部编版2020八年级数学上册第12章全等三角形 12.3 角的平分线的性质(第2课时)教案 (新版)新人教版

合集下载

部编人教版八年级数学上册《12第十二章全等三角形【全章】》精品PPT优质课件

（B ）
A.∠DAB B.∠DBA C.∠DBC D.∠CAD
5.如图,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大边，AE 是△AED的最大边, ∠BAC 与∠ EAD是对应角,且 ∠BAC=25°，∠B= 35°,AB=3cm,BC=1cm,求出 ∠E, ∠ ADE的度数和线段DE,AE 的长度.
1.有公共边
A
B
D
C
A
D B
C
AD
B
C
2.有公共点
D
A
A O
AD
A
E
D
B
C B
O B
CD
E CB
C
总结归纳 1. 有公共边，则公共边为对应边； 2. 有公共角（对顶角），则公共角(对顶角)为对应角； 3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；
最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；
4. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.
你能指出上面两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角吗？
思考：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的
两个三角形全等吗？
A
M
E
D
A
B
FC
N
A
B
C
A
B
C
B
E
D
D
C
归纳总结
全等变化一个图形经过平移、翻折、旋转后,位__置_ 变化了,
但＿形＿状＿和＿大＿小＿都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形＿全_等＿. 全等三角形的性质
一个正确的结论并证明. 解：结论：EF∥NM
想一想：你还能得出其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (90)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H 分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∥AEF，HI平分∥CHG，EI与HI交于点I.（1）如图，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF=70°，∠CHG=60°，求∠ETH的度数.（2）如图，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF=α，∠CHG=β，其他条件不变，求∠ETH的度数.（3）如图，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG的平分线EJ于点J.其他条件不变，若∠AEF=α，∠CHG=β，求∠EJH的度数.【答案】（1）65°；（2）1122αβ+；（3）1118022αβ︒--. 【解析】【分析】（1）过点I 作IM ∥AB ，由角平分线的性质得到∠AEI=35°，∠CHI=30°，根据平行线的性质，由IM ∥AB 得到∠MIE=∠AEI=35°，由AB ∥CD ，IM ∥AB可得∠MIH=∠CHI=30°，再由∠EIH=∠MIE+∠MIH 计算即可得到答案；（2）过点I 作IM ∥AB ，由角平分线的性质得到∠AEI=1α2，∠CHI=1β2，根据平行线的性质由IM ∥AB 可得∠MIE=∠AEI=1α2，由AB ∥CD ，IM ∥AB 得到IM ∥CD ，结合题意得到∠EIH=∠MIE+∠MIH 计算即可得到答案；（3）过点J 作MN ∥AB ，由角平分线的性质得到∠JEG=1α2，∠JHF=1β2，根据平行线的性质由MN ∥AB 得到∠MJE=∠JEG =1α2，由AB ∥CD ，MN ∥AB 得到MN ∥CD ，结合题意得到∠EJH=180°-∠MJE-∠NJH ，计算即可得到答案.【详解】（1）解：过点I 作IM ∥AB∵EI 平分∠AEF ，HI 平分∠CHG ，∠AEF=70°，∠CHG=60°，∴∠AEI=35°，∠CHI=30°∵IM ∥AB∴∠MIE=∠AEI=35°∵AB∥CD，IM∥AB∴IM∥CD∴∠MIH=∠CHI=30°∴∠EIH=∠MIE+∠MIH=35°+30°=65°（2）解：过点I作IM∥AB∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF=α，∠CHG=β，∴∠AEI=1α2，∠CHI=1β2∵IM∥AB∴∠MIE=∠AEI=1α2∵AB∥CD，IM∥AB ∴IM∥CD∴∠MIH=∠CHI=1β2∴∠EIH=∠MIE+∠MIH=1α2+1β2（3）解：过点J作MN∥AB∵∠AEF=α∴∠KEB=α∵EJ 平分∠KEB ，HJ 平分∠CHG ，∠KEB =α，∠CHG=β，∴∠JEG=1α2，∠JHF=1β2 ∵MN ∥AB∴∠MJE=∠JEG =1α2∵AB ∥CD ，MN ∥AB∴MN ∥CD∴∠NJH=∠CHJ=1β2∴∠EJH=180°-∠MJE-∠NJH=180°-1α2-1β2. 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质的综合使用.92．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”.解决问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ，C ∠之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ.如图②，把一块三角尺DEF 放置在ABC △上，使三角尺的两条直角边DE ，DF 恰好经过点B ，C ，若40A ∠=︒，则ABD ACD +=∠∠_____︒.Ⅱ.如图③，BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，若40A ∠=︒，130BPC ∠=︒，求BDC ∠的度数.【答案】（1）详见解析；（2）50︒；BDC ∠=85︒【解析】【分析】（1）连接AD 并延长至点F ，根据三角形外角性质即可得到BDC ∠与A ∠，B ，C ∠之间的数量关系；（2）Ⅰ、由（1）可得，BDC ABD ACD A ∠=∠+∠+∠，再根据40A ∠=︒，90D ∠=︒，即可得出ABD ACD ∠+∠的度数；Ⅱ、根据（1），可得BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠，BDC BAC ABD ACD ∠=∠+∠+∠，再根据BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，即可得出BDC ∠的度数.【详解】解：（1）如图①，连接AD 并延长至点F ，根据外角的性质，可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，又BDC BDF CDF ∠=∠+∠，BAC BAD CAD ∠=∠+∠，BDC A B C ∴∠=∠+∠+∠；（2）Ⅰ.由（1），可得BDC ABD ACD A ∠=∠+∠+∠；又40A ∠=︒，90D ∠=︒，904050ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒，故答案为：50︒；Ⅱ.由（1），可得BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠，BDC BAC ABD ACD ∠=∠+∠+∠，1304090ABP ACP BPC BAC ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，又BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，()1452ABD ACD ABP ACP ∴∠+∠=∠+∠=︒， 454085BDC ∴∠=︒+︒=︒.【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角性质及角平分线的定义的运用，熟知三角形的内角和等于180°、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.93．已知：如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG ．（1）求证：OC 是∠AOB 的平分线．（2）若PF ∥OB ，且PF ＝4，∠AOB ＝30°，求PE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）PE ＝2．【解析】【分析】（1）利用“HL ”证明Rt △PFD 和Rt △PGE 全等，根据全等三角形对应边相等可得PD ＝PE ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；（2）在Rt △PFD 中，求出PD 即可解决问题.【详解】（1）证明：在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，PF PG DF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PFD ≌Rt △PGE （HL ），∴PD ＝PE ，∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴OC 是∠AOB 的平分线；（2）∵PF ∥OB ，∠AOB ＝30°，∴∠PFD ＝∠AOB ＝30°，在Rt △PDF 中，PD ＝12PF ＝2，∴PE ＝PD ＝2．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．94．如图，D ，E ，F ，G ，H ，I 是三角形ABC 三边上的点，连结EI ，//EF BC ，//GH AC ，//DI AB ．（1）判断GHC ∠与FEC ∠是否相等，并说明理由．（2）若EI 平分FEC ∠，56C ∠=︒，50B ∠=︒，求EID ∠的度数．【答案】（1）相等，理由见解析；（2）12∠=︒EID【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠FEC ＋∠C ＝180°，∠GHC ＋∠C ＝180°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠FEC ＋∠C ＝180°，求得∠FEC ＝180°−∠C＝124°，根据角平分线的定义得到∠FEI ＝12∠FEC ＝62°，由平行线的性质得到∠DIC ＝∠B ＝50°，即可得到结论．【详解】（1）GHC FEC ∠=∠，理由：//EF BC ，180FEC C ∴∠+∠=︒，//GH AC ，180GHC C ∴∠+∠=︒，GHC FEC ∴∠=∠；（2）//EF BC ，56C ∠=︒180FEC C ∴∠+∠=︒，180124∴∠=︒-∠=︒FEC C EI 平分FEC ∠，1622∴∠=∠=︒FEI FEC 62∴∠=∠=︒FEI EIC//DI AB ，50B ∠=︒50∴∠=∠=︒DIC B12∴∠=∠-∠=︒EID EIC DIC【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，同旁内角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．95．如图，在△ABC 中，∠BAC=20°，∠ABC=30°.（1）画出BC边上的高AD和角平分线AE；（2）求∠EAD的度数.【答案】（1）见解析；（2）50°【解析】【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，画出的这条线段就是三角形的高，注意钝角三角形较短边上的高在三角形的外部，再结合尺规作角平分线的方法即可解答第（1）问；（2）根据已知条件，在△ABD中运用三角形内角和定理可得到∠BAD的度数，然后由角平分线的定义可得∠BAE=10°，再结合∠EAD=∠BAD-∠BAE即可得到答案.【详解】（1）如图所示，AD为BC边上的高，AE为角平分线.（2）∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°.∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，∴∠BAD=180°-90°-30°=60°.∵∠BAC=20°，AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE=10°.∵∠BAD=60°，∠BAE=10°，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=60°-10°=50°.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握作图法则.96．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明：（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点P满足∠ABP=30︒，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．【答案】（1）见详解；（2）②正确，∠MGN的度数为15°，理由见详解．【解析】【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠1=∠2，可得∠2=∠BAC,进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义和三角形外角的性质，可得∠MGP=12（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，进而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到结论．【详解】（1）AB∥CD，理由如下：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC,∴AB∥CD；（2）②∠MGN的度数不变是正确的，理由如下：∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，∴∠GPQ=12∠BPG，∠MGP=12∠DGP，∵AB∥CD，∴∠1=∠DGP，∵∠1=∠BPG+∠B，∴∠MGP=12∠1=12（∠BPG+∠B），∵PQ∥GN，∴∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=12（∠BPG+∠B）-12∠BPG=12∠B=12×30°=15°，∴∠MGN的度数不变，度数为15°．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理与平行线的性质和判定定理，理清角的和差倍分关系，是解题的关键．97．已知：在△ABC中,∠ABC=60°,CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上(点E不与点C．D重合)，且∠EAC=2∠EBC．(1)如图1,若∠EBC=27°,且EB=EC,则∠DEB=___°,∠AEC=___°.(2)如图2，①求证：AE+AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (12)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOE 的度数等于（）A．145°B．135°C．35°D．120°【答案】A【解析】因为OA平分∠EOC,∠EOC=70°,所以∠EOA=70°÷2=35°,所以∠BOE=180°－35°=145°,故选A.12．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有( )①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】试题解析：AD不一定平分∠BAF，①错误；AF不一定平分∠DAC，②错误；∵∵1=∵2，∵AE平分∠DAF，③正确；∵∵1=∵2，∵3=∵4，∵∵1+∵3=∵2+∵4，即∠BAE=∵CAE，∵AE平分∠BAC，④正确；故选C．13．如图，△ABC中，∠C=90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE=DB，下列结论：①∠DEA＋∠B=180°；②∠CDE=∠CAB；③AC=1(AB2S四边形ABDE，其中正确的结论个数为( )＋AE)；④S△ADC=12A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】在AB上截取AF＝AE，交AB于点F，如图所示：∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD,在△AED和△AFD中，()AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝公共边， ∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴∠DEA ＝∠DFA ，DF ＝DE ，又∵DE =DB ，∴DF ＝DB ，∴∠DFB ＝∠B ，又∵∠DFA+∠DFB ＝180o ，∠DEA ＝∠DFA ，∴∠DEA ＋∠B =180°(等量代换),又∵∠CED+∠AED ＝180o ,∴∠CED=∠B,又∵∠C+∠CED+∠CDE ＝180o ，∠C+∠CAB+∠B ＝180o ，∴∠CDE ＝∠CAB ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，如图所示：∵DG ＝DB （已证），∴DG 是BF 的垂直平分线，∴FG ＝BG ，∵AD 是是∠CAB 的角平分线，∠C =90°，DG ⊥AB ，∴DC ＝DG ，在△ADC 和△AGD 中90oC AGD CAD GAD AD AD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△AGD （AAS ），∴AC ＝AG ，又∵AC ＝AE+CE ，AG ＝AF+FG ，∴AE+CE ＝AF+FG ，又∵AE ＝AF ，∴CE ＝FG ，又∵FG ＝BG ，∴CE ＝BG ，∴AC ＝AE+BG ，又∵AB+AE ＝AG+BG+AE ，AG ＝AC ，∴AB+AE ＝AC+AC ＝2AC ，即AC =12(AB ＋AE )， ∵S 四边形ABDE ＝S △ABD +S △AED ＝11··22AB DG AE DC +， ∴S 四边形ABDE 11·()2?22DG AB AE DC AC DC AC =+=⨯⨯=，又∵S △ADC ＝1•2AC DC ， ∴S △ADC =12S 四边形ABDE . 故①②③④都正确，共计4个正确.故选A.【点睛】主要运用了角平分线到角两边的距离相等，类似题型：有角平分线和角平分线上的点到一边的垂线段，做辅助线的常用方法是过这个点作另一边的垂线段，解决本题关键是作辅助线.14．如图,∠MON为锐角.下列说法:①∠MOP=12∠MON;②∠MOP=∠NOP=12∠MON;③∠MOP=∠NOP;④∠MON=∠MOP+∠NOP.其中,能说明射线OP 一定为∠MON的平分线的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的角平分线,当OP在∠MON外部时不成立,故①错误,∠MOP=∠NOP=12∠MON,则OP在∠MON内部,且平分角,故②正确,当∠MOP,∠NOP为钝角(OP是角平分线的反向延长线)时不成立,故③错误,OP可以是∠MON内的任意射线,无法证明∠MOP=∠NOP,故④错误,综上,只有②正确,故选A.15．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D向AB，AC两边作垂线，垂足分别为E，F，那么下列结论中不一定正确的是( )A ．BD ＝CDB ．DE ＝DFC ．AE ＝AFD ．∠ADE ＝∠ADF 【答案】A【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF ，然后利用“HL ”证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF ，∠ADE=∠ADF ．【详解】解：如图，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，AD AD DE DF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ），∴AE=AF ，∠ADE=∠ADF ，即只有AB=AC 时，BD=CD ．综上所述，结论错误的是BD=CD ．故选A ．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．16．观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等．其中逆命题为假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是两边相等的三角形，此命题是真命题；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为：角平分线上的点到角的两边的距离相等，此命题为真命题；③直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形为直角三角形，此命题为真命题；④全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，此命题为假命题。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质复习题(含答案) (55)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)（1）如图，点C 、D 在线段AB 上，D 是线段AB 的中点，AC =13AD ，CD=4 ，求线段AB 的长．（2）如图，点O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，若∠AOD =14°，求∠DOE 、∠BOE 的度数．【答案】（1）12；（2）∠DOE =90°，∠BOE =76°．【解析】【分析】（1）根据AC 13=AD ，CD ＝4，求出CD 与AD ，再根据D 是线段AB 的中点，即可得出答案；（2）利用角平分线和图中角与角的关系计算即可．【详解】（1）∵AC 13=AD ，CD ＝4，∵CD ＝AD ﹣AC ＝AD 13-AD 23=AD ，∵AD 32=CD ＝6．∵D 是线段AB 的中点，∵AB ＝2AD ＝12．（2）∵OD 是∠COA 的平分线，∵AOD ＝14°，∵∵AOC ＝2∵AOD ＝2×14°＝28°．∵∵AOB＝180°，∵∵BOE12=∵BOC12=⨯（180°﹣∵AOC）＝76°；∵DOE12=∵BOC12+∵AOC＝76°+14°＝90°．故∠DOE＝90°，∵BOE＝76°．【点睛】本题考查了两点间的距离公式和角平分线的定义，根据线段中点的定义和角平分线定义得出所求与已知的关系是解题的关键．42．如图，OC平分∠AOB,OA=OB, PD∠AC于点D,PE∠BC 于点E，求证：PD = PE.【答案】详见解析.【解析】【分析】根据OC平分∠AOB，得到∠AOC=∠BOC，证得△AOC≌△BOC，根据全等三角形的性质得到∠ACO=∠BCO，根据角平分线的性质即可得到结论．【详解】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC．在△AOC和△BOC中，∵OC=OC，∠AOC=∠BOC，OA=OB，∴△AOC≌△BOC (SAS) ，∴∠ACO=∠BCO．又∵PD∵AC，PE∵BC，∵PD = PE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．43．如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，高CD和角平分线AE交于点F，EH∠AB于点H，那么CF=EH吗？说明理由．【答案】详见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质得出CE=HE，∠CAE=∠EAH，再由两角互补的性质得出∠AEC=∠AEH，根据平行线的性质得出∵EFC=∵AEH，所以∵AEC=∵EFC，即可证得结论．【详解】∵在∵ABC中，∵ACB=90°，高CD和角平分线AE交于点F，EH∵AB于点H，∵CE=HE，∵CAE=∵EAH，∵∵CAE+∵AEC=90°，∵EAH+∵AEF=90°∵∵AEC=∵AEH，∵CD∵AB，EH∵AB，∵CD∵EH，∵∵EFC=∵AEH，∵∵AEC=∵EFC，∵CE=CF，∵CF=EH．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．44．(1)如图(1)，已知A、B位于直线MN的两侧，请在直线MN上找一点P，使PA+PB最小，并说明依据．(2)如图(2)，动点O在直线MN上运动，连接AO，分别画∠AOM、∠AON 的角平分线OC、OD，请问∠COD的度数是否发生变化？若不变，求出∠COD 的度数；若变化，说明理由．【答案】(1)见解析；(2)∵COD的度数不会变化，为90°.【解析】【分析】（1）根据两点之间，线段最短，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点；（2）根据角平分线的概念以及平角的概念进行求解即可.【详解】(1)如图，连接AB交MN于点P，则P就是所求的点，理由：两点之间，线段最短；(2)∠COD的度数不会变化，∵OC是∠AOM的平分线，∴∠COA＝12∠AOM，∵OD是∠AON的平分线，∴∠AOD＝12∠AON，∵∠AOM+∠AON＝180°，∴∠COD=∠COA+∠AOD＝12∠AOM+12∠AON＝12(∠AOM+∠AON)＝90°．【点睛】本题考查了两点之间线段最短的性质、角平分线的定义、平角的定义等，熟练掌握是解题的关键.45．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°．（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC的度数．【答案】（1）答案见解析；（2）65°．【解析】【分析】（1）分析题意，根据角平分线的作法作出∵BAC的平分线AD即可.(2)根据题意求出∠DAC的值，随之即可解答.【详解】（1）如图，AD为所作；（2）∵∠C＝90°，∠B＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+25°＝65°．【点睛】此题主要考查了角平分线的作法和直角三角形的性质，本题就属于尺规作图中的四种基本作图之一：作角平分线，旨在通过画图，培养学生的作图能力及动手能力，明确尺规作图的意义，体会数学作图语言和图形的和谐统一.46．如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线，试说明：（∠BON-∠AON）；（1）∠MON=12（∠AOG+∠BOG）．（2）∠MOG=12【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质可得∠AOM=∠BOM，根据∠AOM=∠AON+∠MON，∠MON=∠BON-∠MON即可解题；(2) 由角平分线的定义可得∠AOB=2∠AOM，再根据∠BOG=∠AOB+∠AOG，∠AOM+∠AOG=∠MOG，继而可得∠AOG+∠BOG=2∠MOG，从而问题得证.【详解】(1)∵OM平分∠AOB，∴∠AOM=∠BOM，∵∠AOM=∠AON+∠MON，∠BON=∠BOM+∠MON，∴∠BON=∠AON+∠MON+∠MON，∴∠BON-∠AON=2∠MON，∴∠MON=12（∠BON-∠AON）；(2)∵OM平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOM，∵∠BOG=∠AOB+∠AOG，∴∠AOG+∠BOG=∠AOG+∠AOB+∠AOG=∠AOB+2∠AOG，∴∠AOG+∠BOG=2∠AOM+2∠AOG=2（∠AOM+∠AOG），∵∠AOM+∠AOG=∠MOG，∴∠AOG+∠BOG=2∠MOG，∴∠MOG=12（∠AOG+∠BOG）.【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差，弄懂图形，熟练运用相关知识是解题的关键.47．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】∵点P在∠ABC的平分线上，∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵点P在线段BD的垂直平分线上，∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），如图所示：【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.48．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等．（1）发射塔修建在什么位置？在图上标出它的位置．（2）写出选址的理由．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．【详解】（1）发射塔应建在直线m、n相交所成锐角的S区角平分线和A、B两点所连线段的垂直平分线的交点P处．如图所示：(2)理由：角平分线上的点到角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．【点睛】本题考查了作图与角平分线以及垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线以及垂直平分线的性质并且能根据题意作图.49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上任意一点（P与A不重合），PQ∠BC，垂足为D．（1）操作：作∠BAC的平分线AE交PQ于点E（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）图中是否存在与AP相等的线段？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用尺规作出∠CAB的平分线即可；（2）存在．结论：PA=PE，只要证明∠PAE=∠PEA即可；【详解】解：（1）∠BAC的平分线如图所示；（2）存在．PA=PE．理由：∵PD⊥BC，∴∠C=∠PDB=90°，∴AC∥PE，∴∠CAE=∠AEP，∵∠EAB=∠EAC，∴∠PAE=∠PEA，∴PA=PE．【点睛】考查作图—基本作图以及等角对等边的性质，掌握角平分线的作法是解题的关键.50．如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝112°.(1)按下列要求作图：(保留作图痕迹)①BC边上的高AD；②∠A的平分线AE.(2)求∠DAE的度数．【答案】①见解析；②见解析;(2) 37°．【解析】【分析】（1）①过点A作AD⊥BC即可；②作∠A的角平分线AE即可；（2）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义求出∠BAE的度数，再由直角三角形的性质可得出∠BAD的度数，进而可得出结论．【详解】：（1）如图所示；（2）在△ABC中，∠BAC=180°-112°-38°=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=15°，在Rt△ADB中，∠BAD=90°-∠B=52°，∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=37°．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟知角平分线的作法是解题的关键．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (18)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系并说明理由；（2）若∠COF=34°26′，求∠BOD．【答案】解：（1）∠AOC=∠BOD，理由见解析；（2）∠BOD=21°08′．【解析】试题分析：（1）根据对顶角的性质即可判断，∠AOC=∠BOD；（2）根据直角的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC=∠AOF-∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．试题解析：（1）∠AOC=∠BOD，理由如下：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，所以∠AOC=∠BOD；（2）∵∠COE是直角，∴∠COE=90°，∴∠EOF=∠COE−∠COF=90°−34°26′=55°34′，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠COE=55°34′，∴∠AOC=∠AOF−∠COF=55°34′−34°26′=21°08′，∴∠BOD=∠AOC=21°08′．72．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E．已知∠A=45°，∠C=105°，求∠EDB的度数．【答案】15°【解析】试题分析：先由三角形的内角和求出∠ABC的度数，再由BD是∠ABC的平分线求出∠DBC的度数，最后由DE∥BC求出∠EDB的度数.试题解析：在ΔABC中，∠A=45°，∠C=105°，∴∠ABC=30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC=15°∵DE∥BC∴∠BDE=∠DBC=15°73．如图，在△ABC 中，∠B=32°，∠C =48°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F，求∠ADF的度数.【答案】∠ADF=82°.【解析】试题分析：由在△ABC中，∠B=32°，∠C=48°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠CAE 的度数，由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠CAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．试题解析：在△ABC中，∠B=32°，∠C=48°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=50°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90°−∠C=42°，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=8°，∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°−∠DAE=82°.74．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；（2）作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（3）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，再以F、N为圆心，大于12交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；（2）分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过2X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；（3）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，ED=ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．试题解析：（1）作出∠B的平分线BD；（2）作出AB的中点E.（3）证明：∵∠ABD=12×60°=30°,∠A=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，在△ADE和△BDE中，AE BE ED ED AD BD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADE≌△BDE(SSS).75．读句画图并填空：（1）画平角AOB，画射线OC，再分别画∠AOC、∠BOC的角平分线OD、OE；（2）图中，∠∠COE= ∠COB，∠COD= ∠AOC，∠∠DOE=∠COE+∠COD= ∠AOB= ×180°＝．【答案】（1）见解析图；（2）12，12，12，12，90°【解析】试题分析：根据基本作图进行作图即可．试题解析：解：（1）如下图所示：（2）∵COE ∠= 12COB ∠，12AOC ∠（角平分线的定义）∵DOE COE COD ∠=∠+∠ 12AOB =∠=1180902⨯︒=（等量代换）． 76．已知下列条件，求角的度数。

人教版八年级上册数学第12章全等三角形【说课稿】角的平分线的性质

角的平分线的性质尊敬的各位老师，大家好！今天，我说课的题目是《角的平分线的性质》第一课时，选自新人教版教材《数学》八年级上册第十二章第三节。

下面，我从教学背景的分析、教学目标的确定、教学方法与手段的选择、教学过程的设计等四个方面对我的教学设计加以说明。

一、教学背景的分析1、教学内容分析本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。

内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。

作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。

因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。

同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。

2、学生分析刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。

根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。

3、教学环境分析利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。

4、教学重点、难点本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。

教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。

教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。

二、教学目标的确定1、知识与技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法。

人教版八年级数学上册同步教学第12章全等三角形角的平分线的性质第2课时角平分线的判定

A
M
小区C
P
O
N
B
பைடு நூலகம்
2. 如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点
F,点P是AD上一点,且点D到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
A
∵D到PE的距离与到PF的距离相等,
(
∴点D在∠EPF的平分线上．
34 P
解：连接OC
SABC SAOC SBOC SAOB
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
1 OM ( AB BC OM ) 2
1 4 32 64 2
B
O
P
A
DM
C
知识与方法
1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题
条件
2.联系角平分线性质：距离面积周长
E
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
A P
B
知识总结
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
s 1 ch 2
例2 如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到 △ABC三边的距离相等．若∠A＝40°,则∠BOC的度数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知,O到三角形三边的距离
相等,所以O是内心,即三条角平分线
的交点,AO,BO,CO都是角平分线,

12.3《角平分线的判定》教学设计

《角平分线的判定》教学设计丰台八中王晓颖一、教材分析（一）、教材内容的地位和作用《角平分线的判定》选自北京市义务教育课程改革实验教材八年级数学（上）第十三章，是我个人根据学生的知识基础较差、认知能力不强以及思维品质不够活跃等实际情况而在教学中加以补充的一节课。

代数学作为一门学科，它的课题首要的就是研究用字母表示式子的变形规则和解方程的方法。

因此，本节课既是算术知识的延续，又为后面知识的学习起着导航作用，即：对于代数我们研究什么？如何研究？（二）、教学目标根据新《课标》要求和上述教材分析，结合学生的情况，我制定了以下教学目标：知识、能力目标：了解代数式的值的概念，知道代数式求值的书写格式，能区分易混淆语言，清楚代数式求值过程中易出错的地方，会解决简单的问题，并在此基础上应用变式训练进行拔高。

情感目标：使学生明白数学来源于生活，学习数学是为了解决实际问题，，培养学生科学的学习态度，同时通过多媒体演示激发学生探究数学问题的兴趣。

（三）、教学重点、难点教学重点：掌握角平分线的判定定理。

教学难点：角平分线判定定理的灵活应用。

二：教法、学法分析本节课涉及的知识点不多，根据课标要求，学生只需探索并证明角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

所以本节课主要有两个主要内容一个是角平分线判定定理的探索和证明，另一个就是角平分线判定定理的应用。

教师通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。

而学生在教师的鼓励引导下小结方法，克服思维定势，增强学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。

（一）复习引入 1.如图，若OP 平分∠AOB,PC ⊥OA,PD ⊥OB,垂足分别是C,D ，则下列结论错误的是（）（A ）PC=PD (B)OC=OD (B) OC=OD (D)OC=PC分析：此题让学生独立完成，说明理由，并板书：PD=PC （角平分线上的点到角两边距离相等）（二）探索交流，获得新知思考：点P 是∠AOB 中一点，PC ⊥OA 于C,PD ⊥OB 与D ，且PC=PD.点P 在什么位置上？能证明你的猜想吗？猜想：点P 在角平分线上.已知：点P 为错误!未找到引用源。

八年级数学上册第十二章知识点(共3篇)

八年级数学上册第十二章知识点（共3篇）篇1：八年级数学上册第十二章知识点八年级数学上册第十二章知识点全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。

⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。

⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。

2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。

⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

3.全等三角形的判定定理：⑴边边边：三边对应相等的两个三角形全等。

⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

⑶角边角()：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑸斜边、直角边()：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。

⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

数学不能只依靠上课听得懂很多初中生认为自己理解数学课就够了，但是一旦做了综合题就蒙了，基础题会做，但是会马虎。

这种问题是学生认为在课堂上就能理解的。

初中同学要首先对数学做一个认知，听得懂≠会做，会做≠拿的到分。

听得懂只占你数学成绩的20%，仅仅听得懂只说明你理解能力还可以，不说明你能拿到很高的数学成绩。

只有理解和练习，多练习，最后才能做的又快又准，数学成绩才会有很大进步。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (87)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：BD=CD．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，通过SAS证明△DEB≌△DFC，即可得到结论．【详解】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°．在△DEB和△DFC中，∵DE DFDEB DFCBE FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB≌△DFC，∴BD=DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．62．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：∠EAB=∠EAD．【答案】证明见详解【解析】【分析】由题意利用角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”进行分析证明.【详解】解：证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，∴点E在∠BAD的平分线上，∴∠EAB=∠EAD．【点睛】本题考查角平分线性质，熟练掌握角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键.63．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，△ABC 的面积为36cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长．【答案】125cm 【解析】【分析】由题意作DF ⊥BC 于F ，根据角平分线性质可得DE=DF ，进而利用ABC BCD ABD S S S =+进行分析计算即可求得DE 的长．【详解】解：作DF ⊥BC 于F ，∵BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ，∵△ABC 的面积为36cm 2， ∴113622ABC BCD ABD S S S BC DF AB DE =+=+=cm 2， ∵AB=18cm ，BC=12cm ，∴69691536DF DE DE DE DE +=+==，∴5361125DE ==cm. 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．64．如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，CA CB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥.（1）说明ADC ADE ∆∆≌的理由；（2）若8AB =，求DEB ∆的周长.【答案】（1）详见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质及HL 即可判定Rt Rt ACD AED ∆∆≌；（2）根据全等三角形的性质及周长的定义即可求解.【详解】（1）90C ∠=︒DC AC ∴⊥ AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥CD ED ∴=在Rt ACD ∆和Rt AED ∆中CD ED AD AD =⎧⎨=⎩Rt Rt ACD AED ∴∆∆≌（2）∵Rt Rt ACD AED ∆∆≌，CA CB =，CD ED =∴8DEB C DB DE EB BC BE AC BE AE BE AB ∆=++=+=+=+==【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质定理.65．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，∠B=40°，∠E=30°，求∠BAC 的度数.【答案】∠BAC=100°.【解析】【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，根据三角形外角性质求出∠ECD ，根据角平分线定义求出∠ACD ，根据三角形外角性质求出即可.【详解】解：∵∠B=40°，∠E=30°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∴∠ACD=2∠ECD=140°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=140°﹣40°=100°.【点睛】本题的关键是掌握三角形外角性质，并能灵活运用定理进行推理66．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠ABC＝70°，∠C＝30°，求∠DAE和∠AOB．【答案】20°，105°.【解析】【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=80°，再根据角平分线的性质得到∠CAE=12∠BAC=40°，利用三角形外角性质得∠AED=∠CAE+∠C=70°，进一步求得∠DAE；利用三角形外角的性质得出∠AOB=∠AED+∠CBF进行计算．【详解】∵∠ABC＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝40°，∠CBF＝12∠ABC＝35°，∴∠AED＝∠CAE+∠C＝40°+30°＝70°，∵AD ⊥BC ，∴∠DAE ＝90°﹣∠AED ＝20°；∵∠AOB ＝∠AED +∠CBF ，∴∠AOB ＝70°+35°＝105°．【点睛】此题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，解题关键在于掌握三角形内角和为180°．67．如图，DAB BCD ∠=∠，12180∠+∠=︒，BC 平分ACH ∠.（1）找出图中所有的平行直线，直接写出结论.（2）判断：AD 是GAC ∠的角平分线吗？并说明理由.（3）图中与B 相等的角共有______个.（不包括B ）【答案】（1）AB ∥DC ，AD ∥BC ；（2）是，理由见解析；（3）5【解析】【分析】（1）根据平行线的判定解答即可；（2）利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可；（3）根据平行线的性质和等量代换解答即可．【详解】（1）∵∠1+∠2=180°，∠2+∠ACD=180°，∴∠1=∠ACD，∴AB∥DC，∴∠DAB+∠ADC=180°，∵∠DAB=∠BCD，∠BCD+∠BCH=180°，∴∠ADC=∠BCH，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AB∥DC，∴∠GAC=∠ACH，∵BC平分∠ACH．∴∠ACB=∠BCH，∴∠GAD=∠DAC，即AD平分∠GAC；（3）∵AB∥DC，∴∠B=∠BCH, ∠DAF=∠ACB.∵AD∥BC，∴∠B=∠GAD, ∠D=∠BCH.∵∠GAD=∠DAC，∴∠B=∠BCH=∠D=∠GAD=∠ACB=∠DAC，∴图中与B相等的角共有5个.【点睛】此题考查平行线的判定和性质，用到的知识点：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．68．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE （1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【答案】（1）OF⊥OD，证明详见解析；（2）∠EOF＝60°．【解析】【分析】（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝12∠AOE、∠EOD＝12∠EOB，根据邻补角互补可得出∠AOE+∠EOB＝180°，进而可得出∠FOD ＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可证出OF⊥OD；（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD 的度数，根据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF＝12∠AOE，再根据邻补角互补结合∠EOF＝12∠AOE，可求出∠EOF的度数．【详解】（1）OF⊥OD．证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠FOE＝12∠AOE，∠EOD＝12∠EOB．∵∠AOE+∠EOB＝180°，∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝12（∠AOE+∠EOB）＝90°．∴OF⊥OD．（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝12∠AOE．∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝60°．【点睛】此题考查对顶角，邻补角，角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合角平分线的定义找出∠FOD=90°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD的度数．69．已知DB∥EH，F是两条射线内一点，连接DF、EF．（1）如图1：求证：∠F＝∠D+∠E；（2）如图2：连接DE，∠BDE、∠HED的角平分交于点F时，求∠F的度数；（3）在（2）条件下，点A是射线DB上任意一点，连接AF，并延长交EH于点G，求证：AF＝FG．【答案】（1）见解析；（2）90 ；（3）见解析.【解析】【分析】（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，又根据FM∥BD，即可有∠1＝∠D，∠2＝∠E，则可证明∠F＝∠D+∠E；（2）根据角平分线得出∠3＝∠5，∠4＝∠6，DB∥HE得出∠3+∠5+∠4+∠6＝1800，即可证明∠F＝900；（3）过F 点作BD的垂线，垂足为K，延长KF交EH于点I；过F点作FJ垂线于点J，根据DA∥EH得出∠AKF＝∠GIF＝900，由角平分线得出KF＝FJ，FI＝FJ，所以KF＝FI，则可证明△AKF≌△GIF，所以AF＝FG.【详解】（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，∵FM∥BD，FM∥HE∴∠1＝∠D，∠2＝∠E∵∠F＝∠1+∠2∴∠F＝∠D+∠E（2）∵DF是角平分线∴∠3＝∠5又∵EF是角平分线∴∠4＝∠6又∵DB∥HE∴∠3+∠5+∠4+∠6＝1800∴∠5+∠6＝900∴∠F＝900（3）过F 点作BD 的垂线，垂足为K ，延长KF 交EH 于点I ；过F 点作FJ 垂线于点J∵DA ∥EH∴∠AKF ＝∠GIF ＝900∵DF 是角平分线∴KF ＝FJEF 是角平分线∴FI ＝FJ∴KF ＝FI在△AKF 和△GIF 中90 KFA IFG AKF GIF KF FI∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝ ∴△AKF ≌△GIF （AAS ）∴AF ＝FG【点睛】本题考查了平行线、角平分线、三角形全等等知识点，综合性较强，熟练掌握各个知识点，并学会综合运用是解题的关键.70．如图，OA BC ⊥，ODC ABO ∠=∠.(1)请判断CD 和AB 位置关系，并说明理由；(2)ADC ∠的平分线DE 与OAB ∠的平分线交于F ，求F ∠的度数.(3)在(2)的条件下，M 是线段AD 上任意一点(不同于A 、D )，作MN OA ⊥交AF 于N ，作ADE ∠与ANM ∠的平分线交于P 点，求P ∠的度数.【答案】（1）CD ⊥AB ，理由见解析；（2）45F ∠=︒；（3）22.5P ∠=︒.【解析】【分析】（1）利用等量代换得出∠ABO +∠OCD =90°，说明CD ⊥AB 即可；（2）利用角平分线的性质，邻补角的意义以及三角形的内角和定理在△AFD 中解决问题即可；（3）利用角平分线的性质，三角形的内角和，四边形的内角和解决问题即可．【详解】CD ⊥AB .如图，延长CD 交AB 于点P ，∵OA BC ⊥∴∠ODC +∠OCD =90°，∵ODC ABO ∠=∠∴∠ABO +∠OCD =90°，∴∠CPB =180°−(∠ABO +∠OCD )=90°∴CD ⊥AB .（2）∵DE 平分∠ADC ，AF 平分∠OAB ，11()22ADE ADC COD OCD ∴∠=∠=∠+∠ 12FAD BAO ∠=∠， OA BC ⊥，90,90,90COD OAB ABO OCD ODC ，11180()13522FDA COD OCD OCD ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠ ∵ODC ABO ∠=∠∴OCD OAB ∠=∠，∴在△ADF 中，180()F FDA DAF ∠=︒-∠+∠1118013522OCD OAB ⎛⎫=︒-︒-∠+∠ ⎪⎝⎭180135=-︒︒45=︒（3）∵MN OA ⊥∴90NMD ∠=︒，()360225ADF MNF F NDF ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒∵ADE ∠与ANM ∠的平分线交于P 点 ∴11,22PDA EDA PNM ANM ()11()18018067.522PDA PNM EDA ANM ADF MNF ∴∠+∠=∠+∠=-∠+-∠=︒︒︒ 360P F ADF MNF PDA PNM ︒∴∠=-∠-∠-∠-∠-∠360()()22.5F ADF MNF PDA PNM ︒=-∠-∠+∠-∠+∠=︒.【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂线，三角形的外角性质，四边形的内角和定理，角平分线的性质.（1）中能正确画出辅助线是解题关键；（2）中能考虑到利用△AFD 的内角和，并正确表示出FDA ∠和FAD ∠是解题关键；（3）中能表示出四边形DNFP 的其它三个角是解题关键.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (64)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，OC平分∠AOB,点D，E分别在OA,OB上，点P在OC上且有PD=PE．求证：∠PDO =∠PEB．【答案】证明见解析；【解析】试题分析：过点P作AO、BO的垂线，利用直角三角形全等的判定可证出结论.试题解析：过P做PM垂直OA于M PN垂直OB于N因为OC平分∠AOB所以PM="PN" (角平分线上的点到2边的距离相等)因为PD=PE所以∠PDM全等于∠PEN（HL）所以∠PDO=∠PEB考点：1.角平分线的性质；2.直角三角形全等的判定与性质.32．已知：如图，CD∠AB于D，BE∠AC于E，∠1＝∠2．求证：OB＝OC．【答案】证明见解析【解析】试题分析：又CD∠AB，BE∠AC，∠1＝∠2，可得OE=OD，∠BDO=∠CEO=90°，再由∠BOD=∠COE，可得∠BOD∠∠COE，从而OB＝OC．试题解析：∠CD∠AB，BE∠AC，∠1＝∠2，∠OE=OD，∠BDO=∠CEO=90°，又∠∠BOD=∠COE，∠∠BOD∠∠COE，∠OB＝OC．考点：1．角平分线的性质；2．三角形全等的判定与性质．33．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=16，BC=12．（1）△ABD与△CBD的面积之比为；（2）若△ABC的面积为70，求DE的长．【答案】4:3；5.【解析】AB求出BC两个三角形的面积之比等于底的比求出△ABD与△CBD的面积之比；根据（1）求出的△ABD与△CBD的面积之比，得到△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DE．试题解析：(1)、∵BD是△ABC的角平分线，ABBC =43，∴△ABD与△CBD的面积之比为4：3；(2)、∵△ABC的面积为70，△ABD与△CBD的面积之比为4：3，∴△ABD的面积为40，又AB=16，则DE=5．考点：角平分线的性质34．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：．然后证明你的结论（不要求写出已知、求证）．【答案】OM平分∠BOA．【解析】试题分析：根据角作图的画法得出三角形全等，从而说明角平分线.试题解析：OM是∠AOB的角平分线连接CM、DM∠OC=OD，CM=DM，OM=OM，∠∠OCM∠∠OCD，∠∠BOM=∠AOM，∠OM是∠AOB的角平分线．考点：(1)、尺规作图；(2)、三角形全等35．（8分）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．【答案】（1）见解析（2）DM⊥AM，（3）CD+AB=AD【解析】试题分析：（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．试题解析：（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中DM DM EM CM=⎧⎨=⎩ ∴Rt △DCM ≌Rt △DEM （HL ），∴CD=DE ，同理AE=AB ，∵AE+DE=AD ，∴CD+AB=AD ．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质36．如图，在∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=AD（1）作∠A 的平分线交CD 于E ；（2）过B 作CD 的垂线，垂足为F ；（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）∠ACE ∠∠ADE ，∠ACE ∠∠CFB ．【解析】试题分析：（1）利用角平分线的作法得出∠A的平分线；（2）利用钝角三角形高线的作法得出BF；（3）利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出答案．试题解析：（1）如图所示：AE即为所求；（2）如图所示：BF即为所求；（3）如图所示：∠ACE∠∠ADE，∠ACE∠∠CFB，∠AC=AD，AE平分∠CAD，∠AE∠CD，EC=DE，在∠ACE和∠ADE中，∠AE=AE，∠AEC=∠AED，EC=ED，∠∠ACE∠∠ADE（SAS）．考点：1．作图—复杂作图；2．全等三角形的判定．37．（8分）如图，在∠ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，点E在BC上，将∠ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点F处．（1）求BE的长；（2）判断∠CEF是什么特殊三角形．【答案】BE=4√2－4【解析】试题分析：（1）先由勾股定理求出AC的长，由折叠可得∠CEF为直角三角形，BE="EF," 设BE=，根据勾股定理可得；（2）由（1）可得EF=FC=，所以直角三角形CEF是等腰直角三角形.试题解析：在∠ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，∠AC=42分将∠ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点F处.所以BE=EF,∠∠CEF为直角三角形EC2=EF2+FC2 4分设BE=，（4-）2=2+（4-4）24分∠6分EF=FC=7分∠∠CEF是等腰直角三角形8分考点：1.勾股定理；2. 图形折叠的性质；3.等腰直角三角形的判定.38．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，⊥E=⊥3．请问：AD平分⊥BAC吗？若平分，请说明理由．【答案】平分，理由见解析．【解析】【分析】先利用平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到AD∥EG，再利用平行线的性质和已知条件求出∥1=∥2即可．【详解】解：平分．证明：∥AD∥BC于D，EG∥BC于G，（已知）∥∥ADC=∥EGC=90°，（垂直的定义）∥AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∥∥2=∥3，（两直线平行，内错角相等）∥E=∥1，（两直线平行，同位角相等）又∥∥E=∥3（已知）∥∥1=∥2（等量代换）∥AD平分∥BAC（角平分线的定义）．【点睛】本题考查平行线的判定与性质；角平分线的定义．39．画图说明题，试用几何方法说明你所得结果的正确性．（1）作∠AOB=90°；（2）在∠AOB的内部任意画一条射线OP；（3）画∠AOP的平分线OM以及∠BOP的平分线ON；（4）用量角器量得∠MON= 度．【答案】45，理由见解析【解析】【分析】首先根据题意画出图形，再根据角平分线的性质可得∠POM=1∠POB，2∠PON=12∠POA，然后可得∠POM+∠PON=12（∠POB+∠POA），进而可得答案．【详解】如图所示：∥OM是∥AOP的平分线，ON是∥BOP的平分线，∥∥POM=12∥POA，∥PON=12∥POB，∥∥POB+∥POA=∥AOB=90°，∥∥POM+∥PON=12（∥POB+∥POA）=12∥AOB=12×90°=45°．【点睛】考查了基本作图，以及角平分线的作法，关键是掌握角平分线的画法．40．（本题满分10分）如图，把∠EFP按图所示的方式放置在菱形ABCD 中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上.已知EP=FP=，EF=，∠BAD=60°，且AB.（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若∠EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.【答案】（1）∠EPF=120°；（2）AE+AF=；（3）AP的最大值为8，AP 的最小值为4.【解析】试题分析：（1）过点P作PG∠EF,垂足为G,在RtFPG中，利用锐角三角函数求得∠FPG=60°，即可得∠EPF的度数.（2）作PM∠AB,PN∠ND,垂足分别为M、N，可证RtPME∠RtPNF，可得FN=EM；在RtPMA中,利用锐角三角函数求得AM的长，同样的方法求得AN的长，根据AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=AM+AN即可求得AE+AF的值.（3）当PE∠AB,PF∠AD时，AP的值最大为8，当点A与点E（或点F）重合时，PA的值最小为4.试题解析：解：（1）过点P作PG∠EF,垂足为G,∠PE=PF,PG∠EF,∠FG=EG=,∠FPG=∠EPG=∠EPF.在RtFPG中，,∠∠FPG=60°∠∠EPF=2∠FPG=120°.作PM∠AB,PN∠ND,垂足分别为M、N，在菱形ABCD中，∠AD=AB,,DC=BC,AC=AC,∠∠ABC∠∠ADC,∠∠DAC=∠BAC∠点P到AB、CD两边的距离相等，即PM=PN.在RtPME和RtPNF中,∠PM=PN,PE=PF,∠RtPME∠RtPNF∠FN=EM在RtPMA中,∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∠AM=同理，AN=∠AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=AM+AN=.（3）AP的最大值为8，AP的最小值为4.考点：菱形的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定及性质.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (54)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．请解答下列问题：（1）图中与∠DBE相等的角有：；（2）直接写出BE和CD的数量关系；（3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝1∠C，DE与AB相交于点F．试探究线段BE2与FD的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）∠ACE和∠BCD；CD；（2）BE＝12DF，证明见解析（3）BE＝12【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠DBE＝∠ACE，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACE，得到答案；（2）延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，得到FE＝BE，证明△ACD≌△ABF，得到CD＝BF，证明结论；（3）过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，分别证明△BGH ≌△DFH 、△BDE ≌△GDE ，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）∵BE ⊥CD ，∴∠E ＝90°，∴∠E ＝∠BAC ，又∠EDB ＝∠ADC ，∴∠DBE ＝∠ACE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝∠ACE ，∴∠DBE ＝∠BCD ，故答案为：∠ACE 和∠BCD ；（2）延长BE 交CA 延长线于F ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠FCE ＝∠BCE ，在△CEF 和△CEB 中，FCE BCE CE CECEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CEF ≌△CEB （ASA ），∴FE ＝BE ，在△ACD 和△ABF 中，ACD ABF AC ABCAD BAF 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△ACD ≌△ABF （ASA ），∴CD ＝BF ，∴BE ＝12CD ；（3）BE ＝12DF 证明：过点D 作DG ∥CA ，交BE 的延长线于点G ，与AE 相交于H ，∵DG ∥AC ，∴∠GDB ＝∠C ，∠BHD ＝∠A ＝90°，∵∠EDB ＝12∠C ， ∴∠EDB ＝∠EDG ＝12∠C ， ∵BE ⊥ED ，∴∠BED ＝90°，∴∠BED ＝∠BHD ，∵∠EFB ＝∠HFD ，∴∠EBF ＝∠HDF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝∠ABC ＝45°，∵GD ∥AC ，∴∠GDB ＝∠C ＝45°，∴∠GDB ＝∠ABC ＝45°，∴BH ＝DH ，在△BGH 和△DFH 中，HBG HDF BH DHBHG DHF 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△BGH ≌△DFH （ASA ）∴BG ＝DF ，∵在△BDE 和△GDE 中，BDE GDE DE DEBED GED 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△BDE ≌△GDE （ASA ）∴BE ＝EG ，∴BE ＝11BG DP 22=．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的意义，三角形全等的判定和性质等相关知识，解决本题的关键是：①熟练掌握三角形内角和定理，理清角与角之间存在的关系；②正确理解角平分线的性质③熟练掌握三角形全等的判定方法。

第12章+全等三角形知识点总结+20223-2024学年人教版数学八年级上册+

第12章全等三角形思维导图12.1全等三角形【知识点】1.能够完全重合的两个图形叫做全等形，全等形的形状相同，大小相同2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角4.两个三角形全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC△△A′B′C′.在用符号表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（用语言叙述的两个全等三角形的顶点不一定是对应顶点）5.全等三角形的对应边相等，对应角相等6.寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．（7）根据表达式找对应角、对应边时，可根据字母的顺序来确定对应关系．12.2全等三角形的判定【知识点】（一）全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”（三角形的稳定性）2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”6.【延伸】（1）有两边及第三边上的高分别相等的两个锐角三角形全等（2）有一条直角边及斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等（3）全等三角形对应边上的高相等（二）利用SSS 作一个角等于已知角如图（1）所示，已知∠AOB ，要求作一个角∠A′O′B′，使得∠A′O′B′=∠AOB作法：（1）如图（1），以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB【题型】（一）直角三角形全等的判定（二）作一个角等于已知角（三）三角形全等的判定证明题 1. （2021重庆）如图，点B,F,C,E 共线，∠B=∠E ，BF=EC ，添加一个条件，不能判定△ABC△△DEF 的是（）A.AB=DEB.△A=△DC.AC=DFD.AC//FD答案：C2.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD△△ABC，则还需要添加的一个条件是__________.答案：AD=AC（∠D=∠C或∠ABD=∠ABC或∠DBE=∠CBE）3.（2021吉林）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.答案：△ACD≌△ABE(ASA)4.（2021云南）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC=BD，AC与BD相交于点E.求证：∠DAC=△CBD答案：△ADC≌△BCD(SSS)5.（2021陕西）如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.答案：△EDB≌△ABC(SAS)6.（2021福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE△AC，DF△AB，垂足分别为E，F，且DE=DF，CE=BF.求证：∠B=∠C.答案：△DEC ≌△DFB(SAS)7.（2020吉林）如图，在△ABC 中，AB>AC ，点D 在边AB 上，且BD=CA ，过点D 作DE//AC ，并截取DE=AB ，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE.求证：△DEB△△ABC.答案：△DEB ≌△ABC(SAS)12.3角的平分线的性质【知识链接：11.1三角形的角平分线】1）定义：三角形的一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个叫的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线2）一个三角形有3条角平分线，它们都在三角形内部，且交于一点（一）角平分线的画法（依据SSS ）（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N（2）分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C（3）画射线OC ，射线OC 即为∠AOB 的角平分线（二）角平分线的性质1.角平分线上的点到角的两边的距离相等【延伸性质】AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，交AD于点G，则AD垂直平分EF2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等【证明三角形三条角平分线交于一点】设AD，BE交于一点O，作OG⊥BC，OH⊥AC，OI⊥AB则OG=OI=OH（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）因为OG=OH所以O点也在∠C的平分线上（到角的两边距离相等的点在角平分线上），即在CF 上，也就是AD，BE，CF交于一点4.三角形的两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等5.到三角形三边所在直线距离相等的点有4个【题型】（一）运用角平分线的性质证明线段相等。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质复习题(含答案) (47)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，BD 是ABC ∆的角平分线，点E 、F 分别在BC 、AB 上，且//DE AB ，//EF AC ；（1）求证：BE AF =；（2）如图，若60A C ∠=∠=︒，请写出4个面积等于ABC ∆面积一半的几何图形．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由DE ∥AB ，EF ∥AC ，可证得四边形ADEF 是平行四边形，∠ABD ＝∠BDE ，又由BD 是△ABC 的角平分线，根据角平分线的定义得到∠ABD ＝∠DBE ，等量代换得到∠DBE ＝∠BDE ，根据等腰三角形的判定定理得到BE ＝DE ，即可证得结论；（2）根据三角形中线的性质和中位线定理解答即可．【详解】证明：（1）∵DE ∥AB ，EF ∥AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∠ABD＝∠BDE，∴AF＝DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BE＝AF；（2）∵∠A＝∠C＝60°，∴AB＝BC，∵BD是△ABC的角平分线，∴BD是AC的中线，∴△ABD的面积＝△BDC的面积＝△ABC的面积的一半，∵DE∥AB，EF∥AC，∴AF＝BF，BE＝EC，∴四边形AFED的面积＝四边形FDCE的面积＝△ABC的面积的一半．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．关键是证得四边形ADEF是平行四边形．62．阅读材料并回答问题：阅读材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，∠AOB=120°，OC平分∠AOB．若∠COD=20°，请你补全图形，并求∠BOD的度数．以下是小明的解答过程：解：如图2，∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB．∴∠BOC= ∠AOB= ．∵∠COD=20°，∴∠BOD= ．小敏说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠BOC内部的情况，事实上OD还可能在∠AOC的内部”．完成以下问题：（1请你将小明的解答过程补充完整；（2）根据小敏的想法，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，此时∠BOD的度数为．；60°；40°；（2）图详见解析，80°.【答案】（1）12【解析】【分析】（1）根据角平分线性质即可解题,（2）参照上一问步骤即可解题.【详解】解：（1）∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB．∴∠BOC=12∠AOB=60°．∵∠COD=20°，∴∠BOD=40°．（2）见下图,∠BOD=∠BOC +∠COD=12∠AOB+∠COD=60°+20°=80°.【点睛】本题考查了角平分线的应用,属于简单题,熟悉角平分线性质是解题关键.63．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．(1)若BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离是多少？(2)若∠BAD＝30°，求∠B的度数．【答案】（1）4.（2）30°.【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解；根据角平分线的定义可求出∠CAB的度数，再根据三角形内角和定理即可解答.【详解】解：1）过点D作DE⊥AB于E，⊥BC=8，BD=5，⊥CD=BC-BD=10-6=4，⊥⊥C=90°，AD平分∠BAC，⊥DE=CD=4，即点D到AB的距离是4；(2) 因为AD平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠BAD＝60°.又因为∠C＝90°，所以∠B＝90°－60°＝30°.【点睛】本题考查的知识点是角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题关键是熟记性质并作出辅助线．64．如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线．求证：BD=CE．【答案】详见解析【解析】【分析】根据条件只要证明△BCE⊥⊥CBD，写出理由即可解决问题．【详解】∵AB=AC，⊥⊥ABC=⊥ACB．⊥BD，CE分别是∠ABC，⊥ACB的平分线，⊥⊥CBD12=⊥ABC，⊥BCE12=⊥ACB，⊥⊥CBD=⊥BCE．又∵BC=CB，⊥⊥BCE⊥⊥CBD，⊥BD=CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型．65．如图所示，∠1=△2=△3=△4=24°，根据图形填空：(1)是∠2的3倍的角是_________________(用字母表示)(2)是∠AOD的12的角有_________个；(3)射线OC是哪个角的3等分线?又是哪个角的4等分线?【答案】(1)⊥A0E 、⊥BOC ；(2) 4个；(3)OC 是∠AOE 的3等分线，是∠AOB 的4等分线.【解析】【分析】（1）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出是∠2的3倍的角可以解题；（2）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出图中哪些角是∠AOD 的12, （3）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出射线OC 是哪个角的三等分线、四等分线.【详解】解：（1）1234∠=∠=∠=∠12332AOE ∴∠=∠+∠+∠=∠同理：42332BOC ∴∠=∠+∠+∠=∠（2）4个；（3）∵∠1=∠2=∠3，∴OC 是∠AOE 的三等分线．同理：OC 是∠AOB 的四等分线.【点睛】本题考查了角的度数的计算，考查了角平分线和三等分线的定义，本题中不要漏解是解题的关键．66．已知，如图，OC 是AOB ∠的角平分线，2AOD BOD ∠=∠，18COD ∠=︒.请你求出BOD ∠的度数．【答案】36BOD ∠=︒.【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠BOC=12∠AOB ，根据已知条件得到∠BOD=13∠AOB ；求得∠BOD=2∠COD ，代入数据即可得到结论．【详解】∵OC 是AOB ∠的角平分线 ∴12BOC AOB ∠=∠； ∵2AOD BOD ∠=∠∴3AOB BOD ∠=∠，即13BOD AOB ∠=∠； ∴111236COD AOB AOB AOB ∠=∠-∠=∠ ∴2BOD COD ∠=∠∵18COD ∠=︒∴36BOD ∠=︒.【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟记角平分线的定义是解题的关键．67．如图所示，已知∠AOB ＝90°，∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ；（1）求∠MON ；（2）∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，求∠MON 的度数．【答案】（1）45°（2）12α 【解析】【分析】（1）由角平分线的定义及∠MON =∠MOC ﹣∠CON ，可得结论；（2）同理可得：∠MOC 12=（α+β），∠CON 12=β，根据图形便可推出∠MON =∠MOC ﹣∠CON =12α．【详解】（1）∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∴∠MOC =12∠AOC ，∠NOC =12∠BOC ． ∵∠AOC =∠AOB +∠BOC ，∴∠MON =∠MOC ﹣∠NOC =12（∠AOB +∠BOC ﹣∠BOC ）=12∠AOB ． ∵∠AOB =90°，∴∠MON =12×90°=45°．（2）同理可得：∠MOC =1()2αβ+，∠CON =12β，∴∠MON =∠MOC﹣∠CON =11()22αββ+-=12α．【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的计算，关键在于运用数形结合的思想推出∠AOC =∠AOB +∠BOC ，∠MON =∠MOC ﹣∠CON ．68．如图，O 为直线AB 上一点，OC 为射线，OD 、OE 分别为∠AOC 、∠BOC 的平分线．（1）判断射线OD 、OE 的位置关系，并说明理由；（2）若∠AOD ＝30°，求证：OC 为∠AOE 的平分线；（3）如果∠AOD ：∠AOE ＝2：11，求∠BOE 的度数．【答案】（1）垂直（2）证明见解析（3）70°【解析】【分析】由OD 、OE 分别为∠AOC 、∠BOC 的平分线，可得⊥DOE 为180°的一半，可得OD ⊥OE ；由OD 为∠AOC 的平分线和∠AOD=30°得到⊥COD=∠AOD=30°，由（1）得⊥DOE=90°，可得⊥COE=60°，又由⊥AOC=60°，可得OC 为∠AOE 的平分线；由OD ⊥OE 和∠AOD ︰∠AOE=2︰11即可求.【详解】（1）垂直∵OD、OE分别为∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠COD=12∠COA ∠COE=12∠COB.∴∠EOD=12∠COA+12∠COB=12∠AOB=90°.∴OD⊥OE.（2）∵∠AOD=30°，∴∠COD=30°.∴∠COE=90-30=60°,∠COA=60°∴∠COE=∠COA.∴OC为∠AOE的平分线.（3）∵∠AOD︰∠AOE=2︰11，∴∠AOD︰∠DOE=2︰9.∴∠AOD=20° .∴∠BOE=90°-20°=70°.【点睛】本题考查的知识点是角平分线定理，解题关键是熟记角平分线定理.69．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△CAB＝45°，（1）利用直尺和圆规完成以下作图，并保留作图痕迹．在边BC上求作一点D，使点D到AB，AC的距离相等．（不要求写作法）（2）若AC＝5，CD＝2.07，求DB和AB的长．【答案】（1）见解析（2）DB=2.93;AB=7.07【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以作∠BAC的平分线，进而得出D点位置；（2）证明Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），得AC＝AE，可得BD和AB的长．【详解】（1）如图，作∠CAB的平分线AD，交BC于D，则D为所求；（2）过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∠CAB＝45°，∴∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠B＝∠CAB＝45°，∴BE＝DE，AC＝BC，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE，∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），∴AC＝AE，∴BD＝BC﹣DC＝AC﹣DC＝5﹣2.07＝2.93，∴AB＝AE+BE＝AC+DC＝5+2.07＝7.07．【点睛】此题考查的是作图﹣基本作图，正确利用角平分线的性质以及等腰直角三角形的性质是解题关键．70．如图，∠DAE＝△ADE＝15°，DE△AB，DF△AB，若AE＝8，求线段DF的长度．【答案】4【解析】【分析】作DG⊥AC，根据DE⊥AB得到∠BAD=⊥ADE，再根据∠DAE=⊥ADE=15°得到∠DAE=⊥ADE=⊥BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．【详解】作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠DAE＝∠ADE＝15°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠BAD＝15°，∴∠DEG＝15°×2＝30°，∴ED＝AE＝8，∴在Rt△DEG中，DG＝12DE＝4，∴DF＝DG＝4．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．。

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)

条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF，在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (30)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)已知，直线//AB DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求APC ∠．（2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间AC 左侧，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，写出AKC ∠与APC ∠之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 下方，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，AKC ∠与APC ∠有何数量关系？并说明理由．【答案】（1）80APC ︒∠=；（2）12AKC APC ∠=∠，见详解；（3）12AKC APC ∠=∠，见详解【解析】【分析】（1）过点P 作//A PE B ，根据平行线的性质得到,APE BAP CPE DCP ∠=∠∠=∠，再根据APC APE CPE BAP DCP ∠=∠+∠=∠+∠计算即可；（2）过K 作//KE AB ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出AKC ∠与APC ∠的数量关系；（3）过K 作//KE AB ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出AKC ∠与APC ∠的数量关系.【详解】（1）(如图1，过点P 作//A PE B//AB CD////PE AB CD ∴,APE BAP CPE DCP ∴∠=∠∠=∠602080APC APE CPE BAP DCP ︒︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=+=（2）12AKC APC ∠=∠ 如图2，过K 作//KE AB//AB CD////KE AB CD ∴,AKE BAK CKE DCK ∴∠=∠∠=∠AKC AKE CKE BAK DCK ∴∠=∠+∠=∠+∠过点P 作//PF AB同理可得APC BAP DCP ∠=∠+∠BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K1111() , 2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠ 12AKC APC ∴∠=∠（3）12AKC APC ∠=∠ 如图3，过K 作//KE AB//AB CD////KE AB CD ∴,BAK AKE DCK CKE ∴∠=∠∠=∠AKC AKE CKE BAK DCK ∴∠=∠-∠=∠-∠过点P 作//PF AB同理可得APC BAP DCP ∠=∠-∠BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∴∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠ 12AKC APC ∴∠=∠ 【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算.92．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD =DF ．（1）求证：CF =EB ；（2）试判断AB 与AF ，EB 之间存在的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）AB ＝AF ＋2BE【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC ＝DE ，证明Rt △FCD ≌Rt △BED ，根据全等三角形的性质证明；（2）证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，根据全等三角形的性质证明．【详解】（1）证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C ＝90︒，∴DC ＝DE ，在Rt △FCD 和Rt △BED 中，DC DE DF DB ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △FCD ≌Rt △BED ，∴CF ＝EB ；（2）解：在Rt △ACD 和Rt △AED 中，DC DE AD AD ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AF ＋FC ＋BE ＝AF ＋2BE ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．93．如图，,,EF AD AD BC CE ∥∥平分,116,26BCF DAC ACF ∠∠=︒∠=︒，求FEC ∠的度数．【答案】19°．【解析】【分析】根据AD∥BC求出∠ACB，由∠ACF=26°求出∠BCF，利用角平分线的性∠.质求出∠BCE，再根据平行线的性质求出FEC【详解】∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∠ACB+∠DAC=180°，∠=︒，116DAC∴∠=︒，ACB64∵∠ACF=26°，FCB ACB ACF∴∠=∠-∠=︒，38∠，CE平分BCF∴∠=︒，19BCE∵EF∥BC，∴∠=∠，FEC ECB∴∠=︒.19FEC【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记各性质定理并正确理解图形中各角之间的位置关系是解题的关键.94．某八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究.（1）如图1，△ABC的两内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点E，求证：△BEC=90°+12∠A；（2）如图2，△ABC的内角∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACM的平分线交于点E，请写出∠E与∠A的数量关系，并证明.（3）如图3，△ABC的两外角∠DBC与∠BCF的平分线交于点E，请你直接写出∠E与∠A的数量关系，不需证明.【答案】（1）证明见解析；（2）∠A=2∠E，证明见解析；（3）∠E=90°-12∠A．【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得出∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，再由三角形内角和定理得出∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，利用等量代换即可得出结论；（2）先根据角平分线的性质得出∠EBC=12∠ABC，∠ECM=12∠ACM，再由三角形外角的性质即可得出结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】（1）∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，∴∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（12∠ABC+12∠ACB）=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-12（180°-∠A）=180°-90°+12∠A=90°+12∠A．（2）∵BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECM=12∠ACM．∵∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC，∠ECM=∠BEC+∠EBC，∴∠ECM=12∠ACM=12（∠A+∠ABC）=∠BEC+∠EBC，即12∠A+∠EBC=∠BEC+∠EBC，∴∠A=2∠B∠A=2∠C，即∠A=2∠E；（3）结论∠E=90°-12∠A．∵∠CBD与∠BCF是△ABC的外角，∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠EBC=12（∠A+∠ACB），∠ECB=12（∠A+∠ABC）．∵∠EBC+∠ECB+∠E=180°，∴∠E=180°-∠EBC-∠ECB，=180°-12（∠A+∠ACB ）-12（∠A+∠ABC ）， =180°-12∠A-12（∠A+∠ABC+∠ACB ）， =180°-12∠A-90° =90°-12∠A ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．95．（习题回顾）（1）如下左图，在ABC ∆中，BE 平分,ABC CE ∠平分,64ACB A ∠∠=︒，则BEC ∠=_________︒．（探究延伸）在ABC ∆中，AI 平分BAC ∠、BI 平分ABC ∠、CI 平分BCA ∠相交于点I ，过点I 作DI IC ⊥，交AC 于点D ．（2）如上中间图，求证：ADI AIB ∠=∠；（3）如上右图，ABC ∆外角ACE ∠的平分线CF 与BI 的延长线交于点F ． ①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由；②若90BAC ∠=︒，试说明：CI CF =．【答案】（1）122；（2）证明见详解；（3）①//DI CF ，理由见解析；②理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和为180︒和角平分线的定义，可得EBC ECB ∠+∠，再利用三角形内角和，即可求得BEC ∠的大小；（2）根据根据三角形内角和为180︒和角平分线的定义，可表达出AIB ∠，再用同样的方法表达出ADI ∠，即可证明；（3）①根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出IDC ∠和ACF ∠，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到结论；②根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出F ∠和FIC ∠,根据等腰三角形的要相等，即可得到结论.【详解】（1）在ABC ∆中，BE 平分,ABC CE ∠平分,64ACB A ∠∠=︒()()111806458?22EBC ECB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒ 18058122?BEC ∴∠=︒-︒=︒.（2）AI 平分BAC ∠、BI 平分ABC ∠，12BAI BAC ∴∠=∠，12ABI ABC ∠=∠， ()()1118022BAI ABI BAC ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠ 1902ACB =︒-∠ ∴在ABI 中，()180AIB BAI ABI ∠=︒-∠+∠11180909022ACB ACB ⎛⎫=︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭， CI 平分ACB ∠，12DCI ACB ∴∠=∠， DI IC ⊥，90DIC ∴∠=︒，1902ADI DIC DCI ACB ∴∠=∠+∠=︒+∠， ∴ADI AIB ∠=∠.（3）①DI 与CF 相平行，CF 平分ACE ∠，()11118090222ACF ACE ACB ACB ∴∠=∠=︒-∠=︒-∠，又190902IDC DCI ACB ∠=︒-∠=︒-∠， IDC ACF ∴∠=∠，∴//DI CF .②ACE ABC BAC ∠=∠+∠90ACE ABC BAC ∴∠-∠=∠=︒FCE FBC F ∠=∠+∠F FCE FBC ∴∠=∠-∠11,22FCE ACE FBC ABC ∠=∠∠=∠， ()11145222F ACE ABC ACE ABC ∴∠=∠-∠=∠-∠=︒ ()11802BIC ABC ACB ∠=︒-∠+∠ ()1180180901352=︒-︒-︒=︒ 18013545FIC ∴∠=︒-︒=︒F FIC ∴∠=∠∴CI CF =.【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线性质、三角形的外角性质的问题，主要用等量代换的思想，属中档题.96．如图，ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，//DE AC ，交BC 于点E ，20B ∠=︒，44ADC ∠=︒，求DEC ∆各内角的度数．【答案】13224DEC EDC ECD ∠=︒∠=∠=︒，【解析】【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质以及三角形的内角和定理进行计算即可得解.【详解】∵CD 是ACB ∠的角平分线∴ACD ECD ∠=∠∵//DE AC∴ACD EDC ∠=∠∴ECD EDC ∠=∠设ECD EDC x ∠=∠=∴2DEB x ∠=∵4420B BED ADC EDC ADC B ∠+∠=∠+∠∠=︒∠=︒，，∴20244x x ︒+=︒+∴24x =︒，∴24ECD EDC ∠=∠=︒∵180()DEC ECD EDC ∠=︒-∠+∠∴18048132DEC ∠=︒-︒=︒则DEC ∆各内角的度数为13224DEC EDC ECD ∠=︒∠=∠=︒，.【点睛】本题主要考查了三角形内角的计算，熟练掌握平行线的性质，角平分线及角度的和差倍分计算是解决本题的关键.97．已知，BAM ∠与ABN ∠两角的角平分线交于点P ，D 是射线BP 上一个动点，过点D 的直线分别交射线AM ，BN ，AP 于点E ，F ，C ．（1）如图1，若140BAM ∠=︒，68ABN ∠=︒，AB EF ，求BPC ∠的度数；（2）如图2，若AC BD ⊥，请探索AEF ∠与BFE ∠的数量关系，并证明你的结论；（3）在点D 运动的过程中，请直接写出AEF ∠，BFE ∠与BPC ∠这三个角之间满足的数量关系：_________________________________．【答案】（1）104BPC ∠=︒；（2）180AEF BFE ∠+∠=︒，证明详见解析；（3）2BPC AEF BFE ∠=∠+∠或2360AEF BFE BPC ∠+∠+∠=︒【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质结合三角形外角的性质即可求解；（2）设BAP PAE α∠=∠=，ABP PBF θ∠=∠=，根据角平分线的性质结合四边形内角和定理即可求解；（3）分点P 在线段BD 上和点P 在线段BD 的延长线上两种情况讨论即可求解．【详解】（1）∵PA 、PB 是∠BAM 、∠ABN 的角平分线，∴∠BAP=∠PAE=12∠BAM=1140702⨯︒=︒， ∠ABP=∠PBE=12∠ABN=168342⨯︒=︒， ∴∠BPC=∠BAP+∠ABP=7034104︒+︒=︒；（2）180AEF BFE ∠+∠=︒，理由如下：∵PA 、PB 是∠BAM 、∠ABN 的角平分线，∴设BAP PAE α∠=∠=，ABP PBF θ∠=∠=，∵AC BD ⊥，∴90BPC ∠=︒，∵BPC αθ∠=+，∴90BPC αθ∠=+=︒，又∵360AEF BFE BAE ABF ∠+∠+∠+∠=︒，∴222()360AEF BFE AEF BFE αθαθ∠+∠++=∠+∠++=︒，∴180AEF BFE ∠+∠=︒；（3）∵PA 、PB 是∠BAM 、∠ABN 的角平分线，∴设BAP PAE α∠=∠=，ABP PBF θ∠=∠=，∵360AEF BFE BAE ABF ∠+∠+∠+∠=︒，∴222()360AEF BFE AEF BFE αθαθ∠+∠++=∠+∠++=︒，如图，当点P 在线段BD 上时，BPC αθ∠=+，∴2360AEF BFE BPC ∠+∠+∠=︒；如图，当点P 在线段BD 的延长线上时，180BPC αθ∠++=︒，即180BPC αθ+=︒-∠，∴2(180)360AEF BFE BPC ∠+∠+︒-∠=︒，即2BPC AEF BFE ∠=∠+∠；【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．98．如图，在ABC 中，AD 是高线，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，50BAC ∠=︒，70C ∠=︒，求EAD ∠与BOA ∠的度数．【答案】∠EAD=5°，∠BOA=125°【解析】【分析】因为AD是高，所以∠ADC=90°，又因为∠C=70°，求出∠DAC度数，根据∠EAD=∠EAC-∠DAC可求∠EAD；因为∠BAC=50°，∠C=70°，所以∠BAO=25°，∠ABC=60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=30°，故∠BOA 的度数可求．【详解】∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∵∠C=70°∴∠DAC=180°-90°-70°=20°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12×50°=25°∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°；∵∠BAC=50°，∠C=70°∴∠BAO=25°，∠ABC=60°∵BF是∠ABC的角平分线∴∠ABO=30°∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-30°=125°．【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握其性质定义．99．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，CD 是高，AE 是ABC ∆内部的一条线段，AE 交CD 于点F ，交CB 于点E ，且CFE CEF ∠=∠．求证：AE 平分CAB ∠．【答案】详见解析【解析】【分析】根据CD AB ⊥，可得29090AFD CFE ∠=︒-∠=︒-∠，再根据余角的性质可得190ECF ∠=︒-∠，通过CFE CEF ∠=∠，即可证明21∠=∠，从而得证AE 平分CAB ∠．【详解】证明： ,CD AB ⊥∴在AFD ∆中，29090AFD CFE ∠=︒-∠=︒-∠90,ACE ∠=︒在 AEC ∆中190ECF ∴∠=︒-∠CFE CEF ∠=∠21∴∠=∠即AE平分CAB．【点睛】本题考查了角平分线的证明问题，掌握余角的性质、角平分线的性质以及判定定理是解题的关键．100．如图，在△ABC中，∠1＝110°，∠C＝80°，∠2＝1∠3，BE3平分∠ABC，求∠4的度数．【答案】∠4＝40°【解析】【分析】根据三角形的外角求出∠3，求出∠2，求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据三角形外角性质求出即可．【详解】解：②②1＝110°，②C＝80°，②3130C ∠=∠-∠=︒，②②2＝13②3， ②②2＝10°，②2340BAC ∠=∠+∠=︒，②180180408060ABC BAC C ∠︒∠-∠=︒-︒-︒=︒＝﹣，②BE 平分②ABC ， ②1302ABE ABC ∠=∠=︒， ②②4＝②ABE+②2＝30°+10°＝40°．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和三角形外角性质，能求出∠ABE 的度数是解此题的关键．。

数学人教版八年级上册第12章全等三角形第3节第二课时角的平分线的性质

求证： AD平分∠BAC .
BFAD来自E【变式】 3、已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BAC.
A
E
F
1
B
D2 C
应用新知，解决问题
1.这节课你有什么收获与体会？ 2.这节课我们学习了哪些知识要点？ 3.怎样用数学语言表达角的平分线的判定定理？
4.你还有哪些困惑？
直线的距离相等．
证明：过点P作PF⊥AB于F， PG⊥AC
于G，PM⊥BC于M
G
∵点P在∠CBF的平分线上，
∴PF＝PM
MP
同理 PM＝PG
F
∴ PF＝PM=PG
即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
课堂练习
2、已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于
F，BE、CF相交于D， BD=CD .
∴ PD＝PE
角的平分线的性质1: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
图形
已知条件
结论
DA
OP平分∠AOB
O
1 2
P C
PD⊥OA于D
EB
PE⊥OB于E
PD=PE
DA
PD=PE
O
P C PD⊥OA于D
OP平分∠AOB
EB
PE⊥OB于E
角平分线的性质2:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
BD=CD，BF⊥AC于F，
公路
CE⊥AB于E。求证：点D在 ∠BAC的角平分线上。 E B
公路
S
铁路
第2题
第3题
A
D
课后达标：
┌ F
C
写在最后

部编人教版数学八年级上学期12章知识点归纳

第12章知识点归纳一、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角、周长、面积、对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线相等二、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 三、角平分线的性质：角平分线的判定：四、三角形内角平分线的交点到五、三角形外角平分线的交点到六、到三角形三边距离相等的点是七、到三角形三边所在直线的距离相等的点是有个1、已知点A 、B 、C 三点共线，且△ABD 、△ACE 都是等边三角形，（1）求证：① BE=CD ② AM=AN（2）求∠BOD 的度数 (3) 求证:OA 平分∠BOC2、BE 、CF 是△ABC 的两条高，且BP=AC ，CQ=AB ，判断AP 与AQ 的数量关系和位置关系3、△AOB 和△COD 都是等腰直角三角形，连接AC 、BD 。

（1）判断AC 与BD 的数量关系和位置关系，并证明。

（2）将图1中的△COD 绕点O 旋转到图2的位置，问AC 1与BD 1又有怎样的关系？NMODA BECABCEFPQ4、两块大小不同的等腰直角三角板如图摆放，B、C、E在同一条直线上，连接DC（1）请找出图中的全等三角形，并证明（结论中不得含有未标识的字母），（2）求证：DC⊥BE5、BD是△ABC的中线，CE⊥BD于点E，AF⊥BD交BD的延长线于点F．（1）求证：DE=DF；（2）求证：BE+BF=2BD；（3）连AE、CF，求证：AE∥CF．6、在△ABD和△ACE中，F、G分别是AC和DB、AB和EC的交点．现有如下4个论断：①AB=AC；②AD=AE；③AF=AG；④AD⊥BD，AE⊥CE．以其中3个论断为题设，一个论断为结论，组成一个真命题，并证明．7、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE,BF,E,F为垂足。

①当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF.②将直线l绕顶点C旋转，使l与AB相交于点D，如图2，上述结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并证明。