博弈论与经济分析(不完全信息静态)

博弈论与经济分析（不完全信息静态）第四章 不完全信息静态博弈不完全信息意味着至少有一个参与者不能确定另一个参与者的收益函数，或者说类型。

我们用一个例子来引入要讨论的问题： 例：信息不对称条件下的古诺模型 市场：P(Q)=a-Q ，Q=q1+q2 企业1：C1(q1)=cq1企业2：以θ的概率为高成本，即222()H C q c q =；以1θ-的概率为低成本，即222()L C q c q =。

当然，H L c c >。

信息不对称：企业2知道自己的成本，也知道企业1的成本；企业1知道自己的成本，但是只知道企业2成本状况的概率分布。

以上都是公共信息，即企业1知道企业2享有信息优势，企业2知道企业1知道，企业1也知道企业2知道企业1知道……如此等等。

解题：企业1会预测企业2在不同情况下的最优选择：当企业2为高成本时2122max[()]H q a q q c q *---当企业2为低成本时2122max[()]L q a q q c q *---既然企业只知道企业2成本情况的概率分布，则企业1只能根据上述预测最大化自己的期望收益：1121121max [(())](1)[(())]H L q a q q c c q a q q c c q θθ**---+----以上三个优化问题的一阶条件为：12()2H H a q c q c **--=12()2LL a q c q c **--=221[()](1)[()]2H L a q c c a q c c q θθ***--+---=联立求解：221()()36H H H L a c c q c c c θ*-+-=+-22()()36L L H L a c c q c c c θ*-+=-- 12(1)3H L a c c c q θθ*-++-=比较该结果与“完全信息条件”条件下结果的不同。

作业：说明企业2在两种成本下是否因为“信息优势”得到了好处？是应该巩固该优势还是向企业1公开信息？一、 静态贝叶斯博弈的标准表述完全信息静态：G={S1,…Sn;u1,…,un}在静态博弈条件下，策略S 就是一个行动A （当然，动态博弈则不同），于是我们可以写作G={A1,…An;u1,…,un}。

通常而言，收益就为ui(a1,…,an)但是在非完全信息静态条件下，每个人知道自己的“得益”情况，但是并不了解别人的情况，比如前面例子中的“成本”。

我们记ti 为参与者i 的类型，于是，其得益函数可写作ui(a1,…,a2;ti)。

即，不同类型的参与者在同样的行动组合下的收益取决于其类型ti 。

i i t T ∈，前面例子中T2={cL,cH}，T1={c}当然，不同“类型”也可影响到“行动集”，某些类型能采取的行动，另一些类型可能并不能采用。

但是，我们将其处理为参与者i 所有类型的行动集都一样，而那些对于某种类型不能采取的“行动”我们认为该行动带来的收益为-∞。

于是，将行动集上类型的差别也纳入“收益函数”上了，所以，一般我们认为类型只影响收益状况。

令111{,...,,,...,}i i i n t t t t t --+=，i i t T --∈(|)i i i p t t -为参与者知道自己类型是ti 后，对其他参与者类型的推断，即信念（belief ）。

通常，参与者的类型是相互独立的，于是该推断也可写作P1,P2,…,Pn 。

定义 一个n 人静态贝叶斯博弈的标准表述包括：参与者的行动空间A1,…,An ，他们的类型空间T1,…,Tn ，他们的信念p1,…,pn ，以及他们的收益函数u1,…,un 。

参与者i 的类型ti 作为其私人信息，决定了其收益函数ui(a1,…,an;ti)。

参与者i 的信念(|)i i i p t t -描述了i 在给定自己类型ti 时，对其他n-1个参与者可能类型的估计。

我们用G={A1,…,An;T1,…,Tn;p1,…,pn; u1,…,un}表示这一博弈。

“海塞尼”转换：引入0博弈方“自然” （i ） 自然赋予博弈各方类型ti（ii ） 每个参与者只知道自己的类型，并根据信念选择行动ai （iii ） 各方得到收益ui(a1,…,an;ti)以上表述的两个问题：1、参与者可能会掌握其他参与者信息，比如前面例子中的企业2，同时，i参与者的得益不仅仅取决于自己的类型ti，受到其他人的类型的影响，写作ui(a1,..,an;t1,…,tn)。

（个人觉得后面这个问题不存在，因为其他参与者类型的影响应该是通过对aj来影响i的收益的，包括j考虑到i的类型，改变行动影响到自己的收益）2、信念是根据先验概率p(t)，通过贝叶斯法则得出的。

(,)(,)(|)()(,)i ii i i i i ii i ii i i i it Tp t t p t tp t tp t p t t------∈==∑定义（静态贝叶斯博弈的“策略”）：在静态贝叶斯博弈G={A1,…,An;T1,…,Tn;p1,…,pn;u1,…,un}中，参与者i的一个策略是一个函数()i is t，即:i i is T A→。

当然，按照这样的定义，参与人i的策略集Si就是一个函数的集合。

问题：当自然将类型ti告诉参与者i的时候，i知道自己的类型，为什么还要考虑自己其他类型时会选择的行动呢？（按照“策略”的定义，他的策略由其所有可能类型下会采取何种行动这样的对应关系构成）因为，j不知道他的类型，j会预测i在不同类型下的选择，这会影响到j的选择，从而影响到i自己的选择，于是i必须考虑自己可能出现的类型下所选择的行动。

（考虑前面古诺模型的例子）定义（纯策略贝叶斯纳什均衡）在静态贝叶斯博弈G={A1,…,An;T1,…,Tn;p1,…,pn;u1,…,un}中，策略组合1(,...,)ns s s***=是一个纯策略贝叶斯纳什均衡，若对于任意参与者i，i it T∀∈，()i is t*满足111111max((),...,(),,(),...,();)(|)i ii ii i i i i i n n i i ia At Tu s t s t a s t s t t p t t--****--++-∈∈∑，这个时候，没有参与者愿意改变自己的策略。

以上定义容易推广到混合策略，以及有限博弈的贝叶斯纳什均衡的存在性证明也和完全信息的类似。

第五章拍卖理论第一节关于拍卖的介绍拍卖的要义在于拍卖者和竞拍者对标的物的价值的不确定：（i）private value（ii）interdependent value（iii ） common value 关于private value auction ：（i ） Dutch auctionBid lower than the private evaluation of the object, equivalent to 1st price sealed-bid auction （ii ） English auctionAnnounce lower…equivalent to 2nd price sealed-bid auction 例1：竞拍者对标的物的私人价值以0.5的概率为1或者2，出价必须为0.4的倍数。

是证明b(1)=0.8以及b(2)=1.2是一个均衡出价策略。

（当参与者2坚持此策略时，参与者1采用此策略是最优选择）第二节 私人价值拍卖一、1st price sealed-bid auctionConsider two bidders with independent values drawn from the uniform distribution [0, 1] Consider a linear solution:11111()b t a c t =+ 10c ≠22222()b t a c t =+ 20c ≠It’s reasonab le to further assume 120a a ==and 12c c c ==(why?) As a result, 111()b t ct =, 222()b t ct = Bidders’ maximization problem ：1max{Pr[()]()Pr[()]()Pr[()]0}2i j j i i i j j i i i j j i b b t b t b b t b t b b t b <-+=-+>⋅ max Pr[()]()ij j i i i b b t b t b =<-Note that Pr[()]Pr[]Pr[/]/j j i j i j i i b t b ct b t b c b c <=<=<= So we got the bidder’s optimization problem as:max()/ii i i b t b b c -f.o.c (2)/0i i t b c -=which must hold when i i b ct =, so we can solve c=1/2 /2i i b t =when there are n bidders, we can solve (1)/i i b n t n =-max Pr[()]()ij j i i ij ibb t b t b≠∏<-1max()(/)ini i ibt b b c-=-f.o.c 211(1)(/)()(/)0n ni i i in b c t b b cc-----=21(/)[(1)()]0ni i i ib c n t b bc-⇒---=(1)()0i i in t b b⇒---=1i inb tn-⇒=In fact, linear solution is not necessary,Assume that each ti has the same probability density function f() defined on [0,1]. A strategy for bidder I is a (monotonous?) function that maps value into bids::[0,1]iRβ+→Focus on symmetric equilibra, that means all bidders fol low the same strategyβ.Consider the case if bidder i. assume that her bid is x, she wins iff x>b j, note that b j=β(t j). Thus, i wins iff x>β(t j), that means t j<β-1(x).1()1Pr[()]()xjt x f t dtββ--<=⎰As a result the expected surplus for bidder i is1()1(,)()[()]x ni iE t x t x f t dtβ--=-⎰This must be maximized when x=β(t i)1(,())(())[()]it ni i i iE t t t t f t dtββ-=-⎰Computing the total derivative of E with respect to t i, applying the envelope theorem1[()]itni idE Ef t dtdt t-∂==∂⎰We thus have 100(,())[()]it s ni iE t t f t dt dsβ-=⎰⎰11000(())[()][()]i it t sn ni it t f t dt f t dt dsβ--⇒-=⎰⎰⎰1001[()]()[()]iit s ni i tnf t dt dst tf t dtβ--⇒=-⎰⎰⎰In particular, when f(t)=t, we have1()i int tnβ-=上述结论的一个特殊应用：在“对称”的贝叶斯博弈中，估价服从均匀分布，参与者出价策略严格递增且可微，则唯一的对称贝叶斯纳什均衡是“线性”均衡。