基于高阶统计量的DOA估计

基于高阶统计量的DOA估计

1．引言

高阶统计量是指大于二阶统计量的高阶矩、高阶累积量以及它们的谱——高阶矩谱额高阶累积量谱这四种主要统计量。高阶矩或高阶累积量是指阶数大于二的矩或累积量，高阶矩谱和高阶累积量谱是指相应的高阶矩或高阶累积量的多维傅里叶变换。

非因果、非最小相位系统和非高斯信号的主要数学分析工具是高阶统计量。虽然在上世纪六十年代数学、统计学、流体动力学、信号处理和其他领域的研究人员就开始了对高阶统计量的研究，但真正的研究高潮是在上世纪八十年代后才形成的。经过短短几年的发展，高阶统计量方法已在雷达、声纳、通信、海洋学、天文学、电磁学、等离子体、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、振动分析、流体力学等领域获得了大量的应用。尤其值得指出的是，高阶统计量理论的进展还带动了高阶循环统计量理论的诞生与发展，使得循环平稳信号分析与处理这一新领域得以问世。

在信号处理和系统理论等领域使用高阶统计量的主要动机与出发点可以归结为：

（1）抑制加性有色噪声的影响；

（2）辨识非因果、非最小相位系统或重构非最小相位信号；

（3）抽取由于高斯偏离引起的各种信息；

（4）检测和表征信号中的非线性以及辨识非线性系统；

（5）检测和表征信号中的循环平稳性以及分析和处理循环平稳信号。

高阶统计量不仅可以自动抑制高斯有色噪声的影响，而且也能够抑制对称分布噪声的影响；高阶循环统计量则能自动抑制任何平稳（高斯与非高斯）噪声的影响。高阶统计量之所以能够大大超越功率谱和相关函数，道理很简单：高阶统计量包含了二阶统计量没有的大量信息。可以毫不夸张的说，凡是使用功率谱或相关函数进行过分析与处理，而又未得到满意结果的任何问题都值得用高阶统计量方法重新一试。

2. 渐进最小方差算法DOA估计

MUSIC类算法已知在多个高斯源的情况下是渐进无效的。最大似然估计虽然需要相当多的计算，但能够改进估计性能。在非高斯情况下，最大似然估计取决于源信号的概率分布，

它可能非常难实现。对于非高斯信号，下面介绍的渐进最小方差算法介于MUSIC 类算法和最大似然方法之间。

假定我们收集到列向量ξ 的一组累积量()1212ˆ,,,c

k k l l 。令ˆθ是θ的估计，它是ξ的函数，例如()ˆf θ

ξ=。为了使这一估计是一致的，条件

()f θξ=

(1)

的满足是必要的，但不是充分的。换言之，在估计方法中代入真实的累积量值，必定给出参数向量θ的真实值。如果对()f ∙ 加上某些规范条件，那么条件(1)也是一致性的充分条件。于是，可以证明，存在一个估计()ˆopt

f θξ=，它渐进地（即当观测个数趋于无穷大时）达到在上述一类估计子中的最小可能的方差。下面考察复随机过程情况下的渐进最小方差估计。

令()1θ∑和()2θ∑为复值矩阵：

()(

)()1ˆˆH

E θξξξξ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦

∑

(2)

()()(

)2ˆˆT

E θξξξξ⎡⎤=--⎢⎥

⎣

⎦

∑ (3)

这两个矩阵取决于观测值的统计性能，而这些统计性能又取决于θ。对于任一复值向量或矩阵X ，令R X 和I X 分别代表实部和虚部，记

ˆˆ,ˆR R I I ξξη

ηξξ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

(4)

()1,2,2,I 1,I

32,I 1,I

1,2,R R

R

R

E θ⎡⎤

+-⎢

⎥=++⎢⎥⎣⎦

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

(5)

定义代价函数

()()()()1

3

1

ˆˆ2T V θηθηθηθη-=

--⎡⎤⎡⎤⎣

⎦⎣⎦∑

(6)

并令ˆθ是()V θ具有总体最小值时的θ值，则ˆθ是上述意义上的渐进最小方差估计。ˆθ的归一化渐进方差为：

{}

()1

13

ˆlim var T

T

N N ηηθθθθ--→∞⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫

=⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭

⎢⎥⎣

⎦

∑

(7)

以上结果只是在理论上有重要意义，然而基于式(6)的总体最小化的估计并不能得到实

用的算法，因为其中作为θ的函数的矩阵()3θ∑的计算是及其复杂的。假定可以用样本矩阵1ˆξ和2

ˆ∑（它们可以直接根据观测值计算）来估计矩阵1∑和2∑，则我们就可以构造矩阵

1,2,2,I 1,I

32,I 1,I 1,2,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆR R R R ⎡⎤∑+∑∑-∑∑=⎢

⎥∑+∑∑+∑⎢⎥⎣⎦

(8)

最后，我们构造修正的代价函数

()()()()131ˆˆˆˆ2

T

V θηθηθηθη-=-∑-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (9)

并令ˆθ是()ˆV θ的总体最小化结果，业已证明，若1ˆ∑和2ˆ∑分别是()1

ˆθ∑和()2ˆθ∑的一致估计，则估计子ˆθ也是渐进最小方差的，即其渐进方差由式(7)给出。

3. 仿真验证

假设波达方向分别在10,30和38°，无加性噪声及信噪比为10dB 时的仿真结果如图1

01020

svals of c2

-100-50050100

-400-2000p i s a

r

-100-50050100-200-1000e i

g

-100-50050100

-200-1000m u s i

c

-100-50

50

100

-200-1000m

l

-100-50050100

-400-2000a

r

-100

-50

50

100

-400-2000

m i

n

-100

-50

50

100

-40-200b e a m

图1

01020

svals of c2

-100-50050100

-100-500p i s a

r

-100-50

50

100

-40-200e i

g

-100-50

50

100

-40-200m u s i

c

-100-50

50

100

-40-200

m

l

-100-50

50

100

-100-500a

r

-100

-50

50

100

-100-500

m i

n

-100

-50

50

100

-40-200

b e a m

图2