人教版高一数学必修4平面向量数量积的定义及物理背景

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人教版高一数学必修四2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(共23张PPT)

解： a
b
a
3
b
a
a
a
b
6
b
b
2 2
a a b 6 b
2
2
a a b cos 6 b
62 6 4 cos 60 6 42 72
例 5 .已知 |a| 3 ,|b|4 ,当且仅当 k为何值时，向量 a kb 与 a kb 互相垂直？
a b a b 0
其中θ是 a 与 b 的夹角。
定义理解： a·b= |a| |b| cosθ
(1)a ·b不能写成 a×b ,a×b 表示向量的另一种运算．
(2)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号
由夹角决定；
当0 9时0，
ab 0
当 90 时，当90 1时80，
ab 0
ab 0
a
与
b
夹角
120,求
a b .
解：a • b |a||b|cos
5 4 cos120
5 4( 1)
10
2 cos a • b
| a || b |
已知 a
5, b
4且
a
b
10
,求
a
与
b
的夹角
.
平面向量的数量积的几何意义
B
a • b a • b • cos
b
O
a B1 A
作OA a，OB b，过点B作 BB1垂直于直线OA，
如图可知： (ab)cacbc
|O B 1 | |O B |c o s |a b |c o s
|OA1||a|cos1
|A 1 B 1| |A B 2| |b|c o s2

高中数学必修四2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

r a
r b

1
r [(a

r b)2

uur (a

r b)2
]
4
有时也将上式写成: 4a b (a b)2 (a b)2 .
答案: 1 33
8
4.两个半径分别为 r1, r2 的圆 M , N ,公共弦 AB 3 ,则 AM AB AN AB ____.
答案:9.
5.在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P, AP 3 , 且 AP AC = _ __.
答案:18.
知识拓展
极化恒等式:设 a, b 是两个平面向量，则根据向量的运算可得:
ar
r b
|
ar
r || b
| cos
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
rr
a 与b的夹角的范围
rr a b的正负
0,

2

2
正0

2
,

负
数量积符号由cos的符号所决定.
问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？
r b cos120o
2 3 ( 1) 3
2
（2）ar 2
r2 b

r a
2

r2 b

49

5
3
rr 2a b

rr a 3b
r2 r r r2 2a 5a b 3b
2
2
2 a 5 a b cos120o 3b 8 15 27 34
求a=2m+n,b=2n-3m的夹角？

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义4

(a b ) c a (b c )
(3)(a b ) c a c b c
b
B

a
A
C1
O
A1
c
B1
C
例 3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2；（2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
3.向量的数量积（内积） b
θ
a
规定:0 a 0
向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos (a 0, b 0)
B
b

O
A

a
b B
A
A1
a

aA
大于零
B1 O
O
b
B
等于零
小于零
例1 已知|a|=5,||=4, b a与b 的夹角 =120求a b.
解: a 2b a 3b a a b 6b
6 4 cos 60 12
0 2 2
且a 36, b 16
a 2b a 3b

36 12 6 16 72
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时，向量a kb与a kb 互相垂直？解:
a
A
B1
b 在 a 上投影
a 的长度 a
练习2
1.若a =0,则对任一向量b,有a b 0 √ 2.若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0 × 3.若a 0, a b 0, 则b 0 × 4.若a b 0, 则a, b中至少有一个为0 × 5.若a 0, a b b c, 则a c 7.对任意向量a有a a

人教版高一数学必修四2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件

因为我们青春所以我们选择行动我们要给希望插上翅膀
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
思考1：如何计算这个力F所做的功？ W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
思考2 力做功的大小与哪些量有关？答与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
思考3 用文字语言表达功的计算公式 W=|F| |S|cosθ 答：功是力与位移的大小及其夹角的余弦的乘积
(2)b 在 a 方向上的投影为a|a·b| ，a 在 b 方向上的投影为a|b·b| .
合作探究
2、平面向量的数量积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)c
a
(1)当a⊥b时，求a与b的数量积.
(2)当a∥b时，求a与b的数量积. (3)当a与b的夹角为60°时，求a与b的数量积. （4）当a·b=10时，求a与b的夹角.
反思与感解析答案
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos 60°
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.

课件_人教版数学必修四平面向量数量积的物理背景及其含义PPT课件_优秀版

迁安市第三中学玄立莲
a
静心自学 4 平面向量的数量积
或数量积等于的长度与在方向上的投影
的乘积．
(1)已知两个非零向量与，我们把数量叫我们学过功的概念，即一个物体在力的作用下产生
平面向量数量积的性质：已知、是两个非零向量理解平面向量的数量积及其几何意义；
ab
a•bcos
我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念.
W F S cos
a • b | a | | b | cos
学习目标: 1.理解平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。学习重点：平面向量的数量积的概念。学习难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。
b的夹角)． (1)已知两个非零向量与，我们把数量
叫做向量a与b的数量积，记作，即
规定：零向量与任一向量的数量积为平面向量的数量积的概念。
(θ为a，b的夹角)．
0
叫做在方向上的投影。
问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积．
1、 a2b a3b 2 a3b 2 3、a3b
例 2 设正三角形 ABC 的边长为 2， AB c ， BC a ， CA b ，求 a • b b • c c • a
A
c
b
B
C
a
a • b b • c c • a
a b c o s 1 2 0 0 b c c o s 1 2 0 0 c a c o s 1 2 0 0

人教版高中数学必修四第24课时平面向量数量积的物理背景及其含义含解析

第24课时平面向量数量积的物理背景及其含义课时目标1.理解平面向量数量积的含义；了解平面向量数量积与投影的关系；掌握数量积的性质．2．掌握平面向量数量积的几何意义；掌握平面向量数量积的运算律．识记强化 1．已知两个非零向量a ，b ，我们把|a |·|b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a |·|b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为零，其中θ是a 与b 的夹角．2．|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，|b |cos θ叫做b 在a 方向上的投影．3．两个非零向量互相垂直的等价条件是a ·b ＝0.4．a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积．5．向量数量积的运算律为：(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .课时作业一、选择题1．给出以下五个结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：C解析：由题意，知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3. 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1 B.77C ．－1 D.277答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ.又cos θ＝(a －2b )·a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1. 4．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案：D解析：设向量a 与b 的夹角为θ，则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选D. 5．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3答案：B解析：由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝|AC →|2＝16二、填空题7．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B ，已知AB ＝10米，F 与水平方向的夹角为60°，|F |＝5牛顿，物体从A 至B 力F 所做的功W ＝__________.答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8．如果a ，b ，a －b 的模分别为2,3，7，则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：设a 与b 的夹角为θ，由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝12.又0≤θ≤π，故θ＝π3. 9．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．三、解答题10．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12， |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7，|b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7，故|b |＝7，且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12，所以a 与b 的夹角为120°.11．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ，b 的夹角为60°.(1)若(2a －b )·(a ＋b )；(2)若(a ＋b )⊥(λa －2b )，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2.∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )，∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0，∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12. 能力提升12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12， ∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π.13．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7<0，得－7<t <－12. 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

高中数学必修4平面向量数量积的物理背景及几何意义

例题讲解
例1．已知 a =5， b =4，a 与 b 的夹角 10 120o ，求 a b . 答案：
变式:如图的菱形ABCD中，角A等于 60 ， AB=2,求下列各数量积. B uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r AB AD, AB BC , AB CD uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r A AB DC , BA BC , AC BD.
2 2 2
(2)(a b) (a b) a b
2
2
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b)
＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b
＝ a· a＋b· a＋a· b＋b· b
＝a2＋2a· b＋b2.
（2）(a＋b)· (a－b)＝(a＋b)· a－(a＋b)· b ＝ a· a＋ b· a－ a· b － b· b ＝ a2－ b2.
(√ )
消去律: ab=bc(b≠0) a=c
a b b c(b 0) a c
(×)
数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则:
r r r r (1)a b b a; r r r r r r (2)( a) b (a b) a ( b) r r r r r r r (3) a b) c a c b c
o
C
答案：2；2；-4;4;-2;0.
D
例2 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解： a
2, b 2, 450
a b a b cos 2 2 cos 450 2
是非零向量， e 是与b 方向相同的设 a、b 单位向量，是a 与e 的夹角，则 a b | a || b | cos (1)e a a e | a | cos (2)a b a b 0 判断垂直的又一条件 B (3)当a 与b 同向时，a b | a || b |; b

数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)

功率
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量，等于位移与时间的比值。在平面向量中，速度可以表示为向量，其模即为线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，等于速度的变化量与时间的比值。在平面向量中，加速度可以表示为速度向量的变化率，其模即为速度变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速度的乘积。平面向量数量积可以用来描述动量，即物体的动量等于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘积。平面向量数量积可以用来描述冲量，即冲量等于力向量与时间向量的模的乘积。
功与功率
功

人教版高中数学必修4A版平面向量数量积的物理背景及其含义

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本节作业
P 108习题2.4 A组2.5.6
1.投影,如右图
a
A

b cos
a
A
o
a cos b
B
o
a cos ( b cosθ)叫做a在b方向上(b在a方向上)
b
B
2.数量积的几何意义数量积a b 等于a的长度a 与b 在a的方向上的投影b cos的乘积
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的投影.
随堂练习
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课堂小结
①本节知识要点: 数量积的定义,几何意义,重要性质. ②本节学习的数学方法: 归纳类比,定义法,数形结合等.
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巩固练习
(1)若 m 4, n 6, m与n的夹角是 135, 则m n等于(
C)
( A)12( B)12 2 (C ) 12 2 ( D) 12 1 (2)已知 a 10, b 12, 且(3a) ( b) 36, 则a与b的 5 夹角是( ) ( A)60( B)120(C )135( D)150 (3)当a b 0时, 有下列结论: (1)a 0(2)b 0(3)a b(4)a // b(5)a 与b反向, 其中可能正确的是 (
2 2
3 a b a b
4 cos
a b ab
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随堂练习
1.判断下列命题是否正确,并说明为什么?
(1)若a b 0, 则a b.(× ) ( 2) a a
2
a.( ×)
(3)在C中, 若 AB BC 0, 则C为钝角三角形 .( ×) ( 4)在C中, 若 AB BC 0, 则C为钝角三角形 .( )

向量数量积的物理背景与定义

0
（2）当θ = 90 时a在b上的投影为 0
0
（3）当θ = 120 时a在b上的投影为 − 2
0
（4）当θ = 120 时b在a上的投影为 − 4
0
例1：已知轴l （）向量 OA = 5, < OA, l >= 60 求OA在l上的 1
0
正射影的数量OA1
1 5 解：)OA1 = 5 cos 60 = 5 × = (1 2 2
0⋅a = 0
思考：两非零向量 a 与 b 的数量积思考：是一个实数，不是一个向量，其值可以是一个实数，不是一个向量，实数为正，也可以为负，还可以为零，请说为正，也可以为负，还可以为零，出什么时候为正，什么时候为负，什么出什么时候为正，什么时候为负，时候为零？时候为零？
测一测：测一测：提a b 非向前：是零量与
2 2
− a b
___________
特别地：a ⋅ a = a = a 即 a =
( 4 ) cos < a , b >=
____________
a ⋅a =
≤
a
2
a ⋅b a b
.
(5 ) a ⋅ b
a b
三、向量在轴上的正射影：向量在轴上的正射影： A
已知向量 a和轴 l , 作 OA = a，过点 O， A分别作轴 l的垂线，垂足分别为 O1， A 1，则向量 O1A 1叫做向量 a在轴 l上的正射影（简称射影）该射影在轴 l上的坐标称作 a在轴 l上的数量或在轴 l的方向上的数量。
0
= −10
a ⋅b
0
2 2
∴θ = 135
例2：如图，∆ABC为等腰直角三角形, 且直角边AB = 1, 求AB ⋅ BC + BC ⋅ CA + CA ⋅ BA的值.

高中数学人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(一)

其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b
|a|cos θ ， |b|cos θ 方向的投影是_______ 向量 b 在 a 方向上的投影是_______.
3．数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方
|b|cos θ 的乘积．向上的投影_______
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（一）
探究点一
本课时栏目开关
平面向量数量积的含义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所
∴a· b＝|a|· |b|cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30°
2.4.1（一）
【学法指导】 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习本课时必须透彻理解数量积概念的内涵．时栏目 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰开关富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严格区分，a· b 中的“· ”不能省略.

高中数学必修四：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是0︒≤θ≤180︒（2）两向量共线的判定定理（3）练习1.若=(2，3)，=(4，-1+y )，且∥，则y =（）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（）A.-3 B .-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F||s|cosθ，θ是F与s的夹角.功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定的，类比这种运算，我们引入“数量积”的概念。

二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量│a││b│cosθ叫a与b的数量积，记作a∙b，即有a∙b= │a││b│cosθ，（其中０≤θ≤π）.并规定：向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？【平面向量数量积的几点说明】（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a∙b；书写时要特别注意：.符号“∙”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若≠，且∙=0，不能推出=因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒ a=c.但是∙=∙=如右图：a∙b= │a││b│cosβ = │b││OA│，b∙c= │b││c│cosα = │b││OA│⇒∙=∙但≠(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a∙b)c≠a(b∙c)显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.2．“投影”的概念：作图定义：││cosθ叫做向量在方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为││；当θ = 180︒时投影为-││.3．向量的数量积的几何意义：数量积∙等于的长度与在方向上投影││cosθ的乘积.探究1、：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，1、⊥⇔∙= 02、当与同向时，∙= ||||；当与反向时，∙= -||||.特别的⋅= ||2=│∙│≤|||| cosθ探究2、：平面向量数量积的运算律（1）．交换律：∙= ∙（2）．数乘结合律：(λ)⋅=λ(⋅) = ⋅(λ) （3）．分配律：(+)⋅=⋅+⋅说明：（1）一般地，(a·b)c≠a（b·c）（2）a ·c ＝b ·c ，c ≠0a ＝b（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·三、讲解范例：例1．证明：①(＋)２＝２＋２·＋２ ②(＋)∙(-)=２-２例2．已知││=12，││=9，254-=∙b a ，求a 与b 的夹角θ。

高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其定义教案人教版必修4

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。

二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F ||s|c os ，是F与s的夹角a abb 教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA ＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2时，a与b 垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180C二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|c os叫a与b的数量积，记作a b，即有a b=|a||b|c os，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性定义深化问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量学生自己回顾、探索、根据已有知识养成学生自己动脑、动手探索总结1、e a = a e =|a |c os2、a b a b = 03、 aa = |a |2或||a a a =4、c os =||||a ba b5、|ab | ≤ |a ||b |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？如何验证。

人教版高中数学必修4讲义 2.4 平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义1.平面向量的数量积.(重点)2.平面向量的数量积的几何意义.(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)[基础·初探]教材整理1向量数量积的定义及性质阅读教材P103～P104“例1”以上内容，完成下列问题.1.向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0.2.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.( ) (2)两个向量的数量积是向量.( )(3)设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b >0.( )【解析】 (1)×.因向量的夹角包括180°，直线的倾斜角不包括180°. (2)×.因两个向量的数量积没有方向，不是向量. (3)√.由数量积的定义可知. 【答案】 (1)× (2)× (3)√教材整理2 向量的数量积的几何意义及运算律阅读教材P 104例1以下至P 105例2以上内容，完成下列问题. 1.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念如图2-4-1所示：OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ.|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影.图2-4-1(2)数量积的几何意义：a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________.【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】 32[小组合作型]与向量数量积有关的概念(1)以下四种说法中正确的是________. ①如果a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②如果向量a 与b 满足a·b<0，则a 与b 所成的角为钝角； ③△ABC 中，如果AB →·BC →＝0，那么△ABC 为直角三角形； ④如果向量a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b ＝－12，则a 在b 方向上的投影为________，b 在a 方向上的投影为________.(3)已知等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →＝________.【精彩点拨】根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答. 【自主解答】 (1)由数量积的定义知a·b ＝|a||b|cos θ(θ为向量a ，b 的夹角). ①若a·b ＝0，则θ＝90°或a ＝0或b ＝0，故①错； ②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；③由AB →·BC →＝0知B ＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由a 2＝|a|2＝1，b 2＝|b|2＝1，故④正确. (2)设a 与b 的夹角为θ，则有 a·b ＝|a|·|b|cos θ＝－12，所以向量a 在向量b 方向上的投影为|a|·cos θ＝a·b |b|＝－125＝－125；向量b 在向量a 方向上的投影为|b|·cos θ＝a·b |a|＝－123＝－4.(3)如图，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D.因为AB ＝AC ，所以BD ＝12BC ＝2，于是|BA →|cos ∠ABC ＝|BD →| ＝12|BC →|＝12×4＝2. 所以BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝4×2＝8. 【答案】 (1)③④ (2)－125－4 (3)81.在书写数量积时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .[再练一题]1.给出下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a ，b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a ＝|a |3；⑥a 2＋b 2≥2a ·b ；⑦向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影长.其中正确的是________.【解析】由于a 2≥0，b 2≥0，所以，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ·c ＝－b ·c ，所以|a ·c |＝|b ·c |，②正确；a ，b 共线⇔a ·b ＝±|a ||b |，所以③不正确；对于④，应有|a ||b |≥a ·b ；对于⑤，应该是a ·a ·a ＝|a |2a ； ⑥a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ·b ，故正确；当a 与b 的夹角为0时，也有a ·b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错.综上可知①②⑥正确.【答案】 ①②⑥数量积的基本运算已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为135°时，分别求a与b 的数量积. 【导学号：00680054】【精彩点拨】 (1)当a ∥b 时，a 与b 夹角可能为0°或180°.(2)当a ⊥b 时，a 与b 夹角为90°.(3)若a 与b 夹角及模已知时可利用a·b ＝|a|·|b|·cos θ(θ为a ，b 夹角)求值.【自主解答】设向量a 与b 的夹角为θ， (1)a ∥b 时，有两种情况：①若a 和b 同向，则θ＝0°，a·b ＝|a||b|＝20；②若a 与b 反向，则θ＝180°，a·b ＝－|a||b|＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°， ∴a·b ＝0.(3)当a 与b 夹角为135°时， a·b ＝|a||b|cos 135°＝－10 2.1.求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ.2.非零向量a 与b 共线的条件是a·b ＝±|a||b|.[再练一题]2.已知正三角形ABC 的边长为1，求：图2-4-2(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.【解】 (1)AB →与AC →的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)AB →与BC →的夹角为120°，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.与向量模有关的问题已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)|(a ＋b )·(a －2b )|. 【导学号：70512035】【精彩点拨】利用a ·a ＝a 2或|a |＝a 2求解.【自主解答】由已知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a ＋b |＝2 3. (2)∵(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a ＋b )·(a －2b )|＝12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.[再练一题]3.题干条件不变，求|a －b|.【解】因为|a|＝4，|b|＝2，且a 与b 的夹角θ＝120°. 所以|a －b|＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝42－2×4×2×cos 120°＋22＝27，所以|a －b|＝27.[探究共研型]平面向量数量积的性质探究1设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？【提示】a⊥b⇔a·b＝0.探究2当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a 等于什么？【提示】当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a·a.探究3|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？【提示】|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|.cos θ＝a·b|a||b|.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝m a－3b，求当m 为何值时，c与d垂直？【精彩点拨】由条件计算a·b，当c⊥d时，c·d＝0，列方程求解m.【自主解答】由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.由c⊥d，知c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b)＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝2914，即m＝2914时，c与d垂直.1.已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立.2.设a 与b 夹角为θ，利用公式cos θ＝a·b|a||b|可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π].[再练一题]4.若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________. 【解析】设a 与b 夹角为θ，因为|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2.又|a|＝|a ＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2＋12|b|2cos θ，即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有cos θ＝－13.【答案】－131.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝8，∠C ＝60°，则BC →·CA →＝( ) A.20 B.－20 C.20 3D.－20 3【解析】 BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos 120°＝5×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－20. 【答案】 B2.设e 1，e 2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是( ) A.e 1·e 2＝1 B.e 1·e 2＝－1 C.|e 1·e 2|＝1D.|e 1·e 2|<1【解析】 e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝±1. 【答案】 C3.在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且b ·a ＝0，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形D.无法确定【解析】在△ABC 中，因为b ·a ＝0，所以b ⊥a ，故△ABC 为直角三角形.【答案】 C4.已知|a |＝4，e 为单位向量，a 在e 方向上的投影为－2，则a 与e 的夹角为________. 【导学号：00680055】【解析】因为a 在e 方向上的投影为－2，即|a |cos 〈a ，e 〉＝－2，所以cos 〈a ，e 〉＝－2|a |＝－12，〈a ，e 〉＝120°.【答案】 120°5.已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b ). 【解】 (a ＋2b )·(a －3b ) ＝a ·a －a ·b －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2 ＝|a |2－|a |·|b |cos θ－6|b |2 ＝62－6×4×cos 60°－6×42 ＝－72.。

高一下学期数学人教A版必修4第二章2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义

平面向量的数量积的物理背景及含义【学习目标】1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.预习案【教材助读】问题1：如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功，其中θ是F 与s 的夹角.1.平面向量数量积的定义已知两个______向量a b 与，我们把______________叫a b 与的数量积。

（或________）记作_________即a b ⋅＝___________________其中θ是a b 与的夹角。

规定：零向量与任意向量的数量积为____.2.平面向量数量积的性质问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝_______ _，特别地，→→⋅a a __________或a =___________。

③ cos =θ_______ ____ ④a b ⋅_____→→b a 3.向量的数量积的几何意义（1）“投影”的概念：(动手做一做)___________,,,,111===→→→→OB B OA BB B b OB a OA 则垂足为垂直于作过叫做向量→b 在→a 方向上的投影，叫做→a 在→b 方向上的投影。

（2）数量积的几何意义：a b ⋅的几何意义是→a 长度→a 与→b 在→a 方向上的投影__________的乘积.（或→b 长度→b 与→a 在→b 方向上的投影__________的乘积）4.平面向量数量积的运算律问题3：运律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅吗？已知向量a b c ，，与实数λ。

人教数学必修四课件-241平面向量数量积的物理背景及其含义

(3) 时, a b；
2
ba
0
ba
ba
2
(4) 注意两向量的夹角定义, 两向量必须
是同起点的,范围是0 .
复习引入
2. 两向量共线的判定
复习引入
2. 两向量共线的判定
设a
(
x1
,
y1
),
b
(
x2
,
y2
),
其中b
0.
复习引入
2. 两向量共线的判定
设a
(
x1
,
y1
),
b
已知两个非零向量a和 b，它们的
夹角为，我们把数量| a || b | cos 叫
做 a 与 b 的数量积(或内积) .
讲授新课
1. 平面向量的数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量a和 b，它们的
夹角为，我们把数量| a || b | cos 叫
做 a 与 b 的数量积(或内积) .
记为：a b , 即 a b | a || b | cos .
当 a 与 b 反向时, a b a b .
4.两个向量的数量积的性质: 设 a、b为两个非零向量. (1) a b a b 0 . (2) 当 a 与 b 同向时, a b a b .
当 a 与 b 反向时, a b a b .
2
特别地, a a a 或 a a a .
当 a 与 b 反向时, a b a b .
2
特别地, a a a 或 a a a .
(3) a b a b . (4) cos a b .
ab
5.平面向量数量积的运算律:
已知向量 a、b、c和实数, 则:
5.平面向量数量积的运算律:

人教版A版高中数学必修4：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

ab
42
| b | = | a | cos = 4 cos 450 =2
4 典例分析
×
×
×
×
√
√
×
×
6 归纳小结
知 1. 向量数量积的物理背景，定义及几何意义. 识 2. 向量数量积公式的应用及重要性质.
技 1. 灵活应用数量积公式解决求值问题. 能 2. 解决判断题时，考虑问题要全面.
思想方法
高一数学必修4 第二章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义莆田华侨中学林芸
1 预习内容
F θ O
位移S
F2
F
θ F1 S
A
1 预习内容
1 预习内容
向
向
F S | F || S | cos
| F | cos
数
F与S的夹角
1 预习内容
1 预习内容
ab
b在a方向的投影
1. 转化化归（将物理知识转化为数学知识） 2. 数形结合（灵活应用数量积的投影） 3. 分类讨论（讨论投影、数量积的正负等）
5 巩固训练
下节课：平面向量数量积的运算律
| a || b | cos a b | a || b | cos
0
1 预习内容
1 预习内容
b在a方向的投影 | b | cos 乘积
Hale Waihona Puke 1 预习内容两个向量的夹角
两个非零向量 a和 b ，作OA a, OB b，
则 AOB 叫做向量 a和 b 的夹角．(0 180 )
a
b
a
O
B
A
0
a与b同向
B
b
b

高中数学必修四《平面向量数量积的物量背景及其含义》PPT

例1 已知 | a | 5， | b |，4 与a b
的夹角 1200，求
a b
解：
a
b
|
a
||
b
|
cos
5 4 cos1200
5 4 ( 1)
10
2
五、向量数量积的运算律
已知向量 a,b, c 与实数λ，则向量
的数量积满足下列运算律：
(1) a b b a
(2)( a ) b (a b ) a ( b )
高中数学必修 4（人教版）
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
研究顺序：
物理模型
概念
性质
运算律
应用
一、平面向量数量积的物理背景
如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（１）力F所做的功W= | F || s | cos
。
（２）请同学们分析这个公式的特点
W（功）是标量，
F
F（力）是矢量，
+
0
-
四、探究数量积的性质
前提：a与 b是非零向量
(1) a b a b 0
(2)当 a 与 b 同向时，a b | a || b |
当a
与
b
反向时， a
b
| a || b |
特别地，a a | a |2 或 | a |
2
a
(3) | a b |
| a || b |
例4 已知 | a | 3 ，| b | 4 ，且 a 与 b
不共线。 k
为何值时，向量
a
k
b
与
a
k
Hale Waihona Puke b互相垂直？这节课你收获了什么？