离散数学--11.1-2初等数论
第0章 离散数学简介
数理逻辑
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑
证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
把这个问题转化为数学问题：把东、南、北及岛四区看成四个点，连接它们的七 座桥看成七条通路，如东区与北区由桥3相连，则它们之间有一条通路，南区与 北区没有桥直接相连，则它们之间就没有直接的通路。 以A代表岛区，B，C，D分别代表北、东、南三区，把这四个点和连接它们的代表 七座桥的通路在图上画出来，就得到图(2)． 问题可以叙述为：以A，B，C，D这四点中的任一点为起点，能否不重复地用一笔 便将上面的图形画出来 一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件，即图形是封闭联通的和图形中的奇 点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。
三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中 几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间 满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。(相 容性问题，解决的工具是证明论与模型论） 在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常 生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏 几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中， 黎曼几何更准确一些。 爱因斯坦花了四年的时间，认真地学习黎曼几何，后来用黎曼几 何的语言创立和表述了广义相对论。
初等数论ppt
费马 [法]1601-1665，是数学史上 哥德巴赫 1690-1764，
最伟大的业余数学家，提出了费马 德国数学家；曾担任中学
大、小定理；在坐标几何，无穷小，教师，1725年到俄国，
概率论等方面有巨大贡献。
被选为彼得堡科学院院士.
希尔伯特[德]1862～1943，他领 导的数学学派是19世纪末20世纪 初数学界的一面旗帜，希尔伯特 被称为“数学界的无冕之王”。 著《数论报告》、《几何基础》、 《线性积分方程一般理论基础》.
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于 费马、欧拉、拉格朗日、勒让德 和高斯等人的工作。1801年，高 斯的《算术探究》是数论的划时 代杰作。
第一章 离散数学
离散数学
Discrete mathematics
耿素云 屈婉玲 张立昂
郭慧
编著
•
原子命题
• 如果一陈述句再也不能分解成更为简单的语句， 称这样的命题简单命题或原子命题。 原子命题的真值是确定的，因此原子命题又称为 命题常项或命题常元。 • 原子命题用小写英文字母p，q，r„及其带下标 的p，qi，ri，„表示。
例： p ：2是素数. q：雪是黑的.
真值可以变化的陈述句称为命题变项或命题变元． 命题变项不是命题
题公式， Φ(B)是用命题公式B置换了Φ(A)中
的A之后得到的命题公式．如果A B
则Φ(A) Φ(B)．
例1.9
验证下列等值式
⑴ p→(q → r) (p ∧ q) →r
(p ∧ q) →r
¬ (p ∧ q) ∨r ( ¬ p ∨ ¬ q) ∨r ¬ p ∨ (¬ q ∨r ) ¬ p ∨ (q → r) p→(q → r)
或q”称为p与q的析取式，记作p∨q. ∨
为析取联结词.
例：林芳学过英语或日语. p∨q
p : 林芳学过英语 q : 林芳学过日语
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p ∨q
0 1 1 1
p∨q为真当且仅当p与q中至少一个为真.
蕴涵联结词
• 定义1.4 设p，q为两命题，复合命题“p 则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p →q. →称作蕴涵联结词.
离散数学数理逻辑部分定义与概念
离散数学数理逻辑部分定义与概念命题逻辑1.（论域）定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；(2)一个关于D的函数集合F；(3)一个关于D的关系集合R。
2.（逻辑连接词）定义设n > 0，称{0, 1}n到{0, 1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
若n = 0，则称为0元函数。
3.（命题合式公式）定义(1)常元0和1是合式公式；(2)命题变元是合式公式；(3)若Q, R是合式公式，则(?Q)、(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R)、(Q?R)、(Q⊕R)是合式公式；(4)只有有限次应用(1)-(3)构成的公式是合式公式。
4.（生成公式）定义：设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
⑵原子公式是由S生成的公式。
⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1, …, A n是由S生成的公式，则F A1…A n是由S生成的公式。
5.（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)常元复杂度为0。
命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC(P) = 0。
如果公式A = ?B，则FC(A) = FC(B)+ 1。
如果公式A = B1∧B2，或A = B1∨B2，或A = B1→B2，或A = B1?B2，或A = B1⊕B2，或则FC(A) = max{FC(B1), FC(B2)} + 1。
6.命题合式公式语义论域：研究对象的集合。
解释：用论域的对象对应变元。
结构：论域和解释称为结构。
语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
7.（合式公式语义）设S是联结词的集合是{?，∧，∨，⊕，→，?}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：⑴v(0) = 0, v(1) = 1。
⑵若Q是命题变元p，则v(Q) = pv。
⑶若Q1, Q2是合式公式若Q = ?Q1，则v(Q) = ?v(Q1)若Q = Q1∧Q2，则v(Q) = v(Q1) ∧v(Q2)若Q = Q1∨ Q2，则v(Q) = v(Q1) ∨v(Q2)若Q = Q1→Q2，则v(Q) = v(Q1) →v(Q2)若Q = Q1?Q2，则v(Q) = v(Q1) ?v(Q2)若Q = Q1⊕Q2，则v(Q) = v(Q1) ⊕v(Q2)8.（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q) = c。
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
注意：本整理的所有内容仅供参考，请勿将其作为官方教材或其他正式场合使用。
离散数学课件初等数论
哥德巴赫猜想
总结词
哥德巴赫猜想是数论中一个著名的未解决的问题，它涉及到质数的分解。
详细描述
哥德巴赫猜想指出，任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。尽管数学家们已经证明了许多特殊情况 下的结论，但这个猜想至今仍未被证明或反驳。
孪生素数猜想
总结词
孪生素数猜想是数论中一个关于质数对的未解决的问题。
费马大定理
总结词
费马大定理是数论中一个著名的未解 决的问题，它涉及到质数和幂的性质。
详细描述
费马大定理指出，对于任何整数n > 2，不 存在三个完全不同的整数x、y和z，使得 x^n + y^n = z^n。尽管数学家们已经证 明了这个定理在n=3和n=4的情况下成立， 但n>4的情况仍然是一个未解之谜。
模数方程的解法
总结词
模数方程是数学中一类重要的方程，其解法包括扩展欧几里 得算法、费马小定理和欧拉定理等。
详细描述
扩展欧几里得算法是一种求解模数方程的常用方法，它可以 找到给定模数的一组解。费马小定理和欧拉定理也是求解模 数方程的重要工具，它们可以用于证明一些重要的数学结论 。
05
初等数论中的问题与猜想
整数的因数分解
因数分解是将一个整数表示为若干个 因数的乘积的过程。完全平方数的因 数分解具有特殊性，即可以表示为两 个相同正整数的乘积。
因数分解是解决整数相关问题的重要 手段，如求解一元二次方程、判断一 个数是否为质数等。
同余方程
• 同余方程是模运算下的等式，即两个或多个整数对某个正整数同余时满足的等式。同余方程在数论和密码学中有广泛的应 用，如求解线性同余方程、模简化等。
数论的基本概念
02
01
03
离散数学学习——简单的数论基础
离散数学学习——简单的数论基础
关于在离散数学中的除法
数学中很基本的运算加减乘除，本次主要讨论的是在离散数学中的除法，⽽除法通常会涉及到余数，通常⽤ mod 来表⽰求余数运算，⽽⽤a|b来表⽰a是b的因⼦，那么，很容易证明下⾯的定理：
那么就有最⼤公约数和最⼩公倍数，分别记作GCD(Great Common Divisor)和LCM(Least Common Multiple)。
提到最⼩公倍数和最⼤公约数就必须提到的⼀个数学概念就是素数，所谓素数，就是仅仅只有1和本⾝这两个因⼦，那么，需要介绍⼀个定理——算术基本定理（Arithmetic Fundamental Theorem）：
其中p1，p2，...ps为互不相同的素数。
那么最⼤公约数即可以表⽰为：
最⼩公倍数可以表⽰为：
所以，a*b=GCD(a,b)*LCM(a,b)。
图论离散数学离散数学第四版清华出版社PPT课件
12/19/2020
28
b
e1
e4
a
e2
d
e5
e3
c
e5, e1, e2, e3, e4是简单通路，不是基本通路， 因为c, a, b, c, d, b中b, c均出现了两次。但c,
d, b, c是基本通路，也是基本回路。
12/19/2020
29
[定理] 在一个n阶图中，若从顶点u到v (uv)
❖ 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。
❖ 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的 尽可能短的通路。
12/19/2020
26
“巧渡河”问题的解
❖ 注意：在“人狼羊菜”的16种组合中允 许出现的只有10种。
人羊狼菜 人狼菜 人羊狼 人羊菜 人羊
狼菜
狼
12/19/2020
菜
羊
空(成功)
27
[定义] 简单通路(Simple Path)
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。
在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
12/19/2020
30
[定义] 连通性(connectivity)
设G=<V，E>，若从vi到vj存在一条通 路，则称vi到vj连通(connective)或可达。
说明：对无向图而言，若vi到vj可达，则 vj到vi也可达。对有向图而言则未必。
数学离散数学PPT课件
第22页/共41页
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
第23页/共41页
谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
第24页/共41页
1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入：在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z)， 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
第26页/共41页
例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
第31页/共41页
(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证： 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
《离散数学》课程在计算机学科中的作用及其应用
《离散数学》课程在计算机学科中的作用及其应用黄震（惠州学院计算机科学系，广东惠州 516007）摘要：离散数学是计算机科学的核心基础理论课，为后续课程提供必须的理论基础.分析了离散数学在计算机学科中与其他课程之间的关系，阐述了离散数学在计算机领域的实际应用.关键词：离散数学；计算机；应用中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2011）05-0264-02离散数学是计算机学科的专业基础课，不但为后续课程提供必须的理论基础，而且可以培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力.离散数学的教学内容与计算机硬件和软件都有着密切的关系，具有鲜明的基础特点，不仅是数据结构、数据库原理、数字逻辑、编译原理、人工智能、信息安全等课程的前续课程，同时以计算机导论和程序设计基础作为离散数学的先导课程[1].离散数学是计算机应用的必不可少的工具.例如数理逻辑在数据模型、计算机语义、人工智能等方面的应用，集合论在数据库技术中的应用，代数系统在信息安全中的密码学方面的应用，图论在信息检索、网络布线、指令系统优化等方面的应用.1 离散数学与其他课程的关系1.1 离散数学与数据结构的关系离散数学与数据结构的关系非常紧密，数据结构课程描述的的对象有四种，分别是线形结构、集合、树形结构和图结构，这些对象都是离散数学研究的内容.线形结构中的线形表、栈、队列等都是根据数据元素之间关系的不同而建立的对象，离散数学中的关系这一章就是研究有关元素之间的不同关系的内容；数据结构中的集合对象以及集合的各种运算都是离散数学中集合论研究的内容；离散数学中的树和图论的内容为数据结构中的树形结构对象和图结构对象的研究提供了很好的知识基础.1.2 离散数学与数据库原理的关系目前数据库原理主要研究的数据库类型是关系数据库.关系数据库中的关系演算和关系模型需要用到离散数学中的谓词逻辑的知识；关系数据库的逻辑结构是由行和列构成的二维表，表之间的连接操作需要用到离散数学中的笛卡儿积的知识，表数据的查询、插入、删除和修改等操作都需要用到离散数学中的关系代数理论和数理逻辑中的知识.1.3 离散数学与数字逻辑的关系数字逻辑为计算机硬件中的电路设计提供了重要理论，而离散数学中的数理逻辑部分为数字逻辑提供了重要的数学基础.在离散数学中命题逻辑中的联结词运算可以解决电路设计中的由高低电平表示的各信号之间的运算以及二进制数的位运算等问题.1.4 离散数学与编译原理的关系编译原理和技术是软件工程技术人员很重要的基础知识，编译程序是非常复杂的系统程序，包括词法分析、语法分析、语义分析、中间代码生成、代码优化、目标代码生成、依赖机器的代码优化7个阶段.离散数学中的计算模型[2]这一章的语言和文法、有限状态机、语言的识别和图灵机等知识点为编译程序中的词法分析和语法分析提供了基础.1.5 离散数学与人工智能的关系[3]离散数学中数学推理和布尔代数章节中的知识为早期的人工智能研究领域打下了良好的数学基础.谓词逻辑演算为人工智能学科提供了一种重要的知识表示方法和推理方法.另外，模糊逻辑的概念也可以用于人工智能.1.6 离散数学与信息安全的关系信息安全应用方面与离散数学也关系密切，离散数学中的代数系统和初等数论为密码学提供了重要的数学基础，例如凯撒密码的本质就是使用了代数系统中的群的知识，初等数论中的欧拉定理和费马小定理为著名的RSA公钥密码体系提供了最直接的数学基础.1.7 离散数学与其他课程的关系离散数学除了与以上课程关系密切，与其他课程也有着非常重要的关系，这里以表格的形式列出离散数学与后续课程相关联的知识点，如表1所示.2 离散数学的应用离散数学课程包括数理逻辑、集合论、代数系统和图论几个部分，下面分别介绍一下这几个部分在计算机各方面的应用.2.1 数理逻辑的应用数理逻辑是用数学方法研究思维规律的一门学科，包括命题逻辑、谓词逻辑和推理理论等知识点.命题逻辑中的联结词广泛应用在大量信息的检索、逻辑运算和位运算中，例如目前大部分网页检索引擎都支持布尔检索，使用NOT、AND、OR等联结词进行检索有助于快速找到特定主题的网页；信息在计算机内都表示为0或1构成的位串，通过对位串的运算可以对信息进行处理，计算机字位的运算与逻辑中的联结词的运算规则是一致的，掌握了联结词的运算为计算机信息的处理提供了很好的知识基础.在计算机硬件设计中，使用了联结词完备集中的与非和或非，使用与非门和或非门设计逻辑线路，替代了之前的非门、与门和或门的组合，优化了逻辑线路.谓词逻辑可以表示关系模型中的关系操作[4]，用谓词逻辑表示关系操作的关系演算形式是：{s[<属性表>]│R(s)}，其中R(s)指的是s用该满足的谓词，例如要查询不及格的女同学的名字，关系演算的表达式为：{s<name>│s∈student and s.sex=’w’ and s.score<60}.推理理论可以应用到计算机语义的理解中，在推理理论中验证某理论的逻辑正确性时首先需要将其形式化，这样在逻辑推理时就直接使用逻辑规则进行推理而不需要理会其具体含义了，在计算机语义中，也可以将其形式化，借助推理理论的方法进行计算机语义的理解. 2.2 集合论的应用集合是由各种不同元素构成的，并用统一的方法来处理的对象，集合论包括集合代数、关系和函数等知识点.集合代数中的集合的性质和集合的运算主要是为其他学科提供数学基础，现实世界中的数字、符号、图像、语音、视频等各种信息都可以作为数据存放到计算机进行处理，这些数据就构成集合.关系是一种特殊的集合，它反映了研究对象之间的联系与性质，例如关系数据库模型中，每个数据库都是一个关系，在计算机程序中输入和输出就构成一个二元关系.等价关系和偏序关系广泛的存在于实际应用中，例如利用偏序的知识可以解决调度中的最优调度问题；在软件工程的软件测试方法中有一种等价类划分的方法，即将所有待测试的数据构成的集合划分为符合软件需求规格和设计规定的有效等价类和不符合的无效等价类，因为每个等价类中只需要取一个数据代表其所在等价类的其他数据进行测试，所以大大提高了软件测试的效率.函数的应用比较广泛，例如在密码学中的应用，公钥系统中的原理是基于单向陷门函数，单向陷门函数满足3个条件：（1）对于属于定义域的任意一个x，可以很容易算出F(x)=y，（2）对于几乎所有属于值域的任意一个y，则在计算上除非获得陷门，否则不可能求出x，使得x=F-1(y),（3）若有一额外数据z（称为陷门），则可以很容易的求出x=F-1(z).单向陷门函数与单向函数的差异在于可逆与不可逆.若单向陷门函数存在，则任何单向陷门函数均可用来设计公开密钥密码系统.同时，若单向函数满足交换性，则单向函数也可能用来设计公开密钥密码系统.2.3 代数系统的应用代数系统研究的是集合、该集合中元素的运算和一些特殊元素，其中群是一种特殊的代数系统，具有可结合、有单位元、每个元素都有逆元等性质.凯撒密码系统的原理是将字母表的字母右移n个位置，n即key，然后对字母表长度l作模运算，加密形式为：c=(m+n)mod l，解密形式为：m=(c-n)mod l，其实凯撒密码就是建立在26个字母之上，字母与key运算的剩余模群.椭圆曲线加密算法是利用椭圆曲线离散对数问题，椭圆曲线离散对数问题定义如下：给定素数p和椭圆曲线E，对Q=kP,在已知P,Q的情况下求出小于p的正整数k，由于已知k和P计算Q比较容易，而由Q和P计算k则比较困难，至今没有有效的方法来解决这个问题，这正是该加密算法的原理所在.2.4 图论的应用图论在计算机领域的应用广泛，例如利用哈密顿图求最短路径问题和旅行商最优问题，利用哈夫曼算法对指令系统优化以及提高通信效率等问题[5].在计算机体系结构中，指令系统的优化非常重要，因为可以提高整个计算机系统的性能，指令系统的优化方法很多，其中一种就是对指令的格式进行优化，是指用最短的位数来表示指令的操作码和地址码，使程序中的指令的平均字长最短，可以使用哈夫曼算法对指令的格式进行优化，利用哈夫曼算法可以构造出最优二叉树，而二叉树的权是最小的，即可以实现指令的平均字长最短.同样的原理利用哈夫曼算法构造最优二叉树可以解决通信中传输二进制数最优效率的问题.3 结束语离散数学在计算机领域的作用非常重要，计算机科学中普遍采用离散数学中的一些基本概念、知识点和研究方法.离散数学课程不但为其他课程提供必要的理论基础，在计算机学科中有着广泛的应用，而且通过学习离散数学的思想和方法也提高了学生的逻辑思维能力和创造性思维能力.为了更好的学习计算机学科的后续课程以及解决计算机科学中遇到的实际问题必须学好离散数学课程.参考文献：〔1〕朱家义，苗国义，等.基于知识关系的离散数学教学内容设计[J].计算机教育,2010(18):98-100.〔2〕Kenneth H.Rosen.离散数学及其应用[M].北京：机械工业出版社，2006.〔3〕陈敏，李泽军.离散数学在计算机学科中的应用[J].电脑知识与技术,2009,5(1):251-252.〔4〕龚静，王青川.数理逻辑在计算机科学中的应用浅析[J].青海科技,2004(6):53-54.〔5〕屈婉玲，耿素云，等.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2008.-全文完-。
初等数论
初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈Ｓ则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
离散数学数论基础篇二
同余关系及其在计算机领域的应用
左图是2007实行的新的ISBN标准，从10 位升到13位，为了讲课方便，我们仍然 用2007年以前的10位标准来讲述：
假设ISBN号已经选择前9位x1 ,x 2 , 为：1x1 +2x 2 9x 9 x10 (mod11)
x 9 , 则这最后一位校验位
比如：有一本书的前9位为0-619-06213,则其校验位由以下确定： (1 0+2 6+3 1+4 9+5 0+6 6+7 2+8 1+9 3)(mod11)=136(mod11) 4(mod11), 故该书的校验码为4
显然,
由本定理可得如下推论.
推论 若 ac=bc(mod m), (c,m)=1,则: ab(mod m).
2.0同余式定义和基本性质
定理4 ① 若ab(mod m), 且d|m, 则: ab(mod m). ③ 若ab(mod m), 则 (a,m)=(b,m). ③ ab(mod mi), (1≤i≤n), iff ab (mod [m1,m2,…,mn]). 证明 只给出③的证明, ①和②读者完成. ③必要性:由①知,是成立的. 充分性: 若a b(mod mi), 1≤i≤n, 则: mi|(a-b), 1≤i≤n, 即(a-b) 是m1,m2,…,mn的公倍数, 从而也是[m1,m2,…,mn] 的倍数, 因此: ab (mod [m1,m2,…,mn]).
证明：因为1000与-1对模7(或11，或13)同余，
i 由同余性质，a （- 1 ） a （ ） (或mod11，或 i mod7
mod13). 所以 ，结论得证。
离散数学1-1,1-2
(疑4)问你句今：年提暑出假问题去的旅句行子吗，句？末（用疑问问号。句） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。
（悖论）
悖：相反。悖论：自相矛盾的陈述。
h）我们要努力学习。
第十五页，共52页。
离散数学
解：
Hale Waihona Puke a），c），e）是原子命 题，f）是复合命题。
a）离散数学是计算机科学系的一门必修课。 是命题， 真值为T。
b）小李有空吗？ 疑问句，不是命题。 c）明天我去看电影。 是命题，真值要根据具体情况 确定。
d）请勿随地吐痰！ 祈使句，不是命题。 e）不存在最大质数。 是命题，真值为T。 f）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语 言就容易的多。 是命题，真值为T。 g）x=3 不是命题，x=3的真假由x确定，当x取3时句 子为真，当x取其他值时句子为假。 h）我们要努力学习。 祈使句，不是命题。
第二十一页，共52页。
离散数学
2/7
与“和”有相同意义的汉字还有“与”、“以及”、 “并且”、“而且”等。
例：P：今天下雨。
Q：明天下雨。
上述命题的合取为
P∧Q：今天下雨而且明天下雨。
P∧Q：今天与明天都下雨。 P∧Q：这两天都下雨。 显然只有当“今天下雨”与“明天下雨”都是真时， “这两天都下雨”才是真的。
祈使句、疑问句、感叹句 等都不能作为命题，悖论
无真值，也不能作为命题。
语句（7）—（11）都不是 命题。
第十三页，共52页。
离散数学
3、分类
王进明初等数论习题详细解答2013.5第九版(可打印版).doc
王进明初等数论习题详细解答2013.5第九版(可打印版)王进明 初等数论 习题及作业解答 P17 习题1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12为作业。
1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.解：1226,1226454,a b a b =++++=12261226454,b b ++++=(121)454122626390,b +=---=b =30, 被除数a =12b +26=360.这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题：商为12,表明被除数减去余数后是除数的12倍，被除数减去余数后与除数相加的和是除数的（12+1）倍，即454122626390---=是除数的13倍.2．证明：(1) 当n ∈Z 且39(09)nq r r =+≤<时，r只可能是0,1,8;证：把n 按被9除的余数分类，即：若n=3k, k ∈Z ，则3327nk =, r=0；若n=3k +1, k ∈Z ，则3322(3)3(3)3(3)19(331)1n k k k k k k =+++=+++,r=1；若n=3k－1,k ∈Z，则33232(3)3(3)3(3)19(331)8n k k k k k k =-+-=-+-+,r=8.(2) 当 n ∈Z时，32326n n n-+的值是整数。
证 因为32326n n n -+=32236n n n-+，只需证明分子3223n n n-+是6的倍数。
32223(231)(1)(21)n n n n n n n n n -+=-+=--(1)(21)n n n n =--++=(1)(2)n n n --+(1)(1)n n n -+.由k ! 必整除k 个连续整数知：6|(1)(2)n n n --,6 |(1)(1)n n n -+.或证：2!|(1)n n -, (1)n n-必为偶数.故只需证3|(1)(21)n n n --.若3|n, 显然3|(1)(21)n n n --；若n 为3k +1, k ∈Z ，则n －1是3的倍数，得知(1)(21)n n n --为3的倍数；若n 为3k －1, k ∈Z ，则2n －1=2(3k －1)－1=6k-3, 2n －1是3的倍数.综上所述，(1)(21)n n n --必是6的倍数,故命题得证。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(n)
n/ln n
(n)
n/ln n
1.159 1.132 1.104
10
素数的分布(续)
定理11.3 当n≥67时,
ln n 3 2 n
( n)
(n)
ln n
1 2
推论(素数定理)
n
lim
1
n / ln n
11
素数测试
定理11.4 如果a是合数, 则a必有小于等于 a 的真因子. 证 由性质11.1.6, a=bc, 其中1<b<a, 1<c<a. 显然, b和c中 必有一个小于等于 a . 否则, bc>( a )2=a, 矛盾. 推论 如果a是合数, 则a必有小于等于 a 的素因子. 证 由定理, a有小于等于 a 的真因子b. 如果b是素数,
第11章
初等数论
1
第11章
• 11.1 素数
初等数论
• 11.2 最大公约数与最小公倍数
• 11.3 同余
• 11.4 一次同余方程与中国剩余定理 • 11.5 欧拉定理和费马小定理
2
11.1 素数
• 整除、倍数和因子 • 带余除法
• 素数与合数
• 算术基本定理 • 筛法
3
整除、倍数和因子
设a, b是两个整数，且b≠0. 如果存在整数c 使 a=bc，则 称a 被b 整除，或 b 整除a，记作 b|a. 此时, 又称 a 是b 的 倍数，b是a 的因子. 把 b 不整除 a 记作 b a. 例如, 6有8个因子±1, ±2, ±3和±6. 今后只考虑正整数的正因子. 平凡因子 : 1和自身 真因子 : 除1和自身之外的因子 例如, 2, 3 是 6 的真因子
例2 10!的二进制表示中从最低位数起有多少个连续的0? 解 2, 3, 4=22, 5, 6=2×3, 7, 8=23, 9=32, 10=2×5. 得 10!=28×34×52×7, 故10!的二进制表示中从最低位数起有8个连续的0.
8
素数的分布
定理11.2 有无穷多个素数. 证 用反证法. 假设只有有穷多个素数, 设为p1,p2,…,pn, 令m=p1p2…pn+1. 显然, pi m, 1≤i≤n. 因此, 要么m本身 是素数，要么存在大于pn的素数整除m, 矛盾.
则结论成立. 如果b是合数, 由性质11.1.7和性质11.1.5, b有
素因子p<b≤ 成立.
12
. a 根据性质11.1.2, p也是a 的因子, 结论也
实例
例3 判断157和161是否是素数.
解
157
, 161 都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11.
157, 5 161, 5 157, 7 157, 11 157
19
辗转相除法—欧几里得(Euclid)算法
设整数a, b, 且b≠0, 求gcd(a,b). 做带余除法 a=qb+r, 0≤r<|b|. 若r=0, 则gcd(a,b)=b; 若r>0, 再对b和r做带余除法 b=qr+r, 0≤r< r. 若r=0, 则gcd(a,b)=gcd(b,r)= r; 否则重复上述过程, 直至余数等于0为止.
22
互素
a和b互素: gcd(a,b)=1 两两互素: 任意两个都互素 例如, 8和15互素,而8和12不互素.4, 9, 11, 35两两互素.
定理11.8 整数a和b互素的充分必要条件是存在整数x和y使得 xa+yb=1 证 必要性可由定理11.7得到. 充分性. 设xa+yb=1, x和y是整数. 又设d>0是a和b的公因子, 有 d |xa+yb, 即 d |1. 从而 d=1, 得证a和b互素.
梅森数(Marin Mersenne): 2p1, 其中p为素数 当n是合数时, 2n1一定是合数, 2ab1=(2a1)(2a(b1)+2a(b2)+…+2a+1). 梅森数可能是素数, 也可能是合数: 221=3, 231=7, 251=31, 271=127都是素数, 而2111=2047=23×89是合数. 到2002年找到的最大梅森素数是2134669171, 有4百万位.
例如 gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.
16
最大公约数与最小公倍数(续)
定理11.5 (1) 若a | m, b| m, 则 lcm(a,b)| m. (2) 若d |a, d |b, 则d | gcd(a,b). 证 (1) 记M=lcm(a,b), 设m=qM+r, 0≤r<M. 由a|m, a |M, 及r=mqM, 可推出a|r. 同理, 有b | r. 即, r是a 和b的公倍数. 根据最小公倍数的定义, 必有r=0. 得证M |m. (2) 记D=gcd(a,b), 令m=lcm(d,D). 若m=D, 自然有d |D, 结 论成立. 否则m>D, 注意到d|a, D|a, 由(1), 得m |a. 同理, m |b. 即, m是a和b的公因子, 与D是a和b的最大公约数矛盾.
23
实例
例6 设a |c, b |c, 且a与b互素, 则ab|c. 证 根据定理11.8, 存在整数x,y,使xa+yb=1. 两边同乘以c,
得cxa+cyb=c. 又由a |xa和b |c, 可得ab |cxa. 同理, ab |cyb.
于是, 有ab |cxa+cyb, 即ab|c.
24
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
17
最大公约数与最小公倍数(续)
利用整数的素因子分解, 求最大公约数和最小公倍数. 设
a p11 p 22 p kk ,
r r r
b p1 1 p 2 2 p k k ,
s s s
其中p1,p2,…,pk是不同的素数, r1,r2,…,rk,s1,s2,…,sk是非负 整数. 则 gcd(a,b)= p1min( lcm(a,b)= p1
性质11.1.3 设 m≠0, 则 a|b 当且仅当 ma| mb.
性质11.1.4 若a | b且b | a, 则a=±b. 性质11.1.5 若a | b且b≠0, 则|a|≤|b|.
5
素数与合数
素数(质数):大于1且只能被1和自身整除的正整数 合数: 大于1且不是素数 例如, 2,3,5,7,11是素数, 4,6,8,9是合数. 性质11.1.6 a>1是合数当且仅当a=bc, 其中1<b<a, 1<c<a. 性质11.1.7 合数必有素数因子. 性质11.1.8 如果d>1, p是素数且d | p, 则d=p. 性质11.1.9 设p是素数且p| ab, 则必有p | a 或者 p | b. 设p是素数且p| a1a2…ak, 则必存在1≤i≤k, 使得p| ai. 注意:当d不是素数时,d | ab不一定能推出d | a或d | b.
1 2 k
推论 设a= p11 p 22 p kk , 其中p1,p2,…,pk是不相同的素数,
r1,r2,…,rk是正整数, 则正整数d为a的因子的充分必要条件
s s 是d= p1 p 2 pห้องสมุดไป่ตู้k , 其中0≤si≤ri, i=1,2,…,k.
1 2
r
r
r
sk
7
例题
例1 21560有多少个正因子? 解 21560=23×5×72×11 由推论, 21560的正因子的个数为4×2×3×2=48.
例5 求210与715的最大公因子 解 715=3×210+85, 210=2×85+40, 85=2×40+5, 40=8×5. 得 gcd(715, 210)=5.
20
关于最大公因子的一个定理
定理11.7 设a 和 b 不全为0, 则存在整数 x 和 y 使得 gcd(a,b) = xa+yb. 证 记a=r0, b =r1, 做辗转相除法 ri=qi+1ri+1+ri+2, i=0, 1,…,k2, rk1=qkrk,
r1 , s1 )
p2
min( r2 , s 2 )
pk
min( rk , s k )
,
max( r1 , s1 )
p2
max( r2 , s 2 )
pk
max( rk , s k )
例4 求150和220的最大公约数和最小公倍数. 解 150=2×3×52, 168=23×3×7. gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
18
辗转相除法
定理11.6 设a=qb+r, 其中a, b, q, r 都是整数, 则 gcd(a,b) = gcd(b,r).
证 只需证a与b和b与r有相同的公因子. 设d是a与b的公因
子, 即d |a且d |b. 注意到, r=aqb, 由性质11.1.1, 有d|r. 从而, d |b且d |r, 即d也是b与r的公因子. 反之一样, 设d是b与r的公 因子, 即d |b且d |r. 注意到, a=qb+r, 故有d |a. 从而, d |a且d |b, 即d也是a与b的公因子.