利用平行线转化比例

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平行线分线段成比例定理

3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平行移动
一、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成比例定理）。
三练习
！
证明：因为
（平行线分线段成比例定理）。
因为
已知：如图，，求证：。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念图1-1中在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论

平行线分线段成比例教案

平行线分线段成比例教案
教案：平行线分线段成比例
教学目标：
1. 了解平行线的定义；
2. 掌握利用平行线分线段成比例的方法。

教学准备：
1. 板书：平行线的定义；
2. 构建平行线的示意图；
3. 一些练习题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 打开学生的思维，提问：你们知道什么是平行线吗？请举例说明。

2. 引导学生回答，然后板书平行线的定义。

二、讲解（10分钟）
1. 准备一个平行线的示意图，让学生观察图中的平行线，并请他们描
述平行线的性质。

2. 引导学生总结，平行线之间的性质是什么？
3. 说明平行线分线段成比例的方法：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线所分割的平行线段与这两条平行线的相应线段成比例。

三、练习（25分钟）
1. 学生独立完成练习题。

2. 收作业并进行讲解。

四、拓展（5分钟）
1. 引导学生思考：如何应用平行线分线段成比例的方法解决生活中的
实际问题？
2. 引导学生举例说明，并进行讨论。

五、总结归纳（5分钟）
1. 总结平行线的定义和性质。

2. 总结平行线分线段成比例的方法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题作业，要求学生运用平行线分线段成比例的方法解答问题。

教学反思：
通过上述教学过程，学生可以积极参与讨论，理解了平行线的定义和性质，并掌握了平行线分线段成比例的方法。

希望学生能够通过课后的练习巩固所学内容，并能运用到实际问题中。

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理【重点难点解析】重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定 . 难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用 .【命题趋势分析】利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质 .核心知识【基础知识精讲】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定 .1. 平行线分线段成比例定理(1) 定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 (2) 定理的基本图形若 l 1∥l 2 ∥l 3，则3. 三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 相似三角形性质定理的预备定理平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例 ( 如图 )) ，所得的对应线段成比例2. 平行线分线段成比例推论(1) 推论：平行于三角形一边的直线截( 或两边的延长线△ABC中，若DE∥BC，则＝＝上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项典型例题例 1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于 F.求AF∶FC.例 2 如图， D 为△ABC的AC边上一点， E 为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.例 3 已知：如图，△ ABC 中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？例 4 如图，已知AD为△ ABC中∠ BAC 的平分线，求证：【课本难题解答】例 1 在△ABC（AB> AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.（如图 5.2-11）（P 255 A.18）例 2 如图 5.2-12 ，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和 E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1 步等于6尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123 步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127 步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?（如图 5.2- 13）（P 256B.17）补充一些小问题1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？3.如图，D为△ABC的AB 边上一点，过 D 点作DE∥BC，DF∥AC，4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB 于 F. 求证：- ＝5. 如图，D、F 分别是△ ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3连DF 交BC的延长线于E. 求EF∶FD.AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥AB.6.已知：如图，在□ ABCD 中， E 是AB 的中点，在 AD 上截取 AF ＝FD ，EF 交 AC 于 G.求证：＝7. 如图，在△ ABC （AB > AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E ，使 AD ＝AE ，线段 DE 和 BC 的延长线交于点 P. 求证： BP ∶CP ＝BD ∶CE8. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，延长 AB 到点 E ，使 BE ＝2AB ，连结 EC 并延长交 AD 的延长线于点 F ，求 AF 的长.【典型例题】例 1 如图，在△ ABC 中， DE ∥BC ， EF ∥ CD.（ 1）求证： AF ：AD=AD ：AB （2）若 AF=4，FB=5，求 FD 的长 . （ 1）证明：∵ EF ∥DC ，∴ AF ： AD=AE ： AC∵ DE ∥ BC ，∴ AD ：AB=AE ：AC ∴AF ： AD=AD ： AB（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由 AD 2=AF ·AB ，∴ AD=6，FD=2.A例 2 如图， M 为 ABCD 一边 AD 的中点， BM 交 AC 于点 P ，若 AC=6cm ，求 PC 的值 .A MAD 2例 3 如图，若 DE ∥ AB ，FD ∥BC ， = ，AB=9cm ，BC=6cm ，求 BEDF 的周长 .AC 3例 4 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的角平分线交 AC 于 D 。

数学素材：教材梳理第一讲二平行线分线段成比例定理

庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1.定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2—1所示，a∥b∥c,则EF DE BC AB =.图1—2—13。

定理的证明:若BCAB 是有理数,则将AB 、BC 分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围,其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现。

4。

定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交,即被平行线a 、b 、c 所截。

平行线的条数还可以更多.知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化(如图121）:如果已知是a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等，便于记忆. 二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示：如图1-2-2所示,a∥b∥c,则BC DE AC AE AB AD ==（1）（2）图1—2—23.推论的证明:直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好。

误区警示实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线,此时要注意正确识别图形，如图123.图1—2—3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点。

探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（如图1-2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF ）.图1-2-4 图1-2—5平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

相似中考复习平行线分线段成比例定理

F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3

平行线分线段成比例

平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理：两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．典型例题：例题1. ①如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；ABBC=()()，()AB=( )DF，ABDE=()()=()().②如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.ADDF=BCCEB.BCCE=DFADC.CDEF=BCBED.CDEF=ADAF找准对应线段是关键.例2.如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。

（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？例3 如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB跟踪训练1.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（） A ．AD DF =BC CE B ．BC CE =DF AD C ．CD EF =BC BE D ．CD EF =AD AF第1题图第2题图第3题图2. 如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（）A.18B.12C.9D.33.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶FB ＝( )A. 5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．5∶3 4.如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若=，DE =4，则EF的长是．第4题图第5题图 5.如图，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝4，CN ＝1.5，则ND ＝______.6．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，BC AB =32，DE=6，则EF= ．第6题图第7题图7.如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5cm ，则线段BF 的长为_________cm ． 8.如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，求AC 的长．9.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB=3，DE=27，EF=4，求BC ．10、如图，在ABC △中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ︰DC=3︰1， AE ︰EC=2︰3，DE 的延长线交BA 的延长线于F 点，求EF ︰ED的值。

平行线分线段成比例结论

平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。

2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。

这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。

(4)平行线分线段成比例

G
4 如图,已知直线 a∥b∥c,直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、
C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则 DF 等于( A.7 C.8 B.4.5 D.8.5
)
活动六：小结
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
A B C D E F a b c C A (D ) B E F a b c
E F
b
b
c
C
F
c
活动四：用一用
例1 .已知： a∥b∥c 则:
AB BC AB DE
( DE ) ( EF )
BC AC
(AC )
( EF ) ( DF)
F
A B
D
E
a b
( BC) ( EF)
C c
( DF )
例2.教材第71页例题
M
A E
N
D
B
C
E E
M
F D
A
A
N
推论：
B B
C
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例
复习引入
1.平行线等分线段定理
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
A E
D
？
A F
？ E C ？F ？ B C
B
图1
符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC， AE=EB ∴DF=FC

《平行线分线段成比例》PPT课件

BE AE BF AF AB 1. BC AD BA AB AB
即 AE BE 1. AD BC
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F.
求证：DE＝EF.
证明：∵DE∥BC，∴ AD AE .
DB EC ∵点D为AB 的中点，∴AD＝DB，即
归纳
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
1.数学表达式：如图，
∵DE∥BC，
∴
AD AE ，AD AE ，BD＝ CE . DB EC AB AC AB AC
2.要点精析：
(1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中
的一条过三角形一顶点，一条在三角形一边上的一种特殊情况．
知识点 3 平行线分线段成比例的基本事实推论2
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例．
例3 如图，在△ABC中，EF∥BC，
则
AF AC
和EF 分别是( A )
A. 1 ，3 3
B. 1 ，6 3
C. 1 ，9 2
D．无法确定
AE 1 ，BC＝9，
D. 2cm、3cm、4cm、6cm
2.两地实际距离是500 m，画在图上的距离是25 cm，若在此图上量得A、
B两地相距为40 cm，则A，B两地的实际距离是( A )
A. 800m
B. 8000m C. 32250cm
D. 3225m
3.如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE的长度是( B )

平行线分线段成比例常见应用的六种技巧

∵点D为AB的中点A，D 1.
DB
∴AD＝DB，即
∵CDEFFE∥BAEA，CE
AD DB
1.
∴
∴DE＝EF.
类型 3 证两个比的值的和为1
技巧6 同分母的中间比代换法
6.
如图，已知AC∥FE∥BD，求证：
AE AD
BE BC
1.
∵AC∥EF，
证明：∴
BE BF
①.
BC BA
又∵FE∥BD，
证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD， ∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ACE≌△BCD， ∴∠BDC＝∠AEC. 又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60° ＝∠FCE，CD＝CE， ∴△GCD≌△FCE(ASA)． ∴CG＝CF. ∴△CAFGG为A等F边. 三角形．
∴PD·PC＝PE·PBP. F
PD .
PC PA
∵DF∥AC，∴
∴PD·PC＝PF·PA.
PE PA . PF PB
∴PE·PB＝PF·PA. ∴
技巧3 等比代换法证比例式 3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
AD AF .
证明：∵求E证F：∥CADB， AD
∴ AF AE .
第四章图形的相似
平行线分线段成比例
第2课时
利用平行线证比例式或等积式的方法：当比例式或等积式中线段不在平行线上，若平行
线为一组(两条以上)时，可直接利用平行线分线段成比例的基本事实证明；若平行线只有两条时，则利用平行线分线段成比例的基本事实的推论证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线段时，则利用转化思想，用等线段、等比例、等积替换进行论证．

《平行线分线段成比例》教案

《平行线分线段成比例》教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解平行线分线段成比例的概念。

2. 学会使用平行线分线段成比例的性质和判定方法。

过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生直观判断和逻辑推理能力。

2. 学会运用平行线分线段成比例解决实际问题。

情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。

2. 培养学生的合作意识和团队精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 平行线分线段成比例的概念。

2. 平行线分线段成比例的性质和判定方法。

难点：1. 平行线分线段成比例的证明。

2. 运用平行线分线段成比例解决实际问题。

三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT或黑板。

2. 教学素材（如图片、实例等）。

3. 练习题。

学生准备：1. 笔记本。

2. 尺子、圆规等作图工具。

四、教学过程：1. 导入：利用实例或图片，引导学生观察并思考：平行线如何分线段成比例？激发学生兴趣，引出本节课主题。

2. 新课讲解：（1）介绍平行线分线段成比例的概念。

（2）讲解平行线分线段成比例的性质和判定方法。

（3）通过实例演示，让学生理解并掌握平行线分线段成比例的应用。

3. 课堂练习：布置一些有关平行线分线段成比例的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

4. 拓展与应用：引导学生运用平行线分线段成比例解决实际问题，培养学生的应用能力。

五、课后作业：1. 巩固所学知识，完成课后练习题。

2. 搜集生活中的平行线分线段成比例的实例，下节课分享。

3. 预习下一节课内容。

六、教学评估：1. 课堂练习的完成情况，观察学生对平行线分线段成比例的理解和应用能力。

2. 课后作业的完成质量，检验学生对课堂所学知识的巩固程度。

3. 生活实例的分享，了解学生对平行线分线段成比例在实际生活中的应用。

七、教学反思：根据教学过程中的观察和评估，反思教学方法的适用性，是否存在需要改进的地方。

针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

八、教学拓展：1. 深入研究平行线分线段成比例在几何图形中的应用，如三角形、四边形等。

平行线分线段成比例八大题型

【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上上上下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为下下，全全，全全．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意；故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的是（）

平行线分线段成比例定理(通用12篇)

平行线分线段成比例定理（通用12篇）平行线分线段成比例定理篇1教学建议学问结构重难点分析本节的重点是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理是讨论相像形的最重要和最基本的理论,它一方面可以直接判定线段成比例,另一方面,当不能直接证明要证的比例成立时,常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理变式较多,同学在找对应线段时常常消失错误;另外在讨论平行线分线段成比例时,常用到代数中列方程度方法,利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程,求出未知数,这种运用代数方法讨论几何问题,同学接触不多,也常常消失错误.教法建议1.平行线分线段成比例定理的引入可考虑从旧学问引入,先复习平行线等分线段定理,再转变其中的条件引出平行线分线段成比例定理2.也可考虑探究式引入,对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系,从而得到平行线分线段成比例定理,并加以证明,较附和同学的认知规律(第一课时)一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论,并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用,培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学,进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点:是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.2.教学难点:是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤复习提问找同学叙述平行线等分线段定理.讲解新课在四边形一章里,我们学过平行线等分线段定理,今日,在此基础上,我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理,如图: ,且 ,∴由于问题:假如 ,那么是否还与相等呢?老师可带领同学阅读教材p211的说明,然后强调:(该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的学问,通过举例证明,让同学们承认这个定理就可以了,重要的是要求同学们正确地使用它)因此:对于是任何正实数,当时,都可得到:由比例性质,还可得到:为了便于记忆,上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外,依据比例性质,还可得到 ,即同一比中的两条线段不在同始终线上,也就是“ ”,这里不要让同学死记硬背,要让同学会看图,达到依据图作出正确的比例即可,可多找几个同学口答练习.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理,我们可以写出六个比例,为了便于应用,在以后的论证和计算中,可依据状况选用其中任何一个,参见下图.,∴ .其中后两种状况,为下一节学习推论作了预备.例1 已知:如图所示, .求:bc.解:让同学来完成.注:在列比例式求某线段长时,尽可能将要求的线段写成比例的第一项,以削减错误,如例1可列比例式为:例2 已知:如图所示,求证: .有了5.1节例4的教学,同学作此例题不会有困难,建议让同学来完成.小结1.平行线分线段成比例定理正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.(对比图形,并注意变化)七、布置作业教材p221中3(练习同学克服图形中各线段的干扰).八、板书设计标题复习:平行线等分线段定理问题:……平行线等分线段定理:……4个变式图形(投影仪)板书:形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇2教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇3（其次课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.2.教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】叙述平行线分线段成比例定理（要求：结合图形，做出六个比例式）.【讲解新课】在黑板上画出图，观看其特点：与的交点A在直线上，依据平行线分线段成比例定理有：……（六个比例式）然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到：平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例.在黑板上画出左图，观看其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：（六个比例式），然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到：平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例.综上所述，可以得到：推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如图，（六个比例式）.此推论是判定三角形相像的基础.注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，假如已知，DE是截线，这个推论包含了下图的各种状况.这个推论不包含下图的状况.后者，教学中如同学不提起，可不必向同学交待.（考虑改用投影仪或小黑板）例3 已知：如图，，求：AE.教材上采纳了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即： .让同学思索，是否可直接未出AE（找同学板演）.【小结】1.知道推论的探究方法.2.重点是推论的正确运用七、布置作业（1）教材P215中2.（2）选作教材P222中B组1.八、板书设计平行线分线段成比例定理篇4教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇5教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇6教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇7教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，。

八年级第九讲平行线分线段成比例定理

若，则，(或；或) 图1-1 定理的证明定理的证明过A 点作AN ∥DF ，交l 2于M ，交l 3于N 点，连接点，连接 BN 、CM(如图(1-2) 图1-2 ∵∴AM=DE MN=EF 在△ACN 中，有. ∵BM ∥CN ∴S △BCM =S △BMN∴ 亦即亦即如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢？呢？ “对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论之一：名师堂八年级数学第九讲平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是研究平行线分线段成比例定理是研究相似三角形相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例. 1.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条三条平行线截两条直线直线所得的对应线段成比例. 如图1-1(1) 简称“上比下”等于“上比下”(2) 简称“上比全”等于“上比全”. (3) 简称“下比全”等于“下比全”把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论. 2.平行于三角形一边的平行于三角形一边的直线直线的判定和性质(“A”、“X”型) 主要的基本图形：主要的基本图形：(图1) 平行线分线段成比例分线段成比例 (图2) 图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例(可看作性质1).及其及其逆定理逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定). 以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2). 对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的点是两相交直线的交点交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，(共5点)，其中作比的三点在一条直线上(AD ：AB=AE ：AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得. 注意点：(1)平行线分线段成比例没有逆定理(2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的被判断的平行线本身不能参与作比例) (3)有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ：FE=BG ：GC (4)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 典型例题典型例题例1．如图2-1 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值例2．(如图2-2)图2-3 已知已知直线直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE. 求证：EF ：FD=CA ：CB. 图2-2 证法(二) 过E 作EP ∥BA 交CA 的延长线于P 是解决此问题的第二种辅助线作法. 证法(三) 过D 作DN ∥BC 交AB 于N 也可解决此问题. 例3．AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点. 求证：DE ∥BC. 分析：如图2-3 练习1．选择题：．选择题：(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( ) A．B．C．DA．2 B．3C．DA．B．C．D．(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC ，，则等于( ) A．B．C．D．．(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( ) ．(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列，则下列比例比例式成立的是( ) (5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( ) A．B．C．DA．B．C．D的面积的，求EC的长. ．(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列，则下列比例比例式中不正确的是( ) ．2．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE的长. 3．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC4．如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？能力提升例1 已知：如图5-195-19，，AD 为△ABC 的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．例2 求证：求证：等腰三角形等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．即图5-20中，中，AB=AC AB=AC AB=AC，，P 为底边BC 上任意一点，PR⊥AB 于点R ，PQ⊥AC 于点Q ，BH 为腰上的高．求证：证：PQ+PR=BH PQ+PR=BH PQ+PR=BH．．分析一参阅例3的分析一．的分析一．分析二如图5-225-22，△ACP ，△ACP 和△DCQ 应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，个三角形中，AC=DC AC=DC AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A ，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A CD CD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而例3 已知：如图5-215-21，△ABC ，△ABC 中，∠A 为直角．以AB AB，，AC 分别为边向外侧作分别为边向外侧作正方形正方形ABDE ABDE，，ACFG ACFG，线，线段CD CD，，BF 分别与AB AB，，AC 相交于点X ，Y ．求证：．求证：AX=AY AX=AY AX=AY．．分析一如图5-215-21（（a ），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段比例线段，在这些成比例的线段中，除AX AX，，AY 外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY 应该能用应该能用平行线平行线分线段成比例定理得到证明．到证明．分析二如图5-215-21（（b ），连结线段EX EX，，GY GY，得到△CEX ，得到△CEX 和△BGY．这两个三角形的边CE=BG CE=BG，又，又AX 实际等于AY AY，所以△CEX ，所以△CEX 和△BGY 应该有相等的应该有相等的面积面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD AD，，AF AF，，那么S △ACD =S △CEX ，S △BAF =S △BGY ，所以只需证明S △ACD =S △BAF ．但这．但这很简单很简单了．了．例4 已知：如图5-225-22，，C 为线段AB 上任意一点，以AC AC，，BC 分别为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE，线段AE AE，，CD 相交于点P ，线段BD BD，，CE 相交于点Q ．求证：．求证：CP=CQ CP=CQ CP=CQ．．。

平行线平分线段成比例定理推论

平行线平分线段成比例定理推论好呀，今天咱们聊聊平行线平分线段成比例定理，听起来可能有点复杂，但其实没那么神秘，大家放轻松，咱们就像聊天一样，来聊聊这个有趣的数学定理。

想象一下你在一个阳光明媚的下午，跟朋友一起在公园散步。

走着走着，突然发现前面有两条平行的小路，就像咱们的平行线。

咱们的目标是找出这两条路上的一些特别的点。

这里就出现了线段和比例的概念，嘿，不要走神哦，这可不是无聊的数学课，而是咱们在公园的轻松对话。

你可能会问，平行线有什么用？其实它们在很多地方都有应用，比如建筑、艺术，甚至是生活中的小细节。

想象一下，家里的家具摆放，要是那沙发和茶几不是平行的，嘿，你能舒舒服服地喝茶吗？好啦，回到咱们的主题。

平行线和线段的交点就像你生活中的朋友，虽然在不同的地方，但却能产生一些特别的联系。

你看到这两条平行线，如果我给你一条线段，把它平分成两部分，这两部分的长度就会有一种神奇的比例关系，正如你和朋友之间的默契，虽然各自独立，却能共同成就一件事情。

这种比例关系就像是那句老话：“一寸光阴一寸金”，时间和机会的比例总是要好好把握啊。

咱们来个小例子。

想象一下，你和朋友各自拿着一根绳子，绳子的一端系在树上，另一端你们各自拉着，绳子的中间部分形成了一条线段。

这个时候，假如你们不小心让绳子缠住了，绳子就像平行线，彼此不干扰又保持距离，但又在一个平面上相互交错。

只要你们拉得足够紧，就能看到绳子中间那条线段的两部分在比例上有着惊人的一致性。

就好比你们各自出力，最后的结果总是能完美对接，绝对不会出现一边长一边短的尴尬局面。

咱们说了这么多，可能有人会问，这种比例关系到底有什么用呢？说实话，生活中处处是比例，稍微不注意就会让你陷入困境。

比如，做饭的时候要是盐放多了，那可真是“咸得像海”，可真不想吃这样的菜！不过只要你掌握了比例，调味的时候就能游刃有余，简简单单就能做出一桌美味。

生活就像数学，掌握了比例，就能避免“无盐无味”的生活状态。

平行线分线段成比例定理

17 2
5
17
2 1
)
)
(3) S△AGE=( 2
4
课堂小结
作业 4
已知AD // ED // BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求EF的长
A D E
H
F
解法（一）
作AG // CD交EF于H AD // EF // BC AD=15, BC=21
B
G
C
AD = HF = GC =15 ，BG = 6 EH AE = BG AB 2AE = EB
A
3k 3m 2m
E
D
2k
G
4m 2a
F
a
B
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2．求：FB∶FC的值．
A
3k 3m
E
6m
H
2m
D
2k
F
a
B
3a
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2．求：FB∶FC的值．
A
y
D
x
x
E C
B
5
应用4 — 建立函数关系式
2. 已知：如图，BC = 4, AC = 2 3 ∠C=60°，P为BC上一点，DP//AB，设BP = x，S△APD= y.
(1)求y关于x的函数关系式; (2)若S△APD =
2 S△APB，求：BP的长. 3
A
D
H
B

平行线分线段成比例

1平行线分线段成比例知识点一：平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段几何语言：如图，321////l l l ，则=CE AC , =AE AC , =AC CE , =AE CE ,可简记为：如图，321////l l l ，则=MB AM , =AMMB , =AB AM , =ABBM ,练习1.(1)如图，321////l l l ，若AC=5，CE=3，BD=2，则BF=（2）如图，321////l l l ，若AC=2，CE=3，BF=12，则BD=2.如图，321////l l l ，AM=2 MB=5 CN=4 则CD=3. 如图，在□ABCD 中，E 在CD 延长线上，AB =10，DE =5，EF =6，则BF 的长为知识点二：平行线分线段成比例的推论推论：平行三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段几何语言：如图DE//BC ，则=DB AD , =ADDB , =ABAD ,练习：1.如图在三角形ABC 中，DE//BC（1）若AD=3 DB=1 EC=2 则AE=（2）若AD=5 DB=2 AC=5 则AE=(3)若AE ∶EC =2∶3，DB -AD =3，则AD =_____，DB =________；(4)若AE ∶EC =2∶3，DE =4，则BC =_____2.如图，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC =12，则DF =______，EG =____；3.如图，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2,则线段FC 的长度是B AC FD E24.如图，DE ∥AB ，EF ∥BC ，AF =5cm ，FB =3cm ，CD =2cm ，求BD ．5.如图，DE ∥AB ，DF ∥BC ，若AF ∶FB =m ∶n ，BC =a ，则CE =（）A ．n amB ．m anC ．n m am +D ．n m an +6.如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ，求证：OA ：AN=OB ：MB7.如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ，求证：AF ·BD = AD ·FD8.如图，△ABC 中，AD 是角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，已知AB =12，AC =8，求DE ．9.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，E 是AC 上的点，AD 与BE 交于点F ，若AE:EC=3:4，BD:DC=2:3，求BF:EF 的值.O P N M C B A。