2.1不等式的基本性质
中职数学教案：不等式的基本性质(全2课时)
教
学
内
容
教
学
内
容
*汇报展示 交流巩固
学生小组讨论活动——举例验证上述不等式的性质.
例3用符号“ ”或“ ”填空，并说出应用了不等式的哪条性质．
（1）设 ， ；
（2）设 ， ；
（3）设 ， ；
（4）设 ， ．
解（1） ，应用不等式性质2；
（2） ，应用不等式性质3；
（3） ，应用不等式性质3；
（5）比较 与 的大小
（6）比较 的大小，其中 .
五小结
板
书
设
计
2.1 不等式的基本性质
一、概念 二、例题 二、习题
教后札记
中等专业学校2023-2024-1教案
编号：
备课组别
数学组
课程名称
数学
所在
年级
一年级
主备
教师
授课教师
授课系部
授Байду номын сангаас班级
授课
日期
课题
§2.1不等式的基本性质
教学
目标
1. 理解不等式的基本性质.
解：（1）
∴ ．
（2） ，∵ ， ，∴ ，所以 ．
说明：不等式 （ ， ）在生活中可以找到原型： 克糖水中有 克糖（ ），若再添加 克糖（ ），则糖水便甜了．（浓度＝ ）
例4已知 比较 与 的大小．
解：
= …………………（*）
①当 时，（*）式 ，所以 ；
②当 时，（*）式 ，所以 ；
③当 时，（*）式 ，所以
（4） ，应用不等式性质2与性质3．
例4已知 ， ，求证 ．
证明因为 ，由不等式的性质3知， ，
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
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6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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谢谢
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
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2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
不等式的基本性质
＝－5＜0
∴（2x－5）（x＋1）＜2x2－3x
亲爱的同学们，下节课见！
第二章 不等式
2.1 不等式的基本性质
1.作差比较法：比较两个实数的大小，可以通过考察它们的差来实现.
对于两个任意的实数a和b，有：a－b＞0⇔a＞b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b＜0⇔a＜b.
2.不等式的性质.
（1）性质1（加法法则）：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
（2）性质2（乘法法则）：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
（
√ ）
2.如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.
（
√ ）
3.如果a＞b，且c＞d，那么ac＞bd.
（
× ）
三、选择题
1.已知a＞b，且ac＞bc，那么（
A. c＞0
B. c＝0
A ）.
C. c＜0
2.若m＞3，则下列不等式中必定成立的是（
A. m＞0
B. m－3＜0
3.如果a＞b，那么（
A. ac＜bc
（4）设a＞b，则－2a＜ －2b，
（5）设x＜y，则1－2x＞1－2y，
1 1
（6）设x＞y＞0，则 ＜ .
2.根据条件，写出x的取值范围：
（1）x＋4＞7， x＞3
（2）2x－1＜3，x＜2
（3）3－2x＞5， x＜－1
（4）2－x＜x－4， x＞3
二、判断题
1.如果a＜b，且b＜c，那么a＜c.
（
三、解答题
比较大小.
1.x2＋1与（x＋1）2，其中x＞0.
解：∵（x2＋1）－（x＋1）2
＝x2＋1－（x2＋2x＋1）
2.1 不等式的基本性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
A．x2＞y2
B．ax＞ay
C．x＋5＞y＋5
D．x＋2y＞3y
【解析】 B选项中，当a＝0时，ax＝ay，故选项B不成立．
2．a、b、c 为实数，且 c≠0，下列命题中正确的是( D ) A．a＞b⇒ac＞bc B．ac＜bc⇒a＜b C．a＞b⇒1a＜1b D．a＞b⇒ca2＞cb2 【解析】 利用不等式的性质或举反例进行判断，取 a＝2、b＝－1、c＝－1 来检验，对 A 有ac＜bc，故 A 错；对 B 有 a＞b，故 B 错；对 C 有a1＞1b，故 C 错；对 D，∵ c≠0，∴ c12＞0，由不等式的性质知，选项 D 正确．
【融会贯通】 比较大小． (1)( 2＋ 3)2 与 4＋2 6； (2)2x2＋5x＋6 与(x＋3)(x＋2)，x∈R. 解：(1)∵( 2＋ 3)2－(4＋2 6)＝(5＋2 6)－(4＋2 6)＝1＞0，∴( 2＋ 3)2 ＞(4＋2 6)． (2)∵(2x2＋5x＋6)－(x＋3)(x＋2)＝(2x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋6)＝x2≥0， ∴(2x2＋5x＋6)≥(x＋3)(x＋2)．
2.1 不等式的基本性质
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．不等式的概念 用不等号“≠、＞、＜、≥、≤”表示不等关系的式子叫做不等 式．如：f(x)＞g(x)，f(x)≤g(x)，等等．
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
2．几个恒不等式 任意实数的平方不小于0，即a2≥0. 任意实数的绝对值不小于0，即|a|≥0.
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解析】 根据不等式的性质可知，a＞3 且 b＞3⇒a＋b＞6 成立，a＞3 且 b
中职数学2.1不等式的基本性质课件
例3
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
用符号“ ”或“ ”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条
基本性质．
（2）如果 > ，那么 + 4
+ 2；
（2）根据不等式性质1，不等式 > 两边同时加上4，不等号
方向不变，即 + 4 > + 4，
又因为 + 4 > + 2，所以根据不等式性质3，可以得到
当>0时，点和点同时向右平移个单
位，即可到达点′和点′的位置；
当<0时，点和点同时向左平移
个单位，即可到达点′和点′的位置．
显然，两种情况中，点′点′的左右位置与点和点的情况相同．
2.1不等式的性质 —不等式的性质
性质3
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
5
2
例1 比较 7 与 3 的大小．
解 因为 5 2 15 14 15 14 1 0
7
3
21
5 2
所以
．
7 3
21
21
21
,
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
大于b（或b小于a）．
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数，都可以
在数轴上找到对应的点和，如图所示．
不等式的基本性质
a>b>0，c>d>0 如果a>b，c>d,那么ac>bd是否成立？ 如果a>b>0，那么1/a<1/b是否一定成立？ 如果a<b<0，那么1/a>1/b是否一定成立？ 同号倒数改向性 例：若a、bR，请写出不等式a>b和1/a>1/b同时成立的 充要条件。
正数同向相乘法性
例 求证：如果a>b>0，那么a2>b2。 如果a>b>0，那么an>bn。(nN*)
7、已知三个不等式：（1）ab>0；（2）－c/a<－d/b；
（3）bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论， 则可以组成多少个真命题？ 8、已知命题甲：a>b，命题乙：1/a<1/b， 命题丙：c/a2>c/b2。 （1）若甲是乙的必要非充分条件，求a、b应满足的条件； （2）若a<0，b<0，判断丙是甲的什么条件，并加以证明。 9、（1）设2<a5,3b<10，求a+b、a-b及a/b的取值范围； （2）若二次函数f(x)的图像过原点，且1f(-2) 2, 3f(3)
2、如果a>b，那么a+c>b+c。
3、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 4、如果a>b，c>d,那么a＋c>b＋d。 5、如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd。 6、如果a、b同号，那么1/a<1/b。
7、如果a>b>0，那么an>bn (nN*) 。
4、解关于x的不等式：（1）ax+4<2x+a2，其中a>2 （2）m(x+2)>x+m。
不等式的基本性质
不等式的基本性质第二章不等式课题：2.1-不等式的基本性质（2课时）教学目标：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。
2.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。
3.提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的惯和认真严谨的研究态度。
教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。
教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第1课时：问题情境：现有A、B、C、D四个长方体，A、B的底面积为a²，高分别为a、b，C、D的底面积为b²，高分别为a、b，其中a≠b。
甲先从四个中取两个盛水，乙用剩下的两个盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个的容积分别为a³、a²b、ab²、b³，甲有6种取法。
问题可以转化为比较两两和的大小。
研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
例如，在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，如果点A在点B右边，则a＞b。
而a－b表示a减去b所得的差，由于a＞b，则差是一个正数，即a－b＞。
命题：“若a＞b，则a －b＞”成立；逆命题“若a－b＞，则a＞b”也正确。
类似地：若a＜b，则a－b＜；若a＝b，则a－b＝。
结论：(1)“a＞b”⇔“a－b＞”；(2)“a＝b”⇔“a－b＝”；(3)“a＜b”⇔“a－b＜”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。
正负数运算性质：1) 正数加正数是正数；2) 正数乘正数是正数；3) 正数乘负数是负数；4) 负数乘负数是正数。
研究不等式的性质：性质1：若a＞b，b＞c，则a＞c（不等式的传递性）证明：∵a＞b∴a－b＞；∵b＞c∴b－c＞；∴(a－b)＋(b －c)＝a－c＞（正负数运算性质）则a＞c。
反思：证明要求步步有据。
性质2：若a＞b，则a＋c＞b＋c（不等式的加法性质）证明：∵a＞b∴a－b＞；∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞∴a＋c ＞b＋c。
不等式的基本性质
第二章 不等式2.1 不等式的基本性质一、教学目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质1、2、3。
二、教学重点：比较实数的大小、不等式的基本性质。
三、教学难点：会比较两个实数的大小。
四、教学过程：2课时一、引入新课1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 （例略）1．“同向不等式与异向不等式”2．“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 课堂练习：P33页练习2．1.2、不等式的基本性质1．性质1（传递性）：如果b a >，c b > 那么c a >证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >2．性质2（加法法则）：如果b a >，.c b c a +>+证明3. 性质3（乘法法则）：如果b a >，bc c c >>a 0，则；如果b a >，bc c c ∠∠a 0，则；文字归纳不等式性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.例1 利用不等式的性质，填”>”,“<”(1)若a>b,则2a+1 2b+1;(2)若-1.25y<10,则y -8;(3)若a<b,且c>0,则ac+c bc+c;(4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c 0.变式训练 ：用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由.(1) 3a 3b;（ ） (2) a －8 b －8; （ ） (3) －2a －2b;（ ） (4) 2a －5 2b －5;（ ） (5) －3.5a －1 －3.5b －1. （ ）课堂练习：P36页练习 P37页的习题五、归纳小结：1.本节重点(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3；(2)能正确应用性质对不等式进行变形；2.注意事项（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点；（2）当不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定范围的字母，应分情况讨论.。
第二章 2.1 第二课时等式性质与不等式的性质
第二课时 等式性质与不等式的性质课标要求素养要求1.掌握不等式的基本性质；2.运用不等式的性质解决有关问题.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.教材知识探究在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为a b <a ＋c b ＋c，其中a <b ，c >0.1.等式的性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .2.不等式的性质 注意这些性质是否可逆(易错点) 性质1 如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b b <a .性质2 如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c a >c . 性质3 如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2).教材拓展补遗[微判断] 1.a >bac 2>bc 2.(×)提示 当c ＝0时，不成立.2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)提示 相乘需要看是否⎩⎨⎧a >b >0，c >d >0，而相加与正、负和零均无关系.3.设a ，b ∈R ，且a >b ，则a 3>b 3.(√) [微训练]1.已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >ba 成立的条件是( )A.a <bB.a >bC.与m 有关D.恒成立解析b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），而a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0.即a >b . 答案 B2.已知m >n ，则( ) A.m 2>n 2 B.m >n C.mx 2>nx 2D.m ＋x >n ＋x解析 由于m 2－n 2＝(m －n )(m ＋n )，而m ＋n >0不一定成立，所以m 2>n 2不一定成立，而m ，n 不一定有意义，所以选项A ，B 不正确；选项C 中，若x 2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]1.若a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d 成立吗？a －c >b －d 呢？提示 a ＋c >b ＋d 成立，a －c >b －d 不一定成立，但a －d >b －c 成立. 2.若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？提示 不一定，但当a >b >0，c >d >0时，一定成立.题型一 利用不等式的性质判断命题的真假【例1】 若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a |>|b |，②a <b ，③a ＋b <ab ，④a 3>b 3，则不正确的不等式的个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①②均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2. 答案 C规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.【训练1】 设a >b >0，c <d <0，则下列不等式中一定成立的是( ) A.ac >bd B.a d <b c C.a d >b cD.ac 2<bd 2解析 a >b >0，c <d <0，即为－c >－d >0， 即有－ac >－bd >0，即ac <bd <0，故A 错；由cd >0，又ac <bd <0，两边同乘1cd ，可得a d <bc ，则B 对，C 错； 由－c >－d >0，－ac >－bd >0， 可得ac 2>bd 2，则D 错.故选B. 答案 B题型二 利用不等式的性质证明不等式解决此类问题一定要记准，记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活地加以应用 【例2】 若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd . 证明 ∵bc －ad ≥0，∴bc ≥ad ，∴bc ＋bd ≥ad ＋bd ， 即b (c ＋d )≥d (a ＋b ).又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd .规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.【训练2】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . (2)a <b <0，求证：b a <ab .证明 (1)因为a >b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc . 又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .(2)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab ，∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故b a <a b . 题型三 利用不等式的性质求范围同向可加性，同向同正可乘性是解这类问题的常用性质 【例3】 已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，ab 的取值范围. 求解范围时，不可两式直接相减 解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63， 即14<a b <2.规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.【训练3】 已知－π2<β<α<π2，求2α－β的取值范围.解 ∵－π2<α<π2，－π2<β<π2， ∴－π2<－β<π2.∴－π<α－β<π. 又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π， 又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π2<2α－β<32π.一、素养落地1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件. 二、素养训练1.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B.M ＝N C.M <ND.与x 有关解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.∴M >N . 答案 A2.设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a －b >0 B.a 3＋b 3>0 C.a 2－b 2<0D.a ＋b <0解析 本题可采用特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，排除A ，B ，C ，故选D. 答案 D3.若8<x <10，2<y <4，则xy 的取值范围为________. 解析 ∵2<y <4，∴14<1y <12.又∵8<x <10，∴2<xy <5. 答案 2<xy <54.下列命题中，真命题是________(填序号).①若a >b >0，则1a 2<1b 2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ；③若a <0，b >0，则－a <b ；④若a >b ，则2a >2b . 解析 ①a >b >00<1a <1b1a 2<1b 2；②a >b－2a <－2bc －2a <c －2b ；对③取a＝－2，b ＝1，则－a <b 不成立.④正确. 答案 ①②④5.已知c a >db ，bc >ad ，求证：ab >0.证明 ∵⎩⎪⎨⎪⎧c a >d b ，bc >ad ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b >0，bc －ad >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ab >0，bc －ad >0，∴ab >0.基础达标一、选择题1.已知a <b <0，则下列式子中恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C.a 2<b 2D.a b <1解析 因为a <b <0，不妨令a ＝－3，b ＝－2， 则－13>－12，可排除A ； (－3)2>(－2)2，可排除C ； a b ＝－3－2>1，可排除D ； 而－13>－12，即1a >1b ，B 正确. 答案 B2.设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.x 2<ax <a 2 B.x 2>ax >a 2 C.x 2<a 2<axD.x 2>a 2>ax解析 ∵x <a <0，∴x 2>a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2. 答案 B3.设a <b <0，则下列不等式中不正确的是( ) A.2a >2b B.ac <bc C.|a |>－bD.－a >－b 解析 a <b <0，则2a >2b ，选项A 正确；当c >0时选项B 成立，其余情况不成立，则选项B 不正确；|a |＝－a >－b ，则选项C 正确；由－a >－b >0，可得－a >－b ，则选项D 正确，故选B. 答案 B4.已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A.a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2D.a b >a b 2>a解析 由题意知ab >0，b 2>1， 则a b 2>a ，且a b 2<0，所以a b >a b 2>a . 答案 D5.若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的范围是( ) A.－3<a －|b |≤3 B.－3<a －|b |<5 C.－3<a －|b |<3D.1<a －|b |<4 解析 ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案 C二、填空题6.若a >b >0，则a ＋1b ________b ＋1a (用“<”，“>”，“＝”填空). 解析 法一 ∵a >b >0，∴0<1a <1b ， 即1b >1a >0，∴a ＋1b >b ＋1a .法二 a ＋1b －(b ＋1a )＝（a －b ）（1＋ab ）ab ，∵a >b >0，∴a －b >0，ab >0，1＋ab >0， 则a ＋1b >b ＋1a . 答案 > 7.若a <b <0，则1a －b与1a 的大小关系是________. 解析1a －b －1a ＝a －（a －b ）（a －b ）a ＝b （a －b ）a， ∵a <b <0，∴a －b <0，则b （a －b ）a <0，1a －b <1a.答案1a －b <1a8.已知－π2≤α<β≤π2，则α－β2的取值范围是________. 解析 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<β2≤π4. ∴－π4≤α2<π4，①－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.② 由①＋②得－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0.∴－π2≤α－β2<0. 答案 －π2≤α－β2<0 三、解答题9.判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a <b ，c <0，则c a <cb ； (2)若ac 3<bc 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c 则a －b >b －c . 解 (1)∵a <b ，不一定有ab >0， ∴1a >1b 不一定成立， ∴推不出c a <cb ，∴是假命题.(2)当c >0时，c 3>0，∴a <b ，∴是假命题.(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.(4)当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题. 10.已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明a c －a －bc －b ＝a （c －b ）－b （c －a ）（c －a ）（c －b ）＝ac －ab －bc ＋ab （c －a ）（c －b ）＝c （a －b ）（c －a ）（c －b ）. ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0，a －b >0. ∴c （a －b ）（c －a ）（c －b ）>0.∴a c －a >b c －b. 能力提升11.已知a >b >0，c <d <0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴0<－1c <－1d .∵a >b >0，∴－a d >－bc >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－a d 3>⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c 3，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3>－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a d 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3. 12.已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围. 解 法一 设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2， ∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v . ∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6. 则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10. 法二 令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， ∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b . ∴⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3. 又⎩⎨⎧1≤a ＋b ≤4，－3≤3（a －b ）≤6. ∴－2≤4a －2b ≤10.。
中职数学(基础模块)2.1不等式的基本性质
不等式的基本性质定义
不等式的基本性质分类
练习题
汇报人：
性质3：不等式的同乘性
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以上是关于“性质3：不等式的同乘性”的介绍内容，希望对您有所帮助。
性质：当两个不等式相乘时，如果两个不等式都是正数或都是负数，则它们的乘积仍然是正数或负数。
定义：不等式的同乘性是指当两个不等式相乘时，如果两个不等式都是正数或都是负数，则它们的乘积仍然是正数或负数。
利用不等式性质比较大小
定义：不等式是数学中比较两个数大小关系的数学符号。
性质：不等式的性质有对称性、传递性、可加性和同向不等式的可乘性。
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应用：不等式的同乘性在解决不等式问题时非常有用，可以用来化简不等式或比较大小。 以上是关于“性质3：不等式的同乘性”的介绍内容，希望对您有所帮助。
证明：设a>b>0，c>d>0，则ac>bc>0，bc>bc+d>0，ac>bc+d>0，因此ac>bc+d>0，即不等式的同乘性成立。
不等式的基本性质：对于任意两个实数a和b，如果a>b且c>d，则a+c>b+d
不等式的基本性质：对于任意两个正实数a和b，如果a>b，则ac>bc
《数学 基础模块》上册 2.1.1不等式的基本性质(作差比较法)
教学目标
知识目标：
理解作差比较实数大小的方法.
能力目标：
能够应用作差法判断任意两个实数的大小.
情感目标：
主动参与学习，感受数学在生活中的应用，提升数学思维能力与计算技能.
教学重点
作差比较法．
教学难点
作差比较法．
教学备品
教学课件．
课时安排
1课时．
教学过程
教学过程
教学意图
情境引入
巩固知识，提升知识的应用能力.
2006年7月12日，在国际田联超级大奖赛洛桑站男子110米栏比赛中，我国百米跨栏运动员刘翔以12秒88的成绩夺冠，并打破了尘封13年的世界记录12秒91，为我国争得了荣誉．
如何体现两个记录的差距？
知识探究
通常利用观察两个数的差的符号，来比较它们的大小．因为12.88−12.91=−0.03＜0，所以得到结论：刘翔的成绩比世界记录快了0.03秒．
ห้องสมุดไป่ตู้变换练习，体会作差比较法的应用技巧，突破重难点。
归纳小结
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
（1）本次课学了哪些内容？
（2）在学习方法上有哪些体会？
加深学生对于本节课知识的理解，培养学生自主学习的能力，提升学习主动性。
布置作业
(1)书面作业：教材习题一
(2)实践调查： 探究生活中作差比较法的应用
强化练习
教材练习
P321、2
及时练习，巩固新知.
难点突破
本次课重难点：作差比较法.
强化练习
比较下列各对实数的大小：
（1） 与 ；（2） 与 ；
（3）当 时，比较 与 的大小．
解析：（1）例1、2中是比较任意两个实数的大小,可直接根据作差比较法进行判断.
2.1不等式的基本性质高中
(1)作差； 常用手段:配方法，因式分
(2)变形；
解法。
常见形式:变形为常数；
(3)定号；
一个常数与几
(4)下结论；
个平方和； 几个因式的积。
作商比较两数大小的依据
若 b0
(1) a 1 a b b
(2) a 1 a b b
(3) a 1 a b b
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
三、例题分析：
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
• 上式中的左边反映的是实数的运算性质， 而右边则是实数的大小顺序，合起来就成 为实数的运算性质与大小顺序之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大 小，而且是推导不等式的性质，不等式的 证明，解不等式的主要依据。
不等式的基本性质
如果a+b＞c，则a与c-b？
推论1：如果a＋b＞c，则a＞c－b．
证明 ：因为 所以 即 a＋b＞c， a＋b＋(－b)＞c＋(－b)， a＞c－b．
综合法：指从已知条件出发，借助其性质和有 关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到特征结论 或需求问题的方法。其特点和思路是：由因到果。
小试牛刀
(1)在－6＜2 (2)在4＞－3 的两边都加上9，得 的两边都减去6，得 3<11 ；
(3)如果 a＜b，那么 a－3 (4)如果 x＞3，那么 x＋2
-2>-9 ； < b－3；
> 5； (5)如果 x＋7＞9，那么两边都 减去7，得 x＞2．
把不等式60＞36的两边同时乘以任意一个
不为0的数，你发现什么规律了吗？
如果不等式两边都乘同一个正数，则不等
号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等
趣味探索不等式
10年后爷爷和爸爸他们各自多少 岁呢？爷爷的年龄还比爸爸的年 龄大吗？10年前呢？X年后呢？
10年后，60+10>36+10 10年前，60-10>36-10 x年后，60+x>36+x
不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。
趣味探索不等式
a>b
b
c b b+c b+c c
号的方向改变。
趣味探索不等式
3.不等式性质3(乘法法则) ：如果 a＞b，c＞0，则ac＞bc； 如果 a＞b，c＜0，则ac＜bc． 证明：因为 ac－bc＝(a－b)c， 又由 a＞b，即 a－b＞0， 所以 当c＞0时，(a－b)c＞0，即 ac＞bc； 所以 当c＜0时，(a－b)c＜0，即 ac＜bc．
北师大版中职数学基础模块上册：2.1.1不等式的基本性质(教案)
2.1.1不等式的基本性质
课 型
新授课
课 时
1
授课班级
授课时间
授课教师
教材分析
教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第二章；
教材内容：包括不等式的基本性质、区间、一元二次不等式、含绝对值的不等式、不等式的应用；
地位与作用：不等式是数学中的重要内容，它具有应用广泛、变换灵活的特点，是研究数量大小关系的必备知识，与数学的其他分支内容有着密切的联系，也是学习高等数学的基础和工具.本单元在初中学习的基础之上，进一步学习不等式பைடு நூலகம்基本性质、区间、一元二次不等式、含绝对值的不等式等，学习根据数量关系列出相应的不等式，并利用这些不等式找到问题的解决方案，提升数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模等核心素养．
2.掌握不等式的基本性质的推论；
教学方法
讲授法、谈话法、谈论法
课前准备
教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；
学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；
教学媒体
教学课件PPT、多媒体展板
教学过程
第一课时
教学环节
教师活动设计
学生活动设计
设计意图
若c＜0，根据性质3，有ac＜bc.
若c=0，则有ac=bc=0，所以ac=bc.
例2已知a＞b，比较a-1与b-2的大小.
解因为a＞b,-1＞-2，
根据推论1，有a+(-1)＞6+(-2),
即a-1＞b-2.
学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解
通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误
2.1(2)不等式的基本性质Ⅱppt课件
(C)a c b c
(D)
a c2 1
b c2 1
5
练习 1、下列结论能成立的是：（_1_）_（_3_）_（_4_）_ （1） a b a b
a (2)
c
b
d
ac
bd
a (3)
cபைடு நூலகம்
b
d
a3
d
3
b3
c3
ab (4)
cd
0 0
证明： 1 1 b a a b ab
b a 0, ab 0
1 1 0 ab
0 1 1
ab
如果a b 0,那么1 ____ 1 ( 0) ab
(同号倒数性质)
4
练习
1、如果x y, m n, 那么下列不等式中正确的是( B )
( A)x m y n (B)x m y n
糖水中加 糖变甜
b ab a 0
又b 0, c 0,b c 0
(b a)c 0 b(b c)
ac a bc b
问： b c __<___ b ?
ac
a
7
例2
a, b R ,比较a5 b5与a3b2 a2b3的大小
解：(a5 b5 ) (a3b2 a2b3 ) a3 (a2 b2 ) b3 (b2 a2 )
iff a b时等号成立
8
练习
ex1、比较两数 (a 1)2与a2 a 1的大小． ex2、比较两数 x2 3与3x的大小．
说明：
不等式的基本性质ppt课件
（2）能正确应用性质对不等式进行变形；
注意事项
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论.
P9：习题2.1 第1、2、3题
1、比较a与a+2的大小；
2、比较2与2+a的大小。
1、解： ∵ 0＜ 2， ∴ a ＜ a+2 2、解：若a ＜0，则 2+a ＜2； 若a ＞ 0，则 2+a ＞ 2； 若a = 0，则 2+a = 2；
§2.1 不等式的基本性质
读书改变命运 ！刻苦成就事 业 ！！态度决定一切！！！
由a+5=b+5, 能得到a=b？
由a-5=b-5, 能得到a=b？ 由5a=5b, 能得到a=b？
由–8a=–8b, 能得的基本性质吗？
等式的性质1：等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，等式仍然成立. 等式的性质2：等式的两边都乘以（或除以） 同一个不为0的数，等式仍然成立.
试比较5a与3a 的大小。 解：∵ 5 ＞ 3 ∴ 5a 3a 想想:这种解法对吗？如果正确，说 出它根据的是不等式的哪一条基本性 质；如果不正确，请说明理由。 答：这种解法不正确，因为字母 a的取值范 围我们并不知道。如果 a 0，那么 5a 3a ； 如果 a 0 ，那么 3a 5a 。
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3; （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
本节重点
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ；
不等式的基本性质--参考教案
解 因为a>b, -1>-2 根据推论1, 有a+(-1)>b+(-2), 即a-1>b-2.
练习
1.用“>”或“<”填空.
(1)a+5b+5(a<b);（2）x+5x+2;
（3）m+1m-1; (4)-5p-5q(p<q).
2.用“>”或“<”填空.
(1)若4x<2, 则x Байду номын сангаас (2)若a<0, 则2aa
练习
1.比较下列一组数的大小. 98, -3, 190, -π.
2.用“>”或“<”填空.
(1)a-1a+1;
(2)若a>b>0, 则 .
3.已知x 是实数, 比较 -x与(x+1)(x-2)的大小.
4.我们知道, 如果在一杯糖水中继续加入一些糖, 那么待糖全部溶解后, 这杯糖水就会变得更甜.你能借助不等式的知识来解释其中的道理吗?
二、自主探究
芭蕾舞演员脚尖立起前, 下半身长与全身长的比值为19686; 脚尖立起 后, 下半身长与全身长的比值19686++88=106174.本题要求比较这两个分数的大小
为了借助不等式知识解决上面的问题, 我们需要进一步研究不等式的 性质.根据初中学过的不等式的3个基本性质, 可以得到一系列推论. 根据性质1, 可得下列推论.
例2已知b>a>0,c>0, 比较a+c b+c与ab的大小.
解 作差可得a+c b+c-ab=(a+c)b (b+c)b-a(b+c) b(b+c)=(b-a)c (b+c)b. 因为b>a>0, 所以b-a>0.又因为c>0, 所以(b-a)c (b+c)b>0, 即a+c b+c-ab>0, 所以a+c b+c>ab
中职数学(高教版)授课教案：不等式的基本性质
【课题】2.1不等式的基本性质【教学目标】知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．【教学重点】⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．【教学难点】比较两个实数大小的方法．【教学设计】（1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；（2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合；（3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】【课题】2．2区间【教学目标】知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】区间的概念．【教学难点】区间端点的取舍．【教学设计】⑴实例引入知识，提升学生的求知欲；⑵数形结合，提升认识；⑶通过知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；⑷通过列表总结知识，提升认知水平.【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】讲解}4xx<|24}过 程行为 行为 意图 间表示的区间是右半开区间，用记号[2,4)表示；只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合{|24}x x <表示的区间是左半开区间，用记号(2,4]表示.引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为(200,350)． 强调 细节领会各区 间的 规范 书写10*巩固知识 典型例题例1 已知集合()1,4A =-，集合[0,5]B =，求：AB ，A B ．解 两个集合的数轴表示如下图所示,(1,5]A B =-， [0,4)A B =．质疑 分析 讲解 思考 理解 复习 相关 集合 运算 知识 15*运用知识 强化练习 教材练习2.2.11.已知集合(2,6)A =，集合()1,7B =-，求A B ，A B ．2.已知集合[3,4]A =-，集合[1,6]B =，求A B ，A B ．3. 已知集合(1,2]A =-，集合[0,3)B =，求A B ，A B ．巡视辅导思考 解题 交流 反馈 学习 效果20 *动脑思考 明确新知 问题集合{|2}x x >可以用数轴上位于2右边的一段不包括端点的射线表示，如何用区间表示？ 解决集合{|2}x x >表示的区间的左端点为2，不存在右端点，为开区间，用记号(2,)+∞表示．其中符号“+∞”（读作“正无穷大”），表示右端点可以任意大，但是写不出具体的数．类似地，集合{|2}x x <表示的区间为开区间，用符号(,2)-∞表示（“-∞”读作“负无穷大”）． 集合{|2}x x表示的区间为右半开区间，用记号[2,)+∞表 质疑 讲解 说明 强调 细节思考 领会 记忆 理解学习 各种 区间过 程行为 行为 意图 间示；集合{|2}x x表示的区间为左半开区间，用记号(,2]-∞表示；实数集R 可以表示为开区间，用记号(,)-∞+∞表示． 注意“-∞”与“+∞”都是符号，而不是一个确切的数．明确25*巩固知识 典型例题例 2 已知集合(,2)A =-∞，集合(,4]B =-∞，求AB ，A B ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 （1）(,4]AB B =-∞=；（2）(,2)A B A =-∞=．例3 设全集为R ，集合(0,3]A =，集合(2,)B =+∞， （1）求A ，B ；（2）求AB ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 (1) (,0](3,)A =-∞+∞,(,2]B =-∞； (2) (0,2]AB =．质疑 说明 讲解 启发 强调观察 思考 领会 主动 求解通过 例题 巩固 区间 的概 念 注意 规范 书写30 *理论升华 整体建构下面将各种区间表示的集合列表如下（表中a 、b 为任意实数，且a b <）． 区间(,)a b[,]a b (,]a b 集合 {|}x a x b << {|}x a x b ≤≤ {|}x a x b <≤ 区间[,)a b(,)b -∞ (,]b -∞ 集合 {|}x a x b <≤ {|}x x b < {|}x x b ≤ 区间(,)a +∞[,)a +∞ (,)-∞+∞集合 {|}x x a >{|}x x a ≥R引导分析思考 互动 总结小组 讨论 教师 归纳35B，A B.(0,3)，求A，B，B A．巡视指导*归纳小结强化思想（1）本次课学了哪些内容？（2）通过本次课学习，你会解决哪些新问题了？（3）在学习方法上有哪些体会？引导提问【课题】2.3 一元二次不等式【教学目标】知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．【教学重点】⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．【教学难点】一元二次不等式的解法．【教学设计】⑴从复习一次函数图像、一元一次方程、一元一次不等式的联系入手；⑵类比观察一元二次函数图像，得到一元二次不等式的图像解法；⑶加强知识的巩固与练习，培养学生的数学思维能力；⑷ 讨论、交流、总结，培养团队精神，提升认知水平．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题 2.3 一元二次不等式 *回顾思考 复习导入 问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？ 解决观察函数26y x =-的图像：方程260x -=的解3x =恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x ->的解集{|3}x x >；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x -<的解集{|3}x x <． 归纳一般地，如果方程0ax b +=(0)a >的解是0x ，那么函数y ax b =+图像与x 轴的交点坐标为0(,0)x ，并且（1）不等式0ax b +>(0)a >的解集是函数y ax b =+的图像在x 轴上方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x >；介绍 提出 问题 引领 分析 讲解了解 思考 观察 领悟 理解复习 相关 知识 内容 强化 知识 点的 内在 联系 突出 数形 结合()0或()0(a≠感受新知二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存过 程行为 行为 意图 间内的值，使得260y x x =--<．30 *动脑思考 探索新知 解法利用一元二次函数2y ax bx c=++()0a >的图像可以解不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<．（1）当240b ac ∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数解1x 和2x 12()x x <，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点1(,0)x ，2(,0)x (如图（1）所示)．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是()12,x x ，不等式20a x bx c ++>的解集是12(,)(,)x x -∞+∞；（1） （2） （3）（2）当240b ac ∆=-=时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数解0x ，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴只有一个交点0(,0)x （如图（2）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是00(,)(,)x x -∞+∞．（3）当240b ac ∆=-<时，方程20ax bx c ++=没有实数解，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是R ． 归纳 总结讲解分析强调 讲解思考 观察 理解 领会 记忆引导 学生 经历 由特 殊到 一般 的提 炼过 程 强化 图像 作用 熟练 数形 结合 应用40*理论升华 整体建构2(,)x +∞0(,)x +∞0([)2,x +∞R 0< 12,)x∅]12,x }0x224b ac x =-． 典型例题解下列各一元二次不等式：26x x --0．首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．26x --=0的解(3,)+∞．）29x <可化为290-=的解集为）253x x -两边同乘1-，得30．由于判别式0的解集为0的解集为是什么实数时，有意义． 题意需要20-．解0=得1x =．由于二次项系数为30>以不等式的解集为[)1,⎛-∞+∞．[)1,+∞时，32有意义． 解下列各一元二次不等式：0．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 【课题】2.4含绝对值的不等式【教学目标】知识目标：（1） 理解含绝对值不等式x a <或x a >的解法； （2）了解ax b c +<或ax b c +>的解法． 能力目标：（1） 通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力； （2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．【教学重点】（1）不等式x a <或x a >的解法 ．（2）利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>．【教学难点】利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>． 【教学设计】（1） 从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解； （2） 观察图形得到不等式x a <或x a >的解集； （3） 运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力；（4） 加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间不等式2x <和2x >的解集在数轴上如何表示？ 根据绝对值的意义可知，方程2x =的解是2x =或2x =-，不等式2x <的解集是(2,2)-（如图（1）所示）；不等式2x >的解集是(,2)(2,)-∞-+∞（如图（2）所示）．引导分析观察 领会习做 准备 充分 借助 图像 进行 分析10 *动脑思考 明确新知一般地，不等式x a <（0a >）的解集是(),a a -；不等式x a >（0a >）的解集是()(),,a a -∞-+∞．试一试：写出不等式x a 与x a （0a >）的解集．总结 强化理解 记忆强调 特点15*巩固知识 典型例题 例１ 解下列各不等式： （1）310x ->； （2）26x．分析：将不等式化成x a <或x a >的形式后求解．解 （1）由不等式310x ->，得13x >，所以原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由不等式26x ，得3x ，所以原不等式的解集为[]3,3-．分析讲解强调 细节思考 主动 求解进一 步巩 固知 识点20*运用知识 强化练习 教材练习2.4.1 解下列各不等式：巡视解题反馈 学习（2）（1）8；（2）实际操作 探索新知如何通过x a <等式2x +3．3213x --， 224x -， 12x-，所以原不等式的解集为 []1,2-． 7>．257x +>，整理，得6- 或 1x >，()1,+∞．11；4212．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？。
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【课题】2.1不等式的基本性质【教学目标】
知识目标：
⑴理解不等式的基本性质；
⑵了解不等式基本性质的应用．
能力目标：
⑴了解比较两个实数大小的方法；
⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．
【教学重点】
⑴比较两个实数大小的方法；
⑵不等式的基本性质．
【教学难点】
比较两个实数大小的方法．
【教学设计】
（1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；
（2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合；
（3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
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【教学过程】
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第2章不等式（不等式的基本性质—电子教案）数学教研组
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