排列与组合

沈晶赌马游戏在赌马游戏中一共有 8 匹马参加比赛，玩家需要在彩票上添入前三位胜出的马匹的号码，玩家一次中头奖的概率是多少?共有 336 种可能玩家一次中头奖的概率应该是：P = 1 / 336 = 0.00298六合彩游戏：从 49 个球中取出 6 个进行组合的可能性一共有如果球摇出来后再放回摇奖机中，这时组合的可能性一共有2582716561649=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+13983816649=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛六合彩游戏第3讲排列与组合排列组合圆排列项链排列可重排列可重组合不相邻组合排列与组合组合问题排列问题考虑先后顺序从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 中取r 个的排列，排列数记为p (n, r)。

从 n 个不同的球中，取出 r 个，放入 r 个不同的盒子里，每盒1个。

P (n , r ) = n · (n –1) ·(n -2)……(n -r +2)(n -r +1) = n ! / (n - r )!特别地：当 r = n 时，称为全排列，P (n , n ) = n ！12 3 r -1 r n n -1 n -r +2 n -r +1 n-2例1从1, 2, …, 9 中选出不同的 7 个数字组成一个7 位数，要求 5 和 6 不相邻，问有多少种方法？解：P(9,7)-2P(7,5)×6 √P(8,6)×2第3讲排列与组合排列组合圆排列项链排列可重排列可重组合不相邻组合组合从 n 个不同元素中取 r 个元素，且不考虑顺序，称为从 n 个中取 r 个的组合。

组合数用C ( n, r ) 或 表示。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n若球不同，盒子相同，则是从n 个中取r 个的组合模型。

若放入盒子后再将盒子加上标号以示区别，则又回到排列模型，因此，每一个组合对应r !个长度为r的全排列C (n, r) ·r! = P (n, r)C (n, r) = P (n, r) / r! = n! /[(n - r)! ·r !]例2 从[1 , 300]中取 3 个不同的数，使这 3个数的和能被 3 整除，问有多少种方案？解： 3310013100+⨯CC第3讲排列与组合排列组合圆排列项链排列可重排列可重组合不相邻组合从 n 个不同的元素中取 r 个元素排列在一个圆环上的排列称为圆排列。

排列数用 Q ( n , r ) 表示。

Q ( n , r ) = P (n , r ) /r , 2≤ r ≤n 1 8 1 234 5 67 12345678 81234567 78123456 56781234 45678123 34567812 2345678167812345例3 4 男 4 女围桌相间而坐，问有多少种不同的就坐方案？解：()144=⨯⨯Q4,4=!4)4/!4(!4⨯=⨯⨯⨯⨯4=⨯⨯⨯⨯18/2)4/!4(!4144232143例4围环形跑道插六面彩旗，其中黄、绿、红、蓝、橙、粉各一面若红、蓝旗相邻有多少种插旗方式？若红、蓝旗不相邻有多少种插旗方式？解：红蓝旗相邻红蓝旗不相邻()48!425,522=⨯=⋅PQ()()48!5!42!55,56,622-=⨯-=⋅-PQQ第3讲排列与组合排列组合圆排列项链排列可重排列可重组合不相邻组合项链排列排列的方法如同项链一般，在圆排列的基础上，逆时针方向和顺时针方向放置各个数是同一个排列，称为项链排列。

项链排列的排列数为P (n , r ) /2r , 2≤ r ≤n 8 1 2 3 4 5 67 2 1 87 65 4 3 =第3讲排列与组合排列组合圆排列项链排列可重排列可重组合不相邻组合可重排列设有n 种不同的物体，第一种物体中有k1 个相同物体a1，第二种物体中有k2 个相同物体a2，… ，第n种物体中有k n 个相同物体a n。

现从这n 种物体中取r 个物体进行排列，称为r可重排列。

分三种情况r = k1 + k2 + ⋅⋅⋅ + k nk1≥ r，k2≥ r，⋅⋅⋅，k n≥ r或者k1=∞，k2=∞，⋅⋅⋅，k n=∞存在ki < r可放回取样的可重排列设 S = {k 1· a 1 , k 2· a 2 , … k n · a n }，当 k 1 +k 2+ ⋅⋅⋅ +k n = r 时, 从 n 种物体中取 r 个物体的全排列数用 P (r ;k 1, k 2,…, k n ) 或 表示 ⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k k r 21k 1 k 2k n重复度k 1! 重复度k 2!重复度k n !P (r ; k 1, k2,…,k n) = r ! / (k1!·k2 !·⋅⋅⋅·k n ! )证明对a1, a2,…, a n中的所有物体分别加下标，得到r! 种全排列。

但是，由于k1个a1, k2个a2,...,k n个a n分别相同，使得排列数扩大k1!·k2 !·⋅⋅⋅·k n !倍∴P (r ; k 1, k2,…,k n ) = r ! / (k1!·k2 !·⋅⋅⋅·k n !)例5 某车站有 6 个入口处，每个入口处每次只能进一人，9 个人进站的方案有多少？1 2 3 4 5 6 7 89可重排列（r = k 1 +k 2+ +k n ）1 2 3 4 5 6 7 89例5方法一：方法二：方法三：()!5/!14!1!...1!1!5/!14=⋅⋅14876⨯⨯⨯⨯()5,14!9C⨯例5可重排列rr k >1r k >2rk n >有放回排列nnn可重排列（k1 , k2 , ⋅⋅⋅ , k n 均为≥ r）当k1 ，k2 ，⋅⋅⋅，k n 均≥ r 时，现从n 种物体中取r 个物体，并依次排列，则其排列数为：rn每取完一个物体，并不改变物体的种类，保持为n种()rnnaaarP=∞⋅∞⋅∞⋅,...,,;21可重排列（存在 k i < r ）存在 k i < r 时，排列数为？例6 在一个 5 位数中，要求数字 1 出现的次数最多为两次，求有多少个这样的数？解： 2243143144498998998⨯⨯+⨯+⨯⨯++⨯C C C 没有公式！具体问题具体分析吧！可重排列例7 （简单格路问题）从 (0,0) 点出发沿 x 轴或 y 轴的正方向每步走一个单位，最终走到 (m , n ) 点，有多少条路径？红色路径：01100110110 绿色路径：10011110001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+m n m ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅+n n m m n m n m n m !!/!()0,0()n m ,可重排列从 (0,0) 点到(m, n) 点，m < n要求中间所经过的每一个格子点（a,b）恒满足b>a 关系，问有多少条路径？(m, n )(0, 0)(m, m)(0, 1)(1, 0)(0,0) 点到(m, n)=(0,1) 点到(m, n)+(1,0) 点到(m, n)从(0,1) 点到(m, n)不满足要求的路径数=从(1,0) 点到(m, n)的路径数⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+--⎪⎭⎫⎝⎛-+111111mnmmnmmnmmnm满足要求的从(0,0) 点到(m, n)的路径数=从(0,1) 点到(m, n)的路径数-从(1,0) 点到(m, n)的路径数第3讲排列与组合排列组合圆排列项链排列可重排列可重组合不相邻组合可重组合有n 种不同的物件，S = {k1·a1 ,k2·a2 , … k n·a n}，从这n种物体中取出r个物件的组合，称为r可重组合。

有放回取样两种特殊情况k i ≥r ( i=1,…,n )存在k i ≤r， a1 ，a2，… ，a n至少出现一次的r 组合可重组合 当 k i ≥r ( i=1,…,n )，其可重组合数为证明第1步：问题相当于r 个相同的球放入n 个互异的盒子，每盒球的数目可以不同，求总的方案数第2步：上述问题又可转换为r 个相同的球与n-1个相同的盒壁的排列问题排列数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r r n 1()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅-+r r n n r n r 1!1!/!1()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞⋅∞⋅∞⋅r r n a a a r C n 1,,;21例8 已知线性方程x 1+x 2+…+x n =b , n 和b 都是正整数，求此方程的非负整数解的个数。

解：例9 设某个餐厅有 7 种不同的菜，某顾客要买 4 个菜，问有多少种买法？解： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b b n 12104104147=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a 1 ，a 2 ， … ， a n 至少出现一次的 r 组合的组合数为 证明因为a 1 ，a 2 ， … ， a n 至少出现一次，所以，先取出a 1 ，a 2 ， … ， a n 各一个，剩下的问题就转化为从n 中取r -n 个的可放回组合问题组合数为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--n r r 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+111n r n r n r n第3讲排列与组合排列组合圆排列项链排列可重排列可重组合不相邻组合不相邻组合不相邻组合是指从 A ={1, 2,…, n }取 r 个不相邻的数的组合，即不存在相邻两个数 j 和 j +1的组合，其组合数为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-r r n1Stirling 近似公式组合计数的渐进值问题是组合论的一个研究方向。

Stirling 公式给出一个求 n ! 的近似公式，它对从事计算和理论分析都是有意义的。

ne n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛π2~!本讲结束。