第二届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛小学组笔试二
第四届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛
第四届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛
笔试二试卷（小学高年级组）
一、填空题（每题20分，共60分）
1.小红和小明两人都带了钱想买《趣味数学》这本书，到书店一看，小红带的钱缺2元2角，小明带
的钱缺1元8角. 而两人带的钱合起来刚好买一本. 则《趣味数学》每本定价元.
2.如右图所示，小正方形EFGH在大正方形ABCD的内部，阴影
、在边AD上，O为线段
部分的总面积为124平方厘米，E H
CF的中点. 则四边形BOGF的面积为平方厘米.
3.一些边长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如左下图，从正面看这个立体，
如右下图. 在这个立体的体积最大时，将这些小正方体码放成一个底面积为4的长方体，则这个长方体的高是.
二、解答题（每题20分，共60分）
4.已知两个正整数之和为432，这两个正整数的最小公倍数与最大公约数之和为7776. 则这两个正整
数的乘积是多少？
5.设不同的字母代表不同的非零数码，相同的字母代表相同的数码，若
⨯=
AB CB DDD
、、、.
且AB CB
<，求A B C D
6.奥运会男子足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛. 每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时
两队各得1分. 小组赛全部赛完以后，每组取积分最高的两个队出线进图下轮比赛（对积分相同的队，按更细规则排序）. 那么在所有能够出线的情况中，一个出现对的得分最少是多少？请说明理由.
1.。
小学数学竞赛附录2 第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题
附录2 第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题【说明】初赛试题原题由中央电视台通过电视屏幕播发，播一题，做一题，有严格的时间限制。
全部试题要求在30分钟内答完交卷，各题的时问限制见附表。
1．“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次。
今年是第二届。
问2000年是第几届？（思考时间：30秒）2．一个充气的救生圈。
虚线所示的大圆，半径是33厘米。
实线所示的小圆，半径是9厘米。
有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行。
问：小圆上的蚂蚁爬了圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁。
（思考时间：30秒）3．一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？（思考时间：47秒）4．有一个四位整数。
在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是2000.81。
求这个四位数。
（思考时间：40秒）5．一块黑白格子布。
白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米。
问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？（思考时间：50秒）6．是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字。
问：这6个方框中的数字的连乘积等于多少？（思考时间：32秒）7．正力形的边长是2米、4个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的4个顶点。
问：这个正方形和4个圆盖住的面积是多少平方米？（思考时间：48秒）8．有7根竹竿排成一行．第一根竹竿长1米，其余每根的长都是前一根的一半．问：这7根竹竿的总长是几米？（思考时间：60秒）9．有3条线段A、B、C，A长2.12米，B长2.71米， C长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出3个不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大？（参看图．思考时间：40秒）10．有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃。
中午12点整，电子钟既响铃又亮灯。
问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？（思考时间：30秒）11．一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张。
从中任意抽牌。
问：最少要抽多少张牌，才能保证有四张牌是同一花色的？（思考时间：30秒）12．有一个班的同学去划船。
4-2-3_任意四边形、梯形与相似模型.题库学生版.doc
板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B例题精讲任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDO【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BD【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．D【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG的面积．ABCDEFG【例 7】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF G【例 8】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．AB【例 9】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．NM OCBA【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．B 4B A 654A 3A A板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 11】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD【例 12】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B CD【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【例 14】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？A BCDO【巩固】如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．ODCBA【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积．HG FEDCB A【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．321【例 16】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．BA【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【例 17】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．D【例18】如图，在长方形ABCD中，6AB=厘米，2==，求阴影部分的面积．AD=厘米，AE EF FBD【例19】(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，:3:2BC CE=，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．B【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．B【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．B【例20】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF∆的面积是∆的面积是5平方厘米，CED 10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？FAB CDE105【巩固】如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是4平方厘米，CED ∆的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？64AB CDEF【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少？B【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．ABCDEO【例 23】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？B【例 24】 如图所示，ABCD 是梯形，ADE ∆面积是1.8，ABF ∆的面积是9，BCF ∆的面积是27．那么阴影AEC ∆面积是多少？【例 25】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？【例 26】 如图，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点．三角形ABC 由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米？⑥⑤④③②①BFD CA【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．【例 28】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 与CD 上，且2CE BE =，2CF DF =，连接BF 、DE ，相交于点G ，过G 作MN 、PQ 得到两个正方形MGQA 和PCNG ，设正方形MGQA 的面积为1S ，正方形PCNG 的面积为2S ，则12:S S =___________．QPNMABCD E FG【例 29】 如下图，在梯形ABCD 中，AB 与CD 平行，且2CD AB =，点E 、F 分别是AD 和BC 的中点，已知阴影四边形EMFN 的面积是54平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．D【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ．BEE板块三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．【例 31】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【例 32】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？605040302010EA D C B【例 33】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．A ED CB【例 34】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD D F FM M P PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB【例 35】 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．A ED CB【例 36】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度NMPA C B【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________．OED C BA【例 37】 如图，ABC ∆中，14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ∆的面积是1平方厘米．那么AED ∆的面积是 平方厘米．A B CDEO【例 38】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO 的面积是ABO 面积的几倍？ABCDO【例 39】如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，6BD BE ==，那么图中阴影部分面积是多少？A BD【例 40】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．G ECBA【例 41】 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影部分的面积．【例 42】 已知正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且10cm AE =，15cm AF =，求正方形ABCD 的边长．FAEDCB【例 43】 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边120BC =毫米，高80AD =毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？GNPAD CB【巩固】如图，在ABC △中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是ABC △边BC 的高，交DE 于M ，:1:2DG DE =，12BC =厘米，8AH =厘米，求长方形的长和宽．E H GMFAD CB【例 44】 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知这个三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？ABCD E FG【例 45】如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？【例 46】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．【例 47】 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？F DB【例 48】 已知长方形ABCD 的面积为70厘米，E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，求阴影EHO△的面积是多少厘米？DCBA【例49】ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米．B【例50】如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC 的中点，则三角形APD的面积是平方厘米．AB CDPM【例51】如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知5cmAH=，3cmHF=，求AG．AB CDEFGHO【例52】右图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，13GC FC=．求阴影部分的面积．ABE【例 53】 梯形ABCD 的面积为12，2AB CD =，E 为AC 的中点，BE 的延长线与AD 交于F ，四边形CDFE 的面积是 ．ABCD EF【例 54】 如图，三角形ABC 的面积为60平方厘米，D 、E 、F 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米．BC【例 55】 如图,ABCD 是直角梯形，4,5,3AB AD DE ===，那么梯形ABCD 的面积是多少?OED CBA【例 56】 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【例 57】 如右图，长方形ABCD 中，16EF =，9FG =，求AG 的长．DABC EFG【例 58】 (第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDCB【例 59】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF E D CBA【例 60】 (清华附中入学试题)正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDC BA【例 61】 如图，已知14ABC S =△,点,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，且2,5,AD BD AF FC ===，ABE DBEF S S =△四边形则ABE S △是多少？FEDCBA【例 62】 如图，长方形ABCD 中，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，DE EC =，2FB AF =，求::PM MN NQ ．PMNQ FEDCBA【例 63】 如下图，D 、E 、F 、G 均为各边的三等分点，线段EG 和DF 把三角形ABC 分成四部分，如果四边形FOGC 的面积是24平方厘米，求三角形ABC 的面积．EDOGCF B A【例 64】 (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CA。
第二届“华庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试答案
第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试答案图55的30个格子中各有一个数字，最上面一横行和最左面一竖列的数字已经填好，其余每个格子中的数字等于同一横行最左面数字与同一竖到最上面数字之和（例如a=14＋17＝31）。
问这30个数字的总和等于多少？［解法]从题目的填数规则，我们知道，与12同一行的六个格子中都有12这个数，因此总和数中有六个12相加。
与14同一行的六个格子中都有14这个数，所以总和数中有六个14这个数。
同样，与16同一行，与18同一行的格子中，分别都有六个16，六个18，也就是说，从行看总和中有六个12，六个14，六个16，六个18.它们的和是6×（12＋14＋16＋18）再从列看，与11同一列的五个格子中都有11这个数。
所以在总和数中有五个11这个救。
同样分析，总和数中有五个13，五个15，五个17，五个19，它们之和是：5×（11＋13＋15＋17＋19）方格子中还有一个数10，此外，没有别的数了。
所以总和数=6×（12＋14＋16＋18）＋5×（11＋13＋17＋19）＋10＝ 745［分析与讨论]这道题，有的同学按填数规则把每个格于上的数都填出来，然后用硬加的办法求出总和数。
这样做法个可取，因为如果行数列数很大时，这样做的计算最大，硬加就很困难。
因此应该采用巧算法。
本题还有其它的巧算法，这里就不再叙述了。
另外需要提醒的是，不少问学思路是正确的，但忘了加10这个数。
同学们不要轻视这种疏忽。
本题求一些数的和，在表现形式上是有新意的，平时同学们常做的求和问题，多数是求一串数的和，而本题是求一个表上所有数字之和。
这种填着数的表格在工农业和科学试验上是常用的。
平行四边形ABCD 周长为75厘米， 以BC 为底时高是14厘米（图57）；以CD 为底时高是16厘米。
求：平行四边形ABCD 的面积。
[解法]平行四边形的面积=底×高所以，平行四边形ABCD 的面积S=BC×14， 也就是S BC 141= 同样16⨯=CD S ,S CD 161=也就是S=280（平方厘米） 答：平行四边形ABCD 的面积是280平方厘米。
第四讲：几何综合 (小升初真题集锦讲练)
第四讲真题选讲及检测1、（小数报02届）王大伯从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到积肥潭里（B点处）。
请帮他找一条最短的路线，在右图表示出来，并写出过程。
2、（小数报06届）下面5个图形都具有两个特点：（1）由4个连在一起的同样大小的正方形组成；（2）每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边。
我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。
3、如果把某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同（比如上面图中的B与E），那么这两个俄罗斯方块只算一种。
除上面4种外，还有好几种俄罗斯方块，请你把这几种都画出来。
4、（第12届迎春杯）比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。
缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起。
如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有正六边形皮子块。
5、（第13届迎春杯）在一张四边形的纸上共有10个点，如果把四边形的顶点算在一起，则一共有14个点，已知这些点中的任意三个点都不在同一直线上。
按下面规定把这张纸剪成一些三角形：（1）每个三角形的顶点都是这14个点中的3个；（2）每个三角形内，都不再有这些点。
那么，这张四边形的纸最多可以剪出个三角形。
6、（第2届希望杯）如图2，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的 。
图27、（第二届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛）如图，房间里有一只老鼠，门外有一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为50厘米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为______平方厘米。
（将小猫和老鼠分别看作两个点，墙的厚度忽略不计）8、（第2届希望杯）下图中的（A ）、（B ）、（C ）是三块形状不同的铁皮，将每块铁皮沿虚线弯折后焊接成一个无盖的长方体铁桶。
小学奥数题库——操作与策略
【例1】 (全国华罗庚杯少年数学邀请赛)如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？【例2】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该面上，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次．【巩固】 (2002年《小学生数学报》邀请赛)一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键．蓝键为“输入/删除”键(按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上的数删除)．每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的2倍；每按一下黄键，则显示屏上的数的末位自动消失．现在先按蓝键输入21．请你设计一个操作过程，要求：⑴操作过程中只能按红键和黄键；⑵按键次数不超过6次；⑶最后输出的数是3．【例3】 (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，，，2，0，5，5，0，5．继续依次操作下去．问：从新数串2，0，5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？【巩固】 (武汉“明星奥数挑战赛”)将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15．这两个四位数是 与 ．【巩固】 (武汉“明星奥数挑战赛”)对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作这样的连续变换：18，42→18,24→18,6→12,6→6,6直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 ．【例4】 黑板上写着一个形如777…77的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后再加上刚才擦掉的数字．对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7．【例5】 (2008年“北京奥校杯”解题能力展示活动)将1—13这13个自然数分别写在13张卡片上，再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好．然后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是2；继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是3……如此进行下去，直到取出最后一张是13为止．则13张卡片最初从左到右的顺序为 ．【例6】 (2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动)在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 ．【巩固】 (第六届“迎春杯”决赛)在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8917，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9716；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7613，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3.继续这样求和，这样添写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数字的和是________.【例7】 圆周上放有枚棋子，如图所示，点的那枚棋子紧邻点的棋子．小洪首先拿走点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过．当将要第10次越过处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？【例8】 (圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以13，删去乘积的末位数，将所得的数再乘以7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为21．问：尤拉最初所想的是哪一个数？【巩固】 (2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号0，1，2，…，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果号白盒中恰有个球，可将这个球取出，并给0号、1号、…，号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有 个球．【例9】 一个数列有如下规则：当数是奇数时，下一个数是；当数是偶数时，下一个数是．如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是，则这列数的第一个数是 ．【巩固】 （2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“乘3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是 ．【例10】 (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码．当一个人选取了标号为的筹码时，另一个人必须选取标号为的最大奇因数的筹码．如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩 个筹码．【例11】 (2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)【巩固】 (第四届“走美”试题)30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、的次序串成一圈．一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上．这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上．【巩固】 在黑板上写上、、、、……、，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【例12】 桌上有一堆石子共1001粒。
1987年第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题(小学组)及答案
第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛二试试题（小学组）1．“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次．今年(1988年)是第二届．问2000年是第几届？２．一个充气的救生圈（如右图）．虚线所示的大圆，半径是33厘米．实线所示的小圆，半径是9厘米．有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行．问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁？3．如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？4．有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是2000.81．求这个四位数．5．如图是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6 厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？6．如下图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这六个方框中的数字的连乘积等于多少？7．如右图中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点．问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？8．有七根竹竿排成一行．第一根竹竿长1米，其余每根的长都是前一根的一半．问：这七根竹竿的总长是几米？9．有三条线段A、B、C，a长2.12米，b长2.71米，c长3.53米，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大(如下图)？10．有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃．中午12点整，电子钟响铃又亮灯．问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？11．一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌．问:最少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色?12．有一个班的同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人．问：这个班共有多少同学？13．四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换．第二次是在第一次交换后再左右两排交换．第三次再上下两排交换．第四次再左右两排交换……这样一直换下去．问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图）14．用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？15．如下图是一个围棋盘，它由横竖各19条线组成．问：围棋盘上有多少个右图中的小正方形一样的正方形？参考答案1.第八届2．11 3．121 4．1981 5．58% 6．0 7．13.42 8．9．第三个10．3点钟11．13 12．36人13．第十次交换座位后，小兔坐在第2号位子14．能排成4个被11除余8的数15．100个1．【解】“每隔一年举行一次”的意思是每两年举行1次。
最新首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛决赛试题笔试(二)及答案
首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛决赛试题笔试（二）及答案一、填空题（每题12分，满分60分）1. 如下数表由从1开始的连续自然数写成，并且每行最右边的一个数都是平方数：则表中第10行所写出的各数的和等于.解：第10行是从82 ~ 100共19个自然数之和:82 + 83 + 84 + …… + 99 + 100 = 808449010451001729⨯++⨯++=.注：计算82 + 83 + 84 + ……+ 99 + 100的方法很多，比如：82 + 83 + 84 + …… + 99 + 100{}1(82100)(8399)(8498)(10082)2=++++++++ 172991182019911918221=-=⨯=⨯⨯= 或 82 + 83 + 84 +…… + 99 +100(118)1810019(1218)19002+⨯=⨯-++=- 190019919001711729.=-⨯=-=2. 图1中，长方形ABCD 的长BC = 10厘米，宽AB = 6厘米. 在BC 上取点M ，在AD 上取点N ，使得四边形BMDN 是一个菱形. 则菱形BMDN 的面积是平方厘米.解：因为BMDN 是一个菱形，可设（图1）BM MD ND BN x ====，则10AN x =-. 在直角三角形ABN 中，由勾股定理得 2226(10)x x +-=，即13620x =，解得 6.8x =. 菱形BMDN 的面积 = 6.8×6 = 40.8（平方厘米）.3．100名少年运动员胸前的号码分别是1，2，3，……，99，100. 选出其中的k 名运动员，使得他们的号码数之和等于2008. 那么k 的最大值是.解：显然，选号码越小的，可以使选出的人数越多. 因此，考虑先选前n 名运动员，他们的号码是1~n 的连续自然数，并且号码数之和不超过2008.由于 (1)12320082n n n +++++=≤， 得(1)2008,(1)40162n n n n +≤+≤. ,49007070,36006060=⨯=⨯ 故 n 是二位数，其十位数字是6. 从小到大，逐一试算)1(+n n ，得到401640326463,401639066362>=⨯<=⨯，即选出的运动员不可能多于62人.又因为5519532008,195326362=-=⨯，可以选如下号码的运动员： 1，2，3，…，7，9，…，62，63，这些号码数的和是（1953－8＋63）＝2008，所以，k 的最大值是62.4. 自然数b 与175的最大公约数记为d . 如果 176(111)51b d d ⨯-⨯+=⨯+， 则b =.解：由于(175,)d b =，d 必为175的约数，而175=5×5×7，所以d 只能取1，5，7，25，35，175中的某一个. 另外由176(111)51b d d ⨯-⨯+=⨯+ 可知 111b d -+为非0自然数， 即1111b d -+≥，因此 5117635.d d +≥⇒≥ 所以d =35或175.将d =35代入176(111)51b d d ⨯-⨯+=⨯+，得b = 385. 将d =175代入176(111)51b d d ⨯-⨯+=⨯+，得 176(111751)51751876b ⨯-⨯+=⨯+=，即44(111751)219b ⨯-⨯+=，左边是偶数，右边是奇数，矛盾！所以d =175不合要求. 所以b = 385.5.华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科.请小朋友求解《九章算术》中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”白话译文：如图2，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺. 葛藤生于圆柱底部A 点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B 点. 则葛藤的长度是________ 尺.解：设想从A 点将葛藤剪断，顶点处B 不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如图2-1所示：A 点变为地面上的C 点. 则葛藤长为Rt BAC ∆的斜边BC . 由AB =20，AC =21和勾股定理得：2222021BC =+400441=+ = 841=222230601302301(301)29-+=-⨯+=-=. 所以BC =29（尺）.答：葛长29尺.二、解答下列各题，要求写出简要过程（每小题15分，满分45分）6. 如图3，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棍； 摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棍. 小明用1300根火柴棍，恰好摆放成一个m ×m 的“m 2宫格”，问m =?解：在“m 2宫格”中，横向的火柴棍有1+m 行，每行有m 根，共有)1(+m m 根. 同样，纵向的火柴棍有1+m 列，每列有m 根，也共有)1(+m m 根. 所以，摆放“m 2宫格”共用了2m (m +1)根火柴. ……（10分）由2(1)1300m m +=， 得到2(1)65025132526m m +==⨯⨯=⨯，因此25.m =（图3）（图2-1）……（15分）7. 图4中，M 是AB 的中点， N 是BC 上一点，CN= 2BN . 连接AN 交MC 于O 点. 若四边形BMON的面积为14平方厘米， 求：（1）CO ︰OM =？（2）三角形ABC 的面积 = ？解：8. 在1 ~ 30m （其中m 是非零自然数）这些自然数中，（1）能被2整除的合数共有多少个？能被3整除的合数共有多少个？（2）请说明：在1 ~ 30m 这些自然数中，质数的个数不超过10m .解：（1）在1 ~ 30m （其中m 是非零自然数）这些自然数中，被2整除的数有15m个，由于2是质数，所以偶合数共有15m – 1个； ……（3分）被3整除的数有10m 个，由于3是质数，其中的合数有10m – 1个.……（6分）（2）由（1）的结果可知：在1 ~ 30m （其中m = 1，2，3，……）这些自然数中，被2整除的合数有15m – 1个；被3整除的合数有10m – 1个；既被2整除同时又被3整除的数有5m 个，每一个都是合数. ……（9分）（图4）在1 ~ 30m（其中m = 1，2，3，……）这些自然数中，减去15m – 1个偶合数；再减去10m – 1个被3整除的合数，其中被6整除的数减重复了，注意再补回5m个重复减掉的被6整除的合数. 注意，1不是质数也不是合数；此外，对任意非零自然数m，在1 ~ 30m中，25是既不被2整除也不被3整除的一个合数，因而尚未被除去. 所以，再除掉1与25这两个数后，质数包含在剩下部分的数中，因此，质数的个数不会超过剩下部分的数的个数，也就是质数的个数不会超过30(151)(101)5210----+-=……（15分）m m m m m另一解法：从1到30m中，能被2整除的数共有15m个，能被3整除的数共有10m 个，能被5整除的数共有6m个；能被2和3整除的数共有5m个，能被2和5整除的数共有3m个，能被3和5整除的数共有2m个；能被2、3和5整除的数共有m 个.由“包含排除”原理，1到30m中不能被2或3或5整除的数共有(30=)106-+++++-（个）15mmmm5(mm)23m8mm设1到30m中质数的个数为z，因为2、3和5都是质数，1既不是质数也不是合数，因此2m≤mz. 由8210+≤m m，得到1 ~ 30m中，质数的个数-3818+=+不超过10m .三. 解答下列各题，要求写出详细过程（第9题20分，第10题25分，满分45分）9.在A到B的公路段上，每30千米设一个慢车站，每50千米设一个快车站，如果相邻两个车站间的路程大于15千米，则在这段路程的中点设一个维修点. 如果一个车站既是慢车站也是快车站，则在这个车站设一家商店. 已知从A到B共设有7家商店，A和B既是慢车站也是快车站.问：（1）从A到B的路程有多少千米? （2）从A到B的途中共设有多少个维修点？解：（1）计算从A 到B 的路程和快车站、慢车站的站数. 易知A 是第1个商店，其余各商店到A 的路程是30和50的公倍数，而[30，50]=150，B 是第7个商店，所以，从A 到B 的路程是(71)1506150900-⨯=⨯=（千米）. ……（8分）（2）途中的5个商店将全路程等分成6等份，每个等份中快车站、慢车站的设置完全相同. 由于A 是第1个商店，因此只要考虑从A 到第2个商店这一段150千米的路程上的快车站与慢车站的分布情况就可以了.设第2个商店为C 点，则AC =150千米. 在AC 这一段上（不包括A,C ），有4个慢车站，2 个快车站，如图所示：绿色□表示快车站，△表示慢车站. 从图上可以看出：相邻两站的路程为30千米的路段有3段；相邻两站的路程为20千米的路段有2段；相邻两站的路程为10千米的路段也有2段. 其中相邻两站的路程大于15千米的路段共有5段，因此在AC 这一路段上应该设有5个维修站点. 从A 到B 全路程上应该设有5630⨯=个维修站点. ……（18分）答：从A 到B 的路程为900千米；途中共设有30个维修站点. ……（20分） 另解：若学生按比例画出示意图，从图中标出A ，B 及快车站、慢车站，商店和维修点，从图中数出全程长900千米；一共设有30个维修站点. 也给满分20分.10. 图5是由16个面积为1的等边三角形组成的一个大的等边三角形，这个大的等边三角形内部及边上共有15个交叉点. 请回答：（1）以这些交叉点为顶点，可以连成多少个等边三角形？（2）所连成的全部等边三角形的面积的总和是多少？解：（1）总计可以连成35个等边三角形.其中：面积是1的等边三角形有16个；面积是4的等边三角形有7个；面积是9的等边三角形有3个；面积是16的等边三角形有1个；……（10分） 利用对称的性质，如图5-1，红色等边三角形的面积是由6个面积是1的等边三角形组成的正六边形面积的一半，等于3，面积是3的等边三角形共有6个;利用对称的性质，如图5-2，蓝色等边三角形的面积是7362116=⨯⨯-， 面积是7的等边三角形共有2个； ……（18分）此外，不能再连成别的等边三角形了.因此，可以连成的等边三角形总计有 16 + 7 + 3 + 1 + 6 + 2 = 35个.……（20分）（2）所连成的全部等边三角形面积的总和等于11647931613672119⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……（25分） 答：可以连成35个等边三角形；所有等边三角形的面积总和是119.（图5-2）。
华罗庚金杯赛数学试题与答案[第1至15届]
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华罗庚金杯赛数学试题与答案［第1至15届］目录第1届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (1)第2届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (6)第3届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (14)第4届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (21)第5届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (26)第6届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (31)第7届华杯赛初赛试题及解答 (38)第8届华杯赛初赛试题及解答 (41)第9届华杯赛初赛试题及解答 (45)第10届华杯赛初赛试题及解答 (49)第11届华杯赛初赛试题及解答 (53)第12届华杯赛初赛试题及解答 (60)第13届华杯赛少年邀请赛初赛摸拟试卷 (64)第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (66)第15届华杯赛决赛真题及答案解析 (68)第1届华罗庚金杯赛数学试题与答案1、甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。
问甲班和丁班共多少人?2、一笔奖金分一等奖、二等奖、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍。
如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元;如果一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?3、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩。
问另一个长方形的面积是多少亩?4、在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行?5、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。
问这个数除以12余数是几?6、四个一样的长方形和一个小的正方形(如图)拼成了一个大正方形。
大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。
问长方形的短边长度是几米?7、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带的长度的八分之十三。
五年级计算分数初步教师版
知识要点一、分数基本认识1.两个正整数p 、q 相除，可以用分数（fraction ）pq表示。
即p p q q ÷=，其中p 为分子，q 为分母。
2.分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等。
即：()0,0,0a a k a k b k n b b k b k⨯÷==≠≠≠⨯÷ 如：223655315⨯==⨯，88426060415÷==÷。
3.分子和分母互质的分数，叫做最简分数。
如56，其中5和6互质，56是最简分数。
4.如果分数的分子和分母中一个是奇数，另一个是偶数，那么这个分数一定是最简分数。
5.把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分（cancelling ）。
如：122232182333⨯⨯==⨯⨯。
6.将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分。
7.分数大小的比较：先通分，使分数的分母相同，然后比较两个分数的分子，分子大的分数原分数就较大。
如比较56和78第一步：通分，6和8的最小公倍数是24，通分后5542066424⨯==⨯，7732188324⨯==⨯。
第二步：比较分子大小，2120> 第三步：得出结论，21202424>，所以7586>。
分数初步知识要点二、分数的四则运算（结果用最简分数或带分数表示）： 1、分数的加减（1）同分母分数相加减，分母不变，分子做加减。
即a c a cb b b --=。
如：51426663-== （2）异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。
如：25858531312121212124--=-===。
（3）分子比分母小的分数叫做真分数（proper fraction ），分子大于或者等于分母的分数叫做假分数（improper fraction ）。
（4）一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数（mixed fraction ）（5）带分数与假分数的相互转化：c c ab c ab c a a b b b b b +=+=+=。
第二届“华杯赛”全套试题及答案解析
第二届“华杯赛”全套试题及答案解析第二届华杯赛初赛试题及答案解析1．“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次．今年(1988年)是第二届．问2000年是第几届？1．【解】“每隔一年举行一次”的意思是每两年举行1次。
1988年到2000年还有2000－1988＝12年，因此还要举行12÷2＝6届。
1988年是第二届，所以2000年是1＋6＝8届。
这题目因为数字不大，直接数也能很快数出来：1988、1990、1992、1994、1996、1998、2000年分别是第二、三、四、五、六、七、八届．答：2000年举行第八届．【注】实际上，第三届在1991年举行的，所以2001年是第八届.２．一个充气的救生圈（如右图）．虚线所示的大圆，半径是33厘米．实线所示的小圆，半径是9厘米．有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行．问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁？2．【解】由于两只蚂蚁的速度相同，所以大、小圆上的蚂蚁爬一圈的时间的比应该等于圈长的比．而圈长的比又等于半径的比，即：33∶9．要问两只蚂蚁第一次相遇时小圆上的蚂蚁爬了几圈，就是要找一个最小的时间它是大、小圆上蚂蚁各自爬行一圈所需时间的整数倍．适当地选取时间单位，使小圆上的蚂蚁爬一圈用9个单位的时间，而大圆上的蚂蚁爬一圈用33个单位的时间．这样一来，问题就化为求9和33的最小公倍数的问题了．不难算出9和33的最小公倍数是99，所以答案为99÷9=11．答：小圆上的蚂蚁爬了11圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁．3．如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？3. 【解】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图。
平行四边形中棋孔数为9×9＝81，每个小三角形中有10个棋孔。
所以棋孔的总数是81＋10×4＝121(个)答：共有121个棋孔4．有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是2000.81．求这个四位数．4．【解】由于得数有两位小数，小数点不可能加在个位数之前．如果小数点加在十位数之前，所得的数是原来四位数的百分之一，再加上原来的四位数，得数2000.81应该是原来四位数的1.01倍，原来的四位数是2000.81÷1.01＝1981．类似地，如果小数点加在百位数之前，得数2000.81应是原来四位数的1.001倍，小数点加在千位数之前，得数2000.81应是原来四位数的1.0001倍．但是（2000.81÷1.001）和（2000．81÷1.0001）都不是整数，所以只有1981是唯一可能的答案．答：这个四位数是1981．【又解】注意到在原来的四位数中，一定会按顺序出现8，1两个数字．小数点不可能加在个位数之前；也不可能加在千位数之前，否则原四位数只能是8100，大于2000.81了．无论小数点加在十位数还是百位数之前，所得的数都大于1而小于100．这个数加上原来的四位数等于2000.81，所以原来的四位数一定比2000小，但比1900大，这说明它的前两个数字必然是1，9．由于它还有8，1两个连续的数字，所以只能是1981．5．如图是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6 厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？5．【解】格子布的面积是下图面积的9倍，格子布白色部分的面积也是图上白色面积的9倍，下图中白色部分所占面积的百分比是：＝0.58＝58％答：格子布中白色部分的面积是总面积的58％.6．如下图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这六个方框中的数字的连乘积等于多少？6．【解】因为差的首位是8，所以被减数首位是9，减数的首位是1。
第4届精英赛笔试二试题解答
第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试二试题及解答 (小学中年级组)一、填空题 (每题20分, 共60分)1. 某次小学生高年级数学竞赛的满分为100分, 小明和小光在竞赛中取得了优异成绩. 当小记者采访他们时, 小明说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于1067”，小光说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于3135”. 那么小明和小光两人的平均分是 分.答案：96.解答：1067=119711197.⨯=⨯⨯所以小明名次第一，年龄11，得分97.而3135=3×5×11×19=3×11×95=5×11×57，只有名次3、年龄11、分数95与取得优异成绩相符. 因此小光名次第三，年龄11，得分95.小明和小光两人的平均分是96分.2. 右图由4个正六边形组成，每个面积都是6. 以这4个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为3的等边三角形的个数共有 个.答案：12个.解答：见下图，共有12个等边三角形，它们的顶点是4个正六边形的顶点，而面积为3.3. 小红和小明两人都带了钱想买《趣味数学》这本书.到书店一看，小红带的钱缺2元2角，小明带的钱缺1元8角. 而两人带的钱合起来刚好买一本. 则《趣味数学》每本定价 元.答案：4元.解答：依题意，书价 = 小红带的钱 + 2元2角书价 = 小明带的钱 + 1元8角书价 = 小红带的钱 + 小明带的钱三个式子比较可知，小红缺的钱，恰是小明带的钱；小明缺的钱，也恰是小红带的钱. 因此，小红带钱1元8角，小明带钱2元2角.《趣味数学》的书价是4元.二、解答题 (每题20分, 共60分)4. 如右图所示，小正方形EFGH 在大正方形ABCD 的内部, 阴影部分的总面积为124平方厘米, E , H 在边AD 上, O 为线段CF 的中点. 求四边形BOGF 的面积，并简述理由.答案：31平方厘米.解答：连接CG, 设小正方形边长为,a 大正方形边长为.b则 梯形BCGF 的面积1()().2a b b a =+- 梯形ABFE 的面积+梯形CDHG 的面积11()()22a b AE a b DH =+⨯++⨯ 1()()2a b A E D H =++1()().2a b b a =+- 所以 梯形BCGF 的面积=梯形ABFE 的面积+梯形CDHG 的面积但 梯形BCGF 的面积+（梯形ABFE 的面积+梯形CDHG 的面积）=124 所以 梯形BCGF 的面积=62（平方厘米）但 梯形BCGF 的面积=△BCF 的面积+△CGF 的面积=2×△BOF 的面积+2×△OGF 的面积=2×(△BOF 的面积+△OGF 的面积)=2×四边形BOGF 的面积所以 四边形BOGF 的面积=12⨯梯形BCGF 的面积=162312⨯=（平方厘米）. 5. 设23452009201020112012777777777.M =+++++++++ 试说明：M 是100的倍数，并指出M 倒数第一个非0数字是几？(注：相同的n 个自然数的乘积叫做这个自然数的n 次方, 如1×1=12, 2×2×2×2=24, 7×7×7×7×7×7=76, 类推）答案：倒数第一个非0数字是4..解答：计算得123477,77749,7497343,734372401.==⨯==⨯==⨯= 所以 1234777774934324012800.+++=+++= 末尾连续两个0.而 23452009201020112012777777777.M =+++++++++23442342008234(7777)7(7777)7(7777).=++++++++++++4820028001280072800728007=⨯+⨯+⨯++⨯ 48200850328001777⎛⎫=⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭项，由于4820085031777++++项每一项个位数是1，所以其和是503个个位是1的数相加，和的个位是3.2800340.M =⨯=一个个位等于的数一个百位为十位与个位都为的数因此M 是100的倍数，M 倒数第一个非0数字是4.6. 安排男女共10名学生坐在长椅上. 能够使得每两个男同学之间坐着偶数个学生，而每两个女同学之间坐着奇数个学生吗？如果能，请举出一例；如果不能，试说明理由.答案：不能.解答：假设男女共十个学生能实现题设要求的排坐法. 由于两个女同学之间坐着奇数个学生，可见两个女孩不能相邻. 这样一来，至多能坐5个女同学. 又两个相邻的男同学之间有偶数个学生，如果再有第3名男同学，则第3名男同学与第二名男同学之间有偶数个学生，但与第一个男同学之间却有奇数个学生. 因此，男孩的数目至多2人. 总计起来，男女生一起最多排5+2=7人，与10个学生不符.第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试二试题及解答 (小学高年级组)一、填空题 (每题20分, 共60分)1. 小红和小明两人都带了钱想买《趣味数学》这本书.到书店一看，小红带的钱缺2元2角，小明带的钱缺1元8角. 而两人带的钱合起来刚好买一本. 则《趣味数学》每本定价 元.答案：4.解答：依题意，书价 = 小红带的钱 + 2元2角书价 = 小明带的钱 + 1元8角书价 = 小红带的钱 + 小明带的钱三个式子比较可知，小红缺的钱，恰是小明带的钱；小明缺的钱，也恰是小红带的钱.因此，小红带钱1元8角，小明带钱2元2角.《趣味数学》的书价是4元.2. 如右图所示，小正方形EFGH 在大正方形ABCD 的内部, 阴影部分的总面积为124平方厘米, E , H 在边AD 上, O 为线段CF 的中点. 则四边形BOGF 的面积为 平方厘米.答案：31.解答：连接CG.，设小正方形边长为,a 大正方形边长为.b则 梯形BCGF 的面积1()().2a b b a =+- 梯形ABFE 的面积+梯形CDHG 的面积11()()22a b AE a b DH =+⨯++⨯ 1()()2a b A E D H =++1()().2a b b a =+-所以 梯形BCGF 的面积=梯形ABFE 的面积+梯形CDHG 的面积但 梯形BCGF 的面积+（梯形ABFE 的面积+梯形CDHG 的面积）=124 所以 梯形BCGF 的面积=62（平方厘米）但 梯形BCGF 的面积=△BCF 的面积+△CGF 的面积=2×△BOF 的面积+2×△OGF 的面积=2×(△BOF 的面积+△OGF 的面积)=2×四边形BOGF 的面积所以 四边形BOGF 的面积=12⨯梯形BCGF 的面积=162312⨯=（平方厘米）. 3. 一些边长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如左下图，从正面看这个立体，如右下图. 在这个立体的体积最大时, 将这些小正方体码放成一个底面积为4的长方体, 则这个长方体的高是 .答案: 3.解答. 体积最大的立体图为共有12个小小正方体, 将这些小正方体码放成一个底面积为4的长方体时, 长方体的高是3.二、 解答题 (每题20分, 共60分)4. 已知两个正整数之和为432，这两个正整数的最小公倍数与最大公约数之和为7776. 则这两个正整数的乘积是多少?从上向下看 从正面看答案：46620解答：设a 和b 的最大公约数为d ，且a =dm ，b =dn ，则m 与n 互质，且a 和b 的最小公倍数为dmn . 由题目的条件可知dm +dn =d (m +n )=432，dmn +d = d (mn +1)=7776.由上面这两个式子可得mn +1=18(m +n )，或mn -18(m +n )+1=0.因此 (m -18)(n -18)=182-1=17×19. 不妨设m > n ，所以m -18=17×19=323，n -18=1，或m -18=19，n -18=17. 若m =341，n =19，则m +n =360，不存在正整数d 使得d (m +n )=432，所以这组解不符合要求. 若m =37，n =35，则d =432/(37+35)=6. 所以a =dm =222，b =dn =210，a 与b 的乘积为46620.5. 设不同的字母代表不同的非零数码，相同的字母代表相同的数码，若DDD CB AB =⨯, 且CB AB <, 求 A , B , C , D .答案：A = 2, B = 7, C = 3, D = 9解答：首先373111⨯⨯=⨯=⨯D D CB AB . (*)因为 CB AB < 且 13693737=⨯是个四位数, 所以37只能是CB 的因数. 因为CB 是个两位数, CB 只可能是37或74. 若CB 为37, 则 3⨯=D AB 且 B = 7, 得出 D =9, A =2. 而A = 2, B = 7, C = 3,D = 9 满足题目要求. 若CB 为74, 则 32⨯=⨯D AB , B = 4, 302<⨯AB . 进而推出A 只能为1. 而14不是3的倍数, 所以CB 为74时, 没有满足题目要求的A , B , C , D .6. 奥运会男子足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛. 每场比赛胜队得 3分，败队得 0 分. 平局时两队各得 1 分. 小组赛全部赛完以后，每组取积分最高的两个队出线进入下轮比赛 (对积分相同的队，按更细规则排序). 那么在所有能够出线的情况中, 一个出线队的得分最少是多少? 请说明理由. 答案：2解答：记四个队为A, B, C, D.有这样的可能, A队的3场比赛全胜, 得9分. 另外三队相互之间的比赛都是平局, 每队各得2分. 在此种情况下, 有一个得2分的队出线.另一方面, 因为共有6场比赛, 四个队的得分之和至少为12分, 必有一个队得分不少于2分. 假设得分不少于2分的队为D, 因为A, B, C三个队之间的比赛共3场, 所以这3个队的得分之和不少于6分, 其中必有一个队得分不少2分, 也就是说, 至少有两个队得分不少于2分. 所以, 少于2分的队不可能出线.第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试二试题及解答 (初一组)一、填空题(每题20分, 共60分)1. 一列数 ,,,210b b b ，具有下面的规律，12212,++++==n n n n n b b b b b ，若0b =1. 则 2013b 的值为 .答案29解答：这道题目主要是根据给定的规则，把后面的数用前面的数来表示出来。
五年级奥数—操作与策略(含解析)
1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律2. 在操作和体会数学规律的过程中，设计最优的策略和方案实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因，因此在历届的杯赛中时常出现，尤其是在华杯、迎春杯中，常考查学生的动手能力【例 1】 (全国华罗庚杯少年数学邀请赛)如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？【分析】 一次操作后，层数由1变为4，若剪去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正方形的中心．连续两次操作后，折纸层数为24，剪去所得小正方形左下角，展开后在大正方形上留有211444-==(个)小洞孔．连续三次操作后，折纸层数为34，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有3124416-==(个)小洞孔．按上述规律不难断定：连续五次操作后，折纸层数为54，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形纸片上共留有51444256-==(个)小洞孔．［巩固］ 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后操作与优化设计探索与操作粘贴到该面上，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作次．［分析］每次操作页面上的字数就增加一倍，第一次操作后页面上有2个字，第2次操作后页面上有2=(个)字，…，则第10次操作后页面上有102个字，=(个)字，第3次操作后页面上有32824由于1011=<<=，因此使整个页面排满，至少需要操作11次．21024167722048【例 2】(第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号0，1，2，…，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、…，(1)k-号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有个球．【分析】使用倒推法．最终各盒中依次有球(10，0，0，0，…)，前一次必然分的是1号盒中的球，否则1号盒中最终至少有1个球．所以，倒数第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，…)．依次倒推，为：(10，0，0，0，…)←(9，1，0，0，…)←(8，0，2，0，0，…)←(7，1，2，0，0，…)←(6，0，1，3，0，…)←(5，1，1，3，0，…)←(4，0，0，2，4，…)←(3，1，0，2，4，…)←(2，0，2，2，4，…)←(1，1，2，2，4，…)←(0，0，1，1，3，5…)，0号盒中此时为0个球，不能再倒推．所以，4号盒中原有3个球．［巩固］(圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以13，删去乘积的末位数，将所得的数再乘以7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为21．问：尤拉最初所想的是哪一个数？［分析］解法1(从分析结果入手)在第二次删去末位数之前，尤拉面临的是一个三位数，其值在210至219之间．在这些数中，只有两个数是7的倍数：210730=⨯．这就意味着在乘=⨯和217731以7之前，尤拉的数是30或31．因而在第一次删去末位数之前，尤拉所面临的数为300到319之间的一个三位数．在这些数中只有一个数是13的倍数：3122413=⨯，所以尤拉最初所想出的数是24．解法2(利用单调性)容易看出，如果增大一开始的数，发现最终所得的数不会减小，这是因为无论是乘法运算，还是删去末位数的操作，都具有“非降性”．如果开始所想的数是25，那么运算过程如下：25→325→32→224→22.综合上述两方面，即知尤拉最初所想的数是24．【例 3】(北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填黑或者白)【分析】由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子1枚，白子仍为偶数．因此最后1枚不可能是白子，故应是黑子．【例 4】(北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把根香蕉带回家？【分析】首先，猴子背着100根香蕉直接回家，会怎样？在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉，其他200根香蕉白白浪费了！折返，求最值问题，我们需要设计出一个最优方案．3001003÷=．猴子必然要折返3次来拿香蕉．我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉．猴子的路线：家y储存点B 储存点A野香蕉园x这两个储存点A 与B 就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是：(一)当猴子第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉．(二)当猴子第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好(即身上还有100个)(三)B 点同上．XA 的距离为10x ，路上消耗x 个香蕉．AB 的距离为10y ，路上消耗y 个香蕉．猴子第一次到达A 点，还有(100)x -个香蕉，回去又要消耗x 个，只能留下1002x -个香蕉．这(1002)x -个香蕉将为猴子补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是x 个，则1002320x x x -=⇒=．200XA ⇒=米，猴子将在A 留下60个香蕉．那么当猴子②次到达A 时，身上又有了100个香蕉，到⑤时还有100y -个，从⑤回③需要y 个，可在B 留下(1002)y -个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗y 个．则：10010023y y y -=⇒=． 至此，猴子到家时所剩的香蕉为：100013004253103x y ---=． 因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了23，所以还没有吃香蕉，应该还剩下54个香蕉．【例 5】 (武汉“明星奥数挑战赛”)设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码．当一个人选取了标号为x 的筹码时，另一个人必须选取标号为99x -的最大奇因数的筹码．如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩 个筹码．【分析】 解若 x 99x -5 4747 1313 4343 77 2323 1919 5当一个人拿到19时，下一个人就要拿5了，故游戏结束，拿了7个．剩25718-=(个)．［拓展］ (武汉“明星奥数挑战赛”)有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，2-，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，4-，2-，2，0，5，5，0，5．继续依次操作下去．问：从新数串2，0，5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？［分析］ 观察操作次数： 开始 第一次 第二次 第三次 …总 和： 7 10 13 16 …易发现每操作一次总和增加3．因此操作100次后产生的新数串所有数之和为73100307+⨯=．【例 6】 (武汉“明星奥数挑战赛”)将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15．这两个四位数是 与 ．【分析】 由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律．例如：136，63→…→1，136，27→…→9，984，36→…→12，12考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数，因此我们只需找到两个尽量小的四位数，他们都是15的倍数，可得1005和1020．［铺垫］ (武汉“明星奥数挑战赛”)对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作这样的连续变换：18，42→18,24→18,6→12,6→6,6直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 ．［分析］ 操作如下：1234，4321→1234，3087→1234，1853→1234，619→615，619→615，44714243前一数每次减少→…→，4→3，4→3，1→2，1→1，1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数．即1234与4321的最大公约数为1．此法也称为辗转相减法求最大公约数．［拓展］ (全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差，称为一次操作．例如：对18和42连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6．试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，直到两数相同为止，如果最后得到的相同的数是15，这两个五位数是 与 ．［分析］ 观察题目中的例子，(18，42)=(18，24)=(18，6)=(12，6)=(6，6)=6，将会发现：将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差会得到两个新的自然数，它们的最大公约数和初始的两个数的最大公约数相同，最后得到的是两个相同的自然数，是初始的两个数的最大公约数，所以，题目就是去求和最小的两个五位数，它们的最大公约数是15，即求两个能被3和5整除的和最小的两个五位数，1000566715=⨯和1002066815=⨯为所求．点评 题中操作的本质上是辗转相除法，最后所得到的相同的数是最初两个数的最大公约数，即(18，42)=6．实际上，这道试题是一个求最大公约数的反问题，即已知(X ，Y )=15，求X 和Y ．但是，以15为最大公约数的数对有很多，应该选取哪一对呢？这就要求答案必须还满足其他的条件，本题要求解答最小的两个五位数．如果要求是最大的两个五位数，答案是什么？【例 7】 黑板上写着一个形如777…77的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后再加上刚才擦掉的数字．对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7．【分析】 黑板上起初数是777…77，每次操作后就变出一个新数．不妨设这个数的末位数为b ，前面的数为a ，所以就是形为10a b +的数．每次操作后，黑板上就成为3a b +，它比原数少了7a ．由此可知：⑴每次操作将使原数逐步变小；⑵如果原数能被7整除，那么所得新数仍能被7整除．所以黑板上最后必将变成7，例如当原数为777时，就有777→238→77→28→14→7．【例 8】 (北京“数学解题能力展示”读者评选活动)在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 ．【分析】 第一轮：分33次划1～9，后面写上6，15，24，…，294共33个数．第二轮：分11次划去这33个数，后面写上45，126，207，…，855，共11个数．之后的操作一次减少2个数，故还需操作5次．设这11个数为：1a ，2a ，…，11a ．则接下去的数是：123()a a a ++，456()a a a ++，789()a a a ++，1011123()a a a a a ++++，4567891011123()a a a a a a a a a a a ++++++++++．因此最后一数为：1231112994950a a a a ++++=+++=L L ．［拓展］ (第六届“华杯赛”决赛)圆周上放有N 枚棋子，如右图所示，B 点的一枚棋子紧邻A 点的棋子。
第1-14届华罗庚金杯小学组数学邀请赛(初赛复赛决赛)试题答案
第一届华杯赛初赛试题答案1．【解】 1986是这五个数的平均数，所以和＝1986×5＝9930。
2．【解】方框的面积是。
每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形。
重叠部分共有8个()×5一l×8＝(100—64)×5—8 ＝36×5—8 ＝172(平方厘米)。
故被盖住的面积是172平方厘米。
3．【解】 105＝3×5×7，共有(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8个约数，即1，3，5，7，15，21，35，105。
4. 【解】在这道题里，最合理的安排应该最省时间。
先洗开水壶,接着烧开水,烧上水以后,小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟。
5．【解】149的个位数是9，说明两个个位数相加没有进位，因此，9是两个个位数的和，14是两个十位数的和。
于是，四个数字的总和是14＋9＝23。
6．【解】松鼠采了：112÷14＝8(天)假设这8天都是晴天，可以采到的松籽是：20×8＝160(个)实际只采到112个，共少采松籽：160－112＝48(个)每个下雨天就要少采：20－12＝8(个)所以有48÷8＝(6)个雨天。
7．【解】因为正方体的边长是1米，2100个正方体堆成实心长方体的体积就是2100立方米。
已经知道，高为10米，于是长×宽＝210平方米把210分解为质因数：210＝2×3×5×7由于长和宽必须大于高(10米)，长和宽只能是：3×5和2×7。
也就是15米和14米。
14米＋15米＝29米。
答：长与宽的和是29米。
8．【解】39－32＝7。
这7分钟每辆行驶的距离恰好等于第二辆车在8点32分行过的距离的1(＝3－2)倍。
因此第一辆车在8点32分已行7×3＝21(分)，它是8点11分离开化肥厂的(32－21＝11) 。
第4届精英赛笔试二试卷小中
第四届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛笔试二试卷 (小学中年级组)(2012年8月14日，60分钟) 题号 1 2 3 4 5 6 总成绩 得分 一、填空题(每题20分, 共60分) 1. 某次小学生高年级数学竞赛的满分为100分, 小明和小光在竞赛中取得了优异成绩. 当小记者采访他们时, 小明说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于1067”，小光说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于3135”. 那么小明和小光两人的平均分是 分. 2. 右图由4个正六边形组成，每个面积都是6. 以这4个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为3的等边三角形的个数共有 个. 3. 小红和小明两人都带了钱想买《趣味数学》这本书.到书店一看，小红带的钱缺2元2角，小明带的钱缺1元8角. 而两人带的钱合起来刚好买一本. 则《趣味数学》每本定价 元. 二、解答题 (每题20分, 共60分) 4. 如右图所示，小正方形EFGH 在大正方形ABCD 的内部, 阴影部分的总面积为124平方厘米, E , H 在边AD 上, O 为线段CF 的中点. 求四边形BOGF 的面积，并简述理由.学校____________ 姓名_________ 参赛证号 联系电话 电子邮件 密 封 线 内 请 勿 答 题5.设23452009201020112012M=+++++++++试说明：M是100 777777777.的倍数，并指出M倒数第一个非0数字是几？(注：相同的n个自然数的乘积叫做这个自然数的n次方, 如1×1=12, 2×2×2×2=24, 7×7×7×7×7×7=76, 类推）6.安排男女共10名学生坐在长椅上. 能够使得每两个男同学之间坐着偶数个学生，而每两个女同学之间坐着奇数个学生吗？如果能，请举出一例；如果不能，试说明理由.。
第4届精英赛笔试二试题解答
第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试二试题及解答(小学中年级组 )一、填空题(每题 20 分, 共 60 分)1. 某次小学生高年级数学比赛的满分为100 分,小明和小光在比赛中获得了优异成绩 .当小记者采访他们时,小明说：“我的名次、年纪和分数的乘积等于 1067”，小光说：“我的名次、年纪和分数的乘积等于3135”.那么小明和小光两人的均匀分是分.答案：96.解答：1067=11 97 1 11 97.所以小明名次序一，年纪11，得分 97.而 3135=3×5×11×19=3×11×95=5×11×57，只闻名次 3、年纪 11、分数 95 与获得优秀成绩符合 . 所以小光名次序三，年纪 11，得分 95.小明和小光两人的均匀分是96 分.2.右图由 4 个正六边形构成，每个面积都是 6. 以这4 个正六边形的极点为极点，能够连结面积为3的等边三角形的个数共有个.答案：12 个.解答：见下列图，共有 12 个等边三角形，它们的极点是4 个正六边形的极点，而面积为 3.3.小红和小明两人都带了钱想买《兴趣数学》这本书 . 到书店一看，小红带的钱缺 2 元 2 角，小明带的钱缺 1 元 8 角. 而两人带的钱合起来恰巧买一本 . 则《兴趣数学》每本订价元.答案：4 元.解答：依题意，书价 = 小红带的钱+2元2角书价 = 小明带的钱+1元8角书价 = 小红带的钱+ 小明带的钱三个式子比较可知，小红缺的钱，正是小明带的钱；小明缺的钱，也正是小红带的钱 . 所以，小红带钱 1 元 8 角，小明带钱 2 元 2 角 .《兴趣数学》的书价是4元 .二、解答题(每题 20 分, 共 60 分)4.如右图所示，小正方形 EFGH 在大正方形 ABCD 的内部 , 暗影部分的总面积为 124 平方厘米 , E, H 在边 AD上, O 为线段 CF 的中点 . 求四边形 BOGF 的面积，并简述原因 .答案：31 平方厘米 .解答：连结 CG, 设小正方形边长为 a, 大正方形边长为 b.则梯形 BCGF 的面积1(a b)(b a). 2梯形 ABFE 的面积 +梯形 CDHG 的面积1b) AE 1(a (a b) DH2 21( a b) ( A E D H) 1(a b) (b a).2 2所以梯形 BCGF 的面积=梯形 ABFE 的面积 +梯形 CDHG 的面积但梯形 BCGF 的面积 +（梯形 ABFE 的面积 +梯形 CDHG 的面积） =124 所以梯形 BCGF 的面积 =62（平方厘米）但梯形 BCGF 的面积 =△BCF 的面积 +△CGF 的面积=2×△BOF 的面积 +2×△OGF 的面积=2×(△ BOF 的面积 +△ OGF 的面积 )=2 ×四边形 BOGF 的面积所以四边形 BOGF 的面积 = 1梯形BCGF 的面积= 1 62 31 （平方厘米）.2 25.设M 772 73 74 75 72009 72010 72011 72012. 试说明：M是100的倍数，并指出 M 倒数第一个非 0 数字是几？( 注：同样的n个自然数的乘积叫做这个自然数的n 次方,如1×1=12,4 6类推）2×2×2×2=2 , 7×7×7×7×7×7=7 ,答案：倒数第一个非0 数字是 4..解答：计算得 71 7, 72 7 7 49, 73 49 7 343, 74 343 7 2401.所以717273747 49 343 2401 2800.末端连续两个0.而M77273747572009720107201172012.(7 727374 ) 74(7 727374)72008(7 727374 ).2800 147872 0 07 2800 2800 28002800 1 74 78 72008，因为1 74 78 72008每一项个位503项503 项数是 1，所以其和是 503 个个位是 1 的数相加，和的个位是 3.M2800 一个个位等于 3的数一个百位为 4十位与个位都为 0 的数 .所以 M 是 100 的倍数， M 倒数第一个非 0 数字是 4.6.安排男女共 10 名学生坐在长椅上 . 能够使得每两个男同学之间坐着偶数个学生，而每两个女同学之间坐着奇数个学生吗？假如能，请举出一例；假如不可以，试说明原因 .答案：不可以 .解答：假定男女共十个学生能实现题设要求的排坐法 . 因为两个女同学之间坐着奇数个学生，可见两个女孩不可以相邻 . 这样一来，至多能坐 5 个女同学 . 又两个相邻的男同学之间有偶数个学生，假如再有第 3 名男同学，则第 3 名男同学与第二名男同学之间有偶数个学生，但与第一个男同学之间却有奇数个学生. 所以，男孩的数目至多 2 人. 总计起来，男女生一同最多排5+2=7 人，与 10 个学生不符 .第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试二试题及解答(小学高年级组 )一、填空题(每题 20 分, 共 60 分)1.小红和小明两人都带了钱想买《兴趣数学》这本书 .到书店一看，小红带的钱缺 2 元 2 角，小明带的钱缺 1 元 8 角. 而两人带的钱合起来恰巧买一本 . 则《兴趣数学》每本订价元 .答案：4.解答：依题意，书价 = 小红带的钱+2元2角书价 = 小明带的钱+1元8角书价 = 小红带的钱+ 小明带的钱三个式子比较可知，小红缺的钱，正是小明带的钱；小明缺的钱，也正是小红带的钱 .所以，小红带钱 1 元 8 角，小明带钱 2 元 2 角.《兴趣数学》的书价是4元 .2.如右图所示，小正方形EFGH 在大正方形ABCD 的内部 , 暗影部分的总面积为 124 平方厘米 , E, H 在边积为平方厘米 .答案：31.解答：连结 CG.，设小正方形边长为a, 大正方形边长为 b.则梯形 BCGF 的面积1(a b)(b a). 2梯形 ABFE 的面积 +梯形 CDHG 的面积1(a b) AE 1(a b) DH2 21( a b) ( A E D H) 1(a b) (b a).2 2所以梯形BCGF 的面积=梯形ABFE 的面积 +梯形CDHG的面积但梯形BCGF 的面积 +（梯形ABFE 的面积 +梯形CDHG的面积）=124 所以梯形BCGF 的面积 =62（平方厘米）但梯形BCGF 的面积 =△BCF的面积 +△CGF的面积=2×△ BOF 的面积 +2×△OGF 的面积=2×(△ BOF 的面积 +△ OGF 的面积 )=2 ×四边形 BOGF 的面积所以四边形 BOGF 的面积 =1梯形 BCGF 的面积 = 1（平方厘米） .2 62 3123. 一些边长是 1 的小正方体码放成一个立体， 从上向下看这个立体， 如左下列图，从正面看这个立体，如右下列图 . 在这个立体的体积最大时 , 将这些小正方体码放成一个底面积为 4 的长方体 , 则这个长方体的高是.从上向下看从正面看答案:3.解答 . 体积最大的立体图为共有 12 个小小正方体 , 将这些小正方体码放成一个底面积为 4的长方体时 , 长方体的高是 3.二、 解答题 (每题 20 分, 共 60 分)4.已知两个正整数之和为 432，这两个正整数的最小公倍数与最大条约数之和为 7776. 则这两个正整数的乘积是多少 ?答案：46620解答：设 a 和 b 的最大条约数为 d，且 a=dm，b=dn，则 m 与 n 互质，且 a 和 b 的最小公倍数为 dmn. 由题目的条件可知dm+dn=d(m+n)=432， dmn+d= d(mn+1)=7776.由上边这两个式子可得mn+1=18(m+n)，或 mn-18(m+n)+1=0.所以 (m-18)(n-18)=182-1=17 ×19. 不如设 m > n，所以m-18=17 ×19=323，n-18=1，或 m-18=19，n-18=17. 若 m=341，n=19，则 m+n=360，不存在正整数 d 使得 d(m+n)=432 ，所以这组解不切合要求. 若 m=37， n=35，则d=432/(37+35)=6. 所以 a=dm=222，b=dn=210，a 与 b 的乘积为 46620.5.设不一样的字母代表不一样的非零数码，同样的字母代表同样的数码，若AB CB DDD ,且 AB CB,求A,B,C,D.答案：A=2,B=7,C=3,D=9解答：第一AB CB D 111 D 3 37.(*) 因为AB CB 且37 37 1369 是个四位数, 所以37 只好是CB 的因数. 因为CB 是个两位数, CB 只可能是37 或74.AB D 3 且B=7, 得出D=9, A=2. 而A=2,B=7,C=3, 若CB为37,则D = 9 知足题目要求.若CB为74, 则AB 2 D 3,B=4, AB 2 30 . 从而推出 A 只好为1. 而14 不是 3 的倍数 , 所以CB为 74 时, 没有知足题目要求的A, B, C, D.6.奥运会男子足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛 . 每场比赛胜队得 3 分，败队得 0 分. 平手时两队各得 1 分. 小组赛所有赛完此后，每组取积分最高的两个队出线进入下轮比赛 (对积分同样的队，按更细规则排序 ). 那么在所有能够出线的状况中 , 一个出线队的得分最少是多少 ? 请说明原因 . 答案：2解答：记四个队为 A, B, C, D.有这样的可能 , A 队的 3 场比赛全胜 , 得 9 分 . 此外三队互相之间的比赛都是平手 , 每队各得 2 分 . 在此种状况下 , 有一个得 2 分的队出线 .另一方面 , 因为共有 6 场比赛 , 四个队的得分之和起码为 12 分, 必有一个队得分许多于 2 分. 假定得分许多于 2 分的队为 D, 因为 A, B, C 三个队之间的比赛共 3 场, 所以这 3 个队的得分之和许多于 6 分 , 此中必有一个队得分许多 2 分, 也就是说 , 起码有两个队得分许多于 2 分. 所以 , 少于 2 分的队不可以能出线 .第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试二试题及解答(初一组 )一、填空题 (每题 20 分, 共 60 分)1. 一列数b0, b1, b2, ，拥有下边的规律， b2n 1 b n , b2 n 2 b n b n 1，若 b0 =1.则b2013 的值为.答案 29解答：这道题目主假如依据给定的规则，把后边的数用前方的数来表示出来。
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第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛
笔试二试卷(小学组)
一、填空(每题20分，共60分)
1． 某奥运志愿者小组负责在奥运村沿公路一侧插彩旗．若要求三种颜色的彩旗按照6面绿旗、5面黄旗、4面红旗循环排列，则第2008面彩旗的颜色是 ，前2008面旗中，红旗共用了 面．
分析：每个周期有6+5+4=15面旗，和2008最接近的15的倍数是201015134=⨯。
也就是说2010面旗正好是134个周期，去掉最后两面旗（都是红旗），则第2008面彩旗是红旗，红旗共用了41342534⨯-=面。
2． 令11651366156717681969217023711164136515661767196821692370
a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．若将a 化成小数，则a
的百分位数字是 ．
分析：11131517192123
11164136515661767196821692370
a ++++++=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯， 显然
11131517192123
1164136515661767196821692370
++++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯介于
164
和
170
之间，都在0.01
和0.02之间，所以百分位数字是1。
3． 右图中，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边
形ABCD 的面积是16，1:3:=GC BG ，则四边形EFGH 的面积= .
分析：平行四边形A G C E 和A B C D 同高，底是A B C D 的14
，所以面积也是其1
4
，即4；
平行四边形E F G H 和A G C E 同高，底是A G C E 的34
，所以面积也是其34
，即3。
二、解答题(每题20分，共60分)
4． 是否能将1～l6这16个自然数排成一排，使得任相邻两个数的和都等于自然数的平方?如果能，请写出排法，如果不能，请说明理由．
分析：和只可能是4，9，16，25。
和为4：1+3
和为9：1+8，2+7，3+6，4+5
和为16：1+15，2+14，3+13，4+12，5+11，6+10，7+9 和为25：9+16，10+15，11+14，12+13
观察到和为9和25的里面每个数都恰出现1次，和为16的里面除了8和16以外每个数都恰出现1次，而和为4的只有一种。
所以8和16必须在两头。
8往里一定是1；
16往里一定是9，之后一定是7，然后2，14，11，5，4，12，13，3； 所以1和3不能相邻，1再往里只能是15，10，6，3，符合题意。
完整的：8，1，15，10，6，3，13，12，4，5，11，14，2，7，9，16。
.5 21ab 是一个四位数，由四个阿拉伯数字2.1,,b a 组成的其它
23个四位数的和等于
90669，求a 和b 的值．
分析：因为共组成24个四位数，所以数字中没有0。
这24个四位数相加时，每个数字在每一位出现了6次，根据位值原理，这24个四位数的和等于6666(21)a b +++。
所以，6666(21)9066921a b ab +++=+。
90669被6666除商13余4011，也就是说再加2655就是6666的倍数，但要求末两位是21，所以再加6666，也就是9321，末两位刚好是21，经检验符合条件。
6． 马拉松赛跑的路线上，等距离设置了若干个饮水站和等距离设置了16个医疗站，起点和终点都设有饮水站和医疗站，且起点和终点不同．若每个站安排一个值班员，两站重合的也只安排一个值班员，那么一共要安排了46个值班员，且在途中确有医疗站与饮水站重合，也有医疗站不与饮水站重合．那么最多有多少个饮水站?
分析：把路线变成一个圈，避免+1和-1的麻烦。
则起点和终点重合，共有15个医疗站，45个值班员。
设有x 个饮水站，则恰有gcd(,15)x 个饮水站与医疗站重合，共有15gcd(,15)x x +-个值
班员，也就是说15gcd(,15)45
-=。
+-=，gcd(,15)30
x x
x x
因为gcd(,15)|15
x可以取1，3，5，15，相应x分别为31，33，35，45。
x，所以gcd(,15)
因为有医疗站不与饮水站重合，所以45不符合题意，最大是35。
再把起点和终点分开，就是36。