2019年中考数学总复习题型突破六与圆有关的证明与计算课件

解:(1)证明:连接 OD,∵AC 是☉O 的直径,∴∠ABC∠ABC,∴∠ABD=45°,∴∠AOD=90°.
∵DE∥AC,∴∠ODE=∠AOD=90°,
∴DE 是☉O 的切线.
类型1 角平分线型问题
4.[2018·咸宁] 如图 Z6-5,以△ABC 的边 AC 为直径的☉O 恰为△ABC 的外接圆,∠ABC 的平分线交☉O 于点
例 1 [2017·枣庄] 如图 Z6-1,在△ ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,点 O 在 AB 上,以点 O 为圆心,OA 为半径的圆恰好经过点 D,分别交 AC,AB 于 E,F. (2)若 BD=2 3,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留 π).
解: (2)设 OF=OD=x,则 OB=OF+BF=x+2,
∴2CM2=(2r)2=16,∴CM2=8,∴CM=2 2.
类型2 弦切型问题
针对训练 1.[2018·东营] 如图 Z6-7,CD 是☉O 的切线,点 C 在直径 AB 的延长线上.
(1)求证:∠CAD=∠BDC;
(2)若 BD=2AD,AC=3,求 CD 的长.
3
图 Z6-7
解:(1)证明:连接 OD.∵CD 是☉O 的切线,∴∠ODC=90°,即∠CDB+∠BDO=90°.
(2)求证:CD 是☉O 的切线.
图 Z6-2
解:(1)∵∠BOC=60°,直径 AB=4,即半径 等于 2, ∴扇形 OBC 的面积=603π6×022=23π. (2)证明:∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA. 又∵AC 平分∠BAF,∴∠OAC=∠FAC, ∴∠FAC=∠OCA,∴OC∥AD. 又∵CD⊥AD,∴CD⊥OC, ∴CD 是☉O 的切线.
类型1 角平分线型问题
例 1 [2017·枣庄] 如图 Z6-1,在△ ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,点 O 在 AB 上,以点 O 为圆心,OA
为半径的圆恰好经过点 D,分别交 AC,AB 于 E,F.
(1)试判断直线 BC 与☉O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 BD=2 3,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留 π).
图 Z6-1
类型1 角平分线型问题
针对训练
1.[2018·怀化] 已知:如图 Z6-2,AB 是☉O 的直径,AB=4,点 F,C 是☉O 上两点,连接 AC,AF,OC,弦 AC 平分∠FAB,∠BOC=60°,过点 C 作 CD ⊥AF 交 AF 的延长线于点 D,垂足为点 D. (1)求扇形 OBC 的面积(结果保留 π);
两点,M 是半圆 CD 的中点,连接 AM 交 CD 于点 N,连接 AC,CM.
(1)求证:CM2=MN·MA;
(2)若∠P=30°,PC=2,求 CM 的长. 【分层分析】
图 Z6-6
(1)要证 CM2=MN·MA 此类关系式,需寻找相似.根据 M 是半圆 CD 的中点得出∠CAM=∠DCM,进而得出△ CMN ∽△AMC,然后根据相似三角形的性质可得������������������������=������������������������,进而得出结论. (2)见切点连半径,考虑连接 OA,DM,根据切线的性质可得∠PAO=90°,由∠P=30°,可求出半径 r 的值,然后根据
图 Z6-3
∴☉O 的半径是 17.
类型1 角平分线型问题
3.[2018·绥化] 如图 Z6-4,AB 是☉O 的直径,AC 为弦,∠BAC 的平分线交☉O 于点 D,过点 D 的切线交 AC 的延长线于点 E. 求证:(1)DE⊥AE;
(2)AE+CE=AB.
证明:(1)连接 OD,∵OA=OD,AD 平分∠BAC,∴∠OAD=∠ODA,∠CAD=∠OAD, ∴∠CAD=∠ODA,∴AE∥OD.
又∵DE⊥AE,DM⊥AB,∴DE=DM.∵∠AED=∠AMD=90°,∠EAD=∠MAD,
∴△DAE≌△DAM,∴AE=AM.∵∠EAD=∠MAD,∴������������ =������������ , ∴CD=BD.∵DE=DM,∴Rt△DEC≌Rt△DMB,∴CE=BM,
图 Z6-4
∴AE+CE=AM+BM=AB,即 AE+CE=AB.
(1)求证:CM2=MN·MA;
解:(1)证明:∵在☉O 中,M 点是半圆 CD 的中点,∴∠CAM=∠DCM,
又∵∠M
是公共角,∴△
CMN∽△AMC,∴������������
������������
=������������������������,∴CM2=MN·MA.
图 Z6-6
类型2 弦切型问题
∵∠ABC=∠CGE=90°,∴△ ABC∽△CGE,∴������������������������=������������������������,即2������.���5��� =2 55, 解得:GE=54,∴DE=DG+GE=145.
图 Z6-5
类型2 弦切型问题
例 2 [2018·遂宁] 如图 Z6-6,过☉O 外一点 P 作☉O 的切线 PA 切☉O 于点 A,连接 PO 并延长,与☉O 交于 C,D
题型突破（六） 与圆有关的证明 与计算
题型解读
圆中的证明或计算,通常与勾股定理、垂径定理、三角形的全等等知识结合,形 式复杂,无规律性.分析时要注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者 角度的转化,特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出 所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题.其中重要而常见的数 学思想方法有:①构建矩形转化线段;②构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、 半径;③构造勾股定理模型.
图 Z6-7
类型2 弦切型问题
2.[2017·陕西] 如图 Z6-8,已知☉O 的半径为 5,PA 为☉O 的一条切线,切点为 A,连接 PO 并延长交☉O 于点 B,过点
类型1 角平分线型问题
例 1 [2017·枣庄] 如图 Z6-1,在△ ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,点 O 在 AB 上,以点 O 为圆心,OA 为半径的圆恰好经过点 D,分别交 AC,AB 于 E,F. (1)试判断直线 BC 与☉O 的位置关系,并说明理由;
图 Z6-1
【分层分析】 (1)连接 OD,证明 OD∥AC,即可证得∠ODB=90°,从而证得 BC 是圆的切线; (2)设 OF=OD=x,利用勾股定理列出关于 x 的方程,求出方程的解得到 x 的值,即为圆的半径,求出圆心角的度 数,用直角三角形 ODB 的面积减去扇形 DOF 的面积即可求出阴影部分面积.
例 2 [2018·遂宁] 如图 Z6-6,过☉O 外一点 P 作☉O 的切线 PA 切☉O 于点 A,连接 PO 并延长,与☉O 交于 C,D
两点,M 是半圆 CD 的中点,连接 AM 交 CD 于点 N,连接 AC,CM.
(2)若∠P=30°,PC=2,求 CM 的长.
(2)连接 OA,DM,∵PA 是☉O 的切线,∴∠PAO=90°,
类型1 角平分线型问题
4.[2018·咸宁] 如图 Z6-5,以△ABC 的边 AC 为直径的☉O 恰为△ABC 的外接圆,∠ABC 的平分线交☉O 于点
D,过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E.
(1)求证:DE 是☉O 的切线;
(2) 若 AB=2 5,BC= 5,求 DE 的长.
解: (2)∵AB 是☉O 的直径,∴∠AFB=90°,
又∵∠AFB=∠D=∠DCG=90°,∴四边形 GFDC 是矩形,∴GF=CD=4. ∵OC∥AD,∴△ BOG∽△BAF,又∵OA=OB,∴������������������������=������������������������=12,∴BG=FG=4, ∴BF=2FG=8,则在 Rt△ BAF 中,AF2+BF2=AB2,∴AB= 22 + 82=2 17.
3
(2)∵BD=2AD,∴������������=2.
3
������������ 3
∵∠CAD=∠BDC,∠DCB=∠ACD,∴△ CBD∽△CDA.
∴������������������������=������������������������=������������������������. ∵AC=3,∴23=������3������.∴CD=2.
图 Z6-4
∵DE 是☉O 的切线,∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,∴DE⊥AE.
类型1 角平分线型问题
3.[2018·绥化] 如图 Z6-4,AB 是☉O 的直径,AC 为弦,∠BAC 的平分线交☉O 于点 D,过点 D 的切线交 AC 的延长线于点 E.
求证:(2)AE+CE=AB.
证明:(2)过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,连接 CD,DB.∵AD 平分∠BAC,∴∠EAD=∠MAD.
∵AB 是☉O 的直径,∴∠ADB=90°.∴在 Rt△ ABD 中,∠A+∠ABD=90°.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∴∠A=∠CDB.即∠CAD=∠BDC.
类型2 弦切型问题
1.[2018·东营] 如图 Z6-7,CD 是☉O 的切线,点 C 在直径 AB 的延长线上.
(2)若 BD=2AD,AC=3,求 CD 的长.
D,过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E.
(2) 若 AB=2 5,BC= 5,求 DE 的长.
解:(2)在 Rt△ ABC 中,AB=2 5,BC= 5,∴AC= ������������2 + ������������2=5,∴OD=5.
2
过点 C 作 CG⊥DE,垂足为 G,则四边形 ODGC 为正方形,∴DG=CG=OD=52. ∵DE∥AC,∴∠CEG=∠ACB,