AA ， CC 的中点，过直线 E, F 的平面分别与棱 BB 、 DD 交于 M , N ，设 BM x ， x (0,1) ，给出以下四个命题：D'① 四边形 MENF 为平行四边形；N② 若四边形 MENF 面积 s f (x) , x (0,1) ,则 f (x) 有最 A'小C'B' F值；ED③ 若四棱锥 A MENF 的体积V p(x) ， x (0,1) ，则C Mp(x) 常函数；AB④ 若多面体 ABCD MENF 的体积V h(x) ， x (1 ,1) ， 2则 h(x) 为单调函数．其中假．命．题．为( A) ①(B) ②【考点】立体几何综合【试题解析】对①，因为平面(C) ③平面，平面（D）④平面，平面平面平行四边形。

江西省赣州市高三数学上学期期末考试试题理-人教版高三全册数学试题

赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题 2016年1月（考试时间120分钟. 共150分）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数2i1i --的共轭复数是 A.3i 2+ B.1i 2- C.3i 2- D.3i 2--2.{}2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R AB =A .[]2,5 B.(2,5] C.[]1,2- D.[)1,2- 3.等比数列 {}n a 中，242,8S S ==，则6S =A.32-B.32C.26-D.264.已知命题13:1,log 0p x x ∀<<都有，命题:q x ∃∈R ，使得22xx ≥成立，则下列命题是真命题的是A.p q ∨B.()()p q ⌝∧⌝C.()p q ∨⌝D.p q ∧5.从3个英语教师和5个语文教师中选取4名教师参加外事活动，其中至少要有一名英语教师，则不同的选法共有A.132231353535A A A A A A ++B.132231353535C C C C C C ++C.1337C C D.()13223143535354C C C C C C A ++ 6.变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.57.若,,l m n 是不相同的空间直线，,αβ是不重合的两个平面，则下列命题正确的是 A .,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥ B.l ∥m ，m l α⊆⇒∥αC.l α⊆，m α⊆，l ∥β，m ∥βα⇒∥βD. ,l n m n l ⊥⊥⇒∥m 8.将函数2sin()(0)3y x ωωπ=+>的图像分别向左、向右各平移π3个单位后，所得的两个图像的对称轴重合，则ω的最小值为 A .3B.43 C.6 D.329.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的方程为2y x =，则该双曲线的离心率为 A.3263310.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为3655，则空白处应填入的条件是 A .9i ≤ B.6i ≤ C.9i ≥ D.8i ≤11.已知圆O 的半径为2，,A B 是圆O 上任意两点，且120AOB ∠=，PQ 是圆O 的一条直径，若点C 满足()()331OC OA OB λλλ=+-∈R ,则CP CQ ⋅的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.612.已知函数2()ln (,)g x x mx nx m n =--∈R 在2x =处取得极大值，则m 的取值范围为 A.()1(,0)0,8-+∞ B.1(,)8-+∞ C.()1,0(0,)8-∞ D.()0,+∞ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.()()1012x x -+)的展开式中3x 的系数为______.14.已知对任意n *∈N ，点2221111(,(2))22n n n n a n a a a n ++--+ 在直线y x =上,若11a =，0n a >则n a =_________. 15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .结束i =i +11(2)s s i i =++输出si =1,s =0开始否是1742110865654320998854219998771918171615PD S NM CBA16.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[]2,2-上，2,-20()2,021mx x f x nx x x +≤<⎧⎪=-⎨≤≤⎪+⎩，其中,m n ∈R ，若()()13f f =，则1431()mx n dx -+=⎰.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数)23()sin 0222x f x x ωωω=++<< （1）若函数()f x 图像的一条对称轴是直线π4x =，求函数()f x 的最小正周期（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足A f ω⎛⎫=⎪⎝⎭12a =，4C π= 求b 的值 18．（本小题满分12分）为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果在175个以上（包括175）定义为“高产”，挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．（1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用ξ表示所选3棵中“高产”的个数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，ABCD 面为矩形，PA ABCD ⊥面，12PA AD AB ==，M 为PB 的中点， N 、S 分别为AB CD 、上的点，且14AN CS AB ==.NB CO DTMA（1）证明：DM SN ⊥；（2）求SN 与平面DMN 所成角的余弦值．20.(本小题满分12分)从抛物线C ：22(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,4M x 在抛物线C 上，且6MF =（F 为抛物线的焦点）. （1）求抛物线C 的方程；（2）求证：四边形PCQD 是平行四边形.21.(本小题满分12分)已知函数()ln f x x x =-（1）求函数()()2g x f x x =--的图像在1x =处的切线方程（2）证明：()ln 12x f x x >+ （3）设0m n >>，比较()()1f m f n m n -+-与22mm n +的大小，并说明理由请考生在第（22）、（23）、（24）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点,M T （不与,A B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结,,MC MB OT（1）求证：DT DCDO DM=；（2）若40BMC ∠=,，试求DOT ∠的大小．23.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2π4cos()103ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是cos ()sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且||AB =α的值．24.（本小题满分10分）已知a b 、为正实数，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()21a b x x +-≤ 恒成立. （1）求11a b+的最小值；（2）试判断点()1,1P -与椭圆22221x y a b+=的位置关系，并说明理由.赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题1～5.CBDAB ； 6～10.CADDA ； 11～12.CB.二、填空题13.195-； 14.222n n -+； 5.26π3-； 16.8.三、解答题 17.解：231()sin cos 222x f x x x x ωωω⎫=+=++⎪⎪⎭π6x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3分（1）由ππππ()462k k ω+=+∈Z 得：443k ω=+，因为02ω<<，所以43ω=…………………………………………………………5分函数()f x 的最小正周期为2π3π2T ω==……………………………………………6分（2）6A f A πω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3A =………………………………7分又 π4C =，ππsin sin()sin 344B A C ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭…………………………………………9分由sin sin a bA B=…………………………………………………………………………10分所以3sin sin a B b A===12分18. 解：（1）根据茎叶图，有“高产”12棵，“非高产”18棵，用分层抽样的方法，每棵被抽中的概率是51306=………………………………………………………………2分所以选中的“高产”有11226⨯=棵，“非高产”有11836⨯=棵，用事件A 表示至少有一棵“高产”被选中，则232537()111010C P A C =-=-=………………………………4分F E PDSN M C BA因此至少有一棵是“高产”的概率是710（2）依题意，抽取30棵中12棵是“高产”，所以抽取一棵是“高产”的频率为122305=………………………………………………5分频率当作概率，那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取3棵可看成进行3次独立重复试验，所以ξ服从二项分布2(3,)5B ……………………………………………………………6分ξ的取值为0，1，2，3，033227(0)(1)5125P C ξ==-=，1232254(1)(1)55125P C ξ==-=， 2232236(2)()(1)55125P C ξ==-=，33328(3)()5125P C ξ===………………………9分所以ξ的分布列如下：…………………………………………………11分所以2754368601231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或26355E ξ=⨯=）……………12分19.解：证法一：（1）如图，取AB 中点E ，连接EM ED 、…………………………1分因为M PB 为中点，所以//EM PA ……………………………………………………2分PA ABCD ⊥又面， SN ABCD ⊆面所以PA SN ⊥，所以EM SN ⊥……………………3分因为12AD AB AE == ，所以45AED ∠=……………4分S SF AB AB F ⊥过作交于NF FS =则，所以45FNS ∠=所以ES ED ⊥…………………………………………5分ED ME E =又，SN ⊥平面EDM所以SN DM ⊥……………………………………………………………………………6分证法二：设1PA =，以A 为原点，射线AB ，AD ，AP 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系则(0,0,1)P ，(0,1,0)D ，1(1,0,)2M ，1(,0,0)2N ，3(,1,0)2S ………3分（1）证明：1(1,1,)2DM =-，(1,1,0)SN =--……………………………………4分因为11+1100SN DM ⋅=-⨯⨯+=……………………………………………………5分所以DM SN ⊥……………………………………………………………………………6分(2) 1(,1,0)2DN =-，设(,,)n x y z =为平面DMN 则00DM n DN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以102102x y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩........................8取2x =，得(2,1,2)n =- (9)设SN 与平面DMN 所成角为αsin |cos ,|SN n α∴=<>==…………………………………………10分cos 10α∴=………………………………………………………………………………11分所以SN 与平面DMN 所成角的余弦值为10……………………………………………12分 20. 解：（1）因为462pMF =+= 所以4p =，即抛物线C 的方程是28x y =…………3（2）由28x y =得28x y =，'4x y =………………4分设221212,,,88x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线PA 的方程为()211184x x y x x -=-， ①…………………………………………5分则直线PB 的方程为()222284x xy x x -=-，②…………………………………………6分由①和②解得：1212,28x x x x x y +==，所以1212,28x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭……………………7分设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+………………………………………8分由28x y y kx t⎧=⎨=+⎩得2880x kx t --= 则12128,8x x k x x t +==-……………………………………………………………9分所以()4,P k t -，所以线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分，在①中，令0y =解得12x x =，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段CD 的中点坐标为12,04x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,0k ……………………………………………………10分又因为直线PQ 的方程为2ty x t k=-+，所以线段CD 的中点()2,0k 在直线PQ 上，即线段CD 被线段PQ 平分…………………………………………………………11分因此，四边形PCQD 是平行四边形…………………………………………………12分 21. 解：(1) 因为()()ln 21g x x x =-+ 所以()12xg x x-'=，()11g '=-…………………………………………………1分又因()14g =-，所以切点为()1,4-………………………………………………2分故所求的切线方程为：()41y x +=--，即30y x ++=………………………3分（2）因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞ 上是减少的， ()()max 1ln111f x f ==-=-，()min ||1f x =……………………………………4分设()G x =ln 12x x +，则()'21ln xG x x-=，故()G x 在()0,e 上是增加的，在(),e +∞ 上是减少的，故()()max 1112G x G e e ==+<，()()min max ||G x f x <所以()ln 12x f x x >+对任意()0,x ∈+∞恒成立……………………………………7分（3）()()ln ln ln 111,1m f m f n m n m n n m m n m n n n---++=+=⨯---2211m n mm n n m n =⨯++0m n >>，10m n ∴-> ,故只需比较ln mn 与1m n n m m n-+的大小…………………8分令()1mt t n =>，设()()211ln ln 11t t t G t t t t t t--=-=-++，则()()()()()3243'222222111211111t t t t t t t t G t t t t t t t -+++--++=-==+++………………………9分因为1t >，所以()0G t '>，所以函数()G t 在()1,+∞上是增加的，故()()10G t G >=……………………………………………………………………10分所以 ()0G t >对任意1t >恒成立……………………………………………………11分即1ln mm n n mn m n->+,从而有()()221f m f n m m n m n -+>-+……………………………12分22.证明：（1）因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定理2DN DT DM =⋅，2DN DB DA =⋅…………………………………2分得DA DB DM DT ⋅=⋅…………………………………………………………………3分设半径()0OB r r =>，因BD OB =，且2rBC OC ==，则233DB DA r r r ⋅=⋅=，23232rDO DC r r ⋅=⋅=………………………………3分所以DT DM DO DC ⋅=⋅………………………………………………………………4分所以DT DCDO DM=…………………………………………………………………………5分（2）由（1）可知，DC DO DM DT ⋅=⋅，且CDM TDO ∠=∠………………7分故DTO ∆∽CM D ∆，所以DOT DMC ∠=∠………………………………………8分根据圆周角定理得，2DOT DMB ∠=∠，则40BMC DMB ∠=∠=……………9分80DOT ∴∠=…………………………………………………………………………10分23.解：（1）由2π4cos()10ρρθ---=得圆C 的方程为22(1)(5x y -+-=……………………………………………4分（2）将cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=…………5分化简得22cos 40t t α--=……………………………………………………………6分设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、,则12122cos 4t t t t α+=⎧⎨=-⎩………………………7分所以12||||AB t t =-===8分所以24cos 2α=,cos 2α=±,π3π44αα==或…………………………………10分 24.解：（1）因为()21a b x x +-≤，0x >，所以1a b x x +≤+……………………1分因为12x x+≥，所以2a b +≤…………………………………………………………3分 11112()24b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+≥++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112a b +≥……………………5分所以11a b+的最小值为2…………………………………………………………………6分（2）因为222211112()()1222a b a b ++≥≥=………………………………………………7分所以22112a b +≥……………………………………………………………………………8分即()22221121a b-+≥>，所以点()1,1P -在椭圆22221x y a b +=的外部……………………10分。

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