2018高三数学(理)高考总复习课件：第七章第七节第一课时空间角

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2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章立体几何 7.7.2 精品

【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设AB=1, 则D(0,0,0),
N(0,1,
1 2
)，M(0,
1 2
,
0)，A1
1,
0,1，
所以DN
(0,1,
1 2
)，MA1
(1,
1 2
,1），
所以DN
MA1
0 1 1（
1 ） 2
1 1 2
0，
所以 DN M所A1以，A1M与DN所成的角的大小是90°. 答案:90°
则 A(－1,0，2)，B1 1,0,0，B(1,0，2)，C1(0，3，0)，
所以 AB1＝(2,0,－ 2)，BC1＝(－1, 3,－ 2)，因为 AB1 BC1＝(2,0,－ 2) (－1, 3,－ 2)＝0，所以 AB1 即BC异1，面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1.
b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面 α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=_c_o_s_<n__1,_n_2_> 或_-_c_o_s_<_n_1_,_n_2>_.
【特别提醒】 1.利用 | AB |2 ＝AB AB 可以求空间中有向线段的长度． 2.点面距离的求法
【变式训练】将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以
A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD
与BC所成的角为 ( )
A.
B.
C.
D.
6
4
3
2
【解析】选C.不妨以△ABC为底面,则由题意当以 A,B,C,D为顶点的三棱锥体积最大,即点D到底面△ABC 的距离最大时,平面ADC⊥平面ABC,取AC的中点O,连接 BO,DO,则易知DO,BO,CO两两互相垂直,所以分别以 OD,OB,OC 所在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令 BO=DO=CO=1,则有O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章立体几何 7.7.1 精品

【规律方法】用向量法证平行问题的类型及常用方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方线面平行向向量平行 ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示
线线平行
证明两直线的方向向量共线
①证明两平面的法向量平行(即为共线向量) 面面平行 ②转化为线面平行、线线平行问题
【证明】因为平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). PB =(2,0,-2), FE＝(0,－1,0)，＝FG(1,1，－1)，
设 PB＝sFE＋tFG，
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
t 2,
所以 t s 解0得, s＝t＝2.所以
PB＝2FE＋2FG，
t 2,
又因为 FE与 F不G共线，所以与PB 共FE面，FG．
因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG.
考向二利用空间向量证明垂直问题【典例2】(2016·开封模拟)如图,已知AB⊥平面 ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB. 求证：平面BCE⊥平面CDE.
第七节立体几何中的向量方法第一课时利用空间向量证明空间中的
位置关系
【知识梳理】 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_平__行__或_重__合__,则称此向量a为直线l的方向向量.

2018高考数学(理)一轮复习课件第七章立体几何第7讲课件

辨明两个易误点 (1)求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答
π 案而忽视了夹角范围为0， 2 .
(2)求直线与平面所成角时，注意求出两向量夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．
1．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向 1 量，若 cos〈m，n〉＝－，则 l 与 α 所成的角为( 2 A．30° C．120° B．60° D．150°
(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则 |e· n| 有 sin φ＝|cos θ|＝____________ ． |e||n|
(3)求二面角的大小 a．如图①，AB，CD 是二面角 α β 两个半平面内与棱 → → 〈AB，CD〉． l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝____________ l
【解】 (1)证明：如图，连接 BD，设 BD∩AC＝G，连接 EG，FG，EF.
在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1. 由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3. 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE＝EC．又 AE⊥EC，所以故 DF＝ . 2
a a → → → 则CA＝(2a，0，0)，AP＝－a，－2，2，CB＝(a，a，0)．

设平面 PAC 的法向量为 n，易知可取 n＝(0，1，1)， → CB·n a 1 → 则 cos〈CB，n〉＝＝＝ . 2 → 2a · 2 2 |CB||n| → 所以〈CB，n〉＝60°，所以直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90°－60°＝30°.
n＝－

高考理科数学总复习《空间向量及运算》课件

π (4)错误．两异面直线夹角范围为(0，2 ]，两向量夹角范围[0， π]． (5)正确.A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝A→C＋C→D＋D→A＝A→D＋D→A＝0. (6)错误．充要条件应为 a 与 b 反向且|a|≥|b|.
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
2.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B→A＋B→C＋D→D1＝(
)
→ A.D1B1
→ C.DB1
→ B.D1B
→ D.BD1
第13页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 B→A＋B→C＋D→D1＝C→D＋B→C＋D→D1＝B→D＋D→D1＝B→D1，故选 D.
第14页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
3．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A，D→1C，A→1C1 是( )
第6页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积：a·b＝|a||b|cos a，b ． (2)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos a，e e 为单位向量； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a． (3)向量的数量积满足如下运算律： ①(λ·a)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
第8页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(4)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或ba11＝ab22＝ ab33(b1·b2·b3≠0)；
(5)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)； (6)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1， z2－z1)．

2018年秋高考数学一轮总复习课件：第七章立体几何 7-7-1 精品

【解析】 (1)由题设知AF⊥AB,且由平面ABEF⊥平面
பைடு நூலகம்
ABCD,可知AF⊥平面ABCD.
又BD是圆的直径,则AB⊥AD,因此以点A为原点可建立空
间直角坐标系,如图.由于AC,BD是圆O的两条互相垂直
的直径,且AC=4 ,所以四边形ABCD是边长为4的正方
2 形,则B(4,0,0),C(4,4,0),O(2,2,0),E(4,0,2),
1 2
直线l的方向向量为n，平面α 的法向量为m
平面α ，β 的法向量分别为n，m
l∥ α
l⊥ α α ∥β α ⊥β
【教材拓展微思考】 1.直线的方向向量如何确定?
提示: l是空间一直线,A,B是l上任意两点,则
与
及
AB 平行的非零向量均为直线l的方向向量. AB
2.如何确定平面的法向量? 提示:设a,b是平面α 内两不共线向量,n为平面α 的法
【证明】作AP⊥CD于点P，连接OP，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则
2 2 2 P(0 ， 0) ， D( ，， 0)， O(0 ， 0，，， 2) M(0 0，，， 1) 2 2 2
2 2 N(1 ，，， 0) 4 4
2 2 MN (1 ，， 1)， 4 4 2 2 2 OP (0，， 2)， OD ( ，， 2). 2 2 2 设平面OCD的一个法向量为n=(x，y，z)，
=(4λ,4λ,0),NC的中点为Q(3,2,2),
F(0,0,6),N(2,0,4).
因为AB⊥EB,AB⊥BC,
所以
因为
=(4,0,0)是平面EBC的一个法向量.

最新-2021届高三数学理高考总复习课件：第七章第七节第一课时空间角精品

[即时应用] 如图，四面体 ABCD 中，O 是 BD 的中点，CA ＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ 2． (1)求证：AO⊥平面 BCD； (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值．
解：(1)证明：连接 OC，由 CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ 2， O 是 BD 的中点，知 CO＝ 3，AO＝1，AO⊥BD．在△AOC 中，AC2＝AO2＋OC2，则 AO⊥OC．又 BD∩OC＝O，因此 AO⊥平面 BCD．
F12，0，12， ―E→F ＝0，－12，－12， ―D→C ＝(0,1,0)，
∴cos〈―E→F ，―D→C 〉＝
―→ ―→ EF ·DC ―→ ―→
＝－
22，
| EF || DC |
∴〈―E→F ，―D→C 〉＝135°，
∴异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°．
答案：45°
2．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB
[小题纠偏] 1．如图所示，已知正方体 ABCD -A1B1C1D1，E，
F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心，则 EF 和 CD 所成的角是________．
解析：以 D 为原点，分别以射线 DA，DC， DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系 D -xyz，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0，0)，C (0,1,0)，E12，12，1，
在 Rt△FDG 中，可得 FG＝ 26．
在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 22，
可得 EF＝322．从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG．又 AC∩FG＝G，所以 EG⊥平面 AFC．因为 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC．

2018高考数学(理)一轮复习课件第七章立体几何第3讲课件

2．证明共线问题的两种途径 (1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 3．证明共面问题的两种途径 (1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线 (或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．
本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA 交于一点”？ 1 [证明] 如图，由本例知 EF∥CD1，且 EF＝ CD1， 2
所以四边形 CD1FE 是梯形，所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则 P∈CE，且 P∈D1F，
又 CE⊂平面 ABCD，且 D1F⊂平面 A1ADD1，所以 P∈平面 ABCD，且 P∈平面 A1ADD1. 又平面 ABCD∩平面 A1ADD1＝AD，所以 P∈AD，所以 CE、D1F、点，l 表示直线，α，β 表示不同的平面，则下列推理错误的是(
C
)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A
2.教材习题改编如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E， F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为( C )
直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． π 0， ②范围：____________ ． 2 (3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ____________．
相等或互补
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系位置关系直线 a 在平面 α 内直线 a 与平面 α 平行图形表示符号表示 a⊂α a∥α a∩α＝A a⊥α 公共点有无数个公共点没有公共点

高三数学一轮总复习第七章立体几何 7.6 空间向量及其运算课件.ppt

5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断
向量的共线与垂直。
3
课前学案基础诊断
夯基固本基础自测
4
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有□1 __大__小__和□2 _方__向___的量叫做空间向量。 (2)相等向量：方向□3 _相__同___且模□4 _相__等___的向量。 (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相 □5 平__行____或重合的向
8
②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a，b，则□16 _|a_|_·|_b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉____叫做向量a，b的数量积，记作□17 ___a_·b________，即a·b＝□18 ___|_a_||b_|_c_o_s〈__a_，__b_〉_____。
(2)空间向量数量积的运算律。
第七章
立体几何
1
第六节空间向量及其运算
课前学案基础诊断
课堂学案考点通关
高考模拟备考套餐
2
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2.会推导空间两点间的距离公式。
考纲导学
3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 4.掌握空间向量22_＋__a_23 ，cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
28
a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23 ________________________
。
□ →
若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB|＝
29
__a_1_－__a_2_2＋___b_1－__b_2_2_＋__c_1_－_c。22

2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第七章立体几何第7讲

4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为导学号 30072184 ( A．45° C．45° 或135°
C
) B．135° D．90°
m· n 1 2 [解析] ∵cos〈m，n〉＝＝＝，∴〈m，n〉＝45° .∴二面角 2 |〈m|· |n〉| 2 为45° 或135° .精准高考源自数学文理(合订)
第七章立体几何
第七讲立体几何中的向量方法
1 2
3 4 5 6
考纲解读
知识梳理考点突破
名师讲坛思想方法复习练案
考纲解读
考点展
示
考查频
率
考纲要求
高考命题探究 1. 内容探究：与角和距离有关的计算是高考的热点，主要是利用向量法解决线线角、线面
(1)空间角的定义．
知识点二利用空间向量求距离 1．两点间的距离 → 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝| AB |＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. 2．点到平面的距离如图，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距 → n| → |AB· 离为|BO|＝ . |n|
设正方形 ABCD 的边长为 2a，则 A(a，－a,0)，B(a，a,0)，P(0,0， 4－2a2)，
(2) 掌握线线角、线面角、面面角的求
利用空
间向量求空间角与距离 ★★
法．
★★★ (3) 能用向量方法解决直线与直线、直平面的夹角的计算 5年5考线与平面、平面与
角、二面角的问
题． 2．形式探究：本
问题，了解向量方
知识梳理
• 知识点一利用空间向量求空间角 • 1．两条异面直线所成的角 π (0， ] 2 θ的取值 • (1)范围：两条异面直线所成的角范围是_________. |cosφ| • (2)向量求法：设异面直线a，b的方向向量 π a与b的夹角为a，b，直线a与b的夹角为θ ， (0， ] 2 为φ，则有cosθ＝_______. • 2．直线与平面所成的角 |cosφ| • (1)范围：直线和平面所成的角θ的取值范

高考数学理科(人教A)一轮复习课件第七章立体几何7-3

• 规律方法 (1)证明点或线共面问题，一般有两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
• (2)证明点共线问题，一般有两种途径： ①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
• 答案：A
平面的基本性质及应用(师生共研)
• 例1 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：
• (1)E，C，D1，F四点共面； • (2)CE，D1F，DA三线共点．
证明 (1)如图，连接 CD1，EF，A1B， ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝21A1B.
• A．空间不同三点确定一个平面
• B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
• C．两组对边相等的四边形是平行四边形
• D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内
• 解析：A是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；B不正确，两两相交的三条直线不一定共线；C不正确，两组对
• 3．下列命题正确的个数为( )
1．已知在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点， F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且CCFB＝CCGD＝23(如图所示)，求证：三条直线 EF，GH，AC 交于一点．
证明：∵AEEB＝HAHD＝1， ∴EH∥12BD，EH＝12BD；而CCBF＝CCGD＝23，∴FBGD＝23，且 FG∥BD. ∴四边形 EFGH 为梯形，从而两腰 EF、GH 必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF，EF⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC， ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上．故 EF、GH、AC 三直线交于一点．

2018高三数学(理)一轮总复习课件：第七章立体几何 7-7

2y－4z＝0，即 5 x＋y－2z＝0. 2 可取 n＝(0,2,1)． →| 8 5 | n · AN → 〉|＝于是|cos〈n，AN ＝ . 25 →| |n||AN 8 5 所以直线 AN 与平面 AMN 所成角的正弦值为 . 25

3．(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点．
(1)证明：PB∥平面 AEC； (2)设二面角 DAEC 为 60° ，AP＝1，AD＝ 3，求三棱锥 EACD 的体积．
解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO. 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点．又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥PB. 因为 EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC. (2)因为 PA⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD 为矩形，所以 AB， AD，AP 两两垂直．
2．(2016· 高考全国丙卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点．
(1)证明 MN∥平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．
2 解：(1)证明：由已知得 AM＝3AD＝2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 1 TN∥BC，TN＝2BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN∥ ═AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB.
5，2,0)，N 5 ，1，2. 2

7.6.1向量法求空间角课件高三数学一轮复习

考点二直线与平面所成的角【例 2】如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠ABC＝120°， AB＝1，BC＝4，PA＝ 15，M，N 分别为 BC，PC 的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM； (2)求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：因为 AB＝AD，O 为 BD 的中点，所以 OA⊥BD. 因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，OA⊂平面 ABD，所以 OA ⊥平面 BCD. 因为 CD⊂平面 BCD，所以 OA⊥CD. (2)以 O 为坐标原点，OD，OA 所在的直线分别为 y 轴，z 轴，过点 O 且垂直于 BD 的直线为 x 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
(2)由(1)知，A( 2，0,0)，B( 2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，M 22，1，0，则A→M＝－ 22，1，0，P→M＝ 22，1，－1， B→C＝(－ 2，0,0)，P→B＝( 2，1，－1)．设 n1＝(x1，y1，z1)为平面 PAM 的法向量，
则nn11··PA→ →MM＝＝00，，
以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
设 BC＝2x，则 D(0,0,0)，A(2x,0,0)，P(0,0,1)，B(2x,1,0)，M(x,1,0)．所以A→M＝(－x,1,0)， P→B＝(2x,1，－1)，
所以(－x,1,0)·(2x,1，－1)＝0，解得 x＝ 22(负值舍去)．所以 BC＝ 2.
(2)以 A 为原点，AD 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，AA1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系．设正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，D1(2,0,2)， E(0,2,1)，∴A→A1＝(0,0,2)，A→D1＝(2,0,2)，A→E＝(0,2,1)．

2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第七章立体几何第1讲

• A．0 B．1 • C．2 D．3 • [解析] (1)(2)(3)(5)不正确，(4)正确，故选 B．
2．(2016· 天津，5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左) 视图为导学号 30071968 (
B
)
• [解析] 由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B ．
• 知识点二空间几何体的三视图 • 空间几何体的三视图是用正投影得到的，完全相同这种投影下与投影面平行的平面图形留下主(正)视图左(侧)视图俯视图的影子与平面图形的形状和大小是 _________的，三视图包括__________、 ___________、________．
• 知识点三空间几何体的直观图斜二测 • 空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：垂直 • 1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直平行于观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°) 不变，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 ______．原来的一半 • 2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴．平行于y轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度_____，平行于x轴的线段长度在直观图中变为 _____________．
1．下列结论正确的个数为导学号 30071967 (
B
)
(1)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱． (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． (3)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台． (4)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面． (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且∠A＝90° ，则在直观图中∠A＝45° .

高三数学复习课件：7.6空间角(共20张PPT)

VS
题组一判断正误⇔概念辨析
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( ) (4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．( )
考点三利用向量求二面角
师生共研
(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是D︵F 的中点．
(1)设 P 是C︵E 上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； (2)当 AB＝3，AD＝2 时，求二面角 E-AG-C 的大小．
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[训练] (2017·全国卷Ⅰ，节选)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP ＝∠CDP＝90°.
若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值．
核心素养系列 (四十)逻辑推理——利用向量求解空间角中的核心素养利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间角问题，特别是解决存在型问题，更凸显了向量法的独特魅力. 这类问题的解决一般是先假设存在，通过建立空间直角坐标系，将问题转化为向量问题来解决.

五年高考三年模拟2018届高三数学理新课标一轮复习课件：8.5 空间向量及其应用、空间角精品

(3)求二面角的大小
(i)如图a,AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ= < AB, CD> .
(ii)如图b、c,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=
cos<n1,n2>或-cos<n1,n2> . 3.点到面的距离的求法如图,设A为平面α内的一点,B为平面α外的一点,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离d=
(2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔ v∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔ u1⊥u2 ⇔ u1·u2=0 . 三、立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角与距离 1.线直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)找直线的方向向量:在直线上任取一非零向量可作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法
| AN || BM | 5 6 30 10
方法2 平行与垂直、直线与平面所成的角
1.用向量法证明平行(或垂直)只需证明a∥b(或a·b=0). 2.求线面角的常用方法: (1)找:即找出直线与平面所成的角,再通过解三角形求解,具体步骤为: ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线,或过斜线上一点作平面的垂线,确定垂足的位置; ②连结垂足和斜足得到斜线在平面内的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角; ③将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形),通过解三角形(可能需要解多个三角形)求得该角或其三角函数值. (2)算:①公式法:sin θ= h .其中,θ为线面角,h为点B到平面α的距离,l为斜线段AB的长.(如图所示)

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章立体几何 7.1 精品

2.(必修2P19练习T3改编)利用斜二测画法得到的:
①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的个数是
.
【解析】由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,④也错误. 答案:1
2.已知三视图,判断几何体的技巧 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. (2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图. (3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则. 易错提醒:对于简单组合体的三视图,应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.
【题组通关】
1.(2016·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示,那么
2.给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③
【解析】选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质
2
4
在图②中作C′ OC 6 a.
2
8
所以S△A′B′C′=
1 AB CD 1 a 6 a 6 a2.
2
2 8 16
(2)选C.如图,在原图形OABC中, 应有OD=2O′D′=2 2 2 (4cm2 ), CD=C′D′=2cm,
所以OC= OD2 CD2 4 2 2 所22以O6Acm=O, C,
球

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章立体几何 7.6 精品

【规范解答】(1)a+6b-8c=(2,0,5)+6(3,1,-2) -8(-1,4,0) =(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0) =(28,-26,-7). 答案:(28,-26,-7)
(2)①因为P是C1D1的中点,
所以
AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋
1 2
D1C1
AA1
AB
BN
1 2
AA1
AB
1 2
AD
1 2
a
b
1 2
c.
故x 1 , y 1, z 1 .
2
2
【规律方法】 1.用基向量表示指定向量的方法 (1)应结合已知和所求向量观察图形. (2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来.
答案: 2
3
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:
A1O－
1 2
AB－
1 2
AD.
(2)用 AB, AD, AA1表示OC1.
(3)设E是棱DD1上的点,且
DE＝
2 3
DD1，
若 EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求x,y,z的值.
【解析】(1)因为 AB＋AD＝AC，
3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a, a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即 (a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
【小题快练】链接教材练一练 1.(选修2-1P97习题3.1A组T2改编)如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设 AB =a, AD=b, AA1=c,则下列向量中与 C1M 相等的向量是 ( )

高考数学(理)一轮复习课件：第7章立体几何7-3

栏目导引
第十二章
选考部分
【跟踪训练】
1．已知：空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的 1 1 点，且 CG＝ BC，CH＝ DC.求证： 3 3 (1)E、F、G、H 四点共面； (2)三直线 FH、EG、AC 共点．
栏目导引
第十二章
符号语言定一个平面 α 面 α，使 a⊂α，b⊂α 使 a⊂α，b⊂α 若 P∈α，P∈β，则 α∩β＝a， P∈a，且 a 是唯一的
一点，若点 A∉直线 a，则 A 和 a 确经过一条直线和直线外的_______ 相交直线，有且只有一 a∩b＝P⇒有且只有一个平经过两条_______
平行直线，有且只有一 a∥b⇒有且只有一个平面 α，经过两条_______
栏目导引
第十二章
选考部分
小题快做 1.思考辨析 (1)两个平面 α、β 有一个公共点 A，就说 α、β 相交于过 A 点的任意一条直线．( × ) (2)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．( × ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( × )
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第十二章
选考部分
3 2．[教材改编]两两相交的三条直线最多可确定________ 个平面． 7 3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________个部分．
个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ———l1 ———l2 ———l
公理 4
平行于同一直线的两条直线平行
l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2
栏目导引
第十二章
选考部分
2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________ 相等或互补．

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