2017年秋季学期沪教版五四制八年级数学上册19.8、直角三角形的性质(1)教案

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沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：19.8直角三角形的性质(含答案)

19.8（1）直角三角形的性质一、填空题1．若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ ．2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，(1)若∠B＝50°，则∠A＝__________；(2)若∠B－∠A＝50°，则∠A＝__________；(3)与∠A互余的角有________________；(4)与∠A相等的角有________________．第2题图3．已知直角三角形面积等于24平方厘米，斜边上的高为4厘米，则斜边上的中线长为厘米．4．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm，则斜边长是 cm．5. 若直角三角形的斜边上的高与斜边上的中线长分别为2 cm和3 cm，则这个直角三角形的面积为__________cm2.6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24 cm，三边长的比为3∶4∶5，则斜边上的中线长为__________cm，斜边上的高为__________cm.二、解答题7．如图，已知△ABC中，∠ ABC=∠ ACB，D、E为△ABC外两点，AD⊥BD，AE⊥CE，F、G 分别为AB、AC的中点．求证：DF＝GE.8．如图，已知：在ABC ∆中，D BC AC AD C B 于交，，⊥=∠=∠2040．求证：AB CD 2=．9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，M 是AB 的中点，AM ＝AN ，MN ∥AC . 求证：MN ＝AC .10. 如图，已知HE 、AG 相交于点D ，点B 、C 、F 分别是线段DG 、HD 、AE 的中点，若AH ＝AD ，DE ＝EG .求证：CF ＝BF .ABCD三、提高题11．如图，已知：在ΔABC 中, ∠ABC=2∠C,AD ⊥BC 于D,E 是AC 中点,ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ．求证：BF=BD ．19.8（2）直角三角形的性质一、填空题1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，若BC ＝4 cm ，则AB ＝__________cm.2. 在△ABC 中，若∠C ∶∠B ∶∠A ＝1∶2∶3，BC ＝16,则AB ＝__________.3.在Rt △ABC 中，若∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∠A ＝30°，若BD ＝4cm ，则BC ＝__________cm ，AD ＝__________cm.4. 等腰三角形的顶角为30°，腰长为4 cm ，则这个等腰三角形的面积为__________cm 5．△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC 边上的高AD= cm.．ＣＢＡＥＤＦ6.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的顶角度数是__________．7.如图，在Rt△ABC中，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿CM翻折，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A＝__________度．二、解答题8．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAC=90° , AD= 12 CD．AB CD1 2AB．9．已知：如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°．求证：AC＝AB CD10. 如图，已知等边三角形中，E 是AC 上的一点，CE ＝14AC ，过E 作DE ⊥AC 交BC 于点D . 求证：D 是BC 的中点．11. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 为AB 边上的中线，若AC ＝AE .求证：BC ＝2CD .三、提高题12．已知：等腰三角形一腰上的高是另一腰长度的12，求这个等腰三角形的底角的度数。

沪教版八年级直角三角形的判定与性质,带答案

主题直角三角形的判定与性质教学内容1．掌握直角三角形判定定理，熟练运用直角三角形的判定定理进行几何证明； 2．掌握直角三角形的性质定理，并能运用解决相关的计算证明问题；（以提问的形式回顾）1．直角三角形全等的判定定理：（简称：）2.直角三角形的性质定理①： ②：推论①：②：答案：1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，HL 2.① 直角三角形的两个锐角互余。

② 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

推论：① 在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么这个角所对的边等于斜边的一半。

② 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30º。

练习：1.如图，已知BD ⊥AE 于B ，C 是BD 上一点，且BC=BE ，要使Rt △ABC ≌Rt △DBE ，应补充的条件是．（填一个条件） 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =12，BC =6，则∠A = 度．3．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，∠CBD =26°，则∠A = 度． 4．如图，Rt △ABC 中,∠C =90°，BD=2CD ，AD 是BAC ∠的角平分线，=∠B 度． 5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠B ＝28º， D 为AB 的中点，∠ACD= 度．答案：∠D =∠A 或∠E =∠ACB 或DE =AC 或BD =AB ；350；300；320；30；62（采用教师引导，学生轮流回答的形式）一、直角三角形全等的判定例1：如图，已知BC > AB ，AD=DC ，BD 平分∠BAC ，求证：∠A+∠C=180°．DBCA证法一：如图1，在边BC 上取点E ，使得BE =BA ，联结DE ∵BD 平分∠ABC ∴∠1=∠2在△ABD 和△EBD 中，AB =EB ，∠1=∠2，BD =BD ∴△ABD ≌△EBD （SAS ） ∴∠A =∠BED ∴DA =DE 又∵AD =DC ∴DE =DC ∴∠C =∠CED∵∠BED +∠DEC =180° ∴∠C +∠A =180°AB CD E第1题图第4题DCBA第5题DCBAAC B E D第3题图21图1EDB CA21图2FEDB CA证法二：如图2，过点D作BA的垂线，与BA延长线交于点E，过点D作BC的垂线，垂足为F∴DE、DF为点D到∠ABC的两边的距离∵BD平分∠ABC∴DE=DF在Rt△DEA和Rt△DFC中，AD=CD，DE=DF∴Rt△DEA≌Rt△DFC∴∠DAE=∠C∵∠DAE+∠DAB=180°∴∠C+∠DAB=180°二、直角三角形性质案例1：如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，联结PQ、DE．问题1：求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；问题2：如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明。

沪教版八年级(上)数学秋季课程第18讲直角三角形的判定、性质和推论

直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用．综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解．1、直角三角形全等的判定方法：（1）直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；（2）直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“H．L”）．直角三角形的全等判定及性质知识结构模块一：直角三角形全等的判定知识精讲内容分析【例1】如图，∠D =∠C =90°，请添加一个条件，使得△ABC ≌△BAD ，并在括号内写出判定的依据。

（1）AD =__________()；（2）∠DAB =_________ ()．【例2】已知：如图，EF ⊥AD ，BC ⊥AD ，AG =DH ，AF =DC ，那么图中全等的三角形共有______对．【例3】下列命题中，正确的个数是()①两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边相等的两个等腰直角三角形全等． A ．3B ．2C ．1D ．0【例4】已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD =BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，求证：CE =DF ．例题解析BACDABC DEFGOH EABCDF【例5】如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB 的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE．【例6】如图，△ABC中，AB⊥BC，AD平分∠BAC，DF⊥AC，ED=CD．求证：AC =AE+2BE．【例7】如图1，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC．若AB=CD，（1）BD与EF有什么关系?为什么?（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由．ABCDEAB CDEFABC DE FGABCDEFG图2图1【例8】在直角△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直线l 为经过点A 的任一直线，BD ⊥l于点D ，CE ⊥l 于点E ，若BD >CE ，试问：（1） AD 与CE 的大小关系如何?请说明理由；（2）线段BD 、DE 、CE 之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试．【例9】如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1）若BC 在DE 的同侧（如图1），且AD =CE ，求证：AB ⊥AC ．（2）若BC 在DE 的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．图1ABCDElABCDE图2ABCD E【例10】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高，在AB 上截取AE =AC ，过点E 作EF ∥CD 、交BC 边于点F ，EG 垂直BC 于点G ，求证：DE=EG ．2、两个性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的．【例11】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ：（1）若∠B =55°，则∠A =________；（2）若∠B ∠A =10°，则∠B =_________；（3）图中与∠A 互余的角有_________，与∠A 相等的角有_________．模块二：直角三角形的性质例题解析知识精讲ABCDEFGABCD【例12】如图，已知，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，M 、N 分别是AC 、BD 中点．求证：MN ⊥BD ．【例13】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的中垂线交AB 于E 、AC 于D ，BD 、CE交于F ，设∠A =y ，∠DFC =x ，（1）求证：∠CDB =∠CEB ；（2）用x 的代数式表示y ．【例14】如图ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，CF 是AB 边的中线，BF =DC ，P 是CF 中点．求证：（1）DP FC ⊥；（2）2B BCF ∠=∠．【例15】如图，AB ，CD 交于点O ，且BD=BO ，CA =CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点，求证：ME MF =．ABC DE FO M AB C DMN A B CD EABCDP F【例16】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，若∠B 与∠C 互余，则MN 与(BC -AD )的关系是什么?【例17】如图，已知在钝角∆ABC 中，AC 、BC 边上的高分别是BE 、AD ，BE 、AD 的延长线交于点H ，点F 、G 分别是BH 、AC 的中点．（1）求证：∠FDG =90°；（2）连结FG ，试问∆FDG 能否为等腰直角三角形?若能，试确定∠ABC 的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由．【例18】如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD交AB 于E ．求证：∠CDA ＝∠EDB ．【例19】如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作△ABE 和△BCF ，连接AF 、CE ，取AF 、CE 的中点M 、N ，连接MB 、NB 、NM ．BE FHD AGCABC DE12ABCDMN（1）若△ABE 和△FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE =∠FBC =90°，如图1所示，则△MBN 是_____________三角形；（2）若△ABE 和△FBC 中，BA =BE ，BC =BF ，且∠ABE =∠FBC =α，如图2所示，则△MBN 是_____________三角形，且∠MBN =_______；（3）若（2）中的△ABE 绕点B 旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．【例20】已知，如图，在△ABC 中，边AB 上的高CF 、边BC 上的高AD 与边CA 上的高BE 交于点H ，连接EF ，AH 和BC 的中点为N 、M ．求证：MN 是线段EF 的中垂线．A BCDE FNHMABC MEFN 图2ABCNEFM图1ABCEFNM图33、推论：（1）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【例21】（1）△ABC 中，AB =AC =6，∠B =30°，则BC 边上的高AD =________；（2）△ABC 中，AB =AC ，AB 上的高CD =12AB ，则顶角∠BAC =_______．【例22】如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，在CD 上取一点E ，使AE =AB ，则∠EBC 的度数为__________．【例23】已知：如图，在△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于例题解析模块三：直角三角形性质的推论知识精讲ABCDEABCDMEDCBAD ，求证：12AD DC ．【例24】已知：如图，Rt △ABC 和Rt △ABD 中，DA =DB ，∠ADB =90°，BC =12AB ， ∠ACB =90°，DE ⊥AB ，联结DC ，求∠EDC 的大小．【例25】已知如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，D 为AB 上一点，且BD =14AB ．求证：CD ⊥AB ．【例26】已知等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 相交于点F ，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ，（1）求FG ：BF 的值；（2）若D 、E 分别在BC 、CA 的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由．【例27】在△ABC 中，已知∠A =60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，点D 是BC 中点. （1）如果AB =AC ，求证△DEF 为等边三角形；（2）如果AB ≠AC ，试猜想△DEF 是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM =4，FM =5，求BE 的长度．ABCDEFGABCDA E FM【例28】已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ，（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC . （2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【习题1】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）．A ．两条直角边对应相等B ．斜边一个锐角对应相等C ．一条直角边和一条斜边对应相等D ．一条边和一个角对应相等【习题2】如图在△ABC 中，∠ACB =90°，在AB 上截取AE =AC ，BD =BC ，则∠DCE =_________．【习题3】如图在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A =30°，则AD =_____AB随堂检测ABCDABCD MNNABCD M【习题4】如图，在直角△ABC 在，∠ACB =90°，AB =8cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，∠A =30°，求BC 、CD 和DE 的长．【习题5】如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ，交AD 于点H ，且AD=BD ，AC=BH ，连接CH ．求证：∠ABC =∠BCH ．【习题6】如图，已知，在锐角三角形ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F ，求证：BF =BD ．【习题7】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，D 是边BC 的中点，连接DF 、EF 、DE ．（1）求证：ED =DF ；（2）若△DEF 是等边三角形，则△ABC 应满足什么条件?【习题8】如图，AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD = CD ，AC = BC ．求证：AB = BO ．A BC DE ABCDEHAB CDEFAC BE FD【习题9】已知：如图在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 上的中线，DC =BE ，DG ⊥CE ，垂足为点G ．求证：∠AEC =3∠DCE ．【习题10】如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE =CD ，AD与BE 相交于点F ，CF ⊥BE . 求AF ：BF 的值．【习题11】如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，以AB 为边向外作等边三角形ABD ，AE ⊥BD 于点E ，AE 交CD 于点M . （1）线段DM 与线段BC 有怎样的数量关系?并证明；（2）若△ABC 于△ABD 在AB 的同侧，CD 的延长线与AE 的延长线交于点M ，请在图2中画出△ABD 与点M ；线段DM 与BC 仍有（1）中的数量关系吗?并证明．ABCDE GABCDFE ABDMEABDOC课后作业【作业1】下列命题中，正确的有()个（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2）有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A．0B．1C．2D．3【作业2】（1）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠ACD=25°，则∠ECB =__________；（2）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠DCE=10°，则∠B =______________．【作业3】如图，ABC ∆中，AB AC =，DB DC =，DE AC ⊥，2AC AD =，8AB =，则AD =________，AE =____________．【作业4】（1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________．【作业5】已知：AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，点E 在BC 上，且AE =AD ，AB =BC ，求证：CE =CD ．D ABCEABCDE ABCDE【作业6】已知：如图，△ABC 中，∠B =40°，∠C =20°，DA ⊥CA ，求证：CD=2AB ．【作业7】如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，∠A=60°，BD =CD ，BE ∥AC ，DE ⊥BE ，求证：4BE=AC .【作业8】在等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在直线AC 、BC 上，且AE =CF ，联结DE 、DF 、EF ，试判断△DEF 的形状，并加以证明．【作业9】已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别为AC 、BD 的中点．（1）求证：MN ⊥BD ；ABCDABCD EABCDEFADM（2）当∠BAC =15°，AC =10，OB =OM 时，求MN 的长【作业10】已知：等腰直角△ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，D 是线段BC 上的一点，且BP =PD ，过点D 作AC 边上的高DE ，求证：PE =BO ．【作业11】如图1，已知点D 在AC 上，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点．（1）求证：△BMD 为等腰直角三角形；（2）将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）将△ADE 绕点A 逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．ABCDPEO图1 ABCDEMA BCDE图2 MB。

19.8(1)直角三角形的性质(1)

19.8（1）直角三角形的性质（1）要点归纳1. 直角三角形的两个锐角互余；2. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

如果有直角三角形，那么一般作斜边上的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的。

疑难分析例1 已知：如图，在锐角三角形ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，E 为的AC 中点，DE 的延长线交AB 的延长线于点F 。

求证：BF=BD 。

例2 如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，D 是边BC 的中点，连接DF 、EF 、DE 。

（1）求证：DE=DF ；（2）若△DEF 是等边三角形，则△ABC 应满足什么条件？基础训练1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，写出图中相等的锐角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；2. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，写出图中相等的线段：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；3. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，BC=CE ，若∠A=20°，则∠EBD=＿＿＿＿；4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=35°，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，则∠EDB=＿＿＿＿；5．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，延长BC 到点E ，使CE=AD 。

求证：∠B=2∠E 。

B BBAE B C6. 已知：如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD ⊥AB 交BC 于点D 。

求证：BD=2AC.7. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，M 为AB 的中点，E 、F 分别是AC 、BC 延长线上的点，且CE=CF=12AB 。

求∠EMF 的度数。

8. 已知：如图，AE 、BD 交于点C ，AB=AC ，DC=DE ，F 、G 、H 分别是AD 、BC 、CE 的中点。

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.8(2)直角三角形的性质教案

教学设计表进行线段转化，试着想一想，还有没有别的方法？3、几何画板演示辅助线添法，引导学生进行证明5、小总结：根据之前的学习，我们知道当遇到线段的倍分问题时，可以使用线段的转化来解决，那么推论1给我们提供了什么新思路？题还可以使用特殊角转化（推论1）（板书）例题讲解，巩固运用（1）13’30”-19’40”掌握例题11、让我们来看看这道例题能不能使用我们学习的新思路去解决？题目（板书）：已知：AB=AC，∠B=30°，AD⊥AC求证：1=2BD DC请学生在导学单上先标出已知条件（一位同学上台标记），并思考如何证明3、讲解例题（板2、一位学生用粉笔标出已知条件，效果图：全体学生思考如何证明书）深化理解，变式训练19’40”-27’30”完成导学单上练习部分第1题1、通过用特殊角转化线段的倍分关系，我们已经解决了一道例题，现在请你们自主完成练习部分第一题：3、巡场进行个别辅导（①指出这题是例题1的变式②提示学生将已知在图上进行标记），请完成得快的同学上台分享思路2、完成导学单上练习部分第一题4、一位学生上台讲练习1（通过垂直平分线的定义得到BD=AD，得∠B=∠BAD=30°，从而∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°，于是CD=2AD=2BD）几何画板操作简单、绘图精准直观，可以很好地辅助几何题的讲解。

辅以电子白板取代传统黑板，ActivInspire电子白板笔取代粉笔，如虎添翼。

自主梳理，证明推论227’30”-32’00”由推论1的逆命题得到推论2，理解推论2的证明1、回忆之前我们学习的垂直平分线定理和角平分线定理都有逆定理，那请一位同学用文字语言试着说说看推论1的逆命题？3、转化为几何语言？5、思考这个命题2、一位同学回答：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°4、学生回答：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，12BC AB，求运用几何画板演示定理的推理过程，清晰直观，大大提升了课堂教学的效率。

沪教版(上海)八年级上册数学 19.7-19.8 直角三角形全等的判定直角三角形的性质教案

19.7-19.8 直角三角形全等的判定直角三角形的性质教案【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.3. 能应用直角三角形的性质解题.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∴DE=DF；∵DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ．∴在Rt△DBE 和Rt△DCF 中，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL ）；∴EB=FC．总结本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL （在直角三角形中）．例2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.总结从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.例3、如图 AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F ．求证：AF 平分∠BAC ．证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)总结条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.类型二、直角三角形性质的应用例4、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥C E，点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．解：（1）∵点G是CE的中点，DG⊥C E，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE=BE=12 AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∴∠E DB=∠DC E+∠D E C=2∠DC E，∵DE=BE∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠DC E，∴∠AEC=3∠DCE=66°，则∠BCE=22°．。

19.8直角三角形的性质(1)

上海市延吉第二初级中学数学教学案
上的高，M是BC的中点。

求证：MD=ME
分析：这题的两个直角三角形和上面一题又有何区别？
斜边重合。

两个直角三角形在斜边的同一侧。

变式：若DE的中点是N，联结MN，求证：MN⊥ED.
例4：如图，在ΔABC中，∠B＝40°，∠C＝20°，AD⊥CA 于A，交BC于D，求证：CD＝2AB 这题也是已知斜边相等，得到中线相等，图中三角形的位置在斜边的同一侧。

变式结合等腰三角形三线合一
例4有直角三角形，没有中点，自行添加中点，连接中线证明。

四、小结1. 今天学习了哪些内容？
2. 从今天学的内容中有什么收获？
E
C
B
A
D
M
E
C
B
A
D
N
M。

上海教育版数学八上19.8《直角三角形的性质》(第1课时)ppt课件

∴ ∠ACD＝∠B (同角的余角相等)
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,
CD是斜边上的高．
你能得出哪些结论？ E
C
F
A DB
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, CD是斜边上的高．∠B＝45°
你能得出哪些结论？ A
直角三角形斜边上的中线一定等于斜边的一半吗？
A
C
ED B C
45°
D
B
已知：如图，在Rt△ABC中，
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD∥BC，∠CBE＝ 1 ∠ABE．
2
求证：ED＝2AB．
x
x
2x F
2xx
作ED的中点F，联结AF．
定理1 直角三角形的两个锐角互余．
定理2 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
从特殊到一般观察→猜想→证明的思想方法
求证：（1）ED=EB
（2）∠EBD=∠EDB （3）图中有哪些等腰三角形？
D
增加条件： BF=BE，DE∥AB
A
E
F
C
问：EF与BD有怎样的位置关系？
B
例3：已知：在△ABC中，BD、CE 分别是边AC、AB上的高，M、N分别是是BC、ED的中点。
求证：MN⊥DE
A
EN D
B
M
C
如图，在△ABC中，∠ABC＝ 90°，E为AC中点，在AD上取点F，使FD=BE；分别联结EF、 ED、BD.试判断EF与BD之间具有怎样的位置关系．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,
C
CD是斜边上的高．？
你能得出哪些结论？
求证：∠ACD＝∠B
A

八年级数学上册 19.8 直角三角形的性质(2)教案沪教版

直角三角形的性质
课题
19.8(2)直角三角形的性质
设计
依据
（注：只在开始新章节教学课必填）
教材章节分析：
学生学情分析：
课型
新授课
教
学
目
标
掌握直角三角形性质定理的推论，并能运用性质和推论进行计算和证明.
经历直角三角形性质定理推论的探索过程，体会特殊的直角三角形具有特殊的性质，经历运用直角三角形性质和推论解决问题的过程.
重点
掌握直角三角形性质的推论，
运用直角三角形性质和推论计算和证明.
难点
灵活运用直角三角形的两条性质和两条推论，进行计算和证明.
教学Leabharlann 准备三角形全等的判定方法，直角三角形、等腰三角形的性质等.
学生活动形式
讨论，交流，总结，练习
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习
给出不同位置的直角三角形，利用直角三角形的性质寻找相等关系的角.
先指出上节课所学的直角三角形的两个性质是所有直角三角形的共性.
再探索有一个锐角30°的特殊直角三角形存在的特殊结论.
开放结论，设计三种结论，随机点击.
学生不会出现理解困难.
先把有一个锐角30°的特殊直角三角形存在的特殊结论写出已知、求证，再证明自己的猜想.
最后尝试用命题来表示猜想.
知识呈现：
新课探索
直角三角形斜边上的中线把它分成两个等腰三角形。
这是所有直角三角形共有的性质。在特殊的直角三角形中，能否得到一些特殊的性质呢？
课内练习
课堂小结：直角三角形性质定理2的推论
课外
作业
练习册，堂堂练
预习
要求
19.8(3)直角三角形的性质
利用角平分线性质、线段垂直平分线性质、直角三角形性质和推论，进行计算和证明.

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1直角三角形的性质课件

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3、证明：已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，CD是
斜边AB上的中线.求证：CD=1 AB.
2
A
C′ 关键点:
1、如何处理“CD是斜边AB上的中线”这个关系？
注意到点Ｄ是AB中点，基于对图形旋转运
D
动的认识,可尝试构造两个关于点Ｄ对称的三角
形，从而将分散的几何元素相对集中.
D
A
E
C
B
课堂小结
我理解 …… 我掌握 ……
我巩固 …… 我体会 ……
我享受 ……
回家作业
1、直角三角形性质定理2的证明 2、练习册P70页习题19.8(1) 1、2 3、拓展书P117页第3题
A
D
C
B
2、猜想：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3、证明：已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，CD是
∴AB=2DE（直角三角形斜边上的 1 2 中线等于斜边的一半）E
同理,AC=2DF
∵ DE=DF（已知） ∴ AB=AC（等式的性质）
B
A F
DC
一展身手变式已知：在△ABC中， ∠B=∠C,
AD平分∠BAC, E、F分别是AB、
AC的中点.
求证: DE=DF.
A
E
F
B
D
C
一展身手 3、已知：∠ADC=∠ABC=90O，E是 AC中点. 求证：∠EDB=∠EBD.
AD=CD或BD=CD CC’=AB 条线段相等
一展身手思考题已知：在△ABC中，BD、CE分
别是边AC、AB上的高，M、N分别是BC、
DE的中点。你知道MN与DE存在怎样的

八年级数学上册综合算式直角三角形的性质

八年级数学上册综合算式直角三角形的性质直角三角形是初中数学中最基础的图形之一，它具有独特的性质和特点。

综合算式是数学中的一种重要的应用题型，能够帮助我们巩固和应用所学的知识。

本文将探讨八年级数学上册中关于直角三角形的性质，结合综合算式的应用进行讲解。

1. 直角三角形的定义及性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

直角三角形的性质主要包括以下几点：（1）直角三角形存在勾股定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

可以用公式表示为：c² = a² + b²，其中c为斜边，a和b 为直角边。

（2）直角三角形的两个直角边互为互余角。

即一个角为直角，另外两个角互为补角，其和为90度。

（3）直角三角形中，直角两边的长度决定了斜边的长度。

当两直角边长度确定时，斜边长度也能够唯一确定。

2. 直角三角形的综合算式在综合算式中，直角三角形常常被用于求解各种问题。

我们可以利用直角三角形的性质和综合算式的知识解决实际问题。

（1）已知直角边长度求斜边长度例如，已知直角三角形的两个直角边分别为3和4，要求求解斜边的长度。

解：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。

即c² = 3² +4² = 9 + 16 = 25，所以c = √25 = 5。

所以斜边的长度为5。

（2）已知斜边长度求直角边长度例如，已知直角三角形的斜边长度为10，其中一个直角边长度为6，求另一个直角边的长度。

解：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边平方和。

即10² = 6² + b²，所以100 = 36 + b²，所以b² = 100 - 36 = 64，所以b = √64 = 8。

所以另一个直角边的长度为8。

（3）直角三角形的面积计算直角三角形的面积可通过直角边的长度及斜边的长度计算得出。

面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中S为面积，a和b为两个直角边的长度。

19.8直角三角形性质(第1课时)(教学课件)-八年级数学上册同步精品课堂(沪教版)

求证 : ED 2AB
证明：取DE中点F连接AF AF=DF (直角三角形斜边中线等于斜边一半) 所以∠FAD=∠D ∠AFE=∠D+∠FAD=2∠D
而D CBE 1 ABE 2
所以,∠ABE= ∠AFE 所以AF=AB 因为DE=2AF 所以ED = 2AB
随堂检测1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三
证明：EF⊥BD连接BF ∵BE∥DF，BE=DF ∴四边形BEDF是平行四边形· ∵∠ADC =∠ABC =90°，E为AC的中点，
BE DE 1 AC 2
∴四边形BEDF是菱形 ∴DF与BD互相垂直平分
4.已知;如图, 在直角三角形ABC中，C 90, AD / / BC，∠CBE 1∠ABE. 2
角形，则图中∠1+∠2的度数是____9_0_°__.
第1题图
第2题图
2.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=__5_2_°____. 3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三
角形是__直__角__三__角__形__.
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（ B ） A．40° B．50° C．60° D．70°
中线等于斜边的一半
C
A
B
D
例1.已知：在Rt△ABC中,ACB=90°,CD是斜边AB上的中线。
求证：CD=
1 2
AB
证明：延长CD到C’,使C’D＝CD，连接AC’
在△ADC’与△BDC中
｛AD=BD
（已知）
ADC’= BDC（对顶角相等）
C’D=CD
（已作）
∴ △ADC’ ≌ △BDC (SAS)

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.8 直角三角形的性质求线段长专题复习教案

直角三角形的性质（“求线段长”专题复习）教学目标1.复习直角三角形的性质定理；2.灵活运用直角三角形的性质定理解决求线段长的问题；3.在求解过程中体会方程思想，培养数学逻辑推理能力。

教学重点直角三角形的性质复习教学难点活用直角三角形的性质求线段长教学准备几何画板、几何王软件、ipad教学过程教学内容教师活动学生活动课题引入我们知道，三角形按角分类，可以分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

由于直角三角形的特殊性，它在日常生活与今后的学习中有着广泛的应用。

今天我们这节课专题复习“直角三角形的性质”。

教师讲解本课目的学生聆听梳理直角三角形的性质例题1.如图△ABC中，∠ACB=90°图1图21、直角三角形两个锐角互余。

2、勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

5、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

提问：（图1：）1、图中两个锐角之间具有怎样的关系？2、三条边之间具有怎样特殊的关系？3、作CD⊥AB，图中有哪几对锐角分别相等？（图2：）4、再作AB的中线CE，现在图中共有哪些角与∠B相等？为什么？5、∠ACE=∠BCD吗？为什么？6、若∠B=30°,∠DCE等于多少度？为什么？此时AD与DE的关系是？怎么得出的？AD与AB的关系是？请说明理由。

若AC=1，则BC、AB的长度分别为？7、若AC=3，BC=4，则CE的长度是多少？CD的长度呢？学生口答，师板演。

问题7预设学生解答：解法一：设AD=x，则BD=5-xAC2=AD2+CD2 ①BC2=BD2+CD2 ②②-①得x=59所以CD=512解法二：利用等面积法AC•BC=CD•AB3×4=CD×5CD=512图形冲浪1、已知：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，连结CD．则图形中的等腰三角形有（）个。

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期直角三角形的性质复习教案

直角三角形的性质复习
教学目标：
复习直角三角形的性质定理及定理2的推论、勾股定理；能综合运用这些性质定理解决直角三角形中有关综合问题；在问题的解决过程中，渗透数形结合、函数思想、分类讨论等数学思想，。

教学重点：能运用直角三角形的有关性质定理解决相关的数学问题。

教学难点：数形结合、函数思想、分类讨论等数学思想解题中的应用。

教案设计说明：
本节课安排的是直角三角形的性质的复习。

教学设计中安排了性质的简单运用及几何论证的综合运用，努力把性质相互间的联系在问题中体现，达成本节课的目标，突出教学的重点。

教学设计由浅入深，起点比较低，这样设计是为了照顾到班级中的学困生。

首先，由一个独立的直角三角形出发，已知两条直角边，开放结论，学生可以计算求得直角三角形中的线段长，特殊角的大小，复
习了直角三角形的性质1和推论2以及勾股定理，通过在基础练习中复习直角三角形的性质，使学生加深对性质的理解和运用；添加角平分线后，由图形的轴对称性，可以得到线段相等、角相等，让学生证明其中两条线段相等，方法比较多，要求学生分析“由已知得可知，由结论得需知”；在后面的设计中安排函数解析式的问题，把本学期内学习的函数知识穿插在课堂教学中，把几何论证与代数中的函数思想相结合，用几何的性质解决函数问题，让学生体会知识之间的联系，渗透数形结合的数学思想；最后，利用动点问题渗透分类讨论的数学思想，利用一题多解，拓宽了学生的思维，使复习的内容更加有深度，达到更好的复习目的。

本节课着重对知识点系统的复习，层次清晰、主线明确；注重对知识的研究过程，体会研究数学问题的方法。

立足于学生自主学习和共同研讨的课堂模式，努力创设富有研究气息的数学课堂教学。

沪教数学八上《19.8 直角三角形的性质》[李老师]优质课

教学目标掌握直角三角形的两个性质定理,并运用直角三角形的性质定理解决简单的数学问题.经历探索直角三角形性质的过程,体会研究图形性质的方法.3.经历直角三角形性质定理2的探索过程,逐步体会由特殊到一般的研究问题策略.2学情分析直角三角形的性质是在直角三角形的判定前进行学习和研究的一个内容,这体现了研究几何图形的一个基本思路。

而研究几何图形的性质其实质就是研究图形的要素,本节内容主要研究了直角三角形角与角之间的数量关系,和直角三角形斜边上的中线的属性。

即性质定理1:直角三角形的两个锐角互余与性质定理2:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

在研究完性质1后添出直角三角形斜边上的高,在巩固所学定理的基础上,为后续定理的引出埋下伏笔。

但中间铺垫的等腰直角三角形环节的处理上,我个人思考了很久,总觉得从高到中线的转变上,学生会自然地联想到等腰三角形三线合一,那么角平分线是否需要在课堂上提及。

为此,在试教的过程中我充分听取了来自备课组老师的建议,改进了之前的教学环节,改进后的教学环节的确流畅、完整了很多。

关于直角三角形性质定理2的证明是本节课的一个难点,我采取的办法是,先独立思考,有需要的情况下小组合作,期间老师进行个别指导。

力求营造一个独立思考、生生合作、师生合作的学习氛围。

下面的变式训练环节,意在应用性质定理2解决实际问题,在巩固性质定理2的基础上,让学生体会到两个直角三角形只要具备斜边相等,则斜边上的中线相等,反之亦然。

让学生体会解决一类问题的通性通法,即图形变、条件变,但万变不离其宗。

小结环节,我从知识点上、研究图形性质的方法上、从思想方法上三个维度进行小结,希望让不同层次的学生都能有所收获。

3重点难点教学重点:掌握直角三角形的性质定理1及性质定理2.教学难点:直角三角形性质定理2的证明.4教学过程。

2017年秋季学期沪教版五四制八年级数学上册19.8、直角三角形的性质(1)教案

沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：19.8直角三角形的性质(含答案)

最新沪教版五四制八年级数学上册《直角三角形的性质1》教学设计-评奖教案

沪教版八年级 直角三角形的判定与性质,带答案

沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第18讲 直角三角形的判定、性质和推论