2014届高三一轮数学(理)复习第39讲简单的线性规划问题

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高三一轮复习线性规划教案

教学内容二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式是______．2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧． 2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[练一练](2014·南京一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．解析：作出可行域，如图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(－1,1)时，z 取得最小值－1. 答案：－1考点一二元一次不等式(组)表示平面区域1.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≥0，y ≤x －1所确定的平面区域的面积等于________.2．(2014·苏锡常镇调研)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，0＜x ≤3，y ＞1x所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为________．3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．[类题通法]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．考点二求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一求线性目标函数的最值1．(1)(2014·徐州摸底)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是________．的最大值是113，则实数k ＝________.(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．[类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．考点三线性规划的实际应用[典例] 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．[类题通法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．[课堂练通考点]1．(2014·扬州期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，则z ＝2x －y 的最大值是________．OA·OP的最大值。

2014届高三数学复习简单线性规划20130908

域的公共部分.
2.线性规划
线性目标函数在线性约束条件下，最值问题的讨论.
基本概念名称线性约束条件目标函数意义由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x、y的约束条件关于x、y的解析式，如：z=2x+y，z=x2+y2等
Байду номын сангаас
线性目标函数
可行解
关于x、y的一次解析式
满足线性约束条件x、y的解(x，y)叫做可行解
第二课时简单的线性规划
1.一元二次不等式表示平面区域在直角坐标系中，Ax+By+C=0将平面分成三部分.直线上的点满足Ax+By+C=0 ，当B=0时，直接从坐标系上看出范围，当B≠0时，满足B(Ax+By+C)＞0表示直线上方的区域，满足B(Ax+By+C)＜0表示直线下方的区域.口诀是：同号在上，异号
在下.或采用“以线定界，以点定域”的原则.
判别不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C＜0)表示的平面区域时，只要在直线 Ax+By+C=0的一侧任取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满
足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示
这个点所在区域的另一侧平面区域. 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区
可行域
最优解线性规划问题
所有可行解组成的集合叫做可行域
使目标函数达到最大值或最小值的可行解求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
解线性规划的问题，一般用图解法，其步骤如下： (1)设出变量x、y； (2)找出约束条件，找出线性目标函数； (3)画出可行域； (4)利用线性目标函数作平行直线系； (5)求出最值，还原成实际问题的解.

高三数学简单的线性规划问题2

简单的线性规划问题（2）【三维目标】：一、知识与技能1.巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；2.会用画网格的方法求解整数线性规划问题．3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力二、过程与方法引导学生如何使用网格法三、情感、态度与价值观1.培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新【教学重点与难点】：重点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．难点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．【学法与教学用具】：1. 学法：学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。

可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞2.教学方法：讲授法，多媒体直观教学3.教学用具：直角板、投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？2.当,x y 满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 设,,x y z 满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值。

解：由1x y z ++=知1z x y =--+，代入不等式组消去z 得210101y x x y -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，代入目标函数得224u x y =-++，作直线0l ：0x y -+=，作一组平行线l ：x y u -+=平行于0l ，由图象知，当l 往0l 左上方移动时，u 随之增大，当l 往0l 右下方移动时，u 随之减小，所以，当l 经过(0,1)B 时，max 202146u =-⨯+⨯+=，当l 经过(1,1)A 时，min 212144u =-⨯+⨯+=，所以，max 6u =，min 4u =．Axy OB1 1例2 已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ， 1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3，当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有相应整数值，即先固定x ，再用x 制约y ．例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A 型车320元，B 型车为504元．试ABCx y O1l 3l2l为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．解：设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，则约束条件为*10463101800804,x y x y x y x y N⎧+≤⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，即*1045300804,x y x y x y x y N⎧+≤⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，目标函数为320504z x y =+．作出可行域（图略，见课本第80页图3-3-11），当直线320504z x y =+经过直线4530x y +=与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．但(7.5,0)不是整点．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是3205042560x y +=，经过的整点是(8,0)，它是最优解．因此，公司每天调出A 型车8辆时，花费成本最低．四、巩固深化，反馈矫正1.设,,x y z 满足约束条件组1320102x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求364F x y z =++的最大值和最小值；五、归纳整理，整体认识 1.本节课主要内容：（1）巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；（2）用画网格的方法求解整数线性规划问题。

高考数学一轮复习简单的线性规划问题(课堂PPT)

z=400x+300y.画出可行域(如图)，
由图可知当直线z=400x+300y经过
点A(4,2)时，z取最小值，最小值
为zmin=2 200，故选B.
2x y 0,
5.不等式组
x
3,
表示的平面区域的面积为______.
y 0
【解析】该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，其面积等于 1 3 6 9.
(D)10
行域如图所示：易得A(1，1)，OA＝ 2， B(2，2)，OB 2C2(， 1，3)， OC 10，故|OP|的最大值为 1 0即， x2+y2的最大值等于10，故选D.
4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和
8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗
xa
1.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内，则m的
取值范围是( )
(A)m≥1
(B)m≤1
(C)m<1
(D)m>1
【解析】选D.依题意有2m+3-5>0，解得m>1.
x y 0，
2.若x,y满足约束条件
x
y
4
0，则z=3x-y的最小值是(
)
0 x 4，
(A)-2
(2)二元一次不等式所表示的平面区域可用_特__殊__点__法__进行验证，任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式.若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.通常情况下，只要原点不在直线上，就可以选择原点作为特殊点进行检验.
3.线性规划的有关概念
不等式(组) 不等式(组)

高考数学一轮复习简单的线性规划问题解析精品PPT课件

【解析】选D.画出不等式组对应的可
(D)10
行域如图所示：易得A(1，1)，OA＝ 2， B(2，2)，OB 2C2(，1，3)， OC 10，故|OP|的最大值为 10即，x2+y2的最大值等于10，故选D.
4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和
8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗
在线性约束条件下求线性目标函数的_______或
线性规划问题 _最___大__值_问题最小值
4.解线性规划问题的一般步骤 (1)在平面直角坐标系中画出_可__行__域__. (2)分析_目__标__函__数__的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定_最__优__解__. (4)求出_最__值__或__范__围__. 5.常见的三种目标函数 (1)z=ax+by. (2)z=(x-a)2+(y-b)2. (3) z y b .
形状并求其面积.
(2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数y=2x
的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m的值.
【规范解答】(1)选B.画出平面可行区域，可知该区域是一个等腰直角三角形，且
AB BC 2 2， S 1 2 2 2 2 4.
2
(2)选B．如图，
当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时，即三条曲线有唯一公共点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线 x+y-3=0上，由选项知，m的最大值为1．
名称
意义
约束条件
由变量x,y组成的____不___等__式__ (组)
线性约束条件目标函数
由x,y的一次不等式(或方程)组成的

第39讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第39讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题夯实基础【p 89】【学习目标】会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【基础检测】1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋1≥0所表示的平面区域是( )【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋1≥0所表示的平面区域在直线x ＝1的左边，在直线y ＝x ＋1的右下方，故选A.【答案】A2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．22【解析】因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0，1)，B (1，0)，C (2，3)，故|AB|＝2，|AC|＝22，其面积为12×|AB|×|AC|＝2.【答案】C3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】如图所示，当直线l ：y ＝－x ＋z 过C (4，2)时，x ＋y 有最大值，最大值为6.【答案】64．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元．【解析】设每天安排生产x 个遥控小车模型，y 个遥控飞机模型，则生产(30－x －y )个遥控火车模型，依题意得，实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋12y ＋8（30－x －y ）≤320，30－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝160x ＋180y ＋120(30－x －y )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤40，x ＋y ≤30，x ≥0，y ≥0，z ＝40x ＋60y ＋3 600，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤40，x ＋y ≤30，x ≥0，y ≥0，表示的可行域(如图所示)：作直线l 0：y ＝－23x －60，将直线l 0向右上方平移过点P 时，直线在y 轴上的截距最大，由⎩⎨⎧x ＋2y ＝40，x ＋y ＝30，得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝10，所以P (20，10)，此时z max ＝40×20＋60×10＋3 600＝5 000(元)．【答案】5 000 【知识要点】 1．基本概念(1)二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是__1__的不等式称为二元一次不等式．(2)二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． (3)二元一次不等式(组)的解集：满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成的有序数对(x ，y)，所有这样的有序数对(x ，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．2．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中，平面内的所有点都被直线Ax ＋By ＋C ＝0分成三类：第一类：在直线Ax ＋By ＋C ＝0上的点；第二类：在直线Ax ＋By ＋C ＝0上方区域内的点；第三类：在直线Ax ＋By ＋C ＝0下方区域内的点．Ax ＋By ＋C ＞0(＜0)：表示直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线l 应画成__虚线__．Ax ＋By ＋C ≥0(≤0)：表示直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0某一侧含边界直线上的所有点组成的平面区域，直线l 应画成__实线__．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y)代入Ax ＋By ＋C ，所得符号都相同，因此只需在直线Ax ＋By ＋C ＝0的同一侧取某个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号就可以断定Ax ＋By ＋C>0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的__交集__．3．线性规划中的基本概念(1)约束条件：由x ，y 的不等式(或方程)组成的不等式组．(2)线性约束条件：由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组． (3)目标函数：__关于x ，y 的函数的解析式__，如z ＝2x ＋6y 等． (4)线性目标函数：关于x ，y 的一次解析式． (5)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y)． (6)可行域：所有可行解组成的集合．(7)最优解：使目标函数取得__最大值或最小值__的可行解．(8)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为__线性规划问题__．4．常见简单的二元线性规划实际问题一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．解线性规划问题的一般步骤：审题、设元——__列出约束条件__(通常为不等式组)——建立__目标函数__——作出__可行域__——求__最优解__．典例剖析【p 90】考点1 平面区域的确定与应用例1(1)变量x ，y 满足⎩⎨⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】直线kx －y ＋2＝0过定点(0，2)，作可行域如图所示(阴影部分)，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18＝0，2x －y ＝0得B (2，4)．当定点(0，2)和B 点连接时，斜率最大，此时k ＝4－22－0＝1，则k 的最大值为1. 故选A. 【答案】A(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y>0，3x ＋y<3，x ＋y>a表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫34，＋∞B.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，34 D.⎝⎛⎭⎫－∞，32 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y>0，3x ＋y<3表示的平面区域如图：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3解得x ＝y ＝34，即A ⎝⎛⎭⎫34，34，由图可知，a ＜34＋34＝32.故实数a 的取值范围是a ＜32.故选D. 【答案】D【小结】利用几何意义求解的平面区域问题，应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．考点2 简单线性与非线性规划问题例2若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，3x －y ≤6，x －y ≥0，求：(1)z ＝x －2y ＋3的最大值；(2)z ＝y ＋2x ＋3的取值范围；(3)z ＝x 2＋y 2－2x －y ＋1的取值范围．【解析】作出可行域，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0即A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1即B (1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝6，x －y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3即C (3，3)． (1)由图可知z ＝x －2y ＋3在点A (2，0)处取得最大值，z max ＝5.(2)z ＝y ＋2x ＋3可看作(x ，y )与(－3，－2)连线的斜率的取值范围，在点A (2，0)，C (3，3)处取得最优解，z min ＝0＋22＋3＝25，z max ＝3＋23＋3＝56.所以z ∈⎣⎡⎦⎤25，56.(3)z ＝x 2＋y 2－2x －y ＋1＝(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122－14，(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122可看作点(x ，y )与点⎝⎛⎭⎫1，12距离的平方，由图可知d min ＝⎪⎪⎪⎪1＋12－22＝122.所以z min ＝d 2min －14＝18－14＝－18. 在点C (3，3)处取得最大值，z max ＝(3－1)2＋⎝⎛⎭⎫3－122－14＝10.所以z ∈⎣⎡⎦⎤－18，10. 【小结】(1)求线性目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0.将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．(2)求非线性目标函数的最大值或最小值，充分理解目标函数并将目标函数赋予几何意义，如截距、点到直线的距离、过已知点的直线斜率等是本例求解的关键和切入点．考点3 含参数的简单线性规划问题例3(1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，若z ＝kx ＋y 的最大值为13，则实数k ＝( )A ．2 B.132 C.94D ．5【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，3)，B (2，0)，C (4，4)，当－k>0时，2k ＋3＝13，k ＝5(舍)；或4k ＋4＝13，k ＝94(舍)，当－k<0时，4k ＋4＝13，k ＝94，选C.【答案】C(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x －2y －4≤0，2x －y ＋4≥0，若z ＝ax －y 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( )A ．－1B ．2 C.12D ．2或－1【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示．由z ＝ax －y 得y ＝ax －z ，即直线的截距最小，z 最大．若a ＝0，此时y ＝－z ，此时，目标函数只在B 处取得最大值，不满足条件；若a>0，目标函数y ＝ax －z 的斜率k ＝a>0，要使z ＝ax －y 取得最大值的最优解不唯一，则直线y ＝ax －z 与直线x －2y －4＝0平行，此时a ＝12；若a<0，不满足，故选C.【答案】C【小结】解决含参数的线性规划问题，要对以下问题高度关注： (1)解题时要看清题目，不能忽视或漏掉参数的范围．(2)对于题目中最值条件的确定至关重要，且不能计算出错，如果不能正确解出最值点坐标，那么代入求解就会出错．考点4 线性规划的应用例4(1)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果甲、乙两种产品每吨可获利润分别为3万元、4万元，A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 吨，利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为 z ＝3x ＋4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域，由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z4，平移直线y ＝－34x ＋z 4，由图象可知当直线y ＝－34x ＋z 4经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即B 的坐标为(2，3)，∴z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元．【答案】D(2)小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量，那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．【解析】设买科普书x 本与文具y 套，总数为z ＝x ＋y.由题意可得⎩⎨⎧6x ＋10y ≤300，x ≤y （x ，y ∈N ），作出可行域如图中阴影部分所示，将z ＝x ＋y 化为y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x 并平移，使之经过可行域，易知经过点A ⎝⎛⎭⎫754，754时，纵截距最大，但因x ，y 均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z 最大为37.【答案】37【小结】解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．【能力提升】例5某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP【解析】(1)依题意得⎩⎨甲乙1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎨⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y. 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l 0：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，此时z 取得最大值．解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2，3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5. 所以，当x ＝2，y ＝3时，z 取最大值为2.5.方法总结【p 91】1．二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法二元一次不等式(组)表示的平面区域，有三种方法判定：第一种：若用y)第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括．2．线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下： ①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；②移：由z ＝ax ＋by 变形为y ＝－a b x ＋z b ，所求z 的最值可以看成是求直线y ＝－a b x ＋zb在y 轴上的截距的最值(其中a ，b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化)，将直线ax ＋by ＝0平移，在可行域中观察使zb最大(或最小)时所经过的点；③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值； ④答：写出最后结论．(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得．(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解．走进高考【p 91】1．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x ＋2y ＝0并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点B(2，0)时，直线z ＝3x ＋2y 在y 轴上的截距最大，z 取最大值，即当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0时，z max ＝3×2＋0＝6.【答案】6 2．(2018·北京)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是__________．【解析】解法一：由x ＋1≤y ≤2x 作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝2y －x ，易知z ＝2y －x 在点A(1，2)处取得最小值，最小值为3.解法二：由题意知：⎩⎨⎧x －y ≤－1，2x －y ≥0，则2y －x ＝－3(x －y)＋(2x －y)≥3，所以2y －x 的最小值为3.【答案】3。

2014届高考一轮复习数学7.3简单的线性规划问题

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确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧, 否则就表示直线的另一侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点,当 C=0 时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.
.目标函数可视为可行域内的点与原点连线的斜率. =
��0 ��·e ��
��
下面求曲线
��0 e �� ,可得
�� b=c·e �� 过原点的切线,b'=e �� ,设切点为(a0,b0),则有 0 ��0
)
B.(-2,0) D.(2,0) �� + ��-1 < 0, 所表示的平面区域,如图所示. ��-�� + 1 > 0
由图可知点(0,-2)在此平面区域内.
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3.如图所示的平面区域(阴影部分),用不等式表示为(
)
A.2x-y-3<0 B.2x-y-3>0 C.2x-y-3≤0 D.2x-y-3≥0 【答案】B 【解析】将原点(0,0)代入 2x-y-3 得 2×0-0-3=-3<0, 所以不等式为 2x-y-3>0.
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1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C 所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的符号即可判断 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

【高考四元聚焦】高三一轮数学(理)复习第39讲简单的线性规划问题

18
【拓展演练 2】 (1)(2013·太原市模拟 ) 若实数 x ， y 满足不等式组
x＋y≥2
2x－y≤4 ，则 z＝2x＋3y 的最小值是
.
x－y≥0
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(2)(2012·河南省豫北六校第三次精英联考)实数 x，y 满足
x≥1 不等式组y≥0
x－y≥0
，则 W＝y－x 1的取值范围是(
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一平面区域的确定
【例 1】在坐标平面上，不等式组yy≥≤x－－31|x|＋1 所表
示的平面区域的面积为( )
3
A. 2
B.2
32 C. 2
D．2
12
解析：在平面直角坐标系中，作出不等式组所表示的平面区域，如图中的阴影部分，可求得 A(12，－12)，
B(－1，－2)，C(0,1)，D(0，－1)．所以 S△ABC＝S△CDB＋S△CDA ＝12|CD|·|xB|＋12|CD|·|xA| ＝32. 故选 B.
，求：
(1)z＝x＋2y－4 的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(3)z＝2xy＋＋11的取值范围．
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解析：作出可行域，如图所示．
并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
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(1)易知可行域各点均在直线 x＋2y－4＝0 的上方，故 x ＋2y－4>0，将 C(7,9)代入 z＝x＋2y－4，得 zmax＝21.
x－y＝0 的斜率，即有－1≤W＜1，故选 A.
22
三简单线性规划的实际应用
【例 3】某工厂生产一种产品，其成本为 27 元/kg，售价为 50 元/kg.生产中，每千克产品产生 0.3 m3 的污水，污水有两种排放方式：

高考数学第1轮总复习第39讲简单的线性规划问题课件理 (广东专版)

所以三角形的面积 S＝12×2×2＝2.
二简单线性规划问题
x－y＋2≥0 【例 2】已知x＋y－4≥0
2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x＋2y－4 的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(3)z＝2xy＋＋11的范围．
【解析】作出可行域，如图所示．
并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)． (1)易知可行域各点均在直线 x＋2y－4＝0 的上方，故 x＋2y－4>0，将 C(7,9)代入 z＝x＋2y－4，得 zmax＝21.
方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有 85%，污水处理站最大处理能力是 0.9 m3/h，处理污水的成本是 5 元/m3；
另外，环保部门对河流的污水收费标准是 17.6 元 /m3，且允许该厂排入河流中污水的最大量是 0.225 m3/h，那么，该厂应选择怎么样的生产与排污方案，可使其每小时净收益最大？
线性规划问题一般用图解法,其步骤如下：
(1)根据题意，设出变量x、y; (2)找出线性约束条件； (3)确定线性目标函数z=f(x,y); (4)画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
(5)利用线性目标函数作平行直线f(x,y)=t(t 为参数)；
(6)观察图形，找到直线f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
1.不等式 x－2y＋6>0 表示的平面区域在直线 x－2y＋6＝0 的( )
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
【解析】因为 x－2y＋6>0，所以 y<21x＋3. 而 y<21x＋3 表示直线 x－2y＋6＝0 的右下方区域．故选 B.

高考数学一轮复习简单的线性规划问题例析

高考数学一轮复习简单的线性规划问题例析线性规划是运筹学中研究较早、进展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，以下是简单的线性规划问题例析，期望考生能够牢记。

简单的线性规划问题是高考的热点之一，是历年高考的必考内容，要紧以填空题的形式考查最优解的最值类问题的求解，高考的命题要紧围绕以下几个方面：(1) 常规的线性规划问题，即求在线性约束条件下的最值问题;(2) 与函数、平面向量等知识结合的最值类问题;(3) 求在非线性约束条件下的最值问题;(4) 考查线性规划问题在解决实际生活、生产实际中的应用.而其中的第(2)(3)(4)点往往是命题的创新点。

【例1】设函数f()=?3?sin?+??cos?，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边通过点?P(x,y)?，且0?。

(1) 若点P的坐标为12,32，求f()的值;(2) 若点P(x,y)为平面区域：x+y1,y1。

上的一个动点，试确定角的取值范畴，并求函数f()的最小值和最大值。

分析第(1)问只需要运用三角函数的定义即可;第(2)问中只要先画出平面区域，再依照抽画出的平面区域确定角的取值范畴，进而转化为求f()=a? sin?+b?cos?型函数的最值。

解(1) 由点P的坐标和三角函数的定义可得?sin?=32，?cos?=12。

因此f()=3?sin?+??cos?=?332+12=2。

(2) 作出平面区域(即三角形区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，? C(0,1)?.因此0?2,又f()=3?sin?+?cos?=2?sin?+??6，且?+2??3，故当+??2，即=??3时，f()取得最大值，且最大值等于2;当+??6，即=0时，f()取得最小值，且最小值等于1。

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。

【赢在课堂】2014届高考数学一轮复习7.3《简单的线性规划问题理》新人教A版

第3讲简单的线性规划问题基础巩固1.(2012·浙江高三调研测试)若实数x,y满足不等式组则x+y的最小值是( )A. B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,令z=x+y,则y=-x+z,平移直线y=-x,易得当平移后的直线经过点A(2,1)(该点是直线x+2y-4=0与2x-y-3=0的交点)时,z取得最小值,最小值是2+1=3,因此选B.2.已知x,y满足则使目标函数z=4x+y-10取得最小值的最优解有( )A.1个B.2个C.3个D.无数多个【答案】D【解析】画出可行域如图,作直线l0:4x+y=0.由z=4x+y-10得y=-4x+z+10,所以求z的最小值,即求直线y=-4x+z+10在y轴上截距的最小值,因为将l0向右上方平移到与4x+y-4=0重合时z 最小,故最优解有无数多个,故选D.3.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )【答案】C【解析】(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇔结合图形可知选C.4.(2013届·安徽阜阳月考)P(2,t)在不等式组表示的平面区域内,则点P(2,t)到直线3x+4y+10=0距离的最大值为( )A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】如图所示,结合图形可知点A(2,1)到已知直线的距离最大,则最大值为=4.5.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意作出线性约束条件的可行域如下图,由图可知可行域为△ABC的边界及内部,y=kx+恰过点A,y=kx+将区域平均分成面积相等的两部分,故过BC的中点D,即=k×,k=.6.满足条件的可行域中共有整点的个数为( )A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】画出可行域,由可行域知有4个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).7.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )A.-1B.-1C.2-1D.-1【答案】A【解析】由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的距离的最小值为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去圆的半径1,由图可知|PQ|min=-1=-1.8.若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.【答案】【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,直线x+y=a扫过的区域为四边形AOBC.∴S四边形AOBC=S△AOD-S△CBD=×2×2-.9.(2012·湖北卷,14)若变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值是. 【答案】2【解析】作出可行域如图所示,由l0:y=-x平移知过点A(1,0)时,目标函数取到最小值,代入可得z=2.10.不等式组所确定的平面区域记为D.点(x,y)是区域D内的点,若圆O:x2+y2=r2上的所有点都在区域D内,则圆O的面积的最大值是.【答案】【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中离原点最近的距离为,故r 的最大值为,所以圆O的面积的最大值是.11.由约束条件所确定的平面区域的面积S=f(t),试求f(t)的表达式.【解】由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP,如图中阴影部分所示,其面积S=f(t)=S△OPD-S△AOB-S△ECD,而S△OPD=×1×2=1,S△OAB=t2,S△ECD=(1-t)2,所以S=f(t)=1-t2-(1-t)2=-t2+t+.12.变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.【解】由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)∵z=,∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min=|OC|=,d max=|OB|=.故2≤z≤29.13.若x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.【解】(1)可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线x-y=0,过点A(3,4)时,z取最小值-2,过点C(1,0)时,z取最大值1.故z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,即-4<a<2.拓展延伸14.(2012·山东泰安模拟)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?【解】方法一:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z 元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是z A=2.5×9+4×0=22.5,z B=2.5×4+4×3=22,z C=2.5×2+4×5=25,z D=2. 5×0+4×8=32.比较可知,z B最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.方法二:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z 元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.因此,应该为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.。

高中数学一轮复习第3讲简单的线性规划问题试题(共14页)

第3讲简单(jiǎndān)的线性规划问题随堂演练稳固1.如图,表示图中阴影局部的二元一次不等式组是… ( )A. B.C. D.【答案】 C2.在平面直角坐标系xOy中,平面区域A={(x,y)|且},那么平面区域B={(x+y,x-y)|}的面积为( )B.1C.D.【答案】 B【解析】令那么∵∴作出此不等式组表示的平面(píngmiàn)区域如图中阴影局部所示,是等腰直角三角形,可求出其面积选B.3.假设实数x,y满足不等式组那么3x+4y的最小值是( )B.15D.28【答案】 A【解析】由题意得x,y所满足的区域如下图:令u=3x+4y,那么(nà me)先作:如下图,将l平行挪动至过点B时,u获得最小值,联立解得∴.4.变量x,y满足约束条件那么的取值范围是( ) A.B.C.D.(3,6]【答案】 A【解析】作出可行域(如图中阴影局部所示).yx可看作可行域内的点与原点连线的斜率,由图易得yx 的取值范围为9[6]5,.5.不等式组所确定(quèdìng)的平面区域记为D.点(x,y)是区域D内的点,假设圆O:上的所有点都在区域D内,那么圆O的面积的最大值是. 【答案】【解析】画出不等式组2020220x yx yx y-+≥,⎧⎪++≥,⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域如图中阴影局部所示,其中离原点最近的间隔为故r25所以圆O的面积的最大值是45π. 课后作业夯基根底稳固1.设变量x,y满足约束条件那么目的函数z=5x+y的最大值为( )B.3D.5【答案】 D【解析】如图,由z=5x+y,得y=-5x+z,目的函数在点(1,0)处取最大值,即.2.x,y满足(mǎnzú) 那么使目的函数z=4x+y-10获得最小值的最优解有( )B.2个D.无数多个【答案】 D【解析】画出可行域如图,l z=4x+y-10得y=-4x+z+10,作直线所以求z的最小值,即求直线y=-4x+z+10在y轴上截距的最小值,l向右上方平移到与4x+y-4=0重合时z最小,故最优解有无数多个,应选D. 因为将3.设变量x,y满足那么x+2y的最大值和最小值分别为( )A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1【答案(dá àn)】 B【解析】由线性约束条件画出可行域如图中阴影局部所示.设z=x+2y,那么l:平移可知过A点时z取最大值0+作出直线过B点时z取最小值.4.设z=x+y,其中x,y满足假设z的最大值为6,那么z的最小值为( )B.-3D.-5【答案】 B【解析】由线性约束条件画出可行域如图,由题意(tí yì)知当y=-x+z过点A(k,k)时k=3,z=x+y在点B处获得最小值,B 点在直线x+2y=0上,那么 B(-6,3),∴.5.假设不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两局部,那么k的值是( )A. B.C.43 D.【答案】 A【解析】由题意做出线性约束条件的可行域如下列图,由图可知可行域为△ABC的边界及内部,y=kx+43恰过点将区域平均分成面积相等的两局部,故过BC的中点即.6.满足条件的可行域中一共(yīgòng)有整点的个数为 ( )B.4D.6【答案】 B【解析】画出可行域,由可行域知有4个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).7.假如点P在平面区域上,点Q在曲线上,那么|PQ|的最小值为( )A.B.C.D.【答案】 A【解析】由图可知不等式组确定的区域(qūyù)为阴影局部(包括边界),点P到点Q的间隔的最小值为点(-1,0)到点(0,-2)的间隔减去圆的半径1,由图可知|PQ|.8.不等式(x-2y+1)在坐标平面内表示的区域(用阴影局部表示)应是( )【答案】 C【解析】 (x-2y+1)(3)0x y +-≤或者结合图形可知选C.9.设D 是由所确定的平面区域,记D 被夹在直线x=-1和间的局部的面积为S,那么函数S =f(t)的大致图象为( )【答案(dá àn)】 B 【解析】如图,由不等式组画出平面区域,根据题意,由函数S=f(t)的单调递增情况易选出答案B.10.假设A为不等式组表示的平面区域,那么当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那局部区域的面积为 .【答案】【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示,直线(zhíxiàn)x+y=a扫过的区域为四边形AOBC.∵.11.实数x,y满足那么的最小值为 .【答案】1 2【解析】实数x,y满足的可行域如图中阴影局部所示,那么z的最小值为原点到直线AB的间隔的平方,故.12.由约束条件所确定的平面区域的面积S=f(t),试求f(t)的表达式. 【解】由约束条件所确定(quèdìng)的平面区域是五边形ABCEP,如图中阴影局部所示,其面积而.所以.13.x,y满足条件求:(1)4x-3y的最大值和最小值;的最大值和最小值;的最大值和最小值.【解】原不等式组表示的平面区域如下图,其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).〔1〕设z=4x-3y,那么(nà me)就是斜率为43的直线在y轴上截距的-3倍,作一组斜率为43的平行线,当它扫过可行域时,由图可知,当它经过C点时z值最小,当它经过B点时z值最大..(2)设那么u就是点(x,y)与原点间隔的平方,由图可知,B点到原点的间隔最大.而当(x,y)在原点时,间隔为0,所以.〔3〕设那么k就是点(x,y)与P(5,-8)连线的斜率,由图可知,AP连线斜率最小,BP连线斜率最大.所以.拓展延伸14.假设x,y满足约束条件(1)求目的函数的最值;(2)假设(jiǎshè)目的函数z=ax+2y仅在点(1,0)处获得最小值,求a的取值范围. 【解】 (1)可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线过点A(3,4)时,z取最小值-2,过点C(1,0)时,z取最大值1. ∴z的最大值为1,最小值为-2.〔2〕直线ax+2y=z仅在点(1,0)处获得最小值,由图象可知即-4<a<2.内容总结（1）第3讲简单的线性规划问题随堂演练稳固1.如图,表示图中阴影局部的二元一次不等式组是。