数学中考总复习：勾股定理及其逆定理--知识讲解(提高)

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勾股定理及其逆定理的内容

勾股定理及其逆定理的内容勾股定理和逆定理都是数学中非常经典的内容，不过听起来可能会有点儿陌生。

其实，它们非常实用，而且还很有趣。

让我们一起来聊聊吧。

1. 勾股定理的基本概念1.1 什么是勾股定理首先，咱们得知道勾股定理到底是什么。

它是关于直角三角形的一个定理。

简单来说，直角三角形的两条直角边（我们叫它们“勾”和“股”）的平方和等于斜边（我们叫它“弦”）的平方。

这就是勾股定理的核心内容。

听起来有点复杂，但举个例子就明白了。

假设你有一个直角三角形，直角边长分别是3和4，那么这两个边的平方和就是3²+4²=9+16=25。

斜边的平方也得等于25，所以斜边的长度就是5。

1.2 生活中的应用这个定理在我们的生活中非常有用。

比如说，如果你要测量房间的对角线长，只需要知道长和宽就能算出来。

又或者你在设计一些东西时，勾股定理能帮你确保每个角都是直角。

它就像是生活中的一个小工具，随时随地帮你解决问题。

2. 勾股定理的证明2.1 几何证明说到证明，勾股定理有几种不同的方法，其中几何证明是最直观的。

简单来说，就是我们可以用几何图形来证明这个定理。

想象一下，你在一个直角三角形的每一边上画出一个正方形，这些正方形的面积就像是拼图一样，可以用来证明勾股定理。

看起来可能会有点复杂，但其实就是一种图形化的方法，让定理更容易理解。

2.2 代数证明除了几何证明，还有一种代数证明的方法。

我们可以用代数公式来证明勾股定理的正确性。

这种方法比较适合那些喜欢公式和计算的人。

它用的是代数的语言，通过一些方程式来展示定理的正确性。

3. 勾股定理的逆定理3.1 什么是逆定理勾股定理的逆定理其实也很有趣。

它告诉我们，如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件，那么这个三角形就是直角三角形。

也就是说，如果你知道一个三角形的三条边分别是a、b和c，并且它们满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形肯定是直角三角形。

勾股定理重点知识点

勾股定理重点知识点2017精选关于勾股定理重点知识点一、勾股定理与逆定理A.勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。

2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。

3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。

B.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。

说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。

必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。

然后进一步结合其他已知条件来解决问题。

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。

面积分割法、构造直角三角形二、实数与数轴1、实数与数轴上的点是一一对应关系。

任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。

数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。

2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。

3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。

三、矩形的性质1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。

中考数学专题复习：勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理典题探究例1：在△ABC 中，∠C=90°，AC=2.1cm ，BC=2.8cm.（1）求△ABC 的面积；（2）求斜边AB ；CD例2：在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。

例3：如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?例4：如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？C课后练习A 组1．已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形. B 组2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A 、a=1.5，b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4, c=53、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5。

（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

4.图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A ．22()()4m n m n mn +--= B ．222()()2m n m n mn +-+= C ．222()2m n mn m n -+=+ D ．22()()m n m n m n +-=-5．如图6，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝图①图②第4题图6．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．第12题图7．如图，过原点的直线l与反比例函数1 yx =-的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是___________．8．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．9．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．10、如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.B 组1. 以下四个命题正确的是（）= ．3. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下，BA6cm3cm1cm4. 如图，已知∠AOB =60°，点P 在边OA 上，OP =12，点M ，N 在边OB 上，PM =PN ，若MN =2，则OM =（）5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =6，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =60°，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB =AN ：ND =1：2，则tan ∠MCN =（）﹣26. 如图1，有一个“顽皮虫”想从点A 沿棱长为1cm 的正方体的表面爬到点B ，求它所爬过的最短路程．7. 在△ABC 中，AB=13cm ，BC=10cm ，BC 边上的中线AD=12cm ，求AC 8. 已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。

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中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础）【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】考点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b ，a =；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数；②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等； ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用1．（2014春•河西区期末）在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且，试判断△AEF 是否是直角三角形？试说明理由．【思路点拨】首先设正方形的边长为4a ，则CF=a ，DF=3a ，CE=BE=2a ．根据勾股定理可求出AF ，A E 和EF 的长度．如果它们三个的长度满足勾股定理，△AEF 为直角三角形，否则不是直角三角形．【答案与解析】解：设正方形的边长为4a ， ∵E 是BC 的中点，，∴CF=a ，DF=3a ，CE=BE=2a ．由勾股定理得：AF 2=AD 2+DF 2=16a 2+9a 2=25a 2，EF 2=CE 2+CF 2=4a 2+a 2=5a 2，AE 2=AB 2+BE 2=16a 2+4a 2=20a 2，∴AF 2=EF 2+AE 2，∴△AEF 为直角三角形．【总结升华】勾股定理的应用．在解答此类题时有一个小窍门，题干中各边长都没有给出确定的值，我们已知各边长的比值，这时我们可以将边长设成具体的值．这样解题时用到的都是数字，表达方便．举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）.A.14B.16C.20D.28【答案】D.根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴A B=6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．2．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（）.A.14B.15C. 223 D. 3【思路点拨】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．【答案与解析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，【总结升华】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形从而求解．举一反三：【变式】（2015•黄冈模拟）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．（4+）cm B．5cm C．2cm D．7cm【答案】B.【解析】解：侧面展开图如图所示：∵圆柱的底面周长为6cm ， ∴AC ′=3cm ． ∵PC ′=BC ′， ∴PC ′=×6=4cm ．在Rt △ACP 中，AP 2=AC ′2+CP 2， ∴AP==5．故选：B ．类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用3．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是________________．【思路点拨】先根据勾股定理得到AB ＝2，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S 阴影部分＝S △ADE ＋S 扇形ABD －S △ABC ＝S 扇形ABD 【答案与解析】∵∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴AB＝2，∴S 扇形ABD ＝6360)2(302ππ=⋅, 又∴Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S 阴影部分＝S △ADE ＋S 扇形ABD －S △ABC ＝S 扇形ABD ＝6π．【总结升华】本题考查了扇形的面积公式：3602R n S π=．也考查了勾股定理以及旋转的性质．考点涉及到扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质.4. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( ).A. 3B. 4C. 5D. 6【思路点拨】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，=，在Rt△CEF中，4设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选D．【总结升华】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2011台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）.A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】B．5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝米时，有DC2＝AE2＋BC2．【思路点拨】根据已知得出假设AE ＝x ，可得EC ＝12－x ，利用勾股定理得出DC 2＝DE 2＋EC 2＝4＋（12－x ）2，AE 2＋BC 2＝x 2＋36，即可求出x 的值．【答案与解析】假设AE ＝x ，可得EC ＝12－x ，∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC ＝6米， ∴AC＝12米，∵正方形DEFH 的边长为2米，即DE ＝2米， ∴DC 2＝DE 2＋EC 2＝4＋（12－x ）2， AE 2＋BC 2＝x 2＋36， ∵DC 2＝AE 2＋BC 2，∴4＋（12－x ）2＝x 2＋36，解得：x ＝314．故答案为：314．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE ，AE 的长度是解决问题的关键．6 . 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【思路点拨】原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，如图1；二是延长BC 至点D ，使CD ＝4，则BD ＝AB ＝10，得等腰三角形ABD ，如图2；三是作斜边AB 的中垂线交BC 的延长线于点D ，则DA ＝DB ，得等腰三角形ABD ，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．【答案与解析】分三类情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为Rt△ABC，其中BC ＝6m ，AC ＝8m ，∠ACB＝90°．由勾股定理易知AB ＝10m ，将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，此时，AD ＝10m ，CD ＝6m ．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m ）．（2）如图2，因为BC ＝6m ，CD ＝4m ，所以BD ＝AB ＝10m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD ＝2284+＝45，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为45＋10＋10＝20＋45．（3）如图3，设△ABD 中DA ＝DB ，再设CD ＝xm ，则DA ＝(x ＋6)m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得x 2＋82＝(x ＋6)2，解得x ＝37∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x ＋6)＝380（m ）．C46C图3x 6C【总结升华】对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路．举一反三：【变式】“希望中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m ，BC=25m ，请求出这块花圃的面积．【答案】。

中考数学勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理一、知识总结1、经过证明被确认是的命题叫做定理。

勾股定理是研究三角形三边之间的数量关系的定理。

2、如果直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，那么有。

3、如果三角形的三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是。

4、我们把和正好相反的两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫作它的。

5、常见的勾股数：○1 ；○2 ；○3 ；○4 ；○5 ；○6 ；○7 ；○8 。

二、典例解析例1 在ABC ∆中，90C ∠=︒，9,41a c ==，求b 的值。

方法总结：直角三角形中三边满足勾股定理，但应分清直角边和斜边，如果不清楚应当分类讨论。

变式1在ABC ∆中，90C ∠=︒，若:3:4,15a b c ==，求,a b 的值。

变式2 在直角三角形中，两条边的长分别为5和12，求第三边的长。

例2如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，D 是AC 的中点，DE ⊥BC ，E 为垂足，BC=9，EC=3,。

求AB 的长。

方法总结：在解有关三角形的有关题目中，如果“有三角形无直角”常作三角形的一条高构造直角三角形，然后利用勾股定理求解；如果“有直角无三角形”的问题中常构造直角三角形，然后求解。

变式1 如图，在ABC ∆中，60,45,4A B AC ∠=︒∠=︒=，求AB 的长。

例2图E DCBA例2变式1图CBA变式2 在四边形ABCD 中，90,4,6,2B AB BC CD DA ∠=︒====。

（1）求DAB ∠的度数；（2）四边形ABCD 的面积（用根号表示）。

变式3 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 上一点。

求证：22AD BD DC AB +=g 。

例 3 已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足2228610500a b c a b c ++---+=，试判断ABC ∆的性状。

方法总结：对于这种一个方程含有多个未知数求值的问题，一般方法是通过配方将其转化成几个非负数之和为0的形式，在求解。

勾股定理的逆定理(提高)知识讲解

勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力【要点梳理】【高清课堂勾股定理逆定理知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长 a , b , c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形要点诠释：（1 ）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形 .（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形” ，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如 C ）.2 2 2 2 2 2（2）验证C 与a +b 是否具有相等关系.若c =a +b ,则^ ABC 是/ O 90°的直角三角形；若C 2工a 2+b 2，则△ ABC 不是直角三角形.要点诠释：当a 2+b 2c c 2时，此三角形为钝角三角形；当为锐角三角形，其中C 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程X 2+y 2=z 2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）显然，以X 、y z 为三边长的三角形一定是直角三角形 .熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5；②5、12、13 :③匕 15、17;④ 7、24、25;⑤ 9、40、41……C 是勾股数，当t 为正整数时，以at 、bt 、Ct 为三角形的三边长，此三角形2n 2+2n,2n+1,2n 2+2n +1（ n 是自然数）是直角三角形的三条边长;m 2-n 2, m 2+n 2,2mn （ m 》n, m 、n 是自然数）是直角三角形的三条边长;如杲a 、b 必为直角三角形要点诠释: (1) n n —1， 2n, n?+1（ n > 1, n 是自然数）是直角三角形的三条边长; a 2+b 2> c 2时，此三角形(2)【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、(优质试题春？咸丰县月考)如图所示，在 △ABC 中，AB : BC : CA=3 : 4: 5,且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为多少cm 2.【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形•再求出 3秒后的BP , BQ 的长，利用三角形的面积公式计算求解. 【答案与解析】解：设 AB 为 3xcm , BC 为 4xcm , AC 为 5xcm ,•••周长为36cm ,AB+BC+AC=36cm , ••• 3x+4x+5x=36 ,得 x=3 ,••• AB=9cm , BC=12cm , AC=15cm ,2 2 2•••AB +BC =AC ,•••△ ABC 是直角三角形，过 3 秒时，BP=9 - 3 xi=6 (cm ), BQ=2 X3=6 ( cm ),C 1 12、•- S A PBQ ^BP?BQ=^ X (9 - 3) X3=18 (cm ).故过3秒时，MPQ 的面积为18cm 2.【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解.由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键.隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.2、如图，点D 是^ ABC 内一点，把△ ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°得到△ CBE , 若 AD=4 , BD=3 , CD=5 .(1) (2) 判断△ DEC 的形状，并说明理由; 求/ ADB 的度数.即/ ADB=15O .【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题. 举一反三：【变式】如图所示,在^ ABC 中，已知/ ACB= 90° , AC = BC,卩是^ ABC 内一点，且PA = 3 , PB=1 , PC= CD=2 , CD! CP 求/ BPC 的度数.【答案】解：连接 BD •/ CD 丄 CP 且 CD= CP= 2,••• △ CPD 为等腰直角三角形，即/ CPD= 45°./ ACP+Z BCP=/ BCP+Z BCD= 90°,/ ACP=/ BCDCA = CB△ CAP^A CBD(SAS) DB = PA= 3.在 Rt △ CPD 中，DP 2 =Cp 2 + CD 2= 22+22=8又••• PB = 1,贝y PB2=1 .DB 2=9,【思路点拨】把^ ABD 绕点B 顺时针方向旋转角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度利的判断三角形的形状和求/ ADB 的度数.【答案与解析】解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC , BD=BE ,又•••/ DBE= / ABC=60 °, •••△ ABC 和^ DBE 均为等边三角形，于是 DE=BD=3 , EC=AD=4 , 又••• CD=5 ,•- DE 2+EC 2=32+42=52=CD 2；故^ DEC 为直角三角形.（2）••• △ DEC 为直角三角形，又••• 60 °,注意旋转只是三角形的位置变了，三60°，因此出现等边 △ BDE ，从而才能更有DEC=9O °,△ BDE 为等边三角形，BED=6O °,BEC=9O °+6O°=15O°,全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾解答（ 2）时要注意运用（1）的结论.2 2DB =DP +PB =8 +1=9 , △ DPB 为直角三角形，且/ DPB= 90°,/ CPB=/ CPD+^ DPB= 45 ° +90°= 135类型二、勾股定理逆定理的应用你探索△ ABC 的形状.【答案与解析】解：令土二耳332•• a+4=3k , b+3=2k ,••• a=3k - 4, b=2k- 3, c=4k - 8.又••• a+b+c=12,•••( 3k - 4) + (2k - 3) + (4k - 8) =12 ,••• k=3 . •- a=5, b=3, c=4. •••△ ABC 是直角三角形.【总结升华】此题借用设比例系数 k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状. 举一反三：【变式】(优质试题春？渝中区校级月考)△ABC 的三边a b 、c 满足|a+b -50|+需-^- 32 +2(C -40) =0.试判断AABC 的形状是【答案】直角三角形.____________ 2解：..Ta+b - 50|+& - b - 32+（ c - 40） =0,a+b - 50=0a- b- 32=0， c- 40=0护41解得｛ 29 ,l.c=402 2 29 +40 =41 ,•••△ ABC 是直角三角形.故答案为直角三角形.4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午 9时50分我国缉私艇 A 发现在其正东方向有一走私艇 C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其 5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇 B 密切注意，并告知 A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇 C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？仝叱q ，且a+b+c=12，请32 4c +8= ---- =k.4c+8=4k ,2 2 2 2 2 2解：••• AB +BC =5 +12 =169 =13 = AC ,••• △ ABC 为直角三角形.•••又BD 丄AC,可设CD= x ,广2 2 2l x +BD =12 ,: 2 2 2[(13-X)+BD =5,的/曰 144144 144 解得x=——• •——-13=——〜0.85(h)1313169所以走私艇最早在10时41分进入我国领海.【总结升华】(1)本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题, 定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件./ ABC= 90①—②得 X 2—169 +26x —x 2= 119 , =51(分)•(2)用勾股定理的逆定理判。

勾股定理的逆定理+知识讲解

勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n ≥1，n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．（2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++， 22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a c b +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．举一反三：【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】C.解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；④72+242=252，∴能组成直角三角形．故选C ．2、如图，已知四边形ABCD 中，∠B ＝∠90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】由AB ＝3，BC ＝4，∠B ＝90°，应想到连接AC ，则在Rt △ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．【答案与解析】解：连接AC ，在△ABC 中，因为∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以222223491625AC AB BC =+=+=+=，所以AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝13，DC ＝12，AC ＝5，所以2222225122514416913DC AC AD +=+=+===，即222DC AC AD +=．所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°．所以1122ABC ACD ABCD S S S AB BC AC DC =+=+△△四边形113451222=⨯⨯+⨯⨯63036=+=．【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察．类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知：,,a b c 为ABC ∆的三边且满足222338102426a b c a b c +++=++，试判断ABC ∆的形状.【答案与解析】解：∵222338102426a b c a b c +++=++∴0338262410222=+-+-+-c c b b a a 0)13()12()5(222=-+-+-c b a∴5,12,13a b c ===，222c b a =+∴△ABC 是直角三角形.【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.举一反三：【变式】请阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，第一步∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2），第二步∴c 2=a 2+b 2，第三步∴△ABC 为直角三角形．第四步问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误： _________ ；（2）错误的原因是： _________ ；（3）本题正确的结论是： _________ ．【答案】解：（1）第三步；（2）方程两边同时除以（a 2﹣b 2）时，没有考虑（a 2﹣b 2）的值有可能是0；（3）∵c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）∴c 2=a 2+b 2或a 2﹣b 2=0∵a 2﹣b 2=0∴a +b =0或a ﹣b =0∵a +b ≠0∴c 2=a 2+b 2或a ﹣b =0∴c 2=a 2+b 2或a =b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．4、如图，铁路MN 和铁路P Q 在P 点处交汇，点A 处是第九十四中学，AP=160米，点A 到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【思路点拨】（1）过点A作AE⊥MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE=80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可．【答案与解析】解：（1）会受到影响．过点A作AE⊥MN于点E，∵点A到铁路MN的距离为80米，∴AE=80m，∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，∴学校会受到影响；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中，∵AB=100m，AE=80m，∴BE===60m，∴BC=2BE=120m，∵火车的速度是180千米/时=50m/s，∴t===2.4s．答：学校受到影响的时间是2.4秒．【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．。

初中数学知识点总结：勾股定理及其逆定理

知识点总结一、勾股定理：1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：(1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足两个较小面积和等于较大面积。

五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。

常见考法(1)直接考查勾股定理及其逆定理;(2)应用勾股定理建立方程;(3)实际问题中应用勾股定理及其逆定理。

勾股定理的逆定理(基础)知识讲解

勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.【要点梳理】【高清课堂勾股定理逆定理知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、原命题与逆命题1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．【答案与解析】1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.举一反三：【变式】下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=”也是正确的.类型二、勾股定理的逆定理2、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．（2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++， 22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a c b +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．举一反三：【变式1】判断以线段a b c ，，为边的△ABC 是不是直角三角形，其中a =b =2c =．【答案】解：由于a c b >>，因此a 为最大边，只需看2a 是否等于22b c +即可．∵ 227a ==，223b ==，2224c ==，∴ 222a b c =+，∴ 以线段a b c ，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形．【变式2】下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8．其中可以为直角三角形三边长的有．（把所有你认为正确的序号都写上）【答案】①②；解：①∵52+122=132，能构成直角三角形；②72+242=252，能构成直角三角形；③12+22≠42，不能构成直角三角形；④52+62≠82，不能构成直角三角形．所以①②．故答案为：①②．3、（2016春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B ＝∠90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】由AB ＝3，BC ＝4，∠B ＝90°，应想到连接AC ，则在Rt △ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．【答案与解析】解：连接AC ，在△ABC 中，因为∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以222223491625AC AB BC =+=+=+=，所以AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝13，DC ＝12，AC ＝5，所以2222225122514416913DC AC AD +=+=+===，即222DC AC AD +=．所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°．所以1122ABC ACD ABCD S S S AB BC AC DC =+=+△△四边形113451222=⨯⨯+⨯⨯63036=+=．【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察．举一反三：【变式】如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，CD ＝1，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．【答案】解：EC ⊥EB ．过点C 作CF ⊥AB 于F ，则四边形AFCD 是矩形，在Rt △BCF 中，可得CF ＝则AD ＝CF ＝DE ＝AE ＝12AD 在Rt △ABE 和Rt △DCE 中， 2226EB AE AB =+=，2223EC DE CD =+=．∴ 229EB EC +=．∵ BC ＝3，∴ 222EB EC BC +=．∴ ∠CEB ＝90°，∴ EB ⊥EC ．类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了．【答案与解析】解：根据题意可画出上图，PQ ＝16×1.5＝24，PR ＝12×1.5＝18，QR ＝30，在△PQR 中，22222418576324900PQ PR +=+=+=，∴ 222PQ PR QR +=．∴△PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．又∵“远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，∴∠RPN＝45°．由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向．。

【精品】北师大初中数学中考总复习：勾股定理及其逆定理--知识讲解(基础).doc

中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础）【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】考点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b ，a =；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数；②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等； ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用1．（2014春•河西区期末）在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且，试判断△AEF 是否是直角三角形？试说明理由．【思路点拨】首先设正方形的边长为4a ，则CF=a ，DF=3a ，CE=BE=2a ．根据勾股定理可求出AF ，A E 和EF 的长度．如果它们三个的长度满足勾股定理，△AEF 为直角三角形，否则不是直角三角形．【答案与解析】解：设正方形的边长为4a ， ∵E 是BC 的中点，，∴CF=a ，DF=3a ，CE=BE=2a ．由勾股定理得：AF 2=AD 2+DF 2=16a 2+9a 2=25a 2，EF 2=CE 2+CF 2=4a 2+a 2=5a 2，AE 2=AB 2+BE 2=16a 2+4a 2=20a 2，∴AF 2=EF 2+AE 2，∴△AEF 为直角三角形．【总结升华】勾股定理的应用．在解答此类题时有一个小窍门，题干中各边长都没有给出确定的值，我们已知各边长的比值，这时我们可以将边长设成具体的值．这样解题时用到的都是数字，表达方便．举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）.A.14B.16C.20D.28【答案】D.根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴A B=6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．2．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（）.A.14B.15C. 223 D. 3【思路点拨】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．【答案与解析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，形从而求解．举一反三：【变式】（2015•黄冈模拟）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．（4+）cm B．5cm C．2cm D．7cm【答案】B.【解析】解：侧面展开图如图所示：∵圆柱的底面周长为6cm ， ∴AC ′=3cm ． ∵PC ′=BC ′， ∴PC ′=×6=4cm ．在Rt △ACP 中，AP 2=AC ′2+CP 2， ∴AP==5．故选：B ．类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用3．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是________________．【思路点拨】先根据勾股定理得到AB ＝2，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S 阴影部分＝S △ADE ＋S 扇形ABD －S △ABC ＝S 扇形ABD 【答案与解析】∵∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴AB＝2，∴S 扇形ABD ＝6360)2(302ππ=⋅, 又∴Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S 阴影部分＝S △ADE ＋S 扇形ABD －S △ABC ＝S 扇形ABD ＝6π．【总结升华】本题考查了扇形的面积公式：3602R n S π=．也考查了勾股定理以及旋转的性质．考点涉及到扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质.4. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为( ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【思路点拨】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，=，在Rt△CEF中，4设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选D．【总结升华】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2011台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）.A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】B．5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝米时，有DC2＝AE2＋BC2．【思路点拨】根据已知得出假设AE＝x，可得EC＝12－x，利用勾股定理得出DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x ）2，AE 2＋BC 2＝x 2＋36，即可求出x 的值．【答案与解析】假设AE ＝x ，可得EC ＝12－x ，∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC ＝6米， ∴AC＝12米，∵正方形DEFH 的边长为2米，即DE ＝2米， ∴DC 2＝DE 2＋EC 2＝4＋（12－x ）2， AE 2＋BC 2＝x 2＋36， ∵DC 2＝AE 2＋BC 2，∴4＋（12－x ）2＝x 2＋36，解得：x ＝314．故答案为：314．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE ，AE 的长度是解决问题的关键．6 . 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【思路点拨】原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，如图1；二是延长BC 至点D ，使CD ＝4，则BD ＝AB ＝10，得等腰三角形ABD ，如图2；三是作斜边AB 的中垂线交BC 的延长线于点D ，则DA ＝DB ，得等腰三角形ABD ，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．【答案与解析】分三类情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为Rt△ABC，其中BC ＝6m ，AC ＝8m ，∠ACB＝90°．由勾股定理易知AB ＝10m ，将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，此时，AD ＝10m ，CD ＝6m ．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m ）．（2）如图2，因为BC ＝6m ，CD ＝4m ，所以BD ＝AB ＝10m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD ＝2284 ＝45，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为45＋10＋10＝20＋45．（3）如图3，设△ABD 中DA ＝DB ，再设CD ＝xm ，则DA ＝(x ＋6)m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得x 2＋82＝(x ＋6)2，解得x ＝37 ∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x ＋6)＝380（m ）．C46C图3x 6C【总结升华】对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路．举一反三：【变式】“希望中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m ，BC=25m ，请求出这块花圃的面积．【答案】。

专题04 勾股定理的逆定理(知识点串讲)(解析版)

专题04 勾股定理的逆定理知识网络重难突破一. 勾股定理的逆定理1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2．勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.典例1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15【答案】D【解析】解：b2﹣c2＝a2则b2＝a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形；∠C＝∠A﹣∠B，则∠B＝∠A+∠C，∠B＝90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C＝9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．典例2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】见解析【解析】解：（1）连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴，∠BAC＝45°，∵AD＝1，CD＝3，∴，CD2＝9，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝135°．（2）在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，．∴．【点睛】（1）由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠BAD；（2）连接AC，则可以计算△ABC的面积，根据AB、BC可以计算AC的长，根据AC，AD，CD可以判定△ACD为直角三角形，根据AD，CD可以计算△ACD的面积，四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC面积之和．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．典例3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．（1）线段AB的长为_____，BC的长为_____，CD的长为______；（2）连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC是什么特殊三角形．【答案】见解析【解析】解：（1）由勾股定理得：AB，BC5，CD2；故答案为：，5，2；（2）∵AC2，AD═2，∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形；∵AB2+AC2＝5+20＝25＝BC2，∴△ABC是直角三角形．【点睛】（1）把线段AB、BC、CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可；（2）根据勾股定理的逆定理求出AC＝AD，即可判断△ACD的形状；由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．典例4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，求BD的长．【答案】见解析【解析】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD，【点睛】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM＝7，再由勾股定理求出BD即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．二. 勾股数1．勾股数：满足关系a 2+b 2=c 2的3个正整数a 、b 、c 称为勾股数．注意：勾股数必须是正整数.2．常见的几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……注意：如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.典例1阅读：所谓勾股数就是满足方程x 2+y 2＝z 2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书中，在历史上第一次给出该方程的解为x （m 2﹣n 2），y ＝mn ，z （m 2+n 2），其中m ＞n ＞0，m 、n 是互质的奇数．应用：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n ＝5，求该直角三角形另两边的长．【答案】见解析【解析】解：∵n ＝5∴x （m 2﹣52），y ＝5m ，z （m 2+25） ∵直角三角形的一边长为37∴分三种情况讨论，①当x ＝37时，（m 2﹣52）＝37解得m ＝±3（不合题意，舍去）②当y＝37时，5m＝37，解得m（不合题意舍去）；③当z＝37时，37（m2+n2）解得m＝±7，∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数∴m＝7把m＝7代入①②得，x＝12，y＝35．综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．【点睛】讨论：①当x＝37时，利用（m2﹣52）＝37计算出m，然后分别计算出y和z；②当y＝37时，利用5m＝37，解得m，不合题意舍去；③当z＝37时，利用37（m2+n2）求出m＝±7，从而得到当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长．本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．其中三个数必须是正整数．三. 勾股定理的应用1．解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.2．求立体图形表面的最短路径关键点：解决有关立体图形中路线最短的问题，其关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题．如圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为长方形等．运用平面上两点之间线段最短的道理，利用勾股定理求解．典例1．如图，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？【答案】见解析【解析】解：根据题意得：AC＝CD，∠ABD＝90°．在直角三角形ABD中，∵AB＝3000，AD＝5000，∴BD4000（m），设CD＝AC＝x米，BC＝4000﹣x（米），在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即x2＝30002+（4000﹣x）2解得：x＝3125，答：该超市与车站D的距离是3125米．【点睛】根据题意，AC＝CD，∠ABD＝90°，由AB、AD的长易求BD，设CD＝x米，则AC＝x，BC ＝BD﹣x．在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解．典例2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行几米？【答案】见解析【解析】解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC═10（m），答：小鸟至少飞行10米．【点睛】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．典例3．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图1，AB为一长度为6米的梯子．（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？（2）如图2，若梯子底端向左滑动（32）米，那么梯子顶端将下滑多少米？【答案】见解析【解析】解：（1）设梯子放平稳时，可以到达x米高的墙头，得x2＝62﹣（6）2．解得：x＝﹣4或x＝4，∵5.72＝32.49＞32，∴它的顶端不能到达5.7米高的墙头．（2）∵梯子底端向左滑动（32）米，∴OD＝OB+BD＝632＝3米，∴OC3米，∴AC＝AO﹣CO＝43m．答：梯子的顶端将下滑动米．【点睛】（1）在三角形ABC中利用勾股定理求解直角三角形即可．（2）根据梯子底端向左滑动（32）米得出OD的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．典例4．限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米/时．一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判断此车是否超速．【答案】见解析【解析】解：∵在Rt△AMN中，AM＝50，MN＝30，∴AN40米，∵在Rt△MNB中，BM＝34，MN＝30，∴BN16米，∴AB＝AN+NB＝40+16＝56（米），∴汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2（米/秒），∵11.2米/秒＝40.32千米/时＜60千米/时，∴此车没有超速．【点睛】在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断．此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确求出AN与BN的长是解本题的关键．典例5．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．【答案】见解析【解析】解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得4x﹣3x＝5．解得x＝5，∴4x＝20，3x＝15，∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）由题可得，AB＝15×2＝30，AC＝20×2＝40，BC＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴客船航行的方向为北偏东10°方向．【点睛】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；（2）依据AB2+AC2＝BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向．典例6．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为5m、12m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以12m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【答案】见解析【解析】解：如图1，在Rt△ABC中，∵AC＝12m，BC＝5m，∴AB＝13m，（1）如图1，当AB＝AD时，CD＝5m，△ABD的周长为13m+13m+5m+5m＝36m；（2）如图2，当AB＝BD时，CD＝8m，AD4m，△ABD的周长是13m+13m+4m＝（26+4）m；（3）如图3，当DA＝DB时，设AD＝x，则CD＝x﹣5，则x2＝（x﹣5）2+122，∴x，∴△ABD的周长是13m m m＝46.8m，答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是36m或（26+4）m或46.8m．【点睛】根据勾股定理求出斜边AB，（1）当AB＝AD时，求出CD即可；（2）当AB＝BD时，求出CD、AD即可；（3）当DA＝DB时，设AD＝x，则CD＝x﹣5，求出即可．本题主要考查对勾股定理的应用，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．巩固练习1．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝12，b＝13，c＝5C．a＝15，b＝8，c＝17 D．a＝13，b＝14，c＝15【答案】D【解析】解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．2．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是____．【答案】17【解析】解：∵3，4，a和5，b，13是两组勾股数，∴a＝5，b＝12，∴a+b＝17，故答案为：17．3．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为_____．【答案】（x﹣3）2+64＝x2【解析】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+64＝x2，故答案为：（x﹣3）2+64＝x2.4．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个四边形的面积？【答案】见解析【解析】解：连接AC，∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，∴AC5（cm）∴S△ACD CD•AD＝6（cm2）．在△ABC中，∵52+122＝132即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，∴S△ABC AC•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）．答：四边形ABCD的面积为24cm2．5．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的面积；（2）求∠BCD的度数．【答案】见解析【解析】解：（1）S四边形ABCD＝5×71×71×22×43×6；（2）连BD，∵BC＝2，CD，BD＝5，BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°．6．如图，在△ABC中，E点是AC的中点，其中BD＝2，DC＝6，BC，AD，求DE的长．【答案】见解析【解析】解：∵BD2+CD2＝22+62＝（2）2＝BC2，∴△BDC为直角三角形，∠BDC＝90°，在Rt△ADC中，∵CD＝6，AD＝2，∴AC2＝（2）2+62＝60，∴AC＝2，∵E点为AC的中点，∴DE AC．7．从正面看一个底面直径为10cm的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐．求杯子的高度．【答案】见解析【解析】解：设杯子的高度为xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，根据题意得：（x+1）2＝52+x2，解得：x＝12．答：杯子的高度为12cm．8．如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO＝2m，∠OAB＝30°，梯子顶端A沿墙下滑至点C，使∠OCD＝60°，同时，梯子底端B也外移至点D．求BD的长度，（结果保留根号）【答案】见解析【解析】解：在Rt△ABO中，∵AO＝2，∠OAB＝30°，∴AB，根据勾股定理知BO，由题意知DC＝AB，在Rt△COD中，根据勾股定理知，DO2，所以BD＝DO﹣BO＝2（米）．9．如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一个固定方向航行，“远航”号沿西南方向以每小时12海里的速度航行，“海天”号沿东南方向以每小时16海里的速度航行，它们离开港口5小时后分别位于A、B两处，求此时A、B之间的距离．【答案】见解析【解析】解：如图，由已知得，AP＝12×5＝60海里，PB＝16×5＝80海里，在△APB中，∵∠APB＝90°，由勾股定理得AP2+PB2＝AB2，即602+802＝AB2，AB100海里．答：此时A、B之间的距离相距100海里．10．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据： 1.7）【答案】见解析【解析】解：不能通过．如图，在AB之间找一点F，使BF＝2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，∵AB＝3.3m，CA＝0.7m，BF＝2.5m，∴CF＝AB﹣BF+CA＝1.5m，∵∠ECA＝60°，∠CGF＝30°∴CG＝2CF＝3m，∴GF 2.55（m），∵2.55＜3∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．。

中考总复习：勾股定理及其逆定理--知识讲解(提高)

（2）解法 1：设 AE=x，则 ED=1-x，A′E=x，在 Rt△A′DE 中，sin∠DA′E= ，
即 = ，得 x=4-2 3 ，
在 Rt△A′BE 中，A′E=4﹣2 3 ，A′B=AB=2，
②定理中 a ， b ， c 及 a2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边； ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形. 3.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数; ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等; ③用含字母的代数式表示 n 组勾股数：
1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）．图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 ABCD，正方形
EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10，则 S2 的值是__________．
a c2 b2 ; ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系; ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 知识点二、勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理

《勾股定理的逆定理》初中数学中考专题复习

初中数学中考专题复习《勾股定理的逆定理》1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.知识点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.知识点解析：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.知识点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与22=+，则△ABC是c a b+是否具有相等关系.若222a b∠C＝90°的直角三角形；若222≠+，则△ABC不是直角c a b三角形.知识点解析：当222+>a b ca b c+<时，此三角形为钝角三角形；当222时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.知识点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.知识点解析：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.知识点四、勾股数满足不定方程222x y z+=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c、、为三角形的、、是勾股数，当t为正整数时，以at bt ct三边长，此三角形必为直角三角形.知识点解析：（1）22，，（1,-+n n n121>是自然数）是直角三角n n形的三条边长；（2）22++++（n是自然数）是直角三角22,21,221n n n n n形的三条边长；（3）2222m n m n mn-+（,,,2>、是自然数）是直角m n m n三角形的三条边长；例题1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．【答案】1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.举一反三：【变式】下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c，，满足222+=，那么这个三角形是a b c直角三角形．【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c，，满足222a b c+=”也是正确的. 例题2、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）如果2x=；x=，那么24（3）等腰三角形两底角相等；（4）全等三角形的对应角相等．（5）对顶角相等．（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．【思路】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．【答案】解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．（2）逆命题是：如果24x=，那么2x=，它是假命题．（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．【总结】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题．举一反三：【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若a b =，则22a b =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足222a b c +=（c 为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若22a b =，a 与b 不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．例题1、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案】解：（1）∵2222724625a b+=+=，2225625c==，∴222a b c+=．∴由线段a b c，，组成的三角形是直角三角形．（2）∵a b c>>，222239251141616b c⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭，2241639a⎛⎫==⎪⎝⎭，∴222b c a+≠．∴由线段a b c，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵0m n>>，∴222m n mn+>，2222m n m n+>-．∵2222224224224224 ()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n+=-+=-++=++，22224224()2b m n m m n n=+=++，∴222a c b+=．∴由线段a b c，，组成的三角形是直角三角形．【总结】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c与22a b+是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．举一反三：【变式1】判断以线段a b c，，为边的△ABC是不是直角三角形，其中a=b=2c=．【答案】解：由于a c b >>，因此a 为最大边，只需看2a 是否等于22b c +即可．∵227a ==，223b ==，2224c ==，∴ 222a b c =+， ∴ 以线段a b c ，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形．【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A ．20:15:12B ．3:4:5C ．5:4:3D ．10:8:2【答案】A ；提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：125，即20:15:12.例题2、如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，∠B ＝∠90°，求四边形ABCD 的面积．【答案】解：连接AC ，在△ABC 中，因为∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以222223491625AC AB BC =+=+=+=，所以AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝13，DC ＝12，AC ＝5，所以2222225122514416913DC AC AD +=+=+===，即222DC AC AD +=．所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°．所以1122ABC ACD ABCD S S S AB BC AC DC =+=+△△四边形113451222=⨯⨯+⨯⨯63036=+=．【总结】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB ＝3，BC ＝4，∠B ＝90°，应想到连接AC ，则在Rt △ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断△ACD 的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．举一反三：【变式】如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，CD ＝1，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．【答案】解：EC⊥EB．过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD是矩形，在Rt△BCF中，可得CF＝．则AD＝CF＝DE＝AE＝1AD．2在Rt△ABE和Rt△DCE中，2226=+=．EC DE CDEB AE AB=+=，2223∴229+=．EB EC∵ BC＝3，∴222+=．EB EC BC∴∠CEB＝90°，∴ EB⊥EC．例题3、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝CD ＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【答案】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，22222216BD AB AD =+=+=．∴ BD ＝4，∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°，在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．举一反三：【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．【答案】解：连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴△CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD．∵ CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)，∴ DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，22222=+=+=．228DP CP CD又∵ PB＝1，则21PB=．∵29DB=，∴22819=+=+=，DB DP PB∴△DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．例题4、如图所示，在平面直角坐标系中，直线33=+与x轴交于点y xB ，与y 轴交于点A ，直线133y x =-+与x 轴交于点C ，同时也过点A ．请判断两直线有怎样的位置关系，并说明理由．【思路】判断两直线的位置关系，可转化为判断△ABC 的形状．要判断△ABC 的形状，需先求出其三边的长，而由直线的解析式易求出线段AO ，BO ，CO 的长，再根据勾股定理可求得AB ，AC 的长．【答案】解：∵ 直线33y x =+与x 轴交于点B ，∴ 当0y =时，1x =-，∴ 点B 的坐标为(-1，0)．∵ 直线33y x =+与y 轴交于点A ，∴ 当0x =时，3y =，∴ 点A 的坐标为(0，3)．∴ AO ＝3，BO ＝1．在Rt △ABO 中，由勾股定理，得222223110AB AO BO =+=+=．∵ 直线133y x =-+与x 轴交于点C ，∴ 当y ＝0时，x ＝9，∴ 点C 的坐标为(9，0)．在Rt △ACO 中，由勾股定理，得22222AC AO CO=+=+=．3990又∵ BC＝BO+CO＝10，∴221090100BC==．10100AB AC+=+=，22∴222+=．AB AC BC∴△ABC为直角三角形，∴ AB⊥AC．【总结】在平面直角坐标系内判断一个三角形的形状，可考虑勾股定理的逆定理．另外，在平面直角坐标系中，只要知道两点的坐标，便可求出线段的长度．例题1、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思路】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了．【答案】解：根据题意可画出上图，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30，在△PQR中，2222+=+=+=，2418576324900PQ PR∴222+=．PQ PR QR∴△PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．又∵“远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，∴∠RPN＝45°．由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．【总结】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向．例题2、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案】解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===，∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又BD ⊥AC ，可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=，解得14413x =．∴ 1441441313169÷=≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．【高效巩固练习A 】一.选择题1.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（） A. 9，12，15 B.2，3，5 C.1，3,2 D.4，7，52.下列各命题的逆命题成立的是（）A. 全等三角形的对应角相等B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等 D.如果两个角都是45°，那么这两个角相等.3.下列线段不能组成直角三角形的是( )．A. 6,8,10a b c ===B.3,2,1===c b aC. 43,1,45===c b aD.6,3,2===c b a 4.下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A.1∶1∶2B.1∶3∶4C.9∶25∶26D.25∶144∶1695．已知三角形的三边长为1n n m +、、(其中221m n =+)，则此三角形( )．A.一定是等边三角形B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定 6．三角形的三边长分别为 22a b +、2ab 、22a b -（a b 、都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定二.填空题7．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．8.已知两条线段的长分别为11cm 和60cm ，当第三条线段的长为 cm 时，这3条线段能组成一个直角三角形．9. 已知0435=-+-+-Z y x ,则由此x y z ，，为边的三角形是三角形. 10．在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是．11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为．12．如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．三.解答题13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等1，求证：AF⊥FE．分点且CE＝CB415．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?【高效巩固练习A答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】222457+≠，故构不成直角三角形.2.【答案】C ；3.【答案】D ；【解析】22223+≠.4.【答案】C ；5.【答案】C ；【解析】()()222221,211n m n n n n +=+++=+，满足勾股定理的逆定理.6.【答案】A ；【解析】()2222222()2()a b ab a b -+=+，满足勾股定理的逆定理.二.填空题7.【答案】8；【解析】三角形是直角三角形，最短边上的高为另一条直角边8.8.【答案】61【解析】60cm 长的边可能是斜边，也可能是直角边.9.【答案】直角；10．【答案】108；【解析】△ABC 是直角三角形.11.【答案】120；【解析】这个三角形是直角三角形，设三边长为5;12;13x x x ，则512133060x x x x ++==，解得2x =，它的面积为1151260412022x x ⋅=⨯⨯=. 12．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为Rt △．三.解答题13．【解析】解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC=2223=，即222AC DC AD += 所以△ACD 为直角三角形.四边形ABCD 的面积为11212122BC CD S S +=⨯⨯+⨯=+△A △A 14.【解析】解：连结AE ，设正方形的边长为4a ，则DF ＝CF ＝2a ，CE ＝a ，BE ＝3a ，在Rt △ADF 中，22222216420AF AD DF a a a =+=+=，在Rt △CEF 中，22222245EF CE CF a a a =+=+=，在Rt △ABE 中，22222216925AE AB BE a a a =+=+=，因为222AE AF EF =+，所以三角形AEF 为直角三角形，AF ⊥FE ． 15．【解析】解：由题意：BM ＝2×8＝16，BP ＝2×15＝30，MP ＝34 因为2221630256900115634+=+==所以△BMP 满足勾股定理的逆定理，△BMP 为直角三角形. 因为甲船沿北偏东60°方向航行，则乙船沿南偏东30°方向航行.【高效巩固练习B】一.选择题1.（2012•广西）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③12．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A．② B．①② C．①③ D．②③2. 下列三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角之比为5∶6∶1B. 一边上的中线等于这一边的一半C.三边之长为20、21、29D. 三边之比为1.5 : 2 :33. 下列命题中，不正确的是（）A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三边之比为1: 3:2的三角形是直角三角形；C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三边之比为2:2:2的三角形是直角三角形.4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD 、EF 、GHB ．AB 、EF 、GHC ．AB 、CF 、EFD ．GH 、AB 、CD5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）6. c b a ,,为直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形 ③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④hb a 1,1,1能组成直角三角形其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 二.填空题7．若△ABC 中，()()2b a b a c -+=，则∠B ＝____________.8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形．9．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以2a -、a 、2a +为边的三角形的面积为______．10．△ABC 的两边a b ，分别为5，12，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．11．有两根木条，长分别为60cm 和80cm ，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x （钝角所对的边）长度的取值范围_________.12. 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形，那么2,2,2cb a ________组成直角三角形.(填“能”或“不能”).三.解答题13．已知a b c 、、是△ABC 的三边，且222244a c b c a b -=-，试判断三角形的形状．14．观察下列各式：322345+=，2228610+=，22215817+=，222241026+=，…，你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．15.在等边△ABC 内有一点P ，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB 绕A 点逆时针旋转60°，使P 点到达Q 点，连PQ ，猜想△PQC 的形状，并论证你的猜想.【高效巩固练习B答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．2.【答案】D；【解析】D选项不满足勾股定理的逆定理.3.【答案】C；【解析】度数之比为1:2:2，则三角形内角分别为36°：72°：72°.4.【答案】B；【解析】2222222====+=，所以这8,20,5,13,AB CD EF GH AB EF GH三条线段能构成直角三角形.5.【答案】C；【解析】22222272425152025+=+=，. 6.【答案】C ；【解析】因为222a b c +=，两边之和等于第三边，故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误；>所以c b a ,,能组成三角形，②正确；因为ab ch =，所以2222222a ab b h c ch h +++=++，即()()222a b h c h ++=+，③正确；因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以④正确.二.填空题7．【答案】90°；【解析】由题意222b a c =+，所以∠B=90°. 8．【答案】直角；【解析】2AB =13，2BC =52，2AC =65，所以222AB BC AC +=. 9.【答案】24；【解析】∵7＜a ＜9，∴a ＝8． 10．【答案】13；直角三角形；【解析】7＜c ＜17.11.【答案】100cm ＜x ＜140cm ；【解析】因为60，80,100构成直角三角形，则钝角三角形的最长边应该大于100cm ，再根据两边之和大于第三边，所以x ＜60cm +80cm =140cm . 12．【答案】能；【解析】设c 为斜边，则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(cb a =+ . 三.解答题 13．【解析】解：因为222244a c b c a b -=-，所以()()()2222222c a b a b a b -=+-()()222220ab a bc -+-=所以22a b =或222a b c +=，此三角形为等腰三角形或直角三角形. 14．【解析】解：222351237+=，()()()22222112111n n n ⎡⎤⎡⎤+-++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦．(n ≥1且n 为整数) 15.【解析】解：因为△APB 绕A 点逆时针旋转60°得到△AQC ，所以△APB ≌△AQC ，∠PAQ=60°，所以AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，又因为PC=5，222PQ CQ PC += 所以△PQC 是直角三角形.。

第02讲勾股定理逆定理(3个知识点+5类热点题型+习题巩固)(解析版)

第02讲勾股定理逆定理课程标准学习目标①勾股定理逆定理②勾股数③勾股定理的应用1.掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。

2.掌握勾股数并能够判断勾股数。

3.能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。

知识点01勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理内容：在△ABC 中，如果三角形的三边分别是c b a ，，且满足222c b a =+，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C 是直角。

勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。

2.直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。

③三角形中有两个角之和为90°。

【即学即练1】1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．1，，D．，3，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．（1）试说明△ABC为直角三角形．（2）求CE的长．【分析】（1）先计算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得结论；（2）设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．（2）解：设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得，所以CE的长为．知识点02勾股数1.勾股数的定义：满足勾股定理：即222cba=+的三个正整数称为勾股数。

华东师大初中数学中考总复习：勾股定理及其逆定理--知识讲解(提高)

中考总复习：勾股定理及其逆定理（提高）【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】知识点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方（即：222a b c +=）.【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变; ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-;②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系; ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 知识点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数;②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等; ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系1.区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解；而其逆定理是判定定理，能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．2.联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决. 【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的应用【高清课堂：勾股定理及其逆定理例2】1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是__________．【思路点拨】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【答案与解析】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CG•DG，=GF 2+2CG•DG，S2=GF 2，S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NG•NF，∵S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•N F，=3GF 2，∴S2=103．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF=3GF 2是解决问题的关键．【变式】若△ABC三边a、b、c 满足 a＋b＋c＋338=10a+24b+26c，△ABC是直角三角形吗？为什么？【答案】∵a＋b＋c＋338=10a+24b+26c∴a＋b＋c＋338－10a－24b－26c =0（a－10a+25）＋（b－24b+144）＋（c－26c+169）=0即∵∴a=5，b=12，c=13又∵a＋b=c=169，∴△ABC是直角三角形.2．（2014秋•黄梅县校级期中）如图，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，BE、CF交于M，连AM．（1）求证：BE=CF；（2）求证：BE⊥CF；（3）求∠AMC的度数．【思路点拨】（1）求出∠BAE=∠CAF，根据SAS推出△CAF≌△BAE即可；（2）根据全等得出∠ABE=∠ACF，求出∠ABO+∠BOA=∠COM+∠ACF=90°，求出∠CMO=90°即可；（3）作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，证全等得出AG=AH，得出正方形，求出∠AMG，即可求出答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠FAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAF，在△CAF和△BAE中∴△CAF≌△BAE，∴BE=CF．（2）证明：∵△CAF≌△BAE，∴∠ABE=∠ACF，∵∠BAC=90°，∴∠ABO+∠BOA=90°，∵∠BOA=∠COM，∴∠COM+∠ACF=90°，∴∠CMO=180°﹣90°=90°，∴BE⊥CF．（3）解：过点A分别作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，则∠AGB=∠AHC=90°，在△AGB和△AHC中∴△AGB≌△AHC，∴AG=AH，∵AG⊥BE，AH⊥FC，BE⊥CF，∴∠AGM=∠GMH=∠AHM=90°，∴四边形AHMG是正方形，∴∠GMH=90°，∠AMG=∠HMG=45°，∴∠AMC=90°+45°=135°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．举一反三：【变式】如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）A. 8B. 8.8C. 9.8D. 10【答案】C.类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用【高清课堂：勾股定理及其逆定理例7】3. （2015春•沛县期中）（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠E AF=45°，延长CD到点C，使DG=BE，连结EF、AG，求证：EF=FG；（2）如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，点M、N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，AB=AC，CN=3，求MN的长．【思路点拨】（1）欲证明EF=FG，只需证得△FAE≌△GAF，利用该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．【答案与解析】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，∵在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形．4.（2011黑龙江大庆）如图，ABCD是一张边AB长为2，边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A′处，折痕交边AD于点E．（1）求∠DA′E的大小；（2）求△A′BE的面积．【思路点拨】（1）先根据图形翻折变换的性质得出Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根据直角三角形的性质可得出∠DA′E 的度数；（2）设AE=x，则ED=1﹣x，A′E=x，在Rt△A′DE中，利用sin∠DA′E=可求出x的值，在根据Rt△A′BE 中，A′B=AB，利用三角形的面积公式即可求解．【答案与解析】（1）∵△A′BE是△ABE翻折而成，∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，∴在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1得，∠BA′C=30°，又∵∠BA′E=90°，∴∠DA′E=60°；（2）解法1：设AE=x，则ED=1-x，A′E=x，在Rt△A′DE中，sin∠DA′E=，即=，得x=4-23，在Rt△A′BE中，A′E=4﹣23，A′B=AB=2，∴S△A′BE=×2×（4﹣23）=4-23；解法2：在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1，得A′C=3，∴A′D=2-3，设AE=x，则ED=1-x，A′E=x，在Rt△A′DE中，A′D2+DE2=A′E2，即（2-3）2+（1﹣x）2=x2，得x=4-23，在Rt△A′BE中，A′E=4-23，A′B=AB=2，∴S△A′BE=×2×（4-23）=4-23．【总结升华】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理及矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D.5 .如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

12勾股定理的逆定理 (提高)知识讲解

勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、原命题与逆命题1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）如果2x =，那么24x =；（3）等腰三角形两底角相等；（4）全等三角形的对应角相等．（5）对顶角相等．（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．【答案与解析】解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．（2）逆命题是：如果24x =，那么2x =，它是假命题．（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题．举一反三：【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若a b =，则22a b =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足222a b c +=（c 为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若22a b =，a 与b 不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝3CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【答案与解析】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ BD ＝4，∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°，在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．举一反三：【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．【答案】解：连接BD ．∵ CD ⊥CP ，且CD ＝CP ＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD ＝45°．∵ ∠ACP+∠BCP ＝∠BCP+∠BCD ＝90°，∴ ∠ACP ＝∠BCD ．∵ CA ＝CB ，∴ △CAP ≌△CBD(SAS)，∴ DB ＝PA ＝3．在Rt △CPD 中，22222228DP CP CD =+=+=．又∵ PB ＝1，则21PB =．∵ 29DB =，∴ 222819DB DP PB =+=+=，∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB ＝90°，∴ ∠CPB ＝∠CPD+∠DPB ＝45°+90°＝135°．3、（2015春•信丰县校级期中）如图，已知在四边形ABCD 中，AB=20cm ，BC=15cm ，CD=7cm ，AD=24cm ，∠ABC=90°．猜想∠A 与∠C 关系并加以证明．【思路点拨】连接AC ，然后根据勾股定理求出AC 的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC 为Rt △，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A 与∠C 关系．【答案与解析】证明：猜想∠A 与∠C 关系为：∠A+∠C=180°．连结AC ，∵∠ABC=90°，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC==25cm ，∵AD 2+DC 2=625=252=AC 2，∴△ADC 是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．【总结升华】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据勾股定理的逆定理判断△ADC 是直角三角形．举一反三：【变式】（2015秋•埇桥区校级月考）下列各组数中，全是勾股数的一组是（）A ．2，3，4；6，8，10；5，12，13B ．3，4，5；10，24，26；7，24，25C ．，，；8，15，17；30，40，50D ．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41【答案】B ；解：A 、22+32≠42，不是勾股数，此选项错误；B 、32+42=52，102+242=262，72+242=252，此选项正确；C 、，，不是勾股数，此选项错误；D 、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；故选B ．类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===，∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又BD ⊥AC ，可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=，解得14413x =．∴ 1441441313169÷=≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．。

九年级数学知识点归纳：勾股定理的逆定理

九年级数学知识点归纳：勾股定理的逆定理知识点总结一、勾股定理：.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

２.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

二、勾股定理的逆定理.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。

常见考法（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。

勾股定理的逆定理(基础)知识讲解

勾股定理的逆定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1.理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相差别；2.能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形；3.理解勾股数的含义；4.经过探究直角三角形的判断条件的过程，培育着手操作能力和逻辑推理能力.【重点梳理】【高清讲堂勾股定理逆定理知识重点】重点一、勾股定理的逆定理假如三角形的三条边长a，b，c ，知足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.重点解说：（ 1）勾股定理的逆定理的作用是判断某一个三角形是不是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是经过计算来判断一个三角形能否为直角三角形 .重点二、怎样判断一个三角形是不是直角三角形（ 1）第一确立最大边（如 c ）.（ 2）考证c2与a2b2能否拥有相等关系. 若c2a2b2，则△ABC是∠ C＝ 90°的直角三角形；若c2a2b2，则△ABC不是直角三角.形重点解说：当 a2b2c2时，此三角形为钝角三角形；当a2b2c2时，此三角形为锐角三角形，此中 c 为三角形的最大边.重点三、勾股数知足不定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），明显，以 x、y、 z 为三边长的三角形必定是直角三角形.熟习以下勾股数，对解题会很有帮助：①3、 4、 5；② 5、 12、 13；③ 8、 15、 17；④ 7、24、 25；⑤ 9、 40、41假如 a、b、 c 是勾股数，当 t 为正整数时，以 at、bt、 ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 .重点解说：（ 1）n21，2n， n2 1 （ n1, n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（ 2）2n22n, 2n1, 2n22n 1（ n≥ 1，n是自然数）是直角三角形的三条边长；（ 3）m2n2 , m2n2 , 2mn（ m n, m、n 是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】种类一、勾股定理的逆定理1、判断由线段 a ， b ，c 构成的三角形是不是直角三角形．（ 1） a ＝ 7， b ＝ 24， c ＝ 25；（ 2） a ＝ 4 ， b ＝ 1， c ＝ 3；34（ 3） am 2n 2 ， bm 2 n 2 ， c 2mn ( mn 0 ) ；【思路点拨】判断三条线段可否构成直角三角形，重点是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和能否等于最长线段的平方．假如，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与分析】解：（ 1）∵ a 2b 2 72 242 625 ，c 2 252 625 ，∴a 2b 2c 2 ．∴ 由线段 a ， b ，c 构成的三角形是直角三角形．29 25 ， a 2216 ，（ 2）∵ ab c ， b 2c 2123 1 4416 1639∴ b 2 c 2a 2 ．∴由线段 a ，b ，c 构成的三角形不是直角三角形．（ 3）∵m n 0 ，∴ m 2 n 2 2mn ， m 2n 2 m 2 n 2 ．∵ a 2c 2(m 2 n 2 )2(2mn)2 m 4 2m 2 n 2n 4 4m 2 n 2m 42m 2n 2 n 4 ，b 2 (m 2 n 2 ) 2 m 4 2m 2n 2n 4 ，∴a 2c 2b 2．∴ 由线段 a ，b ，c 构成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的重点是正确地判断哪一条边最大，而后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即第一确立最大边，而后考证c 2 与 a 2 b 2 能否拥有相等关系，再依据结果判断是否为直角三角形．贯通融会：【变式】（ 2015 春?安陆市期中）发现以下几组数据能作为三角形的边：（ 1）8，15，17；（ 2）5，12，13；（3） 12，15，20；（ 4）7，24，25．此中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1 组B.2组C.3 组D.4组【答案】 C.解：①∵ 82+152=172，∴能构成直角三角形；222②∵ 5 +12 =13 ，∴能构成直角三角形；222③12 +15≠20，∴不可以构成直角三角形；222，∴能构成直角三角形．④7+24 =25应选 C．2、（ 2016 春?丰城市期末）如图，已知四边形CD＝ 12， AD＝ 13，求四边形 ABCD的面积．ABCD中，∠ B＝∠ 90°， AB＝ 3， BC＝ 4，【思路点拨】由 AB＝ 3，BC＝ 4，∠ B＝ 90°，应想到连结AC，则在 Rt △ ABC中即可求出△ ABC 的面积，也可求出线段AC的长．因此在△ACD中，已知AC， AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，从而求得这个三角形的面积．【答案与分析】解：连结AC，在△ ABC中，由于∠ B＝ 90°， AB＝ 3，BC＝ 4，因此 AC2AB 2BC 2324291625，因此 AC＝ 5，在△ ACD中， AD＝ 13， DC＝12， AC＝5，因此 DC2AC 25212225144169132AD2，即DC2AC 2AD2．因此△ ACD是直角三角形，且∠ACD＝ 90°．因此S四边形 ABCD S△ABC S△ACD1AB BC 1AC DC1122 51263036．3422【总结升华】相关四边形的问题往常转变为三角形的问题来解，综合观察．此题是勾股定理及逆定理的种类二、勾股定理逆定理的应用3、已知：a, b, c为ABC 的三边且知足a2b2c2338 10a 24b26c ，试判断 ABC 的形状.【答案与分析】解：∵ a 2b 2c 2338 10a 24b 26c∴ a 2 10ab 2 24bc 226c 338 0(a 5) 2(b12)2 (c13)2∴ a5, b 12, c 13， a 2b 2c 2∴△ ABC 是直角三角形 .【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特别三角形，必定要擅长把题目中已知的条件等式进行变形，从而获得三角形的三边关系. 对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等 .贯通融会：【变式】请阅读以下解题过程：已知 a 、b 、 c 为 △ABC 的三边，且知足2 22 2 4 4a c ﹣bc =a ﹣ b ，试判断 △ABC 的形状．解：2 22 24 4第一步 ∵a c ﹣ bc =a ﹣b ，∴c 2（ a 2﹣ b 2）=（ a 2 +b 2）（a 2﹣ b 2），第二步2 2 2，第三步∴c =a +b∴△ ABC 为直角三角形．第四步问：（ 1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_________ ；（ 2）错误的原由是：_________ ；（ 3）此题正确的结论是： _________．【答案】解：（ 1）第三步；（ 2）方程两边同时除以（ a 2﹣b 2）时，没有考虑（ a 2﹣ b 2）的值有可能是 0；（ 3）∵ c 2（ a 2﹣ b 2） =（ a 2+b 2）（ a 2﹣ b 2）222 2 2∴ c =a +b 或 a ﹣ b =022∵ a ﹣b =0∴ a+b=0 或 a ﹣ b=0∵ a+b ≠0222∴ c =a +b 或 a ﹣ b=0222∴ c =a +b 或 a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．4、（ 2015?秦皇岛校级模拟）如图，铁路 MN 和铁路 PQ 在 P 点处交汇，点A 处是第九十四中学， AP=160米，点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，倘若火车行驶时，四周 100 米之内会遇到噪音影响．（ 1）火车在铁路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校能否会遇到影响？请说明原由．（ 2）假如遇到影响，已知火车的速度是180 千米 / 时那么学校遇到影响的时间是多久？【思路点拨】（1）过点 A 作 AE⊥MN于点 E，由点 A 到铁路 MN的距离为 80 米可知 AE=80m，再由火车行驶时，四周 100 米之内会遇到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点 A 为圆心， 100 米为半径画圆，交直线 MN于 BC两点，连结 AB、AC，则 AB=AC=100m，在 Rt △ ABE中利用勾股定理求出 BE的长，从而可得出 BC的长，依据火车的速度是 180 千米/时求出火车经过 BC是所用的时间即可．【答案与分析】解：（ 1）会遇到影响．过点 A 作 AE⊥ MN于点 E，∵点 A 到铁路 MN的距离为80 米，∴AE=80m，∵四周 100 米之内会遇到噪音影响，80＜100，∴学校会遇到影响；（2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN于 BC两点，连结 AB、AC，则 AB=AC=100m，在 Rt△ ABE中，∵AB=100m， AE=80m，∴ BE===60m，∴BC=2BE=120m，∵火车的速度是180 千米 / 时 =50m/s，∴ t===2.4s ．答：学校遇到影响的时间是 2.4 秒．【总结升华】题观察的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要依据题意作出协助线，结构出直角三角形，再利用勾股定理求解．。

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