2009届高三应知应会讲义(附加部分)——数学归纳法(孙居国)

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高三应知应会讲义(附加部分)——数学归纳法(孙居国)

数学归纳法南师附中孙居国编写一、考试说明要求：二、应知应会知识和方法：1．已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当x ＞－1时，(1＋x )m ≥1＋mx ．证明当x ＝0或m ＝1时，原不等式中等号显然成立．下用数学归纳法证明：当x ＞－1，且x ≠0，m ≥2时，(1＋x )m ＞1＋mx ．①当m ＝2时，左边＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x ，因为x ≠0，所以x 2＞0，即左边＞右边，(1＋x )m ＞1＋mx 成立；②假设当m ＝k (k ≥2)时，不等式(1＋x )m ＞1＋mx 成立，即(1＋x ) k ＞1＋kx ，则当m ＝k ＋1时，因为x ＞－1，所以1＋x ＞0．又因为x ≠0，k ≥2，所以kx 2＞0．于是在不等式(1＋x ) k ＞1＋kx 两边同乘以1＋x 得(1＋x ) k ·(1＋x )＞(1＋kx )(1＋x )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2＞1＋(k ＋1)x ，所以(1＋x +)k ＋1＞1＋(k ＋1)x ，即当m ＝k ＋1时，不等式(1＋x )m ＞1＋mx 也成立．综上所述，所证不等式成立．2．已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111n n n a a a +++-=(n ∈N *)．求证：当n ∈N *时，1+<n n a a ．证明 ①当1n =时，因为22210a a +-=，且20a ≥，所以2a =，所以12a a <． ②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<．因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++，所以12k k a a ++<．即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．根据①和②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．3．如图，111()P x y ，，222()P x y ，，…，()n n n P x y ，（120n y y y <<<<…）是曲线C ：23y x =（0y ≥）上的n 个点，点(0)i i A a ，（123i n =，，，…，）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是正三角形（0A 是坐标原点）．（1）写出1a ，2a ，3a ；（2）求出点(0)n n A a ，（n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式．解（1）12a =，26a =，312a =；（2）依题意，得12n n n a a x -+=，12n n n a a y --，由此及23n n y x =得 2113()22n n n n a a a a ---⎫=+⎪⎭，即211()2()n n n n a a a a ---=+．由（1）可猜想：(1)n a n n =+（n *∈N ）．下面用数学归纳法予以证明：（1）当1n =时，命题显然成立；（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及211()2()k k k k a a a a ++-=+得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，解之得1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去），即当1n k =+时，命题成立．所以(1)n a n n =+（n *∈N ）．说明数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题。

高考数学总复习考点知识专题讲解6 数学归纳法

高考数学总复习考点知识专题讲解专题6 数学归纳法数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明数列不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本高考数学总复习考点知识专题讲解专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.知识点一数学归纳法在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤：1．(奠基)验证：n＝n0(n0∈N＋)时，命题成立；2．(递推)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的正整数n，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法．3.利用数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键数学归纳法的实质是递推，分析从n＝k到n＝k＋1的过程中，式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律，即从n＝k到n＝k＋1，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件．在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．【例1】用数学归纳法证明不等式2*2(1)()n n n N >+∈时，初始值0n 应等于．【例2】用数学归纳法证明不等式11113(2,)1224n n N n n n n +++>≥∈+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了() A ．12(1)k +B ．112122k k +++C ．11211k k -++D ．112122k k -++【例3】用数学归纳法证明等式(1)(2)(3)()213(21)n n n n n n n ++++=⋅⋅⋅⋅-，其中n N ∈，1n ≥，从n k =到1n k =+时，等式左边需要增乘的代数式为()A ．22k +B ．(21)(22)k k ++C ．211k k ++D ．(21)(22)1k k k +++ 【例4】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-+⋯+>++⋯+-++时，若已假设(2n k k =≥，且k 为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证() A ．1n k =+时不等式成立B ．2n k =+时不等式成立 C ．22n k =+时不等式成立D ．2(2)n k =+时不等式成立知识点二用数学归纳法证明等式 1.看结构（1）看等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，从k n =到1+=k n ，等式两边会增加多少项； 2.配凑项（1）凑假设：将1+=k n 时的式子转化成与归纳假设的结构相同的式子；（2）凑结构：然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的结构形式. 【例5】用数学归纳法证明：*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N ++⋯+=⨯⨯⨯⋯⨯-∈．【例6】请用数学归纳法证明：223333(1)12...(1)4n n n n ++++-+=．知识点三归纳—猜想—证明1.“归纳—猜想—证明”的主要题型有：（1）已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．（2）由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．（3）给出一些简单的命题(n ＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．2.“归纳—猜想—证明”的一般环节（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础；（2）归纳与猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般性的结论；（3）证明：利用数学归纳法证明一般性结论. 【例7】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)2n n n a a S +=．（1）计算1a ，2a ，3a ，猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明数列{}n a 的通项公式．知识点四数学归纳法的综合应用用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =时成立得1n k =+时成立.要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，主要方法有①放缩法；②基本不等式法；③作差比较法；④综合法与分析法；⑤利用函数的单调性.【例8】（2009•山东理）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对任意的*n N ∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1)b ≠，b ，r 均为常数的图象上．（Ⅰ）求r 的值．（Ⅱ）当2b =时，记22(log 1)(*)n n b a n N =+∈，证明：对任意的*n N ∈，不等式成立1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋯⋅>【例9】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且420S =，510a =．（1）求n S ；（2(1)()2n n n S n N +++>∈．【例10】用两种方法证明：33*278()n n n N +--∈能被49整除．【例11】是否存在实数a ，b ，c ，使得等式2(1)135246(2)(4)()4n n n n n an bn c +⋅⋅+⋅⋅+⋯⋯+++=++对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由．【训练1】用数学归纳法证明等式：1221357(1)(21)(1)(21)(1)(23)(1)(2)n n n n n n n n +++-+-++⋯+--+-++-+=-+．要验证当1n =时等式成立，其左边的式子应为()A ．1-B ．13-+C ．135-+-D ．1357-+-+【训练2】用数学归纳法证明21211n n nn ->++对任意(,)n k n k N >∈的自然数都成立，则k 的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【训练3】用数学归纳法证明“22n n >对于0n n …的正整数n 都成立”时，第一步证明中的初始值0n 应取() A ．2B ．3C ．4D ．5【训练4】用数学归纳法证明不等式“1111(,2)232nn n N n +++⋅⋅⋅+<∈≥”时，由(2)n k k =…时不等式成立，推证1n k =+时，左边增加的项数是() A ．12k -B ．21k -C ．2k D ．21k +【训练5】用数学归纳法证明222(1)1232n n n +++++=时，由n k =到1n k =+，左边需要添加的项数为()A ．1B ．kC ．2kD ．21k +【训练6】用数学归纳法证明不等式“111131214n n n n ++⋯+>+++”的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边() A ．增加了一项“12(1)k +” B ．增加了两项“121k +”和“12(1)k +”C ．增加了一项“12(1)k +”，但又减少了一项“11k +” D ．增加了两项“121k +”和“12(1)k +”，但又减少了一项“11k +”【训练7】已知经过同一点的*(n n N ∈，3)n ≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成()f n 个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n k =到1n k =+时，应证明增加的空间个数为()A ．2kB ．22k +C ．222k k ++D ．22k k ++【训练8】用数学归纳法证明：2221(11)(22)()(1)(2)(3n n n n n n ++++++=++为正整数）．【训练9】已知正数列{}n a 满足233312na n =+++．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【训练10】用数学归纳法证明：2221112(1)11...23(1)1n n n +-++++<++．【训练11】2(1)2n +．【训练12】用数学归纳法证明：21243()n n n N ++++∈能被13整除．【训练13】用数学归纳法证明：对任意正整数n ，4151n n +-能被9整除．【训练14】在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n 条直线最多可将平面分成211122n n ++个部分．现探究：空间内n 个平面最多可将空间分成多少个部分，*n N ∈．设空间内n 个平面最多可将空间分成32()1f n an bn cn =+++个部分．（1）求a ，b ，c 的值；（2）用数学归纳法证明此结论．。

高中数学第6章推理与证明6.3数学归纳法(1)课堂讲义配套课件湘教版选修22

项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．
跟踪演练 1 设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1(n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)等于________．答案 31n＋3n1＋1＋3n1＋2 解析 ∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1， ∴f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1＋31n＋3n1＋1＋3n1＋2， ∴f(n＋1)－f(n)＝31n＋3n1＋1＋3n1＋2.
要点二证明与自然数 n 有关的等式例 2 已知 n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋
n＋1 2＋…＋21n. 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；
(2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 则当 n＝k＋1 时，左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋11－1 －2k＋1 1
要点三证明与数列有关的问题例 3 某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数 n≥2，数列
的前 n 项之积为 n2. (1)写出这个数列的前五项； (2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．
解 (1)已知 a1＝1，由题意得 a1·a2＝22， ∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝3222. 同理可得 a4＝3422，a5＝5422. 因此这个数列的前五项为 1,4，94，196，2156.
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1 ＝k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋k＋11＋k＋ 2k＋1 1＝右边；所以当 n＝k＋1 时等式也成立．由(1)(2)知对一切 n∈N*等式都成立．

高考数学归纳法知识点精华总结

数学归纳法(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立典型题例示范讲解例3是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c )解假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2 设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10)那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24) =12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立学生巩固练习1 已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A 30B 26C 36D 62 用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *3 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145 (1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论4 设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足 a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围参考答案1 解析 ∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除证明 n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k+9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1 －(2k +7)·3k =(6k +27)·3k－(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2 (k ≥2)⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36 答案 C2 证明 (1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除 3 (1)解设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1 的大小⇔比较(1+1)(1+41) (1)231-n )与313+n 的大小取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=>取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测 (1+1)(1+41) (1)231-n )＞313+n (*)①当n =1时，已验证(*)式成立 ②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41) (1)231-k )＞313+k则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1 ,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +14 解 ∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n +1 两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n…猜想 a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…)综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证 (1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1 ∴a 2k +1=2·q k即n =2k －1成立可推知n =2k +1也成立设n =2k 时，a 2k =－21q k ,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k +1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+qn -1)－21 (q +q 2+…+q n))24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q qq nnn---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(q qqn---依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52Ⅱ、示范性题组：例1. 已知数列223·11·8，…，22)12(·)12(·8+-n n n，…。

高中数学讲义(人教A版选择性必修二)：第06讲数学归纳法(学生版)

变式 1：（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1 2 25 n 3n1 n 2 n1 （ n N , n 1）．
3
1 3k
4
D．
1 3k
2
1 3k
4
2 （3 k
1）
【例
1-6】（2022·全国·高二专题练习）利用数学归纳法证明不等式1
1 2
1 3
1 2n
1
n
n 2, n N
的
过程中，由 n k 到 n k 1，左边增加了（）
A．1 项
B．k 项
C． 2k1 项
D． 2k 项
考点二数学归纳法证明恒等式
A． k2 1 2
B． k2 1
C． k 12 k 2
D． k 12 2k 2
变式
1：（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式
n
1
1
n
1
2
n
1
n
13 24
n
2,
n
N
的过程中，由 n k 递推到 n k 1时，不等式左边增加了（）
1
A． 2k 1
C．
1 2k 1
(3)数学归纳法的框图表示
2.“归纳—猜想—证明”的一般步骤
【即学即练 1】（2022·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明 1＋a＋a2 L an ＝ 1 an1 (a≠1，n∈N*)， 1 a
在验证当 n＝1 时，左边计算所得的式子是（）
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a4
【例 1-1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明1 a a2 an1 1 an2 ,(a 1) 1 a

数学归纳法高中知识点总结

数学归纳法高中知识点总结数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在高中数学中也是一个重点知识点。

在本文中，将对数学归纳法的概念、原理以及具体应用进行总结。

希望通过本文的阐述，能够帮助大家更好地理解和掌握数学归纳法的相关知识。

一、概念和原理数学归纳法是一种用于证明某个命题对于所有自然数都成立的方法。

它的基本思想是：首先证明当n=m时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而可以得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。

数学归纳法的推理过程分为两步：归纳基础和归纳步骤。

归纳基础是证明当n=m时命题成立，通常情况下令m=1或m=0。

归纳步骤是证明当n=k+1时，命题也成立。

二、具体应用1. 证明数学等式或不等式的成立数学归纳法可以用来证明一些与自然数有关的等式或不等式的成立。

具体的做法是，首先证明当n=m时命题成立，再假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，从而得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。

例如，我们要证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2对于任意正整数n成立。

首先当n=1时，显然等式两边相等。

然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

我们需要证明当n=k+1时等式也成立。

根据归纳步骤，易知1+2+3+...+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。

因此，通过数学归纳法，我们可以证明该等式对于任意正整数n成立。

2. 证明命题关于自然数集的成立数学归纳法还可以用于证明一些命题关于自然数集的成立。

通常情况下，我们需要在归纳步骤中利用归纳假设来进行推理。

例如，我们要证明命题P(n)：1+3+5+...+(2n-1) = n^2对于任意正整数n成立。

首先当n=1时，命题显然成立。

然后假设当n=k时命题成立，即1+3+5+...+(2k-1) = k^2。

我们需要证明当n=k+1时命题也成立。

根据归纳步骤，易知1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)^2。

2009-2010年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——数学归纳法

第三章数列知识结构网络前n 性质n 证等式,不等式,整除性几何题,数列求和、通项3．1数学归纳法——数学归纳法是很另类的方法,专门解决与正整数有关的命题,不要忘记噢!一、明确复习目标1.理解数学归纳法的原理; 掌握数学归纳法的证明步骤;2.能用数学归纳法证明恒等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；二．建构知识网络1.归纳法: 由特殊事例推出一般结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.2.数学归纳法:对于与正整数有关的命题证明： ①当n=n 0（每第一个值）时成立；②假设n=k （k ≥n 0）时命题成立，证明当n=k +1时命题成立；这就证明了命题对n 0以后的所有正整数都成立。

(1)事实上:第一步证明了“归纳基础”；第二步证明了“递推规律”——“若n=k 命题成立，则n=k +1命题成立”，从而可以无限的递推下去，保证了对n 0以后的所有正整数都成立。

(2)两点注意: ①两步缺一不可（如命题2） ②证“n =k +1成立”必用“n=k 成立”（归纳假设）如对于等式2+4+……2n =n 2+n +1可以证明“假设n=k 时成立，则n=k +1时也成立”，没有归纳基础。

事实上这个等式是不成立的。

3．数学归纳法的应用:证明等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；三、双基题目练练手1．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n时，由n=k 的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++C ．2)1(+k D ．]1)1(2)[1(312+++k k2．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立3.用数学归纳法证明对n 为正偶数时某命题成立，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立4.（2004太原模拟）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为 ( )A .B .D .C .12456789101112…5．平面内有n (n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，猜想这n条直线交点的个数为 .6.如图，第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来（n =1，2，3，…），则第n －2个图形中共有____________个顶点.简答:1-4.BCBD; 5.2)1(-n n ; 6. 观察规律…第n －2个图形有（n +2－2）2+（n +2－2）=n 2+n 个顶点四、经典例题做一做【例1】用数学归纳法证明等式：)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . [证明]︒1. 当1=n 时，左边0)11(122=-⋅=，右边0201412=⋅⋅⋅=，∴左边=右边，1=n 时等式成立；︒2. 假设k n =时等式成立，即)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-⋅++-⋅+-⋅k k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时，左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222+-+++-+⋅++-+⋅+-+⋅=k k k k k k k k222222[1(1)2(2)()][1(21)2(21)(21)]k k k k k k k k k =⋅-+-++⋅-+⋅++⋅++++)]12(2)1)[(1(41)12(2)1()1)(1(412++-+=+⋅+++-=k k k k k k k k k k )2()1(41)23)(1(4122++=+++=k k k k k k k =右边，即1+=k n 时等式成立，根据︒︒21与，等式对*∈N n 都正确.【例2】是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k －1－1），由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.方法提炼：本题是探索性命题，它通过观察、归纳、特殊化猜想出结论，再用数学归纳法证明。

高考数学总复习 67 数学归纳法课件苏教版

第十三页，共28页。
考向二证明不等式等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，
Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上． (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝2(log2 an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的
n∈N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
第二十一页，共28页。
【解】
(1)猜想：n条直线将一个平面最多分成Cn0
＋C
1 n
＋C
2 n
个
部分(n>1)；
(2)猜想：n个平面最多将空间分割成C
0 n
＋C
1 n
＋C
2 n
＋C
3 n
个部分
(n>2)．
证明：在这里，我们用数学归纳法：
设n个平面可将空间最多分成f(n)个部分，当n＝3时，3个平面
可将空间分成8个部分，C03＋C13＋C23＋C33＝8，所以结论成立．
第十八页，共28页。
2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式 1＋13
1＋15……1＋2n1－1> 2n2＋1均成立．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝
5 2.
∵左边>右边，
∴不等式成立．
第十九页，共28页。
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即 1＋13 1＋15 …
第7节数学(shùxué)归纳法
第一页，共28页。
【知识梳理】 1．归纳法由一系列有限的对象具有的某些特征得出全部对象都具有这些特征的推理方法，通常叫做归纳法． 2．数学归纳法对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n＝ k(k∈N*，k≥n0)时，命题成立：证明当n＝k＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．

高三数学备考专家讲座.课件

1 （Ⅱ） an+1＜ 6
a n 3.
⑨（ 2007 湖南理 21）已知 A n( an，bn)( n∈ N *)是曲线 y=ex 上的点，a1=a， Sn 是数列 {an}的前 n 项和，且满足 Sn2=3n2an+Sn-12， an≠ 0， n≥ 2．
3.对题目探究的思辨
【例 1】（ 2008 全国Ⅰ 理 9）设奇函数 f( x)在 ( 0，+∞ )上为
f ( x) f ( x) 0 增函数，且 f( 1) =0，则不等式的解集为 x
（
）
A ． ( –1， 0) ∪ ( 1， +∞ ) B ． ( –∞， –1) ∪ ( 0， 1) C ． ( –∞， –1) ∪ ( 1， +∞ ) D ． ( –1， 0) ∪ ( 0， 1)
n! （Ⅱ）分析：据（Ⅰ）得，a1·a2·…·an= (1 1 )( 1 1 ) (1 1 ) ， 3 32 3n
为证 a1· a2·…· an＜ 2· n！，
1 1 1 1 只要证 n∈ N *时有 ( 1–3 )( 1–3 2 ) … ( 1– 3 n ) ＞ 2 ………… 1
2009年高考数学大纲解读及备考建议
陈文胜
Ⅰ . 2009 年高考大纲解读暨 2008 年各地高考数学试卷分析一 .试题平和，贴近考生二 .充满数学思辨，深入考查数学思想三 .注重知识交汇，提高对思维能力的考查深度和广度四 .考查实践能力，贴近生活，背景公平五 .设计新颖试题，让考生展示创新能力 Ⅱ .2009 年科学备考的几点建议
2 9 x sin 2 2 1 x cos 2 2
.
∵
9 x sin 2
2

【金版学案】高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第九节数学归纳法理

第九节数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理数学归纳法：对于某些与正整数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立；然后假设当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝1，n0＝2 等)时结论正确； (2)(归纳递推)假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论正确，证明当 n＝k＋1 时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确．用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测1．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取( )A．2B．3C．5D．6解析：当 n≤4 时，2n>n2＋1 不成立，n≥5 时，2n>n2＋1 成立，所以取 n0＝5.答案：C2．下列代数式中(其中 k∈N*)，能被 9 整除的是( )A．6＋6×7kB．2＋7k－1C．3(2＋7k)D．2(2＋7k＋1)解析：(1)当 k＝1 时，显然只有 3(2＋7k)能被 9 整除．(2)假设当 k＝n(n∈N*)命题成立，即 3(2＋7n)能被 9 整除，那么 3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，这就说明，当 k＝n＋1 时命题也成立．故选 C.答案：C3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…11115＋15>2,1＋2＋3＋…＋31>2，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋2n－1 1>n2.111n答案：1＋2＋3＋…＋2n－1>24．在数列{an}中，a1＝13，且 Sn＝n(2n－1)an，通过计算 a2，a3，a4，猜想 an 的表达式是________．解析：a1＝13＝1×1 3，a2＝115＝3×1 5，a3＝315＝5×1 7，猜想 an＝1 2n－1 2n＋1.答案：an＝1 2n－1 2n＋11．已知 f(x)＝12x－1x.(1)若 x≥1 时，证明：f(x)≥ln x；(2)证明：1＋12＋13＋…＋1n>ln(n＋1)＋2n n＋1(n≥1)．证明：(1)设 g(x)＝f(x)－ln x＝x2－21x－ln x(x≥1)，则 g′(x)＝21x2－1x＋12＝x2－22xx2＋1＝x－1 2x22≥0(x≥1)，所以 g(x)在[1，＋∞)上单调递增，即当 x≥1 时，g(x)≥g(1)＝0，即 f(x)≥ln x.(2)(法一)由(1)有 f(x)＝12x－1x≥ln x(x≥1)，且当 x＞1 时，12x－1x＞ln x.令 x＝k＋k 1，有 ln k＋k 1＜12k＋k 1－k＋k 1＝121＋1k－1－k＋1 1，即 ln(k＋1)－ln k＜121k＋k＋1 1，k＝1,2,3，…，n. 将上述 n 个不等式依次相加，得ln(n＋1)＜12＋12＋13＋…＋1n＋21 n＋1.整理得 1＋12＋13＋…＋1n＞ln(n＋1)＋2n n＋1.(法二)用数学归纳法证明．(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝ln 2＋14＜1，不等式成立．(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k＞ln(k＋1)＋2k k＋1.那么 n＝k＋1 时，1＋12＋13＋…＋1k＋k＋1 1＞ln(k＋1)＋2k k＋1＋k＋1 1＝ln(k＋1)＋2k＋2 k＋1.由(1)有 f(x)＝12x－1x≥ln x(x≥1)．令 x＝kk＋＋21，得12kk＋＋21－kk＋＋12≥lnkk＋＋21＝ ln(k＋2)－ln(k＋1)．∴ln(k＋1)＋2k＋2 k＋1≥ln(k＋2)＋2k＋1 k＋2.∴1＋12＋13＋…＋1k＋k＋1 1＞ln(k＋2)＋2k＋1 k＋2.这就是说，当 n＝k＋1 时，不等式也成立．根据(1)，(2)，可知不等式对任何 n∈N*都成立． 2．(2012·大纲全国卷)函数 f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1 是过两点 P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标． (1)证明：2≤xn<xx＋1<3； (2)求数列{xn}的通项公式． (1)证明：因为 f(4)＝42－8－3＝5，故点 P(4,5)在函数 f(x)的图象上，故由所给出的两点 P(4,5)，Qn(xn，f(xn))可知，直线 PQn 斜率一定存在. 故有直线 PQn 的直线方程为 y－5f ＝xxnn－4－5·(x－4)．令 y＝0，可求得－5＝x2n－xn2－xn4－8·(x－4)⇔x－n＋52＝x－4⇔x＝4xxnn＋＋23.所以 xn＋1＝4xxnn＋＋23. 下面用数学归纳法证明 2≤xn<3. ①当 n＝1 时，x1＝2，满足 2≤x1<3. ②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，2≤xk<3 成立，则当 n＝k＋1 时，xk＋1＝4xxkk＋＋23＝4－xk＋5 2，由 2≤xk<3⇔xk＋2<5⇔1<xk＋5 2≤54⇔2<141≤4－xk＋5 2<3 即 2≤xk＋1<3 也成立．综上可知，2≤xn<3 对任意正整数恒成立．下面证明 xn<xn＋1：由 xn＋1－xn＝4xxnn＋＋23－xn＝4xn＋x3－ n＋x22n－2xn＝－xn－1 xn＋22＋4 ，由 2≤xn<3⇒ 0<－(xn－1)2＋4≤3，故有 xn＋1－xn>0，即 xn<xn＋1.综合①②可知，2≤xn<xn＋1<3 恒成立．(2)解析：由(1)及题意得 xn＋1＝32＋＋4xxnn.设 bn＝xn－3，则bn1＋1＝b5n＋1，bn1＋1＋14＝5b1n＋41，所以数列b1n＋14是首项为－34，公比为 5 的等比数列．因此b1n＋14＝－34·5n－1，即 bn＝－3·5n4－1＋1，所以数列{xn}的通项公式为 xn＝3－3·5n4－1＋1(n∈N*)．1．观察下表：123434567456789设第 n 行的各数之和为 Sn，则 Sn＝______________.解析：第一行，1＝12， 10第二行，2＋3＋4＝9＝32，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，归纳：第 n 行的各数之和 Sn＝(2n－1)2. 答案：(2n－1)22．(2013·揭阳一模改编)已知函数 f(x)＝1＋axxa(x>0，a 为常数)，数列{an}满足：a1＝12，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)当 a＝1 时，求数列{an}的通项公式； (2)在(1)的条件下，证明对∀ n∈N*有：a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝12n n＋5 n＋2 n＋3.(1)解析：当 a＝1 时，an＋1＝f(an)＝1＋anan，两边取倒数，得an1＋1－a1n＝1，故数列a1n是1 以a1＝2为首项，1为公差的等差数列，所以a1n＝n＋1，an＝n＋1 1，n∈N*.(2)证明：(法一)由(1)知 an＝n＋1 1，故对 k＝1,2,3，…，akak＋1ak＋2＝ k＋11 k＋2k＋3 ＝121 k＋1 k＋2－1 k＋2 k＋3所以 a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝122×1 3－3×1 4＋3×1 4－4×1 5＋…＋1 n＋1 n＋2－1 n＋2n＋3＝122×1 3－1 n＋2 n＋3＝12n n＋5 n＋2 n＋3.(法二)①当 n＝1 时，等式左边＝2×13×4＝214，等式右边＝12×1× 1＋5 1＋21＋3＝214，左边＝右边，等式成立；②假设当 n＝k(k≥1)时等式成立，即 a1a2a3＋a2a3a4＋…＋akak＋1ak＋2＝12k k＋5 k＋2 k＋3，则当 n＝k＋1 时，a1a2a3＋a2a3a4＋…＋akak＋1ak＋2＋ak＋1ak＋2ak＋3＝12k k＋5 k＋2 k＋3＋k＋21 k＋3k＋4k k＋5 k＋4 ＋12k3＋9k2＋20k＋12＝12 k＋2 k＋3 k＋4 ＝12 k＋2 k＋3 k＋4k2 k＋1 ＋4 k＋1 2k＋3 ＝ 12 k＋2 k＋3 k＋4k＋1 k＋2 k＋6 ＝12 k＋2 k＋3 k＋4＝12[k＋1 k＋1＋[ 2]k[＋1k＋＋1 5]＋3].这就是说当 n＝k＋1 时，等式成立，综①②知对于∀ n∈N*有：a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝12n n＋5 n＋2 n＋3.。

高二数学《数学归纳法》讲义湘教版选修2-3

《数学归纳法应用》讲义永定金丰中学王启兴2008年4月15日数学归纳法的应用举例·典型例题分析1．证明等式∴等式成立．②假设n＝k时等式成立那么 n＝k＋1时由①②可知，对任何n∈N等式均成立例2 求证：(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2n·1·3·5……(2n-1)(n∈N)证明①当n＝1时等式左边=2，等式右边=2×1=2 ∴等式成立②假设n＝k(h∈N)等式成立即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)=2k·1·3·5…(2k-1)成立那么n＝k＋1时(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k+1·1·3·5…(2k-1)[2(k＋1)-1] 即n＝k+1 时等式成立由①②可知对任何n∈N等式均成立．说明由k过渡到k＋1时，等式左边增加的因式是(2k＋1)(2k＋2)且减少一个因式(k＋1)，故在假设基础上两边同乘以2(2k＋1)．例3 是否存在常数a、b、c使得等式解假设存在a、b、c使题设等式成立，这时令n=3得：70=9a＋3b＋c解之 a=3 b＝11 c＝10于是当n＝1，2，3时记S n＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2假定n＝k 时上式成立，即那么当n＝k＋1时S k+1=S k＋(k＋1)(k+2)2也就是说等式对n=k＋1也成立．综上所述，当a=3，b＝11，C＝10时，题设的等式对一切自然数n成立．2．证明整除问题例4 用数学归纳法证明：n3＋5n(n∈Z)能被6整除。

证明(1)当n＝1时，n3＋5n＝6能被6整除。

(2)假设当n=k(h∈N)时结论正确，即k3＋5k(k∈N)能被6整除，那么(k＋1)3＋5(k＋1)=(k3＋5k)＋3(k2＋k＋2)∵k∈N时，k2＋k＋2是偶数∴3(k2＋k＋2)能被6整除，于是(k2＋5k)＋3(k2+k+2)能被6整除。

《数学归纳法》教案

人教课标版数学归纳法第一课时教案河南省郸城县才源高中王保社教材、教法分析数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。

人教课标版教科书把数学归纳法安排在选修2-2第二章推理与证明中，教学时间为2课时，本教案为数学归纳法的第一节课。

在此之前，学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。

但是，由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理，而由合情推理得出的结论未必正确。

因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。

数学归纳法是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要载体，也是培养学生严密的推理能力及抽象思维能力的好素材。

学生通过推理与证明前两节的学习，已基本掌握归纳推理，且已经具备了一定的观察、归纳、猜想能力。

通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯了对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯仍需进一步强化。

结合教学内容特点，本课主要采用“探究式学习法”进行教学。

教学目标根据教学内容特点和教学大纲、结合本校学生实际制订以下教学目标。

1.知识目标（1）使学生进一步了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一般结论未必正确。

（2）使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题．2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

（2）努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．教学重难点根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：1.重点（1）初步理解数学归纳法的原理。

高三数学归纳法课件

左式= 右式= ；。
基础练习：
1 1 1 (n N ) 3、已知 f ( n ) n 1 n 2 2n
则当n=1时，f ( n ) 则当n=k+1时，；
f ( k 1) f ( k )
。
数学归纳法的应用：
1、证明恒等式； 2、证明数列问题；
3、证明整除问题；
求证：an
2
1
2
n 1
【练习】已知数列 {an } 满足：
a1 1, a n a n 1 3 ( n 2)
n 1
3 1 求证：an 2
n
【例3】用数学归纳法证明:
n 5n ( n N ) 能够被6整除.
3
【练习】用数学归纳法证明:
n n ( n N ) 能够被2整除.
【例8】用数学归纳法证明:
(1 x ) 1 nx
n
( x R, x 1, x 0, n N , n 2)
此不等式称为贝努利不等式.
【例9】证明:如果n(n为正整数)个正数的乘积 a1 a 2 a n
1, 那么它们的和 a1 a 2 a n n.
注意：
3、用数学归纳法证明命题时，关键在第二步，即在“假设n=k时，命题成立”的前提下，推出 “n=k+1时，命题成立”，在推证过程中，必须用到“归纳假设”的结论，否则这个证明则不是数学归纳法。 4、在从n=k到n=k+1的推证过程中，要注意项的增减变化，以及对式子进行灵活变形，凑出 “归纳假设”的结论。
4、证明几何问题； 5、证明不等式。
【例1】用数学归纳法证明：
n( n 1)( 2n 1) 1 ＋2 ＋3 ＋＋n 6

高三数学教案：数学归纳法

第一节数学(shùxué)归纳法一、基本知识概要(gàiyào)：1.数学(shùxué)归纳法:对于某些与自然数n有关的命题(mìng tí)常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后(r ánhòu)假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n有关的命题”都有效.基础题：1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（B ）A．1n时等式成立B．时等式成立=k+C．时等式成立D．时等式成立2．设，则（ D ）A．B．C． D．3．用数学(shùxué)归纳法证明时，由的假设(jiǎshè)到证明1+n时，等式(děngshì)左边应添加的式子是（ B ）=kA．B． C． D．4．用数学(shùxué)归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添(zēngtiān)的式子是（ B ）A．B．C．D．5．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当1n时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得（ C ）+=kA．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立【典型例题选讲】【例1】用数学归纳法证明下述等式问题：（Ⅰ）.[证明] . 当时，左边，右边，∴左边=右边，1=n 时等式成立； . 假设k n =时等式成立，即，∴当1+=k n 时，左边=右边(y òu bian)，即1+=k n 时等式(d ěngsh ì)成立，根据(g ēnj ù)，等式(d ěngsh ì)对都正确(zh èngqu è).【例2】用数学归纳法证明下述整除问题：（Ⅰ）求证：能被6 整除.[证明]︒1. 当1=n 时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；︒2. 假设k n =时命题正确，即能被6整除，∴当1+=k n 时，，∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，能被6整除，即当1+=k n 时命题也正确，由知命题时*∈N n 都正确.例3、（优化设计P202例1）比较2n 与n 2的大小剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n =1时，21＞12，当n =2时，22=22，当n =3时，23＜32，当n =4时，24=42，当n =5时，25＞52，猜想：当n ≥5时，2n ＞n 2. 下面用数学归纳法证明：（1）当n =5时，25＞52成立.（2）假设n =k （k ∈N *，k ≥5）时2k ＞k 2，那么2k +1=2·2k =2k +2k ＞k 2+（1+1）k ＞k 2+C +C +C=k 2+2k +1=（k +1） 2.∴当n =k +1时，2n ＞n 2.由（1）（2）可知，对n ≥5的一切自然数2n ＞n 2都成立.综上，得当n =1或n ≥5时，2n ＞n 2；当n =2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当(qi àd àng)地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.例4、是否(sh ì f ǒu)存在常数使 a 、b 、c 等式(d ěngsh ì)对一切(y īqi è)正整数n 成立？证明(zh èngm íng)你的结论。