四川省资阳市简阳市2016-2017学年高一下学期期末数学试卷(理科)(word版含答案)

2016-2017学年四川省资阳市简阳市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．2．已知{a n}为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为（）A．B．﹣C．D．3．若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．54．设α，β为锐角，且sin α=，cos β=，则α+β的值为（）A．πB．πC．D．5．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知cos α=，α∈（），则cos等于（）A．B．﹣C．D．﹣7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．两直线3ax﹣y﹣2=0和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（）A．B．C．D．9．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π10．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}满足：a1=1，（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．B． C． D．12．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上．13．已知不等式x2﹣2x+k2﹣1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是．14．在△ABC中，A=60°，b，c是方程x2﹣3x+2=0的两个实根，则边BC上的高为．15．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．16．设数列{a n}，若a n+1=a n+a n+2（n∈N*），则称数列{a n}为“凸数列”，已知数列{b n}为“凸数列”，且b1=2，b2=﹣1，其前n项和为s n，则s2017=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知点A（﹣1，﹣2）和B（﹣3，6），直线l经过点P（1，﹣5）．且与直线AB平行，求直线l的方程（2）求垂直于直线x+3y﹣5=0，且与点P（﹣1，0）的距离是的直线m的方程．18．已知函数（1）求f（x）的最小正周期和最值（2）设α是第一象限角，且，求的值．19．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形DCFE折起，使得平面DCFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求三棱锥D﹣BEF的体积；（3）求直线AF与平面BDF所求的角．20．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若a=b，且BC边上的中线AM长为，求△ABC的面积．21．某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万件）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为（32Q+3）•150%+x•50%，而当年产销量相等．（1）试将年利润P（万件）表示为年广告费x（万元）的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？22．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n=a n﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等+1差数列．（1）证明为等比数列，并求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3（a n+2n），且T n=，证明T n＜1．（3）在（2）小问的条件下，若对任意的n∈N*，不等式b n（1+n）﹣λn（b n+2）﹣6＜0恒成立，试求实数λ的取值范围．2016-2017学年四川省资阳市简阳市高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【考点】71：不等关系与不等式．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．2．已知{a n}为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为（）A．B．﹣C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式得tan（a2a12）=tan（a1a13）=tan，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}为等比数列，且，∴tan（a2a12）=tan（a1a13）=tan=．故选：A．3．若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．5【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故选：C．4．设α，β为锐角，且sin α=，cos β=，则α+β的值为（）A．πB．πC．D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα、sinβ的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值，结合α+β的范围，可得α+β的值．【解答】解：∵α，β为锐角，∴α+β∈（0，π），∵sin α=，cos β=，∴cosα==，sinβ==，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=•﹣•=，故α+β=，故选：C．5．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE 与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．6．已知cos α=，α∈（），则cos等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GW：半角的三角函数．【分析】由题意利用半角的余弦公式，求得cos的值．【解答】解：∵已知cos α=，α∈（），∴∈（，π），则cos=﹣=﹣=﹣，故选：B．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用；LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．8．两直线3ax﹣y﹣2=0和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（）A．B．C．D．【考点】IP：恒过定点的直线．【分析】直线3ax﹣y﹣2=0经过定点A（0，﹣2）．（2a﹣1）x+5ay﹣1=0，化为：a（2x+5y）﹣x﹣1=0，令，解得B．利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线3ax﹣y﹣2=0经过定点A（0，﹣2）．（2a﹣1）x+5ay﹣1=0，化为：a（2x+5y）﹣x﹣1=0，令，解得x=﹣1，y=，即直线（2a﹣1）x+5ay﹣1=0过定点B．则|AB|==．故选：C．9．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为=．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π故选B．10．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．【解答】解：∵C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，AO=CO=AC=；所以：左视图的面积等于S△AOC=CO•AO=××=．故选：C．11．已知数列{a n}满足：a1=1，（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为A．B． C． D．【考点】8H：数列递推式．【分析】由数列{a n}满足：a1=1，（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}满足：a1=1，（n∈N*），两边取倒数可得：=+，即﹣=，∴数列{}是等差数列，公差为，首项为1．∴=1+=．可得：a n=．故选：A．12．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值【解答】解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横13．已知不等式x2﹣2x+k2﹣1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是{k|k＞，或k} ．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由不等式x2﹣2x+k2﹣1＞0对一切实数x恒成立，知△=（﹣2）2﹣4（k2﹣1）＜0，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵不等式x2﹣2x+k2﹣1＞0对一切实数x恒成立，∴△=（﹣2）2﹣4（k2﹣1）＜0，解得k＞，或k．故答案为：{k|k＞，或k}．14．在△ABC中，A=60°，b，c是方程x2﹣3x+2=0的两个实根，则边BC上的高为1．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】解方程x2﹣3x+2=0，得b=1，c=2或b=2，c=1，从而利用正弦定理和余=，a=，设边BC上的高为h，由=，能求弦定理求出S△ABC出结果．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，b，c是方程x2﹣3x+2=0的两个实根，∴解方程x2﹣3x+2=0，得b=1，c=2或b=2，c=1，==，∴S△ABCa===，设边BC上的高为h，则==，解得h=1．故答案为：1．15．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．16．设数列{a n}，若a n+1=a n+a n+2（n∈N*），则称数列{a n}为“凸数列”，已知数列{b n}为“凸数列”，且b1=2，b2=﹣1，其前n项和为s n，则s2017=2．【考点】8H：数列递推式．【分析】由数列{b n}为“凸数列”，b1=2，b2=﹣1，推导出数列{b n}是以6为周期的周期数列，b1+b2+b3+b4+b5+b6=0，由此能求出数列{b n}前2017项和．【解答】解：∵数列{b n}为“凸数列”，∴b n+1=b n+b n+2（n∈N*），∵b1=2，b2=﹣1，∴﹣1=2+b3，解得b3=﹣3，﹣3=﹣1+b4，解得b4=﹣2，﹣2=﹣3+b5，解得b5=1，1=﹣2+b6，解得b6=3，3=1+b7，解得b7=2，2=3+b8，解得b8=﹣1．…∴数列{b n}是以6为周期的周期数列，∵b1+b2+b3+b4+b5+b6=2﹣1﹣3﹣2+1+3=0，2017=6×336+1．∴数列{b n}前2017项和S2017=336×0+b1=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知点A（﹣1，﹣2）和B（﹣3，6），直线l经过点P（1，﹣5）．且与直线AB平行，求直线l的方程（2）求垂直于直线x+3y﹣5=0，且与点P（﹣1，0）的距离是的直线m的方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（1）求出AB的斜率，代入点斜式方程整理即可；（2）求出直线m的斜率，设出直线方程，根据点到直线的距离，求出直线方程即可．【解答】解：（1）∵A（﹣1，﹣2），B（﹣3，6），∴k AB=﹣4，直线l又过点P（1，﹣5），故直线方程是：y+5=﹣4（x﹣1），即直线l的方程为：4x+y+1=0；（2）∵直线x+3y﹣5=0，由已知条件可得k m=3，则设直线m的方程为y=3x+b，又与点P（﹣1，0）的距离是，则，得到b=9或﹣3，∴直线m的方程为3x﹣y+9=0或3x﹣y﹣3=0．18．已知函数（1）求f（x）的最小正周期和最值（2）设α是第一象限角，且，求的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）推导出=，由此能求出函数f（x）的最小正周期是π，最大值和最小值．（2）由，求出，，由此能求出的值．【解答】解：（1）∵，∴…..==…..∴函数f（x）的最小正周期是π，最大值为，最小值为…..（2）∵，则则即…．又α为第一象限的角，则，∴…..==…..19．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形DCFE折起，使得平面DCFE⊥平面ABCD．（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求三棱锥D﹣BEF的体积；（3）求直线AF与平面BDF所求的角．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME，推导出四边形OCEM为平行四边形，从而EM∥AC，由此能证明AC∥平面BEF．（2）推导出BC⊥平面DEF，从而三棱锥D﹣BEF的体积为，由此能求出结果．（3）推导出FD⊥平面ABCD，AC⊥DF，AC⊥平面BDF，连结FO，则AF与平面BDF所成角为∠AFO，由此能求出直线AF与平面BDF所求的角的大小．【解答】证明：（1）如图，取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME．由题设知，CE DF，MO DF，∴CE MO，∴四边形OCEM为平行四边形，∴EM∥CO，即EM∥AC．又AC⊄平面BEF，EM⊂平面BEF，∴AC∥平面BEF…解：（2）∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，∴BC⊥平面DEF．∴三棱锥D﹣BEF的体积为：…（3）∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，又FD⊥CD，∴FD⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DF又在正方形ABCD中，AC⊥BD，BD∩DF=D，∴AC⊥平面BDF，连结FO，∵AF与平面BDF所成角为∠AFO，又AB=AD=DF=2，∴，，∴，∴直线AF与平面BDF所求的角为．…20．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若a=b，且BC边上的中线AM长为，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HQ：正弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用诱导公式化简求出sinA的值，即可确定出A 的度数；（Ⅱ）表示出所证不等式左右两边之差，利用余弦定理及完全平方公式性质化简，判断差的正负即可得证；（Ⅲ）由a=b，得到A=B，求出C的度数，在三角形AMC中，由AM的长与cosC 的值，求出AC的长，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．【解答】解：（Ⅰ）∵bcosC+ccosB=2asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAsinA，即sin（B+C）=2sinAsinA⇔sinA=2sinAsinA，∵sinA＞0，∴sinA=，∵a≤b≤c，∴0＜A≤，∴A=；（Ⅱ）∵a2﹣（2﹣）bc=b2+c2﹣2bccos﹣（2﹣）bc=b2+c2﹣2bc=（b﹣c）2≥0，∴a2≥（2﹣）bc；（Ⅲ）由a=b及（Ⅰ）知A=B=，∴C=，设AC=x，则MC=x，又AM=，在△AMC中，由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2，即x2+（）2﹣2x••cos120°=7，解得：x=2，=x2sin=．则S△ABC21．某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万件）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为（32Q+3）•150%+x•50%，而当年产销量相等．（1）试将年利润P（万件）表示为年广告费x（万元）的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）用年销售额减去广告费用和投入成本得出利润；（2）利用基本不等式求出利润最大值及其对应的x的值．【解答】解：（1）P=（32Q+3）•150%+x•50%﹣（32Q+3）﹣x= [32（）+3]﹣=﹣﹣+（x＞0）．（2）﹣﹣+=﹣（+）+≤﹣2+=．当且仅当时，即x=8时取等号，答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为万元．22．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n=a n﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等+1差数列．（1）证明为等比数列，并求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3（a n+2n），且T n=，证明T n＜1．（3）在（2）小问的条件下，若对任意的n∈N*，不等式b n（1+n）﹣λn（b n+2）﹣6＜0恒成立，试求实数λ的取值范围．【考点】8K：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）令n=1，得a2=2a1+3，令n=2，得a3=6a1+13，再由2（a2+5）=a1+a3，得a1=1，a2=5，推导出，从而能证明是以为首项，为公比的等比数列，进而能求出．（2）推导出，由此利用裂项求和法能证明T n＜1．（3）当b n（1+n）﹣λn（b n+2）﹣6＜0恒成立时，（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0（n∈N*）恒成立，设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6（n∈N*），由此利用λ=1，λ＜1，λ＞1进行分类讨论，能求出实数λ的取值范围．【解答】证明：（1）在中令n=1，得，即a2=2a1+3，①令n=2，得，即a3=6a1+13，②又2（a2+5）=a1+a3，③则由①②③解得a1=1，a2=5…．当n≥2时，由，得到，则又a2=5，则，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，解得…（2）∵，∴，则=，∴T n＜1…解：（3）当b n（1+n）﹣λn（b n+2）﹣6＜0恒成立时，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0（n∈N*）恒成立…设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6（n∈N*），当λ=1时，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1满足条件；当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ＞1时，由于对称轴x=，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．…2017年8月10日。