2016年秋季新苏教版选修1-1：第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质课件

合集下载

【创新设计】高中数学(苏教版选修1-1)配套练习：第2章章末总结(含答案解析)

章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2， F1， F2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x 、 y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x 、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为是抛物线 y 2 ＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点，已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x ＋y ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、右极点 )， 4 3A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法，其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．22 例 5 已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆 x y ＝ 1 M 是椭圆上的动点，求25＋ 9 内的两定点，点MA ＋ MB 的最值．2 y 2例 6 已知 F 1、 F 2 为椭圆 x ＋ 2 ＝ 1 的上、下两个焦点， AB 是过焦点 F 1 的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为 x 2 y 2a 2－b 2＝ 1 (a>0，b>0) ． c∵ e ＝＝ 2，∴ c ＝ 2a.由双曲线的定义，得 |PF 1－ PF 2|＝ 2a ＝ c ，在△ PF 1F 2 中，由余弦定理，得：F 1 F 22＝ PF 21＋ PF 22－ 2PF 1·PF 2cos 60 °＝ (PF 1－ PF 2)2＋ 2PF 1·PF 2(1－ cos60 )°，即 4c 2＝ c 2 ＋PF 1·PF 2.①又 S △ PF 1F 2＝ 12 3，1∴ 2PF 1·PF 2sin 60 ＝°12 3，即 PF 1·PF 2＝ 48.②由①②，得 c 2＝ 16， c ＝ 4，则 a ＝ 2， b 2＝ c 2－ a 2＝ 12，2 2 ∴所求的双曲线方程为x － y ＝ 1. 4 12例 2 (1) 解过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为： y ＝ k(x －2) ．把 y ＝ k(x － 2)代入 y 2 ＝2x ， 2 2 2 2＝0，消去 y 得 k x － (4k ＋ 2)x ＋ 4k 因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k 2≠0且＝ (4k 2＋ 2)2－ 16k 4＝ 16k 2＋ 4>0 ，2 x 1x 2＝ 4， x 1＋ x 2＝ 4＋ k 2，∵ M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21 ·y 22＝ 4x 1·x 2＝ 16，而y 1·y 2<0 ，∴ y 1y 2＝－ 4.→ →， y 2)，（ 2）证明 ∵OM (x 1， y 1 )， ON ＝(x 2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ k从而 k OM＝k2－ 1k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为(x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2＋ y2＝1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2， F1， F2为左、右焦点， P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 12 3，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x、 y来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为是抛物线 y 2＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点，已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x 4 ＋y3 ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、右极点 )，A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法，其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．x2y2例 5已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆25＋9＝ 1 内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋ MB 的最值．例 6已知F、F2y2AB 是过焦点 F的一条动弦，为椭圆 x ＋＝ 1 的上、下两个焦点，1221求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为x2y2a2－b2＝1 (a>0，b>0)．c∵ e＝a＝ 2，∴ c＝ 2a.得 |PF1－ PF2|＝ 2a＝ c，在△ PF1F2中，由余弦定理，得：F1 F22＝ PF21＋ PF22－ 2PF1·PF2cos 60 °＝(PF1－ PF2)2＋ 2PF1·PF2(1－ cos60 )°，即 4c2＝ c2＋PF1·PF2.①又 S△ PF1F2＝ 12 3，1∴2PF1·PF2sin 60 ＝°12 3，即 PF1·PF2＝ 48.②由①②，得c2＝ 16， c＝ 4，则 a＝ 2， b2＝ c2－ a2＝ 12，∴所求的双曲线方程为x2－y2＝ 1.4 12例 2 (1) 解过点P(2,0)且斜率为k 的直线方程为：y＝ k(x －2) ．把 y＝ k(x － 2)代入 y2＝2x，消去 y 得 k2x2－ (4k2＋ 2)x＋ 4k2＝0，因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k2≠0且＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，2x1x2＝ 4， x1＋ x2＝ 4＋k2，∵M 、N 两点在抛物线上，∴y21·y22＝ 4x1·x2＝ 16，而 y1·y2<0 ，∴ y1y2＝－ 4.（ 2）证明→→， y2)，∵OM(x1， y1 )， ON ＝(x2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ kk2－ 1从而 k OM＝k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以 (2p,0)为圆心，半径为 2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2y2＋＝ 1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.。

2016年秋季新苏教版选修1-1：第二章圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线课件

平面内与两个定点F1，F2的距离的和的焦距．
知识点二双曲线的定义
等于常数 ( 大于 F1F2) 的点的轨迹
叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆
平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数( 小于F1F2 的正数)
的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间
第2章
圆锥曲线与方程
§2.1 圆锥曲线
学习目标
1.了解圆锥曲线的实际背景. 2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程. 3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形. 4.了解双曲线的定义和几何图形．
栏目索引
知识梳理题型探究当堂检测
自主学习重点突破自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
椭圆的定义
由正弦定理可得AC＋AB＝2BC. 又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．
解析答案
(2)指出轨迹的焦点和焦距．
解椭圆的焦点为B、C，焦距为10.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
在△ABC中，BC＝24，AC、AB边上的中线长之和等于39，
解析答案
返回
当堂检测
1
2
3
1. 平面内到两个定点 F1( － 3,0) ， F2(3,0) 的距离之和为 6 的点的轨迹是
线段F1F2 __________. 解析设动点为 P ，由题意知， PF1 ＋ PF2 ＝ F1F2 ，故点 P 必在线段
F1F2上.
解析答案
1
2
3
2.已知点 M(x，y)的坐标满足 x－12＋y－12－ x＋32＋y＋32＝± 4，则

高二数学课本《选修11第二章圆锥曲线与方程》

高二数学课本《选修1-1第二章圆锥曲线与方程》高二数学课本《选修1-1》第二章圆锥曲线与方程在本章中，我们将探索圆锥曲线与方程之间的关系。

圆锥曲线是平面几何中的重要主题，而通过引入方程，我们可以更精确地描述这些曲线的性质。

一、引言圆锥曲线是平面几何中的一个基本主题。

椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线都是平面上的点满足某种条件的轨迹。

通过引入方程，我们可以对这些曲线进行精确的描述和分类。

二、基本概念1.圆锥曲线的定义：圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，一个动点在满足某种条件的限制下，沿着一条具有特殊形状的轨迹运动所形成的图形。

2.圆锥曲线的方程：对于每种圆锥曲线，我们可以使用一个二元二次方程来表示。

例如，椭圆方程可以表示为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中a、b、c、d是椭圆的主要参数。

三、主要内容1.椭圆的定义和方程：椭圆是一种常见的圆锥曲线，它描述了一个动点在两个固定点（焦点）之间移动的轨迹。

椭圆的方程可以写为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。

2.双曲线的定义和方程：双曲线也是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和无穷远点之间的轨迹。

双曲线的方程可以写为(x-a)^2/b^2 - (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。

3.抛物线的定义和方程：抛物线是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和一条直线（准线）之间的轨迹。

抛物线的方程可以写为y^2 = 2px或x^2 = 2py，其中p是抛物线的焦参数。

4.圆锥曲线的性质：通过观察圆锥曲线的方程，我们可以得出一些重要的性质，例如范围、对称性和离心率等。

这些性质有助于我们更好地理解和应用圆锥曲线。

四、方法与技巧1.代数方法：通过代入坐标到圆锥曲线的方程中，我们可以得到点的位置，从而通过代数方法解决问题。

2016年秋季新苏教版选修1-1：第二章圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质课件

2
2
(1)求 PF1 的最小值和最大值；
解析答案
x2 y2 (2)在椭圆25＋ 5 ＝1 上求一点 P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直.
解析答案
返回
当堂检测
1
2
3
x2 y2 1.若双曲线13－12＝1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13，则点 P 到右准 13 线的距离为________. 5
第2 章
圆锥曲线与方程
§ 2.5 圆锥曲线的共同性质
学习目标
1.了解圆锥曲线的统一定义.
2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.
栏目索引
知识梳理题型探究当堂检测
自主学习重点突破自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
圆锥曲线的统一方程
a2 在平面直角坐标系中，有定点 F(c,0)，定直线 l：x＝ c (a>0，c>0)，圆锥曲线上任意一点 P(x，y)，定义点 P 到点 F 的距离为 PF，点 P 到直线 l PF c 的距离为 d，则称 d ＝e(e 为离心率，且 e＝a)为圆锥曲线的统一方程.
解析答案
1
2
3
→ → 3.已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点.满足MF1· MF2＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.
解析答案
课堂小结
1. 当题目中出现圆锥曲线上的点与焦点的距离即焦半径，焦点弦长有
关问题时，常利用圆锥曲线的统一定义(即第二定义)，转化为点到准线
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一
例1
统一定义的简单应用
x2 y2 椭圆25＋ 9 ＝1 上有一点 P，它到左准线的距离等于 2.5，那么，P 到

(选修1-1教案)2.1圆锥曲线

第二章圆锥曲线与方程本章内容在日常生活中，我们接触过许许多多的曲线，有的可能有印象，有的可能没有印象了.例如，油罐汽车上装油罐的截面，其周界就是椭圆；喷泉喷出的水形成的曲线就是抛物线；拉开休闲服的拉链，动点的轨迹就是双曲线.对椭圆、抛物线、双曲线以及我们过去学过的圆，还可以从平面截圆锥的操作过程来认识.用平面去截圆锥，由于截面与圆锥轴的夹角不同，所得截面的周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，所以人们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.实践证明，圆锥曲线对人类社会的进步和发展是有用的.例如，神州宇宙飞船的运行轨道就是椭圆，发电站的冷却塔的轴截面两侧边沿是双曲线.既然圆锥曲线有用，人类就要研究它们.本章我们将用坐标方法探究椭圆、抛物线和双曲线.高考目标考情考法在这些年的高考中，在全国卷、各省（市、自治区）卷中，每张卷上都能见到围绕圆锥曲线命题的试题，小题、大题都有，小题的难度处在中等水平，大题一般都是把直线与圆锥曲线结合在一起，对往往是压轴题，一题多问，难度都比较大.一个目标：渗透解析几何的基本思想.一条主线：展示背景，形成曲线概念；建立方程，研究曲线性质.2.1 圆锥曲线在广袤无垠的宇宙中有着无数大小不一、形态各异的天体，如太阳、月亮、星星……随着人类逐渐步入璀璨夺目的宇宙，我们已有幸欣赏到有条不紊、翩翩起舞的星球的“舞步”.目前的研究表明，天体数量越多，轨迹的种类也就越多，其中5个天体可能组成的轨迹至少有18种，而其它一些复杂的“太空舞步”竟有799种之多.其中有些天体运行的“舞步”就是我们这一节所要研究的椭圆、双曲线和抛物线.教学目标：知识目标：通过本节的学习，了解圆锥曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.能力目标：通过本节的学习，理解三种圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状.情感目标：通过本节的学习，从整体上认识三种圆锥曲线及其内在联系，并感受数学与现实生活的密切联系，激发学习数学的兴趣和信心.教学重点：三种圆锥曲线的定义. 教学难点：三种圆锥曲线的定义理解. 授课类型：新授课.教具准备：多媒体课件. 课时安排：1课时. 教学过程：一、问题情境圆锥曲线与科研、生产和生活有着密切的关系，早在16与17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜就是由抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线；……. 那么，什么是椭圆？什么是双曲线？什么是抛物线？这就是我们这一节所要研究的问题.（引入新课，板书课题）二、建构数学1.圆锥面的概念圆锥面可看成是一条直线绕着与它相交的一条定直线（两条直线不互相垂直）旋转一周所形成的曲面.2.圆锥面的截线的形状多媒体演示；学生用准备好的材料（细绳、图钉、铅笔等）画椭圆，并在此基础上得出椭圆的定义.3.圆锥曲线的定义（1）椭圆的定义（参见课本P24）.关于椭圆定义的理解.定义中有两个关键词：平面内，常数大于12F F . ①若去掉“平面内”，其余条件不变，则动点的轨迹是空间图形，而不是平面图形. ②常数后加上大于12F F 是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为一条线段或无轨迹.设常数为2a ，122F F c =，则椭圆上的点P 满足集合12{|2, 2>P P PF PF a a =+=12}F F ，其中>0a ，>0c ，且a 、c 均为常数.当2>2a c 时，集合P 为椭圆；当22a c =时，集合P 为线段1F F ；当2<2a c 时，集合P 为空集. （2）双曲线的定义（参见课本P24）.关于双曲线定义的理解.定义中有两个关键词：平面内，常数小于12F F .①若去掉“平面内”，其余条件不变，则动点的轨迹是空间图形，而不是平面图形. ②注意“距离之差的绝对值”和“122<a F F ”.这两点与椭圆的定义有本质的区别，若12122<PF PF a F F -=，则点P 的轨迹仅为靠近双曲线焦点2F 这一侧的一支；若21122<PF PF a F F -=，则点P 的轨迹仅为靠近双曲线焦点1F 这一侧的一支.而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“距离之差的绝对值”. （3）抛物线的定义（参见课本P24）.关于抛物线定义的理解.①抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一动，即一个动点，设为P ；三定，即一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即抛物线的准线；一个定值，即点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等（定值）.②定点F 不能在直线l 上，否则，动点P 的轨迹就不是抛物线，而是过点F 且垂直于直线l 的一条直线.椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线. 三、数学应用例1 已知动圆P 过定点(3,0)A -，并且在定圆C ：22(3)64x y -+=的内部与定圆C 相切，则动圆的圆心P 的轨迹是什么图形？引导学生分析解题思路：欲确定动圆圆心P 的轨迹，可先确定点P 所满足的几何特征，然后判断其轨迹. 解：（略）答案：椭圆. 练习：课本P24 练习第3题.例2 若动点M 到点(3,0)F 的距离等于它到直线3x =-的距离，则动点M 的轨迹是什么图形？解：（略）答案：抛物线. 练习：课本P24 练习第2题.备选例题例3 已知1(4,3)F -，2(2,3)F 为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当2a =或3a =时，求动点P 的轨迹.引导学生分析，条件中有“12PF PF -”，联想双曲线的定义，分别确定当2a =或3a =时12PF PF -与12F F 的大小关系，进而确定动点P 的轨迹.解：（略）答案：当2a =时，动点P 的轨迹是双曲线的一支（靠近焦点2F ）；当3a =时，动点P 的轨迹是射线2F P . 四、本节小结：（略）五、板书设计：（略）六、布置作业：课本P25 习题2.1 第1、2题. 七、教后反思：。

2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程 2.2.2

得 e＝ 3－1.
【答案】
3－1
[探究共研型]
直线与椭圆的综合应用
x 2 y2 探究 1 已知直线 y＝kx＋m 和椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)，如何判断直线与椭圆的位置关系？
【提示】 kx＋m y＝由 x2 y 2 得(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，设该二次＋＝1 a2 b2
【答案】 (1) 2－1
5 (2) 3
求椭圆离心率及范围的两种方法 c (1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e＝a求解.若已知 a，b 或 b，c 可借助于 c a ＝b ＋c 求出 c 或 a，再代入公式 e＝a求解.
2 2 2
(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2＝b2＋c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围.
由椭圆的几何性质求方程
(1)(2016· 徐州高二检测)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴 3 上，离心率为 2 ，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为________. (2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为 3，则椭圆的标准方程为________.
பைடு நூலகம்
方程的判别式为 Δ，若 Δ＞0，则直线与椭圆有两个交点；若 Δ＝0，则直线与椭圆有一个交点；若 Δ＜0，则直线与椭圆没有交点.
探究 2 如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究 1 中得到的关于 x 的二次方程有什么关系？【提示】探究 1 中得到的关于 x 的二次方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2) ＝0 的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标.

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程讲义新人教A版选修

2．3.1 双曲线及其标准方程1．双曲线 (1)定义□01平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述设点M 是双曲线上任意一点，点F 1，F 2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□02P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a <|F 1F 2|}． 2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax 2＋By 2＝1(其中AB <0)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线x 24－y 216＝1上一点M 到左焦点的距离为8，则点M 到右焦点的距离为________．(2)双曲线x 2－4y 2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P 55T 1)已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________． (4)下列方程表示焦点在y 轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x 2－y 22＝1；②x 2a ＋y 22＝1(a <0)；③y 2－3x 2＝1；④x 2cos α＋y 2sin α＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案 (1)4或12 (2) 5 (3)x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1(4)②③④解析 (3)∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝2 6. 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1.探究1 双曲线标准方程的认识例1 若θ是第三象限角，则方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆[解析] 曲线方程可化为x 2cos θ＋y 2cos θsin θ＝1，θ是第三象限角，则cos θ<0，cos θsin θ>0，所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线．故选A.[答案] A 拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【跟踪训练1】若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线答案 C 解析原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点；(2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2. [解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3522b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4732a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． ∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3522a 2－4b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4732b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由已知可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，代入点P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，①又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1. [解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？解 ∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.探究3 双曲线定义的应用例3 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有①定义：|r 1－r 2|＝2a .②余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ. ③面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】 (1)已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．解由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图象可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2，因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)或|PF 2|＝33.(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.探究4 与双曲线有关的轨迹问题例4 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．并指出表示什么曲线．[解] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<AB .∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线右支且除去点(2，0)．拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)．【跟踪训练4】如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1， |MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<|F 1F 2|＝10， ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，∴b ＝912，∴点M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了；(2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形；(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置；(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞) D．(－∞，－1) 答案 B解析依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.2．已知双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7) 答案 B解析由双曲线的标准方程可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，故c ＝5.又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 答案 B解析 ∵A ，B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a . ∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .4．焦点在y 轴上，a ＝3，c ＝5的双曲线方程为________．答案y 29－x 216＝1 解析 ∵b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16，又焦点在y 轴上， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.5．已知双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则word- 11 - / 11 双曲线的方程为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24，2c ＝26. ∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25. 双曲线的方程为x 2144－y 225＝1；若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系．则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。

高中数学(苏教版选修1-1)第2章圆锥曲线与方程双曲线1

1.了解双曲线标准方程的推导过程.(难点)2.掌握双曲线两种标准方程的形式.(重点)[基础·初探]教材整理双曲线的标准方程阅读教材P 37～P 38例1以上部分，完成下列问题.1.判断正误：(1)x 22－y 23＝1表示焦点在y 轴上的双曲线.( ) (2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)×.方程x 22－y 23＝1表示焦点在x 轴上的双曲线.(2)×.当a ＝b 时方程也表示双曲线.(3)×.双曲线的标准方程中a ，b 的大小关系不确定. 【答案】 (1)× (2)× (3)×2.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，c a ＝32，则C 的方程是________.【解析】右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3. 又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】 x 24－y 25＝1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (3)与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1).【精彩点拨】 (1)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，利用待定系数法求解；(2)已知焦点坐标，设双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0＜λ＜6)，把点(－5,2)的坐标代入求解；(3)根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求.【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5，所以⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝12569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19，所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)因为双曲线的焦点在x 轴上，c ＝6，所以设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0＜λ＜6).因为双曲线过点(－5,2)，所以25λ－46－λ＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去).所以所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.(3)由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).∵两双曲线有相同焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上.∴4a 2－1b2＝1.② 由①、②联立，得a 2＝b 2＝3. 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论.(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求.[再练一题]1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22).【解】 (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9. ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝124m ＋8n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝18n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1.已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型.【精彩点拨】由方程满足圆、椭圆、双曲线的条件，对k 的值分类讨论，确定曲线类型. 【自主解答】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆.将方程化为标准方程的形式，假如方程为x 2m ＋y2n＝1，(1)当mn <0时，方程表示双曲线.若⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线.(2)当mn >0且m >0，n >0，m ≠n 时表示椭圆. (3)当m ＝n >0时表示圆.[再练一题]2.(1)双曲线x 2－y 2k＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k 的值为________.【导学号：24830034】(2)若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________.【解析】 (1)由已知c ＝2，∴c 2＝a 2＋b 2即1＋k ＝4，∴k ＝3.(2)由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2.【答案】 (1)3 (2)－3<k <－2[探究共研型]探究1 式来表示双曲线的定义吗？【提示】平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线.用数学式可表示为|PF 1－PF 2|＝2a (2a ＜F 1F 2)探究2 设∠F 1PF 2＝θ，类比上一节对椭圆中焦点三角形的讨论，能否用双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的参数来表示三角形PF 1F 2的面积？【提示】在三角形PF 1F 2中，F 1F 2＝2c .由余弦定理可得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos θ＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos θ)，即4c 2＝4a 2＋2PF 1·PF 2(1－cos θ)，所以PF 1·PF 2＝2b 21－cos θ，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin θ＝b 2sin θ1－cos θ.探究3 设点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则三角形PF 1F 2叫做该双曲线的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？【提示】要注意充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式.如图2-3-1所示，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°；S △F 1PF 2＝12 3.求双曲线的标准方程.图2-3-1【精彩点拨】设出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式构建方程组，解之可得双曲线的标准方程.【自主解答】由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由于|PF 1－PF 2|＝2a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2－F 1F 222PF 1·PF 2所以PF 1·PF 2＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4. 所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.1.在椭圆或双曲线中，凡涉及以两焦点和椭圆或双曲线上一点为顶点的三角形(称为焦点三角形)的问题，一般都可以从圆锥曲线的定义和勾股定理(或正、余弦定理)等知识入手来解决问题.2.在解题过程中，应注意到椭圆与双曲线定义的不同，配方时，一个配成(PF 1＋PF 2)2，另一个配成(PF 1－PF 2)2.[再练一题]3.设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若PF 1∶PF 2＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为________.【导学号：24830035】【解析】由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1－PF 2|＝2，又PF 1∶PF 2＝3∶2， ∴PF 1＝6，PF 2＝4.又F 1F 2＝2c ＝213. 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形为直角三角形.∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.【答案】 12[构建·体系]1.双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距为________.【解析】 c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8. 【答案】 82.满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________. 【解析】由a ＝2，c ＝4，得b 2＝c 2－a 2＝12，又一焦点(4,0)在x 轴上， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.【答案】 x 24－y 212＝13.双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为________.【解析】 ∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得|PF 1－PF 2|＝10，由题意知PF 1＝12， ∴|PF 1－PF 2|＝±10，∴PF 2＝22或2. 【答案】 22或24.设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且PF 1∶PF 2＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于________.【解析】依题意F 1F 2＝6，PF 2－PF 1＝2，因为PF 1∶PF 2＝3∶4，所以PF 1＝6，PF 2＝8，所以等腰△PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝8 5.【答案】 8 55.如图2-3-2所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.图2-3-2【解】圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1；圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程是x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

高中数学苏教版教材目录(必修+选修)

苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2."1.1函数的概念和图象2."1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2."2.1函数的单调性2."2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3."1.1分数指数幂3."1.2指数函数3.2对数函数3."2.1对数3."2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3."4.1函数与方程3."4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1."1.1棱柱、棱锥和棱台1."1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1."3中心投影和平行投影1."1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1."2.1平面的基本性质1.2."2空间两条直线的位置关系1."平行直线2."异面直线1.2."3直线与平面的位置关系1."直线与平面平行2."直线与平面垂直1.2."4平面与平面的位置关系1."两平面平行2."平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1."3.1空间几何体的表面积1."3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2."1.1直线的斜率2."1.2直线的方程1."点斜式2."两点式3."一般式2.1."3两条直线的平行与垂直2."1.4两条直线的交点2."1.5平面上两点间的距离2.1."6点到直线的距离2.2圆与方程2."2.1圆的方程2."2.2直线与圆的位置关系2."2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2."3.1空间直角坐标系2."3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1."2.1顺序结构1."2.2选择结构1."2.3循环结构1.3基本算法语句1."3.1赋值语句1."3.2输入、输出语句1."3.3条件语句1.3."4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2."1.1简单随机抽样1."抽签法2."随机数表法2."1.2系统抽样2."1.3分层抽样2.2总体分布的估计2."2.1频率分布表2."2.2频率分布直方图与折线图2."2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2."3.1平均数及其估计2."3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3."1.1随机现象3."1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1."1.1任意角1."1.2弧度制1.2任意角的三角函数1."2.1任意角的三角函数1."2.2同角三角函数关系1.2."3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1."3.1三角函数的周期性1."3.2三角函数的图象与性质1.3."3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1."3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2."2.1向量的加法2."2.2向量的减法2."2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2."3.1平面向量基本定理2."3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1."1两角和与差的余弦3.1."2两角和与差的正弦3."1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5-----------------------------------第1章解三角形1．"1正弦定理1．"2余弦定理1．"3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．"1数列2．"2等差数列2."2.1等差数列的概念2."2.2等差数列的通项公式2.2."3等差数列的前n项和2．"3等比数列2."3.1等比数列的概念2."3.2等比数列的通项公式2.3."3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3."1二元一次不等式表示的平面区域3."3.2二元一次不等式组表示的平面区域3.3."3简单的线性规划问题3．4基本不等式ab a b(a0,b0)3."4.1基本不等式的证明23.4."2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1----------------------------------- 第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1."1.1四种命题1."1.2充分条件和必要条件1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1."3.1量词1."3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2."2.1椭圆的标准方程2."2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2."3.1双曲线的标准方程2."3.2双曲线的几何性质2．4抛物线2."4.1抛物线的标准方程2."4.2抛物线的几何性质2．5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用3．1导数的概念3."1.1平均变化率3."1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3."2.1常见函数的导数3."2.2函数的和、差、积、商的导数3．3导数在研究函数中的应用3."3.1单调性3."3.2极大值和极小值3.3."3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2----------------------------------- 第1章统计案例1．1独立性检验1．2回归分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2."1.1合情推理2."1.2演绎推理2."1.3推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明2."2.1直接证明2."2.2间接证明第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．"1命题及其关系1."1.1四种命题1."1.2充分条件和必要条件1．"2简单的逻辑联结词1．"3全称量词与存在量词1."3.1量词1."3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程2．"1圆锥曲线2．"2椭圆2."2.1椭圆的标准方程2."2.2椭圆的几何性质2．"3双曲线2."3.1双曲线的标准方程2."3.2双曲线的几何性质2．"4抛物线2."4.1抛物线的标准方程2."4.2抛物线的几何性质2．"5圆锥曲线的统一定义2．"6曲线与方程2."6.1曲线与方程2."6.2求曲线的方程2."6.3曲线的交点第3章空间向量与立体几何3．"1空间向量及其运算3."1.1空间向量及其线性运算3."1.2共面向量定理3.1."3空间向量基本定理3."1.4空间向量的坐标表示3."1.5空间向量的数量积3．"2空间向量的应用3."2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2."2空间线面关系的判定3."2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．"1导数的概念1."1.1平均变化率1."1.2瞬时变化率——导数1．"2导数的运算1."2.1常见函数的导数1."2.2函数的和、差、积、商的导数1.2."3简单复合函数的导数1．"3导数在研究函数中的应用1."3.1单调性1."3.2极大值和极小值1.3."3最大值和最小值1．"4导数在实际生活中的应用1．"5定积分1."5.1曲边梯形的面积1."5.2定积分1."5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．"1合情推理与演绎推理2."1.1合情推理2."1.2演绎推理2."1.3推理案例欣赏2．"2直接证明与间接证明2."2.1直接证明2."2.2间接证明2．"3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．"1数系的扩充3．"2复数的四则运算3．"3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．"1两个基本原理1．"2排列1．"3组合1．"4计数应用题1．"5二项式定理1."5.1二项式定理1."5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2."3.1条件概率2."3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差5.1离散型随机变量的均值2.5."2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1相似三角形的进一步认识1.1."1平行线分线段成比例定理1.1."2相似三角形1.2圆的进一步认识1.2."1圆周角定理1.2."2圆的切线1.2."3圆中比例线段2."4圆内接四边形1.3圆锥截线1.3."1球的性质1.3."2圆柱的截线1.3."3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1二阶矩阵与平面向量2.1."1矩阵的概念2.1."2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2几种常见的平面变换2.2."1恒等变换2.2."2伸压变换2."3反射变换2.2."4旋转变换2.2."5投影变换2.2."6切变变换2.3变换的复合与矩阵的乘法2.3."1矩阵乘法的概念2.3."2矩阵乘法的简单性质2."4逆变换与逆矩阵2.4."1逆矩阵的概念2.4."2二阶矩阵与二元一次方程组2.5特征值与特征向量2.6矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1直角坐标系4.1."1直角坐标系4.1."2极坐标系4.1."3球坐标系与柱坐标系4.2曲线的极坐标方程4.2."1曲线的极坐标方程的意义4.2."2常见曲线的极坐标方程4.3平面坐标系中几种常见变换4.3."1平面直角坐标系中的平移变换4.3."2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4参数方程4.4."1参数方程的意义4.4."2参数方程与普通方程的互化4.4."3参数方程的应用4.4."4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1不等式的基本性质5.2含有绝对值的不等式5.2."1含有绝对值的不等式的解法5.2."2含有绝对值的不等式的证明5.3不等式的证明5.3."1比较法5.3."2综合法和分析法5.3."3反证法5.3."4放缩法5.4几个著名的不等式5.4."1柯西不等式5.4."2排序不等式5.4."3算术-几何平均值不等式5.5运用不等式求最大（小）值5.5."1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5."2运用柯西不等式求最大（小）值5."6运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。

高中数学(苏教版选修1-1)第2章圆锥曲线与方程抛物线1

1.了解抛物线的标准方程.2.会求抛物线的标准方程.(重点、难点)[基础·初探]教材整理抛物线的标准方程阅读教材P 47～P 48例1以上部分，完成下列问题.1.判断正误：(1)标准方程y 2＝2px (p ＞0)中p 的几何意义是焦点到准线的距离.( ) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.( ) (3)x 2＝－2y 表示的抛物线开口向左.( )【解析】 (1)√.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，故焦点到准线的距离是p . (2)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确.(3)×.x 2＝－2y 表示的抛物线开口向下. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×2.焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为________. 【解析】由题意知p ＝2×2＝4，焦点在y 轴正半轴上， ∴方程为x 2＝2×4y ，即x 2＝8y . 【答案】 x 2＝8y[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.【精彩点拨】【自主解答】 (1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0).又－p2＝－2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0). ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .求抛物线方程的主要方法是待定系数法(1)若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可； (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.注意：焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0).[再练一题]1.(1)焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程为________.(2)顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为________. 【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝⎛⎭⎫m 2，0.∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，∴m 24×4＝1，求得m ＝±4，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .(2)设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)，将(2,2)代入得m ＝2，∴抛物线方程为y 2＝2x . 【答案】 (1)y 2＝8x 或y 2＝－8x (2)y 2＝2x求下列抛物线的焦点坐标准线方程：(1)y ＝14x 2；(2)x ＝1ay 2(a ≠0)【导学号：24830043】【精彩点拨】【自主解答】 (1)抛物线y ＝14x 2的标准形式为x 2＝4y ，所以p ＝2，所以焦点坐标是(0,1)，准线方程是y ＝－1.(2)抛物线x ＝1a y 2的标准形式为y 2＝ax ，所以p ＝a2，故焦点在x 轴上，坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4.求抛物线焦点坐标和准线方程的步骤：[再练一题]2.求抛物线ay 2＝x (a ≠0)的焦点坐标与准线方程.【导学号：24830044】【解析】把抛物线ay 2＝x (a ≠0)方程化为标准形式为y 2＝1a x ，所以抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a.[探究共研型]探究1 【提示】平面内到一定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.设抛物线上任意一点P ，点P 到直线l 的距离为PD ，则抛物线的定义可表示为PF ＝PD .探究2 抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 的横坐标为x 0，那么点P 到其焦点F 的距离是什么？【提示】抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，根据抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以点P 到其焦点F 的距离为PF ＝x 0－⎝⎛⎭⎫－p 2＝x 0＋p 2. 探究3 探究2中得到的用点P 的横坐标表示其到焦点的距离的公式称为抛物线的焦半径公式，对于其它三种形式的方程的焦半径公式是什么？【提示】设抛物线上一点P 的横坐标为x 0，对于抛物线y 2＝－2px (p ＞0)，PF ＝⎝⎛⎭⎫－p2－x 0；设抛物线上一点P 的纵坐标为y 0，对于抛物线x 2＝2py (p ＞0)，PF ＝y 0－⎝⎛⎭⎫－p 2＝y 0＋p2；设抛物线上一点P 的纵坐标为y 0，对于抛物线x 2＝－2py (p ＞0)，PF ＝⎝⎛⎭⎫－p2－y 0. 探究4 通过以上探究，你得到了什么启示？【提示】当题目中涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般转化为抛物线上的点到准线的距离较为简单，这样就将两点间的距离转化为点到直线的距离，将二次问题转化为一次问题.已知抛物线的方程为y2＝2x，F是其焦点，点A(4,2)，是否存在M，使MA＋MF取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.【精彩点拨】【自主解答】如图，由于点M在抛物线上，所以MF等于点M到其准线l的距离MN，于是MA＋MF＝MA＋MN，所以当A，M，N三点共线时，MA＋MN取最小值，亦即MA＋MF取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0,2)代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2).1.此类题目的实质是抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，从而化曲为直，利用点到直线的距离求最小值.2.涉及抛物线上任意一点P与平面上的定点A以及抛物线焦点F的距离和P A＋PF的最小值问题，有以下处理思路：(1)若点A在抛物线外部，则直线F A与抛物线的交点P使得P A＋PF最小，其最小值为AF；(2)若点A在抛物线内部，则过A点作与准线l垂直的直线，它与抛物线的交点为P，则P A＋PF最小，其最小值为点A到准线l的距离.[再练一题]3.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________.【解析】如图，由抛物线定义知P A＋PQ＝P A＋PF，则所求距离之和的最小值转化为求P A＋PF的最小值，则当A、P、F三点共线时，P A＋PF取得最小值.又A (0,2)，F ⎝⎛⎭⎫12，0， ∴(P A ＋PF )min ＝AF ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.【答案】172[构建·体系]1.抛物线x 2＝－16y 的焦点坐标是________.【解析】 p2＝4，焦点在y 轴上，开口向下，焦点坐标应为⎝⎛⎭⎫0，－p 2，即(0，－4). 【答案】 (0，－4)2.抛物线y ＝14x 2的准线方程是________.【解析】由y ＝14x 2得x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.【答案】 y ＝－13.抛物线y 2＝2x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是________.【导学号：24830045】【解析】准线x ＝－12，∴x M ＋12＝1，∴x M ＝12.【答案】 124.(2016·鄂州高二检测)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是________. 【解析】 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴p ＝94，p ′＝23，∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y .【答案】 y 2＝－92x 或x 2＝43y5.抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标.【解】设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6).我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

新苏教版数学(选修1-1)本章练测：第2章-圆锥曲线与方程(含答案)

3.设抛物线
的焦点为 F ，准线为 l ， P 为抛物线上一点， PA⊥ l， A 为垂足，如果直线 AF 的
斜率为
，那么 PF ＝．
4. 以椭圆
的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是．
5. 设
为双曲线
x2 -
y2 = 1 上一动点，
4
为坐标原点，
为线段
的中点，则点
的轨迹方程是．
6.已知 A（ 3， 2）， B（ -4， 0）， P 是椭圆
x2 y2 a2 - b2 = 1
的离心率为，若右准线与两条渐近
线相交于
两点，为右焦点，△
为等边三角形．
（ 1）求双曲线的离心率的值；
7. 已知椭圆
x2 +
a2
y2 b2
= 1( a > b > 0) ，直线
原点），则函数
的奇偶性是．
上一点，则 PA+PB 的最大值为．
交椭圆于
两点，△
的面积为（为
8. 以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点
，椭圆的左焦点为，且直
线与此圆相切，则椭圆的离心率
为．
9.若点 O 和点 F 分别为椭圆
第 2 章圆锥曲线与方程（苏教版选修 1-1 ）
建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用时 120 分钟
实际用时
满分 160 分
实际得分
一、填空题 ( 本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 )
x2 y2 1. 若椭圆 2 2 1(a b 0) 的离心率是
3 ，则双曲线
x2
2
y2
2
1的离心率是．
ab
2
ab

苏教版高中数学选修1-1第2章圆锥曲线与方程.docx

第2章圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义.2.能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．1．圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的一条定直线l (两条直线不互相垂直)旋转一周所形成的________．其中直线l 叫做圆锥面的轴．2．圆锥面的截线的形状在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥顶点的截面与轴所成的角为α，则α＝π2时，截线的形状是圆；当θ<α<π2时，截线的形状是椭圆；0≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝θ时，截线的形状是抛物线．3．椭圆的定义平面内与________________________________等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的________．两焦点间的距离叫做椭圆的________．4．双曲线的定义平面内与____________________________________________等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F 1，F 2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．5．抛物线的定义平面内__________________________________________________________________的轨迹叫做抛物线，__________叫做抛物线的焦点，____________叫做抛物线的准线．6．椭圆、双曲线、抛物线统称为____________．一、填空题1．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4 (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹为________．2．方程5(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|所表示的曲线是________．3．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从焦点F 2向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，延长F 2P 交F 1M 的延长线于G ，则P 点的轨迹为__________(写出正确的所有序号)．①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹是____________．5．一动圆与⊙C1：x2＋y2＝1外切，与⊙C2：x2＋y2－8x＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为__________．6．若点P到F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹表示的曲线是____．7．设定点F1(－7,0)，F2(7,0)，动点P(x，y)满足条件|PF1－PF2|＝14，则动点P的轨迹是________________________________________________________________________．8．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点当点A运动时点P的轨迹是________．二、解答题9．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，求证：圆心P的轨迹是椭圆．10.已知动圆M与圆C：(x＋2)2＋y2＝2相内切，且过点A(2,0)，求动圆圆心M的轨迹．能力提升11．动点M到y轴的距离比它到定点F(3,0)的距离小1，试判断M点的轨迹．12．在相距1 500 m的A、B两个观察站，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速为340 m/s，在A观察站听到爆炸声的时间比在B观察站听到的时间晚4 s，试判断爆炸点在什么曲线上？1．圆锥曲线的定义是解决问题的基础和灵魂，要善于转化问题，应用定义．2．注意圆锥曲线定义中的附加条件，对条件转化时要等价．第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线知识梳理1．曲面3．两个定点F1，F2的距离的和焦点焦距4．两个定点F1，F2距离的差的绝对值焦点焦距5．到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点定点F定直线l 6．圆锥曲线作业设计1．椭圆解析由已知，得PA ＝PB ，PF ＋BP ＝2，∴PA ＋PF ＝2，且PA ＋PF>AF ，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆．2．抛物线解析由题意知(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|5. 左侧表示(x ，y)到定点(－2,1)的距离，右侧表示(x ，y)到定直线3x ＋4y －12＝0的距离，故动点轨迹为抛物线．3．①解析∵∠F 2MP ＝∠GMP且F 2P ⊥MP.∴F 2P ＝GP ，MG ＝MF 2取F 1F 2中点O ，连结OP ，则OP 为△GF 1F 2的中位线．∴OP ＝12F 1G ＝12(F 1M ＋MG) ＝12(F 1M ＋MF 2)．又M 在椭圆上，∴MF 1＋MF 2＝常数，设常数为2a ，则OP ＝a ，即P 在以F 1F 2的中点为圆心，a 为半径的圆上．4．椭圆5．双曲线的一支6．抛物线解析由题意知P 到F 的距离与到直线x ＝－4的距离相等，由抛物线定义知，P 点的轨迹是抛物线．7．两条射线8．椭圆9．证明设PB ＝r.∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距PA ＝10－r ，即PA ＋PB ＝10(大于AB)．∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．10．解设动圆M 的半径为r ，∵圆C 与圆M 内切，点A 在圆C 外，∴MC ＝r －2，MA ＝r ，∴MA －MC ＝2，又∵AC ＝4>2，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支．11．解动点M到y轴的距离比它到定点F的距离小1，相当于动点M到直线x＝－1的距离与它到定点F的距离相等(如图)．由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线．12．解设爆炸点为P，由已知可得：PA－PB＝340×4＝1 360.因为AB＝1 500>1 360，又PA>PB，所以点P在以A、B为焦点的双曲线靠近B的那一支上．。

苏教版高中数学选修1-1课件第2章圆锥曲线与方程-2.3-2.3.2 课件

堂
师
互动
现问题，提出问题的意识和数学交流能力．
备课
探
资
究
源
菜单
SJ ·数学选修1-1
教
易
学
错
教
易
法分
2．过程与方法
误辨
析
析
教学方案设计
通过对问题的类比探究活动，让学生类比已知的知识，通过观察、推导、形成新知识，进一步理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法，领悟其中所蕴涵
2．求双曲线的渐近线方程时，只需将双曲线方程中的常
课
教
堂数项化为零即可得到．
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
SJ ·数学选修1-1
教
易
学
错
教
易
法
误
分析
教学方案设计
将本例中的椭圆方程化为x92＋1y62 ＝1，试解之．
辨析
当
堂
【解】
双曲线方程为y72－x92＝1，实轴长 2a＝2 7，虚
双基达标
达
2．会用双曲线的几何性质处理简
标
课
解读
前自
单问题．(难点)
课时
主
作
导
业
学
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
SJ ·数学选修1-1
教
易
学
错
教
易
法
误
分
双曲线的几何性质
辨
析
析
教

2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程 2.5

阶段一
阶段三
2.5
圆锥曲线的共同性质
学业分层测评
阶段二
1.了解圆锥曲线的共同性质.(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题.(难点)
[基础· 初探] 教材整理圆锥曲线的共同性质阅读教材 P53 至思考以上部分，完成下列问题. 1.圆锥曲线的共同性质：圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比是一个常数e 这个常数e . 叫做圆锥曲线的离心率，
利用圆锥曲线的定义求距离
x2 y2 11 双曲线 9 －16＝1 上有一点 P，它到右准线的距离为 5 ，求它到左焦点的距离.
【精彩点拨】首先判定点 P 在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把到准线的距离转化为到焦点的距离求解.
x2 y2 9 9 【自主解答】双曲线 9 －16＝1 的左准线和右准线分别为 x＝－5和 x＝5，若 9 24 11 点 P 在双曲线的左支上，则点 P 到右准线的最小距离为5－(－3)＝ 5 ＞ 5 ，故点 P 11 11 不可能在左支上，而在右支上，所以点 P 到右焦点的距离为 5 e＝ 3 ，再根据双曲 11 29 线的定义知 PF1－PF2＝6，即 PF1＝6＋PF2＝6＋ 3 ＝ 3 . 29 即点 P 到左焦点的距离为 3 .
我的课下提升方案： (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________
学业分层测评(十二)
点击图标进入…
定点F
就是圆锥曲线的焦

2016年秋季新苏教版选修1-1：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质课件

【创新设计】高中数学(苏教版选修1-1)配套练习：第2章章末总结(含答案解析)

2016年秋季新苏教版选修1-1：第二章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线课件

高二数学课本《选修11第二章圆锥曲线与方程》

2016年秋季新苏教版选修1-1：第二章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质课件

(选修1-1教案)2.1圆锥曲线

2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程讲义 新人教A版选修

高中数学(苏教版 选修1-1)第2章 圆锥曲线与方程 双曲线1