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2020届山东优质冲刺数学试卷分项解析06 平面向量及其应用、复数(解析版)

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2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题6.3 平面向量的数量积及其应用(解析版)

2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题6.3 平面向量的数量积及其应用(解析版)

第六篇 平面向量与复数 专题6.03 平面向量的数量积及其应用【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 【知识梳理】1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2. 3.平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).【微点提醒】1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b>0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b<0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 【解析】 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等. 【教材衍化】2.(必修4P108A10改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.3.(必修4P108A2改编)在圆O 中，长度为2的弦AB 不经过圆心，则AO →·AB →的值为________. 【答案】 1【解析】 设向量AO →，AB →的夹角为θ，则AO →·AB →＝|AO →||AB →|·cos θ＝|AO →|cos θ·|AB →|＝12|AB →|·|AB→|＝12×(2)2＝1. 【真题体验】4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3C.2D.0【答案】 B【解析】 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A.13＋6 2 B.2 5 C.30D.34【答案】 D【解析】 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 【答案】 7【解析】 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 【考点聚焦】考点一 平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12， 所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172. (2)连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.【规律方法】 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( ) A.16B.12C.8D.－4(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________. 【答案】 (1)A (2)1＋ 2【解析】 (1)以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3).设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83， AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0，6)＝16. (2)因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°， 所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a |·|b |cos 45°＝1＋ 2. 考点二 平面向量数量积的应用 角度1 平面向量的垂直【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________. (2)(2019·宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.2215B.103C.6D.127【答案】 (1)－1 (2)A【解析】 (1)a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，∴a 2＝1，a ·b ＝－1， 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m a 2－a ·b ＝0. ∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1. (2)因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 解得λ＝2215.【规律方法】1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.2.数量积的运算a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b.角度2 平面向量的模【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________. (2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________. 【答案】 (1)10 (2)5【解析】 (1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0， 所以α·β＝12，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×12＝10，所以|2α＋β|＝10.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).所以PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )， 所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )，所以当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|取得最小值5.【规律方法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3 平面向量的夹角【例2－3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.【答案】 (1)π3(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 【解析】 (1)将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0. 将|a ＋b |＝233|a |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2，∴b 2＝13a 2.设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，∴cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 2233|a |·233|a |＝23a 243a 2＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，此时2a －3b 与c 反向，不合题意.综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 【规律方法】1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(3)(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 【答案】 (1)2 (2)23 (3)33【解析】 (1)由a ⊥b ，得a ·b ＝0， 又a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )， ∴－6＋3m ＝0，则m ＝2. (2)法一 |a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3. (3)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝（3e 1－e 2）2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋（3λ－1）e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 考点三 平面向量与三角函数【例3】 (2019·潍坊摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 【答案】见解析【解析】(1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.【规律方法】 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长. 【答案】见解析【解析】(1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，所以cos C ＝12.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知及正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝18， 所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab 所以c 2＝4c 2－3×36， 所以c 2＝36，所以c ＝6. 【反思与感悟】1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 【易错防范】数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ). 【核心素养提升】【数学运算、数学建模】——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 类型1 平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心D.AB 边的中点 【答案】 C【解析】 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →， ∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 类型2 平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B.1463C.4 3D.6 2【答案】 B【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍.在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP→＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.重心 B.垂心C.外心D.内心【答案】 B【解析】 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ， 所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB→|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上， 即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 类型4 平面向量与三角形的“外心”问题【例4】 已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( ) A.⎝⎛⎭⎫45，35 B.⎝⎛⎭⎫35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35D.⎝⎛⎭⎫－35，45 【答案】 A【解析】 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－x AB →－yAC →， ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－y AC →－xAB →. 由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，① 由ON →⊥AC →，得⎝⎛⎭⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，② 又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC→22＝－12，③把③代入①、②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝⎛⎭⎫45，35.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知向量a ＝(m －1，1)，b ＝(m ，－2)，则“m ＝2”是“a ⊥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 当m ＝2时，a ＝(1，1)，b ＝(2，－2)， 所以a ·b ＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0， 所以a ⊥b ，充分性成立；当a ⊥b 时，a ·b ＝(m －1，1)·(m ，－2)＝m (m －1)－2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1，必要性不成立. 所以“m ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件.2.(2019·北京通州区二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B.1C. 2D.2【答案】 A【解析】 由题意得a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，又|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0， 解得|a |＝12.3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3B.2π3C.5π6D.π6【答案】 D【解析】 设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3， 设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫18，14B.⎝⎛⎭⎫14，38 C.⎝⎛⎭⎫38，12D.⎝⎛⎭⎫12，58【答案】 B【解析】 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2， 可得〈AD →，BC →〉＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝60°，〈AB →，BC →〉＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2， 又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →， 则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →， DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →， 所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →) ＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38. 5.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3【答案】 C【解析】 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|， 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →， 即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2. 二、填空题6.(2019·杭州二模)在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，则t ＝________. 【答案】 3【解析】 由已知，得BA →·BC →＝0， 则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t ＝3或t ＝－3， 当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去.故t ＝3.7.若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________. 【答案】 －13【解析】 |a |＝|a ＋2b |，两边平方得， |a |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |·cos θ. 又|a |＝3|b |，所以0＝4|b |2＋12|b |2cos θ，得cos θ＝－13.8.(2019·佛山二模)在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________. 【答案】 13【解析】 如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →＝(－1，2).因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)， 因为AE →＝2EC →，所以E ⎝⎛⎭⎫13，43， 所以DE →＝⎝⎛⎭⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13.三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1). (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值. 【答案】见解析【解析】(1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)， 则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.【答案】见解析【解析】(1)由题设知AB →＝(n －8，t )， ∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8). (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )， ∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k .∵k >4，∴0<4k<1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8， 此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则PA →·PB →的最大值为( ) A.9 B.16C.18D.25【答案】 B【解析】 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，∴PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB → ＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12， ∴PA →·PB →的最大值为16.12.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2D.2－ 3【答案】 A【解析】 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min＝|CA →|－|CB →|＝3－1.13.(2019·安徽师大附中二模)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________. 【答案】 －9【解析】 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2， ∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6， ∴CA →⊥AB →，即A ＝π2，以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则PA →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值，此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2).故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2， 因此△ABC 的面积的最大值为32＋32. 【新高考创新预测】15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗β＝|α||β|cos θ，其中θ为α和β的夹角.若两个非零的平面向量a 和b 满足：①|a |≥|b |；②a 和b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4；③a ⊗b 和b ⊗a 的值都在集合{x |x ＝n 2，n ∈N }中，则a ⊗b 的值为________. 【答案】 32【解析】 a ⊗b ＝|a ||b |cos θ＝n 2，b ⊗a ＝|b ||a |cos θ＝m 2，m ，n ∈N .由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，知cos 2θ＝mn 4∈⎝⎛⎭⎫12，1，故mn ＝3，m ，n ∈N .因为|a |≥|b |，所以0<b ⊗a ＝m 2<1，所以m ＝1，n ＝3，所以a ⊗b ＝32.。

冲刺卷02-决战2020年高考数学冲刺卷(山东专版)(解析版)

冲刺卷02-决战2020年高考数学冲刺卷(山东专版)(解析版)

冲刺卷02-决战2020年高考数学冲刺卷（山东专版）一、单选题 1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，集合{}21,B x x n n A ==+∈，则A B =I（ ）A ．{}1 B ．{}1,3C ．{}2,4D ．{}0,1,3【答案】B 【解析】 【分析】 先根据{}0,1,2,3,4A =，化简{}{}21,13579B x x n n A ==+∈=，，，，，再求交集. 【详解】 因为{}0,1,2,3,4A =，所以{}{}21,13579B x x n n A ==+∈=，，，，， 所以A B =I {}1,3.故选：B 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知i 是虚数单位，复数1111i i--+的共轭复数是（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数. 【详解】因为()1i 1i 11i 1i 1i 2+---==-+, 所以共轭复数就是i -. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．命题p ：对任意x R ∈，210x +>的否定是( ) A ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +≤ B ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +> C ．p ⌝：不存在0x R ∈,0210x +≤ D ．p ⌝：对任意x R ∈，210x +≤【答案】A 【解析】试题分析：所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在0x R ∈，0210x +≤. 考点：全称命题的否定4．2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（ ） A ．521B ．715C ．1115D ．221【答案】B 【解析】 【分析】由组合数公式求出从10个球中任取2个球的取法个数，再求出有1个红球1个白球的取法个数，即可求出结论. 【详解】从10个球中任取2个球共有210C 种取法， 其中“有1个红球1个白球”的情况有1137C C （种），所以所求概率1113277C 15p C C ==. 故选:B. 【点睛】本题考查利用组合数公式求古典概型的概率，属于基础题.5．已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，过点P 作直线l 分别交边AB 、AC 于M 、N ，若AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u ur u u u r ，则mn 的最小值为（ ）A ．49B ．53C ．43D ．3【答案】A 【解析】根据在ABC ∆内有一点，0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，点P 为重心，有()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再根据,,M N P 共线，有()1AM AN AP λλ+-=u u u u r u u u r u u u r ，得到11313m n+=，然后用基本不等式求解. 【详解】因为在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC++=u u u r u u u r u u u rr，且,PB PA AB PC PA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以30PA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为,,M N P 共线，所以()1AM AN AP λλ+-=u u u u r u u u r u u u r ，又因为AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u ur u u u r ， 所以()1nAC mAB AP λλ+-=u u u u r u u r u u u r，所以()1,1133n m λλ==-， 所以11313m n+=，所以11133m n =+≥=， 所以49mn ≥，当且仅当1133m n =，11313m n +=，即23m n ==时，取等号. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．在数列{}n a 中，12a =，1212n n na a a ++=()*n ∈N ，若对*n N ∈，不等式2122312n n a a a a a a m m ++++<-+L 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞UB ．(,1][2,)-∞-+∞UC ．(,2)(1,)-∞-+∞UD ．(,2][1,)-∞-+∞U【答案】B 【解析】先利用递推公式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消和放缩求出数列的和，最后再利用恒成立问题和不等式进行求解。

打卡第三天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)解析版

打卡第三天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第三天一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（2020·海南·高考真题）设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2．（2020·海南·高考真题）()()12i 2i ++=（）A ．45i +B ．5iC ．5i-D ．23i+【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.4．（2019·全国·高考真题）设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．5．（2020·山东·统考高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x \的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

2020年山东省高考数学试卷试卷及解析(26页)

2020年山东省高考数学试卷试卷及解析(26页)

2020年山东省高考数学试卷试卷及解析(26页)一、选择题（每小题5分，共50分）1. 设集合A={x|x^25x+6=0}，B={x|x^23x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. { }2. 已知函数f(x)=x^33x+1，若f(x)在区间[1,1]上的最大值为M，则M的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=28，S8=88，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知正三角形ABC的边长为2，点D在边AB上，且AD=1，则三角形ACD的面积S为（）A. √3/2B. √3C. 3√3/2D. 2√35. 已知复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的值为（）A. 1+iB. 1+iC. 1iD. 1i6. 已知函数f(x)=x^24x+3，若f(x)在区间[1,3]上的最小值为m，则m的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数f(x)=x^33x+1，若f(x)在区间[1,1]上的最小值为n，则n的取值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=28，S8=88，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 已知正三角形ABC的边长为2，点D在边AB上，且AD=1，则三角形ACD的面积S为（）A. √3/2B. √3C. 3√3/2D. 2√310. 已知复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的值为（）A. 1+iB. 1+iC. 1iD. 1i二、填空题（每小题5分，共20分）11. 若log2(3x2)=1，则x的值为_________。

12. 已知函数f(x)=x^24x+3，若f(x)在区间[1,3]上的最小值为m，则m的取值为_________。

13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=28，S8=88，则数列{an}的公差d为_________。

2020届山东优质冲刺数学试卷分项解析08 平面解析几何(解析版)

2020届山东优质冲刺数学试卷分项解析08 平面解析几何(解析版)

专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.2．（2020·C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点FAB的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1633．（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【答案】33 233- 【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 2211k =+，2211k =+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得3333k b ==-. 3234．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=,2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，， 于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 221214221233⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值.一、单选题1．（2020·山东省泰安市6月三模）已知抛物线2:4C x y =的准线恰好与圆()()()222:340M x y r r -+-=>相切，则r =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】抛物线2:4C x y =的准线方程为1y =-，()()()222:340M x y r r -+-=>的圆心为()3,4，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到直线的距离为415r =+=. 故选：C.2．（2020·山东省泰安市6月三模）如图，已知双曲线22212x y C a a -=+：的左、右焦点分别为12,,F F M 是C上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF ∆的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若=2MN ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．2D ．2【答案】D 【解析】设1AMF ∆的内切圆在边1,AF AM 的切点分别为E ，G ，则122MF MF a -=，得1222NF MF a +-=，又112||||||NF EF GF ==，则22||22GF MF a +-=，得2||2MG a +=，又||2MG =，得24,a = 2a =，所以双曲线C 的离心率为22422+=故选：D3．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ，若1CC 的中点为()1,4M ，则p =（ ） A ．4 B ．8C ．42D．82【答案】B 【解析】因为1CC 的中点为()1,4M ，所以8,212A B C py y x +=-=⨯， 所以4,22A B C p x x p x +=+=+， 设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线的方程得，2220y pmy p --=，所以 2,()8A B A B A B y y pm x x m y y p m p +=+=++=+所以8284pm m p p =⎧⎨+=+⎩，解得812p m =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：B4．（2020·山东省济南市二模）已知抛物线24x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上且横坐标为4，则||PF =（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】将4x =代入抛物线得到()4,4P ，根据抛物线定义得到||44152pPF =+=+=. 故选：C.5．（2020·山东省济南市二模）已知点A ，B ，C 均在半径为2的圆上，若||2AB =，则AC BC ⋅的最大值为（ ） A ．3+22 B ．222+C ．4D ．2【答案】B 【解析】根据圆O 半径为2，2AB =得到OA OB ⊥，以,OB OA 为,x y 轴建立直角坐标系， 则()0,2A ，()2,0B ，设()2cos ,2sin Cθθ，则()()2cos ,2sin 22cos 2,2sin 222sin 4AC BC πθθθθθ⎛⎫⋅=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时有最大值为222+. 故选：B.6．（2020·山东省仿真联考3）已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）． A 2 B 3C ．2D 5【答案】A 【解析】OMN ∆为直角三角形，结合对称性可知，双曲线C 的渐近线为：y x =±即1ba=c ∴==c e a ∴==本题正确选项：A7．（2020·山东省仿真联考3）已知点P 在圆224x y +=上，(2,0)A -，(2,0)B ，M 为BP 中点，则sin BAM ∠的最大值为( ) A ．14BC ．13D ．12【答案】C 【解析】设(),P x y ，因为为BP 中点，所以2M ,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2tan 2622yy BAM x x ∠==+++，因为点P 在圆224x y +=上，则22x -≤≤,不妨令0y >，则tan 6yBAM x ∠====+ 令111t ,684x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则tan BAM ∠==所以当且仅当316t=时，tan BAM ∠取最大值4，故1sin 3BAM ∠=.故选C. 8．（2020·山东省仿真联考2）设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为 （） A．2BC ．12+ D ．2【答案】C 【解析】将x =化为：x 2+（y ﹣1）2＝1， ∴圆心（0，1），半径r ＝1， ∵圆心到直线x ﹣y ﹣2＝0的距离d =，∴圆上的点到直线的最小距离b 32=-1， 最大值为（0，2）到直线的距离，即a 2==22 则a ﹣b 2=+1． 故选：C ．9．（2020·山东省仿真联考2）已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，得①，且分别为的中点．由双曲线定义，知②，③，联立①②③，得．因为的周长为12，所以的周长为24，即，亦即，所以．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时，所以，所以，故选C ．10．（2020·山东省滨州市三模）已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（ ） A ．(3，5) B ．(5，7)C ．(6，8)D ．(6，8]【答案】C 【解析】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得()()2,22,2,22A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =， 所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C11．（2020·山东省济南市6月模拟）已知双曲线C 的方程为221169x y -=，则下列说法错误的是（ ） A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94【答案】D 【解析】由双曲线C 的方程为221169x y -=得：2216,9,a b ==224,3,5a b c a b ∴===+=.∴双曲线C 的实轴长为28a =,故选项A 正确.双曲线C 的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项B 正确.取焦点()5,0F ，则焦点()5,0F 到渐近线34yx 的距离2235334d ⨯==+，故选项C 正确.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 错误. 故选：D .12．（2020·山东省济宁市6月三模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，B ，且满足2,AF FB E =为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为( ) A ．114B ．94C ．52D ．54【答案】B 【解析】由题得抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2,AF FB =||2||AF BF ∴=，1212(1)x x ∴+=+，1221x x ∴=+， 221212||2||,y 4y y y =∴=，124x x ∴=，12x ∴=，212x =. ∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为1219[(1)(1)]24x x +++=. 故选：B.13．（2020届山东省青岛市三模）若直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，则下列选项中正确的（ ） A ．p 是q 的必要非充分条件B ．q 是p 的充分非必要条件1C ．p 是q 的充分非必要条件D ．q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或65a =-. 经检验，当0a =或65a =-时，两直线平行. 设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 故选：C.14．（2020·山东省青岛市二模）已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B 【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离35d ===≠，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .15．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a =是“0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420y xy a -+-=， 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <， 2121242,55a a y y y y -∴+==， 121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=， ()()1212220y a y a y y ∴--+=， ()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a aa a -∴⨯-⨯+=，解得a =则“5a =”是“0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选A.16．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)【答案】C 【解析】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，）， 由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 17．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是（ ）A 2B 21C 13D ．53【答案】B 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为120MF MF ⋅=，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上， 解得m a =，故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率23b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率3c e a ===.故选：B . 二、多选题18．（2020·山东省德州市6月二模）抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A ．|PM | +|PF |的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3 C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD 【解析】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+--+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程为0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上， 所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-， 所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++，所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ．19．（2020·山东省德州市6月二模）直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】BC 【解析】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC20．（2020·山东省滨州市三模）已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD 【解析】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确. 当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为21122222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD21．（2020·山东省威海市三模）已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =-B ．0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列 C ．若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D ．若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB =，22(1,)FC x y =-，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，即FA ，FB ，FC 成等差数列，故B 正确； 因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AFCF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确. 故选：ABD22．（2020·山东省仿真联考1）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( )A B ．C D ．3【答案】AC 【解析】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得5PF PF '===，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C 的离心率c e a ==≤因为1e >.所以双曲线C 的离心率的取值范围为(. 故选：AC23．（2020·山东省仿真联考3）设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）．A ．||||OM ON +≥B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2,0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2【答案】CD 【解析】不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN x ⊥轴时，OM ON k k =-，由12OM ON k k ⋅=-，得OM k =2ON k =-，所以直线OM ，ON的方程分别为：y x =和y x =．与抛物线方程联立，得M，(2,N ，所以直线MN 的方程为2x =，此时||||OM ON += 以MN 为直径的圆的面积2S π=，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y kx m =+， 与抛物线方程联立消去x ，得20ky y m -+=，则140km ∆=->．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12m y y k=． 因为12OM ONk k ⋅=-，所以121212y y x x ⋅=-， 则222121122y y x x y y =-=-，则122y y =-，所以2mk=-，即2m k =-， 所以直线MN 的方程为2y kx k =-，即(2)y k x =-．综上可知，直线MN 为恒过定点(2,0)Q 的动直线，故C 正确； 易知当OQ MN ⊥时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2．故D 正确． 故选：CD24．（2020·山东省泰安市模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆CC ．PQ PF +的最小值为D ．过点F 的圆E的切线斜率为43-± 【答案】AD 【解析】圆E 的圆心为()3,4E -，半径长为2，由于椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则24a =，可得2a =，设椭圆的左焦点为点1F ，由椭圆的定义可得124PF PF a +==，14PF PF ∴=-，所以，()111144246256PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF -=--=+-≥+--≥-=， 当且仅当P 、Q 、E 、1F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段1EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立， 则()()()222134031625EF c c =-++-=-+=02c a <<=，解得1c =，所以，椭圆C 的焦距为22c =，A 选项正确；椭圆C 的短轴长为222223b a c =-=，B 选项错误；()()222231402422PQ PF PE PF EF +≥+-≥-=--+-=，当且仅当P 、Q 、E 、F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，C 选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x =，圆心E 到该直线的距离为3142--=>，则直线1x =与圆E 相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，223441211k k k k k ---+==++，整理得23830k k ++=，解得47k -±=.故选：AD.25．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD 【解析】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(214+>==a12+>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故正确；D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得21122244+===a ，2=，所以椭圆C 的.三、填空题26．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______. 【答案】2213y x -=【解析】由题意，圆()2223F x y -+=：的圆心()2,0F 是双曲线C 的右焦点，2c ∴=.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，∴圆心()2,0F 到直线by x a=，223b a =∴=，又2224c a b =+=，221,3a b ∴==.∴双曲线C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.27．（2020届山东省青岛市三模）若方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1(0,)2【解析】由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<， 所以实数m 的取值范围为：1(0,)2. 故答案为：1(0,)2.28．（2020·山东省威海市三模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________． 【答案】32【解析】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c ya b-=，解得：2b y a =±，设2,b Pc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a=，则,P Q 两点到渐近线的距离22bc b bc b cc---++=，c b >，上式去掉绝对值为22bc b bc b c c +-+=，即2b a =，那么32c a ==.∴双曲线的离心率32e =. 故答案为：3229．（2020·山东省泰安市模拟）已知点12F F ，分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点2F 恰好为1F AB 的外心，若11()0BF BA AF +⋅=，则C 的离心率为__________.【答案】31+ 【解析】取1AF 的中点为C ，连接BC 、2AF 、2BF ，如图所示：因为1111()02BF BA AF BC AF +⋅=⋅=，所以1BC AF ⊥， 又C 为1AF 的中点，所以1ABF 为等腰三角形且1BF BA =，因为点2F 恰好为1F AB 的外心，所以点2F 在直线BC 上，且22122AF BF F F c ===， 由双曲线的定义知12122AF AF BF BF a -=-=，则1122AF BF a c ==+， 所以1ABF 为等边三角形，则2332BC BF c ==， 在1CBF 中，22211CB CF BF +=即()()222922c a c a c ++=+，化简得223660a ac c +-=， 同时除以2a 可得22210e e --=，解得132e +=13-(舍去). 故答案为：31230．（2020·山东省青岛市二模）抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5 【解析】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 故答案为：531．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，M 为虚轴的一端点，若以M 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点N ，且M ，N ，F 三点共线，则该双曲线的离心率为________. 【答案】152+ 【解析】由题意可得(),0F c -，()0,A b -， 双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=， 可得22ab abMN ca b ==+，22MF c b =+， 在直角三角形MOF 中，可得：222abb c b c=+， 化为()22222b c acb =+，由222b c a =-，可得422430c a c a -+=， 由ce a=，可得42310e e -+=， 解得235e ±=1e >，所以2e =e =.32．（2020·山东省济宁市6月三模）设双曲线()222210x y C a b a b -=>0,>：的左、右焦点分别为1212,,2F F F F c =，过2F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】32⎛ ⎝⎭【解析】将x c =代入双曲线的方程，得2by a =±=±，所以2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又22F Q F A >，得232a b a >，所以232b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2c e a ==<=；因为12222PF PQ a PF PQ a F Q +=++≥+，又在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，所以有212726a F Q F F +<， 即372226a a c +<⨯，解得：32e >，又1e >，所以32e <<故答案为：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭33．（2020·山东省济南市6月模拟）已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.【解析】由于2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为P 是2AF 的中点，则20,2b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又()2,0F c ，则2223,,2,2b b BP c AF c a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为20BP AF ⋅=，则4223202b c a -=，即2c =.又222b ac =-，则)222ac a c=-220e +=，解得：3e =或e =（舍去）.34．（2020·山东省德州市6月二模）已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______.【答案】221105x y -=【解析】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=． 故答案为：221105x y -=．35．（2020·山东省仿真联考2）已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=，则λ=________. 【答案】4 【解析】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ， 得2281720x px p -+=， 解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=， 4AF FBλ==.故答案为：436．（2020·山东省仿真联考1）已知抛物线()2:20Cx py p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 在抛物线C 上，且点M 在直线l 的下方，若MAB △面积的最大值是C 的方程是_______；此时，点M 的坐标为_______.【答案】24x y = ()2,1【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得直线l 的方程为2p y x =+， 联立222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220x px p--=，所以122x x p +=，212x x p =-，则12x x -==，故124AB x p =-=，设()00,M x y ，由题意可知当直线l 与过点M ，且与抛物线C 相切的直线平行时，MAB △的面积取最大值.因为212y x p =，所以1y x p '=，所以011k x p ==.所以0x p =，则,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，点M 到直线l的距离2d ==，故1422p ⨯⨯=2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =，此时点M 的坐标为()2,1. 故答案为：24x y =，()2,137．（2020·山东省济南市二模）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线2F P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠的大小为________；双曲线的离心率为________． 【答案】2π【解析】如图所示：不妨取渐近线by x a=，易知b a >，（否则不能与右支相交）. 则直线1F P 为：()ay x c b=-+，即0ax by ac ++=， 设内切圆圆心为1O ，根据对称性知1O 在y 轴上，1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，故1112O F O F ⊥，故()10,O c -，1O 到直线1PF的距离为：1d b a ==-，设直线2PF ：()y k x c =-，即0kx y kc --=1O 到直线2PF的距离为：21d d b a ===-，化简整理得到()2220abk a b k ab -++=，解得bk a=或a k b =， 当a k b =时，直线()a y x c b =-+与()ay x c b=-的交点横坐标为0，不满足题意，舍去. 故直线2PF ：()b y x c a =-，故12PF PF ⊥，122F PF π∠=，联立方程得到()()a y xc bb y xc a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得到：()22222222241ba ab ac b c--=，化简整理得到：225c a =，故5e =. 故答案为：2π；5.38．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知双曲线2218y x -=，F 1，F 2是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆M 是△F 1PF 2的内切圆.则M 的横坐标为_________，若F 1到圆M 上点的最大距离为3△F 1PF 2的面积为___________. 【答案】1 243 【解析】双曲线的方程为2218y x -=，则1,2,183a b c ===+=.设圆M 分别与1212,,PF PF F F 相切于,,B C A ，根据双曲线的定义可知122PF PF -=，根据内切圆的性质可知()121212122PF PF PB F B PC F C F B F C F A F A -=+-+=-=-=①，而12126F A F A F F +==②. 由①②得：124,2F A F A ==，所以1,0A , 所以直线MA 的方程为1x =，即M 的横坐标为1.设M 的坐标为()()1,0M r r >，则1F 到圆M上点的最大距离为1MF r +=r =，解得3r =. 设直线1PF 的方程为()()30y k x k =+>，即30kx y k -+=.M 到直线1PF=k =所以线1PF的方程为)3y x +.由)22318y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩且P在第一象限，解得(P . 所以116PF ==，21214PF PF a =-=.所以△F 1PF 2的面积为()121212PF PF F Fr ⨯++⋅()1161462=⨯++=. 故答案为：1；四、解答题39．（2020·山东省潍坊市6月模拟）设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围. 【答案】（1）24x y =；（2）()[),610,-∞-+∞.【解析】（1）依题意得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,A x y ，由AF 的中点坐标为()1,1，得0012212x p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即02x =，022p y =-，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =；（2）由题意知()2,1A ，设211,4xB x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4xC x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2111114224BA x kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142BCk x =-+，BC 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立()211124424x y x x x x y ⎧--=-⎪+⎨⎪=⎩， 因为1x x ≠，得()()112160x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()()2242160x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-. 经检验，当6x =-时，不满足题意； 所以点C 的横坐标的取值范围是()[),610,-∞-+∞.40．（2020·山东省威海市三模）已知P是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点1F ，2F为顶点的三角形面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 作斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，M 是1l 与C 两交点的中点，N 是2l 与C 两交点的中点，求△2MNF 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）49． 【解析】 解：（Ⅰ）由点P在椭圆上可得22231a b+=， 整理得222223b a a b +=①．12122PF F Sc =⨯=2c =， 所以22224a b c b =+=+，代入①式整理得42120b b --=， 解得24b =，28a =．所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22,0F ，所以设直线1l ：2x my =+，联立直线与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222480m y my ++-=．所以直线1l 与椭圆两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==+， 同理直线2l 与椭圆两交点的中点N 的纵坐标22221212N m m y m m --==++，所以22212MNF M N S MF NF y ==△()24221252m m m m +=++()()22222121m m m m+=++， 将上式分子分母同除()21m m+可得，2222121MNF S m m m m =+++△，不妨设0m >，令21m t m+=，2t ≥，则2212MNF S t t =+△， 令()12f t t t =+，()2221't f t t-=，因为2t ≥，所以()'0f t >， 所以f t 在[)2,+∞单调递增，所以当2t =时，三角形△2MNF 面积取得最大值max 241942S ==+．41．（2020·山东省泰安市模拟）已知点()0,2M -，点P 在直线21216y x =+上运动，请点Q 满足12MQ MP =，记点Q 的为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设()()0,3,0,3D E -，过点D 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，求证：2AEB AED ∠=∠. 【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析. 【解析】（1）设()()00,,,Q x y P x y ，由12MQ MP =可得()()001,2,22x y x y +=+， 所以0012222x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩即00222x x y y =⎧⎨=+⎩，因为点P 在曲线21216y x =+上， 所以2001216y x =+即()21222216y x +=⋅+，整理得28x y =. 所以曲线C 的方程为28x y =；（2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，由238y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得28240x kx --=，264960k ∆=+>， 可知128x x k +=，1224x x ⋅=-， 直线AE ，BE 的斜率之和为121212123366AE BE y y kx kx k k x x x x +++++=+=+ ()121212264848024kx x x x k kx x ++-+===-，故AE ，BE 的倾斜角互补，∴AED BED ∠=∠， ∴2AEB AED ∠=∠.42．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右两个焦点为1F 、2F ，抛物线22:4(0)C y mx m =>与椭圆1C 有公共焦点()21,0F .且两曲线1C 、2C 在第一象限的交点P 的横坐标为23. （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）直线:l y kx =与抛物线2C 的交点为Q 、O （O 为坐标原点），与椭圆1C 的交点为M 、N （N 在线段OQ 上），且MO NQ =.问满足条件的直线l 有几条，说明理由.【答案】（1）221:143x y C +=；22:4C y x =；（2）满足条件的直线l 有2条，理由见解析. 【解析】（1）由于椭圆1C 和抛物线2C 的公共焦点为()21,0F ，故椭圆1C 的焦点坐标为()1,0±. 所以1m =，所以抛物线2C 的方程24y x =，由点P 在抛物线上，所以226,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，又点P 又在椭圆1C 上，所以222222622621143333a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2a =，又1c =，故3b =，从而椭圆1C 的方程为22143x y +=；（2）联立直线与椭圆方程得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223412x k x +=，解得2334M x k =-+2334N x k=+. 联立直线与抛物线得24y kx y x=⎧⎨=⎩，得224k x x =，解得0O x =，24Q x k =，由MO NQ =，故N 为线段OQ 的中点，即2O QN x x x +=，得24k=，化简得423430k k --=，解得223k +=（负值含去）， 故满足题意的k 值有2个，从而存在过原点O 的有两条直线l 满足题意.43．（2020·山东省青岛市二模）已知O 为坐标原点，椭圆()22:10x y C a b a b +=>>线2214x y -=的渐近线与椭圆C 的交点到原点的距离均为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k . （i ）证明：1214k k =-； （ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析； 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c e a ====，2a b ∴=…①， 双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±， ∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，=，解得：212t =. ()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=.（2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=， 221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--. （ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，120k k +=，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+， 由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=， 22m n ∴+为定值2.44．（2020届山东省青岛市三模）已知直线1l 过坐标原点O 且与圆224x y +=相交于点A ，B ，圆M 过点A ，B 且与直线20y +=相切． （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若圆心在x 轴正半轴上面积等于2π的圆W 与曲线C 有且仅有1个公共点． （ⅰ）求出圆W 标准方程；。

2020年6月山东省济南市高三高考模拟考试数学真题试卷及答案

2020年6月山东省济南市高三高考模拟考试数学真题试卷及答案

分
所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是 60 ．................................................10 分
18．【解析】
（1）因为
Sn
=
1 2
n2
+
1 2
n
，
所以当 n = 1时， a1 = S1 = 1 ，.................................................................................1 分
高三年级学习质量评估考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C C D B A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
1
直角坐标系，设 AB = 1 ，则 AD = AF = 1， BC = BE = 2 ， 所以 B（0 ，0 ，0）， M（ 2 ， 2 ，0）， D（0，1，1）， F（1，0 ，1）， .....................2 分
所以 BM =（ 2 ， 2 ，0）， DF=（1，−1，0），
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 BCD AD ABC BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． −1 ；14．5；15． 3 ；16． ， a 3 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分）．

2020年2020届普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷)数学试卷及答案

2020年2020届普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷)数学试卷及答案

2020年2020届普通高等学校招生全国统一考试（山师附中模拟卷）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)本试卷共6页,22小题,满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x｜x2－2x＜0},N={－2,－1,0,1,2},则M∩N=A． B．{1} C．{0,1} D．{－1,0,1}2．已知复数z满足z(1+2i)=i,则复数z在复平面内对应点所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a=(m,－2),b=(2,1),则“m＜1”是“a,b夹角为钝角”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是 A ．90B ．120C ．210D ．2165．已知定义在R 上的函数()2x f x x =,a =f (3log 5),b =－f (31log 2),c =f (1n3),则 a ,b ,c 的大小关系为 A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b6．对n 个不同的实数a 1,a 2,…,a n 可得n !个不同的排列,每个排列为一行写成一个n !行的数阵．对第i 行a i 1,a i 2,…,a in ,记b i =－a i 1+2a i 2－3a i 3+…+(－1)n na in ,i =1,2,3…,n !．例如用1,2,3可得数阵如右,对于此数阵中每一列各数之和都是12,所以b l +b 2+…b 6=－12+2×12－3×12=－24．那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b 1+b 2+…b 120等于 A ．－3600B ．－1800C ．－1080D ．－7207．已知△ABC 中,A=60°,AB=6,AC=4,O 为△ABC 所在平面上一点,且满足OA=OB=OC ．设AO AB AC λμ=+,则λμ+的值为 A ．2B ．1C ．1118D ．7118．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥BC,AB=BC=BB 1=1,M 是AC 的中点,则三棱锥B 1－ABM 的外接球的表面积为A ．32πB ．2πC ．54πD ．98π二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分．9．Keep 是一款具有社交属性的健身APP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼,记录你每天的训练进程。

山东省2020年高考数学(理)冲刺卷及答案(二)

山东省2020年高考数学(理)冲刺卷及答案(二)

绝密★启用前 试卷类型A山东省2020年高考模拟冲刺卷（二） 理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2B ．3C ．11D ．62、在ABC ∆中，设命题B cA b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（ ） A ．22B ． 2C ．－ 22D ．－ 24、如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．52 B ．107 C ．54D ．109 5、在ABC ∆中，c ,b ,a 分别为C ,B ,A 的对边，如果c ,b ,a 成等差数列，︒=30B ，ABC ∆的面积为23，那么=b（ ） A 13+ B ．13 C 23+ D ．236、直线L 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于A 、B 两点，且AB 的中点M 的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为（ ）A ．2224y x y x ==或B ．2248y x y x ==或C ．2268y x y x ==或D ．2228y x y x ==或7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．3160B ．160C ．23264+D ．2888+8、．如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表x ()f x ()y f x =[0,]（ ）xO1 π yx OB1 π yxO1π y x O1 π y9、设）为整数（0,,>m m b a ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作)(mod m b a ≡，已知),10(mod ,22212020202202120b a C C C a ≡++++=且Λ则b 的值可为 （ ）A ．2020B ．2020C ．2020D ．202010、若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，()f x =则函数()()xH x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（ ） A ．4 B ．8 C ．6 D ．10第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、已知21k π-=⎰，直线1y kx =+交圆22:1P x y +=于,A B 两点，则AB = ．12、已知()f x 为定义在（0，+∞）上的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为 ．13、已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t tt x R x B ，则集合B A ⋂= ．14、若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=L L ．15、给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即m x =}{．在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数．则其中真命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，且m n ⊥u r r．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若()32Af =，且2=a ，4b c +=，求ABC ∆的面积．17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30。

2020年山东省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析

2020年山东省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析

2020年山东省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．62．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．23．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B．C．﹣D．±4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．75．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B．C．D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣810．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n （x2﹣mx+4）的最大值等于．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．在2020年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？2020年山东省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．6【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a﹣1+2，解得a=2．故选：B．2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．2【考点】子集与真子集．【分析】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．【解答】解：∵集合={2}，∴集合A的真子集只有一个为∅．故选：C．3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B．C．﹣D．±【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=（﹣1）2=1，则由f（﹣1）=2f（a），得1=2f（a），即f（a）=，若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=﹣或（舍），综上a的值等于或﹣，故选：A．4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为121～400的个体中应抽取的个体数即可．【解答】解：把这800个个体编上001～800的号码，分成20组，则组距为=40；所以编号为121～400的个体中应抽取的个体数为=7．故选：D．5．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】等差关系的确定．【分析】数列{a n}成等比数列，公比为q．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．即可判断出结论．【解答】解：∵数列{a n}成等比数列，公比为q．∴a n=．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．∴“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的必要不充分条件．故选：B．6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵且a∈[﹣5，4]，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故选：C．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为：3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知，这是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3，棱锥的高：=2，∴四棱锥的体积是：×1×2×2=．故选：D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．【解答】解：∵向量，∴||==1，||=1，=﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos（π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），∵θ∈（π，2π），∴θ﹣π∈（0，π），∴φ=θ﹣π，故选：C．9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8【考点】基本不等式．【分析】不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，利用基本不等式的性质可得2（x﹣1）+的最小值，即可得出．【解答】解：不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=8，当且仅当x=3时取等号．∵不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，∴﹣m﹣2＜8，解得m＞﹣10，故选：A．10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．【解答】解：由题意设===k，（k＞0），则a=6k，b=4k，c=3k，∴由余弦定理可得cosA===﹣，∴由正弦定理可得====﹣，故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是11．【考点】循环结构．【分析】按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果【解答】解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a ＜10，故输出11故答案为1112．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为20．【考点】计数原理的应用．【分析】根据0的特点，分三类进行，当0在个为和十位时，当没有0参与时，根据分类计数原理可得．【解答】解：若三位数的个位为0，则有2×2×A22=8个；若十位为0，则有C21•C21=4个；若这个三位数没有0，则有C21•C21A22=8个．综上，要求的三位偶数的个数为8+8+4=20个，故答案为：20．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于﹣15．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】解出不等式|2x+a|＜b，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值，从而求出ab 即可．【解答】解：∵|2x+a|＜b，∴﹣b＜2x+a＜b，∴﹣a﹣b＜2x＜b﹣a，∴﹣＜x＜，由不等式的解集为{x|1＜x＜4}，则，解得：a=﹣5，b=3则ab=﹣15，故答案为：﹣15．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值等于﹣1．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】求出m、n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值．【解答】解：函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），可知m=﹣2，n=，函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）=log（x2+2x+4）=log[（x+1）2+3]≤﹣1．函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值：﹣1．故答案为：﹣1．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为\frac{{x}^{2}}{5}﹣\frac{{y}^{2}}{20}=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=，=2，求得M （3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得=，即p=，=2，即b=2a①又M的坐标（x0，4），可得16=2px0=x0，解得x0=3，将M（3，4）代入双曲线的方程可得﹣=1②由①②解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由f（+）=，可解得cosθ，又0＜θ＜，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．（2）由f（x）=sin（2x﹣），根据周期公式可求T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z 可解得单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+=cosx（sinx﹣cosx）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∵f（+）=，故有：sin[2（+）﹣]=sin（θ+﹣）=sin （θ+）=cosθ=，∴可解得：cosθ=，∵0＜θ＜，sinθ==，∴tanθ===．（2）∵f（x）=sin（2x﹣），∴T==π．∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．17．在2020年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为，∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：p=+=．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）=，∴中国队获得积分X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．【解答】证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，∴面ABE∥面CDF，又AE⊂面ABE，∴AE∥面CDF．解：（2）∵∠BCF=，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，∵，且=λ，∴AB=（）λ，∴A（，（）λ，0），E（，0，），F（0，0，），B（，0，0），=（0，（1﹣）λ，），=（﹣，0，），∵直线AE与BF所成角的大小为60°，∴cos60°==，由λ＞0，解得λ=1，∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．19．已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由于数列{a n }的前n 项和S n =a n +，可得a 1+a 2=a 2+﹣2，解得a 1．当n ≥2时，S n ﹣1=a n ﹣1+﹣2，可得：a n =a n ﹣a n ﹣1+n ﹣2﹣[﹣2]，化简整理即可得出．（2）b n =，可得b 2n ﹣1==．b 2n =．即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n }的前n 项和S n =a n +，∴a 1+a 2=a 2+﹣2，解得a 1=3．当n ≥2时，S n ﹣1=a n ﹣1+﹣2，可得：a n =a n ﹣a n ﹣1+n ﹣2﹣[﹣2]，解得a n ﹣1=n+1．∴a n =n+2，当n=1时也成立．∴a n=n+2．=（2）b n=，∴b2n﹣1==．b2n==．∴数列{b n}的前2n项和T2n=+=﹣﹣．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，将M的坐标代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=c=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，由弦长公式可得2=2，解得m=±，可得直线的方程为y=x±；②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，化简可得m2＜12，由直线和圆相交的条件可得d＜r，即有＜，即为m2＜4，综上可得m的范围是（﹣2，2）．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，即有弦长|AB|=•=•=•，|CD|=2=，即有λ==•=•，由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，即有λ≥．则λ的取值范围是[，+∞）．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的定义域和导函数f′（x），依题意可知f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，构造辅助函数，g（x）=，求导，利用导数法求得g（x）的单调区间及最小值，即可求得a的取值范围；（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣，依题意可知：f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=4，且1＜x＜4时，g′（x）＜0，当x＞4时，g′（x）＞0，所以g（x）在x=4时取极小值，也为最小值，g（4）=12，故实数a的取值范围是a≤12；（2）f′（x）=﹣=，函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，即方程x2+（4﹣a）x+（4+a）=0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，∴解得：a≥12，由韦达定理：x1+x2=a﹣4，x1•x2=a+4，于是，f（x1）+f（x2）=ln（）++ln（）+，=ln[]+a[]，=ln[]+a[]，=ln（）+a（），=，=3，解得a=9，但不满足a＞12，所以不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3．2020年7月18日。

专题2 平面向量及其应用,复数--《2022届山东高考冲刺数学试卷分项解析》【解析版】

专题2 平面向量及其应用,复数--《2022届山东高考冲刺数学试卷分项解析》【解析版】

专题2 平面向量及其应用,复数第一部分 平面向量一、单选题1.（2021·山东日照市·高三二模）已知2,4a b ==，当()4b a b ⊥-时，向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4π C ．23π D ．34π 【答案】B 【解析】由()4b a b ⊥-得()40b a b -=，从而可求a b ，然后根据向量夹角公式可解. 【详解】 解：()4b a b ⊥-，2,4a b ==，()40b a b ∴-=，即22440a b ba b b -=-=，4a b ∴=，cos ,22a b a b a b∴<>===⨯， 所以向量a 与b 的夹角为4π， 故选：B.2．（2021·山东济南市·高三一模）已知单位向量,,a b c ，满足0a b c ++=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】先由条件0a b c ++=可得22221a b a a b b +=+⋅+=，进而得到12a b ⋅=-，结合向量夹角公式可得结果. 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-，所以a b c +=-，即22221a b a a b b +=+⋅+=，所以12a b ⋅=-，由1cos ,2a b a b a b ⋅=<>=-，得2,3a b π<>=，故选：C.3.（2021·山东高三其他模拟）已知向量OM ，ON ，OP 的模长均为2，且满足2230OM ON OP ++=，则PM PN ⋅的值为（ ） A ．192B ．232C ．212D ．5【答案】C 【解析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的减法运算法则进行求解即可. 【详解】∵()23OM ON OP +=-，∴224294OM ON OM ON ⎛⎫++⋅=⨯ ⎪⎝⎭，12OM ON ⋅=，()()()2PM PN OM OP ON OP OM ON OP OM ON OP ⋅=-⋅-=⋅-⋅++ 13132144422222OP OP ⎛⎫=-⋅-+=+⨯+= ⎪⎝⎭. 故选：C4．（2021·山东烟台市·高三二模）若向量a ，b 满足2a =，3b =，且()()23a b a b -⊥+，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．2B C ．5D 【答案】D 【解析】由向量垂直，结合向量数量积的运算律可得,10a b <>-=，即可求a 与b 夹角的余弦值. 【详解】由题设知：22()(23)230a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=，而2a =，3b =，∴,10a b <>-=，故3cos ,a b <>=. 故选：D.5．（2021·山东潍坊市·高三三模）如图，在平行四边形ABCD 中，13AE AC =，若ED AD AB λμ=+，则λμ+=（ ）A ．13-B ．1C ．23D ．13【答案】D 【解析】根据已知条件利用平面向量的线性运算求得ED 关于,AD AB 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值,进而得解. 【详解】()11213333ED AD AE AD AC AD AB AD AD AB =-=-=-+=-,又∵ED AD AB λμ=+，AD AB ，不共线 ， 根据平面向量基本定理可得21,33λμ==-, ∴13λμ+=, 故选：D.6．（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量(2,1)a =，(0,)b m ，(2,4)c =，且()a b c -⊥，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由已知求得a b -，再由向量垂直的坐标表示列出方程，解之可得选项. 【详解】由已知得(21)a b m -=-，，又()a b c -⊥，所以()22+140m ⨯-⨯=，解得2m =， 故选：C.7．（2021·山东泰安市·高三三模）已知平面四边形ABCD 满足14AD BC =，平面内点E 满足3BE CE =，CD 与AE 交于点M ，若BM xAB yAD =+，则x y +=（ ）A ．52B ．52-C ．43D ．43-【答案】C 【解析】利用基底,AB AD 表示BM ，对照即可得到结果. 【详解】易知4BC AD =，2CE AD =，()1133BM AM AB AE AB AB BE AB =-=-=+-()163AB AD AB =+-223AB AD =-+， ∴43x y +=，故选：C .8．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知向量(,1),(0,4),a a b a b λ=-=⊥，则a b -在a 方向上的投影为（ ） A 2B ．2C 3D 5【答案】B 【解析】由题得出(),3b λ=-，由a b ⊥求出3λ=±，得出2a =，即可求出所求. 【详解】由(),1a λ=，()0,4a b -=，得(),3b λ=-，由a b ⊥，得230a b λ⋅=-=，解得3λ=±，所以2a =， 故a b -在a 方向上的投影为()422a b a a-⋅==． 故选：B ．9．（2021·山东济宁市·高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点()3,1M-和点()0,1N ．若点P 在MON ∠的角平分线上，且4OP =，则OP MN ⋅=（ ）A ．2-B ．6-C ．2D ．6【答案】A 【解析】根据平面几何知识求出xOP ∠，进而得到点P 的坐标，再根据平面向量数量积的坐标表示即可解出． 【详解】如图所示：因为3tan 3xOM ∠=，所以30xOM ∠=，即有60NOP ∠=，30xOP ∠=， 所以点P 的坐标为()23,2，即OP =()23,2，又()3,2MN =- 因此(233222OP MN ⋅=-+⨯=-． 故选：A ．10．（2020·山东高三其他模拟）已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB ⋅的取值范围是（ ）A ．[2,4]-B ．(2,4)-C ．[2,2]-D ．(2,2)-【答案】A 【解析】如图建系，可求得A,B,C,D 的坐标，设(,)P x y ，则可得AP AB ⋅的表达式，根据x 的范围，即可求得答案. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则(00)(20)(13)(13)A B C D -，,，,，,，.设(,)P x y ，则12x -≤≤，故(,)(2[24]20)AP AB x y x ⋅=⋅=∈-，，，即AP AB ⋅的取值范围是[24]-，. 故选：A11．（2021·山东聊城市·高三三模）在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC 的内心，且AO AB AM λμ→→→=+，则λμ+=（ ） A ．712B ．34C ．56D ．1【答案】A 【解析】在直角三角形ABC 中，求得内切圆半径，用,AB AC →→表示出AO→，而()22AO AB AM AB AC μμλμλ→→→→→=+=++，从而求得λμ+.【详解】 由题知，2A π∠=，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径341345OE OF ⨯===++，四边形AEOF 为矩形，则1143AO AE AF AC AB →→→→→=+=+，又1122AM AB AC →→→=+则11()2234AO AB AM AB AC AB AC μμλμλ→→→→→→→=+=++=+则123124μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1173412λμ+=+=故选：A关键点点睛：求得内切圆半径，得到1143AO AC AB →→→=+，从而利用11()2234AO AB AM AB AC AB AC μμλμλ→→→→→→→=+=++=+，求得参数值即可.12．（2021·山东高三二模）若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的最大值为（ ） A 21 B ．1C 2D ．2【答案】B 【解析】根据已知条件先整理()()0a c b c -⋅-≤得到1a c b c ⋅+⋅≥，再计算21a b c +-≤，即得结果. 【详解】由题意知，2221a b c ===，又0a b ⋅=， ∵()()20a c b c a b a c b c c -⋅-=⋅-⋅-⋅+≤， ∴21a c b c a b c⋅+⋅≥⋅+=，∴()2222221110211a b c a b c a b a c b c +-=+++⋅-⋅+⋅≤+++-⨯=∴1a b c +-≤，即a b c +-的最大值为1.故选：B.13．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三其他模拟）点A ，B ，C 在圆O 上，若2AB =，30ACB ∠=︒，则OC AB ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．6【答案】C 【解析】根据条件可得60AOB ∠=︒，AOB 为等边三角形.由向量的加法和数量积的运算结合余弦函数的和角公式可得答案. 【详解】由题意30ACB ∠=︒，则60AOB ∠=︒ 又AO OB r ==，所以AOB 为等边三角形.()OC AB OC AO OB OC OB OC OA ⋅=⋅+=⋅-⋅ 22cos 22cos COB AOC =⨯⨯∠-⨯⨯∠ ()4cos cos 60BOC BOC =∠-︒+∠⎡⎤⎣⎦134cos cos sin 22BOC BOC BOC ⎛⎫=∠-∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭4sin 6BOC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭显然203BOC π<∠<，所以当3BOC π∠=时，OC AB ⋅有最大值4 故选：C14．（2021·山东德州市·高三二模）在平行四边形ABCD 中，已知12DE EC =，12BF FC =，2AE =6AF =AC BD ⋅=（ ）A ．9-B ．92-C ．7-D ．72-【答案】B 【解析】根据平面向量的三角形法则即向量的模的运算可以求出平行四边形两个边的模的关系，进而利用平面向量的对角线法则及平面向量的数量积的计算公式，可以得所求数量积的值. 【详解】∵12DE EC =，12BF FC = ∴13AE AD DE AD AB =+=+，13AF AB BF AD AB =+=+，而2AE =6AF =∴1=23AD AB +，1=63AD AB +， ∴2221239AD AD AB AB +⋅+=，2212693AD AD AB AB +⋅+=， 两式相减得2288499AD AB -=-，∴2292AD AB -=-.∴()()2292AC BD AB AD AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-=-.故选：B. 二、多选题15．（2021·山东高三其他模拟）已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则下列结论正确的是（ ） A ．()a b a +⊥ B ．|2|10a b +=C ．向量,a b 的夹角为3π4D ．b 在a【答案】AC 【解析】根据向量垂直、模、夹角的运算判断ABC 选项的正确性，根据向量投影的计算公式判断D 选项的正确性. 【详解】对选项A ，(3,1)a b +=-，因为(3,1)(1,3)330-⋅=-=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对选项B ，2(4,2)a b +=，所以2|2|42a b +=+，故B 错误；对选项C ，cos ,||||b a a b a b ⋅==⋅=，所以向量,a b 的夹角为3π4，故C 正确；对选项D ，b 在a 方向上的投影是||cos ,25(b a b ⋅=⨯=D 错误. 故选：AC16．（2020·山东高三其他模拟）已知向量()()()1,3,2,1,3,5c a b ==-=-，则（ ） A ．()2//a b c + B ．()2a b c +⊥C ．10a c +=+D ．2a c b +=【答案】AD 【解析】根据向量的线性运算和向量的模的计算可得选项. 【详解】因为()()()1,3,2,1,3,5c a b ==-=-，所以()325a b +=-，，所以2a b c +=-，所以()2//a b c +，故A 正确，B 不正确；又()42a c +=-，，24c a +=+=，()22b =-=2a c b +=，故D 正确，C 不正确， 故选：AD. 三、填空题17．（2021·山东济南市·高三二模）已知平面向量a →，b →，满足b →=a b b →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，则a b →→⋅的值为______． 【答案】2 【解析】根据向量垂直数量积为0，即可得答案； 【详解】a b b →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，∴()2202a b b a b b b -⋅=⇒⋅===， 故答案为：2.18．（2021·山东青岛市·高三二模）在平行四边形ABCD 中，21AB AD AB ⋅==，AC =BAD ∠=___________；【答案】4π 【解析】利用向量数量积以及余弦定理列方程，解方程求得AD ，由此求得cos BAD ∠，进而求得BAD ∠. 【详解】依题意21AB AD AB ⋅==，所以11,cos cos 1,cos AB AB AD BAD AD BAD BAD AD=⋅⋅∠=⋅∠=∠=，由于四边形ABCD 是平行四边形，所以cos cos ABC BAD ∠=-∠，由余弦定理得22212AB BC AC AB BCAD+-=-⋅⋅，即22151,42,22AD AD AD ADAD+-=--=-=，所以12cos BAD AD∠==， 由于()0,BAD π∠∈，所以4BAD π∠=.故答案为：4π19．（2021·山东滨州市·高三二模）已知平面向量a ，b ，c 是单位向量，且0a b ⋅=，则--c a b 的最大值为___________.【答案】21+【解析】如图建系，设(1,0),(0,1),(,)a b c x y===，可得22(1)(1)c a b x y--=-+-，根据其几何意义，结合图象，即可得答案.【详解】因为0a b⋅=，所以a b⊥，如图建系，设(1,0),(0,1),(,)a b c x y===，因为1c=，所以c终点为单位圆上任意一点，又(1,1)c a b x y--=--，所以22(1)(1)c a b x y--=-+-(,)x y 与点A（1,1）间的距离，由图可得，当(,)x y位于图中B点时，点B 与点A21，所以--c a b 的最大值为21.2120．（2021·山东淄博市·高三二模）已知向量a，b满足1a=，2b =，3a b-=，则向量a b-和b的夹角为______．【答案】5π6【解析】根据向量夹角公式()cos,a b ba b ba b b-⋅-=-⋅即可求得．【详解】由22221243a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+=得1a b⋅=由()2cos ,23a b b a b ba b b-⋅-====-⋅所以向量a b -和b 的夹角为5π6故答案为：5π621．（2021·山东高三其他模拟）设()0,πθ∈，向量31,2a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos ,sin b θθ=，若()-⊥a b b ，则tan θ=___________. 【答案】【解析】通过向量垂直表示数量积为零，写出关系式求解即可. 【详解】()10a b b a b -⋅=⋅-=，1cos sin 1022θθ-+-=， πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ2π333θ-<-<，5π6θ=，tan 3θ=.故答案为：【点睛】 知识点点睛： （1）若11,ax y ，22,bx y ，则1212000a ba b x x y y ⊥=⇔⋅=⇔+=.（2）()sin cos a x b x x θ+=+，其中cos θ=，sin θ=.22．（2021·山东泰安市·高三一模）如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD =3，4BC =，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF ⋅的值为________.【答案】74- 【解析】可连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，根据题意即可得出四边形EPFQ 为平行四边形，从而可得出11(),()22PQ AD BC EF AD BC =-=+，然后进行数量积的运算即可．【详解】如图，连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，∴四边形EPFQ 为平行四边形，∴1()2PQ EQ EP AD BC =-=-，1()2EF EP EQ AD BC =+=+，且3AD =，4BC =， ∴2217()44PQ EF AD BC =-=-．故答案为：74-．第二部分 复数一、单选题1．（2021·山东青岛市·高三三模）设i 是虚数单位，若复数z 满足()12z i i +=，则复数z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】 由题意可得()()()()21211111i i i z i i i i i i -===-=+++-， 因此，复数z 对应的点(1,1)位于复平面的第一象限. 故选：A.2．（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知复数12z =（i 为虚数单位），则1z -=（ ）A B ．34C D ．14【答案】A 【解析】利用共轭复数、复数的减法化简复数1z -，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】122z =+，则11112222z -=--=--，因此，1z -==故选：A.3．（2021·山东济宁市·高三二模）已知()2i z i -⋅=，i 为虚数单位，则z =（ ）A B ．1 C ．2D 【答案】A 【解析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z . 【详解】()2i z i -⋅=，所以，()()()22112222555i i i i z i i i i +-====-+--+，因此，z ==. 故选：A.4．（2021·山东淄博市·高三二模）若复数12iiz -=（i 为虚数单位），则z =（ ）．A B ．2C D ．1【答案】A 【解析】用复数模的性质，共轭复数模相等，复数商的模等于复数模的商. 【详解】1212ii iz z i--====或者()2122i iz z i i -===--=故选:A5．（2020·山东高三其他模拟）已知复数z 满足((2)55i z i +=-，则z =（ ） A ．33i - B ．13i -C ．13i +D ．33i +【答案】B 【解析】 由条件可得552iz i-=+，根据复数的除法运算可得答案. 【详解】因为()255i z i +=-.所以()()()()()()552551213222i i i z i i i i i i ---===--=-++-. 故选：B6．（2021·山东高三其他模拟）复数131iz i+=+的虚部是（ ） A ．1 B ．iC ．1-D ．2【答案】A 【解析】利用除法运算公式化简复数，再求其虚部. 【详解】()()()()21311313342211122i i i i i i i z i i i i +-+-+-+=====+++-，虚部是1.故选：A7．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知25z i=-则||z =（ ）A ．1B ．2C ．2D ．5【答案】A 【解析】根据复数的四则运算化简复数，再根据复数的模长计算公式求解即可. 【详解】因为()325i 25i9325iz +===+-， 所以2225133z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭． 故选：A ．8．（2021·山东济南市·高三二模）设复数21iz i=+ （其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详解】，对应的点为，在第一象限，故答案为A.9．（2021·山东烟台市·高三二模）已知复数z 满足11z i --≤，则z 的最小值为（ ）A ．1B 1C D 1【答案】B 【解析】令z x yi =+，根据复数的几何意义知22(1)(1)1x y -+-≤，要使z 的最小值，即圆22(1)(1)1x y -+-=上动点到原点的距离最小，即可求z . 【详解】令z x yi =+，则由题意有22(1)(1)1x y -+-≤，∴z 的最小值即为圆22(1)(1)1x y -+-=上的动点到原点的最小距离，∴z 1. 故选：B.10．（2021·山东聊城市·高三三模）已知a R ∈，i 为虚数单位，若324a ii-+为实数，则a 的值为（ ） A ．32B ．23C ．23-D ．32-【答案】D 【解析】利用复数除法运算法则化简复数，当其为实数时，虚部为0，从而求得a 的值. 【详解】3(3)(24)212(46)24(24)(24)20a i a i i a a ii i i -----+==++-，若其为实数， 则460a +=，即32a =- 故选：D11．（2021·山东潍坊市·高三三模）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5 C ．- 4+ i D ．- 4 - i【答案】A 【详解】由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．12．（2021·山东泰安市·高三三模）已知复数z =cos sin i θθ+（i 为虚数单位），则|2|z i -的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据题意得2z i -的几何意义为()cos ,sin θθ与,2（0）两点间的距离，()cos ,sin θθ在单位圆上,进而得2z i -|的最大值为3．【详解】2z i -的几何意义为()cos ,sin θθ与()0,2两点间的距离，且()cos ,sin θθ在单位圆上，所以|2z i -|的最大值为3． 故选:C13．（2021·山东高三二模）已知复数(3i)(32i)()z a a =-+∈R 的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0C ．2D ．－2【答案】C 【解析】根据复数的乘法运算化简后即可求解. 【详解】2(3i)(32i)32i 9i 6i 36(29)i z a a a a a =-+=+--=++-， 所以复数z 的实部与虚部分别为36a +，29a -， 于是36297a a ++-=， 解得2a =， 故选：C14．（2021·山东滨州市·高三二模）设i 为虚数单位，则复数z =的虚部为（ ）A ．32B ．32-C ．92D ．92-【答案】B 【解析】先对复数化简，再求其虚部即可【详解】解：3(1)3333(1)(1)222i iz ii i--=====-+-，所以复数z的虚部为3 2 -.故选：B.15．（2021·山东高三其他模拟）设复数z满足2π2π3cos isin33ππ2cos isin33z⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭，其中i为虚数单位，则复数z的模为（）A．94BC．32D【答案】C【解析】首先利用三角函数和复数的除法化简复数，再求模. 【详解】333222z===，故z的模为32.故选：C16．（2021·福建三明市·高三期末）已知i是虚数单位，若复数543zi=+，则z的共轭复数z=（）A．4355i+B．4355i-C．4355i-+D．4355i--【答案】A【解析】利用复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解.【详解】()()()()5435435434343432555i iz ii i i--====-++-，所以z =4355i +. 故选：A17．（2021·山西阳泉市·高三三模（理））已知i 为虚数单位，复数77sin cos 66z i ππ=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】根据三角函数的诱导公式，求得复数12z =-+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由717sinsin()sin ,cos cos()cos 6662666ππππππππ=+=-=-=+=-=即复数771sincos 662z i ππ=-=-，所以复数对应的点为1(22-位于第二象限. 故选：B 二、多选题18．（2021·山东高三其他模拟）设复数1(,iz a b a b =∈+R 且0)b ≠，则下列结论正确的是（ ） A ．z 可能是实数 B ．||=||z z 恒成立 C ．若2z ∈R ，则0a = D ．若1z R z+∈，则||=2z 【答案】BC 【解析】化简z 为x yi +的形式，根据复数为实数、复数的模、共轭复数、复数的平方等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】 对选项A ，若2222221i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++是实数，则0b =，与已知矛盾，故A 错； 对选项B ，由A 知2222ia b z a b a b =+++，所以|||z z =||z =，故B 正确； 对选项C ，2222222222222222222222i i ()()()()()a b ab a b abz a b a b a b a b a b -=--=-∈+++++R ， 则22220()aba b =+，因为0b ≠，所以0a =，故C 正确；对选项D ，2211i ()(i a z a b a b z a b a b +=++=++++22)i ba b -∈+R ，则220b b a b-=+，因为0b ≠，所以22=1a b +，所以||1z =，故D 错误. 故选：BC19．（2021·山东临沂市·高三二模）1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos isin θθθ=+，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ） A ．πi2e i =B ．πi 4e1=C．31=⎝⎭D ．πi πi 44πeecos 42-+=【答案】ABD 【解析】根据i e cos isin θθθ=+可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C. 【详解】因为i e cos isin θθθ=+ 所以πi 2ecos+isini 22ππ==，故A 正确πi 4e cos+isin+4422ππ==，πi 4e 1==，故B 正确3211111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫--==⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误 πi πi 44cos isincos isin e e4444cos 224πππππ-⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==，故D 正确20．（2021·山东德州市·高三二模）已知复数121z i=-+（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）． A ．1z 对应的点在第三象限 B ．1z 的虚部为1-C ．414z =D ．满足1z z =的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上 【答案】AB 【解析】根据复数的运算法则，化简得到11z i =--，根据复数的坐标表示，可判定A 正确，根据复数的概念，可判定B 正确；根据复数的运算，可判定C 不正确；根据复数的几何意义，可判定D 不正确. 【详解】 由题意，复数()()()12121111i z i i i i --===---+-+--， 所以复数1z 在复平面内对应的点(1,1)--位于第三象限，所以A 正确； 由11z i =--，可得复数的虚部为1-，所以B 正确；由()()()2422411124z i i i ⎡⎤=--=--==-⎣⎦，所以C 不正确；由1z ==所以满足1z z =的复数z D 不正确. 故选：AB.21．（2021·山东青岛市·高三二模）已知复数z i =(i 为虚数单位)，z 为z 的共辄复数，若复数0zz z=，则下列结论正确的是（ ）A ．0z 在复平面内对应的点位于第四象限B ．01z =C ．0z 的实部为12D ．0z 的虚部为2【答案】ABC由复数的运算求得0z ，再根据复数的定义计算后判断各选项． 【详解】由题意012z ====，0z 对应点坐标为1,2⎛ ⎝⎭在第四象限，A 正确；01z ==，B 正确；0z 的实部为12，C 正确，虚部是，D 错误． 故选：ABC ． 三、填空题22．（2021·山东济南市·高三一模）已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________.【解析】根据已知等式，由复数除法的几何含义，即可求z 的值. 【详解】由题设，知：22i i z i i ++====--。

2020衡水中学高考数学(文)三轮冲刺单元过关检测卷：向量与复数单元过关检测解析版

2020衡水中学高考数学(文)三轮冲刺单元过关检测卷：向量与复数单元过关检测解析版

向量与复数单元过关检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(i为虚数单位),则z的虚部为()A.-1B.0C.1D.i【解析】选C.因为z====i,故虚部为1.2.已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,则有a=b=-1或a=b=1.3.复数z=+2i的共轭复数= ( )A.-1-2iB.1-2iC.-1+2iD.1+2i【解析】选B.因为z=(-i)4+2i=1+2i,所以=1-2i.4.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( )A.-8B.-6C.6D.8【解析】选D. a+ b =(4,m-2),因为(a+ b)⊥b,所以(a+ b)·b =12-2(m-2)=0,解得m=8.5.已知a,b,c是平面向量,下列命题中真命题的个数是( )①(a·b)·c=a·(b·c); ②|a·b |=|a|| b |;③|a+ b |2=(a+ b)2; ④a·b = b·c⇒a=c.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由平面向量的基础知识可知①②④均不正确,只有③正确.6.与向量a=(3,4)同方向的单位向量为b,又向量c=(-5,5),则b·c= ( )A.(-3,4)B.(3,-4)C.1D.-1【解析】选C.因为与向量a=(3,4)同方向的单位向量为b,所以b=,又向量c =(-5,5),所以b·c=·=1.7.设向量a, b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b= ( )A.1B.2C.3D.5【解析】选A.因为4a·b=（a+b）2-（a-b）2=10-6=4,所以a·b=1.8.已知向量a=(1,2), b =(-2,m),若a∥b,则|2a+3 b |等于( )A. B.4 C. D.80【解析】选B.因为a=(1,2), b =(-2,m), a∥b,所以1×m-(-2)×2=0⇒m=-4,于是,2 a +3 b =(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8),则|2 a +3 b |==4.9.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是( )A.2B.-2iC.-3iD.3+i【解析】选B.因为复数3-i对应的向量为=(3,-),如图,把按顺时针方向旋转后恰好到y轴负半轴上的向量=(0,-2),所以所得向量对应的复数是-2i.10.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是 ( )A.=+B.=-C.=+D.=+【解析】选D.排除法.由题干图知,=+,故A正确.=-,故B正确.==(+)=+,故C正确.11.已知点A,B,C三点不共线,且有==,则有( )A.<<B.<<C.<<D.<<【解析】选B.设A,B,C所对的边分别为a,b,c,由题意,根据向量数量积得, accos B=abcos C=-(2+)bccos A,又由正弦定理得,tan C=tan B,tan A=-(2+)tan B,因为在△ABC中,则有tan B>tan C>0,tan A<0,所以A>B>C,所以<<.12.(2020·福州模拟)已知⊥,||=,||=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于 ( )A.13B.15C.19D.21【解析】选A.建立如图所示的平面直角坐标系,则B,C(0,t),=,=(0,t),=+=t+(0,t)=(1,4),所以P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2=13,当且仅当t=时,取“=”.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.对于复数z1,z2,若(z1-i)z2=1,则称z1是z2的“错位共轭”复数,则复数-i 的“错位共轭”复数为________.【解析】设复数-i的“错位共轭”复数为z,由(z-i)=1,可得z-i==+i,所以z=+i.答案:+i14.平面向量a=(1,2), b=(4,2), c=m a+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.【解析】因为平面向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=m a+b=(m+4,2m+2),因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以所以=,解得m=2.答案:215.平行四边形ABCD中,E为CD的中点,动点G在线段BE上,=x+y,则2x+y=________.【解析】由题意,根据向量的线性运算,可知=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ=+λ,记+λ=x+y,所以则2x+y=2.答案:216.若向量a=(1,),且向量a,b满足=1,则|b|的取值范围是________.【解析】由向量运算的几何意义可知, b的终点在以(1,)为圆心,1为半径的圆周上.故|b|的范围满足2-1≤|b|≤2+1即|b|∈[1,3].答案:[1,3]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z=(m2+m)+(m+1)i,其中i为虚数单位.(1)问:实数m为何值时,复数z为纯虚数.(2)若m=-2,求的共轭复数的模.【解析】(1)复数z为纯虚数,需满足解得m=0.故实数m的值为0.(2)当m=-2时,令复数z1=,化简,得z1=,故|z1|=||=.故的共轭复数的模为.18.(12分)设,不共线,且=a+b(a,b∈R).(1)若a=,b=,求证:A,B,C三点共线.(2)若A,B,C三点共线,问:a+b是否为定值?并说明理由.【解析】(1)当a=,b=时,=+,所以(-)=(-),即2=,所以∥,所以A,B,C三点共线.(2)a+b为定值1,证明如下:因为A,B,C三点共线,所以∥,不妨设=λ(λ∈R),所以-=λ(-),即=+λ,又=a+b,且,不共线,由平面向量的基本定理,得所以a+b=1(定值).19.(12分)已知△OAB的顶点坐标为Ο(0,0),A(2,1),Β(4,-3),且=λ,点Q是直线ΟΒ上一点.(1)若λ=1,且·=0,求点Q的坐标.(2)若已知点Μ(3,2),向量与夹角为锐角,求λ的取值范围.【解析】(1)由λ=1,知Ρ是ΑΒ的中点,所以点Ρ(3,-1).设点Q(4x,-3x),则=(4x-3,-3x+1),又=(3,-1),则由·=0,得3(4x-3)-(-3x+1)=0⇒x=,所以点Q.(2)由=λ,可得P,因为向量与夹角为锐角,所以⇒求得λ>-1或λ<-且λ≠-,故λ的取值范围为λ>-1且λ≠-或λ<-.20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量m=, n =(cos ,-2sin ),m·n=-1.(1)求cos A的值.(2)若a=2,b=2,求c的值.【解析】(1)因为m=,n=,m·n =-1,所以2cos2-2sin2=-1,所以cos A=-.(2)由(1)知cos A=-,且0<A<π,所以A=.因为a=2,b=2,由正弦定理,得=,即=,所以sin B=.因为0<B<π,B<A,所以B=.所以C=π-A-B=,所以C=B,所以c=b=2.21.(12分)设平面上向量a=(cos α,sinα)(0°≤α<360°), b=.(1)试证:向量a+b与a-b垂直.(2)当两个向量a+b与a-b的模相等时,求角α.【解析】(1)( a +b)·(a-b)=·(cos α+,sin α-)=+(sin α+)(sin α-)=cos2α-+sin2α-=0,所以(a +b)⊥(a -b).(2)由| a |=1,| b|=1,且|a +b|=|a-b|,平方得(a +b)2=( a -b)2, 整理得2 a 2-2b2+4a·b=0①.因为| a |=1,| b|=1,所以①式化简得a·b=0,a·b=(cos α,sin α)·=-cos α+sin α=0,即cos(60°+α)=0.或tan α=,因为0°≤α<360°,所以可得α=30°,或α=210°.22.(12分)已知平面上的两个向量,满足||=a,||=b,且⊥,a2+b2=4.向量=x+y(x,y∈R),且a2+b2=1.世纪金榜导学号37680775(1)如果点M为线段AB的中点,求证:=+.(2)求||的最大值,并求出此时四边形OAPB面积的最大值.【解析】(1)因为点M为线段AB的中点,所以=(+).所以=-=(x+y)-(+)=+.(2)设点M为线段AB的中点,则由⊥,知||=||=||=||=1.又由(1)及a2+b2=1,得||2=|-|2=+=a2+b2=1.所以||=||=||=||=||=1,所以P,O,A,B四点都在以M为圆心,1为半径的圆上.所以当且仅当OP是直径时,||max=2,这时四边形OAPB为矩形,则S四边形OAPB=||·||=ab≤=2,当且仅当a=b=时,四边形OAPB的面积最大,最大值为2.。

2020届山东优质冲刺数学试卷分项解析03 函数及其应用(解析版)

2020届山东优质冲刺数学试卷分项解析03 函数及其应用(解析版)

专题3 函数及其应用1.关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换；（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力； 2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；3.常见题型，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，近几年趋向于稳定在选择题、填空题，易、中、难的题目均有可能出现.预测2021年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注意与导数的结合.1．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.2．（2020·全国高考真题（理））若242log 42log a ba b +=+，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B 【解析】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+ 所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.3.（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．4.（2020·山东海南省高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B 【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.5.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D 【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.一、单选题1．（2020·山东省潍坊市6月模拟）函数()()231ln 31xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为()()()()()2231ln 31ln 3131------==-=-++x xxxx x f x f x ，所以()f x 是奇函数，故排除A ，C ；因为21212131ln 21231⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭+f ，且211221310,310,ln 02⎛⎫->+>< ⎪⎝⎭， 所以102f ⎛⎫<⎪⎝⎭， 故选：B2．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式1122Tq l d d λλλ∆=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中玻璃的热传导系数31410λ-=⨯焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数42 2.510λ-=⨯焦耳/（厘米·度），T ∆为室内外温度差，q 值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是（ ） A ．A 型 B ．B 型 C ．C 型 D ．D 型【答案】D 【解析】1122Tq l d d λλλ∆=⎛⎫+ ⎪⎝⎭334410||41022.510T l d ---⨯⨯∆=⨯+⨯3410||162T l d -⨯⨯∆=+，固定||T ∆，可知162l d +最大时，q 最小，保温效果最好，对于A 型玻璃，16216320.448.8l d +=⨯+⨯=，对于B 型玻璃，16216216420.364.6l d l d +=+=⨯+⨯=， 对于C 型玻璃，16216320.549l d +=⨯+⨯=， 对于D 型玻璃，16216420.464.8l d +=⨯+⨯=， 经过比较可知， D 型玻璃保温效果最好. 故选：D.3．（2020届山东省青岛市三模）已知函数()()26,75(2),5x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有13个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．11,86⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1111,,6886⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．1111,,6886⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】由题可知，函数()()|(1)|g x f x k x =-+有13个零点，令()0g x =，有()|||1|f x k x =+，设()|||1|h x k x =+，可知()h x 恒过定点()1,0-， 画出函数()f x ，()h x 的图象，如图所示：则函数()y f x =与函数()|||1|h x k x =+的图象有13个交点，由图象可得：()()()517171h h h ⎧<⎪>⎨⎪-<⎩，则·(51)1·(71)1·711k k k ⎧+<⎪+>⎨⎪-+<⎩，即11||86k <<， 解得：1(6k ∈-，11)(88-，1)6. 故选：D.4．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）设函数()2log f x x =，若13log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.2e c f =，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为()2log f x x =，所以()22log log ()f x x x f x -=-==， 所以()f x 为偶函数，所以1333=(log log 22)(log 2)a f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为530log 2log 21<<<，0.21e >，所以 0.2530log 2log 2e <<<，因为()2log f x x =在(0,)+∞上为增函数，所以0.253(log 2)(log 2)()f f f e <<，所以b a c <<，故选：A5．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D.6．（2020·山东省济宁市6月三模）设0.32111log ,432a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭则有( )A ．a b ab +>B ．a b ab +<C ．a b ab +=D ．a b ab -=【答案】A 【解析】 ∵22111log log 3434a ==-，又23log 322<<，∴2113log 3248-<-<-，即1328a -<<-， 0.31111()()222b =>=，∴0a b +>，0ab <，∴a b ab +>．故选：A ．7．（2020·山东省济宁市6月三模）函数()1cos sin 1x x e fx x e ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()111cos()sin cos sin cos sin ()111x x x x x x e e e f x x x x f x e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=-⋅=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，由此排除AB 选项，1801=57.3π︒≈，cos10∴>，又1101e e ->>+，1sin 01e e -⎛⎫∴> ⎪+⎝⎭∴1(1)cos1sin 01e f e -⎛⎫=⋅> ⎪+⎝⎭，故排除D 选项.故选：C8．（2020·山东省仿真联考3）已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（ ）A ．()2ln xf x x=B ．()2ln x f x x=C ．()211f x x =- D ．()11f x x x=-【答案】B 【解析】对于A ，()2ln xf x x=为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题意； 对于C ，()211f x x =-在()1∞+，上单调递减，不符合题意； 对于D ，()11f x x x=-在()1∞+，上单调递减，不符合题意； 故选B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 9．（2020·山东省济南市6月模拟）函数()34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,0 B ．0,1 C ．1,2D ．()2,3【答案】C 【解析】3()4f x x x =+-，易知函数单调递增，(0)40f =-<，(1)20f =-<，(2)20f =>,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选：C.10．（2020·山东省仿真联考2）已知函数132e ,1,(),1,x x f x x x x -⎧<=⎨+⎩则(())2f f x <的解集为（ ）A ．(1ln 2,)-+∞B ．(,1ln 2)-∞-C ．(1ln 2,1)-D ．(1,1ln 2)+【答案】B 【解析】∵当1x 时，3()2f x x x =+；当1x <时，1()2e 2,x f x -=<(())2f f x ∴<等价于()1f x <，即112e 1x x -<⎧⎨<⎩，解得1ln 2x <-，(())2f f x ∴<的解集为(,1ln 2)-∞-.故选：B11．（2020·山东省威海市三模）若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b->，则（ ）A ．1a >，1b >B ．01a <<，1b >C ．1a >，01b <<D ．01a <<，01b <<【答案】B 【解析】 因为221bb->，所以20b b ->，因为0b >，所以1b >， 因为log 0a b <，1b >， 所以01a <<， 故选：B12．（2020·山东省威海市三模）已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则1()ni f i ==∑（ ） A ．21n - B ．122n-C ．112n -D ．122n -【答案】B 【解析】由所求式子可得(0)0f ≠，令0x y ==可得：(0)(0)(0)(0)22f f f f ⋅=⇒=，令1x y ==可得：(1)(1)1(2)22f f f ⋅==， 令1,2x y ==可得：2(1)(2)1(3)22f f f ⋅==， 令2x y ==可得：3(2)(2)1(4)22f f f ⋅==，∴11()2n f n -=，∴11101101(12)112222222()122n nni n n i i f i +---==-==++++==--∑∑，故选：B.13．（2020·山东省泰安市模拟）已知0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A 【解析】因为3log y x =在(0,)+∞上单调递增, 所以33log 0.2log 10a =<=,因为0.2log y x =在(0,)+∞上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21b =<=<=, 因为10xy =在R 上单调递增, 所以0.1010101c =>=, 所以a b c <<. 故选：A14．（2020·山东省泰安市6月三模）已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,1-∞--【答案】D 【解析】令24x x >，即21x <，解得0x <.若()11f x x -+有意义，则10,10x x -<⎧⎨+≠⎩，即()(),11,1x ∈-∞-⋃-.故选：D.15．（2020·山东省泰安市模拟）函数()f x 与()32sin 12x g x xπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】()32sin 12cos 12x x g x x xπ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==，因为()f x 与()g x 图象关于y 轴对称， 则()()2cos 12cos 1,0x x f x x x x---+==≠-，2cos122022f ππππ+⎛⎫==> ⎪⎝⎭，排除C ，2cos 122022f ππππ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-==-< ⎪⎝⎭-，排除B ， ()2cos 110f ππππ+==-<，排除A ，故选:D.16．（2020·山东省泰安市模拟）已知函数())3211f x x gx x =++，若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()12020110,110f a f a -=--=，则2020=S （ ） A ．4040- B ．0 C ．2020 D ．4040【答案】C 【解析】因为())3211f x x gx x =++定义域为R ，关于原点对称，且1()()()323211lg1f x x gx x x x x-=-++-=-+++()()3211x gx x f x =--++=-，所以()f x 为奇函数，由()()()120202020111f a f a f a -=--=-得，1202011a a -=-，所以120202a a +=， 因为{}n a 为等差数列，所以()1202020202020=20202a a S +=，故选:C.17．（2020·山东省泰安市6月三模）函数()3cossin 2xf x x x =+在[]ππ-，的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为()()()()33cos sin cos sin 22x x f x x x x x f x -⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 是奇函数，排除B ，D ；因为3333322f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332213343323f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以233f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A.18．（2020·山东省仿真联考1）函数()ln 11x f x x +=+的部分图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 设()ln xg x x=，因为()()g x g x =-，所以()g x 的图象关于y 轴对称. 所以()f x 的图象关于直线1x =-对称，排除C 、D ； 当10x -<<时，ln 10x +<，所以()0f x <，排除B ， 故选：A19．（2020·山东省济南市二模）已知函数()221,11,1x x x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()243,f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()4,1- B ．()(),41,-∞-+∞C ．()1,4-D ．()(),14,-∞-+∞【答案】D 【解析】()()2221,121,11,11,1x x x x x x f x f x x x x x ⎧-+-≤⎧-+-≤⎪===⎨⎨->->⎪⎩⎩，如图所示：画出函数图像，根据图像知函数单调递增，()()243f a f a ->，即243a a ->，解得4a >或1a <-.故选：D.20．（2020·山东省德州市6月二模）已知实数x ，y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据题意，实数,x y 满足1,0xy ，若x y <，即1x y <<，则log log 1x x y x >=，则“x y <”是“log 1x y >”的充分条件，反之若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，由1x >，则必有x y <，则“x y <”是“log 1x y >”的必要条件， 故“x y <”是“log 1x y >”的充要条件； 故选：C21．（2020·山东省青岛市二模）已知图象连续不断的函数()f x 的定义域为R ，()f x 是周期为2的奇函数，()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，则()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为（ ）A ．5050B ．4041C ．4040D ．2020【答案】B 【解析】由函数()f x 的定义域为R 上的奇函数，可得()00f =， 又由()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，可得函数()f x 在区间[1,0)-和(0,1]内各有2个零点，因为()f x 是周期为2，所以区间(1,2]内有两个零点，且(2)0f =， 即函数()f x 在区间(0,2]内有4个零点， 所以()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为20204140412⨯+=个零点. 故选：B.22．（2020·山东省青岛市二模）已知函数()()2sin ,0log ,0x x f x a x x ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，且716f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．ln 2【答案】A 【解析】7751()sin()sin 6662f πππ-=-==，所以2711()log ()1622f f f a π⎛⎫⎛⎫-==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32a =． 故选：A ． 二、多选题23．（2020·山东省青岛市二模）某同学在研究函数()f x =受两点间距离公式的启发，将()f x 变形为()x f =则下列关于函数()f x 的描述正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增 B ．函数()f x 的图象是中心对称图形 C ．函数()f x 的值域是)⎡+∞⎣ D．方程()()1ff x =【答案】ACD 【解析】设(0,1)A ，(2,1)B ，()x f =表示x 轴上点(,0)P x 到,A B 两点的距离之和，设(1,0)Q ，以,A B 为焦点，Q 为短轴上一个端点，作椭圆，x 轴与此椭圆相切于点Q ，当P 从Q 向右移动时，PA PB +逐渐增大，即函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，A 正确；当P 与Q 重合时，PA PB +最小，最小值为22，因此()f x 的值域是[22,)+∞，C 正确；函数图象关于直线1x =对称，不是中心对称是，B 错误；当0x =或2x =时，()15f x =+，由于()22f x ≥，因此()0f x =和()2f x =都无解，D 正确． 故选：ACD ．24．（2020·山东省济宁市6月三模）已知直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( )A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．122ex x >【答案】ABC 【解析】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<， 122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC25．（2020·山东省滨州市三模）已知函数()xxf x e ex -=++．则下面结论正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[)0,+∞上为增函数C ．若0x ≠，则212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭D ．若()()11f x f -<-，则02x <<【答案】BCD 【解析】对于A 选项，函数()xxf x e ex -=++的定义域为R ，()()x x x x f x e e x e e x f x ---=++-=++=，则函数()y f x =为偶函数，A 选项错误；对于B 选项，当0x ≥时，()xxf x e ex -=++，则()11x x f x e e -'=-+≥，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，B 选项正确；对于C 选项，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=， 由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，此时()2221222f x f e e e x -⎛⎫+≥=++>+ ⎪⎝⎭，由于函数1y x x=+为奇函数，当0x <时，12x x --≥=，2112f x f x e x x ⎛⎫⎛⎫+=-->+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，当0x ≠时，212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，由于函数()y f x =为偶函数，由()()11f x f -<-得()()11fx f -<，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，则11x -<，解得02x <<，D 选项正确. 故选：BCD.26．（2020·山东省仿真联考3）已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．函数()f x 是以2为周期的周期函数 B ．函数()f x 是以4为周期的周期函数 C ．函数(1)f x -为奇函数 D ．函数(3)f x -为偶函数【答案】BC 【解析】1对于选项,A B ,∵函数()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=． ∵()(2)0f x f x +-=， ∴()(2)0f x f x -++=，则()(2)0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可知选项A 错误，选项B 正确； 对于选项C ,令()(1)F x f x =-，则()(1)(1)F x f x f x -=--=+． 在()(2)0f x f x ++=中，将x 换为1x -，得(1)(1)0f x f x -++=， ∴(1)(1)f x f x +=--，∴()(1)()F x f x F x -=--=-， 则函数()(1)F x f x =-为奇函数，所以选项C 正确． 对于选项D ,由题意不妨取满足条件的函数()cos 2f x x π=，则3(3)cos(3)cos sin 2222f x x x x ππππ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭为奇函数， 所以选项D 错误． 故选：BC.27．（2020·山东省仿真联考1）已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()21f =-，若()()1g x f x =-，则下列结论一定成立的是( )A ．()10g =B ．()122g =-C ．()()0g x g x -+>D ．()()110g x g x -+++<【答案】AC 【解析】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，因为()()1g x f x =-， 所以()()100g f ==，故A 正确；因为()f x 为定义在R 上的减函数，且()21f =-，()()()210f f f <<， 即()110f -<<.所以()120g -<<，故B 不一定成立；1因为()()1g x f x =-，所以()()()11g x f x f x -=--=-+，所以()()()()11g x g x f x f x -+=--+，因为()f x 是定义在R 上的减函数，所以()()11f x f x ->+，所以()()110f x f x +-->，即()()0g x g x -+>，故C 正确； 因为()()1g x f x =-，所以()()()1g x f x f x -+=-=-，()()1g x f x +=， 所以()()()()110g x g x f x f x -+++=-+=，选项D 错误. 28．（2020·山东省济南市二模）已知实数x ，y ，z 满足1lnyx e z==，则下列关系式中可能成立的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】ABC 【解析】 设1ln yx e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k=，画出函数图像，如图所示： 当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>； 故选：ABC.三、填空题29．（2020·山东省潍坊市6月模拟）若函数()ln ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.【答案】2 【解析】11()ln 1f e e ==-，111(())(1)()22f f f e -=-==. 故答案为：2.30．（2020届山东省青岛市三模）已知定义在(),-∞+∞的偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()112f -=-，若()1212f x -≥-，则x 的取值范围________． 【答案】01x ≤≤ 【解析】因为()f x 为偶函数，()112f -=-，所以()()1112f f =-=-， 又()f x 在[)0,+∞单调递减，()1212f x -≥-，所以1211-≤-≤x ，解得01x ≤≤. 所以x 的取值范围为01x ≤≤. 故答案为：01x ≤≤.31．（2020·山东省滨州市三模）已知函数()()()221,412x x x f x h x a a x -+==->-．若[)123,,x x ∀∈+∞∃∈[)3,+∞，使得()()12f x h x =，则实数a 的最大值为__________．【答案】2 【解析】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，()()()2222212122x x x x f x x x -+-+-+==--，3x ≥122242x x =-++≥=-， 等号成立的条件是122x x -=-，即3x =，成立， 即函数()f x 在[)3,+∞的值域是[)4,+∞()()41x h x a a =->，是增函数，当[)3,x ∈+∞时，函数()h x 的值域是)34,a ⎡-+∞⎣，所以344a -≤，解得：12a <≤， 所以实数a 的最大值是2. 故答案为：2。

2020届山东优质冲刺数学试卷分项解析01 集合,常用逻辑用语(解析版)

2020届山东优质冲刺数学试卷分项解析01 集合,常用逻辑用语(解析版)

专题1 集合，常用逻辑用语1.集合的运算.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.2. 充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．3.关于存在性命题与全称命题，一般考查命题的否定. 预测2021年将保持稳定，必考且难度不会太大.1．（2020·山东海南省高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}【答案】C 【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==故选：C2．（2020·北京高考真题）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.3．（2020·天津高考真题）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.4．（2020·全国高考真题（理））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】 由题意，AB 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.5．（2020·浙江省高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件1C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B一、单选题1．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知集合{}110P x x =≤≤，{}260Q x x x =+-=，则PQ =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D 【解析】因为{}260Q x x x =+-= 所以{}2,3Q =-， 又因为{}110P x x =≤≤ 所以{}2P Q =故选：D2．（2020届山东省青岛市三模）已知全集U =R ，集合{}20M x R x x =∈-≤，集合{}cos ,N y R y x x R =∈=∈，则()U M N ⋂=（ ）A ．[)1,0-B ．()0,1C ．(),0-∞D ．∅【答案】A 【解析】{}20[0,1]M x R x x =∈-≤=,{}cos ,[1,1]N y R y x x R =∈=∈=-, (,0)(1,)U M ∴=-∞+∞,()[)1,0U M N =-∴⋂,故选：A3．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）设集合{}21xA x =>，{}21,B y y x x ==-∈R ，则()A B R=（ ） A ．（-1，1） B ．[-1，0] C ．[-1，0） D ．（-∞，0]【答案】B 【解析】由题意{|0}(0,)A x x =>=+∞，{|1}[1,)B y y =≥-=-+∞，(,0]RA =-∞，所以()[1,0]R A B =-，故选：B ．4．（2020·山东省济宁市6月三模）已知集合{}{}25,3,2,1,2,4A x x B =<=--，则AB =( )A ．{}22-，B ．{}22-，1，C ．{}21,3,2-， D ．⎡⎣【答案】B 【解析】由题意{|A x x =<<，∴{2,1,2}A B =-．故选：B ．5．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知集合{}2=|20M x x -<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ） A ．∅ B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】B 【解析】由220x x -<，得()0,2x ∈，所以{}1M N ⋂=， 故选：B ．6．（2020·山东省德州市6月二模）若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，则集合U U C MC N 等于（ ）A ．{5,6}B ．{1,5,6}C ．{2,5,6}D ．{1256}，，， 【答案】D 【解析】因为{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，， 所以{}2,5,6U C M =，{}1,5,6U C N = 所以()(){}1,2,5,6U U C N M C =故选：D7．（2020·山东省滨州市三模）已知集合{}41,M x x n n Z ==+∈，{}21,N x x n n Z ==+∈，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．M N ∈D ．N M ∈【答案】A 【解析】{}{}41,221,M x x n n Z x x n n Z ==+∈==⨯+∈，当n 为整数时，2n 为偶数，又{}21,N x x n n Z ==+∈，因此，M N ⊆.故选：A.8．（2020·山东省仿真联考3）若集合{}{}312,log 1||A x x B x x =-≤≤=≤，则A B = ( )A ．{|12}x x -≤≤B ．{|02}x x <≤C ．{|12}x x ≤≤D ．{|1x x ≤-或2}x >【答案】B 【解析】因为3{|log 1}B x x =≤可得{03}B x x =<≤，集合{|12}A x x =-≤≤， 所以{|02}A B x x ⋂=<≤故选B9．（2020·山东省仿真联考2）若集合{}2|1log 2P x x =≤<，{1,2,3}Q =，则P Q ＝（ ）A ．{}1,2B ．{}1C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】C 【解析】{}2|1log 2{|24}P x x x x =≤<=≤<，又，{1,2,3}Q =所以{2,3}P Q ⋂=，故选：C ．10．（2020届山东省青岛市三模）已知全集U =R ，集合{}20M x R x x =∈-≤，集合{}cos ,N y R y x x R =∈=∈，则()U M N ⋂=（ ）A ．[)1,0-B ．()0,1C ．(),0-∞D ．∅【答案】A 【解析】{}20[0,1]M x R x x =∈-≤=,{}cos ,[1,1]N y R y x x R =∈=∈=-, (,0)(1,)U M ∴=-∞+∞,()[)1,0U M N =-∴⋂,故选：A11．（2020·山东省威海市三模）已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x ==，则AB =（ ）A ．[]0,1B ．[)0,+∞C ．{}1,1-D ．{}0,1【答案】A 【解析】2210,11y x x =-≥-≤≤，{}[)2|0,B y y x===+∞A B =[][)[]1,10,+=0,1=-∞故选：A12．（2020·山东省仿真联考1）已知集合{}2230A x x x =-++≥，{}20B x x =->，则AB =( )1A ．()1,3B ．(]1,3C ．()1,2-D ．[)1,2-【答案】D 【解析】由题意得[]1,3A =-，(),2B =-∞中，则[)1,2A B =-.故选：D13．（2020·山东省泰安市模拟）已知集合{}20A x x x =-<，{|1B x x =>或0}x <，则（ ） A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．AB R = D ．A B =∅【答案】D 【解析】解不等式20x x -<得01x <<，则{}01A x x =<<. 因为{|1B x x =>或0}x <，所以A B =∅，故选:D.14．（2020·山东省泰安市6月三模）已知集合{}{}2450,10A x x x B x x =--<=->，则AB =（ ）A ．()1-∞，B ．()11-，C ．()1，5- D ．()05，【答案】B 【解析】因为()()1,5,,1A B =-=-∞，所以()1,1A B ⋂=-. 故选：B.15．（2020·山东省潍坊市6月模拟）若0x >，则2020x a x+≥恒成立的一个充分条件是（ ） A ．80a > B ．80a <C ．100a >D ．100a <【答案】B 【解析】因为2020x x +≥=x 时等号成立，则2020x a x+≥恒成立可得a ≤因为(),80-∞ (-∞，则80a <是2020x a x+≥恒成立的充分条件. 故选：B.16．（2020·山东省威海市三模）有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（ ） A ．从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 B ．从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 C ．从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 D ．从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签 【答案】C 【解析】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子. 故选：C17．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知全集U 为实数集，集合{}|13A x x =-<<，(){}|ln 1B x y x ==-，则集合A B 为（ ）A ．{}|13≤<x xB ．{}|3x x <C ．{}|1x x ≤-D ．{}|11x x -<<【答案】D 【解析】分析：由题意首先求得集合A 和集合B ，然后结合集合运算的定义进行交集运算即可求得最终结果. 详解：求解对数函数()ln 1y x =-的定义域可得：{}|1B x x =<， 结合交集的定义可得：集合A B ⋂为{}|11x x -<<. 本题选择D 选项.18．（2020·山东省青岛市二模）若全集U =R ，集合{}2A y y x =∈=R ，(){}3log 1B x y x =∈=-R ，则()RAB =（ ）A ．(]1-∞，B ．[]1,2C ．0,1D ．[)0,1【答案】C 【解析】由题{}[)20,A y y x=∈==+∞R ，(){}()3log 11,B x y x =∈=-=+∞R(],1RB =-∞，()RA B =0,1.故选：C19．（2020·山东省济南市6月模拟）已知集合{}12M x x =-<<，{N x y ==，则MN =（ ）A ．{}1x x >- B ．{}02x x ≤<C ．{}02x x <<D ．{}12x x ≤<【答案】D 【解析】由{{}|1N x y x x ===≥，{}12M x x =-<<所以[)1,2M N =故选：D20．（2020·山东省济南市二模）已知,x y R ∈，集合{1,2}x A =，{,}B x y =，12AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则xy =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故122x =，1x =-，12y =，故12xy =-.故选：B.21．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D22．（2020·山东省邹城市第一中学泰安市6月其他）设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】(){}()(){}21010A x x a x a x x x a =-++≤=--≤，当01a <<时，[,1]A a =； 当1a =时，{}1A =； 当15a <<，[1,]A a =，{}{}2ln 20B x x x x e =<=<<，因为A B ，所以p q 是的充分不必要条件.23．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a =是“0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420y xy a -+-=， 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <， 2121242,55a a y y y y -∴+==， 121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=， ()()1212220y a y a y y ∴--+=， ()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a aa a -∴⨯-⨯+=，解得a =则“a =是“0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选A.24．（2020·山东省仿真联考1）已知:1p x a -<，3:11q x >+，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( ) A ．[]0,1 B ．(]0,1C ．[)1,2-D ．()1,2-【答案】A因为1x a -<，所以11a x a -<<+.即:11p a x a -<<+， 因为311x >+，所以12x -<<，即:12q x -<<. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤.故选:A.25．（2020届山东省青岛市三模）若直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，则下列选项中正确的（ ） A ．p 是q 的必要非充分条件 B ．q 是p 的充分非必要条件 C ．p 是q 的充分非必要条件 D ．q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或65a =-. 经检验，当0a =或65a =-时，两直线平行. 设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 故选：C.26．（2020·山东省青岛市二模）“1a =”是“直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．不充分也不必要条件【答案】A 【解析】充分性：若1a =，则()11110⨯+-⨯=，即两直线垂直，充分性满足； 必要性：直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直， 则()1110a ⨯+-⨯=，解得1a =，必要性满足；即“1a =”是“直线:10l ax y -+=与直线:m x y a +=垂直”的充要条件. 故选：A27．（2020·山东省济南市6月模拟）已知命题p ，x ∀∈R ，12xx e e +≥，则p ⌝为（ ） A ．x ∃∈R ，12xx e e +≥ B ．x ∃∈R ，12xx e e +<C ．x ∃∈R ，12xx e e+≤D ．x ∀∈R ，12xx e e+≤【答案】B 【解析】原命题x R ∀∈，12xx e e +≥ ，∴ 命题x ∀∈R ，12xxe e +≥的否定是:x ∃∈R，12x x e e +<． 故选:B ．28．（2020·山东省济宁市6月三模）设a 、b 是非零向量，“0a b ⋅=”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】设非零向量a 、b 的夹角为θ，若0a b ⋅=，则cos 0θ=，又0θπ≤≤，2πθ∴=，所以，a b ⊥.因此，“0a b ⋅=”是“a b ⊥”的充要条件. 故选：C.29．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知向量(),2a m =-，()2,1b =，则“m ＜1”是“a ，b 夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若a ，b 夹角为钝角，则cos ,0a b <且cos ,1a b ≠-，由2cos ,a b a ba b m ⋅==可得01<≠-，解得1m <且4m ≠-， 由{1m m <且}4m ≠- {}1m m <可得“m ＜1”是“a ，b 夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B.30．（2020·山东省德州市6月二模）已知实数x ，y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据题意，实数,x y 满足1,0xy ，若x y <，即1x y <<，则log log 1x x y x >=，则“x y <”是“log 1x y >”的充分条件，反之若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，由1x >，则必有x y <，则“x y <”是“log 1x y >”的必要条件， 故“x y <”是“log 1x y >”的充要条件； 故选：C31．（2020·山东省济南市二模）任何一个复数z a bi =+（其中,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以表示成()cos sin z r i θθ=+（其中0r ≥，R θ∈）的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：cos cos [(sin ]sin ,()n nn r i r i n n N θθθθ++=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n 为偶数”是“复数cos sin 44mi ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为纯虚数的是（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】cos sin cos sin 4444mm m i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭为纯虚数，故cos 04m π=且sin 04m π≠， 故24m k =+，k Z ∈，故n 为偶数是24m k =+，k Z ∈的必要不充分条件.32．（2020·山东省滨州市三模）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD ．若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误； 对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ， 因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂； 同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线， 因为l γ⊥，故m γ⊥. 故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β， 才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误. 故选：B. 二、多选题33．（2020·山东省仿真联考2）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（ ） A ．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B ．若5x >，则10x > C ．若ac bc =，则a b = D ．若sin sin αβ=，则αβ=【答案】BCD 【解析】A 中p 是q 的充分条件，B ，C ，D 中p 是q 的必要条件.故选BCD.34．（2020·山东省仿真联考3）下列命题错误的是（ ）．A ．(0,)x ∃∈+∞，1123x x⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．(0,1)x ∃∈，1123log log x x >C ．(0,)x ∀∈+∞，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】由指数函数的性质可知，当(0,)x ∈+∞时，1321213xx x⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，1123x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，A 错误； 由对数函数的性质可知，当(0,1)x ∈时，13log 0x >，13113221131333log 1log log 211log 311log log log 2log 2xx x x ====>，1123log log x x>恒成立，B 正确；对于C ，当12x =时，122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 1x =，则121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 错误；对于D ，当13x =时，13log 1x =，由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭恒成立，D 正确． 故选：AC ． 三、填空题35．（2020·山东省济南市二模）能够说明“若11a b>，则a b <”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________．【答案】1a =，1b =-，答案不唯一，a ，b 分别取大于0，小于0的整数即可 【解析】取1a =，1b =-，满足11a b>，但a b >，得到命题为假命题.故答案为：1a =，1b =-；。

专题6 平面向量及其应用,复数--《2021届新高考山东优质冲刺数学试卷分项解析》【解析版】

专题6 平面向量及其应用,复数--《2021届新高考山东优质冲刺数学试卷分项解析》【解析版】

专题6 平面向量及其应用,复数1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.3.考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.预测2021年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、几何意义及复数的运算考查，.1．（2020·山东海南省高考真题）2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++- 故选：D2．（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.4．（2020·浙江省高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 5．（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为333,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, ∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132.第一部分 平面向量及其应用一、单选题1．（2020·山东省招远第一中学高三月考）已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（ ）. A ．1- B ．2- C ．4- D ．6-【答案】C 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()2,2C ()0,2D . 设(),P x y ，则(),PA x y =--，()2,PB x y =--，()2,2PC x y =--，(),2PD x y =--， 所以()()()()()2222,222,422248PA PB PC PD x y x y x y y +⋅+=--⋅--=-+-224(1)4(1)4x y =-+--.所以当1x =，1y =时，()()PA PB PC PD +⋅+取得最小值4-. 故选：C2．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知向量()2,2AB =，(),1AC t =，若2AB BC ⋅=，则t =（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】根据题意得：()()(),12,22,1BC AC AB t t =-=-=--， 所以()()22212422AB BC t t ⋅=-+⨯-=--=，解得4t =. 故选：B.3．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知平面向量a ，b 满足()·2a b b +=，且1a =，2b =，则a b +=（ ） A 3 B 2C ．1D ．3【答案】C 【解析】()242a b b a b ba b +⋅=⋅+=⋅+=，∴2a b ⋅=-，∴22222()212(2)21a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=， ∴1a b +=． 故选：C.4．（2020·宁夏银川二中高三月考（文））如图，在ABC 中，14BN BC =，设AB a =，AC b =，则AN =（ ）A ．1344a b - B ．3144a b - C ．1344a b + D ．3144a b + 【答案】D 【解析】因为14BN BC =，所以14BN BC =， 所以()()1113144444AN AB BN AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=+. 故选：D .5．（2020·山东高三期中）已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ） A ．-2 B ．2C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 由题意221cos32212a b a bx π⋅===+， 所以0x >，且2212x x =+2x =.故选：B.6．（2020·山东省招远第一中学高三月考）已知向量()2,1a =-，()3,2b =-，()1,c m =，若()a b c +⊥，则c =（ ）. A ．1 B 2C 3D ．2【答案】B【解析】()1,1a b +=-，()10a b c m +⋅=-+=，故1m =，所以2c =. 故选：B7．（2020·横峰中学高二月考（文））在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133b c + B ．5233c b -C ．2133b c - D ．1233b c +【答案】A 【解析】 试题分析：，故选A ．8．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B 【解析】因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=， 因为||2||a b =，所以22cos ,222aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知向量(1,2),(2,2),(,1)a b c m ==-=，若//(2)c a b +，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由题意，向量(1,2),(2,2),(,1)a b c m ==-=，可得2(4,2)a b +=，因为//(2)c a b +，可得142m =，解得2m =. 故选：C.10．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．911B ．511C ．311D ．211【答案】C 【解析】由13AN NC =，可得4AC AN =， 所以281111AP mAB AC mAB AN =+=+， 又,,B P N 三点共线，由三点共线定理，可得：8111m +=， 311m ∴=， 故选C.11．（2021·潍坊市潍城区教育局高三月考）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 1sin sin b Ca c A B+=++，4AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（ ） A 3 B ．2C ．23D ．3【答案】C 【解析】由已知及正弦定理得1b c a c a b+=++，化简得222b c a bc +-=， ∴2221cos 22b c a A bc +-==，[]060A A π∈∴=︒，，∴cos604AB AC bc ⋅=︒=，∴8bc =，∴113sin 823222ABC S bc A ==⨯⨯=△． 故选：C12．（2021·潍坊市潍城区教育局高三月考）在直角梯形ABCD 中，4AB =，2CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=（ ）A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】D 【解析】∵()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅，由数量积的几何意义可得：AB AC ⋅的值为AB 与AC 在AB 方向投影的乘积， 又AC 在AB 方向的投影为12AB =2， ∴428AB AC ⋅=⨯=，同理4312AB AE ⋅=⨯=， ∴()81220AB AC AE ⋅+=+=， 故选D.13．（2020·山东高三开学考试）已知ABC 中，4AB =，43AC =8BC =，动点P 自点C 出发沿线段CB 运动，到达点B 时停止，动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动，到达点C 时停止，且动点Q 的速度是动点P 的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中AP AQ ⋅的最大值是（ ） A ．72B ．4C ．492D ．23【答案】C 【解析】ABC 中，4AB =，43AC =8BC =，222,,60,30AB AC BC AB AC ABC ACB ∴+=∴⊥∠=∠=.由题意2BQ CP =-，()()AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP Q A B AP Q ∴=+⋅+=⋅++⋅⋅⋅+⋅ 02cos30cos602cos180AC CP CP AB CP CP =+-++- 2312422CP CP CP =⨯+⨯⨯- 22749214222CP CP CP ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∴当72CP =时， AP AQ ⋅取得最大值，最大值为492. 故选：C.14．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知平面内三点()2,1A ，()6,4B ，()1,16C ，则向量AB 在BC 的方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．3313【答案】C 【解析】由题意，平面内三点()2,1A ，()6,4B ，()1,16C ，可得(4,3)AB =，(5,12)BC =-，则4(5)31216AB BC ⋅=⨯-+⨯=，13BC =，所以向量AB 在BC 的方向上的投影为1613AB BC BC⋅=. 故选：C. 二、多选题15．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）已知向量,a b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使,a b 共线的是( )A ．234a b e -=且22a b e +=-B ．存在相异实数,λμ，使0a b λμ-=C ．0xa yb +=（其中实数,x y 满足0x y +=）D ．已知梯形ABCD ．其中,AB a CD b == 【答案】AB 【解析】 对于A ，向量,a b 是两个非零向量，234a b e -=且22a b e +=-，28,77a eb e ∴==- ，此时能使,a b 共线，故A 正确；对于B ，存在相异实数,λμ，使0a b λμ-=，要使非零向量,a b 是共线向量，由共线定理即可成立，故B 正确；对于C ，0xa yb +=（其中实数,x y 满足0x y +=）如果0x y ==则不能使,a b 共线，故C 不正确； 对于D ，已知梯形ABCD 中，AB a = ，CD b =，如果,AB CD 是梯形的上下底，则正确，否则错误； 故选：AB16．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）已知向量()1,2a →=-，()1,b m →=-，则（ ） A ．若a →与b →垂直，则1m =- B ．若//a b →→，则a b →→⋅的值为5-C ．若1m =，则a b →→-= D ．若2m =-，则a →与b →的夹角为60︒【答案】BC 【解析】对于选项A ：由a b ⊥，可得()()1120m ⨯-+-⋅=，解得12m =-，故A 错误， 对于选项B ：由//a b →→，可得()()1210m ⨯--⨯-=，解得2m =，∴()1,2b =-， ∴()()11225a b ⋅=⨯-+-⨯=-，故B 正确；对于选项C ：若1m =，则()2,3a b -=-，则a b →→-=，故C 正确： 若2m =-，对于选项D ：()1,2b =--：设a 与b 的夹角为θ， 则13cos 55a b a bθ⋅-+===⨯，故D 错误．故选:BC ． 三、填空题17．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）若向量a →，b →满足32a →=，1b →=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则2a b →→+=______.【答案】7 【解析】由于a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，32a →=，所以0a ab →→→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即34a b →→⋅=，所以22222443137a b a b a a b b →→→→→→→→⎛⎫+=+=+⋅+=++= ⎪⎝⎭. 故答案为：78．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.19．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）点P 是△ABC 所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则△ABP 与△ACP 的面积之比是___________. 【答案】32【解析】 由题意，()2355AP AC CB AC =++25AC CB =+， 所以25CB AP AC CP =-=，即25CP CB =.所以在△ABC 中，点P 在BC 边上，且32BP PC =， 设点A 到BC 边上的高为h ,则132122ABP APCBP hS BP SPC PC h ⋅===⋅.故答案为：32. 【点睛】若()1AP t AB t AC =+-，则,,B P C 三点共线，且1BP tPC t-=. 四、解答题20．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC =，且AOC=x ∠，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +的最小值； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值． 【答案】（1）22；（2）m n ⋅的最小值为128x π=.【解析】（I ）设(,0)(01)D t t ≤≤，又22C ⎛- ⎝⎭所以22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭所以22211||122OC OD t t +=-++=+ 21(01)2t t ⎛=-+≤≤ ⎝⎭所以当2t =时，||OC OD +最小值为2． （II ）由题意得(cos ,sin )C x x ，(cos 1,sin )m BC x x ==+ 则221cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--124x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52444x πππ≤+≤ 所以当242x ππ+=时，即8x π=时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1所以8x π=时，1224m n x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=21．（2020·鱼台县第一中学高三月考）已知向量a ＝（3cos2x ，3sin 2x ），b ＝（cos 2x ，－sin 2x），且[0,]2x π∈．（1）用cos x 表示a ·b 及|a ＋b |；（2）求函数f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |的最小值．【答案】（1）a ·b ＝2cos 2x －1，|a ＋b |＝2|cos x |；（2）－1． 【解析】（1）a ·b ＝3cos2x cos 2x －3sin 2x sin 2x＝cos2x ＝2cos 2x －1，|a ＋b |2|cos x |，∵[0,]2x π∈，∴cos x ≥0，∴ |a ＋b |＝2cos x ．（2）f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |＝2cos 2x －1＋4cos x ＝2（cos x ＋1）2－3，∵[0,]2x π∈，∴ 0≤cos x ≤1，∴ 当cos x ＝0时，f （x ）取得最小值－1．22．（2020·德州跃华学校高中部高三月考）己知向量(1,2)=-a ，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 【答案】（1）(2,4)-；（2）5-. 【解析】（1）设(),b x y =，||25b =，2220x y ∴+=①，且(1,2)=-a ，若b a λ=，得()(),1,2x y λ=-，,2x y λλ∴==-②，联立①②，解得2520,0,2λλλ=<∴=-，2,4x y ∴=-=，即()2,4b =-.（2）(1,2)=-a ，∴(21a =+=||25b =，若a 与b 的夹角为23π，∴21cos532a b a b π⎛⎫⋅==-=- ⎪⎝⎭， ∴()22()(2255205)2a b a b a a b b -⋅+-⋅-=⨯--=--=.23．（2020·福建龙海二中高三月考）已知向量()sin ,1a x =，9sin ,cos 8b x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，设函数()f x a b =⋅，[]0,x π∈．（1）求()f x 的值域；（2）设函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，若不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）171,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵()sin ,1a x =，9sin ,cos 8b x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴()29sin cos 8x x f x a b =⋅=+-291cos cos 8x x =-+-21cos cos 8x x =-+-，∴211()cos 28f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵[]0,x π∈，∴1cos 1x -≤≤， ∴171()88f x -≤≤， ∴()f x 的值域为171,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由题意，()2h x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭21cos cos 228x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin sin 8x x =---，且,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，依题意，不等式()()sin 2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设5()()sin 2cos sin sin 24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin 4x x x x =+--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令cos sin 4t x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1,1t ∈-， 则221142y t t t ⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，[]1,1t ∈-，∴函数()()sin 2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴min 94m y >=-， 故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 第二部分 复数一、单选题1．（2020·山东高三期中）已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 【答案】C 【解析】121312z i iz i +--==+. 故选：C2．（2020·鱼台县第一中学高三月考）复数11i-的共轭复数为（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -- D ．1122-+i【答案】B 【解析】()()11111111222i i i i i i ++===+--+, 所以共轭复数为1122i -， 故选：B3．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）已知,m n R ∈，i 是虚数单位，若()(1)m i i ni -+=，则||m ni -=（ ）A B ．2C D ．1【答案】A 【解析】()(1)(1)(1)m i i m m i ni -+=++-=，10112m m m n n +==-⎧⎧∴⇒⎨⎨-==-⎩⎩，||12m ni i ∴-=-+==.故选：A4．（2020·山东高三月考）已知复数34z i =+，则23z z -=（ ）A B ．5C ．20D ．【答案】C 【解析】()()222339241634912161342z z i i i i i i -=-=++--=-+++，2320z z ∴-==.故选：C.5．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知i 为虚数单位，复数z 满足23i 1z --=，则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】设复数=z a bi +，则23=2(3)z i a b i ---+-，所以231z i --=，即22(2)(3)1a b -+-=，则复数z 在复平面内对应的点Z 在以（2,3）为圆心，1为半径的圆上， 所以z 在复平面内对应的点在第一象限. 故选A .6．（2020·博兴县第三中学高三月考）若()22z i i -=-（i 是虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D 【解析】因为()22z i i -=-，所以()()()()2234434434343425252i i ii i z i i i i i i i -+---=====--+--+-，所以15z ==，故选D. 7．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）已知复数32iz i-=+，则复数z 的虚部为（ ）. A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A 【解析】 复数()()()()3235512225i i i iz i i i i ----====-++-，故虚部为-1. 故选：A8．（2020·山东省招远第一中学高三月考）已知复数23i23iz +=-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）. A ．第一条限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 依题意，()()()()2323234669512232323131313i i i i i z i i i i +++++-====-+--+， 所以在复平面内，复数z 所对应的点位于第二象限 故选：B9．（2020·山东师范大学附中高三月考）若(2)x i i y i +=+，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．2-D ．2i -【答案】C 【解析】由于(2)x i i y i +=+，则1x=且2y =-， 所以12z x yi i =+=-，所以复数z 的虚部为2-. 故选：C.10．（2020·山东高三开学考试）已知复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则1zz +=（ ） A ．3i 2+ B ．1i2+ C ．13i2- D ．13i 2+【答案】D 【解析】121312(2)(1)2z i iz i i i +++++===-. 故选：D.11．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知()211i i z-=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．12i-+ B ．12i-- C ．12i+ D ．12i- 【答案】B 【解析】因为()211i i z -=+，所以()()221111122221i i i i z i ii i ---====--+ 故选：B12．（2020·江苏省梅村高级中学高三开学考试）2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++- 故选：D13．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 【答案】B 【解析】 由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+，所以1255a b i=i -+，故选B ． 14．（2020·江苏省丰县中学高三月考）已知复数z 满足()22i z i i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】 因为()()()2(1)2221322255i i i i i i iz i i i -+++--+--+====--⨯+， 所以3155z i =--，z 对应点为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.二、多选题15．（2020·山东高三月考）已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-【答案】AC【解析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC16．（2020·山东高三月考）已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+【答案】ACD【解析】因为11131222244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z i =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：ACD.17．（2020·江苏省丰县中学高三月考）若复数21i z =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --【答案】ABC【解析】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .三、填空题18．（2021·潍坊市潍城区教育局高三月考）欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e i z i π+⋅=+，则||z =________．【答案】1【解析】由欧拉公式cos sin i e i θθθ=+有：cos sin 1i e i πππ=+=-， 由()1i e i z i π+⋅=+， 所以11i z i i +==-- 所以||1z =.故答案为：119．（2020·山东师范大学附中高三月考）欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于第______象限．【答案】二【解析】e 2i ＝cos2+i sin2，∵2∈2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），∴e 2i 表示的复数在复平面中位于第二象限．故答案为：二。

2020年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)

2020年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)

2020年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 2．(2020·新高考全国Ⅰ，7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6) 答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．3．(2020·新高考全国Ⅱ，3)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →等于( ) A ．2CD →－CA → B ．2CA →－CD → C ．2CD →＋CA → D ．2CA →＋CD →答案 A解析 如图所示，∵D 为△ABC 的边AB 的中点， ∴CA →＋CB →＝2CD →， ∴CB →＝2CD →－CA →.4．(2020·全国Ⅱ文，5)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0；对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝12－2＝－32≠0；对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.5．(2020·全国Ⅲ文，6)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线 答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点A ，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C 为(x ，y )， 则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )， 所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1， 整理得x 2＋y 2＝a 2＋1. 因此点C 的轨迹为圆．二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，14)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.2．(2020·全国Ⅱ理，13)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°， 所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 3．(2020·北京，13)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.4.(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°， 所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6， 所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ， 则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.5.(2020·江苏，13)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是________．答案185或0解析 方法一 ∵AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.由向量系数m ＋⎝⎛⎭⎫32－m ＝32为常数，结合等和线定理可知|P A →||PD →|＝321. 故PD ＝23P A ＝6，AD ＝P A －PD ＝3＝AC ，当D 与C 重合时，CD ＝0；当D 与C 不重合时，得∠ACD ＝∠ADC ， ∴∠CAD ＝π－2∠ACD .在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC BC ＝35.在△ADC 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin ∠ACD，∴CD ＝sin (π－2∠ACD )sin ∠ACD ·AD ＝sin 2∠ACDsin ∠ACD ·AD＝2cos ∠ACD ·AD ＝2×35×3＝185.综上，CD ＝185或0.方法二 如图，以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则C (0,3)，B (4,0)，AC →＝(0,3)，CB →＝(4，－3)．∵P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →＝32PC →＋m (PB →－PC →)＝32(P A →＋AC →)＋mCB →＝32P A →＋32AC →＋mCB →， ∴－12P A →＝32(0,3)＋m (4，－3)＝⎝⎛⎭⎫4m ，92－3m ， ∴P A →＝(－8m,6m －9)．∵|P A →|＝9，∴64m 2＋(6m －9)2＝81， ∴m ＝2725或m ＝0，当m ＝2725时，P A →＝⎝⎛⎭⎫－21625，－6325， ∴P ⎝⎛⎭⎫21625，6325，∴k P A ＝63216＝724.由⎩⎨⎧y ＝724x ，x 4＋y3＝1，解得⎩⎨⎧x ＝7225，y ＝2125，∴D ⎝⎛⎭⎫7225，2125， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫0－72252＋⎝⎛⎭⎫3－21252＝8 100252＝9025＝185. 当m ＝0时，P A →＝(0，－9)， ∴P (0,9)，此时C 与D 重合，CD ＝0. 综上，CD ＝185或0.6．(2020·浙江，17)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )， 则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )， 故|2e 1－e 2|＝(2－x )2＋y 2≤2， 得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2， 化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)(x ＋3)＋y 2(x ＋1)2＋y 2(x ＋3)2＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4(x ＋1)2(x ＋1)(3x ＋5) ＝4(x ＋1)3x ＋5＝43(3x ＋5)－833x ＋5 ＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝⎛⎭⎫34＋13×34＋5＝2829.7．(2020·全国Ⅰ文，14)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 答案 5解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.又a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，∴1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5.。

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专题6 平面向量及其应用,复数1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.3.考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.预测2021年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、几何意义及复数的运算考查，.1．（2020·山东海南省高考真题）2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++- 故选：D2．（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.4．（2020·浙江省高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥，222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 5．（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为333,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132.第一部分 平面向量及其应用一、单选题1．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知向量()1,3a =-，3,3b λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若a b ⊥，则3a b +与a 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【答案】B 【解析】∵()1,3a =-，3,b λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，a b⊥，设3a b +与a 的夹角为θ， ∴31303λ-⨯+⨯=，解得3λ=， ∴()()313,312,4a b +=-++=，∴()2222321432cos 232413a b aa b aθ+⋅⨯-+⨯===+⨯+⨯-+， 由于[]0,θπ∈，可得4πθ=，故选：B.2．（2020·山东省滨州市三模）已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】D 【解析】由2OA OB mOC +=-得：12333mOA OB OC +=- 设3mOC OD -=，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD反向共线，0m >, 3OD mOC ∴= 3313mOD m m m CD ∴==++ 734AOB ABC D S OD m S m C ∆∆∴+=== 4m ⇒=故选：D.3．（2020·全国高二）设()1,3a =-，()1,1b =，c a kb =+，若b c ⊥，则a 与c 的夹角余弦值为（ ）A B C ．3D ．3【答案】B 【解析】因为()1,3a =-，()1,1b =， 所以()1,3c a kb k k =+=-++， 因为b c ⊥，所以()()11310k k -+⨯++⨯=， 解得1k =-， 所以()2,2c =-，因为8,10,22a c a c ⋅===，所以cos ,102a c a c a c⋅===⋅⋅，所以a 与c . 故选：B4．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知ABC ∆中，60A =︒，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==.设AO AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A ．2 B ．1C ．1118D ．711【答案】C 【解析】由OA OB OC ==，得：点O 是ABC ∆的外心，又外心是中垂线的交点，则有：·18·8AO AB AO AC ⎧=⎨=⎩，即()?18()?8AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+=⎨+=⎩，又6AB =，4AC =，12AB AC =，所以623342λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得：4916λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41119618λμ+=+=， 故选：C ．5．（2020·山东省威海市三模）已知向量(2,2OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-C ．()3,1D ．()1,3-【答案】D 【解析】由题意，向量(2,2OP =，则10OP =设向量OP 与x轴的夹角为α，则cos αα==，所以4545sin sin 45cos()cos cos ααα︒︒-︒==+=4545cos s sin()sin co in 452210s ααα︒︒+︒==+=，可得cos()(451OP α+==︒-，45sin()3OP α︒+== 所以'(1,3)OP =-. 故选：D. 二、多选题6．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．()a b b -⊥D ．a 与b 的夹角为π4【答案】CD 【解析】因为()2,0a =，()1,1b =，所以2,2a b ==，所以a b ≠，故A 错误；因为()2,0a =，()1,1b =，所以()()=1,1a b --，所以()a b -与b 不平行，故B 错误； 又()110a b b -⋅=-=，故C 正确； 又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅，所以a 与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.7．（2020·山东省青岛市二模）已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【解析】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+,故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD8．（2020·山东省泰安市6月三模）已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=，则（ ） A ．//a b B ．()a b c +⊥ C ．a b c += D ．53c a b =+【答案】BD 【解析】由题意22(3)(1)0⨯--⨯-≠，A 错；()()()1,1,110a b a b c a b c +=-+⋅=-+=+⊥，故.B 正确，C 错误；53a b +5(2,1)3(3,2)(1,1)c =-+-==，D 正确．故选：BD9．（2020·山东省泰安市模拟）已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()//a b c -，下列说法正确的是（ ）A ． a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．24m n +=D ．mn 的最大值为2【答案】CD 【解析】由题意知，10a b ⋅=>，所以a 与b 的夹角为锐角，故选项A 错误；向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅==，故选项B 错误； ()1,2a b -=，因为()//a b c -，,m n 均为正数，所以c 为非零向量， 且24,24n m m n -=-+=，故选项C 正确；由基本不等式知，4222m n mn =+≥，2mn ≤，当且仅当22m n ==时取等号， 故mn 的最大值为2，故选项D 正确. 故选：CD 三、填空题10．（2020·山东省仿真联考2）已知()1,3a =，()2,b k =-，且()()2//3a b a b +-，则实数k =__________． 【答案】6- 【解析】由题意2(3,32)a b k +=-+，3(5,9)a b k -=-，由(2)//(3)a b a b +-，得3(9)5(32)k k --=+，解得6k =-.【点睛】设向量11(,)a x y =，22(,)b x y =， 向量平行的两种方法： （1）//a b 的充要条件是12210x y x y -=；（2）不妨设0a ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使b a λ=，即2122{x x y y λλ==.第一种方法纯粹地是代数方程，第二种方法是几何方法，对不是坐标表示的向量平行非常适用.11．（2020·山东省仿真联考3）在ABC 中，2AB =，33BC =，30ABC ︒∠=，AD 为BC 边上的高．若AD AB AC λμ=+，则λμ-=________．【答案】13【解析】根据题意画出图象，如图AD 为BC 边上的高∴AD BC ⊥，2AB =，30ABC ︒∠=，则BD =，∴13BD BC =， ∴1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+．又AD AB AC λμ=+，∴23λ=，13μ=， 故13λμ-=．故答案为：13．12．（2020·山东省仿真联考1）已知向量(),2a m =，()1,3b =-，若a b ⊥，则a =______.【答案】【解析】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=所以()230m +⨯-=，解得6m =，所以()6,2a =，因此364a =+=故答案为：13．（2020届山东省青岛市三模）已知1e ，2e 是平面上不共线的两个向量，向量b 与1e ，2e 共面，若11e =，22e =，1e 与2e 的夹角为3π，且11b e ⋅=，22b e ⋅=，则b =________．【答案】3【解析】设12b xe ye =+，因为1e 与2e 的夹角为3π， 所以1212cos 13e e e e π⋅== ， 则()122111121b e e x e ye e x e ye y x ⋅=⋅=++⋅=+=，()2222112242b e e y xe e x y x y e e e ⋅=⋅=+⋅=++=，解得21,33x y ==，则222121212214144442333999999b e e e e e e ⎛⎫=+=++⋅=++= ⎪⎝⎭， 故答案为:23. 14．（2020·山东省济南市6月模拟）已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为___________. 【答案】1- 【解析】由题意，向量(1,1)a =，(1,)b k =-，则(0,1)a b k +=+，因为()a b a +⊥，所以()01(1)110a b a k k +⋅=⨯++⨯=+=，解得1k =-. 故答案为：1-.15．（2020·全国济宁市6月（文））在平行四边形ABCD 中，6,3AD AB ==，160,2DAB DE EC ∠==，12BF FC =，若2FG GE =，则AG BD ⋅=__________. 【答案】21 【解析】 如图所示：因为12DE EC =，12BF FC =，所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ，又2FG GE =，1233=++=++AG AB BF FG AB AD FE 125732239933⎛⎫=++=+ ⎝-⎪⎭AD AB AD AB AD AB ，又BD AD AB =-，所以()225775299999⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅ ⎪⎝-⎭AG BD AB AD AB A AD AD AD B AB ，6,3AD AB ==，60DAB ∠=，所以609cos ⋅⋅==AB A AD AD B ，代入数据可得752369921999=⨯-⨯-⨯=AG . 故答案为：2116．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知向量()1,0a =，(),2b λ=，2a b a b -=+，则实数λ=__________． 【答案】12【解析】由(1,0)(,2)a b λ==，则2(2,0)(,2)(2,2),(1,2)a b a b λλλ-=-=--+=+， 所以2222222(2)(2)84,52a ba b λλλλλ-=-+-=-++=++，又由2a b a b -=+，所以228452λλλλ-+=++，解得12λ=． 四、解答题第二部分 复数一、单选题1．（2020·山东省威海市三模）已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为()()236(23)ai i a a i ++=-++， 所以对应的点为()6,23a a -+， 代入直线y x =可得623a a -=+， 解得1a =， 故选：C2．（2020·山东省泰安市6月三模）设复数z 满足()21=52i z i -+，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．i -C ．52D ．52i【答案】C 【解析】()()22525252255122221i i ii i z i i i i +++-+=====-+---，则z 的虚部为52. 故选：C.3．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12z z =（ ）A ．1-B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i 【答案】C 【解析】依题意可得22z i =--，所以122(2)(2)342555z i i i i z i ---+===-+--， 故选：C .4．（2020·山东省泰安市模拟）已知复数z 满足()14i z i -⋅=，则z =（ ） AB ．2C．D ．8【答案】C 【解析】∵()14i z i -⋅=，，∴41iz i =-()()()4111i i i i +=-+22i =-+，∴z =故选：C ．5．（2020·山东省青岛市二模）任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中r =()02θπ≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z =，则z 的辐角主值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D 【解析】因为2112+===+i z i ， 所以55cossin 66ππ=+z i ， 所以z 的辐角主值为56π. 故选：D6．（2020届山东省青岛市三模）若复数321iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】()()321221111(1)i i i iz i i i i i +====-++--+， 复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，该点在第二象限， 故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限， 故选：B.7．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）设()1i z i -=，则复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】因为()12i z i -==，所以()()()1121+i z i i -=+，所以()221+z i =，即1+z i =所以1z i =-在复平面对应的点(1,1)-位于第四象限， 故选：D8．（2020届山东省青岛市三模）若复数321iz i=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】()()321221111(1)i i i iz i i i i i +====-++--+，复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，该点在第二象限， 故复数z 在复平面上对应的点所在的象限为第二象限， 故选：B.9．（2020·山东省济宁市6月三模）i 为虚数单位，复数2112iz i i+=++-，复数z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为( ) A ．i B ．2i -C ．2-D ．1【答案】C 【解析】 由题得2(2)(12)51111212(12)(12)5i i i iz i i i i i i i +++=++=++=++=+--+， 所以12z i =-. 所以z 的虚部为2-. 故选：C.10．（2020·山东省仿真联考1）已知复数z 满足()2z i i -=-，则z =( ) A ．1255i - B ．1255i -+ C ．1255i + D ．1255i -- 【答案】C【解析】 由题意可得：(2)122(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+，则1255z i =+. 故选:C.11．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知复数z 满足z (1+2i )=i ，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】由(12)z i i +=，得(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i -===+++-，所以2155z i =- ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选：D ．12．（2020·山东省仿真联考2）i 是虚数单位，复数()i z a a =+∈R 满足，则z =A 25B ．2或5C 5D ．5【答案】C 【解析】因为222()1(21)13z z a i a i a a a i i +=+++=-+++=-，所以211{213a a a -+=+=-，解得2a =-，所以22|||2|(2)15z i =-+=-+= C.13．（2020·山东省仿真联考3）已知复数z 满足(13)1i z i +=+，则复平面内与复数z 对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】由()131i z i +=+，得()()()(1131313131313131313i i i z i i i+-++-====++++-，∴复数z ，在第四象限．故选：D ．14．（2020·山东省德州市6月二模）欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =（ ）A B C ．D ．3【答案】A 【解析】由欧拉公式cos sin i e i θθθ=+有：cos sin 1i e i πππ=+=-. 由()1i e z i i π-⋅=+，即(1)1z i i --⋅=+ 所以111iz i i+--==-，即2z i =-+所以z ==故选：A15．（2020·山东省滨州市三模）已知x ∈R ，当复数()3z x i =+-的模长最小时，z 的虚部为（ ）A B ．2C ．2-D ．2i -【答案】C 【解析】依题意z ===故当1x =时，z 取得最小值.此时2z i =，所以z 的虚部为2-.故选：C16．（2020·山东省济南市二模）任何一个复数z a bi =+（其中,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以表示成()cos sin z r i θθ=+（其中0r ≥，R θ∈）的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：cos cos [(sin ]sin ,()n nn r i r i n n N θθθθ++=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n 为偶数”是“复数cos sin 44mi ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为纯虚数的是（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】cos sin cos sin 4444mm m i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭为纯虚数，故cos 04m π=且sin 04m π≠， 故24m k =+，k Z ∈，故n 为偶数是24m k =+，k Z ∈的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题17．（2020·山东省潍坊市6月模拟）设复数12z =-+，则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．2020z z =【答案】BCD【解析】12z =-+，2211312242422z i i z ⎛⎫∴=-+=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭，32211131222244z z z i i ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⋅--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3n n z z n N +*∴=∈， 则202036731z z z ⨯+==，所以，A 选项错误，B 选项正确，C 选项正确，D 选项正确. 故选：BCD.18．（2020·山东省济南市6月模拟）已知复数ππ1cos 2sin 222z i θθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z的实部为12【答案】BCD【解析】 因为ππ22θ-<<，所以π2πθ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01+cos22θ<≤，所以A 选项错误； 当sin 20,022ππθθ⎛⎫==∈-⎪⎝⎭，时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确；()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 222cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 选项正确；故选：BCD.。

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