瞬时变化率
3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
(2)������������������
h →0
������(������0+ℎ2)ℎ-������(������0-ℎ).
分析:利用函数y=f(x)在点x0处可导的条件,可将给定的极限式变 形成导数定义的结构形式来解决问题.导数定义中增量Δx的形式是
多种多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也应与之相对应.
题型一
题型二
题型三
题型四
解
(1)原式= lim
Δ ������ →0
f(x0-������x)-f(x0) -(-������x)
=- ������������������
������x→0
������(������0-Δ-Δ���������)���-������(������0)(Δx→0
Δx→0
时,Δx+2→2,
故所求导数为 2.
答案:2
3.导函数 如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x处导数都存在,则称f(x)在区间 (a,b)内可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数 f'(x),于是在区间(a,b)内f'(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称 为函数y=f(x)的导函数.记为f'(x)(或yx'、y'). 导函数通常简称为导数.如不特别指明求某一点的导数,求导数 指的就是求导函数.
平均变化率与瞬时变化率详解课件
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
平均变化率的性质
01
平均变化率是时间间隔的函数， 时间间隔越短，平均变化率越接 近瞬时变化率。
02
当时间间隔趋于零时，平均变化 率也趋于瞬时变化率。
平均变化率的实例
速度
在物理学中，速度是位置函数的变化率，即位置对时间的导 数。
加速度
在物理学中，加速度是速度函数的变化率，即速度对时间的 导数。
02
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
瞬时变化率的极限
当函数在某点的导数为0，即瞬时变化率为0时，函数在该点的变化率为无限小， 称为函数的极值点。
瞬时变化率的实例
变化率简介
变化率简介
变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.
一、平均变化率
函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商
y
x
∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即
00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以
00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332
-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.
解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：
x f
∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00x
x x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2
020 x x x
x x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602
评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求y
x
∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线
PQ 的斜率0000y y y y
瞬时变化率——导数
1.1 导 数 第2课时 瞬时变化率与导数
复习 平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 ) y
x1 x2
x
平均速度
v s t
平均速度反映了在某一段时间内
运动的快慢程度,那么,如何刻画在
某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
小明去蹦极,假设小明下降的运动
•
求函数f(x)＝x2在x＝1处的导
数．
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2.
∴f′(1)＝Δlixm→0
Δy Δx＝Δlixm→0
2Δx＋Δx2 Δx ＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
即 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数 f′(1)＝2.
三、导函数
1．如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值 x，都 对应一个确定的导数 f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构 成一个新的函数，这个函数称为 y＝f(x)的导函数，记为 f′(x) 或 y′(或 y′x)．导函数通常简称为导数．
• 注意：“函数f(x)在某一点处的导数”“导函 数”“导数”的区别与联系：
• (1)“函数在某一点处的导数”：就是在该点 的函数值的改变量与自变量的改变量的比， 它是一个常数，不是变数．
瞬时变化率
h(t) = -4.9t +6.5t +10
2
知道了瞬时速度的概念， 那么在高台跳水运动中，如 何求（比如，t=2)运动员的 瞬时速度？
通过列表看出平均速度的变化趋势 ：
△t>0时，在[2,2+ △t]这段时间内
h 2 - h 2 + Δt 4.9Δt 2 +13.1Δt v= = -4.9Δt - 13.1 = 2 - 2 + Δt -Δt
x0
x f ( x0 ) . x
而当x 0时，平均变化率就趋于函数在 x0点的瞬时变化率。瞬时变化率刻画的是 函数在某一点处变化的快慢。
小结
1.回顾平均变化率
2.问题情境
3.理解瞬时变化率的定义
作业
P57页第3、4题
一.复习 1、平均变化率
一般的，函数 f ( x)在区间上
[ x1 , x2 ]的平均变化率为
f ( x1 ) f ( x2 ) f x 2＋x －f x 2 ＝ x1 x2 x
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是 曲线的割线）的斜率。
新课导入
如何知 道运动员在 每一时刻的 速度呢？
（1） 物体在时间区间[2，2.1]上的
平均速度；
（2） 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
O s(2)
__
瞬时变化率 (新)
我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。为了提 高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内 的平均速度
s(5.1) s(5) 127 .45 122 .5 49.5（m/s）。 5.1 5 0.1
用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。如果 时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速 度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 解：我们将时间间隔每次缩短为前面的 ，计算出相应的平均速度得到下表：
探究
函数y=f(x)在x=x0处的瞬 时变化率又怎么表示？
（三）、抽象概括：对于一般的函数 y f
( x)
，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若
设Δx= x1－x０， y f ( x1 ) f ( x0 )，则函数的 平均变化率是
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y x x1 x0 x
49.5 49.049 49.0049 49.00049 …
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于 49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为 49m/s。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为 49m/s的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行 运动的话，每秒将要运动49m。
，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。 分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式
第二节瞬时变化率
班级 姓名 小组 编写：文科数学备课组
§1(2) 瞬时变化率
【学习目标】
1.复习理解函数平均变化率的意义；
2.理解函数的瞬时变化率的概念；
3.会求函数在某点的瞬时变化率. 【学习重难点】
函数的瞬时变化率 【学习难点】
求函数的瞬时变化率 【学习内容】 一.自主学习
1. 复习引入：什么叫做函数的平均变化率?它的作用是什么？
2．问题提出：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，物体的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求物体的瞬时速度呢？对应的，如何精确地刻画函数在某一点处的变化快慢呢？
例1．一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t(单位：
s)的函数关系为22
1
gt s =，./8.92）为重力加速度（s m g g =试完成下表并估计小球
在t=5s 这个时刻的瞬时速度.
解：
3．函数的瞬时变化率：
对于一般的函数y=f(x),在自变量x 从x 1变到x 2的过程中，若设Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1),则函数的平均变化率是 = . 当Δx →0时，平均变化率就趋于函数在x 1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 .
t 1/s
t 2/s
时间的改变量 （Δt ）/s 路程的改变量 (Δt)/m 平均速度（
t
s
∆∆）/(m/s) 4.9 5 4.99 5 4.999 5 4.9999 5 … … …
…
…
二.合作探究
1．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t(米)作直线运动．求：①该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度．
瞬时变化率
f (x0)
求切线的斜率
y
y=f(x) Q
o
P
x
x
kPQ
f (x0 x) x
f (x0 )
当 x无限趋近0时，kPQ 无限趋近点P处的切线斜率
例1、已知 f (x) x2 ,求曲线 y f (x) 在x=2处的切线的斜率.
练习
1.求曲线 y x2 2 在点(1,-1)处的切线的斜率. 1
y=f(x)
y
Q
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ成为在P点处最逼近 曲线的直线，这条直线称为曲线在P点处的切线.
求割线的斜率
y
y=f(x) Q
(x0 x, f (x0 x))
(x0, f (x0))
P
o
x
x
kPQ
f (x0 x) f (x0) (x0 x) x0
f (x0 x) x
4．圆面积A和直径d的关系为 A d 2 ，
4
求当直径 d 10时面积对于直径的瞬时变
化率.
小结:
(1)求曲线上一点切线的斜率时,先利用平均变化率
求出割线的斜率,再令x 0，求出切线的斜率
(2)在求瞬时速度时,先利用平均变化率求
出平均速度,再令 t 0 ,求出瞬时速度
(3)在求瞬时加速度时,先利用平均变化率求 出平均加速度,再令 t 0 ,求出瞬时加速度.
瞬时变化率
1 瞬时变化率
一．问题提出：
前面我们用平均变化率刻画了函数在某个自变量区间上变化快慢，但现实可能更多的是我们需要知道函数在某个点的变化快慢，为此，我们需要研究：瞬时变化率。
二．案例分析：
一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为：
212
s gt = 其中g 为重力加速度（g=9.8m/s 2）.试着估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
三．抽象概括：
1．瞬时变化率的定义：一般地，对于函数()y f x =来说，设其自变量的变化量为x ∆，因变量的变化量y ∆，那么函数在区间[]00,x x x +∆平均变化率可以表示为：
那么，当 时，平均变化率就趋于一个 ，其就叫做函数在0x 处的瞬时变化率。
2．瞬时变化率的意义：瞬时变化率是用来描述 的数学量。
四．问题解决：
例：一根质量分布不均匀的合金棒，设其上某点离某端的距离为x （单位：m ），这段质量为y （单位：kg ），且二者满足：
()y f x ==
试估计合金棒在2x =处的线密度。
五．当堂检测
1．通过平均变化率估计函数21y x =-+在下列各点的瞬时变化率：
1）1x =； 2）1x =-； 3）0x =。
2．通过平均变化率估计函数22y x =在下列各点的瞬时变化率：
1）1x =； 2）1x =-； 3）0x =。
3．某个人走过的路程s （单位：m ）是时间t （单位：s ）的函数：2
1s t =-，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：
1）0t =； 2）2t =； 3）4t =。
瞬时变化率
1.2 变化的快慢与变化率
－瞬时变化率
教学目标:
知识与技能:
(1) 理解瞬时速度，会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度.
(2)会求给定函数在某点上的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在这一点上变化的快慢.
（3）理解瞬时变化率概念及实际背景，培养学生解决实际问题的能力 过程与方法:
经历平均变化率到瞬时变化率的探究过程，理解由具体到抽象，由特殊到一般，由静态到动态的数学研究方法，体会无限逼近的极限思想.
情感态度与价值观:
培养学生独立思考、积极探索的好习惯；感悟由具体到抽象、由特殊到一般的思想方法，体会数学在解决实际问题中的应用。
教学重点：瞬时速度，瞬时变化率概念及计算
教学难点：瞬时变化率的实际意义和数学意义
教学方法：自主探究法，探析归纳法
教学过程：
一、复习引入
1、什么叫做平均变化率?
2、如何精确地刻画物体在某一瞬间的速度呢？
二、学生阅读课本，自主研究课本例1，例2，然后学生提问题，互相解答，老师做一适当的点评
例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单
位：s ）的函数关系为22
1gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度．
分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式
101)()(t t t s t s t s --=∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度
9.531
5.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）． 我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度
瞬时变化率
在x
2 处的切线的斜率.
分析:为求过点(2,4)的切线斜率,我们从 经过点(2,4)任意的一条割线入手.
分层训练:
必做题:
p11练习:2.3
选做题:
p11练习:4
作业:P16 4
当Q沿曲线向P运动:
割线PQ逼近过点P的切线即割线斜率逼近切线 斜率.
x 0
结论3:
当 x 0 时
无限的趋近于点 斜率.
f ( x x) f ( x) x
处的切线
p( x, f ( x))
注意:
x 可以小于0.
例一 已知 f ( x) x ,求曲线 y f ( x)
3. 如何计算在曲线上一点p处 切线L的斜率呢?
如图,设曲线C上一点 p( x, f ( x))
过点p的一条割线交曲线于一点
Q( x x, f ( x x))
割线
Q
y
y f ( x)
f ( x x) f ( x)
p
o
x
x
x x
x
割线
Q
y
y f ( x)
f ( x x) f ( x)
自学指导:
1、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 2、怎样找到曲线上一点p处最逼近曲线的直线l呢？该 直线的斜率怎样计算？
自主检测:P11
瞬时变化率
x2 x1
探索思考
5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间 [1，3] , [1，2], [1，1.1] ,[1，1.01] ,[1，1.001]上的平均变化率.
答案：在这5个区间上的平均变化率分别是:4、3、 2.1、2.01、2.001
教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理 解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（Δt）/s
路程的改 变量
（Δs ） /m
t
平均速度
/（m/s）
5
5.1
0.1
Fra Baidu bibliotek
4.95
49.5
5
5.01
0.01
0.49
49.049
5
5.001
0.001
0.049 49.0049
5
5.0001 0.0001 0.0049 49.00049
5
…
…
…
…
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋 于49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬 时速度为49m/s。从上面的分析和计算可以看出， 瞬时速度为49m/s的物理意义是，如果小球保持 这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动 49m。
例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，
02 瞬时变化率与平均变化率
1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。
例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。
例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？
2-1 导数——瞬时变化率
x
k
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
瞬时速率、差商的极限、切线斜率本质均为函数f ( x)在x0
点处的瞬时变化率.
引例
本质
物理意义
平均变化率 平均速率
瞬时变化率 瞬时速率
几何意义 数学概念
割线斜率
差商
切线斜率 差商的极限
导数
lim f ( x0 h) f ( x0 )
v s s s0 280 0 140（ 公 里/ 小 时 ） t t t0 15 13
在行驶的过程中，速度表显示的速率是瞬时速率.
结论：在某一时刻 t，该车的瞬时速率一定大于120.
引例
【思考】数学上怎样理解平均速率和瞬时速率？ 【分析】速率 = 路程关于时间的变化率
第二章 一元微分学及其应用
2-1 导数——瞬时变化率 2-2 导数的基本公式及运算法则 2-3 导数的应用 2-4 高阶导数及其应用 2-6 函数的微分及其应用 2-7 微分中值定理 2-8 洛必达法则
简单实际——抽象概念——复杂实际（应用更丰富）
引例
【引例1】平均速率与瞬时速率 一辆汽车在高速公路上行驶，13时从大连出发，15时 到达盘锦，已知大连到盘锦距离约280公里，请问该车 是否超速（超速标准：120公里/小时）？
【结论1】连续未必可导；可导一定连续.
物理瞬时速度计算公式
物理瞬时速度计算公式
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
物理瞬时速度是描述物体在某一时刻瞬间的速度，是物理学中重要的概念之一。瞬时速度可以用来描述物体在某一时刻的运动状态，帮助我们更好地研究物体的运动规律。本文将介绍物理瞬时速度的概念，计算公式以及相关知识。
瞬时速度是一个瞬间的概念，它的值可以随时间变化而改变。通常情况下，我们能够通过一定的数学方法计算出物体在某一时刻的瞬时速度，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 瞬时速度计算公式
物理学中，瞬时速度的计算公式可以通过对物体运动过程中速度的变化进行微积分的方法来推导。在一维直线运动的情况下，瞬时速度的计算公式可以表示为：
v = lim(t->0) [s(t+Δt) - s(t)] / Δt
v表示瞬时速度，s(t)表示物体在时刻t的位置，Δt表示一个极微小的时间间隔。这个公式的含义是描述物体在时刻t的瞬时速度等于在这一时刻微小时间间隔Δt内所经过的位移除以时间。
在三维空间运动的情况下，可以将上述公式推广为瞬时速度的向
量表示：
v表示瞬时速度向量，r(t)表示物体在时刻t的位置向量。这个公式可以用来描述物体在某一时刻的速度方向和大小。
在工程学中，瞬时速度的概念也被广泛应用。例如在航天工程中，瞬时速度可以帮助工程师计算卫星的飞行轨道和速度变化，以确保卫
星能够准确地进入预定轨道。
在生物学领域，瞬时速度可以用来描述生物体在运动中的速度变化，帮助科学家更好地研究生物体的运动规律和行为。
希望对您有所帮助。
第二篇示例：
物理瞬时速度计算公式是物理学中非常重要的一个概念，它用来
高中数学——变化的快慢与变化率
变化的快慢与变化率
【教学目标】理解平均变化率的概念，会求具体函数的平均变化率，理解平均变化率的实际意
义．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界
的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义.
【教学重点】理解平均变化率的概念与计算.
【教学难点】理解平均变化率的概念及实际意义. 【教学过程】
问题1：物体从某一时刻开始运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，显然s 是时间t 的函数，表示为)(t s s =.在运动过程中，测得如下数据：
s t / 0 2 5 10 13
15 … m s / 0 6 9 20 32
44 …
物体在0~2s 和10~13s 这两段时间内，哪一段时间运动得快？
【分析】比较运动的快慢，一般用平均速度来刻画. 在0~2s 内，平均速度为：
)/(30
206s m =-- ， 在10~13s 内，平均速度为：)/(410132032s m =--， 显然，在这两段时间内，后一段时间比前一段时间运动得快些.
用一段时间内物体的平均速度来刻画物体运动的快慢
从时间0t 到1t 时，物体的路程从)(0t s 变为)(1t s ，这段时间内的平均速度为：
0101)()(t t t s t s v --=
，函数变化量记作：s ∆，自变量变化量记作：y ∆， 则t
s v ∆∆=. 问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x 从
min 0到min 20和从min 20到min 30体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
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解 : 在t0到t的时间内, 轿车的平均加速度为 v v(t0 t ) v(t ) a t t 2 2 t0 t 3 t0 3 t 2t0 t
当t 0时a 2t0即a 2t0 所以当t t0时轿车的瞬时加速度为2t0
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
即 : 物体在时刻t0 2s 的瞬时速度等于 20 m
s (3)当t 0时, 20m / s. t
v 2.005g 20.05m / s.
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s
s
精品课件！
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1 3 8 P ( 2, ) ,求: 如图,已知曲线 y x 上 一 点 3 3
能给出运动物体的
瞬时加速度
vt0 t vt0 的平均变化率 常数a, t 那么这个常数称为物体 在t t0时的 瞬时加速度。也就是速 度对于时间 的瞬时变化率 .
一般地 , 如果当时运动物体速度
1 2 s gt 其中位移单位 例:物体作自由落体运动,运动方程为： 2 O 是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. s(2+t) __ s 1 解: v 2 g g (t ) t 2 (1)将 Δ t=0.1代入上式，得:
__
s(2)
s
v 2.05g 20.5m / s.
瞬时速度与 瞬时加速度
构建数学： （瞬时速度）
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
tt)) ff ((tt00)) s ff ((tt00 s v 。 v 。 tt tt
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小，
解 : 在t0到t的时间内, 轿车的平均加速度为 v v(t0 t ) v(t ) a t t 2 2 t0 t 3 t0 3 t 2t0 t
当t 0时a 2t0即a 2t0 所以当t t0时轿车的瞬时加速度为2t0
s 近似的程度就越好。所以当t0时，比值 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
v在t0的瞬时速度 f (t0 t ) f (t0 ) t 当t 0时
例：设一辆轿车在公路上做加速直线运动， 假设t s时的速度为v(t)=t2+3, （1）求t=3s时轿车的加速度；
（2）求t=t0s时轿车的加速度。
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
4 12x-3y-16=0
-2 -1 4 3 2 1 O -1 -2
y
y
1 3 x 3
P
x 1 2
曲线的割线和切线
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线.
x
那么当Δ x→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的 切线的斜率.
即:
f ( x0 x) f ( x0 ) 当x 0时, k切线 x
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限, 则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点 处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有 多个,甚至可以无穷多个.